Clase 2- 3 -Dinamica.pdf
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CINEMTICA DE LA PARTCULA
-
INTRODUCCIN MECANICA
MECNICA DE FLUIDOS
MECNICA DE CUERPO
DEFORMABLE
MECANICA DE
CUERPO RIGIDOS
DINAMICA ESTATICA
CINETICA CINEMATICA
-
CINEMTICA RECTILNEA
Decimos que una partcula tiene un movimiento
rectilneo cuando su trayectoria medida con respecto
a un observador es una lnea recta
1. POSICIN.
'
' '
x x x
r r r x i xi
2. DESPLAZAMIENTO.
-
VELOCIDAD MEDIA
Si la partcula se mueve de P a P experimentando un desplazamiento x positivo durante un intervalo de tiempo t, entonces, la velocidad media ser
2 2
2 1
' '
' '
m
m
x xxv
t t t
r r r x i xiv
t t t t t
-
VELOCIDAD INSTANTNEA
Es la velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al lmite la velocidad
media es decir, se hace cada vez ms pequeo el
intervalo de tiempo y por tanto valores ms
pequeos de x. Por tanto:
0
0
lim( )
lim( )
t
t
x dxv
t dt
r dr dxv i
t dt dt
-
ACELERACIN MEDIA .
Si la velocidad de la partcula al pasar por P es v y cuando pasa
por P es v durante un intervalo de tiempo t, entonces:
La aceleracin media se
define como
'
'med
v v va
t t t
-
ACELERACIN INSTANTANEA .
La aceleracin instantnea se obtiene llevando al lmite la aceleracin media cuando t tiende a cero es decir
0
2
2
lim( )
( )
t
v dva
t dt
d dx d xa
dt dt dt
-
RESUMEN
-
DETERMINACIN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA
LA ACELERACIN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilneo
uniforme y las ecuaciones obtenidas son
-
Ejemplo 01 Una partcula metlica est sujeta a
la influencia de un campo magntico
tal que se mueve verticalmente a
travs de un fluido, desde la placa A
hasta la placa B, Si la partcula se
suelta desde el reposo en C cuando
S = 100 mm, y la aceleracin se
mide como donde S est
en metros. Determine; (a) la
velocidad de la partcula cuando
llega a B (S = 200 mm) y (b) el
tiempo requerido para moverse de C
a B
-
Solucin Debido a que a = f(S), puede
obtenerse la velocidad como
funcin de la posicin usando vdv
= a dS. Consideramos adems que
v = 0 cuando S = 100 mm
La velocidad cuando S = 0,2 m es
El tiempo que demora en viajar la partcula de C a B se
determina en la forma
Cuando S = 0,2 m el tiempo es
2 2
2 2ln
duu u a k
u a
-
MOVIMIENTO CURVILINEO
-
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA
VELOCIDAD Y LA ACELERACIN POSICIN. La posicin instantnea de una partcula en componentes x, y, z es
kzjyixr
Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t)
La magnitud del vector de posicin
ser 222 zyxr
-
Velocidad media. Si una partcula se mueve de P a P experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media ser
Es un vector secante a la trayectoria
m
r x y zv i j k
t t t t
-
Velocidad instantnea. Se obtiene llevando al lmite cuando t 0, la velocidad media
es decir:
Es un vector tangente a la curva y
tiene una magnitud definida por
kvjviv
kzjyixkdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv
zyx
222
zyx vvvv
-
Aceleracin media. Cuando la partcula cambia de posicin su velocidad tambien cambia.
Entonces la aceleracin media ser
Es un vector que se encuentra dirigido
a lo largo del cambio de velocidades
yx zm
vv vva i j k
t t t t
-
Aceleracin instantnea. Se obtiene llevando al lmite la aceleracin media.
Es un vector que se encuentra dirigido
hacia la concavidad de la curva y su
magnitud es
x y z
x x
y y
z z
dva a i a j a k
dt
donde
a v x
a v y
a v z
222
zyx aaaa
-
EJEMPLO 05 El movimiento de la caja B est definida por
el vector de posicin
donde t esta en segundos y el argumento
para el seno y el coseno est en radianes.
Determine la localizacin de la caja cuando
t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y
aceleracin en este instante
[0,5 (2 ) 0,5cos(2 ) 0,2 ]r sen t i t j tk m
-
SOLUCIN La posicin de la partcula cuando t = 0,75 s es
La distancia medida desde el origen ser
La direccin es
0.75 {0.5s n(1.5 ) 0.5cos(1.5 ) 0.2(0.75) }t sr e rad i rad j k m
0,75 {0.499 0.0354 0.150 }sr i j k m
2 2 2(0.499) (0.0354) ( 0.150) 0.522r m
1
0.499 0.0352 0.150
0.522 0.522 0.522
0.955 0.0678 0.287
cos (0.955) 17.2
86.1
107
r
ru i j k
r
i j k
-
La velocidad de la partcula cuando t = 0,75 s es
La aceleracin de la partcula cuando t = 0,75s
a = 2 m/s2
{1cos(2 ) 1sin(2 ) 0.2 } /dr
v t i t j k m sdt
2 2 2 1.02 /x y zv v v v m s
2{ 2sin(2 ) 2cos(2 ) } /dv
a t i t j m sdt
-
Movimiento plano
Velocidad
-
Aceleracin Para Hallar
Como d es pequeo
-
CASOS ESPECIALES
1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta
r => an = v2/r 0 > a = at = v
La componente tangencial representa la razn
de cambio de la magnitud de la velocidad 2. La partcula se mueve en la curva a velocidad constante
at = v = 0 => a = an = v2/r
La componente normal representa la razn de cambio de la direccin de la
velocidad
CASOS ESPECIALES
-
3) La componente tangencial de la aceleracin es constante, at = (at)c.
So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0
3) La partcula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es
2
0 0
0
2 2
0 0
1( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
2 3/ 2
2 2
[1 ( / ) ]
/
dy dx
d y dxr
CASOS ESPECIALES
-
EJEMPLO 06
Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la que se est incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria
parablica indicada en la figura. Determine su velocidad y
aceleracin en el instante que llega a A. Desprecie en los clculos
el tamao del esquiador.
-
SOLUCIN
Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.
La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su direccin ser
Por lo tanto en A la velocidad forma 45 con el eje x
1,20
1
10
2 xdx
dyxy
-
La aceleracin se determina aplicando la ecuacin
Para ello se determina el radio de curvatura
2
t n
dv va e e
dt r
2 3/ 2
2 2
2 3/ 2
[1 ( / ) ]
/
[1 ( /10) ]
1/10
28.28
dy dx
d y dx
x
m
r
r
r
2
2
6 2
28,3
2 1,27
A t n
A t n
A t n
dv va e e
dt
a e e
a e e
r
-
La magnitud y la direccin de la aceleracin sern
2 2 2
1
2 1.237 2.37 /
2tan 57.5
1.327
a m s
-
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1 m/s2 partiendo
desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4
m/s2. Cul es su velocidad en ese instante.
Ejemplo 07
-
SOLUCIN
Se sabe que la aceleracin tangencial es constante e igual a
La aceleracin normal ser
La aceleracin total ser
La velocidad en este instante ser
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
2 22 2(2,1 ) 0.049 /
90n
v ta t m s
r
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2,4 2,1 [0.049 ]
4,87
t t n
t n
va a e e
a e t e
a t
t
t
r
2.1 10.2 /v t m s
-
Una caja parte del reposo en A e incrementa
su rapidez a razn de at = (0.2t) m/s2 y
viaja a lo largo de la pista horizontal
mostrada. Determine la magnitud y direccin
de la aceleracin cuando pasa por B
Ejemplo 08
-
La posicin de la caja en cualquier instante
es S medida a partir del punto fijo en A.
La velocidad en cualquier instante se
determina a partir de la aceleracin
tangencial, esto es
0 0
2
0.2 (1)
0.2
0.1 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
-
Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), despus obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir
De la geometra se tienesB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
2
2
0 0
3
0.1
0.1
0,0333 (3)
S t
dsv t
dt
ds t dt
S t
36,142 0,0333
5,69
t
t s
-
Remplazando el tiempo en las
ecuaciones (1) y (2) resulta
En el punto B el radio de curvatura
es = 2 m, entonces la aceleracin ser
La aceleracin total ser
Su modulo y direccin sern
2
2
( ) 0.2(5.69) 1.138 /
0.1(5.69) 3.238 /
B t B
B
a v m s
v m s
22( ) 5.242 /BB n
B
va m s
r
2
,
1,138 5,242
BB t B t n
B t n
va a e e
a e e
r
2 2 2
2
1,138 [5,242]
5,36 /
a
a m s
1 5.242[ ] 77,751,138
tg
-
En un instante dado, el avin a chorro tiene una rapidez de 400pies/s y la
aceleracin de 70pies/s2 .Determine la razn de incremento en la rapidez del
avin y el radio de curvatura de la trayectoria
Ejemplo 10
-
Un camin viaja en una trayectoria circular con radio de 50m a una rapidez de 4m/s. Por
una corta distancia desde s=0, su rapidez es incrementada en at=(0.05s) m/s2, donde s esta
en metros. Determine su rapidez y la magnitud de su aceleracin cuando ha recorrido
s=10m
Ejemplo 11
-
UNA PARTCULA P VIAJA A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA ESPIRAL
ELPTICA DE MANERA TAL QUE SU VECTOR POSICIN EST DEFINIDO
MEDIANTE R= {2COS(0.1T)I+1.5SEN(0.1T)J+(2T)K}, DONDE T EST EN
SEGUNDOS Y LOS ARGUMENTOS PARA EL SENO Y EL COSENO SON
DADOS EN RADIANES. CUANDO T=8S, DETERMINE LOS NGULOS
COORDENADOS DE DIRECCIN , , QUE EL EJE BINOMIAL AL PLANO OSCULADOR FORMA CON LOS EJES X,Y,Z. SUGERENCIA: ENCUENTRE LA VELOCIDAD VP Y LA
ACELERACIN AP DE LA PARTCULA EN TRMINOS DE SUS
COMPONENTES I,J,K.
Ejemplo 12
-
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:
MOVIMIENTO DEPENDIENTE
La posicin de una partcula puede depender de la posicin de otra u otras partculas.
En la figura la posicin de B depende de la posicin de A.
Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene
2 tan
2 0
2 0
A B
A B
A B
x x cons te
v v
a a
Debido a que slo una de las coordenadas
de posicin xA o xB puede elegirse
arbitrariamente el sistema posee un grado de
libertad
-
Aqu la posicin de una partcula depende de dos posiciones ms.
En la figura la posicin de B depende de la posicin de A y de C
Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene
2 2A B Cx x x ctte
022or022
022or022
CBACBA
CBACBA
aaadt
dv
dt
dv
dt
dv
vvvdt
dx
dt
dx
dt
dx
-
SI EL EXTREMO DEL CABLE
LOCALIZADO EN A EST SIENDO
JALADO CON RAPIDEZ DE 2M/S,
DETERMINE LA RAPIDEZ CON QUE SE
ELEVA EL BLOQUE E
-
LA GRA SE USA PARA ISAR LA CARGA.
SI LOS MOTORES COLOCADOS EN A Y B
ESTN JALANDO EL CABLE CON
RAPIDEZ DE 2 Y 4PIES/S,
RESPECTIVAMENTE, DETERMINE LA
RAPIDEZ DE LA CARG.
-
EJEMPLO 13
El collar A y el bloque B estn enlazados como se muestra en la figura
mediante una cuerda que pasa a travs
de dos poleas C, D y E. Las poleas C y
E son fijas mientras que la polea D se
mueve hacia abajo con una velocidad
constante de 3 pul/s. Sabiendo que el
collar inicia su movimiento desde el
reposo cuando t = 0 y alcanza la
velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por
L, Determine la variacin de altura, la
velocidad y la aceleracin del bloque B
cuando el collar pasa por L
-
SOLUCIN
Se analiza en primer lugar el movimiento de A.
El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleracin y el tiempo
2
2
020
2
s
in.9in.82
s
in.12
2
AA
AAAAA
aa
xxavv
s 333.1s
in.9
s
in.12
2
0
tt
tavv AAA
-
SOLUCIN
Como la polea tiene un MRU se calcula el
cambio de posicin en el tiempo t.
in. 4s333.1s
in.30
0
DD
DDD
xx
tvxx
El movimiento del bloque B depende del
movimiento del collar y la polea. El
cambio de posicin de B ser
0in.42in.8
02
22
0
000
000
BB
BBDDAA
BDABDA
xx
xxxxxx
xxxxxx
in.160 BB xx
-
SOLUCIN
Derivando la relacin entre las posiciones
se obtiene las ecuaciones para la velocidad
y la aceleracin
2 constant
2 0
in. in.12 2 3 0
s s
18 lg/
A D B
A D B
B
B
x x x
v v v
v
v pu s
in.
18s
Bv
2
2 0
in.9 0
s
A D B
B
a a a
a
2
2
in.9
s
9 lg/
B
B
a
a pu s
-
EJEMPLO 14
La caja C est siendo levantada
moviendo el rodillo A hacia abajo
con una velocidad constante de vA
=4m/s a lo largo de la gua.
Determine la velocidad y la
aceleracin de la caja en el
instante en que s = 1 m . Cuando
el rodillo est en B la caja se apoya
sobre el piso.
-
SOLUCIN
La relacin de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.
Cuando s = 1 m, la posicin de la caja C ser
Se determina ahora la posicin xA, cuando s = 1 m 2 24 8C Ax x m
4 4 1 3C Cx m s m m x m
2 23 4 8 3A Am x m x m
-
La velocidad se determina derivando la relacin entre las posiciones con respecto al tiempo
La aceleracin ser
1/ 2
2
2 2
116 (2 ) 0
2
3 (4 / )
16 16 3
2,4 /
C AA A
AC A
A
C
dx dxx x
dt dt
x m m sv v
x
v m s
2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2
3
2
16 16 16 [16 ]
4 3(0) 3 (4 )
16 9 16 9 [16 9]
2,048 /
C A A A A A AC A
A A A A
C
C
dv x v x a x vda v
dt dt x x x x
a
a m s
-
EJEMPLO 15
El sistema representado parte del reposo y
cada componente se mueve a aceleracin
constante. Si la aceleracin relativa del
bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2
hacia arriba y la aceleracin relativa del
bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2
hacia abajo. Halle: (a) la aceleracin del
bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de
posicin del bloque D al cabo de 5 s
-
EJEMPLO 16
Un hombre en A est sosteniendo
una caja S como se muestra en
la figura, caminando hacia la
derecha con una velocidad
constante de 0,5 m/s. Determine
la velocidad y la aceleracin
cuando llega al punto E. La
cuerda es de 30 m de longitud y
pasa por una pequea polea D.
-
RESOLUCIN GRFICA DE
PROBLEMAS EN EL MOVIMIENTO
RECTILNEO La velocidad y la aceleracin en el movimiento rectilneo estn dadas por las ecuaciones,
La primera ecuacin expresa que la velocidad instantnea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante.
La segunda ecuacin expresa que la aceleracin es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante
/
/
v dx dt
a dv dt
-
RESOLUCIN GRFICA DE
PROBLEMAS EN EL MOVIMIENTO
RECTILNEO Integrando la ecuacin de la velocidad tenemos
El rea bajo la grfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo
El rea bajo la grfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo
2 2
1 12 1 2 1;
t t
t tA x x vdt A v v adt
-
OTROS MTODOS GRFICOS El momento de rea se puede utilizar para
determinar la posicin de la partcula en
cualquier tiempo directamente de la curva v-t:
1
0
1 0
0 1 1
area bajo la curva
v
v
x x v t
v t t t dv
usando dv = a dt
,
1
0
11001
v
v
dtatttvxx
1
0
1
v
v
dtatt Momento de primer orden de area bajo la curva a-t con repecto a la
lnea t = t1
1 0 0 1 1rea bajo la curva
abscisa del centroide
x x v t a - t t t
t C
-
Mtodo para determinar la
aceleracin de una partcula de la
curva v-x
tan
a BC
dva v
dx
AB
a BC subnormal
-
EJEMPLO 17
Un ciclista se mueve en lnea recta tal que su posicin es descrita mediante la grfica mostrada. Construir la grfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0 t 30 s
-
EJEMPLO 18
Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lnea recta acelerando a
razn constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razn constante hasta
detenerse. Trazar las grficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que emplea en detenerse
-
SOLUCIN: GRAFICA V - T La grfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante
integracin de los segmentos de recta de la grfica a-t. Usando la
condicin inicial v = 0 cuando t = 0
Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condicin inicial para el
siguiente tramo se tiene
tvdtdvasttv
10,10;1010000
1202,2;2;1010100
tvdtdvattstv
Cuando t = t, la velocidad nuevamente es cero por tanto se
tiene
0= -2t + 120
t = 60 s
-
SOLUCIN: GRAFICA S - T La grfica posicin-tiempo puede ser determinada mediante integracin
de los segmentos de recta de la grfica v-t. Usando la condicin inicial
s = 0 cuando t = 0
Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condicin inicial para el
siguiente tramo se tiene
Cuando t = t, la posicin
S = 3000 m
2
005,10;10;100 tsdttdstvst
ts
600120
1202;1202;6010
2
10500
tts
dttdstvststs
-
EJEMPLO 19
La grfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en lnea
recta es el mostrado en la figura. Construir el grfico a-s del movimiento y determinar el
tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posicin S = 120 m
-
SOLUCIN Grafico a-s.
Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la grfica estn dadas, la grfica a-t
puede ser determinada usando la ecuacin dv = a ds
0
;15;12060
6.004.0
32.0;600
ds
dvva
vmsm
sds
dvva
svms
-
Calculo del tiempo.
El tiempo se obtiene usando la grfica v-t y la ecuacin v = ds/dt. Para el primer
tramo de movimiento, s = 0, t = 0
Cuando s = 60 m, t = 8,05 s
3ln5)32.0ln(5
32.0
32.0;32.0;600
0
st
s
dsdt
ds
v
dsdtsvms
st
o
-
Calculo del tiempo.
Para el segundo tramo de movimiento
Cuando S = 120 m, t= 12 s
05.415
15
15;15;12060
6005.8
s
t
dsdt
ds
v
dsdtvms
st
-
EJEMPLO 20
Una partcula parte del reposo y se mueve describiendo una lnea recta, su aceleracin
de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuacin
la aceleracin adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es
180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la
aceleracin durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.
-
SOLUCIN
En la figura se muestra el grfico velocidad-tiempo , ya que a =
constante.
La distancia total es la suma de las reas en valor absoluto
2 11
1
2 2
1 1
1
5 /
5 / ( ) 5 / (12 )
60 / (1)
vtg a m s
t
v m s t m s s
v m s
1 2 1 2 1 3 3
2 3 3
1 1780 ( ) ( )
2 2
1 1(12 )60 / ( ) 780 (2)
2 2
Td A A m t t v t v
s t m s t v m
-
El desplazamiento viene expresado por
1 2 1 2 1 3 3
2 3 3
1 1180 ( ) ( )
2 2
1 1(12 )60 / ( ) 180 (3)
2 2
x A A m t t v t v
s t m s t v m
2
2
(12 )60 / 960
4 (4)
s t m s m
t s
12
2
2
60 /
4
15 / (5)
v m sa tg
t s
a m s
-
232
3
2
3 3
15 /
15 / ( ) (6)
va tg m s
t
v m s t
3 3
22
3
3
1 1(12 4 )60 / ( )(15 ) 180
2 2
15 /480 ( ) 180
2
6,32
s s m s t t m
m sm t m
t s
El intervalo total de tiempo ser
1 2 3 12 4 6,33
22,33
t t t t s s s
t seg
-
EJEMPLO 21
Un cuerpo se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye
linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales estn separados
90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento x del cuerpo durante los dos ltimos segundos antes de llegar a B.