Clase 4 Microeconomía I - angelgarciabanchs.com · 7) Hallar en base a la demanda hicksiana de x...

Doctorado en Economía, yMaestría en T. y P. Económica AvanzadaFACES, UCV

Microeconomía I

Prof. Angel García [email protected]

Clase/Semana 4

Problema del consumidor

Formalmente:

1) Plantear el Lagrange y encontrar los puntos óptimos

2) Determinar si corresponde a un máximo (Hessiano restringido)

0 0x

0x

]xpxp[- xx

21

22112

21

1

=∂∂

=∂∂

=∂∂

−+=

λ

λαα

LLLmL

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

=

0x

)x,x(x

)x,x(x

)x,x(xx

),x,x(xx

),x,x(x

)x,x(xx

),x,x(xx

),x,x(

2

*2

*1

1

*2

*1

2

*2

*1

22

**2

*1

2

12

**2

*1

21

*2

*1

21

**2

*1

2

11

**2

*1

2

gg

gLL

gLL

H R

λλ

λλ


Formalmente:

Hallar el determinante (regla de Laplace - Pierre-Simon Laplace – e.g. 3 fila )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

= −−−

−−−

0pppxx)1(xxpxxxx)1(

21

222

21

12212

211

121

112

211

1212

221

111αααα

αααα

αααααααα

RH

222

1122

122

11121

122

11121

22

211116

212

211

121

12

221

1112

5

222

21

122

112

211

1211

4

xx)1(xxxxxx)1(

0)1(

pxxpxx)1(

p)1(pxx)1(pxx

p)1(

−−−

−−−

−−

−

−

−−

−−

×−+

−×−+

−×−=

αααα

αααα

αα

αα

αα

αα

αααααααα

αααα

αααα

RH


Formalmente:

queremos que sea positivo para que sea un máximo, y determinar si lo es requiere substituir el valor de p1 y p2 por sus respectivas ecuaciones en términos de λ, o su valor númerico en caso de ser conocido

0)1( 2 >− RH


La ecuación de Slutsky (Eugen Slutsky)

Los cambios en la demanda producto de cambios en precios dependen de dos efectos: el efecto substitución (por el cambio en precios relativos) y el efecto ingreso (por el cambio en poder de compra del consumidor)

LI: cómo cambia la demanda compensada del bien 1 cuando cambia p2LD: este cambio es igual al cambio de la demanda manteniendo mconstante más el cambio en la demanda cuando m varía por el cambio de m necesario para mantener u constante cuando cambia p2.

444 3444 214434421

48476484764847648476

ingresoefectoónsubstituciefecto

de gastofunciónnaMarshalliaHicksiananaMarshallia

mmmum

ummmum

1*2

1*1

2

21*1

2

1*1

2

211*1

2

21*1

2

1*1

)p,(x)p,(xp

)p,p,(xp

)p,(x

p)p,p,()p,(x

p)p,p,(x

p)p,(x

∂∂

−∂

∂=

∂∂

∂∂

∂∂

−∂

∂=

∂∂



En general:

44 844 7648476484764847648476

constante utilidadmantener para ingreso en cambio

***

pp

)p,p,()p,(xpp

)p,p,(xp

p)p,(x

jj

de gastofunción

ji

naMarshallia

iij

j

Hicksiana

jiij

j

naMarshallia

ii ummmum

Δ∂

∂∂

∂−Δ

∂∂

=Δ∂

∂



Y, ¿qué pasa si p1 y p2 cambian simultáneamente?

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

1

2

21

1

21

2*2

1*1

2

1

2

21*2

2

21*1

1

21*2

1

21*1

2

1

2

*2

1

*2

2

*1

1

*1

pp

p

)p,p,(p

)p,p,( )p,(x

)p,(x

pp

p)p,p,(x

p)p,p,(x

p)p,p,(x

p)p,p,(x

pp

p)p,(x

p)p,(x

p)p,(x

p)p,(x

umum

mmmm

uu

uu

mm

mm

ii

ii




[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

××

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

2

12

*21

*1

2*2

1*1

2

1

2

21*2

2

21*1

1

21*2

1

21*1

*2

*1

pp

)p,(x)p,(x )p,(x

)p,(x

pp

p)p,p,(x

p)p,p,(x

p)p,p,(x

p)p,p,(x

)p,(x)p,(x

mm

mmmm

uu

uu

mm

i

i




ingresom

mm

mmm

ónsubstituciuu

uu

mm

i

i

pp

)p,(x)p,(x

)p,(x)p,(x

pp

p)p,p,(x

p)p,p,(x

p)p,p,(x

p)p,p,(x

)p,(x)p,(x

2

1

1*2

2*2

1*1

1*1

2

1

2

21*2

2

21*1

1

21*2

1

21*1

*2

*1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

El Bienestar del consumidor

El superávit del consumidor

Superávit Consumidor

Superávit Productor

Cantidades de equilibrio q*

Precio o curva de demanda

Precio o curva de oferta

Precio de equilibrio p*

Cantidades

Precio

SC: ½ [ pmax - p*] q*SP: ½ [ p*- pmin ] q*

Precio max consumidor

pd(qd=0)

Precio min productor po(qo=0)


El superávit del consumidor

Superávit Consumidor

Superávit Productor

Cantidades de equilibrio

Precio o curva de demanda

Precio o curva de oferta

Precio de equilibrio

Cantidades

Precio

*p

p

o

*p

p

d

qp - dp )p(q

qp - dp )p(qmin

*

max

*

∗

∗

∫

∫=

=

SP

SC


Variación equivalente y Variación compensatoria

¿Cómo comparar dos estados distintos de la naturaleza? Es decir, ¿cómo determinar que he estado es superior ?

El problema es el mismo: las utilidades indirectas de distintos individuos no son comparables. Requerimos entonces una expresión objetivaen términos de dinero que substituya a la expresión subjetiva en términos de utiles : la función de gasto del consumidor

0)p,()p,( 00f

p=−′′ mvmv

iniciales e finales gasto y precio de niveles losa

alcanzados utilidad de niveles los son )p,( , )p,( donde 00mvmv ′′

)p,( ó )p,( 00mm ′′



)p),p,(()p),p,(( b00

b mvmmvm −′′

consumidor del gasto el valora se cual al base precio el p y iniciales, e finales gasto y precio de niveles losa

alcanzados utilidad de niveles los son )p,( , )p,( donde

b

00mvmv ′′

000000

0b

)p),p,(()p),p,(()p),p,((

pp :eequivalent Variación

mmvmmvmmvmVE −′′=−′′=

=

)p),p,(()p),p,(()p),p,((

pp :riacompensato Variación0000

b

′−′=′−′′′=

′=

mvmmmvmmvmVC



La VE es la cantidad de Bs F a precios iniciales que debería entregársele al consumidor para que éste pueda costear el nuevo nivel de utilidad asociado al nuevo nivel de precios y gasto. Es la cantidad de dinero que el consumidor aceptaría a cambio de un aumento en los precios. ¿ Qué implica VE<0? ¿El nuevo estado de la naturaleza deja mejor o peor al consumidor?

000000

0b

)p),p,(()p),p,(()p),p,((

pp :eequivalent Variación

mmvmmvmmvmVE −′′=−′′=

=



La VC es el negativo de la cantidad de Bs F a precios finales que debería entregársele al consumidor para que éste pueda costear el nivel de utilidad asociado al nivel de precios y gasto inicial. Es la mínima cantidad de dinero (valorada a precios finales) que el consumidor aceptaría del planificador a cambio del aumento en precio. La compensación ocurre después del cambio en precios; por ello, ¿Qué implica VC<0? ¿El nuevo estado de la naturaleza deja mejor o peor al consumidor?

])p),p,(([

)p),p,(()p),p,(()p),p,((

pp :riacompensato Variación

00

0000b

mmvm

mvmmmvmmvmVC

′−′−=

′−′=′−′′′=

′=

ppb ′=


Variación equivalente, a raíz de una caída de p1

U ′)p,(x 0 ′m

)p,(x 00m 0U

)p,(x 00 VEm +

2x

1x

VE


Variación equivalente, a raíz de una alza de p1

U ′)p,(x 0 ′m

)p,(x 00m

0U)p,(x 00 VEm −

2x

1x

VE


Variación compensatoria, a raíz de una caída de p1

U ′)p,(x 0 ′m

)p,(x 00m 0U)p,(x 0 ′−VCm

2x

1x

VC


Variación compensatoria, a raíz de una alza de p1

U ′)p,(x 0 ′m

)p,(x 00m0U

)p,(x 0 ′+VCm

2x

1x

VC



002

01

021

02

01

02

01

002

01

021

022

01b

)p,p),p,p,((

)p,p),p,p,(()p,p),p,p,((

)pp,p(p :eequivalent Variación

mmvm

mvmmvmVE

−′′=

−′′=

==

0p y 0p con ,p y p precios con x y x bienes dos de caso el osConsiderem

21

2121

≠Δ≠Δ

])p,p),p,p,(([ )p,p),p,p,((

)p,p),p,p,(()p,p),p,p,((

)pp,p(p :riacompensato Variación

021

02

01

0021

02

01

0

021

02

01

0021

021

0221b

mmvmmvmm

mvmmvmVC

′−′−=′−′=

′−′′′=

=′=



p y de valor el osubstituid una vez ,dp x

)pp,p(p :eequivalent Variación

21

p

p

*1

022

01b

01

1

vvVE ′==

==

∫ ′

0p y 0p con ,p y p precios con x y x bienes dos de caso el osConsiderem

21

2121

≠Δ≠Δ

p y de valor el osubstituid una vez ,dp x

)pp,p(p :riacompensato Variación

20

1

p

p

*1

0221b

01

1

vvVC ==

=′=

∫ ′

El bienestar del consumidor

ambos?a base en Y¿cuando?x no y x qué¿Por inicial) la y 4,p endo(substituy la y final) la y

4,p endo(substituy la x dehicksiana demanda la a base en Hallar 7)la y la 5)a base en Hallar 6)

sabemos ya cuales los de 2 casos, 4 los en gasto del valor el Hallar 5)final situaciónla enindirecta utilidadla Calcular 4)inicial situaciónla enindirecta utilidadla Calcular 3)

gasto de función Hallar 2)indirecta utilidad Hallar 1)

}4,200,3{}p,p,{ y }4,400,3{}p,p,{ con

xx)x,u(x :Ejemplo

21

2

21

202

00

1/21/421

11

21

uVCu

VEVCVE

mm

=

=

=′′′=

=

El bienestar del consumidor

Fin clase de hoy…

Apéndice:

Material de apoyo…


El problema de la maximización de la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria tiene como dual (i.e. como equivalente) la minimización del gasto en bolívares fuertes necesario para alcanzar un nivel de utilidad dado:

Ejemplo:

¿Por qué lo anterior es posible? ¿Qué permite la dualidad?¿Qué conduce a que la selección de las x sea igual en ambos casos?Y, ¿cuál es la implicación para la distribución del ingreso y lasinteracciones sociales?

mpxs.a.

xux

≤≥

)(max0 ≈

uxvs.a.

pxx

=≥

)(

min0

xx)( 22

11

αα=xu

ms.a. ≤+ 2211

22

11

}x,x{

xpxp

xxmax21

αα

≈us.a. =

+

22

11

2211}x,x{

xx

xpxp min21

αα


Resultado:

Marshalliana Hicksianao compensatoria¿por qué?

ms.a. ≤+ 2211

22

11

}x,x{

xpxp

xxmax21

αα

21

2

22

*2

21

1

11

*1

p)p,(x

p)p,(x

ααα

ααα

+=

+=

mm

mm

≈us.a. =

+

22

11

2211}x,x{

xx

xpxp min21

αα

≈

21

2

21

2

1

1

2

2

11

2

2

121

*2

1

1

2

2

1

21*1

ppp

p)p,p,(x

pp

)p,p,(x

αα

α

αα

α

ααα

α

αα

+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

uu

uu


Resultado:

ms.a. ≤+ 2211

22

11

}x,x{

xpxp

xxmax21

αα

12

1

22

21

2

22

*2

21

1

11

*1

xpp

px

p)p,(x

p)p,(x

−=

+=

+=

m

mm

mm

ααα

ααα

{

CMBM

xu

xu

ObjTES

SubTMS

=

=

∂∂∂

∂

−

−

2

1

2

*1

*

pp

x)(

x)(

321

2pm

1pm


Resultado:

La función de demanda del bien l depende únicamente del l-avo precio, además de ser homogéneo de grado 0 en m y p, y lineal en m. Por ello, su elasticidad ingreso es 1.

Función de utilidad indirecta:

¿A qué debería ser igual?

...,lmmme

l

llml

21para ,1x

)p,(x*

*

,x* ==∂

∂=

)21(22

11

22

11

21

2

21

2

2

1

21

1

121

*2

*1

)21(pp

pp)p,p,()x,x(

αααααααα

αα

αααα

ααα

ααα

+−−−+ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

m

mmmvu

?)p,p,()x,x( 21*2

*1 =

∂∂

=∂

∂m

mvm

u


Resultado:

Invertir la función de utilidad indirecta, ¿a qué conduce?

¿Función de qué y compensatoria de qué?

Verificarlo substituyendo en la función de gasto a minimizar

21

21

1

212

2

211

1

21

2

21

2

2

1

21

1

121

*2

*1

)(p)(p

)p,p,(

pp)p,p,()x,x(

αααα

αα

ααα

ααα

ααα

ααα

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

uum

mmmvu

)p,p,(x y )p,p,(x 21*221

*1 uu


)p,(naMarshallia

* mx

mpxs.a.

xux

≤≥

)(max0

uxvs.a.

pxx

=≥

)(

min0

Dualidad

Resolver

)()p,(indirecta utilidad

*xumv = *)p,(gasto de función

pxum =

Inversión

Resolver

Substituir Substituir

)p,(Hicksiana

* ux


Inversión

Substitución

*)p,(gasto de función

pxum =)()p,(indirecta utilidad

*xumv =

Identidad de Roy Diferenciación

)p,(

)(na Marshallia*

*

mx

x

i

i

)p,(

)(Hicksiana *

*

ux

x

i

i


Diferenciación de la función de gasto con respecto al precio

Cuánto debe aumentar el gasto para mantener fijo el nivel de utilidad cuando cambia el precio del bien i depende de la demanda del bien i

21

2

1

1

2

2

1

21*1

1

21

pp

)p,p,(xp

)p,p,(

gasto de función

αα

α

αα

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

∂∂ uuum


Identidad de Roy (Rene Roy)

)p,(x)p,p),p,p,((

p)p,p),p,p,((

p)p,p,(

0p

)p,p),p,p,((p

)p,p,()p,p),p,p,((

0p

)p,p),p,p,((

)p general en o( pa respecto con lados ambos ndodiferenciay

)p,p),p,p,(()p,p,(

)p,p,( conindirecta utilidad de funciónla oEscribiend

*1

2121

1

2121

1

21

1

2121

1

212121

1

2121

1

212121

21

m

mumv

umvum

umvumm

umv

umv

uumvmv

um

i

=

∂∂

∂∂

−=∂

∂

=∂

∂+

∂∂

∂∂

=∂

∂

==

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