Clase 19 Geometría Analitica

7/24/2019 Clase 19 Geometra Analitica

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Geometra

2010

Propiedad Intelectual Cpech

Clase N 19

Geometra analtica

PPTCANMTGEA04019V1

APRENDIZAJES ESPERADOS

Calcular distancia y el punto medio entre dospuntos del plano.

Identificar la pendiente y coeficiente de posicinen una ecuacin de recta dada.

Representar grficamente ecuaciones de recta.

Determinar la ecuacin principal de la recta, dadosdos puntos o dado un punto y la pendiente.

Determinar si dos rectas son paralelas.

Determinar si dos rectas son coincidentes.

Determinar si dos rectas son perpendiculares.

Ubicar puntos en un sistema tridimensional.

Determinar la pendiente entre dos puntos.


5. Ecuacin de la recta

Contenidos

5.1 Ecuacin General de la recta

5.2 Ecuacin Principal de la recta

4. La recta

5.4 Ecuacin de la recta dado un punto y la pendiente

5.5 Ecuacin de la recta dados dos puntos de ella

1. Distancia entre dos puntos

3. Pendiente entre dos puntos

2. Coordenadas del punto medio

5.3 Grfica de la recta


7. Geometra en el espacio

7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio,

Sistema tridimensional.

6. Rectas paralelas, rectas coincidentes yrectas perpendiculares


1. Distancia entre dos puntosLa distanciaentre dos puntos del plano

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a travs de la siguiente frmula:

d2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)

2

Si dos puntos difieren slo en una de suscoordenadas, la distancia entre ellos es elvalor absoluto de su diferencia.

La distancia entre (4,6) y (-5,6) es:

|-5 4| = |-9| = 9

Ejemplo:


El punto medioM entre dos puntos del plano

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)


x1 + x2 y1 + y2

2 2

M = ,

2. Coordenadas del punto medio



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2

Ejemplos:

a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

d2 = (9 (-3))2 + (-1 4)2

d2 = (9 + 3)2 + (-5)2

d2 = 144 + 25

d2 = 169

d = 13

x1 y1 x2 y2

b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

-3 + 9 , 4 + -1

2 2M =

M = (3, 1,5)

d2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)

2

x1 y1 x2 y2

x1 + x2 y1 + y22 2

M = ,


La pendiente entre los puntos:

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se obtiene a travs de la siguiente frmula:

Ejemplo:

1. La pendiente entre los puntosx1 y1 x2 y2

(-4, -2) y (1, 7) es:

3. Pendiente entre dos puntos

y2 y1

x2 x1m =

7 (-2)

1 (-4)m =

9

5m =


Ejemplo:

2. La pendiente entre los puntos

(8, 5) y (8, 10) es:x1 y1 x2 y2

Como el denominador es cero,la pendiente NO existe.

Adems, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), esparalela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es funcin.

10 5

8 8m =

5

0m =


Tipos de pendiente

x

y

m = 0

x

y

NO existe m

(Indefinida)

x

y

x

y

m > 0 m < 0


4. La recta

DefinicinGeomtricamente podemos decir que una lnea recta es unasucesin continua e infinita de puntos alineados en unamisma direccin; analticamente, una recta en el plano estrepresentada por una ecuacin de primer grado con dosvariables, x e y.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 0

2. y = 4x + 7

3. 6x + 4y = 7


5. Ecuacin de la recta

5.1 Ecuacin General de la recta

Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 0

2. 2x - 4y + 7 = 0

3. -x + 12y - 9 = 0



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3

5.2 Ecuacin Principal de la recta

Es de la forma:

El coeficiente de posicin (n), es la ordenada del puntodonde la recta intersecta al eje Y.Corresponde al punto de coordenadas (0,n).

y = mx + n

m : pendiente

n : coeficiente de posicin


Ejemplo:Representacin grfica de:

y = 2x + 3

1-2Si un punto (x,y) pertenece a

esta recta, entonces se debe

cumplir la igualdad al reemplazarlo

en la ecuacin.

Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3

5.3 Grfica de la recta

Para graficar una recta dada su ecuacin, basta encontrardos puntos de ella.

x y

0 3

72


Ejemplos:1. Dada la grfica de la recta, encontrar su ecuacin principal.

n = 3.

Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente deposicin (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta aleje Y), de modo que su ecuacin principal es y = 2x + 3.

Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente

5 3

1 0m =

2

1m = = 2

-1-2

-2

-1


2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n:

b) y = 4x

c) 6x y+ 13 = 8

y = 8 13 - 6x

y = 5 - 6x

y = 6x + 5

Luego, m = 6 y n = 5.

3. Cul ser la pendiente y coeficiente de posicin en

ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?

a) y = x 8

Para determinar m y n, primero despejaremos y :

m = 4 y n = 0

m = 1 y n = -8


y y1 = m (x x1)

5.4 Ecuacin de la recta,dado un punto de ella y la pendiente

La Ecuacin de la recta que pasa por el punto

P1 (x1, y1) y tiene pendiente m,


Ejemplo:

La ecuacin de la recta de pendiente m = -6,que pasa por el punto (3,-2) es:

y (-2) = -6 (x 3)

y + 2 = -6x + 18

y = -6x + 16


5.5 Ecuacin de la recta, dados dos puntos

La Ecuacin de la recta que pasa por los puntos:

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)


y y1 = (x x1)y2 y1

x2 x1



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4

Ejemplo:

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos

( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:

y (-3) = (x 2)6 (-3)

5 2

y + 3 = (x 2)9

3

y + 3 = 3 (x 2)

y + 3 = 3x 6

y = 3x 6 - 3

y = 3x 9

x1 y1 x2 y2

y y1 = (x x1)y2 y1

x2 x1


6. Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas paralelas:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienenigual pendiente y distinto coeficiente de posicin.

Ejemplo: L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x -10

(m = 5) (m = 5)


Rectas coincidentes:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienenla misma pendiente y el mismo coeficiente de posicin.

Ejemplo: L1: y = 5x + 4 y L2: y = 5x + 43 3

Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.


Rectas perpendiculares:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si elproducto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo: L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x -102 5

(m = -5 )2

(m = 2 )5


7. Geometra en el espacio

7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio

Sistema Tridimensional

P (a, b, c)

a: abscisa

b: ordenada

c: cota


Ejemplo:

Q (2, 7, 6)

a: abscisa

b: ordenada

c: cota

Siempre los planos son perpendiculares entre s,formando planos cartesianos.

Plano XY (x,y,0)

Plano YZ (0,y,z)

Plano XZ (x,0,z)



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Pablo Espinosa

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