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CLASE Nº 7 DE TÚNELESFORMULACIÓN TEÓRICA

Universidad de Los AndesFacultad de IngenieríaDepartamento de Vías

Geotecnia

Prof. Silvio Rojas

Mayo, 2009


Túneles

SE omite alteraciones de esfuerzos debido a la temperatura, fuerzas tectónicas y agua, etc

En la práctica la distribución de esfuerzosalrededor del túnel

se estima a través de la teoría de la elasticidad

Por tanto Los resultados están sometidos a objeciones.

La masa de suelo o roca, estásiempre en un estado de esfuerzos constantes

El comportamiento elástico en la fase inicial después de la excavación de la abertura, es totalmente justificada.

La abertura del túnel

Produce cargas adicionales en algunas zonas alrededor del túnel y de alivio en otras áreas

Las alteraciones de esfuerzosse puede considerar que son unidireccionales

Se considera que el material es comporta elasticamente durante la fase inicial, hasta cierta carga límite.

Este primer valor de esfuerzo elástico, es en realidad un esfuerzo máximo.

Los esfuerzos son dependientes del tiempo(comportamiento reológico)

Esfuerzos debido a la deformación lateral, creep, relajación de las rocas o suelos, ocurrencia de deformación plástica, etc., hacen que disminuya.

Teorías de elasticidadpaara el cálculo de esfuerzos

Se apoyó en la función de Airy, y encontró para una abertura circular en un plato infinito (fig. 1):

Para profundidades mayores de diez veces el diámetro del túnel.

Teoría de Kirsch (1988)

Aplicada a una abertura circular


Túneles

Expresiones de los esfuerzos en un plano perpendicular al eje de la excavación, expresada en coordenadas polares, tal como lo presenta Perri (1990) y el Instituto Geológico y Minero de España (1998):

Cuando no se considera el esfuerzo horizontal σσσσho:

1.a

1.b

1.c

Donde:

σo: Esfuerzo vertical que produce el peso del material por encima del túnel.

σθ: Esfuerzo tangencial que existe en cualquier punto del perímetro o dentro de la masa de material que rodea al túnel.

σr: Esfuerzo radial que existe dentro de la masa de material que rodea el túnel.


Túneles

τθr: Esfuerzo cortante que existe dentro de la masa de material que rodea el túnel.

θ: Angulo que forma la línea radial con la horizontal.

R: Radio del túnel.

r: Radio que permite la ubicación de un punto dentro de la masa de material.

Cuando se toma en cuenta la presión horizontal ( σσσσho) que se ejerce sobre el plato

2.a

2.b

2.c

Si la presión horizontal (σho), se estima:

σho= K.σo

σho= K.σo3

k: Coeficiente de empuje lateral.


Túneles

Sustituyendo la ec. 3, en 2, se obtiene:

4.a

4.b

4.c

Varíación de los esfuerzos en la pared, el techo y la solera:

Valores de los parámetros que son representativos para el proyecto del túnel de Valencia y además considerando que las condiciones constructivas y de ubicación del túnel en la masa de suelo, cumple con los requerimientos de validez de la teoría.

Radio del túnel (R = 5 m). Se debe indicar que e l radio exacto de excavación es 4.76 m y su diámetro 9.52 m, sin emba rgo para fines de análisis de esfuerzos esta diferencia no tiene i mportancia.


Túneles

Peso unitario del material ( γγγγ = 2 ton/m 3).

Material en el cual se encuentra embebido del túnel se considera que es una arena arcillosa con un coeficiente empuje later al de 0.50 ( k = 0.50).

Angulo de fricción interna = 23 º y una cohesión c = 1 ton/m 2 (se consideran que son parámetros drenados).

Profundidad a la cual se encuentra el techo del tún el se estima de 10 m (H= 10 m).


Túneles


Túneles

En la pared (Hastiales):

r = R = 5 m

σθ = 60 ton/m2 (comprimiendo el perímetro)

Tres veces el valor de σo = 20 ton/m2

σθ disminuye

Se hace asintótico en σθ = 20 ton/m2 a una distancia seis veces el radio (30 m).

Se aprecia la coincidencia de las curvas a 11 y a12 para k=0 y k = 0.5 en la distribución de esfuerzos tangenciales σθ

Significa que el empuje lateral no tiene ninguna influencia en los esfuerzo s tangenciales en la pared

Fig. 2.- Distribución de esfuerzos en la dirección horizontal de la pared (fig. 2a), cubriendo hasta una distancia de seis veces el radio del túnel.

Esfuerzos tangrnciales σθ:


Túneles

Esfuerzo radial (curva a 21, k=0), es nulo en el perímetro y aumenta hasta un valor máximo 7.5 ton/m 2 para r = 7 m , donde luego comienza a disminuir hasta que se hace asintótico para σσσσr = 0.81 ton/m 2 en un valor de r = 132 m

En el caso (curva a 22, k=0.5) el esfuerzo radial toma un máximo de σσσσr=10.31 ton/m2en r = 12.20 m, consiguiendo un valor asintótico en σσσσr =10.12 ton/m2 a partir de r=75.76 m.Fig. 2.- Distribución de

esfuerzos en la dirección horizontal de la pared (fig. 2a), cubriendo hasta una distancia de seis veces el radio del túnel.

Esfuerzos radiales σσσσr

Cuando k = 0, el mayor esfuerzo tangencial es negativo (curva b 11) con un valor igual σσσσθθθθ = -20ton/m 2, lo que indica que en ese punto existe tracción .

Pero esta zona de tracción llega hasta un radioaproximado de 8.66 m (3.66 metros de material rodeando el perímetro )

Después de los 8.66 m los esfuerzos tangenciales actúan a compresión pero en magnitudes bastante pequeñas y con la tendencia a anularse en zonas retiradas del perímetro

Cuando k=0.5 (curva b 12) el esfuerzo tangencial siempre es positivo , alcanzando un máximo de 13.75 ton/m 2 cuando r =7 m ,para hacerse asintótico en σσσσθθθθ =10.40 ton/m2 cuando es igual a r = 108 maproximadamente.

Fig. 2.- Distribución de esfuerzos en la dirección del techo (fig. 2b), cubriendo hasta una distancia de seis veces el radio del túnel.

Esfuerzos tangrnciales σθ:

Fig. 2.- Distribución de esfuerzos en la dirección del techo (fig. 2b), cubriendo hasta una distancia de seis veces el radio del túnel.

Ambas curvas b 21 y b 22, correspondientes a k=0 y k= 0.5 , tienen comportamientos muy similares , partiendo de un valor de cero en el perímetro .


Aumentan con la tendencia a σσσσo = 20ton/m 2 para radios mayores a 200 m.

La curva b 21 (k=0) muestra cierta tracción,en una zona muy pequeña alrededor del perímetro, que llega a un radio igual a 6.12 m, es decir que en un anillo de 1.12 metros de material rodeando el túnel los esfuerzos radiales están actuando a tracción, cambiando inmediatamente a compresión .

En ambas gráficas existen esfuerzos cortantes , tanto para el caso k =0 (curvas a 31 y a32) como para k = 0.5 (curvas b 31 y b 32).

Los mayores cortantes cuando k = 0, en r = 8.66 m para el plano a 45º (τrθ = 13.33 ton/m2, curva b 31) y en r=8.66 m para el plano a 60º(τrθ = 11.55 ton/m2, curva a 31)

En ambos casos a partir de esos puntos comienza a disminuir el cortante aproximadamente hasta 9 ton/m2 y 10 ton/m2respectivamente, para r = 30 m.

Esfuerzos τrθ

Cuando se considera el empuje lateral (k=0.5, curvas a 32 y b32), la distribución de los esfuerzos cortantes alrededor del túnel son muy similares al de las curvas a 31 y b 31correspondientes a k=0, pero con valores que se reducen aproximadamente a la mitad

Cortante máximo para k = 0.5, son τrθ = 5.37 ton/m2 (curva a 32, θ = 60º) y τrθ = 6.20 ton/m2 (curva b 32, θ = 45).

Esta disminución de los esfuerzos cortantes se debe al efecto confinante que tienen los esfuerzos radiales en la masa de suelo.

Esfuerzos τrθ

cuando (k=0), ya que en el plano 60º(curva a 11) en el perímetro no se produce ningún esfuerzo tangencia

Luego incrementa a un máximo de σθ = 6.67 ton/m2 en el punto de radio r = 8.66 m, a partir del cual comienza a disminuir hasta hacerse asintótico en σθ = 5.27 ton/m2.

Cuando k =0, para θ = 45º (curva b 11) el esfuerzo tangencial en el perímetro es el máximo, con un valor de σθ = σo = 20 ton/m2, haciéndose asintótico en σθ = 10.30 ton/m2 en un radio aproximado de 30 m.

Esfuerzo tangencial (σθ)

Cuando k=0.5 (curva a12) para θ = 60º,existie un esfuerzo máximo en el perímetro de 20 ton/m2, para luego disminuir aproximadamente a 13 ton/m2.

Para el plano θ = 45ºcaso K = 0.5, los esfuerzos tangenciales son mayores a loscorrespondientes a θ = 60º caso k = 0.5,

Existe un máximo de 30 ton/m2 en el perímetro, para luego disminuir aproximadamente a 16 ton/m2 en r = 30 m,

Esfuerzo tangencial (σθ)

Para 45º, existe similitud de distribuciónentre las curvas b 11 (k=0) y b12 (k=0.5), siendo mayores los esfuerzos tangenciales cuando se considera el empuje lateral.

Con K = 0.5 los esfuerzos son mayores en comparació n con K=0, significa que la roca ha sufrido menos descompresión. También los cortantes son menores

En los planos θ = 45º(curvas b 21 y b22) y θ= 60º (curvas a 21 y a22), tiende a tener comportamientos similares


En plano θ = 45º estos esfuerzos radiales son menores en comparación con θ = 60º, tanto para k=0 como para k=0.5, lo cual se refleja en mayores esfuerzos cortantes, actuando en el plano a 45º.

Los mayores esfuerzos radiales se alcanzan cuando se toma en cuenta el efecto confinante (k = 0.5)

Disminuye los esfuerzos de tracción para r = 6 m en el techo

ya a 1 m dentrode la roca Disminuye los esfuerzos de a compresióntangenciales.

Los mayores esf. Cortantes se producen a 45º.

El signo negativo del cortante indica que estamos al otro lado del techo.

r = 5 m r= 6 m

A r = 6 m, se aprecia como los esfuerzos tangenciales se reducen respecto a los del perímetro (r = 5 m), tanto a compresión (σθ ≈ 41 ton/m2) como a tracción (σθ ≈ -8 ton/m2) para el caso k = 0 (curva b 11), y para el caso k = 0.5 (curva b 12) el esfuerzo en la pared es de aproximadamente a σθ ≈ 38 ton/m2 y para el techo incrementa respecto al del perímetro a (σθ ≈ 12 ton/m2).

La comparación de las curvas de la fig. 4a y 4b, permite determinar que ya en puntos dentro de la masa de suelo (r = 6 m) se generan esfuerzos cortantes y radiales, tanto para k = 0, como para k = 0.5.

En cuanto a los esfuerzos cortantes, sus mayores valores se ocurren en planos a 45º, cambiando su dirección actuante a ambos lados del techo y de la solera, es decir que en el primer cuadrante (0º a 90 º) y en el tercer cuadrante (180 º a 270 º) son positivos, mientras que para los otros dos cuadrantes son negativos.

para el caso k = 0.5, los esfuerzos cortantes se reducen aproximadamente a la mitad, respecto al caso k = 0. Este efecto de la disminución de los esfuerzos cortantes, se debe al efecto que tienen los esfuerzos radiales, lo cual es reflejado a través de las curvas b 21 (k = 0) y b22 (k = 0.5), donde se nota como el efecto confinante (k = 0.5), aumenta los esfuerzos radiales, disminuyendo el cortante (curva b 32).

Ya no existenesfuerzos de tracción en el techo a 3 m alrededordel perímetro.

A 2 malrededor del perímetro todavía existenesfuerzos de tracción.

Los mayores esfuerzos radiales están en la pared.

El confinamiento k=0.5 reduce el cortante casi en 50%.

r = 7mr = 8 m

Los esf. Tangenciales de compresión tienden a permanecer constante. (ver lám 10)

Los esf. Tangenciales son positivos y constante k=0.


Túneles


Túneles

Que ocurre en el perímetro del túnel, cuando disminuye o aumenta el coeficiente de empuje lateral “k”, respecto al valor que se ha considerado para este material (k = 0.5) antes de la excavación.

. Para ello se debe partir de la ec. 4, la cual se evalúa para r = R, resultando, σr = 0, τθr = 0 y para σθ la siguiente expresión:

(5)

θ= 0º k = 0.50 σθ =50 ton/m2 (ver fig. 2a y 2b)

θ = 90º k = 0.50 σθ =10 ton/m2

…

F: Factor de reparto de tensiones tangenciales

(6) (7)

F=3.k–1 (clave y solera )……………………………………..8a

F = 3 – k (pared)……….…..........………………………....8b

Cuando k > 3, existirátracción en la pared

En el techo se puede producir tracción por el desconfinamiento que produce la excavación.

Cuando k < 1/3, se generarátracción en la clave y la solera.

Tracción en la pared se puede presentar por el empuje producido por el propio revestimiento al ser colocado

Para 10º y 20º se requiere de grandes coeficientes de empuje lateral “k” mayores de 3 para poder generarse tracción.

Para 80º ese coeficiente esta cerca de 1/3

Para 70º “K” debe ser menor a 0.20 para que se produzca tracción en el perímetro

Para 60º, 50º y 40º debe ser negativo totalmente, y para 30º no existe ninguna posibilidad de empuje lateral.

a

θ =90º

un coeficiente bajo (k=0.25) genera esfuerzos de tracción σθ en el techo (curva a21).

No existen esfuerzos de tracción σθ, en ninguna de las dos direcciones.

θ =45

θ =60

θ =60

θ =45Coeficiente de empuje elevado (k=3.5) produce esfuerzos de tracción σθ en la pared (curva a11)

Esfuerzos en planos a 45º y 60º, para un coeficiente de empuje bajo (k=0.25)

Teoría elástica plástica – Criterio de rotura de M ohr Coulomb

Suelo alrededor de la abertura subterránea, está lejos de mantenerse en estado elástico.

El estado de esfuerzos, no se corresponderán con los presentados en el desarrollo anterior, dado que el propio material no es capaz de soportar estos esfuerzos y deformaciones.

Se debe tener en cuenta las teorías de plasticidad en el estudio de los túneles construidos en rocas ó suelos

Para que el material permanezca en estado elástico, su resistencia debe ser superior a los esfuerzos generados por la excavación

Anteriormente, el mayor esfuerzo tangencial se produce en el perímetro ómuy cerca del mismo

Se aprecia la influencia del coeficiente de empuje lateral en los esfuerzos tangenciales

Perri (1990) indica que Fenner(1938), haciendo uso del criteriode rotura de Mohr-Coulomb, derivó una expresión que permite hallar la zona de plastificación alrededor del túnel:

(11)

donde:

re: Radio de plastificación.

R: Radio del túnel.

σo: Esfuerzo causado por la masa de suelo, llamada presión hidrostática.

Pi: Presión interna dentro del túnel (presión ejercida por el sostenimiento).

(12)

En el radio de plastificación no interviene la cohesión del material, y en este caso las expresiones válidas para los esfuerzos radiales y tangenciales en dicha zona, vienen dadas por:

(13.a)

(13.b)

Cuando la cohesión se toma en cuenta, las expresiones del radio de plastificación y la de los esfuerzos, dentro de esa zona, son las siguientes:

14.a

14.b

14.c

14.d

donde:

C: Cohesión del material.

Cuando se considera la cohesión

Comentarios:

σθ, σr: Son conocidos por la toería (no son esfuerzos principales y son esfuerzos que tocan la envolvente de resistencia)

Por tanto el esfuerzo cortante τrθ debe ser determinado por tanteo de círculos en el diagrama de resistencia.

El círculo trazado en la gráfica arriba no es solución, ya que sobrepasa la resistencia del material.

Para la zona elástica, se aplicarán las siguientes expresiones para la determinación de los esfuerzos radiales y tangenciales:

15.a

15.b

Continuando con el ejemplo:

Estimación de la distribución de los esfuerzos alrededor del túnel, considerando que el mismo se encuentra embebido en la arena arcillosa (SC).

Parámetros de resistencia del suelo que rodea el túnel: φ = 23º y C = 1 ton/m2

•Se va a considerar una presión de sostenimiento (Pi) de 8 ton/m2 .

•Aplicando la ec. 11, resulta un valor de re = 6.94 m .

•Aproximadamente 2 m de un anillo de material plastificado .

•La estimación de esfuerzos se hará considerando que el túnel está construido en un material sin cohesión, y que por consiguiente se utilizarán las ecuc. (11), (13) y (15), para la estimación de los esfuerzos en la zona plástica y elástica.

Se observa:

A mayor presión del sostenimiento

El radio de plastificación disminuye.

Para valores menores de una presión de confinamiento de 8 ton/m2

Radio incrementa con una pendiente considerable.

Para valores menores a 8 ton/m2 el radio de plastificación es aproximadamente constante.

Esto pudiera justificar porque una presión mínima del sostenimiento de 8 ton/m2.

Esta presión interna del sostenimiento debe estar en relación directa con las inyecciones de contacto realizadas , una vez que se coloca el soporte.

El tratamiento interno de la roca debe ser efectivo

Son esfuerzos que se estiman se producen en la zona plástica y elástica.

re = 6.94 m .

Luego cae a un valor de (σθ = 23.99 ton/m2) donde comienza a disminuir, tendiendo al valor de la presión σo = 20 ton/m2.

re = 6.94 m .

El esfuerzo tangencial en la zona plástica alcanza su máximo valor (σθ= 28.12 ton/m2) en el límite entre la zona plástica –zona elástica

El mayor esfuerzo tangencial no ocurre en el perímetro del túnel, tal como sucedió con la teoría de elasticidad.¿Por qué? La respuesta pudiera ser que la teoría de elasticidad estima los esfuerzos actuantes, mientras que está teoría estima los esfuerzos en la roca considerando la descompresión de la misma. Por tanto estos esfuerzos se corresponden con el estado de máxima resistencia de la roca decompriomida.

Luego da un salto a 16 ton/m2 en el límite entre las dos zonas, donde comienza a incrementar levemente en la zona elástica.

En la zona elastica los esfuerzos tienden a la presión hidrostática

σo = 20 ton/m2

El esfuerzo radial en la zona plástica, tiene los menores valores

Con una presión interna radial igual (pi = 8 ton/m2), alcanzando un valor de 12.32 ton/m2, en el límite donde finaliza la zona plástica

s.r

En La zona elastica la roca no se enccuentradescomprimida.

Consideremos ahora que se toma en cuenta la cohesión de la arena arcillosa (SC)

C = 1 ton/m2.

Los esfuerzos, no dependen de la presión interna en el túnel.

re=19.64 m

s.r

“re” es pequeño debido a la alta presión interna del soporte “Pi”.

s.r

La cohesión es muy baja y la fricción, produciéndose una gran plastificación alrededor del perímetro.

re=19.64 m

Radio de plastificación de 19.64 m, mucho mayor al estimado cuando se considera una presión radial interna de 8 ton/m2, donde el radio de plastificación fue aproximadamente 7 m.

Se ve el efecto del soporte interno(pi = 8 ton/m2, fig. 13) disminuye el anillo de plastificación

Se debe tener presente el tiempo que se demora en colocar ese soporte, parámetro que no estáreflejado en las ecuaciones utilizadas.

La presencia de una presión interna pi = 8 ton/m2 (FIG. 13), los esfuerzos en el perímetroson mayores (σθ = 18.26ton/m2, σr = 8 ton/m2).

La fig. 14 (σθ = 3.02 ton/m2, σr = 0 ton/m2) donde no existe presión interna.

En el límite de la zona plástica los esfuerzos difieren muy poco

a pesar de que esos esfuerzos se alcanzan para radios de plastificación diferente.

La presencia de la cohesión hace que la diferencia entre el esfuerzo tangencial y radial, se haga más pequeña.

Si Hay diferencia

Los esfuerzos tienden a ser hidrostáticos

La fig. 15, presenta la distribución de esfuerzos radiales y tangenciales, correspondientes a tres valores de cohesión ( C =1 ton/m2, C = 2 ton/m2

y C = 3 ton/m2).

A medida que aumenta la cohesión el radio de plastificación (re) disminuye(C =1 ton/m2 re = 19.64 m; C = 2 ton/m2 re = 12.37 m; C = 3 ton/m2 re = 9.68 m).

La variación de los esfuerzos radiales y tangenciales en el límite de la zona plástica no es considerable

A pesar de que ese límite se ubica a distancia a distancias diferentes

(σθ) en el límite donde finaliza la zona plástica, es mayor que el valor del esfuerzo tangencial (σθ) donde se inicia la zona elástica en dicho límite.

Por ejemplo para la fig. 13, estos valores son σθ= 28.74 ton/m2 y σθ = 20.51 ton/m2, respectivamente.

¿Qué podemos decir de estos resultados?.

¿ estos esfuerzos alcanzan la resistencia al corte del material?,

Evaluando el cortante y su resistencia, haciendo la consideración que σθ y σr son esfuerzos principales:

Para la zona plástica (fig. 13):

El cortante en el límite de la zona plástica será: τ = (28.74-11.27)/2 ⇒

τ =8.74 ton/m2

La resistencia al corte será: τf = 1. cos(23)+ ((28.74+11.27)/2). sin(23) ⇒

τf = 8.74 ton/m2

Se aprecia como el cortante alcanza la resistencia al corte plastificando el material, y por tanto se puede considerar que esa zona plástica estáen un estado de falla.

Para la zona elástica (fig. 13):

El cortante en el límite de la zona plástica será: τ = (20.51-19.49)/2 ⇒

τ =0.51 ton/m2

La resistencia al corte será: τf = 1. cos(23)+ ((20.51+19.49)/2). sin(23) ⇒

τf = 8.74 ton/m2

Se observa que evaluando la resistencia al corte con los esfuerzos estimados con las expresiones de elasticidad, el resultado es el mismo, en el límite de ambas zonas. Sin embargo el cortante al comienzo de la zona elástica es bastante pequeño.

τ =8.74 ton/m2

Teoría de plasticidad – Criterio de rotura de Hoek y Brown (1980

Apoyados básicamente en el criterio de Ladanyi y Archambault (1969) y de Jaeger (1970), lograron establecer un criterio de falla empírico para masas rocosas, relacionando los esfuerzos principales en la falla σ1 y σ3, a través de la siguiente ecuación:

2331 ... cc sm σσσσσ ++= (16)

Donde:

σ1 : Esfuerzo principal mayor en la falla

σ3 : Esfuerzo principal menor de confinamiento en la falla

σc: Resistencia a la compresión uníaxial de la roca intacta

m,s : Son constantes no dimensionales que dependen de la forma y grado de encaje entre los bloques individuales de la masa rocosa.

Hoek y Brown (1980), consideran que la ley del esfuerzo efectivo, se aplica a este criterio de falla, es decir:

σ’1 = σ1 – u ...........................................................................................................17a

σ’3 = σ3 – u ........................................................................... ...............................17b

Sustituyendo 17a y17b, en la ec. 16, resulta:

( ) 2331 cc sum σσσσσ ⋅+−⋅⋅+=

( ) 2/13

31

+

−⋅⋅+= s

um

cc σ

σσσσ

(18)

(19)

Hoek y Brown (1980), recomiendan que cuando no exista disponibilidad de datos de pruebas de laboratorio, pueden utilizarse las clasificaciones de Barton et al (1973) y de Bieniawski (1974), para estimar las constantes (m, s), cuyas relaciones sepresentan en la tabla 1.

Tabla 1. Relación aproximada entre la calidad de l a masa rocosa y las constantes empíricas

Criterio de falla empírico: Rocas de carbonatadas

bien cristalizada (dolomita,

piedra caliza, mármol).

Rocas arcillosas litificadas(Argilitas, limonitas,

pizarras no arenosas)

Rocas Arenosas

bien cementadas (arenisca y cuarcita)

Rocas ígneas de grano fino

(andesita, doletita, diabasa, riolita)

Rocas metamórficas e ígneas de

grano grueso (gneis, granito, norita, cuarzo, diorita).

Muestras de roca intactas. Muestras de laboratorio libres de juntas.RMR = 100 Q = 500

m = 7.00s = 1.00A = 0.816B = 0.658T = -0.140

m = 10.00s = 1.00A = 0.918B = 0.677T = -0.099

m = 15.00s = 1.00A = 1.044B = 0.692T = -0.067

m = 17.00s = 1.00A = 1.086B = 0.696T = -0.059

m = 25.00s = 1.00A = 1.22B = 0.705T =- 0.040

2331 cc sm σσσσσ ⋅+⋅⋅+=

B

cc TA

−⋅=

σσστ

⋅+−⋅= smmT 4

2

1 2






Rocas Arenosas






2331 cc sm σσσσσ ⋅+⋅⋅+=

B

cc TA

−⋅=

σσστ

⋅+−⋅= smmT 4

2

1 2

Masa rocosa de muy buena calidad. Roca inalterada de encaje apretado, con juntas meteorizadas. Juntas a ± 3 m.RMR = 85 Q = 100

m = 3.50s = 0.100A = 0.651B = 0.679T = -0.028

m = 5.00s = 0.10A = 0.739B = 0.692T = -0.020

m = 7.50s = 0.10A = 0.848B = 0.702T = -0.013

m = 8.50s = 0.10A = 0.883B = 0.705T = -0.012

m = 12.50s = 0.10A = 0.998B = 0.712T = -0.008

Masa rocosa de buena calidad. Roca ligeramente alterada con juntas de 1 a 3 m.RMR = 65 Q = 10

m = 0.70s = 0.004A = 0.369B = 0.669T = -0.006

m = 1.00s = 0.004A = 0.427B = 0.683T = -0.004

m = 1.5s = 0.004A = 0.501B = 0.695T = -0.003

m = 1.7s = 0.004A = 0.525B = 0.698T = -0.002

m = 2.5s = 0.004A = 0.603B = 0.707T = -0.002

Masa rocosa de calidad regular. Varios conjuntos de juntas moderadamente meteorizadas y espaciadas de 0.3 a 1m.RMR = 44 Q = 1

m = 0.14s = 0.0001A = 0.662B = 0.696T = -0.0007

m = 0.20s = 0.0001A = 0.234B = 0.675T = -0.0005

m = 0.30s = 0.0001A = 0.280B = 0.688T = -0.0003

m = 0.34s = 0.0001A = 0.295B = 0.691T = -0.0003

m = 0.50s = 0.0001A = 0.346B = 0.700T= -0.0002






Rocas Arenosas






2331 cc sm σσσσσ ⋅+⋅⋅+=

B

cc TA

−⋅=

σσστ

⋅+−⋅= smmT 4

2

1 2

Masa rocosa de mala calidad. Numerosas juntas meteorizadas de 30 cm a 50 mm con algún relleno de desechos limpios.RMR = 23 Q = 0.1

m = 0.04s = 0.00001A = 0.115B = 0.696T = -0.0002

m = 0.05s = 0.00001A = 0.129B = 0.655T = -0.0002

m = 0.08s = 0.00001A = 0.162B = 0.672T = -0.0001

m = 0.09s = 0.00001A = 0.172B = 0.677T = -0.0001

m = 0.13s= 0.00001A = 0.203B = 0.686T= -0.0001

Masa rocosa de pésima calidad. Numerosas juntas sumamente meteorizadas, espaciadas a menos de 50 mm, con rellenos – desechos con materiales triturados finamente.RMR = 3 Q = 0.01

m = 0.007s = 0A = 0.042B = 0.534T = 0

m = 0.010s = 0A = 0.050B = 0.539T = 0

m = 0.015s = 0A = 0.061B = 0.546T = 0

m = 0.017s = 0A = 0.065B = 0.548T = 0

m = 0.025s = 0A = 0.078B = 0.556T = 0

La ec. 16, se puede desarrollar como a continuación se indica:

( )22/1

3231

+⋅=− sm

cc σ

σσσσ (20)

Desarrollando, se llega a:

( ) 2/121

2213 ..4...4.

2

1

2 ccc smmm σσσσσσ ++±+= (21)

El esfuerzo principal menor vendrá dado por:

( ) 2/121

2213 ..4...4.

2

1

2 cccc smmm σσσσσσσ ++−

⋅+= (22)

Considerando σ1 = 0, se obtiene la resistencia a la tensión σt:

( )

+−==

2/123 .4

2smmc

tσσσ (23)

A partir de la ecuación 16:

s = 1 y σ3 = 0, es decir que σ1 = σc resistencia a la compresión uniaxial (σc) para roca intacta

A partir de la ecuación 23:

s = 0 la resistencia a la tensión será igual a cero (σt = 0)

Significa que los valores de s varían entre cero y uno (s = 0 para σt = 0 y s =1 para σ1 = σc

σ32 - 2σ1σ3 + σ1

2 = m.σc.σ3 + s.σc2

σ32 – (2σ1 + m.σc).σ3 + σ1

2 – s.σc = 0

Los estados intermedios de resistencia tendrán valores de s en el rango también de cero a uno ( 0 < s < 1).

Relaciones entre la resistencia al corte (τf) y el esfuerzo normal (σn), con respecto a los esfuerzos principales en la falla:

82

2

31

231

3c

n

mσσσ

σσ

σσ+

−

−

+=

−+−=

24

.1)(

313 σσ

σσστ cnf

m

(24)

(25)

Al derivar la ecuación 25, respecto al esfuerzo σn, se obtiene la tangente del ángulo de fricción interno instantáneo, para determinado esfuerzo normal (σn):

( )312

.1tan

σσσφ−

+= ci

m(26.a )

La cohesión instantánea puede ser calculada a través de la envolvente de resistencia de Mohr-Coulomb.

infiC φστ tan.−= (26.b)

De la fig. 1, haciendo sumatoria de fuerzas radiales y tangenciales (detalle del lado izquierdo), se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

(27)

(28)

Aplicando la teoría de elasticidad, las deformaciones en la dirección radial y tangencial se expresan, como:

(29.a) (29b)

(30)

(31)

(32)

De la suma de ambas

SE escribe como:

Sustituyendo en la ec. 28Ec. 28

Resulta

(33a)

(33b)

(33c)

A partir de las ec. 33b y 33c, se obtiene:

34

Para r = re σr = σre

Para r = ro σr = σo.

Sustituyendo en la ec. 34, ambas condiciones, resultan las siguientes expresiones:

(35a) (35b)

(36)

Si una de las condiciones se sustituye en la ec. 34, se puede obtener:

(37)

Integrando:

Cambio

Luego del cambio

Se evalúa

Resulta

Restando ambas ec.

(38)

(39)

(31)

Sustituyendo en la ec. 34

Resulta

Sustituyendo en la ec. 31 y luego de algunas consideraciones

Se puede decir que (m,s) son constantes del material original, es decir antes de ser perturbado.

Sin embargo una vez que se hace la excavación, los parámetros se designarán con las letras (mr,sr), para indicar que el suelo está perturbado ó el macizo rocoso perturbado.

Significa que la ec.16, se escribirá:

2331 ... cc srmr σσσσσ ++= (40)

Las ec. 28, 38 y 39, vienen de una sumatoria de fuerzas, donde no sean considerado los esfuerzos cortantes.

Por tanto:

El esfuerzo radial σr y el esfuerzo tangencial σθ, son esfuerzos principales, donde:

σr = σ3 y σθ=σ1

(28)(38) 39

macizo rocoso perturbado.

Por tanto la ec. 40, se escribe como:

2... crcr srmr σσσσσθ ++= (41)

La sustitución de la ec. 41 en la ec. 28:

(42)

(43)

cuando r = R

(44)

Sustituyendo la ec. 44 en 43 :

(45)

La constante c1, será:

σr = Pi.

Cond. De borde

En la zona elástica de la fig. 11, los parámetros (mr,sr) del material alterado deben ser sustituidos por los parámetros (m,s) no alterados del material, escribiéndose dicho criterio de rotura, como:

2... crecree sm σσσσσθ ++= (46)

σθe: Esfuerzo tangencial elástico.

σre: Esfuerzo radial elástico.

Evaluando la ec. 39, en la frontera elasto– plastica. r = re:

(47)

La ec. 47, se puede escribir:

(48)

Igualando la ec. 48 con la 46, se obtiene:

(49)

(50)

La ec. 46, debe cumplirse en la frontera elásto-plástica:

(39)

También el criterio de rotura de la zona plástica debe cumplirse en frontera:

Por tanto para r = re evaluando la ec. 45 , se debe obtener el valor del esfuerzo radial elástico σre

(51)

Igualando la ec. 49 con la 51:

(52)

(53)

La roca se plastificará cuando la presión del sostenimiento es inferioral valor de la presión radial dada por la ec. 49. Este ec. se escribe por tanto:

(54)donde:

Picr: Presión crítica del sostenimiento.

(45)

Ec. 49

Con el conocimiento anterior acerca de los esfuerzos en la masa de material que rodea al túnel, hablemos de las curvas características del terreno :

Aplicación del criterio de rotura de Hoek y Brown (1980) en la determinación de las curvas características del terreno

Representación típica de una curva característica, para una excavación subterránea.

Pernia et al (1988), quienes definen “Una curva característica del terreno, es la relación entre la variación del esfuerzo radial, que actúa sobre un punto del perímetro de la excavación subterránea, en función de la deformación que se produce en ese punto del perímetro de la masa rocosa”.

Puntos (1,6), no existe ningún tipo de desplazamiento, ya que los mismos representan el estado del terreno, antes de la excavación óestán lejos del frente de excavación y su estado detensiones, se considera que no se altera por la excavación.

Puntos 2, 3, 4 y 7, tensiones ha cambiado por la excavación del túnel. La presión ha disminuido, debido a que han ocurrido también desplazamientos (u) en dichos puntos, es decir ha ocurrido una relajación del túnel, debido a la excavación.

La curva característica del sostenimiento, la cual se intercepta con la curva característica del terreno en el punto 5. En el punto 5, ocurre la interacción del terreno –sostenimiento, y ambos llegan a una presión de equilibrio.

Considerando que los puntos (2 y 3)se ubican próximos a la clave del túnel, cerca del frente de excavación. Se observa en la fig. 16b, como los círculos que representan sus estados de esfuerzos, se acercan a la envolvente de falla (Kf).

Pto 5, se considera se ubica en la clave del túnel, pero donde ya existe interacción del terreno con el sostenimiento. Su estado de esfuerzo de este punto en la fig. 16b, corresponde a una condición más estable, ya que el esfuerzo vertical disminuye, sin embargo el cortante se hace más pequeño, retirándose de la envolvente de falla.

Punto estado de esfuerzos en el perímetro en el momento en que se consigue el equilibrio. Ya no ocurrirá ningún desplazamiento y la presión radial en el perímetro serácero. Este comportamiento corresponde al de un terreno auto-estable, como el representado por la curva A.

• Existe la posibilidad que el terreno no alcance el equilibrio sin ningún soporte, y esto está representado por la curva B, donde se observa que este terreno no es auto-estable. Si el sostenimiento se demora en colocar, no ocurrirá ninguna interacción y se tendrá un colapso en el avance.

Entre el punto 1 y el punto 4, se encuentra el comportamiento elástico del material y luego a partir del punto 4 comienza el comportamiento plástico del mismo. Por tanto el punto 4, corresponde al estado radial crítico representado por Picr.

Estimación de los desplazamientos radiales [1][1] La explicación de las expresiones de desplazamiento está bien dada en el Manual del Instituto Geológico y Minero de España (1998)

1.- Desplazamiento radial (ue) de la frontera elasto – plástica, se debe a la disminución de los esfuerzos en la zona cercana al perímetro, ocurre un desconfinamiento en esa área, disminuyendo los esfuerzos radiales y tangenciales. Aquí el esfuerzo radial

σr disminuirá desde σo a un valor de equilibrio σre en la frontera elasto – plástica.

(55)

(49)con la ayuda de la ec. 49

(56)

2.- Deformación volumétrica (eav), debido a la plastificación de la roca, y que es positiva cuando el volumen disminuye. Con la ayuda de la fig. 17, se puede expresar:

(57)

eav: Deformación volumétrica

re: Radio de plastificación luego que ocurre el desplazamiento radial (ue).

ri: Radio del túnel luego después del desplazamiento radial (ui)

rio: Radio del túnel, igual a “R” definido inicialmente.

ue: Desplazamiento radial de la frontera elasto – plástica.

ui: Desplazamiento radial del perímetro del túnel.

De la ec. 57 ordenando términos se obtiene:

(58)

(59)

(52)

La ec. 52, puede escribirse también en función de determinado r = ri

(60)

Sustituyendo la ec. 56 y la ec. 60 en 59, resulta:

(61)

Desplazamiento radial en el perímetro

Sustituyendo

R por ri (radio túnel)

Ec. 56

sustituyendo

Ladanyi, propuso la siguiente expresión para eav:

(62)

El factor RR depende de la siguiente condición:

Para

63.1Para

63.2

La ec. 62, será escrita considerando que ri = R, debido a que cuando en estáecuación de la deformación volumétrica, se sustituye la ec. 60, quedando la misma en función de la presión interna Pi, la cual será variable en el cálculo, resulta una curva característica de poca continuidad, respecto a la curva característica de comportamiento elástico. Por esa razón en el cálculo, eav será un valor constante.

(64)

La ec. 58, que corresponde a los desplazamientos radiales en el perímetro del túnel una vez que ocurre plastificación, y con la sustitución previamente la ec. 61, resulta:

(65)

Esta última ecuación permite obtener las curvas características correspondientes al techo, pared y solera del túnel.

Ec. 68

Si la presión radial en el perímetro del túnel se mantiene por encima del valor Picrdado por la ec. 54, el material circundante del túnel, se mantiene en estado elástico, y para el cual las curvas características se pueden estimar a través de la siguiente expresión:

(66)

donde:

ui_e: Desplazamientos elásticos en el perímetro del túnel

Pi: Presión interna en túnel, la cual es variable durante el cálculo.

El modelo considera el efecto de la gravedad en la estimación de las curvas características, a través de:

•Para el techo la presión interna se incrementa: Pi + γ. (re – R)

•Para la pared la presión interna se mantiene: Pi

•Para la solera la presión se disminuye: Pi - γ. (re – R)

Ec. 54

Curva característica para Pi > Picr

donde:

ui_e: Desplazamientos elásticos en el perímetro del túnel

Pi: Presión interna en túnel, la cual es variable durante el cálculo.

Curva característica para Pi > Picr

Curva característica para Pi < Picr

•Para el techo : Pi + γ. (re – R)

•Para la pared Pi

•Para la solera Pi - γ. (re – R)

Curvas características para el suelo donde se encuentra embebido el túnel de Valencia

Ell suelo en el cual se encuentra embebido el túnel, se caracterizó:

φ= 23º y C = 1 ton/m 2

Este suelo ahora será caracterizado con los parámetros (m, s) de HoeK y Brown(1988), para lo cual se utiliza la relación aproximada entre la calidad de material y las constantes empíricas (m,s) dadas por dichos autores. Tomando en cuenta que el túnel se encuentra ubicado en un suelo, aquí se ha considerado, que la clasificación equivalente a la de Hoek y Brown (1988), debe ser la de un macizo de mala calidad, y cuyos parámetros m y s, se le dieron los siguientes valores:

m=0.010 y s = 0.0000001

Luego de plastificado el material, estos valores deben de disminuir, por tanto para el análisis se tomará:

mr=0.0080 y sr = 0.00000001 .

Nuevamente se tiene que presión interna (Pi) ejercida por el revestimiento es de 8 ton/m2 , valor tomado en el análisis anterior

1.- Radio de plastificación

Aplicando la ec. 52

el radio de plastificación estimado es un valor no lógico (re = 1264000 m), valor no real, que puede interpretarse como si la abertura subterránea en este suelo caracterizado con los parámetros m = 0.010 y s = 0.0000001, se plastificará en un anillo de grandes dimensiones.

Aquí se tomará un radio de plastificación de 15 m (re = 15 m), es decir que toda la carga del techo, por encima del túnel analizado.

2.- Esfuerzos radiales y tangenciales

Límite entre la zona elástica y plástica

A partir de las ecuaciones de elasticidad 49 y 48, estos valores de frontera son, σre=19.38 ton/m2 y σθe = 20.62 ton/m2.

ec 48

Ec 49

En la frontera

En la frontera elasto-plástica

Los esfuerzos son en la frontera pero usando los parámetros elásticos (m, s)

De las ecuaciones de plasticidad 45 y 41, los valores son σre= 8.80 ton/m2 y σθe= 9.55 ton/m2.

En el perímetro del túnel

A través de la ecuación de plasticidad 41, el valor de σθe = 8.72 ton/m2 y σr será la presión Pi aplicada en el perímetro de 8 ton/m2

En la misma frontera

En la frontera pero usando los parámetros plásticos (mr,sr)

En el perímetro del túnel a través de la ecuación de plasticidad 41, el valor de σθe = 8.72 ton/m2 y σr será la presión Pi aplicada en el perímetro de 8 ton/m2

0 0

Se produce un salto en el límite entre la zona plástica y la zona elástica (σre=19.38 ton/m2 y σθe = 20.62 ton/m2), valores que se mantienen aproximadamente alrededor de 20 ton/m2.

En la fig. 18, se observa como los esfuerzos radiales y tangenciales se mantienen prácticamente constante (σσσσθθθθp(ri) = 8.72 ton/m 2, σσσσθθθθp(re) = 9.55 ton/m 2, σσσσrp(ri)= 8 ton/m 2, σσσσrp(re)=8.80 ton/m 2).

Para la estimación en la zona plástica

Para la estimación en la zona elástica

3.- Presión Crítica (P_crít) en límite entre la zona elástica y plástica

P_crítica

4.- Variación de la presión radial versus el desplazamiento en el perímetro cuando la masa de material se encuentra en estado elástico.

La presión radial variará desde σo = 20 ton/m2 hasta P_crít = 19.38 ton/m2

•Los desplazamientos se estiman a través de la ec. 66.

•El módulo de Young y el coeficiente de poisson le corresponden los siguientes valores: E = 800 ton/m2 y ν = 0.35.

•Los desplazamientos radiales se consideran son los mismos en cualquier dirección, sin embargo las presiones radiales se estiman no son las mismas en el techo, solera y pared, por tanto se corrigen de acuerdo a lo comentado arriba.

•Los resultados se muestran en la fig. 19.

S.r se considera que son correctas

Pared

techo

Solera

4.- Variación de la presión radial versus el desplazamiento en el perímetro cuando la masa de material se encuentra en estado elástico.

La presión radial variará desde σo = 20 ton/m2 hasta P_crít = 19.38 ton/m2

No tiene importancia:

Po – Peso_Sueo (re-ri): puede dar negativo

•rango de presiones en el cual se está estimando los desplazamientos es muy pequeño, es decir que el estado elástico se mantiene en un estado de esfuerzos de muy poca amplitud (de 20 ton/m2 a 19.38 ton/m2).

Respecto a la fig. 19, se debe indicar:

•El rango de presiones en el cual se está estimando los desplazamientos es muy pequeño, es decir que el estado elástico se mantiene en un estado de esfuerzos de muy poca amplitud (de 20 ton/m2 a 19.38 ton/m2).

•No debemos olvidar, que tal vez para el caso analizado no está presente ningún comportamiento elástico una vez que se hace la abertura, ya que así lo indicó el radio de plastificación (re), posteriormente modificado.

• Otra consideración importante, es que los desplazamientos correspondientes al este estado elástico, prácticamente ocurren a presión uniforme, es decir como si el suelo estuviera en estado de fluencia plástica

5.- Variación de la presión radial versus el desplazamiento en el perímetro cuando la masa de material se encuentra en estado plástico

•La presión radial variará desde P_crít = 19.38 ton/m2 hasta cero, donde se espera se alcance el equilibrio sin ningún tipo de soporte.

•Los desplazamientos se estiman a través de la ec. 64 y 65.

•Los parámetros de clasificación del material se consideran son: mr = 0.0080 y sr = 0.00000001 y una resistencia a la compresión simple σc de 8 ton/m2

•El módulo de Young, el coeficiente de poisson tiene los valores: E = 800 ton/m2 y ν = 0.35.

•Para los desplazamientos radiales y las presiones radiales se tienen las mismas consideraciones que en el punto 4.

Del perímetro una vez plastificada la roca.

Pared

Techo

s.r Se considera que es lo correcto

Solera

Representando la presión en un rango muy pequeño

Representando la presión en rango amplio

Si el comportamiento fuera elástico se estimóanteriormente

Esto es correcto

pared

Techo

Solera

Esto sería en la zona elástica

Esto no es correcto

Esto no es correcto Diferente al

gráfico para la zona elástica estimado anteriormente

Gráfico no correcto

No es correcto

No es correcto

El anterior fue:

El anterior fue:

0.0020 0.002 0.004 0.006 0.008 0.015

5

15

25

35

45()Pi1

Pi1γ_suelo() reri

Pi1γ_suelo() reriPi

Piγ_suelo() reri

Piγ_suelo() reri,,,,,uie()Pi1uie_techo()Pi1uie_solera()Pi1ui()Piui_techo()Piui_solera()Pi

No es correcto

No es correcto

Ejercicio aplicando las expresiones del manual español:

Ejercicio:

El manual español lo prepara del libro de Hoek y Brown "UndergroundExcavations in Rock"

Se supone que se excava una galería de 8 m de ancho, para transporte general en una mina a 1000 m de profundidad respecto a la superficie.

El terreno es una cuarcita de muy buena calidad con un RMR de 85. Debido a la proximidad de las explotaciones se supone que la presión de campo se incrementa hasta alcanzar el valor de 10800 ton/m2.

Los datos referentes a las características geotécnicas del terreno son los siguientes:

Parámetros elásticos del macizo rocoso:

Resistencia a compresión simple de la roca intacta:

Esf. Radial y tangencial en la frontera elasto -plástica

Ton/m2

Zona plástica

Zona elástica

Evaluando el estado elástico Pi1 > P_crítica

Desplazamiento perímetro en paredestado elástico

Desplazamiento perímetro techoestado elástico

Desplazamiento perímetro estado plástico

Estado plástico pared

Estado plástico techo

Estado elástico pared techo

Estado plástico pared techo

CLASE Nº 7 DE TÚNELES - Geoasbuilt - · PDF fileGeotecnia Prof. Silvio Rojas Mayo,...

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