CLASE 22 PARTE 1: FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Definición. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora...
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CLASE 22 PARTE 1: FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Definición. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Ejercicios para las clase 22 •Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11. Bibliografía de la Clase 22: •Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.
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CLASE 22 PARTE 1: FUNCIÓN INVERSA LOCAL.
Definición.
Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.
Derechos reservados.
Ejercicios para las clase 22
•Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11.
Bibliografía de la Clase 22:
•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.
Sea dada
en un abierto D. Sea dado un punto y sea
DEFINICIÓN: f es localmente invertible en torno de asi existe un entorno del
punto a, tal que
es biyectiva (biunívoca: inyectiva y sobreyectiva). Entoncesexiste función inversa local:
EJEMPLO.
CLASE 22 PARTE 2: TEOREMA DE LA FUNCIÓN
INVERSA LOCAL.
Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.
Derechos reservados.
Ejercicios para las clase 22
•Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11.
Bibliografía de la Clase 22:
•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.
Sea dada
en un abierto D. Sea dado un punto y sea
TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL.
Si
entonces:
Dem.Sea la función auxiliar
Por el teorema de la función implícita local en el caso de unsistema de q ecuaciones:
sigue
Teníamos
sigue
Llamando teníamos
g es la inversa local de f.
Derivando respecto de p y aplicando la Regla de la Cadena
CLASE 22 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Ejemplo.
Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.
Derechos reservados.
Ejercicios para las clase 22
•Práctico 6 del año 2006. Ejercicios 3 y 11.
Bibliografía de la Clase 22:
•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.
EJEMPLO
Sea
Probar que f tiene inversa local en torno de a
y hallar las derivadas parciales de x e y respecto de u y v.
Por el teoremade la funcióninversa local:
OBSERVACIÓN. El recíproco del teorema de lafunción inversa es falso. Existen funciones localmente invertibles que no son diferenciables, y otras que son diferenciables pero su Jacobiano tiene determinante iguala cero.
EJEMPLO. Sea
Demostrar que f es localmente invertible pero Jf(a) = 0
f es invertible porque dado (u,v) sea
