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Clase No. 20:

Integrales impropiasMAT–251

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 26.11.2011 1 / 14

Integrandos con singularidades (I)

• Cuando el integrando o alguna de sus derivadas de bajo orden tienenuna singularidad en un punto dentro o cerca del intervalo deintegración, las fórmulas de cuadratura convencionales no tienen biendesempeño.

• Si sabemos donde están las singularidades, podemos hacer unapartición, de modo que la singularidad ocurra en alguno de los extremosde los subintervalos.

Si f tiene una singularidad en x = a, entonces

∫ b

af (x)dx = lim

r→a

∫ b

rf (x)dx

Podemos calcular la integral

∫ b

rf (x)dx numéricamente, para algún r > a.

Pero, de antemano no sabemos que valor de r usar.

Un criterio práctico (que puede no ser correcto) es


Integrandos con singularidades (II)

∫ b

af (x)dx ≈

∫ b

r1

f (x)dx+m∑

n=1

∫ rn

rn+1

f (x)dx

para rn = a+ b−a2n y podemos escoger m tal que

�

�

�

�

�

∫ rm−1

rm

f (x)dx

�

�

�

�

�

< ε

Es mejor ver si podemos truncar el intervalo de integración: Si�

�

�

�

�

∫ r

af (x)dx

�

�

�

�

�

< ε, entonces podemos hacer

∫ b

af (x)dx ≈

∫ b

rf (x)dx


Integrandos con singularidades (III)

Ejemplo. Supongamos que g es continua en [0,1] y |g(x)| ≤ 1. Queremoscalcular

∫ 1

0

g(x)

x1/2 + x1/3dx

Se puede ver que�

�

�

�

�

∫ r

0

g(x)

x1/2 + x1/3dx

�

�

�

�

�

≤1

2

∫ r

0x−1/2dx = r1/2.

Entonces podemos escoger r suficientemente pequeño para aproximar laintegral.


Otras alternativas

Una opción es hacer un cambio de variable que ayude a remover lasingularidad.

Ejemplo. Para calcular∫ 1

0

expxdx

podemos hacer x = t2, de modo que ahora tendríamos que calcular

2

∫ 1

0et

2dx.

Otra posibilidad es usar integración por partes

∫ 1

0

expxdx = 2x1/2ex

�

�

�

1

0− 2

∫ 1

0x1/2ex dx


Fórmulas basadas en interpolación (I)

Supongamos que w(x) es una función con una singularidad en x = 0, peroexiste

∫ 1

0w(x)xk dx, para k = 0,1, ...,n.

Queremos usar una fórmula de la forma∫ 1

0w(x)f (x)dx ≈

n∑

i=0

wif (xi)

con 0 ≤ x0 < x1 < ... < xn = 1. Si pedimos que la fórmula sea exacta cuandof es un polinomio de grado a lo más n entonces podemos determinar losvalores wi.

Ejemplo. Calcular∫ 2h

0x−1/2f (x)dx

Tomamos como nodos a 0,h,2h.Para determinar los pesos, tomamos como f a los monomios 1,x,x2:


Fórmulas basadas en interpolación (II)

∫ 2h

0x−1/2 dx = 2 = w0 +w1 +w2

∫ 2h

0x−1/2xdx =

2

3=

1

2w1 +w2

∫ 2h

0x−1/2x2 dx =

2

5=

1

4w1 +w2

De aquí que

w0 =12

15, w1 =

16

15, w2 =

2

15.


¿ Y si ignoramos la singularidad? (I)

Supongamos que f no es acotada en x = a. De manera arbitraria definimosf (0) = 0 (o cualquier valor) y usamos la regla de trapecio para calcular laintegral, o podemos usar fórmulas de cuadratura que no usen los extremosdel intervalo de integración [a,b].

Ejemplo. Tenemos que

∫ 1

0

dx

x1/2= 2. Numéricamente, obtenemos

n Trapecio n C. Gaussiana32 1.8427 2 1.6506864 1.8887 3 1.75086

128 1.9213 4 1.80634512 1.9606 10 1.91706

1024 1.9721 32 1.97321


¿ Y si ignoramos la singularidad? (II)

Este forma de estimar el valor de la integral puede fallar si el integrandooscila:

Ejemplo. Tenemos que

∫ 1

0

1

xsin

1

xdx = 0.624713.

n Trapecio32 2.312364 1.6946

128 -0.6083256 1.2181512 0.7215

1024 0.3178


Intervalos de longitud infinita (I)

Queremos calcular∫ ∞

0f (x)dx = lim

r→∞

∫ r

0f (x)dx

Podemos repetir algunos de los argumentos anteriores. Por ejemplo, Sitenemos una sucesión 0 < r0 < r1 < ... que converge a infinito y queremoscalcular

∫ ∞

0f (x)dx =

∫ r0

0f (x)dx+

∫ r1

r0

f (x)dx+ ...

y paramos cuando

�

�

�

�

�

∫ rn+1

rn

f (x)dx

�

�

�

�

�

< ε. Es claro que este procedimiento

permite obtener un valor para integrales divergentes, como∫ ∞

0

dx

x.


Intervalos de longitud infinita (II)

La transformación y = e−x, cambia el intervalo 0 ≤ x <∞ en 0 ≤ y < 1. Así,

∫ ∞

0f (x)dx =

∫ 1

0

f (− lny)

ydy =

∫ 1

0

g(y)

ydy

• La sustitución cambia el problema a una integral en un intervalo finito.

• Si g(x)/x es acotada en la vecindad de x = 0, entonces podemoscalcular su integral con relativa facilidad.

• Si no es acotada, hay que buscar la forma apropiada de realizar elcálculo.

Otros cambios de variable

x = 1/(1 + e−y) 0 ≤ x ≤ 1; −∞ ≤ y ≤∞x = (ey − 1)/(ey + 1) −1 ≤ x ≤ 1; −∞ ≤ y ≤∞x = ey 0 ≤ x ≤∞; −∞ ≤ y ≤∞


Truncamiento del intervalo infinito (I)Se puede analizar el comportamiento de la integral

∫ ∞

rf (x)dx

y tratar de determinar un valor para r que haga que podemos despreciar elvalor de la integral en [0,∞].

Ejemplo. Para calcular

∫ ∞

0e−x

2dx.

Puesto que para k ∈ N, si x ≥ k entonces kx ≤ x2. Así,∫ ∞

ke−x

2dx ≤

∫ ∞

ke−kx dx = e−k

2/k.

Para k = 4 se tiene que e−k2/k ≈ 10−8, de modo podemos aproximar

∫ ∞

0e−x

2dx ≈

∫ 4

0e−x

2dx

y calcular la integral con cualquier método estándar.


Cuadratura Gaussiana (I)Para obtener fórmulas como

∫ ∞

0w(x)f (x)dx

donde xk y wk son determinados para que la fórmula sea exacta parapolinomios de grado a lo mas 2n+ 1. Hay que elegir una función para la cual

∫ ∞

0w(x)dx <∞

Para calcular integrales de la forma∫ ∞

0e−xf (x)dx =

n∑

k=1

wkf (xk)

Es común usar funciones como los polinomios de Laguerre:

L(α)n

(x) =n∑

m=0(−1)m

�

n+ αn−m

� xm

m!, α > −1,


Cuadratura Gaussiana (II)

los cuales cumplen con la propiedad∫ ∞

0xαe−x

�

L(α)n

(x)�2

dx =Γ(n+ α + 1)

n!

Entonces

∫ ∞

0e−xf (x)dx =

n∑

k=1

wkf (xk) +(n!)2

(2n)!f (2n)(ξ), 0 < ξ <∞.

donde xk son los ceros del polinomio de Laguerre Ln(x) = L(0)n (x), y

wk =xk

[Ln+1(xk)]2.


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