Clase 6 Distribuciones Discretas

8/10/2019 Clase 6 Distribuciones Discretas

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UNMSM FISI EAPIS CURSO: ESTADSTICA II SEMESTRE 2014-2

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PROFESORA: LIC. JUSTA CARIDAD HUAROTO SUMARI

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA MSIMPORTANTES

Existe un gran nmero de modelos para estudiar la distribucin de grupos de datos que provienen de

una variable aleatoria. Disponiendo de la distribucin de probabilidad , a partir de ella se puede

obtener toda la informacin que se requiera acerca de la variable aleatoria en estudio, incluyendo suscaractersticas numricas.

El alumno podr, frente a un fenmeno aleatorio, decidir si le corresponde como modelo alguna de

las distribuciones que aqu presentamos.

Entre las distribuciones de variable discreta tenemos la distribucin: de Bernoulli, binomial,

geomtrica, hipergeomtrica, dePoisson, etc.; y entre los modelos de variable continua tenemos las

distribuciones: uniforme, normal, exponencial, t destudent, F deSnedecor.

DISTRIBUCIN DE BERNOULLI

Una prueba o ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene slo dos resultados posibles.

Comnmente se suele denominar a uno de ellos como xito (E) y al otro como fracaso (F).

Ejemplos de ensayos de Bernoulli:-

Lanzar un misil a un objetivo y ver si acierta o no.

- Probar un artefacto y decidir si su funcionamiento es satisfactorio o no.

-

Elegir al azar un estudiante del aula y ver si est invicto acadmicamente o no.

El espacio muestral asociado a una prueba de Bernoulli es: },{ FE , donde los resultados pueden

o no ser equiprobables, siendo P(E) = p, donde 0< p < 1.

Si en este experimento definimos la variable aleatoria X tal que X(E)=1 y X(F)=0, la distribucin de

probabilidad de la variable X es:xi : 0 1

p(xi) : 1-p p

La distribucin de Bernoulli tambin se puede representar mediante la siguiente frmula:

.1,0para)1()( 1 xppxp xx El parmetro de este modelo es p, donde o


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La ley de probabilidad binomial se denota del modo siguiente:

1.


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defectuosa, el proceso se detiene. Si el proceso pasara a producir el 5% de defectuosas, el fabricante

deseara que este cambio se notara con probabilidad igual a 0.95. cul debe ser el valor de N para

que se cumplan los deseos del fabricante?

Solucin:

Se desea hallar el valor de N de tal modo que, cuando la proporcin de defectuosas en toda laproduccin sea del 5%, la probabilidad de que se tenga por lo menos una botella defectuosa en la

muestra sea 0.95. Sea X el nmero de botellas defectuosas en cada muestra de tamao N. Luego, X

tiene distribucin binomial con parmetros N y p= 0.05, y segn la condicin

0.95 = P(1 X N) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.95Nresulta N=59.

Caractersticas Numricas:

Si una v.a.X tiene distribucin binomial, con parmetros n y p, entonces se cumple que la esperanza

y la varianza son:

E(X) = np y V(X) = npq, en donde q=1-p.

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Consideremos una poblacin finita de N elementos, r de los cuales tienen cierta caracterstica de

inters y los N-r restantes no la tienen. De esta poblacin, dividida en dos categoras, se eligen al

azar y simultneamente n elementos y se considera la variable aleatoria X que cuenta el nmero de

elementos elegidos que poseen la caracterstica de inters.

En este experimento el evento [ kX ] ocurre si y solo si exactamente k elementos elegidos poseenla caracterstica de inters, para rk0 .

Se dice que una variable aleatoria X tiene distribucin hipergeomtrica si su distribucin

hipergeomtrica, con parmetros N, r y n si su distribucin de probabilidad es

N

n

rN

kn

r

k

C

CCkXPkp

)(

siempre que los valores kde la variable cumplan con

mx [0, n(N-r)] k min [n, r]

Notacin: Si una v.a. X tiene distribucin hipergeomtrica, se escribe X H(N,r,n).

El modelo es el mismo si las extracciones se hacen de una en una y sin restitucin.

A diferencia del experimento binomial, en este caso la v. a. X cuenta el nmero de xitos en n

ensayos no independientes de Bernoulli, con probabilidad de xito p = r/N constante en cada ensayo.

EJEMPLO:Un fabricante ofrece un artculo en lotes de 10 unidades, de los cuales el 80% son buenos. Para

comprar un lote, el comprador extrae dos artculos al azar y si los dos estn buenos compra el lote; en

caso contrario, lo rechaza. El costo de produccin y puesta en tienda de cada lote es de 800 soles.

Cuando se logra vender el lote se obtiene una utilidad de 300 soles.

a) Obtener la distribucin de probabilidad de la ganancia neta por lote.

b)

Si cada da el fabricante ofrece 15 de estos lotes, cul es el nmero esperado de lotes quevende?


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SOLUCION:a) En este caso, la ganancia neta por lote toma los valores 300, cuando se han extrado dos artculos

buenos, y800 cuando se han extrado menos de dos artculos buenos.

Sea la v.a. X: nmero de artculos buenos extrados de cada lote. Entonces, X H(10, 8, 2).

Si G = ganancia neta por lote, entonces Rx= {-800, 300} de modo que

P(G = 300) = P(X = 2) =10

2

2

0

8

2

C

CC= 28/45

y P(G = -800) = P(X< 2) = 17/45.

Luego, la distribucin de probabilidad de G es:

g 300 -800

p(g) 28/45 17/45

c)

El ofrecer cada lote constituye un ensayo de Bernoulli, con probabilidad de venderlo (xito) iguala 28/45, constante para cada lote. Sea la v.a. Y el nmero de lotes vendidos cada da. As definida,

Y tiene distribucin binomial b(15,45

28) y, por lo tanto, E(Y) = np = 15(28/45) = 9.33; significa

que, el fabricante espera vender un promedio de 9.33 lotes por da si ofrece 15 lotes diarios

durante muchos das.

Propiedad:Cuando N es suficientemente grande y n es pequeo respecto a N (en la prctica cuando n/N 0.1)la distribucin hipergeomtrica H(N, r, n) se aproxima a la distribucin

b(n, p), en donde p es igual a r/N.


Para una v.a. X con distribucin hipergeomtrica H(N, r, n) se cumple:

)/()( NrnXE y

11)(

N

nN

N

r

N

rnXV .

Observamos que, si N es suficientemente grande y n es pequeo respecto de N,

1N

nN se

aproxima a 1 y as, la esperanza y la varianza tienen la misma forma que en el caso de la distribucinbinomial.

DISTRIBUCIN GEOMTRICA

La variable aleatoria que tiene distribucin geomtrica se define para un experimento que es muy

similar a un experimento binomial. Tambin se refiere a pruebas idnticas e independientes, y cada

una puede tener dos resulados, xito o fracaso. La probabilidad de tener xito es igual a p y es

constante para cada prueba. Sin embargo, la variable aleatoria geomtrica X es el nmero de la

prueba en la cual ocurre el primer xito, en lugar del nmero de xitos que ocurren en las n pruebas.

Entonces, el experimento consiste en una serie de pruebas que terminan al obtener el primer xito.


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Por consiguiente, el experimento podra terminar en la primera prueba al obtener un xito o podra

seguir indefinidamente.

El espacio muestral para el experimento contiene el siguiente conjunto infinito contable depuntos:

= {E, FE, FFE, FFFE,..........}

Como la variable aleatoria X es el nmero de pruebas hasta tener el primer xito, la distribucin de

probabilidad de X est dada por:

p x p p x

( ) ( ) 1 1 para x = 1, 2, 3, ......; 0


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Solucin:Sea X la variable aleatoria que denota el nmero de automviles que llegan a la estacin de servicio,

en un minuto dado. Si el nmero medio de automviles que llegan a la estacin de suministro es 240

por hora, entonces = 240/60 = 4.

Luego, X ~P(4). Se pide P(X>8)= 0.021344

Ejemplo 2:El nmero X de tanques de aceite que llegan a una refinera, cada da se comporta como una variable

de Poisson con parmetro 2. Las facilidades de puerto de la refinera pueden servir tres tanques por

da. Si llegan ms de tres tanques en un da, los tanques en exceso deben ser puestos en otro puerto.

En un da especificado, cul es la probabilidad de tener que enviar tanques a otro lugar?

Solucin:Sea la v.a. X: Nmero de llegadas de tanques por da. Entonces

X ~P(2). Se pide P(X>3) = 0.1428, probabilidad que se interpreta del modo siguiente: el 14.28% de

los das en que lleguen tanques a la refinera ser necesario enviarlos a otro puerto.


Si X tiene distribucin de Poisson, con parmetro , entonces la esperanza y la varianza de X son:

E(X) = y V(X) =

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