Control Automtico Control AutomticoDiscretizacin de reguladores y plantas0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedContenido Contenido0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Contenido Contenido Discretizacin a partir de la funcin de transferencia en tiempo continuo Por respuesta invariante al impulso Por retenedor de orden cero (ZOH) ( ) Por Tustin o transformacin bilineal Por mapeo de polos (solo para SISO) Por mapeo de polos (solo para SISO) Ejemplos Ej i i Ejercicios0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedEsquema de un control digital Esquema de un control digital0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Esquema de un control digital Esquema de un control digitaly(t) y(t)Computador0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedEscogencia del periodo deEscogencia del periodo de 0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)muestreo muestreo El periodo de muestreo Tsdebe ser escogido para que sea menor que una dcima parte de la constante de tiempo dominante, del sistema que se espera en lazo cerrado1T T.10dom sT T q[==niiz sK s G1) () ([= + =niiq nTT ze zz K z G1) 1 ( 1) () 1 ( ) (n > q[=niip s1) ([=iiT pe z1) (e = en dom. analgico ~ e =e analgico ~ e = esen el dom. discreto.0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedPor mapeo de polos y ceros Por mapeo de polos y ceros0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Por mapeo de polos y ceros Por mapeo de polos y cerosLa ganancia K se calcula como) ([T pnie z) 1 (11) ( ) 1 () ( =[[ + =T zqiq niBe z zK K11) ( ) (==[zi[qiz[[=== =niiiBpK s G Ks10) (Se satisface exactamente la relacin [= iip1sTe z =0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedEjemplo 4:Ejemplo 4: Discretizacin Discretizacin dede 0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)una planta por mapeo z =una planta por mapeo z = eesT sT Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s) 4 )( 1 (4) (+ +=s ss P Los datos del sistema continuo son:) 4 )( 1 ( + + s s Los datos del sistema continuo son: P = [-4-1 ] n = 2; q = 0 KB= P(0) = 10.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedEjemplo 4: cont Ejemplo 4: cont0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Ejemplo 4: cont. Ejemplo 4: cont. Evaluamos las frmulas) (* ) (1z P K z P =zz P- - ) 1 0 2 () 1 () (+=) ( ) ( z P K z P =) e )(z e zz P. * - . * - 1 0 1 1 0 4() ( =) (7486 . 63 ) 1 (= P 7486 . 63 / 11= K0.1s T ,) 9048 0 )( 6703 0 () 1 ( 015687 0) ( = =. z- . z-z+ .z P) )( (0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedRespuesta al impulso Respuesta al impulso0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Respuesta al impulso Respuesta al impulsoImpulse ResponseSe puede b0.60.7 Impulse ResponsePPimpPzohPt tiobservar que solamente la forma0.5PtustinPmatchedforma invariante al impulso 0.4mplitudeconserva este tipo de t0.20.3Amrespuesta0.10 1 2 3 4 5 6 70 Time (sec)0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedRespuesta al escaln Respuesta al escaln0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Respuesta al escaln Respuesta al escalnStep ResponseTodas las f0.91 p pPPzohPtustinP h dformas conservan la respuesta ante0.70.8Pmatchedrespuesta ante un escaln excepto la 0.50.6Amplitudeinvariante al impulso, que lo h l i0.30.4Ahace solo si es escalada por T 0.10.20 1 2 3 4 5 60 Time (sec)0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedRespuesta ante rampa Respuesta ante rampa0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Respuesta ante rampa Respuesta ante rampaRespuesta ante rampaTodas las f2.53 Respuesta ante rampaformas conservan la respuesta ante22.5respuesta ante una rampa excepto la 1.5AmplitudePinvariante al impulso. 1APPzohPTustinPmatched0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40 Time (sec)0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedEjemplo 5:Ejemplo 5: Discretizacin Discretizacin deldel 0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)regulador PID regulador PID El PID ideal se puede discretizar por los mtodos de La aproximacin trapezoidal a la integral y lap p g yaproximacin de Euler a la derivada Transformacin bilineal o mtodo de Tustin (s z kT) ( )0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedDiscretizacin Discretizacin del PID pordel PID por 0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)aproximaciones a la I y D aproximaciones a la I y D Partimos de la expresin para el PID en el dominio del tiempo continuo0) ( ) ( ) ( ) ( m t edtdK d e K t e K t mDtI P+ + + =}t t Obtenemos la forma posicional del algoritmo0dt} Obtenemos la forma posicional del algoritmo del PID| | ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ( k k T k k| || |0 .) 1 ( ) (2) 1 ( ) ( () ( ) ( mTk e k eK IntT k e k eK k e K k msd prevsi P+ +|.|

\|+ ++ =0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedDiscretizacin Discretizacin del PID pordel PID por 0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)transformacin bilineal transformacin bilinealP ti d l i l PID l Partimos de la expresin para el PID en el dominio de la frecuencia complejad PiPP PIDT K ss TKK s K + + = ) ( Sustituimosi) 1 () 1 ( 2+~zzTsy obtenemos la forma de velocidad del l it d l PID) 1 (+ z Talgoritmo del PID| | | | ) 2 ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( + + + + = k e k e k eT Kk eT Kk e k e K k m k md P s PP| | | | ) 2 ( ) 1 ( 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( + + + + k e k e k eTk eTk e k e K k m k ms iP0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedLa forma de velocidad del PIDLa forma de velocidad del PID 0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)discreto discreto La forma de velocidad del PID se puede simplificar adonde las constantes A, B y C dependen de) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( + + + = k e C k e B k e A k m k mdonde las constantes A, B y C dependen de KP, Ti, Tdy del tiempo de muestreo TS Tambin se puede llegar a esta forma si Tambin se puede llegar a esta forma si restamos la forma posicional del PID evaluada en k y en k-1 evaluada en k y en k-1 Esta forma es menos propensa al windup0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedEjercicios Ejercicios0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Ejercicios Ejercicios Obtenga y compare los modelos discretos, con el periodo de muestreo T dado para las funciones G(s), F(s) y H(s); por los cuatro mtodos vistos en clase.0.2s T ;) 2 )( 1 (* 3) (4 . 0 *=+ +=s ses Gs0.05s T ;) 9 () 3 )( 4 . 0 () ( =++ +=s ss ss F) (0.1s T ;) 1 () 3 () (2=++=s sss H) 1 ( + s s0.30.40.50.60.7Impulse ResponseAmplitudePPimpPzohPtustinPmatchedReferencias Referencias0 1 2 3 4 5 6 700.10.2 Time (sec)Referencias Referencias B lli J h G D ffi N il A C t C t l f Bollinger, J ohn G., Duffie, Neil A.. Computer Control of Machines and Processes, Addison-Wesley, USA, 1988. Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automtico, Ed. 7, Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automtico , Ed. 7, Prentice Hall, 1996, Mxico. http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/clase/3.0SistemasdeCot l Ti Di t df ntrolenTiempoDiscreto.pdf http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/control/manipmod/f2 3161 html l/manipmod/f2-3161.html