¡Bienvenida!

En la unidad de aprendizaje Geometría Analítica destacamos la vinculación entre el Álgebra y la Geometría. Además, el estudio de la Geometría Analítica te brinda la oportunidad de incorporar los conocimientos de Álgebra y Geometría y Trigonometría en situaciones nuevas.

Geometría Analítica comprende 4 unidades temáticas. En la Unidad 1 estudiarás el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesiano), lo cual te permitirá tener un sistema de referencia para poder representar y analizar un problema, después prestaremos especial atención a dos clases de curvas: la recta (Unidad 2) y las cónicas (Unidad 3), como un ejemplo de lo que se puede hacer al combinar la geometría con el álgebra. Para concluir, en la Unidad 4, te mostraremos cómo las ecuaciones en sistemas rectangulares se pueden simplificar o redefinir en función de una tercer variable (parámetro) y conocerás el sistema de coordenadas polares que permite resolver una clase diferente de problemas.

Deseamos que al concluir esta unidad de aprendizaje, además de los conocimientos matemáticos, hayas desarrollado la habilidad de tomar decisiones, resolver problemas, organizar tu propio aprendizaje, y hacer aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Para lograr tales propósitos, es necesario que te involucres y responsabilices de tu propio aprendizaje con una actitud muy participativa.

Bienvenido y éxito en esta unidad de aprendizaje. ¡Comencemos!

Competencias

Competencia General.

Resuelve problemas referentes a lugares geométricos y sus respectivas ecuaciones, utilizando los diferentes sistemas de coordenadas, en situaciones académicas y sociales.

Competencias Particulares.

Resuelve problemas de lugares geométricos, en particular de la línea recta, empleando las propiedades del plano cartesiano en situaciones académicas y sociales.

Resuelve problemas que involucren ecuaciones de segundo grado y su representación gráfica, mediante la identificación de los elementos

específicos de cada una de las cónicas, en situaciones académicas y sociales.

Transforma las ecuaciones de lugares geométricos a los diferentes sistemas de coordenadas, transitando de cartesianas a polares o paramétricas y viceversa en situaciones Académicas.

Temario

Unidad I. Conceptos básicos de Geometría Analítica

1. Plano Cartesiano.

1.1 El Punto

1.2 Distancia entre dos puntos

a) Segmento Vertical

b) Segmento Horizontal

c) Segmento Inclinado

1.3 Punto medio de un segmento

Unidad II. La recta

1. La recta

2. Ecuaciones de la recta

2.1 La pendiente de una recta

2.2 Ecuación pendiente-ordenada al origen

2.3 Ecuación punto-pendiente

2.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados

Unidad III. Cónicas

1. Circunferencia

2. Parábola

3. Elipse

4. Hipérbola

5.Ecuación general de las cónicas.

Unidad IV. Ecuaciones paramétricas y Coordenadas polares

1. Ecuaciones paramétricas

2. Coordenadas polares

Metodología de Trabajo

En la Unidad de aprendizaje Geometría Analítica, los contenidos están presentados de manera clara y sencilla para que puedas entender y aprender todos los conceptos y procedimientos de cada uno de los temas, con ello podrás aplicar los conocimientos que aprendas en las actividades que se te piden.

En esta Unidad de aprendizaje, deberás leer-haciendo (significa que tienes que leer con atención los contenidos, tomar notas y después realizar una lectura cuidadosa de los ejemplos, intentando resolverlos por ti mismo), con atención cada uno de los temas.

Es fundamental que leas-haciendo y entiendas todos y cada uno de los temas, así que te invitamos a que participes mucho, revises los contenidos y resuelvas todos problemas, ya sea los que nosotros te proponemos u otros que obtengas consultando la bibliografía.

Para verificar que cada concepto te quede claro, pregunta a tu asesor cualquier duda que tengas; realiza las actividades; participa en los foros y, por supuesto, resuelve las autoevaluaciones, ya que sólo así podrás comprobar el conocimiento que has logrado alcanzar o los temas en donde necesitas más ayuda.

Como sabes, en el aula virtual se encuentran todos los recursos que requieras para el estudio de cada unidad, por tanto, tú asumes la responsabilidad de organizar tu tiempo de acuerdo con las fechas establecidas y tu proceso de aprendizaje.

Ten siempre a la mano la Agenda de trabajo, ya que en ella están marcadas las fechas en las cuales deberás enviar tus actividades. Es muy importante que te organices y sigas las fechas establecidas, pues de otra forma la carga de trabajo será mucha y te irás atrasando.

Te llevaremos paso a paso hacia la construcción del conocimiento realizando las actividades planeadas. En esta unidad de aprendizaje encontrarás los siguientes tipos de actividades:

Escenas de exploración: son actividades interactivas que están dentro del contenido en las que aprenderás haciendo y podrás formular conjeturas o identificar propiedades a partir de las preguntas planteadas.

Actividades de autoevaluación: son actividades diseñadas para que evalúes lo que has aprendido y puedas contrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir tus logros. Lo más importante es que te permiten identificar dónde tienes deficiencias y, por lo tanto, dónde necesitas trabajar más.

Actividades de aprendizaje: son las actividades en las que tendrás que demostrar lo aprendido.

Foros: en los foros tendrás que participar compartiendo con tus compañeros tus opiniones, investigaciones y aprendizajes; también deberás trabajar en equipo.

En las actividades de aprendizaje y en las autoevaluaciones se incluyen ejercicios y problemas, en los cuales requieres ser muy cuidadoso, por ejemplo, evita confundirlos usos de los signos, paréntesis, signos de igualdad, etcétera.

Es importante que, en los problemas, leas el enunciado, pienses el procedimiento que debes seguir para resolverlo y verifiques tu respuesta. Finalmente, escribirás un enunciado con tu respuesta para explicarla de acuerdo con el contexto.

Con dichas actividades serás capaz de aplicar los conocimientos que adquieras, descubrirás patrones en los procesos mostrados, formularás conjeturas, entre otras habilidades. Para ello es necesario, y muy importante, como te lo hemos mencionado ya, que leas-haciendo; utiliza todo lo que pueda ayudarte en el proceso de solución: tablas, diagramas, esquemas, dibujos. En cada actividad se especifican las instrucciones de lo que debes hacer.

El hecho de que en el aula virtual tengas todos los recursos necesarios para el estudio de esta unidad de aprendizaje no implica que no tengas que escribir nada,

al contrario; por ello te pedimos que designes un cuaderno específico de trabajo para esta unidad de aprendizaje.

El cuaderno de trabajo será una herramienta muy útil e indispensable en este curso ya que en él podrás ir escribiendo lo que necesites cuando leas-haciendo, también podrás utilizarlo para, de manera ordenada, realizar los ejercicios que te pediremos a lo largo de la unidad, así tendrás una mejor organización en lo que realizas y podrás entender y repasar adecuadamente los contenidos vistos.

Te pedimos que escribas las actividades que envíes con el Editor de ecuaciones, con ello será más accesible la lectura de tus respuestas.

Aun así hemos preparado para ti una guía de uso para el Editor de ecuaciones, en ella encontrarás la descripción de los elementos que requerirás para este curso. También te mencionamos la forma en la que puedes escribir las expresiones matemáticas en los foros, actividades y mensajes instantáneos.

Para este curso también es necesario el uso de la calculadora, por lo que hemos preparado para ti un tutorial para que sepas cómo usarla y así obtener resultados correctos. Como existen diferentes tipos de calculadoras y cada una funciona de manera diferente, la calculadora que utilizaremos será la que se encuentra en tu PC, así que no te preocupes, no es necesario que consigas otra.

Cada vez que te soliciten el uso de la calculadora, o cuando lo consideres necesario, podrás consultar el tutorial, ya que ahí estará explicado cómo debes utilizarla para cada caso específico.

Recuerda que parte importante del proceso de aprendizaje es que mantengas una comunicación constante con tu asesor —y con tus compañeros—, él podrá ayudarte a resolver cualquier duda que surja. Al respecto, es importante que dirijas tus dudas al espacio adecuado para poder tener un orden. Por ello cuentas con el Foro de dudas académicas, el espacio en el que puedes preguntar a tu asesor las dudas que tengas sobre cualquier tema. ¡Utilízalo! No te esperes al último momento para preguntar. Recuerda que tu asesor, al igual que tú, organiza su tiempo para ingresar al aula virtual, por lo cual no esperes a que responda inmediatamente; confía en que serás atendido las veces que sea necesario.

Ahora sí, ya conoces todos los elementos necesarios para emprender este nuevo reto llamado Geometría Analítica.

¡Éxito!

Unidad 1

Mapa de conceptos

Introducción

Lo poco que he aprendido carece de valor, comparado con lo que ignoro y no desespero en aprender.

René Descartes.

Antes del siglo XVII, el álgebra y la geometría eran ciencias matemáticas que habían sido desarrolladas independientemente una de la otra. En 1637, el matemático y filósofo francés René Descartes publicó su tratado La Géométrie donde introdujo una nueva idea: unir el álgebra y la geometría en una sola disciplina. Para ello inventó una geometría algebraica llamada Geometría analítica, lo que significó, por una parte, la reducción de la geometría a una forma de aritmética y, por otra, la traducción de las formas geométricas en ecuaciones algebraicas. De esta manera Descartes unificó estas dos ramas de las matemáticas.

La característica básica de este nuevo concepto, ahora llamado Geometría analítica, es el uso de un sistema de coordenadas.

Por medio de los sistemas de coordenadas los métodos algebraicos pueden ser aplicados en el estudio de la geometría, aunque quizás de mayor importancia es la ventaja ganada por el álgebra debido a la graficación o representación visual de estos métodos.

Descartes “tuvo el mérito de ver claramente que la posición de un punto P del plano queda determinada unívocamente por sus distancias a dos ejes, lo cual le permitió expresar las curvas por medio de ecuaciones .”

De esta forma se estableció el Sistema de Coordenadas Rectangular o Cartesiano.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.

“La introducción de coordenadas en el estudio analítico de la geometría puso al orden del día la resolución gráfica de las ecuaciones .”

Desde el tiempo de Descartes, la geometría analítica ha tenido un impacto enorme en el desarrollo del conocimiento matemático. Hoy, los métodos analíticos son fundamentales en las aplicaciones teóricas y prácticas de las matemáticas.

En este tema abordaremos los conceptos básicos que necesitas conocer para entrar de lleno al estudio de la geometría analítica: el Plano cartesiano y el punto.

1. Plano cartesiano

El Plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

A continuación te mostraremos una animación que te indicará cómo se va definiendo el Sistema de Coordenadas Rectangulares.

En el siguiente apartado te explicaremos detalladamente cómo se define la posición de un punto en el plano cartesiano.

1.1 El punto

En el Sistema de Coordenadas Rectangulares (al que también llamaremos coordenadas cartesianas) hay una relación que establece que a cada par de números reales (x,y) le corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x,y), donde x es la abscisa y y es la ordenada. A esta correspondencia de puntos en el plano y las parejas de números reales se le llama correspondencia uno a uno.

Existen diferentes notaciones para nombrar un punto y sus coordenadas, por ejemplo P(x,y) , en donde P es el nombre del punto y (x,y) son sus coordenadas. En este tema, utilizaremos la siguiente notación: P=(x,y), argumentando que P es el nombre del punto y es igual a (x,y), ya que sus coordenadas definen su posición en el Sistema de Coordenadas Rectangulares.

Veamos un ejemplo de la ubicación de puntos en un plano:

Ejemplo. Graficaremos los puntos:

A = (-3, 4) B = (2, 2) C = (-2, -1) D = (4, -2)

Solución. Ubicamos los puntos en el plano cartesiano.

Observa que:

1) La ubicación de los puntos en un plano depende de sus coordenadas.

2) En el cuadrante I, los puntos son (+, +); en el II, (-, +); en el III, (-, -); y en el IV, (+, -).

Quizás te preguntas para qué nos sirve conocer todo lo anterior. Una aplicación muy útil de los puntos en un plano es cuando se da la ubicación precisa de alguien o de algo en el espacio, por ejemplo, al establecer coordenadas geográficas. La siguiente imagen es un ejemplo de estas coordenadas geográficas:

Así como el sistema de coordenadas cartesianas nos permite ubicar todos los puntos en un plano, el Sistema de Coordenadas Geográficas determina cualquier posición en la superficie terrestre relacionando la latitud y la longitud. Tal vez ya te percataste de la similitud que existe entre las coordenadas geográficas (Latitud, Longitud) y las coordenadas rectangulares (abscisa, ordenada).

A continuación te presentamos algunas escenas en las que practicarás el uso del sistema de coordenadas rectangular.

Escena: Coloca el puntoEn la siguiente escena deberás colocar un punto en la coordenada que se te especifique, para ello haz clic sostenido sobre el punto de color rojo y arrástralo hacia la coordenada que corresponda en el plano. Una vez que lo hagas, se te indicará si lo has colocado correcta o incorrectamente. Con el botón “genera punto” puedes crear otro punto para que repitas lo antes descrito.

Nota: Descarga el archivo zip, descomprimelo en tu computadora y ejecuta el archivo colocarpunto.exe

Coloca punto.zip

Escena: Halla la coordenadaEn la siguiente escena observa el plano que se te muestra. En él hay un punto de color rojo, teclea la coordenada en la que se encuentra éste (la acción que llevarás a cabo es teclear la abscisa y la ordenada en el paréntesis). Para capturar la abscisa no hay ningún inconveniente, ya que de forma automática el cursor se colocará en el lugar de las abscisas; sin embargo, para capturar la ordenada, después de que hayas capturado la abscisa, deberás emplear la tecla Tabulación para que el cursor se coloque en el lugar de las ordenadas. Finalmente presiona la tecla Enter para validar tu respuesta. Se te indicará si la coordenada que escribiste es correcta o incorrecta.

El botón genera punto creará otro punto para que vuelvas a repetir lo antes descrito.

Ahora te presentamos un fragmento del libro titulado En busca de Klingsor, donde aluden al plano cartesiano y sus coordenadas de una manera metafórica. Esperamos que sea de tu agrado:

“Ubico mi nacimiento en el mapa de mi imaginación como un pequeño punto dibujado en el centro de un plano cartesiano. Hacia arriba, en el eje de las y, está todo lo positivo que me ha ocurrido; en contraposición, hacia abajo descubro mis

desventuras, mis retrocesos y mis requiebros. A la derecha, en el eje de las x, encuentro los actos que me definen, aquellos que voluntariamente he convertido en el centro de mi vida —deseos, anhelos, obsesiones—, mientras que, a la izquierda, yacen esas porciones de mi ser que me han modelado contra mi voluntad o mi conciencia, esas partes aparentemente impredecibles o espontáneas que, no puedo negarlo, también me han llevado a donde estoy ahora. ¿Cuál sería el resultado final de un ejercicio como éste? ¿Qué forma aparecería en medio de la hoja? ¿Sería posible trazar las coordenadas que he recorrido a lo largo de mi trayecto? ¿Y obtener, a partir de esa línea, la fórmula que me resuma en cuerpo y alma?”

En algunas ocasiones requerimos averiguar la distancia que separa a ciertos objetos o conocer la distancia que debemos recorrer de un lugar a otro. ¿Cómo podríamos saber qué distancia hay entre dos puntos? Enseguida veremos cómo deducir la ecuación que nos permite calcular la distancia entre dos puntos (o la magnitud de un segmento).

1.2 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres circunstancias diferentes:

Un segmento vertical Un segmento horizontal Un segmento inclinado

Observa la siguiente imagen.

Tenemos que:

El segmento AB es vertical El segmento EF es horizontal El segmento CD se encuentra inclinado

Para calcular la distancia entre los extremos (puntos) de los segmentos vertical y horizontal no hay ningún inconveniente, probablemente de manera visual ya las calculaste.

La distancia entre los puntos A y B es de 4 unidades; entre los puntos E y F, también es de 4 unidades, sin embargo no es fácil especificar la distancia entre los puntos C y D. Si

queremos encontrarla utilizaremos el Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto).

Retomemos nuestra pregunta: ¿cómo podemos calcular cualquier distancia entre los extremos de un segmento, es decir, la distancia entre dos puntos? Analicemos cada uno de los casos.

a) Segmento verticalSi encontramos el valor absoluto de la diferencia de las ordenadas de los extremos del segmento AB, entonces hallaremos la distancia deseada. Al utilizar el valor absoluto nos aseguramos de que la distancia sea positiva, es decir, solamente consideramos el valor numérico (o absoluto) de la longitud del segmento.

Distancia BA = |5 - 1| = 4

De manera general, cualquier distancia entre dos puntos verticales se puede calcular como:

distancia BA = | y A - yB |

De donde:yA es la ordenada del punto A y yB es la ordenada del punto B.

b) Segmento horizontalSi calculamos el valor absoluto de la diferencia de las abscisas de los extremos del segmento EF, entonces hallaremos la distancia deseada.

Distancia EF = | 7 - 3 | = 4

De manera general, cualquier distancia entre dos puntos horizontales se puede calcular por:

distancia EF = | xF - xE|

De donde xF es la abscisa del punto F y xE

es la abscisa del punto E .

c) Segmento inclinadoPara hallar la distancia entre los puntos (o extremos del segmento) debemos emplear el Teorema de Pitágoras, sin embargo para ello necesitamos un triángulo rectángulo, entonces procedemos a “crearlo”:

Iniciamos dibujando dos rectas, la 1ª. pasará por el punto D y será paralela al eje vertical, la 2ª. pasará por el punto C y será paralela al eje horizontal, como se observa en la siguiente imagen:

Como puedes observar, se formó un triángulo rectángulo; entonces la distancia que buscamos, el segmento inclinado, corresponde a la hipotenusa del triángulo cuyos vértices son los puntos CDK, esto se escribe como (consulta la tabla de símbolos). Así pues, ya podemos emplear el Teorema de Pitágoras que, como recordarás, dice: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si lo expresamos algebraicamente:

(Hipotenusa)² = (Cateto 1)² + (Cateto 2)²

Ahora calculamos las distancias o longitudes de los catetos correspondientes:

Para el segmento DK (cateto 1), calculamos la distancia de acuerdo con la siguiente

expresión:

distancia DK=|yK - yD|

Donde yD es la ordenada del punto D e yk es la ordenada del punto K. Realizamos la sustitución de valores y tenemos:

distancia DK = | 1 - 5 | = | -4 | = 4

Entonces podemos decir que la distancia o longitud que hay entre los puntos DK es igual a 4 (cateto 1).

Para el segmento CK (cateto 2), calculamos la distancia de acuerdo con la siguiente expresión:

distancia CK = | xK - xC |

Donde xk es la abscisa del punto K y xc es la abscisa del punto C . Realizamos la sustitución de valores y tenemos:

distancia CK = | 4 - 2 | = | 2 | = 2

Por lo tanto, la distancia o longitud que hay entre los puntos CK es igual 2 (cateto 2).

Ahora bien, ya que tenemos la longitud de los dos catetos, al emplear el Teorema de Pitágoras tenemos:

Si Cateto 1 = 4 y Cateto 2 = 2, entonces, sustituimos y obtenemos:

Hasta aquí tenemos el valor de la hipotenusa cuadrada, pero lo que deseamos es el valor de la hipotenusa, por lo cual aplicamos la operación raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

Concluimos que la distancia entre los puntos E y D es de 4.47 unidades.

A partir de lo que aquí hemos analizado es posible encontrar una expresión para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera. Lee con cuidado la siguiente deducción.

Recuerda leer haciendo y comprueba cada paso por ti mismo, porque deberás tener la capacidad de realizar esta clase de deducciones al terminar tu curso.

Como dedujiste siguiendo la animación, la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos es:

Cabe mencionar que a lo largo de la materia se hará un "Formulario", y te indicaremos cuando las ecuaciones importantes se vayan agregando, la ecuación anterior forma parte de este formulario.

En la siguiente escena puedes ver cómo se cumple esta expresión para cualquier par de puntos que elijas en el plano. Explora la escena y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

1. Describe qué valores deberán tener las abscisas de ambos puntos para que el segmento sea paralelo al eje de las ordenadas.

2. Describe qué valores deberán tener las ordenadas de ambos puntos para que el segmento sea paralelo al eje de las abscisas.

3. Describe en qué circunstancias la distancia es cero.

4. Propón un segmento paralelo al eje . Usa la fórmula general para calcular la longitud del segmento.

5. Propón un segmento vertical y utiliza la fórmula general para calcular su longitud.

6. Ahora calcula la longitud de un segmento inclinado cuyas coordenadas se encuentren en el segundo y cuarto cuadrante.

La escena te permite mover los dos puntos o extremos del segmento con la finalidad de que observes los cambios que se efectúan en el proceso algebraico.

Con la actividad anterior pudiste verificar qué la fórmula general nos permite calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, sin importar si el segmento es vertical, horizontal o inclinado. También te habrás dado cuenta de los siguientes hechos:

1. Si el segmento es vertical (paralelo al eje de las ordenadas) sus ordenadas son iguales entre sí, y al aplicar la fórmula general para calcular la distancia entre dos puntos ésta se simplifica a la forma que ya habíamos estudiado antes. 2. Si el segmento es horizontal (paralelo al eje de las abscisas) sus abscisas son iguales entre sí, y al aplicar la fórmula general para calcular la distancia entre dos puntos ésta se simplifica a la forma que ya habíamos estudiado antes.

Ahora te vamos a describir diferentes ejemplos donde la distancia juega un papel muy importante:

Continuamos con los demás ejemplos

Observa que la fórmula nos indica la distancia que hay del punto 1 al punto 2. Al sustituir los datos primero usamos las coordenadas del punto 2 y luego las del punto 1, ¿qué pasaría si lo hiciéramos al

revés, es decir, que primero utilizáramos las coordenadas del punto 1 y luego las del punto 2? Calcula en tu cuaderno, con dos puntos que tú propongas, qué sucede si calculas la distancia del punto 2 al punto 1, después compara tu resultado con el que obtienes al calcular la distancia del punto 1 al punto 2. El resultado deberá ser idéntico.

““Para evitar errores es muy importante que primero definas cuál será el punto 1 y cuál el punto 2. Sé cuidadoso, sustituye en el orden en que indica la fórmula:

Esta estrategia te servirá para resolver otros problemas, además de la distancia entre dos puntos.”

Otra expresión que nos será útil en el estudio de la geometría analítica es el punto medio de un segmento. Por ejemplo, si deseamos calcular las ecuaciones de las rectas medianas de un triangulo, requerimos calcular los puntos medios de cada uno de los lados del triangulo. A continuación deduciremos esta fórmula.

1.3 Punto medio de un segmento

Comencemos con un problema particular para entender la situación y después deduciremos una fórmula para calcular el punto medio de un segmento cualquiera.

Sean A=(1,3) y B(7,1) los extremos de un segmento. ¿Cuál es su punto medio (pm) ?

Cuando tengas un enunciado, conviene que primero realices una gráfica para representar la situación del problema.

Como puedes observar, los puntos A, pm y B se proyectan hacia los ejes cartesianos, por lo cual para averiguar las coordenadas del punto medio (pm) estas proyecciones nos servirán mucho, ¡manos a la obra!

Seguramente, al analizar la gráfica encontrarás que las coordenadas del punto medio son (4,2) . Vamos a fundamentar esta conjetura, para ello necesitamos deducir la fórmula que nos permita definir las coordenadas del punto medio de cualquier segmento:

Punto medio

Si recordamos nuestro problema inicial, podemos verificar las coordenadas del punto medio del segmento AB, cuyos extremos son los puntos: A=(1,3) y B=(7,1).

Sustituimos según la fórmula:

pmAB =

Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (4,2). Nuestra conjetura es correcta.

El ejemplo anterior constituye la forma clásica para resolver un problema, es decir, sólo basta sustituir los datos proporcionados por el enunciado directamente en la fórmula y ¡listo!, eso es todo (bueno, siempre está involucrado un proceso algebraico).

Sin embargo, en muchas ocasiones no es tan simple ya que pueden cambiar las circunstancias. Consideremos el siguiente ejemplo en donde nos solicitan hallar las coordenadas de uno de los extremos del segmento, conociendo las coordenadas del otro extremo y las del punto medio. Observa la figura:

Las incógnitas ahora son las coordenadas del punto B , es decir, uno de los extremos del segmento AB. Debemos despejar la abscisa y ordenada en la fórmula antes mencionada:

En este caso, el segmento AB es nada menos que el diámetro de la circunferencia, de la cual se conocen las coordenadas del centro (C ) y del punto A . Sabemos que el centro es el punto medio del diámetro, por lo que podemos utilizar las expresiones para calcular la abscisa y la ordenada del punto medio de un segmento.

La abscisa del punto medio la llamaremos xm :

De esta expresión necesitamos despejar la incógnita x2. Recuerda que, de acuerdo con los datos del problema, conocemos xm y x1.

Por la propiedad conmutativa:

Llamaremos ym a la ordenada del punto medio. Ahora le toca el turno a la literal y2. Realiza en tu cuaderno el procedimiento y verifica que obtengas la siguiente expresión:

Ya que tenemos ambas expresiones podemos concluir que las coordenadas de cualquier extremo de un segmento, conocidas las coordenadas del otro extremo y del punto medio, son:

( x2 , y2 ) = ( 2x - x1 , 2y - y1 )

Con base en el enunciado inicial, sustituimos los valores correspondientes:

Simplificando:

B=( 5 , 1)

Si verificamos visualmente nuestro resultado en la gráfica, vemos que las coordenadas obtenidas son correctas.

Ahora te sugerimos que descargues el archivo Ejercicios, así practicarás lo que hemos aprendido hasta el momento.

Conclusiones

El sistema de coordenadas cartesiano constituye un avance para las matemáticas porque permite generar un sistema de referencias con base en el cual podemos situar la ubicación exacta de un punto en el espacio. En tu vida cotidiana puedes ver esto cuando quieres ubicar un lugar preciso en un mapa o das alguna indicación respecto a cómo llegar de un lugar a otro.

¡Buen trabajo!

¡Sigue adelante!

UNIDAD 2

Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta, deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para unas matemáticas feas.G. H. Hardy

Introducción

La línea es un concepto vital de las matemáticas que se relaciona con nuestras experiencias diarias de numerosos modos, tanto interesantes como útiles. Frecuentemente se utiliza para

describir o modelar algunos fenómenos físicos del mundo real: los fenómenos lineales. Desde el punto de vista geométrico, una de sus principales características es que éstos se pueden representar por medio de una línea recta.

1. La recta

Definiciones de la recta

Iniciaremos con el tratamiento de la recta. A manera de antecedente histórico, te presentamos las definiciones para el concepto de recta propuestas por algunos matemáticos a lo largo del tiempo:

Euclides: “Línea es una cantidad únicamente larga, es decir, sin anchura ni grosura. Línea recta es la que corre derecho de un extremo a otro sin torcer hacia ninguna parte.”

Parménides: "Se llama recta la línea cuyo medio está colocado sobre el trayecto entre las dos extremidades."

Gottfried Wilhelm von Leibniz: "La recta es la línea tal que basta inmovilizar dos de sus puntos para que todos los otros puntos queden también inmóviles"; "la recta es la línea que queda inmóvil cuando gira en torno a dos puntos fijos."

Max Simon: “Recta es la curva que se conserva igual en todos sus puntos”

En general, en la geometría la recta está caracterizada por las propiedades siguientes (se admiten sin demostración):

Postulados:

Dos puntos determinan una recta, es decir, por dos puntos puede pasar una y sólo una recta

La recta es una línea indefinida, es decir, ésta se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos

Propiedades:

Se puede tomar una infinidad de puntos en una recta, y por un punto puede pasar una infinidad de rectas.

Dos rectas que poseen dos puntos comunes se confunden.

Dos rectas distintas sólo pueden tener un punto común.

Dos rectas pueden coincidir de una infinidad de modos.

La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.

Estos postulados y propiedades de la recta son importantes porque estarán implícitos cuando representemos la recta en un plano y la definamos por medio de una ecuación.

La recta, como habíamos mencionado, nos permite modelar fenómenos lineales, como el que te mostramos en el siguiente caso:

Caso de estudio

Supongamos que deseamos usar un taxi. Al abordar se nos indica que el banderazo cuesta $5 y la tarifa $2 por cada km recorrido. ¿Cómo puedo saber cuánto pagaré para cualquier distancia que recorra?

Para responder a nuestra pregunta buscamos cómo establecer un modelo matemático que nos permita representar el comportamiento de esta situación. Una estrategia que podemos utilizar es elaborar una tabla para observar el comportamiento e identificar un patrón, es decir, relacionar varias distancias y el pago correspondiente, como se muestra en la siguiente tabla:

La tabla

El modeloObserva detenidamente la última fila de la tabla. La literal D representa la distancia recorrida, la expresión representa la distancia recorrida, la expresión 2 • D + 5 es la operación para el cálculo del pago a realizar, y la expresión P = 2 • D + 5 representa el pago en función de la distancia D.

En resumen, nuestro modelo es:

P = 2D + 5

Donde P es el pago y D es la distancia recorrida. Además, en la ecuación podemos ver que 5 es la cantidad que se cobra por abordar el taxi (el banderazo), el coeficiente 2 corresponde a los $2 por kilómetro recorrido.

La gráficaPodemos realizar una gráfica con los datos de la tabla anterior, ubicándolos en el plano cartesiano, esto con la finalidad de observar el comportamiento de los mismos.

Asignamos la distancia (D) al eje horizontal (eje X) y el pago (P) al eje vertical (eje Y).

Generalmente, al graficar se representa la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical.

Observa que la gráfica es una línea recta. Cuando una situación se puede representar mediante una línea recta en el plano cartesiano decimos que se trata de un fenómeno lineal.

Imaginemos una nueva situación: en esta ocasión abordamos nuestro taxi y cuando llegamos nuestro destino el taxista nos cobra $ 25 pesos. ¿Cuál fue la distancia recorrida?

A partir de los datos que tenemos podemos calcular el kilometraje recorrido, veamos:

De acuerdo con nuestro modelo sabemos que:

Cantidad a pagar P = 5 + 2 D

Sustituimos los datos que conocemos y tenemos:

25 = 5 + 2 D

Probablemente con un simple vistazo ya averiguaste que el recorrido fue de 10 km, sin embargo, para estar seguros, vamos a emplear el álgebra para justificar nuestra conjetura.

Recuerda que para hallar el valor de la incógnita, ésta deberá colocarse a la izquierda de la igualdad y el resto de los términos a la derecha de la misma (a esto se le conoce como el proceso de despeje de la incógnita y/o solución de la ecuación). Entonces:

25 = 5 + 2 D

Aplicando la ley conmutativa, la incógnita se coloca a la izquierda de la igualdad:

Este resultado nos indica que el taxi que abordamos recorrió 10 km.

Otras preguntas que podemos hacer.

Con el modelo que establecimos, podemos responder varias preguntas, por ejemplo:

a) Si pagué $ 100 ¿cuánta distancia recorrí?

Respuesta:

El dato $ 100 es el pago (P), esto significa que la incógnita es la distancia recorrida (D). Realizando la sustitución:

b) Ahora bien, si recorro 40 km, ¿cuánto deberé pagar?

Respuesta:

Para esta clase de problemas la sustitución es directa, observa:

La cantidad a pagar es de $ 85.00

Como pudiste observar, el pago (P) depende de la distancia recorrida (D), de ahí que podemos establecer que el pago es la variable dependiente y la distancia es la variable independiente. Así pues, a la variable P la podemos asociar a la variable y (ordenada), y la distancia recorrida D asociarla a la variable x (abscisa). Entonces la ecuación que representa el comportamiento de la situación que hemos estudiado es:

y = 2x + 5

Esta convención es la que seguiremos cuando se trate del estudio de funciones: la variable independiente la denominaremos x y la variable dependiente y.

En la siguiente escena verás cómo la ecuación, que relaciona la variable independiente con la dependiente, se refiere a una regla de correspondencia, en donde solamente ciertos puntos harán que la igualdad sea verdadera (son justamente esos puntos los que forman parte de la recta).

Se muestran dos puntos A y B, donde el punto A pertenece a la recta y = 2x + 5 y el punto B está fuera de la recta, es decir, no pertenece a la recta mostrada.

Interactúa con la siguiente escena realizando lo que se te pide a continuación. Después reflexiona sobre las preguntas que se te formulan:

Mueve el punto A y analiza el comportamiento de sus coordenadas, la abscisa (x) y la ordenada (y). Luego describe qué relación existe entre ambas. Sugerencia: Verifica si cumplen con la ecuación y = 2x + 5 que define a la recta.

Mueve el punto B (clic sostenido) y explica el comportamiento de sus coordenadas, tanto de la abscisa (x) como la de la ordenada (y). Piensa si existe alguna relación entre ellas, en otras palabras ¿qué condición deberá de satisfacer el punto B para que pertenezca a la recta?

Escribe en tu cuaderno las coordenadas de tres puntos que sí pertenezcan a la recta y las coordenadas de cuatro puntos (uno en cada cuadrante) que no pertenezcan a ésta

Como te has dado cuenta, los puntos deben satisfacer una condición para pertenecer a una recta determinada: que la ecuación que define a la recta sea verdadera. Esta propiedad es muy importante porque nos permitirá decidir, más adelante, qué puntos pertenecen a una ecuación determinada y forman parte, por lo tanto, de su respectiva gráfica.

Por ejemplo, el punto A = (2,9) sí pertenece a la recta, porque al sustituir los valores en la ecuación se demuestra que se cumple la igualdad:

En cambio, el punto B = (5,9) no pertenece a la recta. Sustituyamos los valores en la ecuación:

Conclusión

Hemos tratado de una manera sencilla una situación cotidiana, la cual nos permitió incursionar en la elaboración de un modelo matemático que, al tratarse de un fenómeno lineal, implica la presencia de la recta.

También te hemos mostrado, de manera general, cómo obtener el modelo de un fenómeno lineal, que en el caso de estudio se representó por medio de una ecuación. En el siguiente tema estudiarás otras propiedades de la ecuación de la recta, así como su representación en el plano.

¡Continua con ese ánimo! ¡Vamos por el segundo tema!

2. Ecuaciones de la recta

Introducción

El caso de estudio tratado en el tema anterior relacionaba dos variables (pago y distancia recorrida), las cuales fueron modeladas por medio de una función lineal.

Las situaciones que originan un modelo lineal se caracterizan porque contemplan un cambio proporcional. Es decir, cuando la variable independiente varía (aumenta o disminuye en cierta cantidad), esto se traduce en un cambio en la variable dependiente.

Si se comparan estos cambios por medio de un cociente o razón, éste permanecerá constante sin importar la alteración de las variables, esto es lo que se llama una razón de cambio constante, lo cual es equivalente al concepto de pendiente.

La gráfica de una función que tiene una razón de cambio constante, es decir, una función lineal, es justamente una línea recta.

En este tema estudiaremos la relación entre la forma de la ecuación de la recta y su representación en el plano cartesiano. Un aspecto importante es que las rectas se distinguen por su inclinación (piensa en una recta horizontal, vertical o inclinada), la cual se puede analizar por medio de un concepto nuevo: la pendiente.

2.1 La pendiente de una recta

Probablemente cuando has subido una colina o viajado por una carretera has utilizado la palabra pendiente para decir que está inclinada. ¿Cómo podemos medir dicha inclinación? En geometría se utiliza el ángulo de inclinación, pero también se puede utilizar la pendiente para medir la inclinación de una recta.

La pendiente de una recta (llamada m) en un sistema de representación rectangular (cartesiano) se define como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X entre 2 puntos de la recta. Esto se expresa como:

El símbolo delta “Δ” es comúnmente usado para representar un cambio o diferencia.

A la pendiente también podemos representarla como:

¡Esta ecuación se agrega al formulario!

En otras palabras, la pendiente se expresa como la relación por medio de un cociente del desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. Generalmente el desplazamiento —o cambio horizontal— se mide de izquierda a derecha; en el desplazamiento vertical se analiza la distancia que sube o baja la recta.

Ahora veamos algunos ejemplos.

En la siguiente imagen se muestra una rampa mecánica, ideal para andenes de carga y descarga:

A continuación haremos un diagrama sobre la vista frontal de la rampa con la intención de determinar cuál es su pendiente

Vemos que el desplazamiento vertical es de 4 unidades, por otra parte, el desplazamiento horizontal es de 10 unidades, por lo que tiene una pendiente de:

En la imagen que sigue se muestra el techo de una casa (los carpinteros utilizan el término declive para referirse a la pendiente del techo):

Entonces el techo tiene una pendiente de:

Ahora observa la siguiente imagen donde se muestra un tanque. Para calcular un disparo certero, uno de los datos necesarios es el ángulo de inclinación del cañón.

La pendiente del cañón es:

Ya tenemos la pendiente, pero lo que necesitamos es el ángulo de inclinación por lo cual conviene analizar cómo se relacionan la pendiente y el ángulo de inclinación antes de continuar resolviendo este ejemplo.

Como observaste en los ejemplos anteriores, siempre formamos un triángulo rectángulo cuando indicamos el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. Esto se puede representar como se muestra en la siguiente imagen:

La función trigonométrica que relaciona los dos catetos del triangulo rectángulo y que utilizaremos en estos momentos se llama tangente (tan).

Llamaremos α (Alfa) al ángulo de inclinación; entonces:

Observa en la figura que el cateto opuesto corresponde al cambio en y, mientras que el cateto adyacente corresponde al cambio en x, de tal forma que podemos establecer la siguiente relación:

la tangente del ángulo de inclinación es igual a la pendiente.

Si queremos obtener el ángulo de inclinación, una vez que conocemos la pendiente, debemos utilizar la función inversa llamada arco tangente (arctan):

Retomando el problema del tanque, hemos establecido que se tiene una pendiente de:

De manera que su ángulo de inclinación es:

Observa la siguiente escena para que descubras otros hechos interesantes de la pendiente y su relación con el ángulo de inclinación.

Puedes modificar el valor del ángulo de inclinación y el punto de color rojo.

Analiza lo que sucede en la escena, guíate con las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? ¿Cuáles son los ángulos de inclinación de una recta horizontal?

2. ¿Cuál es la pendiente de una recta vertical? ¿Cuáles son los ángulos de inclinación de una recta vertical?

3. ¿Varían los valores de tus respuestas anteriores si cambias la posición del punto rojo, ya sea que lo desplaces a la derecha o a la izquierda?

Acabas de apreciar un hecho muy importante para la geometría analítica: la forma de la recta depende de su ángulo de inclinación, es decir, para definir una recta necesitamos conocer su pendiente.

Una recta horizontal tendrá una pendiente igual a 0.

Una recta oblicua tendrá una pendiente definida por la tangente de su ángulo de inclinación

¿Te has dado cuenta de que la pendiente de una recta es constante entre los diferentes puntos que conforman dicha recta? Por ejemplo, observa la imagen siguiente:

La pendiente del segmento formado por los puntos B y C es de , la pendiente del segmento

formado por los puntos A y D también es de , y la pendiente del segmento formado por los

puntos A y B es igual a , es decir, también es igual a .

La propiedad geométrica que caracteriza a una recta es que sus puntos no cambian de dirección, esto significa que la pendiente entre dos puntos cualesquiera es siempre la misma.

Así, considerando esta propiedad, podemos definir a la recta de la siguiente manera:

Una recta está formada por todos los puntos que tienen entre sí la misma pendiente.

Para concluir este subtema, te presentamos una pequeña caricatura, disfrútala.

Para continuar, analizaremos las diferentes formas de las ecuaciones que representan una línea recta.

2.2 Ecuación pendiente-ordenada al origen

Para presentarte la ecuación de la recta, consideraremos dos elementos muy importantes: la pendiente, denominada m, y la ordenada al origen, a la que llamaremos b.

Ya conoces la pendiente, pero ¿qué es la ordenada al origen? Es el punto de intersección de una recta y el eje Y, ese punto tiene coordenadas (0,b).

En el caso de estudio del tema anterior, obtuviste la ecuación y = 2x + 5 que tiene la siguiente forma:

A esta ecuación se le llama ecuación de la recta en la forma pendiente-ordenada al origen.

En donde:

El coeficiente de la variable independiente es la pendiente: m = 2

El término independiente es la ordenada al origen: b = 5

Existen dos casos particulares que no se pueden representar de la forma pendiente-ordenada al origen:

Las rectas horizontales se definen como y = b, en donde b es el valor de la ordenada de todos los puntos que forman la recta.

Las rectas verticales se definen como x = a, en donde a es el valor de la abscisa de todos los puntos que forman la recta.

Observa la siguiente escena para que conozcas algunas características interesantes de los elementos geométricos que están presentes en la forma de esta ecuación.

Puedes variar el valor de la pendiente y, al desplazar el punto rojo sobre el eje Y, puedes modificar el valor de la ordenada al origen.

Analiza cómo se relacionan estos elementos con la ecuación.

1. ¿Qué sucede si la pendiente es positiva? ¿Cómo es la forma de la recta? ¿En qué cambia si la pendiente es negativa?

2. Cuando el valor de b = 0 se dice que la recta pasa por el origen. ¿Hacia dónde se desplazará la recta si solamente cambias el valor de b? Prueba con valores positivos y negativos.

3. ¿Cómo es la recta cuando la pendiente es igual a 0?

Como pudiste apreciar, la forma de la recta puede ser creciente cuando la pendiente es positiva (porque cuando aumenta el valor de x también aumenta el valor de y) o decreciente cuando la pendiente es negativa (en este caso cuando aumenta el valor de x el valor de y disminuye).

Además, el valor de b desplaza la recta hacia arriba si es positivo o hacia abajo si es negativo.

Observa que en las siguientes figuras se muestra una familia de rectas. En el primer caso todas tienen pendiente 1(Fig. 1), pero diferente ordenada al origen. En el segundo caso todas tienen pendiente -1(Fig. 2), pero diferente ordenada al origen.

Con lo que ahora sabes, ¿podrías decir cómo identificar si dos rectas son paralelas o si son perpendiculares?

Probablemente ya has observado que cuando las pendientes son iguales las rectas son paralelas.

Observa la siguiente escena e identifica cuál es la condición que permite que dos rectas sean perpendiculares.

Como pudiste notar, dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Por otra parte, dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Analiza los siguientes ejemplos en los cuales se muestra cómo graficar y obtener la ecuación de una recta, cuándo se conocen su pendiente y su ordenada al origen

Ejemplo de la ecuación de la recta

Los cuatro trenes La gráfica siguiente representa los viajes de cuatro trenes, tres de ellos van de A a B y otro viaja en dirección contraria, es decir de B a A. Los puntos A y B están separados por una distancia de 120 km.

La gráfica está visible en la estación de trenes y al verla un pasajero se preguntó:

a) ¿Qué trenes viajan a la misma velocidad? ¿Cuál es esta velocidad?

b) ¿Cuál es el tren que viaja más lentamente? ¿A qué velocidad viaja?

Imprime la gráfica y traza sobre ella una cuadrícula para que puedas definir las coordenadas de los extremos de cada segmento y con ello calcular la pendiente.

a) La velocidad se define como la razón entre la distancia (d) y el tiempo (t)

Si dos rectas son paralelas significa que tienen la misma pendiente, por lo tanto nuestro plan será averiguar la pendiente de cada uno de los segmentos para decidir cuáles trenes tienen la misma velocidad.

Te queda a ti calcular la pendiente de cada segmento y verificar que la velocidad de los trenes (1) y (4) es igual, ambos trenes viajan a:

b) El tren que viaja más lento es el (2)

En este caso, el signo nos indica la dirección del recorrido: observa que el tren (2) va de B a

A. Para verificar, calculamos la velocidad del tren que falta:

Efectivamente, el tren (2) es el más lento. Los trenes (1) y (4) son los más rápidos, además de que viajan a la misma velocidad. Observa cómo se aprecia esto en las gráficas de acuerdo con la inclinación de las rectas.

Ahora que conoces una de las formas de la ecuación de la recta y su relación con la gráfica, a partir de sus elementos geométricos (pendiente y ordenada al origen), estás listo para realizar la siguiente actividad.

Veamos ahora cómo encontrar la ecuación de una recta cuando se conoce su pendiente y, en lugar de conocer la ordenada al origen, un punto cualquiera.

2.3 Ecuación punto-pendiente

Partiendo de la propiedad geométrica que caracteriza a una recta, si conocemos la pendiente m de la recta y un punto de ella P1=(x1,y1), podemos interpretar algebraicamente la fórmula de la pendiente de la siguiente manera:

Observa que indicamos con un subíndice las coordenadas del punto que se conoce P1=(x1,y1) y que indicamos simplemente como P=(x,y) las coordenadas de un punto cualquiera.

Reescribiremos la ecuación para obtener una relación de manera tal que del lado izquierdo de la igualdad quede la variable dependiente y del lado derecho, la independiente.

Esta ecuación se conoce como la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y se agrega al formulario. Con ella, como su nombre lo indica, podemos definir la ecuación de una recta si conocemos un punto que pertenezca a la recta y su pendiente.

Veamos algunos ejemplos:

1. Se trazará la gráfica de la recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto A = (-2,5), para que después podamos definir su ecuación.

Da clic en: Solución para que observes el desarrollo.

2. Un almacen de artículos escolares vendió, al inicio del primer trimestre, 5300 artículos y cerró dicho trimestre vendiendo 2808 artículos.

a) Suponiendo que las ventas del trimestre mantuvieron siempre el mismo comportamiento, ¿cuál fue la tasa promedio de variación de ventas diarias?

b) Interpretar el valor de la tasa promedio de las ventas.

c) Escribir un modelo para hallar los artículos y vendidos cada día x del primer trimestre.

d) Utilizar el modelo anterior para estimar la venta de artículos al finalizar el primer mes.

Da clic en: Solución para que observes el desarrollo.

Ahora que conoces dos formas de la ecuación de la recta y su relación con la gráfica, realiza la siguiente actividad utilizando cualquiera de ellas.

Para concluir este subtema, te presentamos otra pequeña caricatura, esperamos que te agrade.

Quizá ya observaste que podemos escribir la ecuación de una recta de diferentes formas y que en gran parte dependen de la pendiente.

Veamos ahora qué sucede cuando no conocemos la pendiente, pero sí dos puntos que forman parte de la recta.

2.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados

Tener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados significa que si conocemos las coordenadas de los puntos se pueden sustituir directamente en una expresión y con ésta se puede establecer la ecuación de la recta.

Obtendremos la ecuación de la forma “dados dos puntos” a partir de dos fórmulas ya conocidas:

La pendiente:

Observa que los subíndices nos indican que son las coordenadas del punto 1 y 2.

¿Se ve complicado? Veamos un par de ejemplos, intenta resolverlos para que comprendas mejor este tema.

Es tu turno de verificar el resultado en la gráfica.

Describe cómo podrías fundamentar el hecho de que gráficamente podemos obtener el mismo resultado y qué ventajas y desventajas tendría hacerlo de esta forma.

Más arriba viste que la ecuación general de la recta se obtiene igualando la ecuación a cero.

La fórmula de la ecuación general de la recta es: Ax + By + C = 0

Muchas veces encontrarás la recta expresada de esa manera y por lo cual deberás transformarla, por ejemplo, a la forma pendiente-ordenada al origen, para poder graficar y analizar sus elementos geométricos

Realiza la siguiente actividad de aprendizaje. Encuentra la ecuación de la recta a partir de cualquiera de las formas que has estudiado, para ello analiza primero los datos que tienes y después elige la forma de la ecuación.

Hemos cubierto las tres diferentes formas de la ecuación de la recta, así como la gráfica de esta última.

Como habrás observado, el modelo lineal nos ha permitido representar el comportamiento de situaciones que muestran una variación proporcional.

Veamos un último problema para concluir esta unidad.

Primero lee cuidadosamente el enunciado e identifica los datos, después analiza cuál es la pregunta y formula un plan de acción; resuélvelo en tu cuaderno y luego verifica tu respuesta leyendo la solución que te proponemos.

Ten presente que no hay un único camino para obtener el resultado correcto.

Conclusiones

Seguramente te has dado cuenta de lo importante que es modelar las situaciones cotidianas a través de ecuaciones lineales, ya que nos permiten realizar predicciones y así, de alguna manera, planear con cierta confianza alguna actividad en particular.

La recta, como objeto geométrico, tiene propiedades que has podido analizar con el álgebra. Uno de sus conceptos más importantes es el de pendiente ya que es un concepto dual: es geométrico y a la vez compara, es decir, en él se ligan los conceptos de inclinación y razón de cambio constante (mide la inclinación por medio del cociente entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal; además, al ser un cociente también nos permite analizarlo como una razón de cambio). Esta característica de la pendiente nos será útil más adelante, al resolver problemas.

¡Buen trabajo, sigue adelante con la próxima unidad!

UNIDAD 3No nos preguntamos qué propósito útil hay en el canto de los pájaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para cantar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qué la mente humana se preocupa por penetrar los secretos de los cielos. La diversidad de los fenómenos de la Naturaleza es tan grande y los tesoros que encierran los cielos tan ricos, precisamente para que la mente del hombre nunca se encuentre carente de su alimento básico."

Johannes KeplerMysterium Cosmographicum

Introducción

Cuando se estudia un objeto geométrico se trata de encontrar alguna relación algebraica entre las coordenadas de los puntos que lo conforman.

Inversamente, cuando se tiene una ecuación es posible estudiarla a través de su gráfica en el plano cartesiano asociando a cada pareja de números que la satisfacen un punto en dicho plano.

En esta unidad estudiamos las curvas que se forman a partir de la intersección de un plano con un cono, entendiendo por cono aquella superficie que tiene dos hojas, como se muestra

en la siguiente animación —en sentido coloquial el popular barquillo de helado únicamente sería una de las hojas de un cono—.

Dependiendo del ángulo con el que el plano corte al cono, la intersección será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Dada la forma en que se definen estas curvas y enfatizando su relación con el cono éstas son llamadas cónicas.

La hipérbola es la única de las cónicas que se compone de dos ramas ya que en este caso el plano que la define corta al cono en sus dos ramas. Fue Apolonio de Perga, el gran geómetra griego, quien estudió las propiedades de las cónicas y quien dio los nombres de elipse, parábola e hipérbola, estas propiedades son las que nos permiten estudiarlas en el plano cartesiano, y las veremos en el transcurso de la unidad.

Las cónicas constituyen un caso curioso en cuanto a la forma en que éstas se estudiaron en matemáticas. Apolonio las estudió como objetos geométricos sin ninguna aplicación a la vida y, aunque era un aficionado de la astronomía, no imaginó que los cuerpos celestes describían en sus trayectorias esta clase de curva. Es increíble, pero a la humanidad le costó casi mil ochocientos años, desde la época de Apolonio, darse cuenta de que la órbita descrita por la Tierra al moverse alrededor del Sol es una elipse.

Johannes Kepler, tras un accidentado camino y con ayuda de las observaciones astronómicas de Tycho Brahe, llegó a la siguiente conclusión: los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo elipses que lo sitúan como uno de sus focos.

El trabajo de Kepler es una de las referencias que siguió Newton para enunciar sus leyes físicas.

Actualmente sabemos que los astros se mueven en trayectorias cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas, dependiendo de las condiciones a las que sus centros de masa estén sujetos.

No debemos ir tan lejos para encontrar las cónicas: si lanzamos una pelota veremos que su trayectoria es la de una parábola, y también podemos encontrarlas en muchas áreas relacionadas con el arte.

En la actualidad, la geometría analítica nos ha permitido estudiar las cónicas de manera sencilla. Lo cual constituye una aportación científica invaluable está tul alcance gracias a las matemáticas, por ésta sola razón vale la pena que la conozcas.

¡Bienvenido a esta unidad!

Mapa conceptual

1. Circunferencia

¿Habías pensado antes que la circunferencia es la sección de un cono? En realidad, no es común preguntarnos eso, pero es posible si pensamos que la boca de un barquillo de helado tiene la forma de una circunferencia.

Sin duda la circunferencia es la cónica que más has estudiando, por ejemplo, desde una edad temprana nos enseñan que su longitud es dos veces el producto de su diámetro y del

número , que su área es el producto de y el cuadrado del radio, también nos enseñan ciertas propiedades de los ángulos que se forman en éste. Por otra parte, en la vida cotidiana hay muchos objetos que tienen esta forma. Podemos encontrarla incluso al regar un jardín, como nos mostrará la siguiente escena.

JardineríaMaría compró un nuevo aspersor que cubre una parte del total de un área circular. Considerando como origen el centro del aspersor, éste lanza agua lo suficientemente lejos para alcanzar un punto ubicado en (12,16) , cuya longitud está dada en metros.

¿Crees que podríamos encontrar una ecuación que represente los puntos más lejanos a los que el aspersor puede llegar?, ¿cómo podrías encontrar dichos puntos?

Observa la relación que se despliega en la siguiente escena y encuentra la ecuación que representa la situación planteada.

Como has apreciado, los puntos más lejanos a los que el aspersor puede llegar están sobre una circunferencia. Si un punto P=(x,y) está sobre esa circunferencia, entonces se cumple la siguiente

ecuación

Trata de justificar, de la mejor manera posible, ¿por qué los puntos más lejanos a los que llega el agua del aspersor cumplen la relación?

¿Puedes argumentar por qué un punto P=(x,y) en la circunferencia satisface la relación

? Intenta sustituir cualquier punto de la circunferencia en la ecuación, por ejemplo, el punto dado (12,16).

Ahora imagina que el jardín de María mide 40 m de ancho y 50 de largo y que ella riega el jardín poniendo a ratos el aspersor en diferentes lugares. En la siguiente escena, mueve el aspersor a distintos puntos del jardín y observa cómo varía la relación algebraica, dependiendo del lugar donde pongas el aspersor.

Si un punto P=(x,y) es uno de los más lejanos a los que llega el agua del aspersor cuando está colocado en C=(h,k) , ¿cuál es la ecuación que satisfacen x e y ?, es decir, trata de encontrar la relación algebraica que hay entre x e y.

Con lo que hemos revisado hasta este momento, te será más fácil comprender el siguiente concepto:

Definición: Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia de un punto dado llamado centro. La distancia común es llamada radio.

Está definición es geométrica. Ahora abordaremos el concepto circunferencia desde una perspectiva algebraica, para ello utilizaremos el plano cartesiano.

Te mostramos algunos ejemplos.

Ejemplo 1Encuentra a ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen C=(0,0) y su radio es R=5

Supongamos que P=(x,y) es un punto cualquiera de la circunferencia. La condición de que P está a 5 unidades del centro, se puede expresar como:

d(C,P)=5

Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos :

En el ejemplo anterior el radio tuvo un valor específico, ahora generalizamos para cualquier valor del radio:

Ejemplo 2Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r.

Para solucionar este problema basta con traducir la condición geométrica a una condición algebraica. Tomemos un punto arbitrario de la circunferencia, P=(x,y) , entonces su distancia al origen C=(0,0) es r , es decir:

d(C,P)=r

Explícitamente:

La ecuación anterior es conocida como ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio y también la incluimos en el formulario.

La idea para describir un conjunto de puntos por medio de una ecuación consiste en tomar un punto arbitrario del conjunto (en este caso el conjunto puede ser el conjunto de puntos que forman cierta circunferencia) y hacer explícitas las condiciones algebraicas respecto a que el punto pertenezca al conjunto (si un punto pertenece a una circunferencia la condición es que su distancia al centro sea igual al radio; hacer explícita la condición significa utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos e igualarla con el valor del radio)

Veamos cómo queda la ecuación de una circunferencia de radio r y centro fuera del origen.

Ecuación canónica de la circunferencia

Supongamos que el centro de una circunferencia de radio r está en el punto C=(h,k).

Si P=(x,y) está en la circunferencia, entonces satisface la siguiente condición:

d(C,P)=r

Cuando tenemos una ecuación similar a la ecuación 1, debemos compararla e identificar la estructura de la ecuación, con el propósito de obtener el centro y el radio, pero antes necesitamos mencionar algunas cosas importantes.

Es posible desarrollar los binomios en la ecuación 1, después ordenar los términos de acuerdo con el grado e igualar a cero, puedes hacerlo en tu cuaderno y verificar que se obtiene lo siguiente:

Esta nueva ecuación es un caso particular de otra ecuación llamada ecuación general de segundo grado. Las ecuaciones 1 y 2 son equivalentes entre sí.

Nos interesa que aprendas a transformar la ecuación canónica en la general y viceversa, pues cada una aparece en diversos contextos y al pasar de una forma a la otra podemos obtener mayor información acerca de la situación que se está estudiando.

Lo más sencillo es ir de la ecuación canónica a la general y es parte de lo que deberás practicar en este tema, es sencillo porque sólo hay que desarrollar los binomios y acomodar los términos correspondientes para obtener la forma general.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo graficar una circunferencia a partir de su ecuación.

Ejemplo 3

Por lo tanto, la circunferencia tiene centro en C=(h,k)=(3,2) y radio r=5.

Para graficar sólo identificamos el punto C=(3,2), y haciendo centro en él y con el compás abierto 5 unidades trazamos la circunferencia. Utiliza un compás para graficar las circunferencias.

Para obtener la forma general únicamente debemos desarrollar los binomios y ordenar los términos de manera adecuada igualando a cero.

Observemos que en la ecuación original, h no aparece de manera explícita, para hacerlo notorio considera que x=x-0, por lo cual la ecuación original puede ser escrita como:

Al comparar ambas ecuaciones vemos que no son idénticas, hay una diferencia importante: en la ecuación del ejemplo los binomios son una suma, mientras que en la forma canónica hay una resta. En el fondo ésta no es una diferencia esencial, podemos dar la estructura canónica a la ecuación que nos dan utilizando la ley de los signos. En concreto, nota que:

Para graficar, identificamos el punto C=(-1,-2.5), y haciendo centro en él y con el compás abierto 3.1623 unidades trazamos la circunferencia.

Ejemplo 6Encuentra la ecuación general de la siguiente circunferencia:

SoluciónConsiderando las coordenadas que aparecen en las esquinas de la gráfica, te puedes dar cuenta de que la escala del plano es de 0.5 en 0.5. Así, podemos ubicar fácilmente el centro de la circunferencia en C=(-15,10). Falta el valor del radio; para obtenerlo debemos

encontrar un punto en la circunferencia que cumpla lo más posible con las coordenadas de éste. Notemos que P=(-14,10) funciona muy bien.

El radio r, es la distancia entre C y P:

1. Realiza un diagrama con base en la situación del problema. En caso de utilizar el plano cartesiano, trata de aprovechar el contexto del problema para ubicar adecuadamente el objeto geométrico. En el caso de la circunferencia, algo que suele funcionar casi siempre (pero no siempre) es poner el centro en el origen.

2. Hay que traducir las condiciones geométricas a algebraicas y obtener un modelo algebraico de la situación. Sin embargo, antes elaborar las ecuaciones y los cálculos necesarios conviene pensar en el propósito que perseguimos al hacer todo esto. Es decir, nosotros buscamos una ecuación porque nos va a permitir encontrar cierta información que nos piden o que nos será útil.

3. Una vez que hayamos obtenido un modelo algebraico, geométrico o de algún otro tipo, debemos extraer de él la información que buscamos.

Lee el enunciado del siguiente problema e intenta resolverlo:

Ejemplo 7. Ave viajeraCierta ave, diariamente, parte de su nido a las 6 a.m. buscando alimento y regresa a las 6 p.m. además requiere de un mínimo de 4 horas para descansar y alimentarse.

Si el ave tiene una velocidad media de vuelo de 20 km/h, ¿cuáles son los límites del territorio que puede cubrir?

Imagina que un cazador está a una distancia de 71 km del nido. Con la mira de su rifle, enfocando en dirección perpendicular a la línea recta que pasa por su posición y la del nido, descubre al ave viajera descansando en los lindes de su territorio y le dispara.

¿Qué distancia recorrerá la bala del cazador?

Soluciónhttp://148.204.111.37/MA/ave/index.html

Veamos otro ejemplo

Ejemplo 8. El Gato. Un gato está dormido en el peldaño de una escalera, la cual tiene una longitud de 3 metros. El peldaño en el que descansa el gato está exactamente a la mitad de la escalera.

La escalera está apoyada de forma vertical sobre una pared cuando, de pronto, la base de la escalera se comienza a deslizar alejándose de ésta y ambos, gato y escalera, caen al piso.

¿Qué trayectoria describe el gato al caer junto con la escalera? ¿A qué distancia del piso está el gato en el momento en que se encuentra a una distancia de 75 cm de la pared?

SoluciónAntes de leer la solución del problema, intenta resolverlo por ti mismo, es lo mejor que puedes hacer para aprender.

Hagamos un diagrama para entender el problema, para ello situemos el punto donde se unen el piso y la pared en el origen y supongamos que el gato está en el punto G=(x,y) y que los extremos de la escalera son los puntos A y B ; coloquemos, además, la escalera en una posición arbitraria que simule en dónde estaría después de haber caído cierto tiempo. El diagrama queda así:

La estrategia en este problema consiste en buscar alguna relación algebraica entre las coordenadas x e y del punto G y ver si esta relación algebraica nos dice algo acerca de la trayectoria del gato.

Para tal fin se trazó el triángulo auxiliar FHD en el diagrama, simplemente poniendo las medidas x e y sobre los ejes cartesianos.

¿Te diste cuenta de que, como G es el punto medio de la escalera, FH mide la mitad de AH, y que DH mide la mitad de HB? El ángulo H es compartido por los triángulos AHB y FHD.

Por todo esto los triángulos AHB y FHB semejantes, por lo que FD mide la mitad de AB que es 3 metros, es decir FD mide 1.5 metros.

El triángulo FHD es rectángulo, sus catetos miden x e y y su hipotenusa es de 1.5 m, por el Teorema de Pitágoras tenemos:

Que corresponde a la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.5.

Así, las coordenadas del gato satisfacen esta ecuación, por lo tanto la trayectoria que describe el gato al caer junto con la escalera es una circunferencia cuyo radio mide 1.5 metros.

Puedes comprobar esto en la siguiente escena.

Finalmente, si el gato se encuentra a 75 cm de la pared, y suponemos que está a una distancia y del piso, tenemos que sus coordenadas son G=(0.75,y). Para encontrar y, debemos sustituir las

coordenadas de G en la ecuación y resolverla para y:

estás listo para proseguir con el tema Circunferencia, pero antes queremos resaltar un hecho importante que ocurre al graficar la circunferencia.

A partir de la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen y radio 1, podemos graficar la siguiente familia de circunferencias.

Como ves, cuando sólo la h varía podemos pensar que la circunferencia con centro en el origen se desplaza de manera lateral: a la derecha si h es positiva y a la izquierda si h es negativa (en este

último caso se utiliza la ley de los signos y se suele escribir un signo de suma en la ecuación como se aprecia en la tabla anterior). ¿Sabes qué sucedería si ahora se varía el parámetro k y se deja fijo

todo lo demás? Veamos:

Hemos aplicado aquí el desplazamiento vertical y horizontal para la circunferencia, pero lo podemos hacer para cualquier otra cónica.

Cuando, en una ecuación cualquiera, se sustituye

x por x-h

La gráfica se desplazará h unidades a la derecha si h es positiva, y h unidades a la izquierda si h es negativa.

Análogamente, cuando en una ecuación cualquiera, se sustituye

y por y-k

La gráfica de la ecuación se desplazará de forma vertical k unidades hacia arriba si k es positiva, y k unidades hacia abajo si k es negativa.

Cuando hacemos estas sustituciones en una o ambas variables de una ecuación y desplazamos la gráfica de manera horizontal o vertical, estamos llevando a cabo una traslación de ejes. Utilizaremos la traslación de ejes en temas posteriores.

Conclusiones

Hemos estudiado la primera parte de las cónicas: la circunferencia. Al estudiarla apreciamos varias características de ésta comunes a todas las cónicas, por ejemplo, la ecuación canónica —llamada así porque nos permite apreciar los elementos geométricos importantes de cada cónica, en el caso de la circunferencia: el radio y el centro— a partir de la expresión algebraica, la ecuación general y los métodos para graficar y para encontrar las gráficas a partir de una ecuación.

Finalmente, la circunferencia nos sirvió para ilustrar cómo se trasladan los ejes, lo cual será una herramienta que usaremos de manera constante en todas las cónicas.

Lo ideal es que al aprender todo lo que se ha visto durante el tema, también reflexiones al respecto, es decir, piensa en los métodos que se están siguiendo para resolver ciertos problemas; trata siempre de analizar los problemas y a partir de ello, proponer y responder

preguntas tales como: ¿cómo le explicarías a alguien mas el procedimiento que debe seguir para resolver el problema de “dada la gráfica de una circunferencia encuentra la ecuación”?

¡Excelente trabajo!¡Aún faltan varios temas, sigue adelante!

2. Parábola

Introducción

¿Conoces más situaciones en nuestro entorno cotidiano en las que aparecen parábolas?

¿Por qué un balón al rebotar describe una parábola? ¿Por qué la antena de televisión tiene una forma basada en una parábola y no en una circunferencia o un triángulo?

La respuesta es que la parábola tiene propiedades muy especiales que no son comunes a otras figuras geométricas.

En este tema estudiaremos la parábola y algunas de sus interesantes propiedades.

Recuerda que el enfoque que seguiremos es el de combinar el álgebra y la geometría.

El terreno de Apolonio

En un campo abierto corre un río en línea recta y hay un pozo a una distancia de 200 m de éste.

Apolonio desea proteger su terreno —que está del mismo lado que el pozo— plantando una arboleda.

La forma del terreno de Apolonio es especial pues, casualmente, siempre que pone un árbol en los límites del mismo la distancia del árbol al pozo es igual a la distancia del árbol al río, lo cual le asegura llevar agua al árbol a partir de dos fuentes distintas con el mismo esfuerzo. ¿Sabes qué forma tiene el límite del terreno de Apolonio?

Para saber qué forma tiene el terreno necesitamos resolver el problema, para ello ten en cuenta las siguientes sugerencias:

1. Introduce un sistema de coordenadas en la situación del problema: el río puede ser el eje x y el pozo puede estar ubicado en el punto F=(0,200).

2. Ubica primero tres puntos en los que Apolonio puede sembrar árboles. Por ejemplo, el punto que está entre el pozo y el río a una distancia de100 m de ambos, o los puntos que están a 200 m del pozo caminando de forma paralela al río a partir del pozo.

3. Si P=(x,y) es un punto en el que se planta un árbol, entonces la distancia d(P,F) entre el pozo y el árbol es igual a y, la ordenada del punto P.

Con las sugerencias que te hemos dado es posible saber qué forma tiene el terreno. Para obtener la respuesta puedes elaborar un dibujo.

Tomando en cuenta las sugerencias dadas, despliega la siguiente escena y comprueba tu respuesta.

En la escena anterior pudiste apreciar los límites del terreno de Apolonio, la figura formada es lo que llamamos una parábola, más exactamente:

Definición: Dados un punto fijo al que llamaremos foco y una línea a la que llamaremos directriz, la cual no contiene al foco, una parábola es el conjunto de puntos del plano de tal forma que cada

uno de ellos está a la misma distancia del foco que de la directriz.

http://148.204.103.140/moodle/file.php/505/moddata/scorm/3221/parabola.html

Los elementos geométricos que te acabamos de mostrar son los más importantes de la parábola. En la práctica, siempre será importante conocer al menos dos, ya sean la longitud del lado recto y el vértice, la longitud del lado recto y el foco o el vértice y el foco.

Conociendo alguna de éstas parejas de elementos podremos graficar fácilmente y obtener los elementos restantes.

La parábola es un objeto geométrico y al estar en el plano cartesiano puede aparecer en cualquier posición.

Ahora estudiaremos la ecuación que le corresponde a la parábola. Abordaremos los casos en los que la directriz de la parábola es una línea horizontal o una línea vertical.

Veamos el ejemplo siguiente:

Ejemplo 1 Encuentra la ecuación de la parábola cuya directriz es el eje x y cuyo foco es F=(0,2p).

SoluciónPodemos graficar la parábola ubicando los elementos que nos dan en el plano cartesiano. Observa que la distancia focal es p, por lo que el vértice es V=(0,p).

El lado recto vale 4p y sus extremos están en (-2p,2p) y (2p,2p).

En la siguiente escena verás diferentes ejemplos de esta ecuación. Observa los efectos que sufre la gráfica al variar el valor de p.

En la escena anterior pudiste observar lo que ocurre al variar p en la ecuación canónica. En la siguiente tabla resumimos tal comportamiento.

En el ejemplo 1, encontramos la ecuación de una parábola cuya directriz era el eje X y F=(0,2p). Ésta es una parábola que abre de manera vertical y su ecuación es

.

Ahora queremos encontrar la ecuación de una parábola cuya directriz sea el eje Y y F=(2p,0), es decir, una parábola que abre de manera horizontal. El procedimiento para encontrar la ecuación es prácticamente el mismo que el del ejemplo 1, con la excepción de intercambiar en ciertas partes los papeles de x y de y.

Ahora trata de encontrar la ecuación, para ello puedes imitar el procedimiento que te mostramos en el ejemplo 1 y adaptarlo a esta nueva situación. ¡Inténtalo!, comprenderás mejor el tema si lo haces.

Una vez que tengas la solución, verifica tu procedimiento con el desarrollo del siguiente documento.

La gráfica de la parábola cuya directriz es el eje Y y foco F=(2p,0) es

Al igual que en el caso de la parábola vertical, el valor absoluto de p nos indica qué tan abierta es la parábola.

Si el valor de p es grande, la parábola es ancha; si es pequeño, la parábola es angosta.

Si p es positivo, la parábola abre a la derecha; si es negativo, la parábola abre a la izquierda.

Interactúa con la siguiente escena y obtén diferentes ejemplos de esta ecuación.

Observa los efectos sobre la gráfica al modificar el valor de p.

Tenemos dos formas de la parábola: vertical y horizontal. En la vertical el término cuadrático aparece en la variable de las abscisas (variable x); en la parábola horizontal el término cuadrático aparece en la variable de las ordenadas (variable y).

Resulta importante destacar que en las ecuaciones canónicas el término cuadrático está despejado, por lo tanto para comparar una ecuación con la forma canónica siempre tienes que despejar el término cuadrático.

Si te dan como dato la ecuación de una parábola y te piden graficarla ¿cómo lo harías?

¿Qué necesitamos para graficar la ecuación de una parábola?

Primero identificamos si es una parábola vertical u horizontal. Luego conviene encontrar la magnitud del lado recto 4p, para saber qué tanto abre —con el valor de p decidimos en qué sentido va la parábola, hacia arriba o abajo, hacia la derecha o izquierda— y encontramos las coordenadas del foco y de los extremos del lado recto.

Hecho esto ubicamos el vértice y los extremos del lado recto en el plano cartesiano. La parábola pasa por esos tres puntos, por lo que podemos trazarla uniéndolos.

Los siguientes ejemplos ilustran lo que te acabamos de explicar.

Ejemplo 2Vamos a graficar las siguientes ecuaciones, pero antes de trazar la gráfica hay que describir sus características de acuerdo con la ecuación.

Con los datos que tenemos podemos dar una descripción: La parábola es vertical, tiene su vértice en el origen, abre hacia abajo y es un poco ancha.

Los elementos geométricos para graficar son los siguientes

El vértice es V=(0,0)

El foco está a p unidades del vértice (en éste caso abajo del vértice pues la parábola abre hacia abajo), por lo tanto F=(0,-7).

El lado recto tiene una longitud de 28, y tiene por punto medio a F=(0,-7), por lo tanto sus extremos son L=(-14,-7) y R=(14,-7).

Localizamos los puntos en el plano cartesiano:

Graficamos la parábola considerando que pasa por L, V y R.

Tiene dos términos cuadráticos, por lo tanto no es una parábola. Sin embargo podemos escribirla de la siguiente forma: la cual, como vimos en el tema anterior, es una circunferencia con centro en el origen y radio .

Por lo tanto la parábola es horizontal, tiene vértice en el origen, abre a la derecha y es medianamente ancha.

El vértice es V=(0,0), el foco está a p unidades del vértice, por lo tanto F=(3,0).

El lado recto vale 12 unidades y tiene su punto medio en F, por lo tanto sus extremos son L=(3,6) y R=(3,-6). Ubiquemos estos puntos en el plano:

Para graficar unimos los puntos L,V y R por donde pasa la parábola

Por lo tanto la parábola es vertical con vértice en el origen, abre hacia arriba y es angosta.

El vértice está en V=(0,0) y el foco está a p=0.25 unidades del vértice, es decir F=(0,0.25); el lado recto tiene una longitud de 1 y su punto medio es el foco, por lo que sus extremos son L=(-0.5,0.25) y R=(0.5,0.25).

Graficando primero estos puntos y luego uniéndolos obtenemos:

Los ejemplos que hasta este momento te hemos dado y la autoevaluación que resolviste están enfocados a determinar la gráfica y sus características partiendo de la ecuación, es decir, fueron ejercicios del tipo dada una ecuación encuentra la gráfica.

Es natural preguntarse por el problema inverso: dada una gráfica encuentra la ecuación. El primero de los siguientes ejemplos ilustra una manera de resolver este problema.

Al tener la gráfica disponemos de puntos que, al ser sustituidos en la forma canónica, nos permiten encontrar los valores del lado recto y de las coordenadas del vértice o del foco.

Ejemplo 3¿Cómo podemos encontrar la ecuación de la siguiente parábola?

La gráfica proporciona una gran cantidad de puntos. Debemos elegir aquellos cuyas coordenadas podamos leer de la forma más precisa posible.

En este caso, elegimos el punto P=(-4,4).

Como la parábola es horizontal, la ecuación canónica correspondiente es:

Ejemplo 4Antes de leer la solución del siguiente ejemplo, trata de resolverlo. Te mostramos algunas sugerencias para ello:

De acuerdo con la situación del problema, realiza un diagrama. En caso de utilizar el plano cartesiano, trata de aprovechar el contexto del problema para ubicar adecuadamente el objeto geométrico. En el caso de la parábola, algo que suele funcionar es poner el vértice en el origen.

Hay que traducir las condiciones geométricas a algebraicas y obtener un modelo algebraico de la situación. Sin embargo, antes de realizar las respectivas ecuaciones y los cálculos pertinentes conviene pensar en el propósito que perseguimos al hacer todo esto, es decir, nosotros buscamos una ecuación porque nos permitirá encontrar cierta información que nos piden o que nos será útil.

Una vez que hayamos obtenido un modelo algebraico, geométrico o de algún otro tipo, debemos extraer de él la información que buscamos.

ProblemaEn el diseño de una antena parabólica se ha dispuesto que la abertura del plato parabólico sea de 80 cm de diámetro y que la profundidad del mismo sea de 10 cm. ¿A qué distancia del fondo se deberá colocar el receptor de la señal?

SoluciónDadas las propiedades de la parábola, el receptor debe de ir en el foco de la misma. Esto sugiere diagramar el corte lateral de la antena. Pondremos el vértice de la antena en el origen V=(0,0) con su eje en x, de esa manera los extremos de la antena tendrán coordenadas “sencillas”.

Tomando en cuenta que la profundidad del plato parabólico es de 10 cm y la abertura de 80 cm, las coordenadas de los extremos son A=(10,40) y B=(10,-40), por lo que el diagrama queda de la siguiente forma:

Podemos contestar el problema si conocemos las coordenadas del foco, éste será nuestro primer paso.

Para encontrar las coordenadas necesitamos el valor de p, el cual podemos obtener de la ecuación de la parábola.

Para hallar la ecuación de la parábola necesitamos conocer un punto, pero date cuenta de que ¡sí lo tenemos!, de hecho tenemos al menos dos puntos A y B; el más fácil de usar parece ser A=(10,40).

Nuestro plan será, entonces, encontrar la ecuación de la parábola utilizando al punto A, tomar el valor de p de la ecuación, encontrar las coordenadas de F y contestar la pregunta del problema. Procedamos:

Primero sustituimos las coordenadas de A=(10,40) en la ecuación canónica de la parábola horizontal y resolvemos la ecuación para p:

La ecuación de la parábola es la distancia focal es p=40, por lo tanto las coordenadas del foco son F=(40,0), lo cual nos permite contestar a la pregunta del problema:

El receptor debe colocarse a 40 cm del fondo de la antena.

Asombrosamente, queda fuera del plato en forma de paraboloide.

Veamos un último ejemplo antes de seguir adelante con el tema. Lo que pretendemos ahora es obtener un modelo algebraico para obtener información de él.

Ejemplo 5Un escultor planea un proyecto en el que aludirá a la geometría en el cosmos.

Como parte de la instalación, pretende incluir una parábola gigante de acero que tenga 30 metros de altura. Intenta centrarla entre dos soportes principales que están a una distancia de 3 metros; el vértice quedará sobre el piso.

Cada 50 cm, y a la izquierda del vértice, debe incluir soportes para sujetar la estructura, por desgracia no sabe calcular las alturas que deben tener los soportes. ¿Cómo podría encontrar las alturas de los soportes?

SoluciónHaremos un diagrama de la situación, pondremos el vértice de la parábola en el origen y trasladaremos las medidas de los soportes al diagrama.

El vértice es V=(0,0), los extremos de los soportes principales de la instalación deben tener alturas en los puntos I=(-1.5,30) y D=(1.5,30), por lo que el diagrama queda así:

Como el diagrama indica, únicamente será necesario agregar dos soportes a la escultura (los que aparecen en rojo). Estos son el soporte 1 y el soporte 2. Los puntos donde éstos tocan a la escultura son los puntos A y B respectivamente. De ambos puntos se conocen las abscisas, falta la ordenada, también de ambos. Si tuviéramos las ordenadas podríamos decirle al escultor cuáles son las alturas de los soportes.

Si tuviéramos la ecuación de la parábola podríamos evaluarla en el valor de las abscisas que tenemos y obtener el de las ordenadas correspondientes, así terminaríamos el problema.

Podemos obtener la ecuación de la parábola utilizando uno de los puntos que conocemos.

Nuestro plan de acción queda así: utilizando el punto D=(1.5,30) hallaremos la ecuación de la parábola, después evaluaremos la ecuación en las abscisas de los puntos A y B y obtendremos sus ordenadas, es decir, las alturas de los soportes.

Desarrollemos el plan:

Sustituimos las coordenadas de D=(1.5,30) en la ecuación canónica de la parábola vertical

y obtenemos

Observa que estos valores son coherentes con los valores que más o menos se pueden aproximar en la gráfica. Las alturas de los soportes para la escultura son 3.3333 metros y 13.3333 metros, aproximadamente.

Si hubiera soportes a la derecha de la parábola ¿cuáles crees que serían los puntos en los que éstos tocarían a la escultura? Desarrolla el procedimiento en tu cuaderno.

Después de haber revisado y entendido estos ejemplos, ya estás listo para resolver la siguiente actividad de aprendizaje.

Nos interesa estudiar la parábola no sólo cuando el vértice está en el origen sino en cualquier otro punto. Para ello trasladaremos la parábola de vértice en (0,0) a V=(h,k).

Sólo debemos sustituir por x-h e y por y-k.

Obtenemos entonces:

Que es conocida como la ecuación canónica de la parábola vertical con vértice fuera del origen; y también:

……………. (4)

La ecuación canónica de la parábola horizontal con vértice fuera del origen. Estas dos fórmulas también las agregamos al formulario.

Ambas ecuaciones representan parábolas desplazadas. Toma en cuenta que se desplazan todos los elementos de la parábola —foco, directriz, eje y lado recto—, pero las distancias entre ellos no cambian.

A las cantidades que no dependen de los valores de las variables en una ecuación las llamamos parámetros. En el caso de la ecuación de la parábola, los parámetros son p, h y k.

En la siguiente escena puedes modificar los parámetros h, k y p en la ecuación de la parábola vertical. Observa los cambios en la gráfica.

¿Viste cómo cambió la gráfica dependiendo de la modificación de los parámetros?

Ahora observa los efectos causados al modificar los parámetros de la ecuación de la parábola horizontal.

En la práctica, para graficar estas ecuaciones primero se identifican el vértice y la distancia focal, a partir de estos elementos identificamos las coordenadas del lado recto y trazamos la parábola.

Para hacer lo anterior es necesario poner la ecuación en su forma canónica, es decir, hay que dejar el binomio al cuadrado de la ecuación en un sólo lado. Te mostramos un ejemplo de cómo graficar a partir de la ecuación.

Ejemplo 6Grafiquemos las siguientes ecuaciones ubicando todos los elementos geométricos en la gráfica.

La ecuación representa una parábola, pues sólo hay un término cuadrático en la variable x, por lo cual sabemos que ésta es vertical. Para comparar con la ecuación canónica de la parábola vertical es necesario dejar al binomio cuadrado en un sólo lado de la igualdad:

La parábola pasa por L, V y R.

El siguiente es un problema clásico. Debemos graficar la parábola a partir de algunos de sus elementos geométricos, obtener todos los demás y después su ecuación.

Ejemplo 7Encontremos todos los elementos geométricos y la ecuación de la siguiente parábola, si sabemos que la ecuación de su eje es x=20, que uno los extremos del lado recto es (24,5) y que p es negativo.

SoluciónLo mejor aquí es comenzar graficando los elementos que ya conocemos:

Saquemos la mayor cantidad de información posible de la gráfica.

La distancia entre el punto y el eje es de 4=24-20; entonces el otro extremo del lado recto está a una distancia de cuatro unidades y, de acuerdo con la figura, sus coordenadas son (20-4,5)=(16,5); así pues los extremos del lado recto son L=(16,5) y R=(24,5) que están a una distancia de 8 unidades.

La directriz está dos unidades arriba del vértice, por lo tanto su ecuación es y=7+2=9.

Graficando todos estos elementos obtenemos:

Al igual que la circunferencia, la parábola también tiene ecuación general, en éste caso la ecuación 5 corresponde a la parábola vertical y la ecuación 6 a la horizontal. Para obtenerlas sólo hay que desarrollar los binomios e igualar a cero.

Veamos más detenidamente la ecuación 5. La abscisa del vértice, en especial, está relacionada con el coeficiente D pues se hizo el cambio de variable D=-2h. Resolviendo esta ecuación para h tenemos:

Esto significa que si se tiene una ecuación en su forma general es fácil obtener la abscisa de su vértice y con ayuda de ésta también la ordenada. Anteriormente, has estudiado las funciones de segundo grado, o funciones cuadráticas, las cuales tienen la forma:

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión del disco “Baile de Máscaras”, de la Maldita Vecindad, a $240 cada álbum. Por cada $ 5.00 menos en el precio de cada disco, calcula que venderá 300 álbumes más. A la compañía cada disco le cuesta $ 85 y sus costos fijos son de $ 100 000 en el periodo de producción.

Encuentra un modelo algebraico que represente las ganancias de la compañía G de acuerdo con número de incrementos n y determina la máxima ganancia que puede tener así como el precio al que debe ofrecer cada álbum.

SoluciónLa ganancia se puede calcular como:

Ganancia = Ingresos – Costos

En este caso los Ingresos están determinados por:

Ingresos = (Precio de cada álbum)*(No. de álbumes vendidos)

Los costos son iguales a los costos fijos más los costos de producción por cada álbum

Costos = 100 000 + (Precio de producción por álbum)*(No. de álbumes)

Después de n incrementos, el precio de cada álbum es 240-5n

Un esbozo de la gráfica es el siguiente:

Conclusiones

La parábola es una cónica y como tal se ha definido como la intersección de un cono y un plano, sin embargo, como has visto en éste tema, no se mencionan en absoluto el cono y el

plano para enunciar sus propiedades, esto se debe a que adoptamos el enfoque de la geometría analítica.

Lo anterior no significa que la parte geométrica es poco importante, de hecho son las propiedades geométricas de la parábola —y en general de las cónicas— las que permiten encontrar ecuaciones en una forma canónica “elegante” (son las mismas propiedades geométricas estudiadas hace ya cerca de 2 000 años por Apolonio de Perga).

En contraparte, ya has tenido oportunidad de estudiar las funciones de segundo grado, y como vimos aquí, el estudio de la parábola nos permite encontrar el máximo o el mínimo de tales funciones. En este sentido, el estudio de las funciones de segundo grado será también el estudio de las cónicas.

¡Buen trabajo, sigamos adelante!

3. Elipse

Introducción

Intersección del cono y el plano para formar una elipse

Primera ley de Kepler: Los planetas se mueven alrededor del Sol en trayectoriaselípticas en las cuales el sol está en uno de sus focos.

Cuando un objeto geométrico nos ayuda a comprender muchas de las cosas que han inquietado al hombre durante largo tiempo, el conocimiento de algunas de sus propiedades es básico para nuestra cultura.

La geometría analítica nos permite un estudio más sencillo de objetos geométricos como las cónicas, a la vez que nos familiariza con las ecuaciones de segundo grado.

En este tema veremos los elementos que conforman una elipse y la manera en la cual éstas se representan en una ecuación.

Observarás que las ideas de fondo al estudiar la elipse son similares a las que se emplean en la parábola y la circunferencia.

Apagar el fuego a como dé lugar

Una ciudad cuenta con dos estaciones de bomberos que están separadas 30 km entre sí. Desde ambas estaciones se pueden enviar carros de bomberos hacia cualquier dirección de la ciudad.

Debido a las condiciones en las que se encuentran las unidades de rescate, éstas sólo se pueden abastecer de combustible en su estación y circular un tiempo máximo de 30 minutos avanzando a una velocidad máxima de 100 km/h; no conforme con esto, las políticas imponen a los heroicos bomberos la condición de que, una vez que hayan salido de una estación, no pueden regresar a ella y deben ir a la otra. Bajo éstas circunstancias ¿cuál es el límite del área en la cual los bomberos pueden actuar?

Antes de continuar con el tema, te invitamos a que resuelvas éste problema, pues te ayudará a comprender mejor todo lo que sigue.

Puedes atender las siguientes recomendaciones

Introduce un sistema de coordenadas en la situación del problema. Una de las estaciones puede ubicarse en F1=(-15,0) y la otra a su derecha en F2=(15,0) .

Ubica primero cinco puntos, de los más lejanos, a los que pueden llegar los bomberos. Para ello calcula la distancia que se pueden desplazar considerando que si van a uno de estos puntos el combustible debe alcanzar para salir y regresar. Trata de usar un compás en la gráfica para ubicar diferentes puntos a los que pueden llegar (recuerda el problema del tema anterior “El terreno de Apolonio”).

Si P=(x,y) es un punto en el límite del área de acción de los bomberos, la distancia d(P,F1) de la estación F1 al incendio en P junto con la distancia d(P,F2) del incendio en P a la estación F2, debe ser igual a la máxima distancia que puede recorrer el camión de bomberos. Traduce ésta condición a una ecuación e intenta graficarla. Si no puedes hacerlo, no te preocupes, el intento en sí ya es muy valioso.

Ahora trata de contestar la pregunta del problema: ¿Cuál es el límite del área en la cual los bomberos pueden actuar?

Tomando en cuenta las sugerencias anteriores, despliega la siguiente escena y comprueba tu respuesta.

Definición: Una elipse es el conjunto de puntos del plano que satisfacen la condición de que al sumar las distancias de cada uno de ellos, a dos puntos fijos llamados focos la suma permanece constante. Tal constante deberá ser mayor a la distancia que hay entre los focos.

Los elementos geométricos de la elipse te los mostramos en la siguiente animación:

http://148.204.103.140/moodle/file.php/505/moddata/scorm/3221/elipse.html

Hasta ahora todos los elementos de la elipse que hemos visto no se relacionan con ninguna ecuación de ésta, ni con la posición que ocupa en el plano.

Ahora vamos a deducir la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor horizontal.

Para ello, pongamos el centro de la elipse en el origen C=(h,k)=(0,0) y el eje mayor sobre el eje x, de tal forma que los focos y los vértices tienen las siguientes coordenadas:

F1=(-c,0), F2=(c,0), V1=(-a,0) y V2=(a,0), los extremos del eje menor quedan con coordenadas B1=(0,b) y B2=(0,-b).

Que es la ecuación canónica de la elipse horizontal con centro en el origen. La gráfica de esta elipse aparece en la figura anterior. Esta ecuación se agrega al formulario

Es muy importante observar que en ésta ecuación el cuadrado de la longitud del semieje mayor a2 divide a x2 , lo cual es un criterio para confirmar que la elipse es horizontal.

Si hubiéramos puesto el eje mayor de la elipse sobre el eje y , en lugar de hacerlo sobre el eje x , hubiéramos obtenido una elipse vertical. De esta forma, el semieje mayor, de longitud a, estaría sobre el eje y al igual que los focos y vértices, con el centro de la elipse en el origen. Entonces sus principales elementos geométricos tendrían las siguientes coordenadas:

Centro: C=(h,k)=(0,0).

Focos: F1=(0,c), F2=(0,-c).

Vértices: V1=(0,a), V2=(0,-a).

Extremos de los semiejes menores: B1=(-b,0), B2=(b,0).

La gráfica quedaría de la siguiente forma:

Para deducir la ecuación de esta elipse, procedemos como en el caso de la elipse horizontal con centro en el origen.

El procedimiento es muy similar con la salvedad de que podemos pensar que los papeles de x e y se intercambian entre sí. La ecuación canónica de la elipse vertical con centro en el origen queda:

..............(5)

Es muy importante observar que en esta ecuación el cuadrado de la longitud del semieje mayor a2 divide a y2 , lo cual es un criterio para confirmar que la elipse es vertical. La ecuación anterior también se agrega a formulario.

Para estudiar las elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen en C=(h,k), trasladaremos los ejes en las elipses con centro en el origen.

Sustituimos x por x-h e y por y-k en las ecuaciones 4 y 5, dado lo cual obtenemos:

Ecuación canónica de la elipse horizontal con centro fuera del origen:

.............(6)

En la práctica, puedes distinguir la ecuación canónica de una elipse horizontal y una vertical observando los denominadores: si el denominador mayor aparece en la expresión cuadrática respecto a x, la parábola es horizontal; si el denominador mayor aparece en la expresión cuadrática respecto a y, la elipse es vertical.

Para graficar a partir de una ecuación no es necesario que aprendas todas las expresiones de la tabla anterior (en todo caso, analízalas e intenta ver cómo se deducen a partir del centro y de a y b), en su lugar, puedes hacer lo siguiente:

Primero identifica si la elipse es vertical u horizontal; asegúrate de conocer las coordenadas del centro y las longitudes de los semiejes a y b,

A continuación ubica el centro y traza los semiejes de la elipse determinando las coordenadas de los vértices. Para darte una idea de la forma de la elipse, calcula c, ubica los focos y encuentra la excentricidad.

Grafica la elipse uniendo los vértices y los extremos de los semiejes menores.

Los siguientes ejemplos nos muestran cómo hacerlo.

Ejemplo 1Grafica la siguiente ecuación:

Al igual que la parábola y la circunferencia, es posible poner la ecuación canónica en su forma general. Retomamos los ejemplos anteriores para mostrar este proceso:

Hemos graficado las elipses a partir de las ecuaciones.

Resolver el problema inverso, encontrar la ecuación a partir de la gráfica, puede ser complicado debido a que la ecuación de la elipse tiene cuatro parámetros y si no los conocemos directamente de la gráfica, necesitamos sustituir puntos y resolver el sistema de ecuaciones resultante.

Lo mejor es tratar de encontrar la longitud de los semiejes y las coordenadas directamente de la gráfica, como se ejemplifica a continuación.

Ejemplo 3Encuentra la ecuación general de la siguiente elipse:

SoluciónPrimero debemos observar la escala de la gráfica, contando los cuadros e infiriendo el largo y el ancho de ésta a través de las coordenadas de las esquinas que se dan. La escala es de uno en uno.

Podemos ubicar el centro de la elipse en C=(-10,-15) y los vértices en V1=(-10,-10) y V2=(-10,-20); los extremos de los semiejes menores son B1=(-18,-15) y B2=(-12,-15).

De esta forma la longitud del semieje mayor es a=5 y la del menor es b=3.

Los ejemplos anteriores constituyen una rutina que podrás y deberás aplicar en otras situaciones. La mejor forma de aprender esta clase de rutinas es verbalizando los pasos,

puedes hacerlo tratando de enseñarle a alguien más o escribiendo los que una persona debe de seguir para resolver problemas como los anteriores.

Cuando tengas clara la manera de resolver éste tipo de problemas podrás resolverlos con mayor habilidad, casi como si fuera un ejercicio.

Ejemplo 4Una pista elíptica de atletismo tiene 500 m de largo y una excentricidad e=0.2. ¿Cuál es la anchura de la pista a 50 m de un extremo?

SoluciónSi intentáramos hacer un diagrama de la pista, resultaría complicado pues desconocemos la medida del semieje menor de la elipse. Sin embargo conocemos la medida del semieje mayor, que es la mitad del largo de la pista, es decir, a=250 m.

Como se conoce la excentricidad y ésta se relaciona con c, podemos establecer la siguiente estrategia:

Usando la excentricidad determinaremos el valor de c.

A continuación lo usaremos junto con el valor de a para determinar el valor de b.

Haremos el diagrama del problema:

De tal forma:

Lo que pide el problema es la longitud de la cuerda que se ve en el diagrama.

La mitad de esta cuerda la constituye la ordenada del punto P=(200,y). Sólo tenemos que encontrar y y multiplicarla por 2. ¿Cómo encontrarías la ordenada?

La segunda parte de nuestro plan es encontrar la ecuación de la elipse y utilizarla para encontrar la ordenada del punto P y así contestar el problema.

Sustituyamos los datos que tenemos en la ecuación canónica de la elipse horizontal:

Puesto que en la gráfica elegimos a P en el primer cuadrante, tomamos y=146.9693.

El ancho de la pista a 50 m de la orilla es de (2)(146.9693)=293.9386 m.

Para concluir el tema retomaremos uno de los ejemplos que te mostramos en el tema circunferencia, pero con algunas variantes.

Ejemplo 5. Un gato

Un gato está dormido en el peldaño de una escalera.

La escalera tiene una longitud de 3 m y el peldaño en el cual descansa el gato está exactamente a 1 m del extremo superior de la misma.

La escalera está apoyada de forma vertical sobre una pared. Cuando, de pronto, la base de la escalera se comienza a deslizar alejándose de la pared y el gato y la escalera caen al piso. ¿Qué trayectoria describe el gato al caer junto con la escalera?

SoluciónAntes de leer la solución del problema, intenta por resolverlo ti mismo, es lo mejor que puedes hacer para aprender.

Hagamos un diagrama para entender el problema, para ello coloquemos el punto donde se unen el piso y la pared en el origen, supongamos que el gato está en el punto G=(x,y) y que los extremos de la escalera son los puntos A y B, además pongamos la escalera en una posición específica, después de haber caído cierto tiempo; el diagrama queda así:

La estrategia pertinente en éste problema consiste en buscar alguna relación algebraica entre las coordenadas x e y del punto G y ver si tal relación algebraica nos dice algo acerca de la trayectoria del gato. Para ello ubicamos las medidas x e y sobre los ejes cartesianos y formamos los triángulos

AFG y GDB

La cual es la ecuación de una la elipse con centro en el origen.

Las coordenadas del gato satisfacen esta ecuación, por lo tanto la trayectoria que describe el gato al caer junto con la escalera es una elipse.

Puedes comprobar esto en la siguiente escena.

Conclusiones

La elipse es una de las dos cónicas que tienen dos focos; al respecto, puede decirse que la circunferencia es un caso extremo de la elipse.

Puedes apreciar este hecho tanto en lo parecidas que son sus ecuaciones canónicas como en que al acortar la distancia entre los focos de la elipse ésta se torna casi una circunferencia, siendo el centro de la misma el centro de la elipse y el lugar en el que los dos focos se unirían.

Si los focos de la elipse se separan, ésta se abre, pero no abarcándolo todo pues sus partes superior e inferior se semejarán a líneas paralelas. Haciendo un ejercicio de imaginación, en un caso extremo, uno de los focos quedaría fijo y el otro lo llevaríamos al infinito, en ese momento obtendríamos una parábola.

¿Puedes encontrar más similitudes o diferencias entre la elipse y las cónicas que ya estudiamos?

Uno de los aspectos importantes para aprender es ser capaz de establecer similitudes y diferencias entre los objetos que estamos conociendo y los que ya conocemos. Trata de hacer comparaciones de manera frecuente.

¡Buen trabajo!

4. La hipérbola

Introducción

A lo largo del tema, notarás que la elipse y la hipérbola son similares entre sí.

Procura establecer similitudes entre ambas cónicas, tanto en los elementos geométricos como en los algebraicos, pero sobre todo pon especial atención en las diferencias, pues aunque parecen ser pequeñas dan lugar a objetos geométricos distintos.

Un diferencia interesante, por ejemplo, es que la hipérbola se compone de dos partes que no se cortan, tal y como puedes apreciar en la ilustración.

En este sentido, las cónicas que has estudiado anteriormente se componen de una sola parte: la circunferencia y la elipse son curvas cerradas, la parábola es una curva abierta. En cambio en la hipérbola se obtienen dos partes, una del cono inferior, otra del cono superior, que en conjunto forman a esta curva.

La carreraEratóstenes y Apolonio son dos guardabosques que deciden participar en una carrera anual que se celebra en el bosque.

Dada la diferencia de edades, participarán en distintas categorías, por lo cual fijan un plan de entrenamiento distinto para cada uno de ellos.

Eratóstenes, el mayor y más experimentado, decide incrementar las distancias que corren día a día, pero con la condición de que Apolonio siempre corra 8 km adicionales a los que él corre y que lo haga en el mismo tiempo.

Deciden correr por las mañanas y aprovechar que sus cabañas están a una distancia de 10 km. Ambos salen de sus respectivas cabañas a las 4 a.m. todos los días y recorren las distancias preestablecidas hasta el punto de encuentro determinado previamente por Apolonio.

Reflexiona y cuestiónate: ¿qué figura describe todos los posibles puntos de encuentro entre Apolonio y Eratóstenes?

Trata de resolver este problema, te ayudará a comprender lo que te explicaremos en este tema; para ello te presentamos algunas sugerencias.

Introduce en un sistema de coordenadas la cabaña de Eratóstenes, puede ubicarse en F1=(-5,0); la de Apolonio, en F2=(5,0).

Ubica primero cinco posibles puntos de encuentro. Por ejemplo, si el primer día Eratóstenes recorre 1 km y Apolonio 9 km el encuentro ocurre en un punto intermedio entre las cabañas ya que éstas se encuentran a una distancia de 10 km.

Si P=(x,y) es un posible punto de encuentro, la distancia d(P,F1) que recorre Eratóstenes es 8 km menor que la que corre Apolonio, que es d(,F2).Traduce esta condición a una ecuación y trata de graficar; si no puedes hacerlo, no te preocupes, el intento en sí es muy valioso.

Ahora trata de contestar la pregunta del problema: ¿qué figura describen el conjunto de todos los posibles puntos de encuentro? Puedes responder esbozando un diagrama en tu cuaderno.

De acuerdo con las sugerencias anteriores, observa la siguiente escena y comprueba tu respuesta

Al elevar al cuadrado y simplificar términos se puede obtener la siguiente ecuación que viste evaluada numéricamente en la escena anterior:

Ahora estás listo para una definición más formal.

Definición: Una hipérbola es el conjunto de puntos del plano que satisfacen la condición de que al restar las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos, la diferencia

permanece constante. "Esta constante deberá ser menor a la distancia que hay entre los focos y la distinta cero."

Si P es un punto de la hipérbola y F1 y F2 los focos, hay dos formas en las que se puede cumplir la condición de la definición:

d(F2,P)-d(F1,P)=Constante

d(F1,P)-d(F2,P)=Constante

Pues la diferencia se toma dependiendo de cuál de las cantidades d(F1,P) ó d(F2,P), es mayor.

En el problema de La carrera, sólo consideramos uno de los casos, pues únicamente nos interesaba que la distancia recorrida por Apolonio fuera mayor que la de Eratóstenes.

A diferencia de las dos cónicas anteriores, la hipérbola se compone de dos partes del plano que no se cortan. Cada una de esas partes corresponde a una de las dos condiciones mencionadas anteriormente y se denomina rama de la hipérbola.

Ahora bien, los elementos geométricos de la hipérbola son los siguientes:

Los focos de la hipérbola tienen por notación F1 y F2.

La línea recta que pasa por los focos es el eje transversal de la hipérbola. Este eje también suele llamarse eje mayor, en analogía al eje mayor de la elipse que también pasa por sus focos.

Observa que el eje transversal es un eje de simetría de la hipérbola. Los puntos en los que el eje transversal corta a la hipérbola se denominan vértices. La notación para ellos es V1 y V2

El punto medio entre los focos se denomina centro de la hipérbola y en el Plano Cartesiano se suele representar como C=(h,k).

La distancia del centro a cada uno de los focos es c.

Los vértices de la hipérbola son simétricos con respecto al centro.

Los segmentos que tienen por extremos al centro y a alguno de los vértices son conocidos como semiejes mayores.

La longitud de los semiejes mayores se denota con a.

La línea perpendicular al eje transversal que pasa por el centro de la hipérbola se llama eje conjugado. El eje conjugado también es conocido como eje menor.

El eje conjugado es un eje de simetría de la hipérbola y no la corta.

Notemos que, por la definición de hipérbola, a < c , lo cual permite definir la cantidad b como el número positivo que satisface:

....................(1)

De esta manera es posible hablar de semiejes menores, los segmentos que van del centro de la hipérbola a cada uno de los puntos que están a una distancia b sobre el eje conjugado.

Así pues, la longitud de cada semieje menor es b. Sus extremos se denotan por B1 y B2.

Notemos que los elementos geométricos de la hipérbola no se relacionan con la posición que ésta ocupa en el plano. Sin embargo, al describir la hipérbola con una ecuación algebraica, los elementos geométricos ocuparán una posición especifica en el plano.

Encontremos la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje transversal horizontal.

El centro es C=(h,k)=(0,0), el eje transversal está sobre el eje X de tal forma que los focos y los vértices tienen las coordenadas F1=(-c,0), F2=(c,0), V1=(-a,0) y V2=(a,0) los extremos del semieje menor quedan con coordenadas B1=(0,b) y B2=(0,-b).

Que es la ecuación canónica de la hipérbola horizontal con centro en el origen —la gráfica de esta hipérbola aparece en la figura anterior—. Date cuenta de que esta ecuación es similar a la que obtuvimos en el primer problema. Es muy importante observar que en esta ecuación el signo negativo aparece con el término cuadrático en y, éste es el indicador que nos dice si la parábola es horizontal, pues a diferencia de la elipse a y b pueden variar siendo cualquiera de las dos el mayor.

Para estudiar el comportamiento de la ecuación 5 y ver la forma en la que se relacionan y y x, especialmente cuando x toma valores muy grandes, despejemos y, dado lo cual obtenemos:

Estas rectas son las asíntotas de la hipérbola. Observa que pasan por el centro de la hipérbola y su pendiente es más o menos el cociente de b y a .

Para graficar una hipérbola será conveniente dibujar un rectángulo de lados 2a y 2b con centro en el origen de la hipérbola, esto nos permitirá trazar dos rectas que pasen por los vértices del rectángulo, las cuales se corresponden con las asíntotas de la hipérbola. Conociendo el vértice y las asíntotas es posible esbozar cada una de las ramas de la hipérbola ya que deberán pasar por dicho punto y tenderán a acercarse cada vez más a la recta.

Para ilustrar lo que te hemos descrito, la siguiente gráfica nos muestra la hipérbola de la ecuación 5 junto con sus asíntotas.

Cuando grafiquemos una hipérbola lo haremos junto con sus asíntotas.

Si ponemos el eje transversal de la hipérbola sobre el eje y obtendremos una hipérbola vertical; el semieje mayor de longitud a estará sobre el eje y al igual que los focos y los vértices. Con el centro de la hipérbola en el origen sus principales elementos geométricos tendrán las siguientes coordenadas:

Centro: C=(h,k)=(0,0).

Focos: F1=(0,c), F2=(0,-c).

Vértices: V1=(0,a), V2=(0,-a).

Extremos de los semiejes menores: B1=(-b,0), B2=(b,0).

La gráfica quedaría de la siguiente forma:

Cuando grafiquemos una hipérbola lo haremos junto con sus asíntotas.

Si ponemos el eje transversal de la hipérbola sobre el eje y obtendremos una hipérbola vertical; el semieje mayor de longitud a estará sobre el eje y al igual que los focos y los vértices. Con el centro de la hipérbola en el origen sus principales elementos geométricos tendrán las siguientes coordenadas:

Centro: C=(h,k)=(0,0).

Focos: F1=(0,c), F2=(0,-c).

Vértices: V1=(0,a), V2=(0,-a).

Extremos de los semiejes menores: B1=(-b,0), B2=(b,0).

La gráfica quedaría de la siguiente forma:

Para deducir la ecuación de esta hipérbola vertical se procede como en el caso de la elipse vertical con centro en el origen.

El procedimiento es muy similar con la salvedad de que podemos pensar que los papeles de x e y se intercambian entre sí.

La ecuación canónica de la hipérbola vertical con centro en el origen queda como:

Para estudiar las hipérbolas horizontales y verticales con centro fuera del origen en C=(h,k), trasladaremos los ejes en las hipérbolas con centro en el origen.

Sustituimos x por x-h e y por y-k en las ecuaciones 5, 6, 7, 8, 9 y 10.

Obtenemos:

Son independientes de la posición en que se encuentre la elipse, en particular son válidas para las ecuaciones 11 y 12.

Puedes distinguir la ecuación canónica de una hipérbola horizontal y una vertical observando en qué término cuadrático aparece el signo negativo: si éste aparece en la expresión cuadrática respecto a y, la hipérbola es horizontal; si el signo negativo aparece en la expresión cuadrática respecto a x, es vertical.

Para graficar a partir de una ecuación no es necesario que aprendas todas las expresiones de la tabla anterior (en todo caso trata de ver como se deducen a partir del centro y de a y b), en su lugar puedes hacer lo siguiente:

primero identifica si la hipérbola es vertical u horizontal; asegúrate de conocer las coordenadas del centro y las longitudes de los semiejes a y b,

a continuación ubica el centro y traza los semiejes así como el rectángulo de lado 2a por 2b, centrado la hipérbola, y traza las asíntotas.

Grafica la hipérbola uniendo los vértices y siguiendo las asíntotas.

Los siguientes ejemplos nos muestran cómo hacer lo anterior.

Ejemplo 1Grafica la siguiente ecuación:

La gráfica queda así:

La gráfica queda así:

Con esto concluye el ejemplo.

Encontremos la ecuación general retomando los ejemplos anteriores:

Resolvamos el problema inverso a los anteriores: encontrar la ecuación a partir de la gráfica.

Para esto lo mejor es tratar de encontrar la longitud de los semiejes y las coordenadas directamente de la gráfica, como se ejemplifica a continuación.

Ejemplo 3Encuentra la ecuación general de la siguiente hipérbola:

Conclusiones

Cerremos este tema puntualizando las similitudes y diferencias entre la elipse y la hipérbola.

Ambas tienen centro, dos focos, eje transversal, eje conjugado, semiejes mayores y menores; además, sus formas canónicas son casi las mismas. Por otra parte, la hipérbola es geométricamente muy distinta, pues en principio tiene dos ramas las cuales se extienden indefinidamente.

Un elemento nuevo son las asíntotas: la hipérbola se aproxima a ellas conforme los valores de las variables aumentan, nos permiten visualizar su comportamiento; en cierta forma las asíntotas son un límite al cual la hipérbola se aproxima.

Geométricamente, este hecho hace que las ramas de la hipérbola sean muy diferentes, comparadas con una parábola, pues a valores grandes la hipérbola estará mucho más abierta en comparación con una parábola.

Una diferencia en las ecuaciones canónicas entre la hipérbola y la elipse, más allá de la del signo, es que en la hipérbola el semieje menor puede tener un valor más grande que el semieje mayor, el cual se llama así por estar en el eje transversal de la hipérbola; la orientación está completamente determinada por los signos de los términos cuadráticos.

¡Buen trabajo!¡Sólo falta un tema para concluir la unidad, ánimo!

5. La ecuación general

Introducción

En los temas anteriores estudiamos las ecuaciones de las cónicas. En este centramos nuestra atención en la ecuación canónica de cada una de ellas, porque los elementos geométricos se pueden identificar a través de los parámetros que aparecen en ellas, ya sean vértices, centro, semiejes, dirección, lado recto, etcétera.

Vimos también cómo transformar una ecuación canónica en otra, a la cual llamamos ecuación general; esto se realiza desarrollando los binomios que aparecen en la ecuación canónica y simplificando e igualando a cero, sin embargo el contexto en el que aparecen los problemas no siempre favorece este tipo de ecuaciones.

Lee con atención la siguiente situación que planteamos, es muy similar a la estudiada en el tema Elipse, pero con algunas variantes interesantes.

Apagar el fuego a como dé lugar 2 Una ciudad cuenta con dos estaciones de bomberos, A y B, las cuales están separadas por 15 km. Desde ambas estaciones se pueden enviar carros de bomberos en cualquier dirección de la ciudad.

Debido a la ubicación y características en que se encuentran las unidades de rescate, el carro de bomberos que parte de la estación A tarda un minuto por kilómetro en dirigirse al lugar del siniestro, mientras que el carro de bomberos que parte de B, tarda 2 minutos por kilómetro (supón que las condiciones del tráfico son las mismas en toda la ciudad).

Considera la estación A como el origen de las coordenadas cartesianas. ¿Cuál es el conjunto de lugares a los cuales llegarían los camiones al mismo tiempo si salen de manera simultánea de sus respectivas estaciones?

Con base en tu respuesta a la pregunta anterior ¿cuál es la zona en la que, en caso de siniestro, cada estación es más eficiente?

Trata de resolver este problema, te ayudará a comprender mejor el tema; te sugerimos lo siguiente:

Introduce un sistema de coordenadas como el problema lo indica: la estación A en el punto A = (0, 0) y para hacer fáciles las cosas conviene poner a B en el punto B = (15, 0).

Ubica primero por lo menos cinco posibles puntos (si encuentras más, mejor), a los que llegan ambos camiones al mismo tiempo. Considera que, puesto que el camión de B es lo doble de rápido que el camión de A, entonces para que lleguen al mismo tiempo la distancia que recorre el camión de B es lo doble de la distancia que recorre el camión de A.

Por ejemplo, si el camión de A recorre 5 km y el de B 10 km, el encuentro ocurre en un punto intermedio entre las estaciones, pues éstas se encuentran a una distancia de 15 km.

Después de encontrar estos puntos en el plano cartesiano, haz una conjetura acerca de la forma que tiene el conjunto de puntos a los que pueden llegar al mismo tiempo los camiones.

Si P = (x, y) es un posible punto de encuentro, la distancia d(P, A) que recorre el camión de A es la mitad de la distancia que recorre el camión que sale de B, d(P, B). Intenta traducir esta condición a una ecuación y trata de graficarla. Si no puedes hacerlo, no te preocupes, el intento en sí es muy valioso.

Anota tus respuestas en tu cuaderno para que puedas consultarlas después.

Puedes responder por medio de un diagrama.

Tomando en cuenta las sugerencias anteriores, despliega la siguiente escena y comprueba tu respuesta o tu conjetura.

Ya que viste la escena, piensa qué sucedió, ¿coincidió con tu respuesta o conjetura? Si no fue así, a partir de la escena haz una nueva conjetura o justifica mejor tu respuesta antes de continuar con la lectura.

Si tú conjetura o respuesta es que el conjunto de puntos es una circunferencia, estás en lo correcto.

Nos interesa resolver el problema Apagar el fuego a como dé lugar 2 con cierto detalle.

De acuerdo con las sugerencias hechas, las condiciones de la distancia del punto al que llegan ambos camiones al mismo tiempo es:

La ecuación anterior está en su forma general pues se encuentra igualada a cero.

Si la observamos, veremos que tiene dos términos cuadráticos por lo cual no puede ser una parábola, pues ésta sólo tiene un término cuadrático. ¿Qué clase de cónica, si es una cónica, representa la ecuación?

Creemos que es una circunferencia, pero no podemos afirmarlo categóricamente pues los elementos geométricos no están visibles en esta última ecuación.

Lo que haremos es darle forma de ecuación canónica a la ecuación general anterior, una vez hecho esto, analizaremos qué cónica es:

Te mostramos el archivo TCP, para que puedas repasar un poco acerca del Trinomio Cuadrado Perfecto.

La columna central de la tabla anterior presenta varios ejemplos particulares de la ecuación general, lo cual nos da una idea de cómo debe ser la forma general de una cónica; con más precisión tenemos:

La ecuación general de una cónica tiene la forma de un polinomio de segundo grado en dos variables x e y; explícitamente:

En la que los coeficientes A, B, C, D, E y F son números reales de los cuales A, B o C, al menos alguno de ellos, es distinto de cero.

En la siguiente actividad de aprendizaje tendrás que explorar, en una escena, los efectos que tienen sobre la forma de la gráfica los distintos valores de los coeficientes de la ecuación general.

De la actividad y la escena anteriores destacaremos algunos hechos importantes:

1.

En la ecuación de la cónica general, si el coeficiente B es distinto de cero, las gráficas de las cónicas aparecen con sus ejes principales inclinados o, como también se dice, “rotados”.

2.

Hay ciertos valores de los coeficientes de la ecuación de la cónica general para los cuales la ecuación no tiene gráfica, es sólo un punto, o la gráfica está constituida por líneas

Si el plano toca de forma tangente al cono se obtiene una línea

Si el plano corta de manera perpendicular al cono, el corte corresponde a dos líneas

Si el plano corta al cono exactamente donde se unen las dos ramas del cono, la gráfica es un punto.

En esta ecuación es más sencillo distinguir la cónica de la que se trata, simplemente inspeccionando los coeficientes:

Utilizando estos criterios podemos decidir qué tipo de gráfica tiene cierta ecuación sin tener que hacer ninguna operación.

Si queremos obtener los elementos geométricos, básicamente hay que completar los trinomios cuadrados perfectos. Las siguientes recomendaciones te pueden servir:

Agrupa los términos con las mismas variables. Las constantes déjalas en el otro lado de la igualdad.

Divide entre el coeficiente del término cuadrático de alguna de las variables y completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP). Repite el proceso con la variable restante.

Modifica la ecuación para que quede la forma canónica.

Veamos en la práctica este procedimiento.

Ejemplo 1

Grafica la siguiente ecuación:

Con esto concluimos el ejemplo

En esencia, este procedimiento para graficar una ecuación general es el mismo para cualquier cónica.

Se reduce a completar los trinomios cuadrados perfectos para encontrar la ecuación canónica que ya aprendimos a graficar en los temas anteriores.

El siguiente ejemplo te mostramos el mismo procedimiento.

Ejemplo 3

La gráfica es la siguiente

Con esto concluimos los ejemplos y el tema Ecuación general.

Conclusiones

Durante los temas anteriores indicamos que es posible transformar la ecuación canónica en la forma general.

Como hemos visto, la forma de la ecuación general de una cónica es mucho más incluyente ya que puede representar a cualquiera de las cuatro cónicas.

Lo importante es reconocer la cónica a partir de la ecuación general, saber encontrar los elementos geométricos que la definen y poder graficarla. Recuerda que la manera de hacer esto es completando el trinomio cuadrado perfecto.

Finalmente, hay una consecuencia importante que se desprende de la ecuación general: si se conocen los valores de las coordenadas de cinco de los puntos de alguna cónica es posible sustituirlos en la ecuación general obteniendo un sistema de ecuaciones en los coeficientes A, B, C, D, E y F.

En resumen, una cónica está determinada por máximo cinco de sus puntos.

La geometría analítica nos ha proporcionado métodos para graficar ecuaciones de segundo grado sin recurrir, por ejemplo, a la elaboración de tablas.

¡Bien hecho!¡Vayamos por la última unidad!

UNIDAD 4

Introducción

En las ciencias experimentales el tiempo es un factor importante porque se analizan fenómenos que varían de acuerdo con éste, ya sea en periodos muy largos (años luz) o en instantes (microsegundos).

Ejemplo de ello son el movimiento, la velocidad y la aceleración de un cuerpo, que se analizan cada cierto intervalo definido de tiempo para encontrar un modelo que explique determinado fenómeno o situación.

Cuando representamos esos fenómenos en un plano cartesiano, si analizamos su posición, no es posible graficar el tiempo ya que no es una coordenada del sistema rectangular, pero eso lo denominamos parámetro.

Dentro de las matemáticas, en ocasiones, será necesario apoyarnos en un parámetro, es decir, en un valor arbitrario que estableceremos como dato o factor adicional, necesario para analizar o valorar una situación (puede ser un ángulo, una nueva distancia, etcétera).

No hay reglas para cada problema; en cada situación será nuestro análisis, la creatividad y el conocimiento matemático que tengamos lo que nos permitirá, dado un problema, elegir un parámetro adecuado.

Si elegimos un buen parámetro, entonces las ecuaciones obtenidas serán sencillas de analizar. A estas ecuaciones las llamaremos ecuaciones paramétricas.

En ocasiones, como en la historia misma de las ciencias, la respuesta no se encuentra en el primer intento. Al reflexionar, si proponemos el parámetro adecuado, el resultado será una ecuación mucho más sencilla —comparada con la que obtendríamos en el sistema de referencia que hasta ahora hemos utilizado (el cartesiano)—.

Antes de iniciar con el tema Ecuaciones paramétricas averigua, en la siguiente lectura, qué hace un matemático.

Mapa de conceptos

1. Ecuaciones paramétricas

¿Recuerdas el problema del gato en la unidad anterior? Vamos a retomarlo, pero con algunas variantes para luego proponer un nuevo camino de solución, de manera que al introducir un parámetro se encuentren ecuaciones que sean más simples de analizar.

El siguiente ejemplo es una situación ideal, pero habrá ocasiones en las que deberás resolver problemas aún más complejos, en los cuales el uso de un parámetro simplifique las ecuaciones que se obtendrían en el sistema de coordenadas rectangulares.

El gato, en cualquier punto de la escalera

Un gato está dormido en el peldaño de una escalera. Ésta tiene una longitud de L metros y el peldaño en el que descansa el felino está exactamente a n metros de la base.

La escalera está apoyada de forma completamente vertical sobre una pared. De pronto la base de la escalera comienza a deslizarse, alejándose de la pared y tanto el gato como la escalera caen al piso.

En la unidad 3 nos preguntamos ¿qué trayectoria describe el gato al caer junto con la escalera?

Al resolver la pregunta identificamos que si el gato estaba en el centro de la escalera la trayectoria era una circunferencia y si estaba en otro sitio la trayectoria era una elipse. Definimos también sus ecuaciones en el sistema de coordenadas cartesianas, ¿las recuerdas?

Ahora la pregunta es ¿cuáles son las ecuaciones de la posición (x,y) en función del ángulo de la caída? Para responder, primero debemos decidir cuál es el ángulo que medirá la caída —este ángulo corresponde al parámetro que usaremos para definir las ecuaciones—. Hagamos un diagrama para representar la situación. Te recomendamos que lo realices en tu cuaderno para que, al continuar leyendo la solución, puedas consultarlo en cualquier momento.

Nos interesa indicar la posición del gato en función del ángulo de la caída, para ello tenemos que relacionar las coordenadas x e y con el ángulo θ. Además, como

lo viste en la animación, sabemos que

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno y observa atentamente lo que sucede cuando desplazas la base de la escalera sobre el piso.

Sabemos que L = a + b

Si a < b la elipse es vertical; en este caso el semieje menor es a y el semieje mayor es b.

En cambio, si b < a la elipse es horizontal; entonces el semieje menor es b y el semieje mayor es a.

Si quisieras graficar la elipse y sólo tienes tu calculadora, necesitas realizar una tabla, ubicar los puntos en el plano y esbozar la gráfica.

Lee con atención el siguiente archivo donde se te explica paso a paso cómo hacerlo.

Para concluir con la serie “El gato”, nos preguntamos ¿qué sucederá si el gato está exactamente a la mitad de la escalera?

Si el gato está a la mitad de la escalera se cumple que a = b.

Como a y b son iguales, podemos dejar expresado todo en términos de a o solamente en términos de b (la elección es indistinta, siempre y cuando dejes todo expresado en términos de la misma variable).

Elegimos la primera alternativa: sustituiremos b por a en las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Como trabajo individual, realiza el diagrama de esta situación y descubre que se cumple, además, que a = b = radio. Compruébalo en la escena.

En conclusión, la ecuación paramétrica de una circunferencia es

En dónde r es el radio de la circunferencia y θ el ángulo que mide la caída de la escalera.

Como habrás notado, las expresiones de la elipse y la circunferencia, para resolver este problema, son mucho más sencillas que las utilizadas en el sistema de coordenadas rectangulares.

Quizá te preguntarás “¿cómo puedo estar seguro de que la ecuación paramétrica que encontré es en realidad una elipse o una circunferencia?”.

Una alternativa para responder esta pregunta consiste en transformar la ecuación paramétrica en la ecuación en forma canónica y analizar a qué cónica pertenece.

¿Cómo iniciamos? Existen diferentes métodos, no obstante, debes pensarlos como un sistema de ecuaciones que se debe resolver. En ese sentido, puedes utilizar el método de igualación o de sustitución, para ello tienes que realizar lo siguiente:

1. Despeja en las ecuaciones paramétricas el valor del ángulo θ.

2. Iguala las ecuaciones que obtuviste.

3. Desarrolla algebraicamente y simplifica la expresión. Utiliza las identidades trigonométricas.

4. Transforma la ecuación que obtuviste hasta que quede en su forma canónica.

Veamos cómo se desarrolla.

Sabemos que

Para ver otra opción respecto a cómo transformar las ecuaciones paramétricas de la elipse en la ecuación en forma canónica.

Para practicar los procedimientos que acabas de revisar, te corresponde transformar la ecuación paramétrica de la circunferencia a su forma canónica. Si tienes alguna duda sobre el procedimiento o el resultado, consulta a tu asesor en el Foro de dudas.

Es muy importante que sepas

a) cómo transformar las ecuaciones paramétricas a ecuaciones que solamente relacionen las variables del sistema de coordenadas rectangulares; y

b) cómo establecer una ecuación paramétrica a partir del sistema de coordenadas rectangulares.

Esto último es lo que hemos hecho en los ejemplos, es decir, definimos la posición de un punto (x,y) basándonos en un parámetro que esperamos fuera el más adecuado para que nos ayudara a simplificar esta situación —aunque muchas veces surge de manera natural en el problema—.

Cuando selecciones un parámetro para resolver un problema, procura que sea tu aliado y no tu enemigo.

¿Pero cómo saber cuál elegir? La práctica y la experiencia resolviendo problemas te permitirán identificarlo. En otros casos será el contexto mismo. Por ejemplo, cuando se está examinando un fenómeno o modelando una situación que nace de la física, generalmente es el tiempo el parámetro que nos interesa.

Analiza el siguiente ejemplo.

La flecha

¿Cuál es la trayectoria que sigue la flecha? Probablemente has oído decir que sigue la trayectoria de una parábola, por eso se llama tiro parabólico. Sin embargo ¿podrías decir con exactitud la posición de la flecha en cada instante de tiempo t, desde que es lanzada hasta que acierta en el blanco o cae al suelo?

Vamos a averiguarlo.

En física, muchas veces tendrás que describir la posición de un objeto dependiendo del tiempo, por ejemplo en situaciones en las que se analice el tiro vertical, la caída libre o el tiro parabólico.

A continuación retomaremos este último caso para analizar la posición de un objeto. El siguiente es nuestro reto a resolver:

Si una flecha se lanza con una velocidad inicial de y un ángulo de 30° ¿cuál es la posición de la flecha en cualquier instante t, antes de caer al suelo?, ¿cuál será la máxima distancia que puede alcanzar?, ¿cuál es la trayectoria que sigue la flecha?

Antes de continuar, recurramos a la Historia para averiguar los orígenes de lo que conocemos hoy en día.

En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633), Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme;

otro, vertical y uniformemente acelerado.

Sin embargo, es hasta finales de 1600 e inicios de 1700 que se llega al estudio de lo que ahora denominamos mecánica clásica, especialmente la cinemática.

Ahora conocemos, por la mecánica clásica de Newton, que las propiedades cinemáticas de un cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son:

Con estos datos podemos graficar la posición para cada valor de (t)

Vemos que la forma esbozada corresponde a una parábola. Con esto hemos respondido otra de las preguntas.

Paso VI. Volver a leer el enunciado. ¿Qué falta por responder?

Nos habíamos preguntado por la máxima distancia que puede alcanzar la flecha. Vemos que ésta se encuentra entre el segundo 1.5 y el segundo 1.6; se supone que la máxima distancia tendrá lugar cuando toque nuevamente el piso.

Para responder podemos elaborar la pregunta de otra manera: ¿en qué momento y = 0? Sabemos que un primer valor se da cuando x = 0, porque es justamente cuando parte la flecha; para encontrar el segundo valor necesitamos analizar la ecuación que define la posición de y respecto a t

Con esto concluimos el problema.

Recuerda siempre escribir un enunciado con tu solución, en este caso sería: “La distancia máxima que puede alcanzar la flecha es de 19.89 metros”.

No obstante, siempre podemos plantear nuevas preguntas cuando analizamos una situación.

Lee con atención el siguiente archivo para ampliar tus conocimientos

Para estar completamente seguros de la trayectoria que siguió la flecha durante su vuelo, transformaremos las ecuaciones anteriores en una sola que relacione directamente x e y, es decir, eliminaremos el parámetro t.

En el ejemplo anterior usamos el método de igualación, probemos ahora con el método de sustitución.

Despejamos el valor del parámetro de la ecuación más sencilla y lo sustituimos en la segunda; después desarrollamos las operaciones y simplificamos.

Comencemos.

Despejamos el valor de t de la ecuación sencilla

Por la forma de la ecuación (por simple inspección visual) podemos decidir que es una parábola —tiene la variable independiente x elevada al cuadrado y la dependiente y tiene exponente 1—, además podemos establecer que abre hacia abajo, porque el signo del coeficiente de x2 es negativo.

Un hecho interesante es que en las ecuaciones paramétricas el movimiento horizontal se rige por una función lineal, mientras que el movimiento vertical se rige por una función cuadrática; la combinación de ambas funciones origina la forma del tiro parabólico.

Veamos un ejemplo más intrigó las grandes mentes del siglo XVIII. Si bien el origen de esta curva no es el que denotaremos, resulta interesante que algo aparentemente tan sencillo resolviera un problema muy complejo. Se trata de una curva tan especial que tiene su propio nombre: “Cicloide”.

La cicloide

Es una curva trazada por un punto fijo en la circunferencia de una rueda que gira a lo largo de una línea recta. En otras palabras, la cicloide es la curva que traza el punto en el plano conforme se mueve el círculo.

En la siguiente animación, observa el trazo de una cicloide. Puedes variar el punto amarillo de la circunferencia, lo cual te permitirá cambiar el radio y ver la curva que se obtiene.

Para obtener la ecuación paramétrica de la cicloide, debemos tomar una instantánea del movimiento, es decir, tenemos que analizar un caso particular.

Te daremos algunos tips para que tú mismo puedas obtener las ecuaciones paramétricas.

Primero debemos situar nuestro sistema de coordenadas. Para facilitar lo anterior pondremos en el origen el inicio del movimiento del punto.

Después necesitamos definir el parámetro. Como el círculo está rotando parece una buena idea elegir el ángulo θ que corresponde al ángulo de rotación, pero esta vez lo definiremos en radianes.

Cada vez que veas una ecuación paramétrica y desees graficarla, debes realizar una tabla donde evalúes el parámetro, después encuentra las coordenadas de cada punto y ubícalas en el plano, finalmente une los puntos para esbozar la gráfica.

Este procedimiento ya lo hemos desarrollado en el ejemplo del tiro parabólico, te queda de tarea realizarlo para la ecuación de la cicloide. Descarga el siguiente archivo para facilitarte el procedimiento

“La cicloide tiene una larga historia. Está ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que une dos puntos fijos (A y B) para que una partícula emplee un tiempo mínimo al recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los puntos A y B, pero el tiempo no depende sólo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.

Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia. Pero los hermanos Bernoulli, a principios del siglo XVIII, demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento, la cicloide recibió el nombre braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo).

Las demostraciones de Bernoulli dieron origen, algunos años más tarde, a una nueva rama de las matemáticas, el Cálculo variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima.”

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cicloide/cicloide.htm

Ya que has revisado todo el tema y has analizado los ejemplos presentados, te mostraremos que las ecuaciones paramétricas no están tan ajenas de la vida cotidiana como lo imaginas.

Un ejemplo de su aplicación es el espirógrafo, ¿sabes qué es? Probablemente alguna vez lo has visto.

El espirógrafo

Así como la cicloide es una circunferencia que rueda sobre una recta, existen otras curvas que se obtienen al girar una circunferencia sobre otra circunferencia.

Las formas que se obtengan variarán dependiendo de si el punto fijo se encuentra dentro de la circunferencia que gira o en su superficie, o si la circunferencia que gira lo hace en el interior de la que está fija o en el exterior de ésta.

¿Suena complicado? En la práctica no es así; es lo que haces cuando juegas con un espirógrafo para obtener figuras como la siguiente:

“Un espirógrafo es un instrumento que sirve para dibujar hipotrocoides y epitrocoides. Consta de una serie de ruedas dentadas de distintos tamaños, cada una de las cuales tiene varios orificios situados a distintas distancias del centro por los cuales se hace pasar la punta de un lápiz o un

esferográfico. Consta también de unos aros dentados de distintos tamaños (Figura 1). Para dibujar una hipotrocoide se fija en el papel uno de los aros dentados mediante alfileres y luego se hace

rodar al interior de él una de las ruedas dentadas con la ayuda de la punta del lápiz o el esferográfico (Figura 2). Para dibujar una epitrocoide se hace lo mismo pero la rueda dentada se

hace girar por el exterior del aro dentado.”

Las curvas anteriores se pueden modelar por medio de ecuaciones paramétricas.

Conclusiones

Hemos visto que siempre que nos apoyemos en un parámetro para definir una ecuación —considerando como parámetro un valor arbitrario establecido como dato o factor adicional que se considera necesario para analizar o valorar una situación, por ejemplo, el tiempo o el valor de un ángulo— nombraremos paramétricas a estas ecuaciones.

Una manera de identificar cuáles son los parámetros, consiste en analizar nuestro sistema de referencia y las variables presentes en las ecuaciones. En el sistema de coordenadas rectangulares, para representar un punto o una curva cualquiera en dos dimensiones, necesitamos dos variables, de manera que podemos considerar una de las variables como la variable independiente y la otra como la variable dependiente; si es un espacio tridimensional necesitaremos tres variables, donde dos serán independientes y la otra dependiente. Las variables extra son los parámetros de las ecuaciones.

¡Buen trabajo! ¡Continua con el último tema!

Introducción

Durante esta unidad hemos estudiado el sistema cartesiano de coordenadas, como un sistema de referencia para ubicar un punto en el plano, pero ¿será el único?, ¿será igual de útil para representar distintas clases de fenómenos o existirá uno mejor que simplifique la notación en ciertos casos?

Existen fenómenos, por ejemplo ciertas trayectorias, que corresponden a rotaciones o giros —quizá con características especiales, pero siguen siendo rotaciones—, en lugar de traslaciones.

Si se desea modelar dichas trayectorias en un sistema de referencia de coordenadas rectangulares se obtienen ecuaciones muy complejas, en cambio, si se propone un nuevo sistema de coordenadas las ecuaciones se simplifican; estas coordenadas son las coordenadas polares.

2. Coordenadas polares

Las coordenadas polares son otra opción para representar un punto en el espacio, sólo que en esta ocasión nos interesa indicar una dirección y una distancia respecto a un punto de referencia

Como te habrás dado cuenta, el plano que usamos para representar las coordenadas polares es diferente al plano cartesiano, por lo cual te recomendamos que, para estudiar de este

tema, imprimas el papel polar que te mostramos en el siguiente archivo, te servirá para realizar las gráficas que requieras en las coordenadas polares.

Recuerda que el ángulo se medirá del eje polar al radio, generalmente en sentido contrario a las manecillas del reloj. El valor que puede tomar el ángulo es de 0 a 360°, o de 0 a 2π rad, que es lo mismo.

En la siguiente escena te podrás familiarizar con el uso de este nuevo sistema de coordenadas. Observa cómo se indican las coordenadas del punto en función del ángulo polar y el radio vector.

En una circunferencia, si colocamos su centro en el polo del sistema de coordenadas polares, todos los puntos estarán definidos por la longitud de su radio, el cual es un valor constante (k), por lo tanto, su ecuación es:

Ésta es la ecuación de una circunferencia en coordenadas polares.

Observa que no aparece la variable independiente del ángulo, esto quiere decir que cualquier punto, sin importar el ángulo polar que se forma con respecto al eje, sólo está definido por la distancia del radio.

En la siguiente imagen te mostramos las circunferencias cuyas ecuaciones son

R=K

R=2, R=4, R=7

Analicemos ahora cómo podemos convertir las coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Esto nos será útil porque, como hemos visto, hay ecuaciones que se simplifican mucho si elegimos el sistema de representación adecuado (cartesiano, paramétrico, polar).

Observa la siguiente imagen.

“Encontrando el ángulo con la calculadora”

Veamos ahora algunas aplicaciones del sistema de coordenadas polares y algunas curvas polares muy interesantes.

Las curvas polares son las gráficas que se obtienen al utilizar ecuaciones polares, como la del ejemplo de la circunferencia y el sistema de coordenadas polares.

La percepción de un micrófono

La elección del micrófono adecuado es el punto de partida para lograr el sonido óptimo buscado en una grabación. Para ubicar correctamente un micrófono en un estudio de grabación, primero debemos conocer sus características, a fin de realizar la elección correcta.

Una de las características a considerar es el patrón de captación, también conocido como directividad. Este patrón nos indica la forma en que capta el sonido el micrófono en diferentes puntos del espacio, es decir, en diferentes ángulos.

El patrón de captación usualmente se define por medio de una ecuación polar.

Un micrófono omnidireccional es aquel que recibe adecuadamente el sonido en todas las direcciones hasta una distancia fija; el patrón que lo describe es una circunferencia. ¿Se te ocurre cómo puede ser su ecuación?

Efectivamente, de la forma

Esta expresión nos indica que no importa el valor que tenga el ángulo, el valor del radio será un valor constante. Dicho valor corresponde al radio de la circunferencia, es decir, al espacio en el que el micrófono es capaz de percibir sonidos.

En la práctica, se tienen micrófonos con diversos funcionamientos, uno de ellos es el patrón de captación llamado cardioide. La ecuación que permite modelar dicho patrón es:

¿Puedes imaginar qué forma va a tomar el patrón? En otras palabras, ¿cómo será su gráfica? Vamos a averiguarlo.

Debes elaborar una tabla y asignar valores al ángulo para conocer el valor del radio.

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno y esboza la gráfica.

Para este ejemplo, considera que a = 2. Entonces, la ecuación queda como

Después de completar la tabla, para esbozar la gráfica tienes que ubicar, en el sistema de coordenadas polares, cada uno de los puntos que hayas encontrado y ver la forma de la gráfica que obtienes.

Verifica aquí tus resultados.

La Cardioide

En la siguiente escena, observa lo que se obtiene al proponer diferentes valores para a.

Al variar el valor del ángulo θ podrás apreciar cómo se desplaza el punto P=(r,θ) y cuáles son sus coordenadas.

A esta gráfica se le llama Cardiode, por su similitud con el dibujo de un corazón.

La rosa polar

La rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia de curvas de ecuación o ,porque sus respectivas gráficas evocan los pétalos de una flor.

En la siguiente escena podrás ver la gráfica de la rosa polar cuando su función es de la forma Puedes cambiar su forma —aumentar pétalos— si modificas el valor de k; después, al cambiar el valor del ángulo, podrás apreciar cómo se va formando la rosa.

Observa algunos hechos interesantes:

¿Cuántos pétalos tiene la rosa cuando el valor de k es un número par? ¿Cuántos pétalos tiene si k es un número impar?

La ecuación de la rosa polar

Sea n = 3 y d = 4. La ecuación de la rosa polar es:

r (θ )=cos( 34

θ)Realiza las operaciones necesarias y escribe en la tabla el resultado aproximando a cuatro decimales.

r (θ )=cos( 34

θ)0° 1

30° 0.923945° 0.831560° 0.707190°

120°135°150° -0.3827180°210° -0.9239225°240°270°300° -0.7071315°330° -0.3827360° 0

390° = 360° + 30° 0.3827405° = 360° + 45°420° = 360° + 60°450° = 360° + 90°

480° = 360° + 120°495° = 360° + 135°510° = 360° + 150° 0.9239540° = 360° + 180°

Una vez que hayas graficado los puntos, elige cuál sería el esbozo que corresponde a la gráfica de acuerdo con los datos que calculaste.

Opción 1 Opción 2

Opción 3 Opción 4

El péndulo de Foucault

Jean Bernard Léon Foucault fue un físico francés que demostró experimentalmente, en 1851, la rotación terrestre.

El método que siguió es relativamente sencillo: utilizó un enorme péndulo —el llamado péndulo de Foucault— que se balanceaba en el observatorio de París.

Pero su explicación no se quedó en el laboratorio, realizó una demostración impactante en el Panteón de París, utilizando como péndulo una bala de cañón de 26 kg, la cual estaba colgada de una bóveda mediante un cable de 67 m de largo que tardaba dieciséis segundos para ir y volver cada vez. Adherido a la bala, en su parte inferior, había un pequeño estilete —púa o punzón—. El suelo del Panteón estaba cubierto de arena.

En cada ida y vuelta el estilete dejaba una marca diferente en la arena, cada una de ellas a dos milímetros a la izquierda de la anterior, por lo cual concluyó: que la prueba de que la Tierra está girando fue que no estaban alineadas las marcas dejadas por el péndulo.

Del movimiento de los péndulos que siguen ese mismo principio, pero con dimensiones distintas, se pueden obtener diferentes “Rosas polares”.

El Caracol de Pascal o Limaçon

Probablemente cuando escuchas el apellido Pascal piensas en Blaise Pascal, el científico, matemático y teólogo que, además de sus importantes aportaciones a las matemáticas, construyó las primeras calculadoras mecánicas.

Podría pensarse que el Caracol de Pascal lleva su nombre en honor a este matemático, pero en realidad es en honor a su padre, Étienne Pascal, quien lo descubrió en la primera mitad del siglo XVII.

Las gráficas polares que generan limaçones, son aquellas cuyas coordenadas polares son de la forma:

Como observaste en la autoevaluación anterior, el valor del radio no es únicamente positivo. Esta gráfica es muy interesante porque requiere valores positivos y negativos para r, también es necesario tener presente el ángulo que se está graficando.

Como último ejemplo, veremos la espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes

En Sobre las espirales, Arquímedes describe lo que después se conoció como la espiral de Arquímedes —una figura geométrica cuyo radio depende del ángulo—. En esa época tales espirales se trazaban sin utilizar un sistema de coordenadas como medio para localizar puntos en el plano.

La espiral de Arquímedes —o espiral aritmética—, también puede definirse como la trayectoria que sigue un punto que se mueve a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a velocidad angular constante.

Esta definición aparentemente compleja se puede expresar en coordenadas polares por medio de la siguiente ecuación, dado lo cual resulta mucho más sencillo, pues el parámetro a permitirá que la espiral gire —el parámetro b indicará la distancia entre giros sucesivos—.

La espiral de Arquímedes tiene diversas aplicaciones:

En el diseño de muelles de compresión, dos espirales de Arquímedes del mismo tamaño, intercaladas, son usadas para comprimir líquidos y gases

En la medicina se utiliza para diagnosticar enfermedades neurológicas: el paciente dibuja una espiral de Arquímedes y el médico puede cuantificar el temblor de la mano.

Antes de la invención del disco compacto se usaban los discos de vinil, cuyos surcos en las primeras grabaciones para gramófonos formaban una espiral de Arquímedes, lo cual hacía los surcos igualmente espaciados maximizando el tiempo de grabación que podría acomodarse dentro de la grabación

Conclusiones

A lo largo de este curso viste cómo las diferentes ramas de las matemáticas se relacionan entre sí, de manera que para estudiar Geometría analítica fue necesario que aplicaras la

aritmética, el álgebra, varios conceptos de geometría y relaciones de trigonometría, para construir diversos conceptos, como recta, cónicas y circunferencia.

También aprendiste cómo modelar problemas utilizando el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, ya sea en forma directa —definiendo un punto a partir de sus coordenadas (x,y)— o por medio de un parámetro —un ángulo o el tiempo—.

E sistema de coordenadas rectangulares no es el único sistema de referencia, también analizaste que, para ciertos problemas, es más útil definir la posición de un punto y las ecuaciones que definen otras gráficas con coordenadas polares (θ,r).

Como has podido apreciar, el conocimiento no es aislado, necesitas ir construyendo relaciones y comprendiendo conceptos para luego extenderlos, como sucedió con la recta: la conociste en Álgebra como una función lineal; en Geometría y Trigonometría como un objeto geométrico; en Geometría analítica, a partir de su ecuación en la que los elementos que la definen son su pendiente y su ordenada al origen (y = mx + b), e incluso definimos esa misma recta en el sistema de coordenadas polares como θ = constante.

¡Excelente trabajo! ¡Terminaste la asignatura!

¡Felicidades!