Segundo ejemplo

Anteriormente hemos supuesto que las actividades subsiguientes no puedenempezarse si no terminan completamente las actividades precedentes. Sin embargo, existen casos de realización de una obra en que no es preciso terminar éstas para comenzar otras siguientes. En estos casos podemos dividir en partes la actividad mencionada. Con objeto de aclarar este punto ponemos el siguiente ejemplo: Una obra consiste en poner una tubería subterránea de 10 km. La descripción de las actividades es:

1. Cavar 10 Km. de tierra.2. Poner secciones de tubos.3. Soldar todas las secciones de tubos.4. Rellenar el terreno.

A simple vista podríamos trazar un diagrama de flechas como el siguiente:

Es evidente que la obra no se realiza de esa forma, sino que antes de terminar de cavar los 10 Km. de terreno, ya se inicia el trabajo de poner las secciones de tubos. Así como antes de poner a lo largo de 10 Km. las secciones de tubos, ya se empiezan las soldaduras.

Entonces podemos modificar nuestro diagrama en la siguiente forma:

En este diagrama, la actividad de cavar sólo se termina en su primera parte, porejemplo: 2 km, y ya se comienza a poner secciones de tubos en esos terrenos cavados.

Por otro lado, antes de terminar de poner todas las secciones de tubos ya se inician los trabajos de soldadura. Sin terminar la soldadura de todas las secciones se emprende el trabajo de recubrir el terreno.

Cómputo de tiempo «lo más pronto posible» y «lo más tardepermisible» de comenzar y terminar una actividad

Hasta ahora podemos decir que hemos terminado la fase de planificación y entramos en la fase de programación. La programación consiste en estimar la duración de cada actividad. Esta estimación puede ser determinística o probabilística.

Vamos a ver primero la determinística. Esto quiere decir que la duración será única y exacta.

Primero se construye el diagrama de flechas y se discute, entre los responsables que intervienen en el proyecto, sobre qué actividades son necesarias y qué relación de precedencia hay entre ellas.

Luego se estima la duración t (i, j) de cada actividad.

Ahora se calculan los tiempos de lo más pronto posible en que puede empezar yterminar una actividad, y lo señalaremos con t(i) y t (j) respectivamente.

Por ejemplo, en la actividad (1, 2), el tiempo lo más pronto posible (t) de comenzar t(1) es cero y el tiempo lo más pronto posible de terminar t (2) es tres unidades de tiempo, ya que

t(2) = t(1) + t(1,2) = 0 + 3 = 3

3 18

3 20 0 11 25

0 4 11 21 25

6 21

1

2

4

3

5

6

7

3

A

4B

15E

8

C

5D

6

F

5G

10

H

1I

4

J

En la actividad (1, 3) el tiempo t (1) es cero también y el tiempo t(3) = 4, ya que:

t(3) = t (1) + t (1, 3) = 0 + 4 = 4

Al empezar con los sucesos 2 y 3, los t = (i) son 3 y 4 unidades de tiemporespectivamente. Por tanto el tiempo lo más pronto posible de comenzar para la actividad (2, 4) es t(2) = 3 y el de terminar es t(4) = t (2) + t(2, 4) = 3 + 8 = 11.

Por otro lado, la actividad (3, 4), los tiempos lo más pronto posibles de comenzar yterminar son t (3) = 4 y t(4) = 9.

Como no se pueden comenzar las actividades (4, 5) y (4, 6) sin terminar los (2, 4) y (3, 4) por completo y el tiempo que se tarda en cumplir estas tareas es 11, o sea el del suceso 4 cuyo tiempo es t(4)=11.

Con el mismo razonamiento, para llegar al suceso t(5), elegiremos el camino más largo entre (2,5) = 3 + 15 =18 y (4, 5) = 11 + 5 = 16. Así que será 18.El suceso 6 tiene tres llegadas, o sea las actividades (3, 6), (4, 6) y (5, 6) cuyos tiempos son 7, 21 y 19 respectivamente; entonces el t (6) = 21.

El suceso final t(7) = 25 es la duración del proyecto. También es el camino más largo del proyecto, ya que como tiempo de cada suceso se elige el máximo de las duraciones de las actividades precedentes:

t(j) = máx. [t(i) + t(i,j)] j = 2,3,4...n

o también se puede poner:

t(j) = máx. [t (i,j)] j = 2,3,4... n

Ahora vamos a calcular el tiempo lo más tarde permisible (t*) en que podemos

terminar y comenzar. El tiempo lo más tarde permisible es muy importante, porque un retraso en cualquier suceso podrá arrastrar el retraso al último suceso.

El cómputo se hace desde el final del proyecto hacia el comienzo restando el tiempo de cada actividad.

Para la actividad (6, 7), el tiempo lo más tarde permisible para terminar es 25 unidades de tiempo y, lo más tarde permisible para comenzar es t*(7) - t(6, 7) = t*(6); o sea 25 - 4 = 21.

Para la actividad (5. 6), el t*(5) es 20 (21 - 1).

Para el suceso (4), el t*(4) es 11, ya que entre los dos caminos que tenemos:

t*(5) - t(4,5) = 20 - 5 = 15 y

t*(6) - t(4,6) = 21 - 10 = 11, se elegirá el menor de ellos y por eso es 11.

Para el suceso 2 también se tienen dos caminos: el menor de ellos es el t*(2) = 3.

Para el suceso 3, siguiendo el mismo razonamiento será t*(3) = 6.

Para el suceso 1, t (1) = 0.

Una interesante observación es que en el primero y en el último suceso, el tiempo lo más pronto posible es igual que lo más tarde permisible. En caso de que no sea así, el cómputo es erróneo.Como resumen: el cómputo del tiempo lo más tarde permisible de un suceso se obtiene eligiendo el mínimo resultado de las diferencias entre los sucesos posteriores y las duraciones correspondientes a las actividades que llevan a estos.La fórmula es:

t*(i) = mín. [t* (j) - t(i,j)] j=1,2 ... (n-1)

puede expresarse en la siguiente fórmula:

t*(i) = min [t (i,j)]

donde

t(n) = t*(n) y t(1) = t*(1) = 0

Como t(n) es la duración total del proyecto, lo llamaremos t(n) =

Concepto de camino crítico y holguras de tiempo

En cualquier proyecto, algunas actividades son flexibles, respecto a cuándo se pueden comenzar o terminar; otras no son flexibles, de forma que si se demora cualquiera de ellas, se retrasará todo el proyecto.

Estas actividades inflexibles se llaman criticas y la cadena de ellas forma un camino crítico. El camino critico es la duración más larga através del proyecto. Hay siempre por lo menos un camino crítico en cada proyecto, y muchas veces varios.

Las actividades incluidas en el camino critico suelen ser del 10% al 20% de los totales.

Podemos definir el camino crítico como: "aquello en el cual las actividades no tienen holgura de tiempo para comenzar ni para terminar".

Desde el punto de vista de la dirección es muy importante estrechar la vigilancia sobre las críticas, ya que al retrasarse cualquiera de ellas se retrasa todo el proyecto.

Asimismo, no se deben dejar de controlar las actividades no criticas, porque a pesar de que tengan holguras de tiempo o margen libre para la realización de la tarea, tanto para comenzar como para terminar tienen su limite. Si se pasa este límite, se convierten en críticas. Por esta razón es conveniente calcular la magnitud de estas holguras de tiempo.

En CPM llaman a las holguras de tiempo tiempos flotantes.Existen cuatro clases de tiempos flotantes:

a) Flotante total.b) Flotante libre.

c) Flotante independiente.d) Flotante programado.

a) Flotante total

Se calcula la diferencia entre el tiempo lo más tarde permisible en que se puedeterminar y el tiempo lo más pronto posible en que se puede comenzar una actividad, menos la duración de la misma. Por ejemplo, en la actividad (4, 5) tenemos que el tiempo lo más tarde permisible para terminar es 20, y el tiempo lo más pronto posible para comenzar es de 11.

La diferencia de éstos menos la duración de la propia actividad, es 5. El flotante total es

FT = t*(5) - t(4) - t(4, 5) = 20 - 11 - 5 = 4

El flotante total es la holgura que permite el que una actividad se pueda demorar sin afectar al tiempo programado en el proyecto.

Todas las actividades que tienen tiempos flotantes totales ceros, son actividadescríticas. Por tanto, las actividades (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6) y (6, 7) son críticas, en la figura 14-2.

b) Flotante libre

El tiempo flotante libre es la cantidad de holgura disponible después de realizar laactividad si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos lo más pronto posible del comienzo. O sea, la diferencia de los tiempos lo más pronto posible de comenzar y terminar menos la duración de la actividad, por ejemplo, la actividad (5, 6) tiene el flotante libre:

FL= t(6) - t(5) -t(5,6) = 21 - 18 -1 = 2

Calcularemos los tiempos flotantes de nuestro ejemplo:

2 53

A

15E8

C

5G

1I

3 18

0 11 25

4 21

3 18

3 20 0 11 25

0 4 11 21 25

6 21

3 18

3 20 0 11 25

14

3 6

7

4B

5D

6

F

10

H

4

J

1

2

4

3

5

6

7

3

A

4B

15E

8

C

5D

6

F

5G

10

H

1I

4

J

1

2

4

3

5

6

7

3

A

4B

15E

8

C

5D

6

F

5G

10

H

1I

4

J

2 5

3

A

15E

8

C

5G

1I

0 4 11 21 25

6 21

Veamos en la subruta (2, 5) y (5, 6). Cada actividad tiene a su disposición 2 unidades de flotante total para la realización del trabajo. Esto indica que estas dos unidades son para toda la subruta. De forma que si se retrasaran dos unidades en la actividad (2, 5), entonces para que el proyecto se cumpla en 25 unidades de tiempo, la actividad (5, 6) no debe ser demorada en ningún momento. En cambio, el flotante libre indica que si se quiere que empiece la actividad (5, 6) en su tiempo lo mas pronto posible t(5)=18, la actividad precedente (2, 5) no deberá disponer de ninguna holgura de tiempo. El tiempo flotante libre, desde el punto de vista de la dirección es más interesante para el control del proyecto.

Ahora vamos a trasladar los resultados de los cálculos a un cuadro de cómputos de tiempos.

14

3 6

7

4B

5D

6

F

10

H

4

J

c) Flotante independiente

El flotante independiente es la holgura disponible de una actividad, cuando la actividad precedente ha terminado en el tiempo lo más tarde permisible, y la actividad subsiguiente a la considerada comienza en el tiempo lo más pronto Posible. Esta holgura es escasa, y a veces negativa. Por ejemplo, la actividad (3, 4) tiene tiempo flotante independiente cero.

FI = t(4) - t*(3) - t (3,4) = 11 - 6 - 5 = 0.

d) Flotante programado.

El flotante programado tiene por objeto la distribución del tiempo flotante total de una subruta no crítica según algún criterio. En nuestro ejemplo anterior, la subruta (2, 5) y (5, 6) tiene el flotante total dos unidades, y del flotante libre sólo goza la actividad (5, 6) con dos unidades. Sin embargo, por razones subjetivas, podemos repartir la holgura total en las dos actividades según los criterios, tales como el grado de incertidumbre de la estimación de duración esperada, la función de la proximidad de la actividad a la ruta crítica, desconfianza en el cumplimiento de plazos de entrega de ciertos suministradores o subcontratistas, etc.

FT

FL

Fi

finicio más temprana finicio más tardía ftérmino más temprana ftérmino más tardía

Vamos a poner un ejemplo: Tenemos el diagrama

Las actividades A, B, C y D son críticas; mientras la E, F y G tienen las mismas holguras totales. Sin embargo, a éstas no podemos distribuir la holgura total en igualdad de condiciones entre ellas, porque las varianzas de las tres actividades no críticas pueden ser distintas.

Si el criterio de la distribución de holgura total es la magnitud de la varianza de cada actividad, el flotante programado estará determinado por la ponderación sobre el grado de la incertidumbre de la duración estimada. Representaremos con w el que se tiene que ponderar a una actividad, y este peso varia de uno a nueve, números enteros. Supongamos que

2E = 4, 2 F = 0 y 2 G = 9

Entonces, el flotante programado es:

Wij

Fp = FT

∑ Wij

(i,j) ЄP

En el cuadro 14-2, se indica que a la actividad G, hay que darle más holgura que a la F, y a su vez, la E debe tener mas que la F.

En el gráfico de Gantt no se tiene en cuenta el reparto de holguras, sino se convierten todas las actividades en criticas. Véase el gráfico 14-2.

Por otra parte, si se desea tener en cuenta el factor de proximidad al camino crítico, entonces se puede expresar en una función E(u), cuya determinación depende del criterio del programador.

El cálculo del flotante programado será de la siguiente forma:

Si se retrasa la actividad E, más de lo que está permitido, disminuye la holgura detiempo para la G, que podría sobrepasar el tiempo total de las actividades criticas A, B y C. Para evitar cualquier error que puede retrasar el proyecto, ponderamos con mayor F(u) a la G, con el fin de graduar la holgura de tiempo según la proximidad de la actividad al camino crítico.

Un criterio para acortamiento de la duración de proyecto

Como hemos visto, si queremos reducir la duración de un proyecto, es preciso acortar las duraciones de las actividades críticas.

Sin embargo, ¿qué actividades críticas acortamos? Prescindiendo del criterio del costo total mínimo de que hablaremos más tarde, ahora sólo elegiremos las actividades críticas que se han de acelerar desde el punto de vista de su control. Para aclarar este punto vamos a exponer un ejemplo:

Tenemos una red de flecha con las duraciones de sus actividades como se muestra en la siguiente figura:

Supongamos que vamos a acortar 2 unidades de tiempo, es decir, reducir la duración del proyecto desde 30 a 28 unidades.

Una reducción de tiempos de una actividad supone un mayor esfuerzo. Por tantoprocuraremos reducir el menor número posible de actividades. En nuestro ejemplo una reducción de 2 unidades sólo es aplicable a la actividad (1, 2) o la (5, 6), porque si acortamos la actividad (6, 8) o la (6, 7) tenemos que reducir las dos últimas simultáneamente. Si no es así, no se logrará el propósito de la duración total con 28 unidades de tiempo. Ahora bien, vamos a ver que efectos se producen si acortamos la (1, 2) o la (5, 6).

a) Si acortamos la actividad (5,6)

El resultado es la conversión de dos actividades (2,4) y (4,6), en críticas.b) Si acortamos la actividad (1,2)

El efecto de este acortamiento es el de no añadir ninguna actividad crítica a lasexistentes en la Figura 15-1.

Es obvio que se elegirá este último acortamiento porque tiene menos actividadescríticas para controlar.

Relación entre la duración y el costo directo de una actividad

Si queremos acelerar la marcha de alguna actividad para reducir la duración delproyecto, es evidente que ello ocasionará un aumento de costo directo y a su vez una disminución en el costo indirecto.

Por otra parte, muchos proyectos nos han sido impuestos con la condición de que si no se terminan en la fecha del contrato, nos exigirán indemnizaciones y, en cambio, si adelantamos el proyecto nos concederán una prima. Si queremos tener un juicio de si preferimos recibir una prima o una penalidad, es imprescindible tener un criterio de comparación. Según este criterio se elige la combinación de duración-costo óptima entre un gran número de combinaciones alternativas. El método CPM nos proporciona una técnica para conocer la programación de un proyecto con la combinación costo-tiempo óptima.

Cada una de las actividades en el diagrama de flechas requiere cierta cantidad detiempo para su terminación. Esta es la duración de la actividad. Sin embargo, existe no sólo una duración, sino que podemos elegir entre una serie de posibles duraciones. Con la duración más corta, el costo directo para la terminación de esta actividad aumenta, Por ejemplo, supongamos que hay una actividad que es el corte de chapas. Normalmente, se trabaja con un operario una máquina y un turno de trabajo. Ahora bien, si queremos acelerar el trabajo, y sólo se aumentan las turnos de trabajo sin aumentar la utilización de otras máquinas, es evidente que al aumentar el turno, aumentará el costo, y además el salario del segundo turno no es el normal, sino con una prima en concepto de horas extraordinarias. Por eso, el aumento no es proporcional.

Haremos un ejemplo numérico: con un operario, un cortador y un turno hay que realizar el corte de chapa en 50 días, suponiendo el costo directo de la mano de obra es de 8.000 pesos (salario de 20 pesos/hora) y el del cortador de 10.000 pesos Tenemos que el costo total directo es de 18.000 pesos Si aumentamos dos turnos de trabajo, disminuirá la duración, pero aumentarán los salarios y gastos generales adicionales. Vamos a ver todos los datos en el siguiente cuadro:

En nuestro ejemplo, hemos supuesto que sólo disponemos de tres operarios y uncortador; no se pueden aumentar los turnos de trabajo y, por tanto, no podemos disminuir la duración de la actividad más que en las actuales condiciones.

Naturalmente, si disponemos de más cortadores y máquinas, la duración disminuirá.

Pero en este caso ya se han modificado las condiciones de nivel de inversión,incrementando el costo indirecto.

A través de este ejemplo numérico, podemos trazar la curva del costo directo de laactividad corte de chapa.

A medida que se aumentan los turnos, se incrementará el costo de la operación, pero siempre hay un tope, en el cual ya no se puede disminuir más la duración de la actividad, aunque se incremente el costo. Es inconcebible que la disminución de duración pueda llegar a cero, aun cuando se utilicen todos los recursos de que se disponga.

A esta duración la llamaremos duración-tope con el signo d (i,j), y el costo de esta

duración-tope, se denomina el costo tope (CT). El costo tope es el costo directo más elevado de la actividad.

Por otra parte, el costo más bajo de la actividad está relacionado con el punto de laduración normal. Más allá de esta duración será irreal pues se daría más tiempo, más costo. Este costo se llama costo normal (CN) y a la duración con el costo normal se le designa el nombre de la duración normal D (i, i).

El punto de intersección entre el costo normal y la duración normal en el gráfico se llama punto normal y el otro extremo el punto tope.

Entre la duración tope y la duración normal puede existir una gama continua de posibles duraciones.

Para el caso general, podemos trazar una curva continua de costo directo de unaactividad que represente la relación entre la duración y el costo de la misma.

En la práctica, para facilitar el cálculo de costo-duración se sustituye la curva por una línea recta, uniéndose el punto tope con el punto normal; o también, se pueden trazar líneas poligonales convexas de más de un tramo rectilíneo entre los puntos normal y tope, según se muestra en la figura 20-3.

Criterio de elección de actividades para su acortamiento

El criterio de aceleración del proyecto es elegir para su reducción de tiempo derealización aquellas actividades cuyos incrementos de costo directo por unidad de tiempo sean menores que en otras.

Es fácil de calcular el incremento de costo directo por unidad de tiempo:

Cn - Cr (21-1)C (i,j) = D(i,j) – d(i,j)

Podemos representar la recta de duración-costo con la siguiente ecuación

b (i,j) - c (i,j) t (i,j) (21-2)

En nuestro ejemplo de corte de chapa, el CN = 18.000 y el CT = 22.200.

La duración normal D (i,j) = 50 días y la d (i,j) = 20 días. Con estos valores(prescindiendo de los valores intermedios) sustituimos en la ecuación (21-1)por unidad de tiempo.

-22.000 + 18.000 4.200 C (i,j) = = = - 140 pesos 50 – 20 30

Por unidad de tiempo

Esto quiere decir que al aumentar un día de trabajo, se disminuye el costo en 140pesos.

Naturalmente para reducir la duración del proyecto, la primera condición es reducir las duraciones de las actividades críticas, y la segunda es elegir, entre estas actividades, las que tienen menor incremento del costo directo por unidad de tiempo.