TEORA DE CONTROLTEORADECONTROL

CONTROLADOR PIDCONTROLADORPID

CONTROLADORPID

1922 Nicols Minorsky haba analizado las propiedades de los

Historia del controlador PID.y p p

controladores tipo PID en su publicacin Estabilidad direccional decuerpos dirigidos automticamente. Dicho trabajo, que constituyeuna de las primeras discusiones sobre Teora de Control, describe eluso de los controladores de tres trminos para el gobierno de ladireccin de un buque: el New Mexico. As pues, los controladorestipo PID nacieron para el gobierno automtico de buques yNicols Minorskypuede decirse que fueron descubiertos por el cientfico NicolsMinorsky.

1936 Si b l id d t l d d t t i d it1936 Sin embargo, la idea de un controlador de tres trminos de propsitogeneral con una accin de control variable no fue introducido hastafinales de la dcada de 1930. Concretamente se dice que fue laTa lor Instr ment Compan la q e introd jo el primer controlador deTaylor Instrument Company la que introdujo el primer controlador deeste tipo, primero en 1936 con una constante derivativa fijada enfbrica y luego por fin, en 1939, con una accin derivativa variable.

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CONTROLADORPID

Esquema bsico de control PID.PERTURBACIN

REFERENCIA ERROR CONTROL SALIDA

PERTURBACIN

N

PLANTAP.I.D.REFERENCIA

SP

ERROR

E

CONTROL

U

SALIDA

C+

_

Es la extensin natural del controlador ON-OFF.E fi i t h bl d t lEs suficiente para muchos problemas de control.Ms del 95% de los lazos de control utilizan el PID.Ha sobrevivido a los cambios tecnolgicos

Teora de Control

Ha sobrevivido a los cambios tecnolgicos.

CONTROLADORPID

Esquema bsico de control PID.El control PID combina tres acciones:El control PID combina tres acciones:

Proporcional (P)e D

Proporcional (P)Integral (I)Derivativa (D)

tI P

C t l d PID C ti

t

Controlador PID. Continuo.( )( ) ( ) ( ) de tu t K e t K e t dt K+ +( ) ( ) ( )p i du t K e t K e t dt K dt= + +

P I DTeora de Control

P I D

CONTROLADORPID

Controlador PID. Continuo.

1 ( )de t pKK

=1 ( )( ) ( ) ( )p di

de tu t K e t e t dt TT dt

= + + i

i

d p d

KT

K K T

= = d p dConstante de tiempo de integracin : TigTiempo requerido para que la accinintegral iguale el valor de la accinproporcional

Constante de tiempo de derivacin : TdConstante de tiempo de derivacin : TdTiempo requerido para que la accinderivativa iguale el valor de la accinproporcional

Teora de Control

p p

CONTROLADORPID

Controlador P.

PREFERENCIA ERROR CONTROL SALIDA

+ PLANTAP.SP E U C+

_

El error en rgimen Respuesta a una entrada escaln unitario

permanente disminuye La velocidad de

respuesta aumentarespuesta aumenta El sobrepico aumenta

Kp aumenta

Teora de Control

p

CONTROLADORPID

Controlador P.I.REFERENCIA ERROR CONTROL SALIDA

+ PLANTAP.I.SP E U C+

_

El i

Respuesta a una entrada escaln unitario

El error en rgimen permanente se elimina

La estabilidad empeora La estabilidad empeora El sobrepico aumenta

Ti disminuye

Teora de Control

y

CONTROLADORPID

Controlador P.D.

P DREFERENCIA ERROR CONTROL SALIDA

+ PLANTAP.D.SP E U C+

_

L t bilid d j

Respuesta a una entrada escaln unitario

La estabilidad mejora El sobrepico disminuye La velocidad de La velocidad de

respuesta aumentaTd aumenta

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CONTROLADORPID

METODOS CLSICOS DE AJUSTE ZIEGLER-NICHOLSZiegler y Nichols propusieron una serie de reglas para sintonizar controladoresPID en base a una respuesta experimental y sin presuponer ningnconocimiento de la planta a controlar.

Existen dos mtodos de Ziegler-Nichols

Ziegler-Nichols a lazo abierto.Ziegler-Nichols a lazo cerrado.En ambos mtodos Ziegler-Nichols, el objetivo es conseguir que el valor delg , j g qMximo sobreimpulso sea menor del 25% para una entrada en escaln. Estacondicin puede no ser cumplida en plantas complejas, pero siempre aseguraestabilidad a lazo cerrado.

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CONTROLADORPID

ZIEGLER-NICHOLS a lazo abierto Se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta a una entrada escaln y si la respuesta no tiene oscilaciones y adems posee un retardo tal que se forma una ese, puede obtenerse los parmetros del controlador PID utilizando el primer mtodo. La planta se puede aproximar a una transferencia del tipo:

)(tc

( )( ) 1

dT sC s KeU s Ts

= +)(tc

lexininfdepuntoalgentetanrecta

= p en d ien teR

t

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tL

CONTROLADORPID

ZIEGLER-NICHOLS a lazo abierto Con L y T , se obtienen los parmetros del controlador PID utilizando la tabla 1.

TIPODEKp Ti Td

CONTROLADORKp Ti Td

P1

P

PI

RL

0,9RL

3LPI

PID

RL

1,2RL 2L

0,5L

Tabla 1. Valores de sintonizacin, Lazo Abierto

RL

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CONTROLADORPID

ZIEGLER-NICHOLS a lazo cerrado Se utiliza para sistemas que pueden tener oscilaciones sostenidas. Primero se eliminan los efectos de la parte integral y derivativa Despus utilizando solo laeliminan los efectos de la parte integral y derivativa. Despus, utilizando solo la ganancia Kp, se busca que el sistema tenga oscilaciones sostenidas. El valor de ganancia con que se logre esto se llama ganancia crtica Kcr, que corresponde a un periodo crtico Tcr

PLANTAKpSALIDA

+

a un periodo crtico Tcr .

PLANTAKpSP E C_

Tcr

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CONTROLADORPID

ZIEGLER-NICHOLS a lazo cerradoCon Kcr y Tcr , se obtienen los parmetros del controlador PID utilizando la tabla 2tabla 2.

TIPODEKp Ti Td

CONTROLADORKp Ti Td

P 0,5KcrP

PI

0,5Kcr

0,45Kcr1 2Tcr

PI

PID 0,6Kcr

1,2

2Tcr

8Tcr

Tabla 2. Valores de sintonizacin, Lazo Cerrado

2 8

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CONTROLADORPID

Los controladores PID discretos tienen dos formas principales:F d P i i

Controlador PID discreto.

Forma de PosicinForma de VelocidadConsiderando la expresin de la derivada discreta:Considerando la expresin de la derivada discreta:

( ) ( 1)( )s

e k e kD kT =

Y la expresin de la integral por rectngulos y trapecios:s

( ) ( )k

I k T ( ) ( 1)k e i e i+ 0

( ) ( ) si

I k e i T=

= 0

( ) ( 1)( )2 si

e i e iI k T=

+ =

Teora de ControlkT

kT

CONTROLADORPID

Controlador PID discreto. La forma de posicin se puede escribir de la forma:

( )( ) ( ) ( )p di

I ku k K e k D k TT

= + +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)ks dT Tu k K e k e i e k e k = + + La expresin para la integracin por rectngulos resulta:

( )0

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)pii s

u k K e k e i e k e kT T=

= + + El algoritmo de posicin requiere el chequeo de la sumatoria correspondiente al modo integral para evitar lo que se conoce como desborde (wind up) del nodomodo integral para evitar lo que se conoce como desborde (wind up) del nodo integral.En el algoritmo de posicin se requiere el conocimiento de la posicin inicial del actuador.

El algoritmo de posicin mantiene el significado intuitivo de los parmetros Kp, Ti yTd semejante al de los reguladores PID analgicos conocidos

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Ti yTd semejante al de los reguladores PID analgicos, conocidos tradicionalmente en la industria.

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Controlador PID discreto. La forma de velocidad se obtiene calculando u(k)-u(k-1) :

( )( ) ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1)p di

I k I ku k u k K e k e k D k D k TT

= + +

( )( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2)s dp T Tu k u k K e k e k e k e k e k e kT T = + + + ( )p i sT T

( ) ( 1) 1 ( ) 1 2 ( 1) ( 2)s d d dT T T Tu k u k K e k K e k K e k = + + + + + ( ) ( 1) 1 ( ) 1 2 ( 1) ( 2)p p p

i s s s

u k u k K e k K e k K e kT T T T

= + + + + + El l it d l id d t b j l d d i d d l l lEl algoritmo de velocidad trabaja con la segunda derivada del error, lo cual esinconveniente en presencia de ruido. No requiere control de saturacin de laintegral.

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Controlador PID discreto. Otra forma de representar el controlador PID es a travs de su transformada Z

1k k1

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )

k k

s s s si i

I k e i T e i T e k T I k e k T= =

= = + = + 1 ( )E z T( )1 1

( )( ) ( ) ( ) ( )1

ss

E z TI z z I z E z T I zz

= + =

( ) ( 1)e k e k ( ) ( 1)( )s

e k e kD kT

=

( )1( ) 1E z z( )( ) 1( )

s

E z zD z

T=

( ) ( )11

1( ) 1 1 ( )1

s dp

i s

T TU z K z E zT Tz

= + + Teora de Control

CONTROLADORPID

Implementacin de PID En algunos casos cambios en la referencia en forma de escaln provoca una variacin en el error de las mismas caractersticas En esos casos puede ocurrirvariacin en el error de las mismas caractersticas. En esos casos puede ocurrir que el trmino derivativo determine valores de salida del controlador de gran amplitud. Para evitar este inconveniente se suele conectar el trmino derivativo directamente a la salida con lo cual se evita este problemadirectamente a la salida con lo cual se evita este problema. Lo mismo puede suceder con el trmino proporcional.

+ + + +PLANTAP.I.SP E C

+

_

+

_

D

PLANTAI.SP E C

+

_

+

_

P DD P.D.

Teora de Control

TEORA DE CONTROLTEORADECONTROL

PREDICTOR DE SMITHPREDICTORDESMITH

PREDICTORDESMITH

Uno de los principales problemas de los controladores clsicos, como es el PID, es su comportamiento frente a plantas con un retardo considerable Este retardo

Introduccin

es su comportamiento frente a plantas con un retardo considerable. Este retardo se puede deber a una distancia fsica entre el proceso y el lugar de medicin de la variable, una demora en los actuadores o cualquier otra causa.

En general, la forma de solucionar este efecto por los mtodos tradicionales, es reducir la ganancia del controlador y aumentar el tiempo de integracin, lo que generalmente da lugar a respuestas lentas. g g p

Ser posible disear un regulador de modo tal que la planta con retardo tenga el mismo comportamiento que si no lo tuviera?. p q

La idea est basada en que, al conocer el retardo, es posible saber qu es lo que suceder luego del mismo, es decir podemos predecir el comportamiento del proceso. El mtodo lleva el nombre del primero en plantearlo, el Predictor de Smith.

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PREDICTORDESMITH

dG( ) dG ( )+

Dado el sistema de lazo cerrado, se disea el controlador Gc(z) teniendo en cuenta el retardo.

( ) ( )( )1 ( ) ( )

d

d

Gc z G z zGt zGc z G z z

= +

G(z) z-dGc(z)SP E C

+

_ U

Sin embargo si el retardo se deja fuera del lazo de control, las caractersticas del controlador son ms relajadas. Se desea encontrar la forma de que se produzca j q pla siguiente condicin:

G(z)Gc(z)+ z-dG(z)Gc(z)SP E C_ U

z

( ) ( )( ) dGc z G zGd z z=( ) 1 ( ) ( )

Gd z zGc z G z+

De esta forma se podra disear el controlador sin tener en cuenta el retardo.

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PREDICTORDESMITH

Suponiendo que la planta fue modelada con la suficiente exactitud en cuanto a las singularidades y el retardo.

Modelo ( ) mGm z z=Una forma de llegar a la transferencia deseada es la siguiente:

G(z) z-dGc(z)SP E C

+U

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

dGc z G zGa z zG G

=

_

Gm(z)1 ( ) ( )Gc z Gm z+

La transferencia Ga(z) cumple con la forma deseada pero el sistema evoluciona a lazo abierto , por lo tanto no es capaz de rechazar perturbaciones.

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PREDICTORDESMITH

Para compensar las perturbaciones se realimenta el error de prediccin.

G(z) z-dGc(z)+ G(z) zGc(z)SP E C_ U

Gm(z) z-m+

Gm(z) z+

_

error

( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dd m

Gc z G zGe z zG G G G G G

=

+

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d mGc z G z z Gc z Gm z Gc z Gm z z+ + En la medida que se cumpla

( ) ( )d mG z z Gm z z =La transferencia Ge(z) se aproxima a la transferencia deseada.

( ) ( )G z z Gm z z=

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PREDICTORDESMITH

El diagrama en bloques se puede reagrupar dando como resultado .

Predictor de Smith

G(z) z-dGc(z)SP E C

+

_ U

+

-

Gm(z) z-m

+

-

+

( )( )*( ) Gc zGc z = ( )( ) 1 ( ) ( ) 1 mGc z Gm z z+

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FINFIN

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