Clase 100

Aplicaciones de la

trigonometría

Aplicaciones de la

trigonometría

h

Estudio individual de Estudio individual de la clase anteriorla clase anterior

En un exágono regular En un exágono regular ABCDEF de área ABCDEF de área 15015033 cmcm2 2 , M y N son los puntos , M y N son los puntos medios de los segmentos medios de los segmentos EF y BC respectivamente. EF y BC respectivamente. Prueba que AMDN es un Prueba que AMDN es un rombo. Calcula su área. rombo. Calcula su área.

AA

BB CC

DD

EEFF MM

NN

OO

Los triángulos Los triángulos ABN, NCD, DEM ABN, NCD, DEM y AMF son y AMF son iguales luego iguales luego AN, ND, DM y AM AN, ND, DM y AM son iguales. son iguales. M = M = N por tanto N por tanto ANDM es un ANDM es un rombo.rombo.

ll

dd

AAABCDEFABCDEF= =

ll22

333322

1501503 = 3 =

ll22

333322

3003003 = 33 = 33 3

ll22ll22 = = 100100l l = = 1010

luego luego dd = = 55

62

AA

BB CC

DD

EEFF MM

NN

OO

l l

dd

OC = l = OC = l = 10 10 cmcmNC = d = NC = d = 55 cmcmEn el En el ONC ONC equilátero equilátero el el NOC = NOC = 30300 0 por ser por ser ON ON bisectriz.bisectriz.luego por el teorema del luego por el teorema del

ángulo de ángulo de 303000 en un en un triángulo rectángulo se tiene triángulo rectángulo se tiene que:que:ON = ON = 33

NCNC= 5= 53 3 cmcm

AA

BB CC

DD

EEFF MM

NN

OO

l l

dd

AD = AD = 2 2 OCOC

AD = AD = 20 cm20 cmAD = AD = 2·102·10

MN = MN = 2 2 ONONMN = MN = 10103 3 cm cm

MN = MN = 2·52·53 3

AAANDMANDM= = AD·MNAD·MN22

20·1020·103 3 22== 173173 cm cm22

Aplicaciones de la trigonometría a la resolución de triángulo

Triángulo Rectángulo

A

B

C

a

b

c

sen sen = =aacc cos cos == bb

cc

tan tan ==aabb

cot cot = =bbaa

Aplicaciones de la trigonometría a la resolución de triángulo

Triángulo cualesquiera

A B

C

ab

c

a2 = b2 + c2 – 2ab cos

Ley de los senos

sen a

= sen b

= sen c

= 2R

Ley de los cosenos

Ejercicio Ejercicio 22

Supongamos que dos Supongamos que dos puntos, T y J, rotan en el puntos, T y J, rotan en el mismo plano alrededor de mismo plano alrededor de otro punto S. El radio de otro punto S. El radio de revolución de T es de revolución de T es de 1 1 u y u y el de J es el de J es 5,25,2 u. Si en u. Si en cierto momento el cierto momento el JTS es JTS es de de 104,9104,900 ,¿c ,¿cuál es la uál es la distancia entre J y T? distancia entre J y T?

S

T

J sen sen ∠T∠T

tt sen sen

∠J∠J

jj==

t

sen ∠J j sen ∠T

=j t

s

1• sen 104,90

5,2=

sen 75,10

5,2=

0,966

5,2= =

0,1858 luego ∠J = ∠J = 10,710,700

por ley de los por ley de los senossenos

S

T

J

j t

s ∠∠S = S = 18018000 – (∠T + ∠J) – (∠T + ∠J) por suma de ángulos interiores de un triángulo∠S = 1800– (104,90+10,70)= 64,40

por la ley de los por la ley de los cosenoscosenos ss22 = t= t22 + j + j22 – – 22 j t cos j t cos ∠∠SS= 5,22 + 12 – 2(1)(5,2)cos 64,40 = 27,04 + 1 – (10,4)(0,432) = 28,04 – 4,4928

= 23,5472

luego s = 23,5

4,9 u

La distancia entre J y T es de 4,9 u

Una escalera automática Una escalera automática está construida de modo está construida de modo que eleva que eleva 60,060,0 cm por cada cm por cada 50,750,7 cm de recorrido cm de recorrido horizontal. horizontal. ¿Qué ángulo de ¿Qué ángulo de elevación tiene la escalera? elevación tiene la escalera? ¿Cuál es la longitud que ¿Cuál es la longitud que ocupa en la horizontal para ocupa en la horizontal para subir subir 10,010,0 m de altura? m de altura?

Para el estudio Para el estudio IndividualIndividual

Resp: Resp: 8,458,45 mm