Clase3 Campo Eléctrico

Campo eléctrico

Ley de GAUSS y Aplicaciones

Prof. Dr. Victor H. Rios

2014

Física III -14

Física III

METAS DE APRENDIZAJE

Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:

• La diferencia entre fuerza eléctrica y campo eléctrico.

• Cómo calcular el campo eléctrico generado por un conjunto de cargas.

• Cómo usar la idea de las líneas de campo eléctrico para visualizar e

interpretar los campos eléctricos.

• Como calcular las propiedades de los dipolos eléctricos.

• Cómo determinar la cantidad de carga dentro de una superficie

cerrada examinando el campo eléctrico sobre la superficie.

• Cuál es el significado de flujo eléctrico y cómo se calcula.

• Cómo relaciona la ley de Gauss al flujo eléctrico a través de una

superficie cerrada con la carga encerrada por la superficie.

• Cómo usar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico

debido a una distribución simétrica de la carga.

• ¿Dónde se localiza la carga en un conductor cargado?.

Física III -13

-Mostraciones en clase

-El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

-Fuerza sobre una carga inmersa en un campo eléctrico

-El campo eléctrico de una carga puntual

-Campo vectorial

-Ejemplo1 . Vector de campo eléctrico de una carga puntual

-Cálculos de campos eléctricos

-Superposición de campos eléctricos

-Ejemplo 2 . Campo de un anillo con carga

-Ejemplo 3. Campo de un disco con carga uniforme

-Líneas de campo eléctrico

- Flujo de campo eléctrico.

- Ley de Gauss. Aplicaciones

- Ejemplo 4. Campo de un alambre infinito

- Ejemplo 5. Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme

de cargas.

-Conductores

- Ejemplo 6. Campo producido por un conductor esférico cargado

- Ejemplo 7. Campo creado por una placa conductora infinita cargada

Contenidos

MOSTRACIONES EN CLASE

Foto Nº 1- 2 .-Es una foto del generador de carga de

Whimshurst (por frotamiento) capaz de generar tensio-

nes del orden de hasta 200000 volt con corriente de

unos pocos miliamperes.

Cuando se conecta el generador de carga a dos pla-

cas circulares paralelas y a una cierta distancia entre si

y una de ellas tiene pegadas cintas de papel de tres mi-

límetros de ancho por siete centímetros de largo se ve

claramente como se orientan según las líneas de cam-

po E entre las placas mientras existan las cargas.

Corresponde a una fuente emisora de carga, visualiza-

da al acercar un material conductor aislado (destorni-

llador) la chispa que se ve es de aproximadamente un

centímetro la que depende de la tensión de la fuente

Vemos un tubo fluorescente conectado a la línea 220

volt AC sin reactancia ni arrancador (como correspon-

dería a una conexión común) el mismo se encuentra

sin encender por más que esta conectado a la línea de

alimentación.

Se ve como se puede lograr el encendido de un tubo

fluorescente conectado en forma directa a la red domi-

ciliaria mediante la aplicación de una descarga eléctrica

de alta tensión en este caso. Lo que ocurre es que esta

alta tensión, es lo necesario para comenzar el proceso

de emisión de luz ( al ser excitados los átomos de mer-

curio que están en su interior).-

Vemos como se mueven las cargas dentro de un medio

sin resistencia, vacío del foco, el recorrido de las car-

gas dependen del tamaño del foco, siendo mayor la

emisión que si estuviera en aire. Podemos representar

las fuerzas perpendiculares a las paredes del foco.

Al acercar el dedo a u-

na lámpara incandes-

cente común sometida

a una tensión de unos

7000 volt . El filamento

es un sistema emisor

de carga casi circular,

donde podríamos re-

presentar al rayo como

la fuerza perpendicular

al filamento que se di-

rige desde el polo posi-

tivo a tierra potencial

cero a través del cuer-

po humano (camino de

menor resistencia).

La carga se dirige prin-

cipalmente en esa di-

rección, puede consi-

derarse al filamento co-

mo elemento de ten-

sión positiva máxima

7000 volt y el dedo

como tensión cero. A

partir del filamento la

tensión disminuirá en

forma gradual a una

determinada distancia

equidistante del mismo.

Superficies equipotenciales

El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

Cuando dos partículas cargadas eléctricamente interactúan en el espacio vacío,

¿cómo sabe cada una que la otra está ahí?,

¿Qué ocurre en el espacio entre ellas que comunica el efecto de una sobre la otra?

Podemos comenzar a responder estas preguntas y, a la vez, reformular la ley de Coulomb de una

manera muy útil, con el empleo del concepto de campo eléctrico.

Veamos la repulsión mutua de dos cuerpos cargados positivamente, A y B (figuras). Suponga que

B tiene carga q0, y sea la fuerza eléctrica que A ejerce sobre B.

Es decir, el campo eléctrico en cierto punto es

igual a la fuerza eléctrica por unidad de carga

que una carga experimenta en ese punto.

Si se conoce el campo eléctrico E en cierto punto, la ecuación anterior se reacomoda y da la

fuerza F0 experimentada por una carga puntual q0 colocada en ese punto. Esta fuerza es igual

al campo eléctrico producido en ese punto por cargas distintas de q0, multiplicado por la carga

q0:

Fuerza sobre una carga inmersa en un campo eléctrico

CUIDADO, esta expresión es sólo para cargas de prueba puntuales

La fuerza eléctrica F0 = q0 E experimentada por una carga de prueba q0 varía de un punto a

otro, de manera que el campo eléctrico también es diferente en puntos distintos. Por esta ra-

zón, la ecuación se usa únicamente para calcular la fuerza eléctrica sobre una carga puntual.

Si un cuerpo cargado tiene un tamaño suficientemente grande, el campo eléctrico llega a te-

ner magnitudes y direcciones muy distintas en sus diversos puntos, y el cálculo de la fuerza

eléctrica neta sobre él puede ser más complicado.

Una definición completamente correcta del campo eléc-

trico tomamos el límite de la ecuación anterior, a medida que

la carga de prueba q0 tiende a cero, y el efecto perturbador

de q0 sobre la distribución de la carga se vuelve despreciable.

El campo eléctrico de una carga puntual

Consideremos una carga puntual q, y deseamos encontrar

el campo eléctrico que produce en el punto P. Es útil in-

troducir un vector unitario que apunte a lo largo de la lí-

nea que va del punto de origen al punto del campo (fig a).

Si colocamos una pequeña carga de prueba q0 en el pun-

to del campo P, a una distancia r del punto de origen, la

magnitud F0 de la fuerza está dada por la ley de Coulomb

Ecuación vectorial para E

Campo vectorial

Como puede variar

de un punto a otro,

No es una cantidad vectorial única, sino

un conjunto infinito de cantidades vecto-

riales, cada una de las cuales está aso-

ciada con un punto del espacio.

En las figuras se ilustran algunos de los vectores del campo producidos por una carga pun-

tual positiva o negativa.

Los campos vectoriales forman parte importante del lenguaje de la física, no sólo en la electrici-

dad y el magnetismo. Un ejemplo de campo vectorial de la vida cotidiana es la velocidad de las

corrientes de viento; la magnitud y la dirección de y por lo tanto de sus componentes vectoria-

les, varían de un punto a otro en la atmósfera.

Ejemplo 1. Vector de campo eléctrico de una carga puntual

Una carga puntual q = -8.0 nC se localiza en el origen. Obtenga el vector de campo eléctrico en el

punto del campo x = 1.2 m, y = -1.6 m.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: En este problema se pide calcular el vector de campo eléctrico E debido a una

carga puntual. Entonces, es necesario obtener ya sea las componentes de E , o su magnitud y di-

rección.

PLANTEAR: En la figura se ilustra la situación. El campo eléctrico está dado en forma vectorial por

la ecuación

Para emplear esta ecuación, primero se encuentra la distancia r que hay entre el punto de origen S

(la posición de la carga q) y el punto P en el campo, así como el vector unitario que tiene la

dirección que va de S a P.

EJECUTAR: La distancia entre la carga localizada en el punto de

origen S (que en este ejemplo está en el origen O) y el punto P en el

campo, es

El vector unitario está dirigido del punto de origen al punto del campo. Es igual al vector de despla-

zamiento del punto de origen al punto del campo (que en la figura se ilustra desviado a un lado pa-

ra que no oculte los otros vectores), dividido entre su magnitud r:

Entonces, el vector de campo eléctrico es

EVALUAR: Como q es negativa, tiene una dirección que va del punto del campo a la carga (el pun-

to de origen), en dirección opuesta a. El cálculo de la magnitud y la dirección de se deja al lector

Cálculos de campos eléctricos

La ecuación da el campo eléctrico causado por una sola carga puntual.

Sin embargo, en la mayoría de situaciones reales que implican campos y fuerzas eléctricas, se en-

cuentra que la carga está distribuida en el espacio.

El tambor formador de

imágenes en una

impresora láser.

Las varillas de

plástico y de vi-

drio cargadas

de la figura tie-

ne carga eléc-

trica distribuida

sobre sus

superficies

En esta sección aprenderemos a calcular los campos eléctricos causa-

dos por varias distribuciones de carga eléctrica

Los cálculos de esta clase tienen una importancia enorme para las aplicaciones

tecnológicas de las fuerzas eléctricas.

Para determinar

• las trayectorias de los electrones en un cinescopio,

• de los núcleos atómicos en un acelerador para radioterapia contra

el cáncer,

• de las partículas cargadas en un dispositivo electrónico

semiconductor,

se tiene que conocer la naturaleza detallada del campo eléctrico que actúa sobre

las cargas.

Superposición de campos eléctricos

Para encontrar el campo originado por una distribución de carga, imaginamos que está constitui-

da por muchas cargas puntuales q1, q2, q3, . . .En cualquier punto P dado, cada carga puntual pro-

duce su propio campo eléctrico

por lo que una carga de prueba q0 colocada en P experimenta una fuerza

de la carga q1

de la carga q2 y así sucesivamente

Del principio de superposición de fuerzas, la fuerza total que la distribución de carga ejerce sobre

q0 es la suma vectorial de estas fuerzas individuales:

El efecto combinado de todas las cargas en la distribución queda descrito por el campo eléctrico

total E en el punto P. De la definición de campo eléctrico,

Éste es el principio de superposición

de campos eléctricos.

Ejemplo 2 . Campo de un anillo con carga

Un conductor en forma de anillo con radio a tiene una carga total Q distribuida de manera unifor-

me en todo su perímetro (figura) . Encuentre el campo eléctrico en el punto P que se localiza so-

bre el eje del anillo a una distancia x del centro.

PLANTEAR: El punto del campo se localiza de manera arbitraria sobre el eje x, como se indica en

la figura anterior. La incógnita es el campo eléctrico expresado en ese punto, expresado en

función de la coordenada x.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Éste es un problema de superposición de campos eléctricos. La dificultad es que

ahora la carga se distribuye de manera continua alrededor del anillo, y no en cierto número de

cargas puntuales.

EJECUTAR: Como se ilustra en la figura, imaginamos el anillo dividido en segmentos infinitesimales

de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dQ que actúa como fuente de carga puntual del cam-

po eléctrico. Sea dE el campo eléctrico a partir de uno de tales segmentos; entonces, el campo eléc-

trico neto en P es la suma de todas las aportaciones dE desde todos los segmentos que constituyen

el anillo.

Para calcular Ex, se observa que el cuadrado de

la distancia r a partir de un segmento de anillo al

punto P es igual a r2 = x2 + a2. De manera que la

magnitud de la contribución de este segmento dE

al campo eléctrico en P es

La componente x, dEx, de este campo es:

Para encontrar la componente x total, Ex, del campo en P, se integra esta expresión a lo largo de to-

dos los segmentos del anillo:

Ejemplo 3. Campo de un disco con carga uniforme

Encuentre el campo eléctrico que genera un disco de radio R con densidad superficial de carga (car-

ga por unidad de área) positiva y uniforme, s, en un punto a lo largo del eje del disco a una distancia

x de su centro. Suponga que x es positiva.

IDENTIFICAR: nuestra incógnita es el campo eléctrico a lo largo del eje de simetría de una distri-

bución de carga continua.

SOLUCIÓN

PLANTEAR: En la figura se ilustra la situación. Se representa la distribución de carga como un con-

junto de anillos concéntricos de carga dQ, como se indica. Para calcular el campo tenemos que su-

mar las contribuciones de los anillos

EJECUTAR: Un anillo común tiene una carga dQ, radio interior

r y radio exterior r + dr (figura. Su área dA es aproximadamente

Igual

La carga por unidad de área es : , así

La componente del campo dEx en el punto P

debido a la carga dQ es

Recuerde que durante la integración x es una constante, y que la variable de integración es r. La

integral se evalúa usando la sustitución

EVALUAR Suponga que se incrementa el radio R del disco y se agrega simultáneamente car-

ga, de manera que la densidad superficial de carga (carga por unidad de área) se mantiene

constante. En el límite en que R es mucho mayor que la distancia x entre el punto del campo y

el disco, el término de la raíz se vuelve despreciable por lo pequeño, con lo que se obtiene:

Para calcular el campo total debido a todo el

anillo, se integra dEx sobre r, desde r=0 has-

ta r = R :

Líneas de campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléctrico puede

verse directamente. Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son de gran ayuda y los

hace parecer más reales.

Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada a través de una región

del espacio, de modo que es tangente en cualquier punto que esté en la dirección del vector del

campo eléctrico en dicho punto.

El científico inglés Michael Faraday (1791-1867) introdujo por primera vez el concepto de líneas

de campo. Las llamó “líneas de fuerza”, aunque es preferible el término “líneas de campo”.

Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de en cada punto, y su espaciamiento da

una idea general de la magnitud de en cada punto.

• Donde es fuerte, las líneas se dibujan muy cerca una de la otra, y donde es más débil se

trazan separadas.

• En cualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única, por lo que sólo una

línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras palabras, las líneas de campo

nunca se cruzan.

Campo y Potencial eléctrico. Sistema de cargas

• Principio de superposición de campos: El campo neto creado por un sistema de cargas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas del sistema.

i i

i

i

iTotalr

qkVV

Cargas discretas

i

i

i

i

i

iTotal rr

qkEE

3

dqr

rkEdETotal

3

Distribución continua de carga

r

dqkdVVTotal

• Suma de Potenciales : El potencial neto creado por un sistema de cargas es la suma de los potenciales creados por cada una de las cargas del sistema.

Física III -14

Línea de cargas

Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas

Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistan-

tes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución

continua de carga.

El campo eléctrico E producido por n cargas

en el punto P, es la suma vectorial de los

campos producidos por cada una de las car-

gas individuales en el punto P.

donde ri es el vector unitario cuya dirección

es la recta que pasa por la carga ¨i¨ y el pun-

to P.

El potencial en el punto P, es la suma de

los potenciales producidos por cada una

de las cargas individuales en el punto P.

Fig. 23 Línea de cargas

Física III -14

Distribuciones continuas de carga ( Lineal )

d l´

X

Y

Z

r´

d q´

Fig. 8

´

´

´

´´)( 0´

dl

dq

l

qlímr l

Densidad de carga lineal

Física III -14

Ejemplo 4 - Campo producido por un hilo rectilíneo cargado

Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada

con una densidad de carga de λ C/m.

Fig.9Línea cargada

El campo producido por el elemento de car-

ga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la

dirección y el sentido indicado en la figura y

su módulo es :

Este campo tiene dos componentes: una a

lo largo del eje vertical Y

La otra a lo largo del eje horizontal

X , y no es necesario calcularla ya

que por simetría se anulan de dos

en dos.

El campo total es la suma de las

componentes verticales Y

Componente

vertical

Física III -14

Distribución continua de cargas (superficial y volumétrica)

Densidad superficial de carga Densidad volumétrica de carga

Habiamos visto el caso lineal, ahora para las distribuciones:

Z

r'

v

XY

dq'(r')

dv'

r'

SZ

XY

(r')

dq'

da'

´

´

´

´´)( 0´

da

dq

a

qlímr a

´

´

´

´´)( 0´

dV

dq

V

qlímr V

Fig.6

Física III -14

Ejemplo 5 - Esfera conductora con carga

Una esfera sólida conductora de radio R tiene una carga total q. Encuentre el potencial en todos los

lugares, tanto fuera como dentro de la esfera.

SOLUCIÓN

Del ejemplo de la clase pasada , en todos los puntos fuera de la esfera el campo es el mismo que si

la esfera se eliminara y se sustituyera por una carga puntual q. Se considera V = 0 en el infinito,

como se hizo para una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el exterior de la

esfera a una distancia r de su centro es el mismo que el potencial debido a una carga puntual q en

el centro:

El potencial en la superficie de la esfera es

En el interior de la esfera, es igual a cero en todas par-

tes; de otra manera, la carga se movería dentro de la

esfera. De esta forma, si una carga de prueba se des-

plaza de un punto a otro en el interior de la esfera, no

se efectúa ningún trabajo sobre la carga. Esto significa

que el potencial es el mismo en todos los puntos del

interior de la esfera y es igual a su valor q/4πε0 en la

superficie.

Física III -14

LINEAS DE FUERZAS Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES PARA UNA CARGA PUNTUAL

El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene re-

presentado por un vector de

• Módulo

El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale

Fig. 10 Campo eléctrico de una carga puntual (positiva y negativa)

• dirección radial

• sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si

es negativa

-+ +Q-Q

Física III -14

Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tan-

gentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.

En la figura, se representan las

* Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga.

* Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.

Fig. 11 Líneas de campo y superficies equipotenciales

r

x

r

Q

EEE xx

2

04

1

cos

r

y

r

Q

senEEE yy

2

04

1

x

y

E

E

x

y

dx

dy

E

E

x

y

dx

dy

x

y

cxyx

dx

y

dylnlnln

xcy Ecuación de las líneas de campor

r

QE ˆ

4

12

0

θ

x

yr

´CC

QkrC

r

QkV

Ecuación de circunferencias concéntricas !!!

Física III -14

Fisica III -13

Como el campo es tangente a las

líneas de fuerza, la ecuación de las

líneas de fuerza es

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos la

intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

Fig.12 Líneas de campo

La ecuación de las líneas equipoten-

ciales es

Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales , M. Faraday (1791-1867)

Fig. 14 Líneas de campo y equipotenciales

Fig. 13

Superficies equipotenciales ( ejemplos)

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo producido por dos placas

Superficie equipotencial

Línea de campo eléctrico

Fisica III -13

Física III -14

Gradiente de potencial

El campo eléctrico y el potencial se relacionan estrechamente.

Si se conoce E en varios puntos, esta ecuación se puede utilizar para calcular las dife-

rencias de potencial.

Cómo hacer lo contrario? Si se conoce el potencial V en varios puntos se puede determinar E

Considerando que V es función de las coordenadas (x, y, z) de un punto en el espacio, se demos-

trará que las componentes de se relacionan directamente con las derivadas parciales de V con

respecto a x, y y z.

Física III -14

Esto es congruente con las unidades de campo eléctrico, V/m. En términos de vectores uni-

tarios, se escribe como

En notación vectorial, la siguiente operación se llama gradiente de la función f:

El operador denotado por el símbolo se llama “grad” o “del”. Así, en notación vectorial,

Esto se lee: “ es el negativo del gradiente de V” o “ es igual al gradiente negativo de V”. La

cantidad se llama gradiente de potencial.

En cada punto, el gradiente de potencial señala en la dirección en que V se incrementa con

más rapidez con un cambio de posición. De esta forma, en cada punto la dirección de E es la

dirección en que V disminuye más rápido y siempre es perpendicular a la superficie equipo-

tencial que pasa a través del punto

Si es radial con respecto a un punto o un eje, y r es la distancia del punto o eje, la relación

correspondiente a las ecuaciones es

Física III -14

Superficies equipotenciales

ctezyxV ),,(

V0

V1V2

VN

0|||| ii VVrVrE

ij

ij

VV

VVrVrE

0)(

Vectores campo eléctrico

• El potencial es constante en todos sus puntos :.

• El vector gradiente es ortogonal

a S.

• El gradiente va de menores a

mayores valores de V .

Física III -14

Ejemplo 7 - Potencial y campo de una carga puntual

De la ecuación

el potencial a una distancia radial r de una carga puntual q . Encuentre el campo eléctrico vectorial

a partir de esta expresión para V.

SOLUCIÓN

Un enfoque alternativo es ignorar la simetría radial, escribir la distancia radial como

tomar las derivadas de V con respecto a x, y y z, como en la ecuación

Se obtiene

Física III -14

y de manera similar,

De la ecuación para E, el campo eléctrico es

Este enfoque produce la misma respuesta, pero con un poco más de esfuerzo.

Como resulta evidente, es mejor aprovechar la simetría de la distribución de carga

siempre que sea posible.

Física III -14

FLUJO ELECTRICO

¿Cómo se podría medir la carga dentro de una caja sin abrirla?

Física III -13

Concepto de flujo del campo eléctrico

Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S,

se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E·S

El vector superficie es un vector que tiene:

a) por módulo el área de dicha superficie

b) la dirección es perpendicular al plano que la

contiene

• el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero

• E es variable en S se puede escribir:

Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ

SdE

.

Cuando

Calculo de Flujo Eléctrico

Física III -13

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Fue

matemático,astrónomo y físico alemán que

contribuyó significativamente en muchos

campos, incluida la teoría de números,

el análisis matemático, la geometría di-

ferencial, la geodesia, el magnetismo y

la óptica.

Considerado

"el príncipe de las matemáticas" y "el mate-

mático más grande desde la antigüedad“.

Gauss ha tenido una influencia notable en

muchos campos de la matemática y de la

ciencia, y es considerado uno de los ma-

temáticos que más influencia ha tenido en la

Historia.

Ley de Gauss

El teorema de Gauss afirma que :

• El flujo del campo eléctrico a través de una

superficie cerrada :

es igual

• al cociente entre la carga que hay en el

interior de dicha superficie dividido en

ε0, es decir : Qenc / ε0 .

SE

SdE

.

0

.

enc

S

QSdE

Fig. Esquema para el uso del teorema de Gauss

Ley de Gauss

Física III - 13

Forma general de la ley de Gauss

Suponga que la superficie encierra no sólo una carga puntual q, sino varias cargas, q1, q2, q3, … .

El campo eléctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial de los campos Ei

de las cargas individuales.

Sea Qenc la carga total encerrada por la superficie Qenc = q1 + q2 + q3 + … .

Se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:

El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total

(neta) dentro de la superficie, dividida entre ε0

CUIDADO

Las superficies gaussianas son imaginarias Recuerde que la superficie cerrada a que se refiere

la ley de Gauss es imaginaria; no es necesario que haya un objeto material en la posición de la

superficie. A menudo se hace referencia a la superficie cerrada que se menciona en la ley de

Gauss como superficie gaussiana.

Aplicación de la ley de Gauss para el cálculo de E

Encontrar el flujo eléctrico neto a través de la

superficie

Si: q1 = q4 = +3.1 nC,

q2 = q5 = -5.9 nC,

y q3 = -3.1 nC

CmNqqqqenc /670 2

0

321

0

Física III - 13

ε0 = 8,854187817 10-12 F m-1

Superficies esfericas Gaussianas

a) Carga puntual positiva

b) Flujo Positivo

b) Carga puntual negativa

Flujo Negativo

¿Cuanto Vale ?

Fisica III - 13

La figura muestra el campo producido por dos cargas puntuales +q y -q de igual magnitud y signos

opuestos (un dipolo eléctrico). Determine el flujo eléctrico a través de cada una de las superficies

cerradas, A, B, C y D.

Investigue

Campo eléctrico de una carga puntual

Física III -13

Superficie Gaussiana

Física III -13

Ejemplo 4. Campo de un alambre cargado infinito

El teorema de Gauss afirma que :

• El flujo del campo eléctrico a través de una

superficie cerrada :

es igual

• al cociente entre la carga que hay en el

interior de dicha superficie dividido en

ε0, es decir : q / ε0 .

SE

SdE

.

0

.enc

S

qSdE

Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss

Ley de Gauss

Física III -13

1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter-

minar la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es radial y perpendicular a la

línea cargada

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el

flujo

Pasos a seguir para el cálculo de E

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio

r y longitud L.

• Flujo a través de las bases del cilindro:

el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro:

el campo E es paralelo al vector superficie dS y es constante en todos

los puntos de la superficie lateral,

El flujo total es: E 2π r L S SS

LrEdSEdSEdSE 20cos.

Física III -13

3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la

carga por unidad de longitud.

4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

Conclusión

El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

0

2

LLrE

rE

02

Fisica III -13

Ejemplo 5. Campo eléctrico de una distribución esférica y unifor-

me de carga

El teorema de Gauss afirma :

0

.

qSdE

S

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss

requiere los siguientes pasos:

1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter-

minar la dirección del campo eléctrico.

La distribución de carga tiene simetría esférica, la

dirección del campo es radial.

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el

flujo

Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.

Fig. 12 Geometría para usar Gauss

El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y el campo es constante en to-

dos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:

El flujo total es : E 4π r 2 S S S

rEdSEdSESdE 240cos.

Fisica III -13


Para r < R. (figura de la izquierda)

Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uni-

formemente cargada, la carga que hay en el interior de la su-

perficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en

color naranja), que se calcula multiplicando la densidad de

carga por el volumen de la esfera de radio r.

Fig.13 Superficies

de Gauss usadas.

Para r > R ( figura de la derecha)

Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera unifor-

memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie

esférica de radio r es la carga total

q = Q

3

3

R

rQq

Física III -13


se obtiene

El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expre-

sión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro para

r > R .

Concluímos

0

24

q

rE )(

4 3

0

RrR

rQE

)(4 2

0

Rrr

QE

r = R r

E)(

4 3

0

RrR

rQE

)(4 2

0

Rrr

QE

Física III -13

Conductores

Localización del exceso de carga en un conductor

Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga

se pueden mover libremente por el interior del mismo.

Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo,

la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos inte-

riores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas

se moverían originando una corriente eléctrica.

Dentro de un conductor de forma

arbitraria se traza una superficie

cerrada S:

Fig. 15 Conductor• El campo eléctrico E = 0 en todos los puntos de dicha

superficie.

• El flujo a través de la superficie cerrada S es cero.

* La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula.

Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos

que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta

deberá situarse en la superficie del conductor.

S

SdE 0.

CONCLUSION

Prueba experimental de la ley de Gauss

Se monta un recipiente conductor, como una olla de metal con tapa, sobre una base aislante.

Al principio el recipiente no tiene carga. Después se cuelga una esfera metálica con carga de un

cordel aislante (figura a), se hace descender hacia el interior del recipiente, y se coloca la tapa

(figura b). Se inducen cargas sobre las paredes del recipiente, como se ilustra.

Luego se deja que la esfera toque la pared interior (figura c). La superficie de la esfera se convier-

te, en efecto, en parte de la superficie de la cavidad. La situación es ahora la misma que la de la

figura b; si la ley de Gauss es correcta, la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser

igual a cero. Es decir, la esfera debe perder toda su carga. Por último, se extrae la esfera para

consta-tar que en verdad ha perdido toda su carga.

Este experimento lo realizó en el siglo XIX el científico inglés Michael Faraday empleando una

hielera de metal con tapa, y se conoce como el experimento de la hielera de Faraday.

Física III -13

Ejemplo 6. Campo producido por un conductor esférico de cargado

El teorema de Gauss afirma que:0

.

qSdE

S

Consideremos una esfera metálica

de radio R cargada con una carga Q.

1.-A partir de la simetría de la distribu-

ción de carga, determinar la dirección

del campo eléctrico.

La distribución de carga tiene sime-

tría esférica luego, la dirección del

campo es radial

2.-Elegir una superficie cerrada apro-

piada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada,

una esfera de radio r.

El campo E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos

de la superficie esférica por lo que,

Fig. 21 Esfera metálica

El flujo total es : E·4π r2

Física III -13


• r < R

No hay carga en el interior de la

esfera de radio r < R, q = 0

• r > R

Si estamos calculando el campo en

el exterior de la esfera cargada, la

carga que hay en el interior de la

superficie esférica de radio r es la

carga total q = Q.


En la fig. 22, se muestra la represen-

tación del módulo del campo eléctri-

co E en función de la distancia ra-

dial r.Fig.22 Gráfico E = E (r)

Ejemplo 7 . Campo creado por una placa plana infinita, cargada

Para una placa indefinida cargada, la aplicación del

teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

1.- A partir de la simetría de la distribución de

carga, determinar la dirección del campo

eléctrico.

La dirección del campo es perpendicular a la placa

cargada, hacia afuera si la carga es positiva y ha-cia

la placa si la carga es negativa.

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para

calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base A, cuya

generatriz es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos

contribuciones

* Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos.

E·A1 + E·A2 = 2 E A cos0º = 2 E A

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector

superficie dS, el flujo es cero. El flujo total es por tanto; 2 E A

Física III - 13


La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la

superficie cerrada vale :

q = σ A

donde σ es la carga por unidad de superficie

4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del

campo eléctrico

El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es

perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias próximas

a una placa en comparación con sus dimensiones.

Física III - 13

2 E A = σ A / ε0 E = σ / 2 ε0

El mismo principio que subyace en el experimento de la hielera de Faraday es el que se utiliza en

el generador electrostático de Van de Graaff (figura b). La esfera conductora con carga de la (fi-

gura a) se remplaza por una banda con carga que lleva carga de manera continua al interior de

un casco conductor, sólo para que sea transportada a la superficie externa del casco. Como re-

sultado, la carga en el casco y el campo eléctrico que lo rodea se hacen muy grandes con mucha

rapidez. El generador Van de Graaff se utiliza como acelerador de partículas con carga y para

demostraciones de física.

Fig. a La coraza esférica se carga y des-

carga en forma alternada con la fuente de

energía. Si hubiera algún flujo de carga en-

tre las esferas interna y externa, sería de-

tectado por el electrómetro dentro de la co-

raza interior.

Fig. b Corte transversal

de las partes esenciales

de un generador electros-

tático Van de Graaff. El

sumidero de electrones en

la parte inferior los retira

de la banda, lo que da

a ésta una carga positiva;

en la parte superior, la

banda atrae electrones de

la coraza conductora y le

imparte una carga positiva

Generador electrostático de Van de Graaff

Bibliografía

- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.

- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill.

- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA.

- Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté.

- Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill.

- Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.

Física III -14

Apéndice

Un dipolo eléctrico consiste en un par de cargas eléctricas de igual magnitud q pero signo

contrario, separadas por una distancia d.

Por definición,

- El momento dipolar eléctrico p tiene magnitud p = qd.

- La dirección de p va de la carga negativa a la carga positiva.

Un dipolo eléctrico es un campo eléctrico E que experimenta un par de torsión τ igual al producto

vectorial de p y E.

La magnitud del par de torsión depende del ángulo Φ entre p y E.

La energía potencial U, para un dipolo eléctrico en un campo eléctrico también depende de la

orientación relativa de p y E.

Dipolos eléctricos

Campo eléctrico de la Tierra

La Tierra (un conductor) tiene una carga eléctrica neta. El campo eléctrico resultante cerca de la

superficie puede medirse con instrumentos electrónicos sensibles; su valor medio es de alrededor

de 150 N/C, dirigido hacia el centro de la Tierra. a) ¿Cuál es la densidad superficial de carga co-

rrespondiente? b) ¿Cuál es la carga superficial total de la Tierra?

SOLUCIÓN

Dado el campo eléctrico perpendicular, se determina la densidad superficial

de carga σ con la (ecuación a)

a) De la dirección del campo se sabe que s es negativa (lo que corresponde a dirigido hacia la

superficie, por lo que es negativa). De la (ecuación a)

b) El área de la superficie de la Tierra es 4πRE 2 donde RE = 6.38 x 106 m es el radio terrestre.

La carga total Q es el producto 4πRE 2 σ

Clase3 Campo Eléctrico

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