Cap. IV. FlexinTENSIONES EN LA BARRA SOMETIDA A FLEXIN PURAAnalicemos el caso ms simple de flexin, la flexin pura. Como se indico ya, se entiende por flexin pura el caso de solicitacin de que en las secciones transversales de la barra aparecen solamente momentos flectores, siendo Q = 0. En los tramos de la barra donde se cumple esta condicin, el momento flector, segunda la segunda expresin de (4.1), permanece constante (). La flexin pura puede surgir para diversas cargas exteriores. Algunos ejemplos caractersticos se dan en la figura 130.

Prescindiendo de las particularidades de aplicacin de las fuerzas exteriores y de las particularidades de los apoyos, analicemos solamente el tramo donde y . En los extremos de este tramo actan solamente los momentos M (fig. 131, a).Debido a la accin de los momentos M la viga se flexiona. Como en todas las secciones aparece el mismo momento flector, en el caso de una barra homognea, la variacin de la curvatura en todos los tramos ser la misma. Es decir, en el caso de la flexin pura el eje de la barra homognea adquiere la forma del arco de una circunferencia.Es fcil observar que el conjunto de puntos que, antes de la flexin, se encontraba en el plano de la seccin transversal de la barra, formara despus de la flexin tambin un plano, pero desplazado en el espacio. En efecto, veamos la seccin transversal media AA (fig. 131, a). De la condicin de simetra se deduce que los puntos de esta seccin no pueden tener desplazamientos preferibles ni hacia la derecha ni hacia la izquierda, puesto que las dos partes se encuentran en las mismas condiciones. Es decir que esta seccin permanece plana.Dividiendo la barra en dos partes iguales mediante la seccin AA, obtendremos dos tramos de longitud dos veces menor que se encuentran en las mismas condiciones que todo el tramo de la barra (fig. 131, b). Los razonamientos anteriores se pueden repetir para cada uno de los tramos obtenidos (fig. 131, c), lo que demuestra que las secciones medias de estos tramos tambin permanecen planas.Este proceso de divisin se puede continuar. As se demuestra que en las proximidades de cualquier seccin fijada previamente existen cuantas se quiera secciones para las cuales se cumple la condicin de las secciones planas expresada anteriormente. De hecho, esto demuestra que, en general, todas las secciones de la barra homognea, en la flexin pura, no alabean, sino que solamente giran.

Las deformaciones que acompaan a la flexin pura, se pueden considerar como el resultado del giro mutuo de las secciones transversales planas (fig. 132). Analicemos dos secciones contiguas a la distancia una de la otra (fig. 133) y consideremos convencionalmente que la seccin de la izquierda es inmvil. Entonces, como resultado del giro de la seccin de la derecha en un ngulo , las fibras superiores se alargaran y las inferiores se acortaran. Existe, claro est, una capa donde no existen alargamientos. Denominemos esta capa neutra y la representamos por el segmento CD. Como resultado del giro de las secciones la variacin de la curvatura de la capa neutra ser,

El segmento arbitrario (fig. 133) recibir el incremento . Como las secciones permanecen planas,

Siendo , la distancia desde el segmento AB que se analiza, hasta la capa neutra CD. La posicin de esta ltima es por ahora desconocida.El alargamiento unitario de la capa AB ser, (4.2)Y segn la ley de Hooke, (4.3)As pues, en la flexin pura, las tensiones en la seccin transversal varan linealmente. El lugar geomtrico de los puntos de la seccin que cumplen la condicin se denomina lnea neutra de la seccin. La lnea neutra es, claro est, perpendicular al plano de la curvatura de la barra flexionada. Hallemos ahora la relacin que existe entre la tensin y los factores de fuerza interiores que aparecen en la seccin transversal de la barra en la flexin pura.

La suma de las fuerzas elementales (fig. 134) es iguala a la fuerza normal N en la seccin, pero como en la flexin pura N=0, obtendremos,

O de acuerdo con (4.3)

Es decir,

Esta integral representa el momento esttico de la seccin respecto a la lnea neutra, ya conocido por nosotros en el capitulo anterior.Como este momento es igual a cero, la lnea neutra pasara por el centro de gravedad de la seccin. As pues, la coordenada y en las expresiones (4.2) y (4.3) queda bien definida y se mide desde el eje central perpendicular al plano de la curvatura. De la misma manera queda determinada la curvatura como la curvatura de la capa neutra o como la curvatura del eje de la barra.Ubiquemos definitivamente el sistema de ejes x, y, z fijado a la seccin (fig. 134). El origen del sistema de coordenadas 0 lo situamos en el centro de gravedad de la seccin. El eje z lo orientamos segn la normal a la seccin y el eje x lo hacemos coincidir con la lnea neutra. El eje y es perpendicular al eje x, y se encuentra, pues, en el plano de la variacin de la curvatura. Este sistema constituye lo que se denomina sistema mvil de ejes cuya posicin en el espacio vara de una seccin a otra.El momento flector en la seccin transversal de la barra, al igual que la fuerza normal, se puede expresar de manera integral por las tensiones , es decir,

Observemos que, en el caso general, el plano del momento flector en la seccin no coincide con el plano (fig. 134). Es decir, la variacin de la curvatura de la barra no ocurre obligatoriamente en el plano del momento flector. Este caso general de flexin lo analizaremos posteriormente, limitndonos, por ahora, al caso particular ms simple de que coinciden los planos del momento y de la curvatura.Teniendo esto en cuenta, resulta que el momento de las fuerzas elementales respecto al eje y es igual a cero y el momento de estas fuerzas respecto al eje x es igual al momento flector M. obtenemos pues,

De la primera expresin se obtiene,

Lo que quiere decir que la variacin de la curvatura ocurre en el plano del momento, si este ultimo pasa por uno del os ejes principales de la seccin. Esta flexin se denomina flexin recta. En el caso general, cuando el plano del momento flector no coincide con el eje principal de la seccin se obtiene la flexin desviada.De la expresin (4.4) hallamos la relacin entre la curvatura de la barra y el momento flector,

Siendo , el momento de inercia de la seccin respecto al eje central principal perpendicular al plano del momento flector. , se denomina rigidez de la barra a la flexin. Como en el caso de la torsin, esta magnitud es proporcional a la cuarta potencia de las dimensiones lineales de la seccin cuando estos varan proporcionalmente.Volviendo a la formula (4.3) y eliminando de ella la curvatura , obtendremos para la tensin ,

La tensin mxima en la flexin aparece en los puntos ms alejados de la lnea neutra (fig. 135),

La fraccin se denomina modulo de la seccin en la flexin y se designa por ,

As pues,

Esta frmula es bsica para el clculo de la resistencia de una barra a la flexin.

En el caso de una barra de seccin rectangular de lados b y h,

En el caso de una seccin circular,

As pues, las tensiones en la flexin son inversamente proporcionales a la tercera potencia de las dimensiones lineales de la seccin.Las formas ms econmicas de las secciones transversales son aquellas con las que, con un gasto mnimo de material, se obtiene el valor mximo posible del modulo de la seccin . Para que la forma de la seccin sea racional es necesario ubicar el rea de la seccin lo ms alejado posible de la lnea neutra. As surgieron los perfiles de paredes delgadas de seccin doble T y canal de la figura 136. En el caso de la flexin en el plano vertical, estos perfiles son muy ventajosos en comparacin con otras formas de las secciones transversales.El modulo de la seccin de los perfiles tpicos est determinado para todos ellos y figura en las tablas correspondientes. Por eso, al calcular la resistencia de una barra no es necesario realizar clculos complejos para la determinacin de los momentos de inercia y los mdulos de la seccin. Al final de este libro se dan las tablas de los perfiles tpicos. Aparte de los perfiles indicados en las tablas, existen tambin otros perfiles que se emplean, por ejemplo, en la construccin de aviones y que se dan en surtidos especiales. La energa de las deformaciones elsticas de la barra en la flexin se determina por el trabajo del momento M en el desplazamiento angular mutuo de las dos secciones (fig. 137),

Como

Obtendremos,

Al deducir las formulas para la flexin pura de una barra recta no se admiti ninguna suposicin arbitraria y, por lo tanto, la solucin obtenida, en este sentido, se puede considerar exacta. Sin embargo, se debe tener en cuenta que en el problema que se analiza no se concretiza el carcter de la distribucin de las fuerzas exteriores. Se considera solamente que en todos los casos estas fuerzas se reducen a momentos resultantes aplicados en los extremos de la barra. La solucin resultara exacta solamente en el caso en que las fuerzas exteriores en los extremos se distribuyen linealmente como en todas las secciones transversales. Prcticamente, esta condicin, claro est, nunca se cumple y en las proximidades de los extremos las leyes de distribucin de las tensiones estn lejos de ser iguales a las que se deducen de la flexin pura. Sin embargo, de acuerdo con el principio de Saint Venant se puede prescindir de la zona de los extremos como se indica, por ejemplo, en la figura 138.

Entonces en la parte central de la barra todas las formulas deducidas anteriormente sern vlidas y podrn considerarse exactas.Veamos algunos ejemplos elementales de determinacin de las tensiones en la barra sometida a flexin pura.Ejemplo 4.1. Encontrar la posicin ms favorable de la viga de seccin transversal cuadrada, en la flexin. Analizar dos posiciones de ella, en una el plano del momento flector es paralelo a los lados del cuadrado y en la otra coincide con su diagonal (fig. 139),

Para dar respuesta a esta pregunta es necesario calcular los mdulos de la seccin en los dos casos. En el primero, segn (4.9),

Y en el segundo

Obteniendo

As pues, el primer caso result ms ventajoso. En l, el mdulo de la seccin resulto ser aproximadamente un 40% mayor.Ejemplo 4.2. Determinar la economa de metal que se obtiene si en la estructura que trabaja a flexin se emplea, en lugar de la seccin circular maciza, la seccin hueca para la cual (fig. 140), si las condiciones de trabajo son las mismas.El modulo de la seccin, en caso de la seccin circular maciza, se determina por la formula (4.10),

En el caso de la seccin hueca se determina por la diferencia de los momentos de inercia de los dos crculos, dividida por , es decir,

De la condicin de igualdad de resistencia,

El gasto de material es proporcional al rea de la seccin,

El porcentaje de economa del material se determina por la diferencia de las reas referida al rea del crculo macizo, es decir,

O sea.

Ejemplo 4.3. En la figura 141 est representado un voladizo solicitado por dos fuerzas P. La seccin de la viga es de forma T y el material de la viga, hierro fundido. Se trata de hallar la posicin ms racional de esta viga, con el ala arriba (variante a) o con el ala abajo (variante b).

Puesto que el punto A esta mas lejos del centro de gravedad de la seccin que el punto B, la tensin en el primero ser siempre mayor, en valor absoluto, que en el segundo. Cuando las fuerzas P se orientan segn se indica, las fibras comprimidas sern las de abajo. Como el hierro fundido trabaja a compresin mejor que a traccin, conviene situar el punto A en la zona de abajo, es decir, que la seccin debe colocarse con el ala en la parte superior lo que indica que es preferible la variante a.Ejemplo 4.4. Calclese la seccin doble T de la viga de dos apoyos (fig. 142), garantizando un coeficiente de seguridad igual a dos, si , y El momento flector mximo aparece en el tramo de la flexin pura y es igual a . La tensin no deber superar la mitad de . Por lo tanto,

De donde se obtiene,

De la tabla del surtido de perfiles laminados (vase el apndice del libro) escogemos el perfil doble T N18 para el cual,

Ejemplo 4.5. Un alambre de dimetro d se enrolla en un tambor de dimetro D. determinar la tensin originada, por la flexin, que aparece en las secciones transversales del alambre, si .La curvatura de alambre enrollado es,

Sin determinar el momento flector, por la formula (4.3), se obtiene directamente,

Es decir, que cuando la curvatura es constante, la tensin crece proporcionalmente al dimetro del alambre.

TENSIONES EN EL CASO DE FLEXIN TRANSVERSALHemos visto que durante la flexin pura, en las secciones transversales de la barra surgen solamente tensiones normales. Las fuerzas interiores correspondientes se reducen a un momento flector que acta en la seccin. En el caso de la flexin transversal, en la seccin de la barra, surge no solo el momento flector, sino tambin la fuerza cortante Q, que constituye la resultante de las fuerzas elementales distribuidas en el plano de la seccin (fig. 143.). Por lo tanto, en este caso, en las secciones transversales de la barra surgen no solamente tensiones normales, sino tambin tangenciales.Las tensiones tangenciales van acompaadas de deformaciones angulares . Por lo tanto, aparte de los desplazamientos fundamentales, propios de la flexin pura, cada rea elemental de la seccin recibe tambin ciertos desplazamientos angulares elementales adicionales originados por el deslizamiento. Las tensiones tangenciales se distribuyen en la seccin de manera no uniforme, es decir, que los desplazamientos angulares tampoco se distribuyen de manera uniforme. As pues, en la flexin transversal, a diferencia de la flexin pura, las secciones transversales de la barra no permanecen ya planas.En la figura 144 est representado el cuadro tpico de alabeo de las secciones transversales de la barra.Sin embargo, este alabeo del plano de las secciones transversales no influye sensiblemente sobre el valor de las tensiones normales.

En el caso particular cuando la fuerza cortante Q no vara a lo largo de la barra, las formulas (4.6) y (4.8),

Que fueron obtenidas para el caso de flexin pura, en el caso de la flexin transversal son absolutamente exactas. En efecto, cuando , el alabeo de todas las secciones resulta ser igual (fig. 145) y, por lo tanto, durante el giro mutuo de dos secciones contiguas el alargamiento de la fibra longitudinal ser el mismo, independientemente de que la seccin permanezca plana o no.Cuando la fuerza cortante varia a lo largo del eje de la barra, las formulas de la flexin pura conducen a cierto error en el valor de . Mediante un anlisis no complicado, se puede demostrar que la magnitud de dicho error es del orden de en comparacin con la unidad, siendo, la dimensin de la seccin transversal en el plano del a flexin y , la longitud de la barra. Segn la definicin dada en el subcaptulo 2, la barra se caracteriza por el hecho de que las dimensiones de su seccin transversal son muy inferiores a la longitud. Por lo tanto, la magnitud de es relativamente pequea, resultando pequeo tambin el error indicado.Lo expuesto nos permite admitir la hiptesis de las secciones planas. En adelante, consideraremos que el conjunto de puntos que forman el plano de la seccin transversal antes de la flexin, forma tambin un plano despus de la flexin, pero girado en el espacio. Esta suposicin es admisible en la medida en que las deformaciones angulares de la seccin se pueden considerar sensiblemente inferiores que los desplazamientos angulares originados por la variacin de la curvatura de la barra.La segunda particularidad de la flexin transversal consiste en la existencia de tensiones normales en las secciones longitudinales de la barra, es decir, de tensiones que presionan las capas de la viga. Estas tensiones surgen solamente cuando la fuerza cortante es variable, y tienen una magnitud muy pequea (las zonas especiales donde se aplican las fuerzas concentradas no se analizan).As pues, dentro de los lmites fijados por estas suposiciones, las formulas (4.6) y (4.8) para la determinacin de las tensiones normales, son aplicables no solamente en la flexin pura, sino tambin en la flexin transversal. En la misma medida es aplicable tambin la formula (4.5) que nos da la relacin existente entre la curvatura de la barra y el momento flector.Calculemos ahora aproximadamente la magnitud de las tensiones tangenciales en la flexin transversal. La manera ms fcil de obtenerlas consiste en determinar las tensiones tangenciales reciprocas a estas que aparecen en los planos longitudinales de la barra.

Separemos de la barra un elemento de longitud (fig. 146, a). En la flexin transversal, los momentos que aparecen en las secciones derecha e izquierda del elemento no son iguales, sino que se diferencian en la magnitud . Con una seccin horizontal longitudinal, trazada a la distancia de la capa neutra (fig. 146, b), dividimos el elemento en dos partes y analizamos las condiciones de equilibrio de la parte superior. La resultante de las fuerzas normales en la seccin izquierda correspondiente a la zona rayada F* es,

*) Las zonas especiales donde se aplican las fuerzas concentradas no se analizan.O de acuerdo a (4.6),

Siendo , a diferencia de , la ordenada variable del rea elemental (fig. 146, b). Esta integral representa el momento esttico respecto al eje de la parte del rea que se encuentra por encima de la seccin longitudinal (superior al nivel de ). Designando este momento esttico por , obtendremos

La fuerza que se desarrolla en la seccin derecha ser ya diferente,

La diferencia entre estas fuerzas

Deber equilibrarse por las fuerzas tangenciales que aparecen en la seccin longitudinal del elemento (fig. 146, b y c).Admitimos como primera aproximacin que las tensiones tangenciales se distribuyen uniformemente a lo ancho de la seccin. Entonces,

De donde se obtiene

Esta frmula se denomina frmula de Zhuravski, cientfico ruso del siglo pasado que, por primera vez, investig en forma general las tensiones tangenciales en la flexin transversal.La expresin obtenida permite calcular la magnitud de las tensiones tangenciales que aparecen en las secciones longitudinales de la barra. Las tensiones que surgen en las secciones transversales son iguales a ellas por ser reciprocas. La relacin entre e dentro de la seccin transversal se determina por el momento esttico . Al acercarnos al borde superior de la seccin, el rea de la parte rayada de la seccin (fig. 146, b) disminuye hasta convertirse en cero. Aqu, por lo tanto . Cuando nos acercamos al borde inferior, la parte rayada ocupar ya toda la seccin , puesto que el eje es central, aqu tambin . As pues, como se deduce de la formula (4.12), las tensiones tangenciales en los puntos superior e inferior de la seccin son iguales a cero.En el caso de una barra de seccin rectangular de lados y (fig. 147, a) tendremos,

Y, por lo tanto,

Resultando que el diagrama de las tensiones tangenciales varia, en la altura de la seccin, segn una parbola cuadrtica. La tensin mxima ocurre cuando ,

En el caso de una barra de seccin circular (fig. 147, b) despus de una integracin elemental, se puede obtener,

Como

Obtendremos,

Y

En el caso de una barra de seccin triangular de base y altura (fig. 147, c) tendremos,

La tensin mxima ocurre a la distancia de la lnea neutra,

En los dos ejemplos ltimos se ve claramente el carcter aproximado de las operaciones realizadas. Esto se desprende del hecho de que, en la seccin transversal, las tensiones tangenciales no solamente tienen componentes paralelas al eje , sino tambin componentes paralelas al eje . En efecto, supongamos como esto se hizo ms arriba, que en los puntos situados en el contorno de la seccin (fig. 148), la tensin tangencial se orienta segn el eje . Descompongamos el vector en dos componentes, una segn la normal al contorno y otra, tangencial a este . Segn las condiciones de solicitacin, la superficie exterior de la barra est libre de tensiones tangenciales y, por lo tanto, las tensiones reciprocas a no existen. Es decir que , resultando que la tensin tangencial completa en las proximidades del contorno se orienta segn la tangente al contorno y, por lo tanto, la suposicin segn la cual est dirigida segn el eje resulta errnea. As se establece la existencia de componentes de orientadas segn el eje . Para determinarlas se recurre a mtodos ms complicados que los expuestos. Por los mtodos de la teora de la elasticidad, se puede demostrar que en la mayora de los casos las componentes de a lo largo del eje juegan un papel muy inferior en comparacin con las componentes paralelas al eje . De los ejemplos analizados anteriormente se puede hacer la conclusin general de que la zona de las tensiones tangenciales mximas se encuentra aproximadamente en la parte central de la seccin y que , en el caso de barras de paredes no delgadas, es del orden de .Se pueden comparar los valores absolutos de las tensiones normales mximas con los de las tensiones tangenciales mximas que aparecen en las secciones transversales de la barra. Por ejemplo, en el caso de un voladizo de seccin rectangular (fig. 149) obtendremos,

De donde se halla,

Lo que quiere decir que la relacin entre las tensiones tangenciales mximas, en la seccin transversal, y las tensiones normales mximas es aproximadamente igual a la relacin entre la altura de la seccin y la longitud de la barra, es decir, que las tensiones tangenciales son muy inferiores a las normales. Esta apreciacin, excepto algunas exclusiones posibles, es vlida, en general, para todas las vigas que no sean de paredes delgadas. En lo que se refiere a las barras de paredes delgadas, este problema se analizara especialmente en el capitulo XI.Debido a que la magnitud de es pequea, el clculo de la resistencia en la flexin transversal se realiza teniendo en consideracin solamente las tensiones normales, de la misma forma que en el caso de la flexin pura. Las tensiones tangenciales no se tienen en cuenta. Esto resulta natural si se tiene en consideracin que en los puntos de la seccin ms alejados de la lnea neutra, es decir, en los puntos ms peligrosos, las tensiones tangenciales en la seccin transversal son iguales a cero.

Al analizar el fenmeno desde el punto de vista cualitativo, se debe tener en cuenta que las tensiones tangenciales en las secciones transversales y las tensiones reciprocas a estas en los planos longitudinales, a pesar de ser pequeos pueden, en algunos casos, influir considerablemente cuando se juzga sobre la resistencia de la barra. Por ejemplo, durante la flexin transversal de una barra corta de madera, puede esta destruirse, no en la seccin transversal del empotramiento, sino como consecuencia de la cortadura en el plano longitudinal situado cerca de la capa neutra, donde aparece (fig. 150).Las tensiones tangenciales en los planos longitudinales son el reflejo de las ligaduras existentes entre las capas de la barra durante la flexin transversal. Si se destruyen estas ligaduras en algunas capas, entonces variar el carcter de la flexin de la barra. Por ejemplo, en la barra compuesta por lminas (fig. 151, a) cada una de ellas, cuando no existen fuerzas de friccin, se flexiona independientemente de las otras. La fuerza exterior correspondiente a una lmina es y la tensin normal mxima en la seccin transversal de la lmina,

Si las lminas se unen con pernos suficientemente rgidos (fig. 151, b), la barra trabajar como una unidad. En este caso, la magnitud de la tensin normal mxima ser veces menor,

En otras palabras, el paquete de lminas unido es capaz, como primera aproximacin, de resistir una carga veces mayor que el paquete de lminas no unidas entre s.En las secciones transversales de los pernos, durante la flexin de la barra, aparecen fuerzas cortantes. La mxima de ellas ocurrir en la seccin que coincide con el plano neutro de la barra flexionada (seccin AA de la figura 151, b).

Esta fuerza se determina, como primera aproximacin, igualando la suma de las fuerzas cortantes en las secciones de los pernos a la resultante longitudinal de las tensiones tangenciales correspondiente a una barra monoltica,

Siendo el nmero de pernos.Es interesante comparar la variacin de la curvatura de la barra en el empotramiento segn la frmula (4.5) en los dos casos cuando el paquete va unido y cuando est compuesto por lminas separadas. En el primer caso,

Y en el segundo,

Las flechas varan proporcionalmente a la curvatura.As pues, en comparacin con la barra monoltica, el conjunto de lminas libres resulta veces ms flexible y solamente veces menos resistente. Esta diferencia entre los coeficientes de disminucin de la rigidez y de la resistencia al pasar al paquete de lminas libres se usa en la prctica para la creacin de ballestas flexibles. Las fuerzas de friccin entre las lminas aumentan la rigidez del paquete puesto que restablecen parcialmente las fuerzas tangenciales entre las capas de la barra que se pretendan eliminar al pasar al paquete de lminas libres. Las ballestas requieren pues, el engrase de sus lminas y deben mantenerse limpias.Para determinar con la flexin transversal, analicemos un ejemplo que ilustra el orden en que se han de llevar los clculos de la resistencia de una viga en el caso de la flexin.Ejemplo 4.6. Determinar la dimensin de la seccin transversal representada en la figura 152, para el caso de una viga de dos apoyos, solicitada por una carga uniformemente distribuida de intensidad . El coeficiente de seguridad referido al lmite de fluencia no deber ser inferior a dos. Se sabe que

Calculamos las reacciones de apoyos y construimos el diagrama de los momentos flectores (fig. 152). El momento flector es,

De la condicin de resistencia se deduce,

Resultando para el modulo de la seccin,

Al analizar la seccin dada hallamos la distancia desde el eje hasta el centro de gravedad, que es . El momento de inercia respecto al eje ser,

Pasando ahora al eje central hallaremos,

Por ltimo, el mdulo de la seccin resulta,

De donde se obtiene el tamao ,

ECUACION DIFERENCIAL DE LA LINEA ELASTICA DE LA VIGA. DESPLAZAMIENTOS EN LA FLEXINLa forma del eje flexionado de la viga