MÉTODO DE JACOBIClase 10

09-Junio-2014

MÉTODO DE JACOBI

Esta técnica muestra cierta similitud con el método de iteración de punto

fijo, ya que consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación

dejándola en función de las otras. La manera mas sencilla es despejar de

la primera ecuación; de la segunda ecuación; de la i-esima ecuación,

hasta de la n-esima ecuación. Es necesario, por razones obvias que todos

los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes del

sistema lineal, sean diferentes de cero.

MÉTODO DE JACOBI

Sea el sistema lineal:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

31 1 32 2 33 3 3n n 3

n1 1 n2 2 n3 3 nm n n

a x a x a x ... a x C

a x a x a x ... a x C

a x a x a x ... a x C

.

.

.

a x a x a x ... a x C

MÉTODO DE JACOBI Al realizar los despejes

propuestos se obtiene de

la primera ecuación, de la

segunda ecuación, etc., se

obtiene:

131 12 1n1 2 3 n

11 11 11 11

232 21 2n2 1 3 n

22 22 22 22

3 31 32 3n3 1 2 n

33 33 33 33

n 1,nn n1 n2n 1 2 n 1

mn mn mn mn

aC a ax x x ... x

a a a a

aC a ax x x ... x

a a a a

C a a ax x x ... x

a a a a

.

.

.

aC a ax x x ... x

a a a a

MÉTODO DE JACOBI

Para estimar la primera aproximación a la solución se debe partir de un

vector inicial, el cual puede ser un vector , o algún otro que se encuentre

próximo al vector solución .

EJEMPLO

Resolver el sistema lineal por medio del método de Jacobi. Emplear el

vector inicial

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

6x x x 4x 17

x 10x 2x x 17

3x 2x 8x x 19

x x x 5x 14

EJEMPLO

Al despejar las incógnitas correspondientes al esquema se tiene

1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

x 17 x x x / 6

x 17 x 2x x / 10

x 19 3x 2x x / 8

x 14 x x x / 5

EJEMPLO

Si se inicia el proceso iterativo con el vector cero se obtiene:

11

12

13

14

x 2.833333

x 1.7

x 2.375

x 2.8

EJEMPLO Los resultados del vector se utilizan para estimar el vector , los del vector

y así sucesivamente. Los resultados del proceso iterativo se muestran en la

tabla 1

. Resultadode las iteraciones

EJEMPLO En general, el vector aproximación a la solución después de las iteraciones

se puede calcular de la siguiente manera:

MÉTODO DE JACOBIk 1 k k k131 12 1n1 2 3 n

11 11 11 11

k 1 k k k232 21 2n2 1 3 n

22 22 22 22

k 1 k k k3 31 32 3n3 1 2 n

33 33 33 33

k 1 k k kn 1,nn n1 n2n 1 2 n 1

mn mn mn mn

aC a ax x x ... x

a a a a

aC a ax x x ... x

a a a a

C a a ax x x ... x

a a a a

.

.

.

aC a ax x x ... x

a a a a

EJEMPLO O bien escrito en forma compacta:

……………………(A)

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE EL USO DE EXCEL1. Utilizar la herramienta de Excel para generar la tabla de la figura 1 que

contiene a la matriz aumentada, el vector inicial y la programación de los

despejes que se generen al utilizar la ecuación (A)

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB Para el método de Jacobi, considere un sistema

Sea , donde es la diagonal de , la triangular inferior y la triangular

superior.

Así, la sucesión que se construye con este método iterativo será:

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB El siguiente programa resuelve mediante el método de Jacobi un sistema

de ecuaciones con un error menor que una tolerancia dada tol.

Note que el programa necesita un dato inicial .

Además, el programa se detiene si se alcanza un número máximo de

iteraciones maxit sin que se satisfaga el criterio de convergencia.

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB Ejemplo:

Resuelva , con una aproximación inicial

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI MEDIANTE MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

RESULTADOS DEL METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

RESULTADOS DEL METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB

RESULTADOS DEL METODO ALTERNATIVO DE JACOBI EN MATLAB