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METODOS NUMERICOS

CICLO 2015-3

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Clase 1: Medida de Errores

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¿Por qué medir los errores ?

1) Para determinar la exactitud de los

resultados numéricos.

2) Desarrollar criterios de parada para los

algoritmos iterativos .

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Error Real

Se define como la diferencia entre el valor realen un cálculo y el valor aproximado encontrado

usando un método numérico , etc.

Error Real= Valor Real – Valor Aproximado

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Ejemplo — Error Real

La derivada,   )( x f   de una función )( x f   puede seraproximada por la ecuación:

h

 x f  h x f  

 x f  

  )()(

)('

Si  xe x f     5.07)( y 3.0h

a) Hallar la aproximación del valor de )2(' f  

b) El valor real de   )2(' f  

c) El error real de (a)

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Ejemplo

Solución:

a) Para   2 x y   3.0h

3.0

)2()3.02()2('

  f   f   f  

3.0

)2()3.2(   f   f  

3.0

77   )2(5.0)3.2(5.0 ee

3.0

028.19107.22263.10

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Ejemplo

Solución:

b) El valor exacto de   )2(' f   puede ser aproximado

 x

e x f    5.0

7)( xe x f     5.05.07)('

 xe   5.05.3

)2(5.05.3)2('   e f  

 Así, el valor real de   )2(' f   es

5140.9

El error real es calculado como:t  E   Valor real – Valor aproximado

722.0263.105140.9

usando el cálculo diferencial

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Error Real Relativo

Definido como la razón entre el el errorreal y el valor real.

Error Real Relativo (   t ) =Error Real

 Valor Real

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Ejemplo — Error Real Relativo

Continuando el ejemplo anterior de error real,hallar el error real relativo de   xe x f     5.07)( para   )2(' f  

con   3.0h

722.0t  E 

Del ejemplo anterior,

RealValor

RealErrort 

El Error Real Relativo es definido como:

5140.9

722.0075888.0

como porcentaje,%100075888.0t    %5888.7

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Error Aproximado

¿Qué se puede hacer si no se conocen los valores verdaderoso son muy difíciles de obtener ?

El Error aproximado se define como la diferencia entre laaproximación presente y la aproximación anterior.

Error Aproximado (   a E  ) = Aproximación Presente – Aproximación Previa

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Ejemplo de Error Aproximado

Para  xe x f     5.07)( evaluado en 2 x hallar lo siguiente,

a) )2( f   usando   3.0h

b)   )2( f   usando   15.0hc) el error aproximado para el valor de   )2( f   en b)

Solución:

a) Para

h

 x f  h x f   x f     )()()('

2 x y   3.0h

3.0

)2()3.02()2('

  f   f   f  

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Ejemplo

3.0

)2()3.2(   f   f  

Solución: (cont.)

3.0

77   )2(5.0)3.2(5.0 ee

3.0

028.19107.22263.10

b) Para 2 x y   15.0h

15.0

)2()15.02()2('

  f   f   f  

15.0

)2()15.2(   f   f  

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Ejemplo

Solución: (cont.)

15.0

77   )2(5.0)15.2(5.0 ee

15.0

028.1950.208800.9

c) El error aproximado   a E  es a E   Aproximación Presente – Aproximación Previa

263.108800.9

38300.0

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Error Relativo Aproximado

Definido como la razón entre el erroraproximado y la aproximación presente.

Error Relativo Aproximado (Error Aproximado

 Aproximación Presentea) =

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Ejemplo de Error Relativo Aproximado

Para  xe x f     5.07)( en   2 x , encontrar el error relativo

aproximado usando : 3.0h y   15.0h

Solución:Del ejemplo 3, el valor aproximado de   263.10)2( f  

usando   3.0h y   8800.9)2( f   usando   15.0h

 a E   Aproximación Presente – Aproximación Previa

263.108800.9

38300.0

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Ejemplo

Solución: (cont.)

a

Error Aproximativo

 Aproximación Presente

8800.9

38300.0038765.0

Como porcentaje,

%8765.3%100038765.0a

El error aproximado relativo absoluto es,

|038765.0|a%8765.3or 038765.0

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Cómo es un error relativo absoluto

utilizado el criterio de parada?

Si   sa  || donde   s es una tolerancia pre-especificada,

Si al menos m  digitos significativos son requeridospara que la respuesta final sea correcta entonces,

%105.0||

  2   m

a

No se precisa más iteraciones son y el proceso

se detiene.

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Tabla de Valores

Para   xe x f     5.07)( con   2 x y diferentes tamaños de paso   h

0.3 10.263 N/A 0

0.15 9.8800 3.877% 1

0.10 9.7558 1.273% 1

0.01 9.5378 2.285% 1

0.001 9.5164 0.2249% 2

h   )2( f     a   m

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Clase 1: Fuentes de Error

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Error de Redondeo

Generada por representar un númeroaproximadamente:

333333.031

...4142.12

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Efecto de arrastrar dígitos significativos

en los cálculos

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Encuentrar la contracción en el

diámetro

dT T  D Dc

a

T 

T 

)(

Ta=80oF; Tc=-108

oF; D=12.363” 

α = a0+ a1T + a2T 2

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Error de Truncamiento

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Ejemplo de Error de truncamiento

El uso de un incremento finito   x para aproximar   )( x f 

 x

 x f  x x f  x f 

  )()()(

 P 

Q

 secant line

tangent line

Derivada aproximada

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Ejemplo 1  — Series de Maclaurin

Calcular el valor de   2.1e con un error relativo absolutode menos del 1%.

...................!3

2.1

!2

2.12.11

322.1

e

n 

1 1 __ ___  

2 2.2 1.2 54.545

3 2.92 0.72 24.658

4 3.208 0.288 8.9776

5 3.2944 0.0864 2.6226

6 3.3151 0.020736 0.62550

a E    %a

2.1e

Se requieren 6 términos. ¿Cuántos son necesarios para conseguir al menos1 dígito significativo correcto en su respuesta?

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Ejemplo 2  — Diferenciación

1.0 x

Encontrar   )3( f  para 2)(   x x f  usando x

 x f  x x f  x f 

  )()()(

y   2.0 x

2.0

)3()2.03()3(

'   f  f  f 

2.0

)3()2.3(   f  f 

2.0

32.3   22

2.0

924.10

2.0

24.12.6

El valor actual es:,2)('  x x f    632)3(' f 

El error de truncamiento es;   2.02.66Nota: Encontrar el error de truncamiento

con

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Examplo 3  —  Integración

9

3

2dx x

Use dos rectángulos de igual anchura paraaproximar el área bajo la curva para

2

)(   x x f  en el intervalo  ]9,3[

 y = x2

0

30

60

90

0 3 6 9 12

 x

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Ejemplo de integración (cont.)

)69()()36()(6

2

3

2

9

3

2

 x x x xdx x

3)6(3)3(   22

13510827

La elección de un ancho de 3 genera

El valor real está dada por9

3

2

dx x

9

3

3

3

 x2343

39   33

El error de truncamiento es entonces99135234

Nota: Calcular el error con 4 rectángulos

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Clase 1: Propagación de Errores

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Propagación de Errores

En los métodos numéricos , los cálculos no sehacen con números exactos . ¿Cómo se propagan

estas imprecisiones a través de los cálculos?

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Ejemplo 1:Encuentra los límites para la propagación en la adición de dos números. Porejemplo si uno está calculando X +Y donde

 X = 1.5 0.05Y = 3.4 0.04

Solución

Máximo valor posible de X 

= 1.55 andY 

= 3.44

Máximo valor posible de  X + Y = 1.55 + 3.44 = 4.99

Mínimo valor posible de X = 1.45 and Y = 3.36.

Mínimo valor posible de X + Y = 1.45 + 3.36 = 4.81

Entonces4.81 ≤ X + Y ≤4.99.

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Propagación de errores en las fórmulas

 f     nn   X  X  X  X  X    ,,.......,,, 1321 f  

n

n

n

n

 X  X 

 f   X 

 X 

 f   X 

 X 

 f   X 

 X 

 f   f   1

1

2

2

1

1

.......

Si es una función de varias variablesentonces el valor máximo posible del error en es

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Ejemplo 2:

La fórmula de un cierto calculo esta dada por:

Donde

Encuentrar el error máximo posible para

 E h

 F 2

 N9.072 F mm1.04h

GPa5.170 E 

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Ejemplo 2:

)1070()104(

72923

610286.64

286.64

 E  E 

hh

 F  F 

Solución

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Ejemplo 2: E h F    21

 E h

 F 

h   32

22 E h

 F 

 E 

 E  E h F h

 E h F  F 

 E h E  2232 21

92923

933923

105.1)1070()104(

72

0001.0)1070()104(

7229.0

)1070()104(

1

3955.5

Por lo tanto

)3955.5286.64(

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Ejemplo 3:

La resta de números que son casi iguales puede crear imprecisiones nodeseadas. Utilizando la fórmula para la propagación de errores , muestrarque esto es cierto.Solución

Sea

Entonces

 Así que el cambio relativo es

 y x z 

 y y

 z  x

 x

 z  z 

 y x   )1()1(

 y x

 y x

 y x

 z 

 z 

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Ejemplo 3

Por ejemplo si:

001.02 x

001.0003.2 y

|003.22|

001.0001.0

 z 

 z 

= 0.6667

= 66.67%