Captulo I

Resolucin de

Problemas

Temario de la clase

Operatoria con Nmeros Reales

Uso de parntesis, prioridad en las operaciones

Uso de la calculadora cientfica.

Ejercicios

Los Conjuntos Numricos.

I R

Z

Q

N

35 2 7 5

3 3

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1

-5/2 -2/3

-0.2 0.51666

1/2

5/2

R: Conjunto Nmeros Reales

N: Conjunto Nmeros Naturales

Z: Conjunto Nmeros Enteros

Q: Conjunto Nmeros Racionales

I: Conjunto Nmeros Irracionales

0.555

Los Nmeros Reales Representados en la Recta de los Nmeros Reales

Los nmeros reales pueden representarse por puntos en una recta. Seleccionamos el cero u origen;

todas las posiciones a la derecha del origen son positivas (+) y las de la izquierda son negativas (-).

A cada punto sobre la recta le corresponde un nmero real nico y a cada nmero real le corresponde

un nico punto en la recta (correspondencia uno a uno). Hay infinitos nmeros en la recta de los

nmeros reales. A los valores de estos puntos en la recta se les llama coordenadas.

Ejercicio

Ubica los siguientes nmeros en la recta numrica.

Operatoria con Nmeros Reales

CONCEPTOS BASICOS SOBRE LOS NUMEROS

1- Mltiplos: Los mltiplos de un numero n son todos aquellos nmeros que se obtienen

multiplicando el numero n por todos los nmeros naturales. Se considera al cero como

mltiplo de cualquier otro numero.

Ejemplo: a) mltiplos de 5: b) mltiplos de 8:

2 - Divisores: Los divisores de un numero n son aquellos nmeros que dividen en forma exacta al

numero n.

Ejemplo: a) divisores de 6: b) divisores de 24:

3 - Nmeros primos: Son aquellos nmeros que solo se pueden dividir en forma exacta por uno y por el

mismo numero.

Ejemplo: nmeros primos: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , , 17, . . .

4 - Nmeros compuestos: Son aquellos nmeros que no son primos

Ejemplo: nmeros compuestos: 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , . . .

5 - Nmeros pares: Son todos los mltiplos de 2.

Ejemplo: nmeros pares: 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18, . . .

6 - Nmeros impares: Son aquellos que se obtiene restando una unidad a los nmeros pares.

Ejemplo: a) nmeros impares: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , . . .

7 - Mnimo comn mltiplo (m.c.m.): Es el menor de los mltiplos comunes de un conjunto de

nmeros.

Ejemplo 1: Determinar el m.c.m. de 4 , 12 , 18

a) mltiplos de 4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40, . . .

b) mltiplos de 12: 12 , 24 , 36, 48, . . .

c) mltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, . . . .

Ejemplo 2: Determinar el m.c.m. de 4, 12, 18, usando el mtodo de la tabla:

Se divide en forma exacta cada numero hasta que quede en 1. Se comienza a dividir por los

nmeros primos de menor a mayor. Cuando un numero no se divide en forma exacta se baja.

El m.c.m. se obtiene al multiplicar todos los nmeros usados para dividir.

8 - Antecesor y sucesor:

El antecesor de un numero n es : n 1

El sucesor de un numero n es: n + 1

Ejemplos: a) sucesor de 7 : 7 + 1 = 8 b) antecesor de 5: 5 - 1 = 4

9 - Inverso aditivo: Corresponde al mismo nmero, pero con signo cambiado.

Ejemplos: a) aditivo inverso de 4 es - 4 b) aditivo inverso de - 7 es 7

10 - Valor absoluto: Se refiere a la cantidad de unidades que forman a un numero sin considerar su

signo. El valor absoluto se designa mediante dos lneas verticales: l n l = n

Ejemplo: a) Calcular I 3 I = 3 b) Calcular: l 12 l = 12

c) Calcular: l 8 - 12 l = d) Calcular: l 34 - 27 l =

11.- Valor relativo: Se refiere a la cantidad de unidades que forman un numero, considerando su

signo. (tal como se utiliza para realizar las diferentes operaciones aritmticas)

Ejemplo: a) valor relativo de - 3 es 3 unidades negativas

b) valor relativo de 7 es 7 unidades positivas

Ejercicios

1 - Representa mediante un numero entero las sgtes. situaciones:

a) Un submarino esta a 40 metros bajo el nivel del mar: ____________

b) La ciudad se encuentra a una altura de 2400 metros sobre el nivel del mar: ___________

c) Ana tiene una deuda de $70.000: _________________

d) La temperatura mnima fue de 6 grados bajo cero: ________________

2 - Un submarino esta en la superficie del mar, luego desciende 35 metros, posteriormente asciende 12

metros, despus asciende 14 metros y finalmente desciende 19 metros. Cul es la ubicacin del

submarino con respecto a la superficie del mar?

Encierra con un circulo la alternativa correcta.

3 - El aditivo inverso de -9 es:

a) 9 b) - 9 c) l 9 l d) 1/9 e) N.A.

4 - El valor absoluto de |17 - 43 | =? Es:

a) - 26 b) |-26 | c) 26 d) 60 e) N.A.

5.- El sucesor de - 24 es:

a) 25 b) 23 c) 23 d) 25 e) N.A.

6.- El mnimo comn mltiplo entre 6 , 18 y 4 es :

a) 18 b) 24 c) 28 d) 36 e) N.A.

7.- De las sgtes. alternativas cual es un numero primo?:

a) 15 b) 33 c) 41 d) 50 e) N.A.

8.- El antecesor de - 8 es:

a) 9 b) 7 c) 7 d) 9 e) N.A.

12 Regla de los signos:

1.- Para multiplicar o dividir:

a) Si los signos son iguales el resultado es positivo

b) Si los signos son diferentes el resultado es negativo

Ejemplo: a) 4 5 = b) 7 -3 = c) - 6 - 8 = d) -24/6 = e) -10/-2 =

2.- Para sumar o restar:

a) Si los signos son iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo.

b) Si los signos son diferentes, se restan los valores absolutos y se conserva el signo del

nmero de mayor valor absoluto.

Ejemplo:

a) - 12 - 4 - 10 = b) 23 + 5 + 6 = c) 18 - 24 = d) - 32 + 48 = e) 12 - 34 + 18 - 7 =

Nota: Cuando hay dos signos juntos, conviene aplicar primero la regla de los signos (de la

multiplicacin) para dejar un solo signo y luego realizar la operacin.

Ejemplo:

a) 15 - ( - 8 ) + ( - 17 ) - ( 13 ) + ( - 4 ) = b) - 20 - ( - 18 ) + ( - 32 ) ( 42 ) ( - 52 ) =

13 - Potencias

Una potencia es una manera abreviada de expresar un producto o multiplicacin, lo que ayuda a

trabajar con nmeros muy grandes o muy pequeos.

En general, si a es un nmero real y n es un entero positivo, se puede escribir lo siguiente:

a = a a a a a donde hay n factores de a (ojo con la regla de los signos)

El nmero real a se llama base y el entero positivo n se llama exponente. De manera particular, se

define:

a = 1 (siendo a real 0 ya que la expresin 0 no est definida)

Ejemplos: 5 = 5 5 5 5 = 625

3 = 3 3 3 3 3 3 3 3 = 6.561

1.259 = 1

Propiedades de las Potencias

Sean a y b reales y sean n y m enteros positivos. Se cumplen las siguientes propiedades de las

potencias:

1) a = a a a a a n-sima potencia de a

2) a a = a misma base se suman exponentes

3) a b = (ab) se multiplican las bases se conserva exponente

4) (a) = a se multiplican los exponentes

5) a / b = (a/b) se dividen las bases se mantiene exponente (b 0)

6) a / a = a se restan exponentes (m > n, a 0)

7) a = (1 / a) = 1 / a inverso multiplicativo

8) a = (a) = a exponente racional (m entero, n entero positivo, a real 0)

m m

m m

m m

m / m m

Ejercicios

1) Descomponer los siguientes nmeros como producto de factores primos

a) 256 b) 1.525 c) 1936 d) 441 e) 2.020

2) Determinar cul o cules de las siguientes expresiones son verdaderas. Justificar.

a) 3 : 3 = 1 b) 3 + 4 = 5 c) 3 + 2 = 6 d) (5x) = 1, x 0

e) 3 = 15 f) (1/4) = 16 g) [(1/x)] = 0, x 0

h) (-1/3) = -1 i) 2(0) = 1 j) 2 - 2 = 1 k) 4 - 2 = 0

l) (12) = 12 m) (12) = (12) n) (3 5) = 225 o) 3 5 2 = 3 5 2

3) Resolver cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias

a) (3/7) + (1/2) b) (1/9) + 3 c) (-1) + (-1) + (-1) + (-1)

4) Calcular las siguientes potencias:

5) Resolver cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias

d) 2 : 2 e) x x x f) (-6nx / 3z) , z0 g) 3 3 2 2 h) 4 : 4 i) (a : a) a 6) Resuelve las sgtes. operaciones aplicando las reglas de los signos

a) 23 + 12 - 35 = b) - 34 + 12 + 8 = c) 12 + 4 - 8 =

d) - 48 - ( - 12 ) + ( - 5 ) = e) - 24 - 18 - 7 = f) - 7 4 =

g) - 12 - 4 = h) - 64 : - 4 = i) 56 : - 7 =

14 - Prioridad de las operaciones

Para resolver ejercicios combinados (con sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones), es

recomendable seguir los siguientes pasos:

1 Resolver las operaciones que estn dentro de parntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ] (signos de

agrupacin)

2 Calcular potencias y races (captulos siguientes)

3 Calcular productos y cocientes (multiplicaciones y divisiones)

4 Calcular sumas y restas

Ejemplo:

Resolver el siguiente ejercicio combinado

8 ( 10 3) 9 + 7 3 [9 (3 8)]

15 Resolucin de problemas usando operaciones aritmticas

a) Un grupo de 28 personas de la Serena deciden viajar a Santiago. Para viajar tienen dos alternativas:

1) cada persona paga su pasaje que cuesta $5.200 de ida y $ 6.000 de vuelta. 2) Un bus cobra

$330.000 de ida y vuelta por todo el grupo. Determine que alternativa es mas conveniente y cuanto

dinero se ahorran con esa alternativa. ( sol.: conviene la 1 alternativa, ahorran = $16.400 )

b) Un grupo de 27 personas organiza un paseo por tres das. La cuota que debe pagar cada persona es

de $28.200. Dos personas no pueden pagar esta cuota y el resto del grupo decide asumir sus gastos,

Cul es la nueva cuota que debe pagar cada persona? ( sol.: cuota = $30.456 )

c) En Siberia en un da de verano a las 7 de la maana la temperatura es de 5 grados bajo cero. Entre

las 7 y las 10 de la maana la temperatura baja 3 grados por cada hora, luego entre las 10 y las 13

horas la temperatura sube 2 grados por cada hora y entre las 13 y las 17 horas la temperatura sube

3 grados por cada hora. Cul es la temperatura a las 17 horas? ( sol.: t = 4 )

d) Mnica recorri 480 kilmetros y gasto 40 litros de bencina. Cuntos kilmetros por litro recorre su

auto, si la velocidad es siempre la misma? Cunta bencina gastara en un viaje de 270 kilmetros, a

la misma velocidad? ( sol.: recorre 12 km por litro ; gastara 22,5 litros )

e) Un grupo de 17 personas tiene las sgtes. alternativas para alojamiento de tres das:

1) Cabaas para 6 personas: $22.700 diarios

2) Hostera: $14.355 por persona los tres das.

Cul es la alternativa ms econmica? Cunto dinero ahorran al elegir la alternativa ms

econmica? ( sol.: la alternativa ms econmica es la 1 ; ahorran $39.735 )

15 Operatoria con fracciones

Una fraccin representa la parte de un total escrita de la manera

Parte Numerador

Total Denominador

Denominador: indica el total de partes iguales en que se divide el total o entero

Numerador: indica cuantas partes del total se estn usando

Tipos de fracciones

El tipo de fraccin depender de los valores que pueden tomar el numerador y el denominador

(recordar: denominador siempre 0). Son dos tipos: a) Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador.

Ejemplo: 3/7 5/8 3/45

b) Fracciones impropias: el numerador es mayor que el denominador (para recordar, son al revs de las propias)

Ejemplo: 9/8 25/13 3/2

Las fracciones impropias se pueden expresar tambin como nmeros mixtos, los cuales son una

combinacin de enteros y fracciones

Ejemplo: 9/8 = 1 1/8 (se lee un entero un octavo)

Operaciones con fracciones

Sean a/b y c/d dos fracciones cualesquiera:

a) Suma: a + c = ad +bc se multiplica cruzado y los productos se suman

b d bd se multiplican los denominadores

Si los denominadores son iguales, para sumar las fracciones se conserva este denominador y se

suman los numeradores. Este tipo de fracciones se denominan homogneas en tanto que las restantes

se denominan heterogneas.

Ejemplos: 3 + 6 = 3*7 + 5*6 = 21 + 30 = 51 suma de fracciones heterogneas

5 7 5*7 35 35

2 + 8 = 2 + 8 = 10 suma de fracciones homogneas

9 9 9 9

b) Resta: a - c = ad - bc se multiplica cruzado y los productos se restan

b d bd se multiplican los denominadores

Si los denominadores son iguales, para restar las fracciones se conserva este denominador y se

restan los numeradores. Aplican las mismas reglas que para suma de fracciones, slo que se resta.

Ejemplos: 3 - 6 = 3*7 5*6 = 21 - 30 = - 9 resta de fracciones heterogneas

5 7 5*7 35 35

2 - 8 = 2 - 8 = - 6 = - 2 resta de fracciones homogneas

9 9 9 9 3

Nota: para el caso de la resta, s importa el orden de la multiplicacin cruzada ya que el signo menos

puede cambiar el resultado.

6 - 3 = 6*5 7*3 = 30 - 21 = + 9 resta de fracciones heterogneas

7 5 5*7 35 35

c) Multiplicacin: a * c = ac se multiplican numeradores

b d bd se multiplican denominadores

Tanto para fracciones homogneas como heterogneas aplica la misma regla. Luego de las

multiplicaciones procede la simplificacin con tal de llegar a una fraccin irreductible.

Ejemplo: 4 * 3 = 4 * 3 = 12 = 6

5 10 5 * 10 50 25

d) Divisin: a : c = a * d se multiplica la 1era fraccin con el recproco de la 2da

b d b c

Ejemplo: 6 : 7 = 6 * 2 = 12

7 2 7 7 49

Ejercicios

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