Clase 10 STR determin.sticos -...

Clase 10 STR determinísticos.doc 1

1. STR Determinístico 1. STR DETERMINÍSTICO 1

1.1. PLANTEO DEL PROBLEMA 2

1.2. PARTICULARIZACIONES DEL MÉTODO 8

1.2.1. Cancelación de Polos y Ceros 8

1.2.2. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia 11

1.1.1. Mejor Rechazo a Perturbaciones 14

1.3. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO 28

1.3.1. Cálculo de la Ley de Control 31

1.4. PARAMETRIZACIÓN DE YOULA-KUCERA 40


1.1. Planteo del Problema Proceso

( ) ( )( )k k kA q y B q u v= + [1.1]

grado de B menor que grado de A. A es mónico. Es un sistema continuo, muestreado, con bloqueador de orden cero, actuador, filtro

antialiasing. Las perturbaciones son impulsos espaciados que se pueden estudiar como pertur-

baciones en el valor inicial. Se desea que la salida siga una trayectoria de diseño y tenga acción integral. Ley de control lineal

( ) ( ) ( )k k kR q u T q r S q y= − [1.2]

R es mónico. ur

( )S z

( )( )

B zA z( )

1R z( )T z

y


tiene una realimentación y un control en adelanto

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ff

fb

T zH z R z

S zH z R z

=

= [1.3]

grado de S menor que grado de R. Para el cálculo se reemplaza el controlador en el modelo de la planta

( ) k k kAR BS y BTr BRv+ = + [1.4]

el denominador es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lc mA A q R q B q S q A q= + = [1.5]

resultando una ecuación Diofantina Siempre tiene solución si A y B no tienen raíces comunes. El denominador en lazo cerrado se puede factorear

( ) ( )lc c oA A q A q= [1.6]

con


( ) ( )( ) ( )

det

detc

o

A z zI L

A z zI KC

= −Φ + Γ

= −Φ + [1.7]

es la separación del control y el observador Cálculo de T

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )c clc c o

B z T z B z T zY z R z R z

A z A z A z= = [1.8]

los ceros se mantienen excepto que se cancelen con lcA

Se elige T para cancelar el observador

( ) ( )o oT z t A z= [1.9]

donde ot se elige para tener ganancia unitaria es decir

( ) ( )( ) ( )o

cc

t B zY z R z

A z= [1.10]

( )( )11

co

At

B= [1.11]


Ejemplo 1.1. Doble Integrador

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1

12

A z z

TB z z

= −

= + [1.12]

ecuación diofantina

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 1 12 lc

Tz z R z z S z A z− + + + = [1.13]

se busca el control más simple. El más simple de todos es ( ) 1R z = y ( ) 0S z s= que es un control proporcional.

en este caso resulta

( ) ( )2

2 02 1 12 lc

s Tz z z A z− + + + = [1.14]

no tiene solución general para un polinomio ( )lcA z de segundo orden

Con uno de primer orden ( ) 1R z z r= + y ( ) 0 1S z s z s= +

( ) ( ) ( )( ) ( )2

21 0 12 1 1

2 lcTz z z r z s z s A z− + + + + + = [1.15]


( ) ( )2 2 2

3 21 0 1 0 1 1 12 1 2

2 2 2 lcT T Tz r s z r s s z r s A z

+ + − + − + + + + =

[1.16]

es posible encontrar los coeficientes para cualquier polinomio ( )lcA z de tercer orden. Se elige

( ) 3 21 2 3lcA z z p z p z p= + + + [1.17]

resulta

1 2 31

1 2 30 2

1 2 31 2

34

5 32

3 32

p p pr

p p psT

p p psT

+ + −=

+ + −=

+ − −=

[1.18]

Se elige la raíz real como raíz del observador Generalmente resultan controladores de orden elevado. Se puede obtener un regulador con un integrador en forma explícita haciendo

( ) ( )( )( )

1

20 1 2

1R z z r z

S z s z s z s

= + −

= + + [1.19]


Para que el regulador sea causal los grados de S y T tienen que ser menores o iguales al de R . Normalmente se considera

( ) ( ) ( )grado R grado T grado S= = [1.20]

Normalmente resulta

( ) ( ) ( ) ( ) 1ogrado R grado T grado S grado A n= = = = − [1.21]

y

( )cgrado A n= [1.22]

Si se quiere acción integral se aumenta en uno el grado del regulador


1.2. Particularizaciones del Método 1.2.1. Cancelación de Polos y Ceros Se pueden cancelar polos y ceros suficientemente alejados del uno. Sean los polinomios

A A AB B B

+ −

+ −

=

= [1.23]

donde A+ y B+son los factores a cancelar, son mónicos y estables. el controlador resultante será

R B RS A ST A T

+

+

+

=

=

=

[1.24]

el polinomio característico en lazo cerrado será

( )lc lcA AR BS A B A R B S A B A+ + − − + += + = + = [1.25]

los polinomios A+ y B+son factores del polinomio en lazo cerrado Haciendo la factorización


lc c oA A A= [1.26]

se toma

c c

o o

A B A

A A A

+

+

=

= [1.27]

cancelando se obtiene

lc c oA A R B S A A− −= + = [1.28]

El mínimo regulador causal se obtiene encontrando la única solución para el poli-nomio que cumple ( ) ( )grado S grado A−<

La ley de control se escribe B Ru A Tr A Sy+ + += − [1.29]

o sea

A T Su r yB R R

+

+

= −

[1.30]

se cancelan los polos y ceros de la planta y se los ubica en otra parte como si no existieran.

La relación referencia-salida es


0 0 0

0c lc c c

y BT t B B A t Br A A A A

+ − −

= = = [1.31]

se deben cancelar solo los modos estables. Se define una zona en donde sí se pueden cancelar ceros.


1.2.2. Separación del Control de Perturbaciones y Seguimiento de Referencia Se intentará hacer algo similar a variables de estado Sea la respuesta deseada

mm m

m

By H r rA

= = [1.32]

para tener un seguimiento perfecto, B− tiene que ser factor de mB ya que no se pueden cancelar esos ceros.

Por lo tanto

m mB B B−= [1.33]

Introduciendo

0

m

m

m c

R A B R

S A A S

T B A A A

+

+

+

=

=

=

[1.34]

La ley de control resulta

0m c

m

A B A A Su r yB A R R

+

+

= −

[1.35]


Además se cumple la ecuación

0 cA A A R B S− −= + [1.36]

y

( )0 mm c m m m m

m m m m m m

B A R B SB A A B A B B S B A B SA R A R A A R A B A R

− − − − −

−

+= = + = + [1.37]

con lo que la ley de control se rescribe

( )mm

m

B A A Su r y yA B B R

+

+= + − [1.38]

tiene dos componentes, una en adelanto con función de transferencia

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

m mff

m m

B z A z B z A zH z

A z B z A z B z+= = [1.39]

y una realimentación proporcional al error entre la salida del modelo y la salida real, con función de transferencia

( ) ( ) ( )( ) ( )fb

A z S zH z

B z R z

+

+= [1.40]


ur

1−

( )( )

B zA z

( )( )

S zR z

y

( )( )

A zB z

( )( )

m

m

B zA z

my

ffu

fbu


1.1.1. Mejor Rechazo a Perturbaciones Ahora hay dos perturbaciones: v a la entrada e ruido de medición (salida) Se diseña un regulador quedando como la figura

ur( )( )

B zA z

( )( )

( )( )

T z S zu r y

R z R z= −

y

v

x

e

El sistema queda

( )Ax B u vy x e= +

= + [1.41]

resolviendo


BT BR BSx r v eAR BS AR BS AR BS

BT BR ARy r v eAR BS AR BS AR BS

AT BS ASu r v eAR BS AR BS AR BS

= + −+ + +

= + ++ + +

= + −+ + +

[1.42]

Si v es un escalón, B o R deben tener una raíz en 1. Si v es periódica, de período nT, B o R debe haber n raíces en 1 tal que

( )1 0nk n k kv v q v+ − = − = [1.43]

Si v es una senoide de frecuencia 0ω , B o R debe tener una dinámica tal que haga

( )0 1 22cos 0k k ky T y yω − −− + = [1.44]

El ruido de medición tiene, generalmente, alta frecuencia La frecuencia de Nyquist es la máxima frecuencia de interés y corresponde a 1z = − .

Una forma de eliminar esta frecuencia es hacer que S tenga un término 1z + R es para perturbaciones a la entrada S es para perturbaciones a la salida.


Ejemplo 1.2. Motor con Cancelación de Ceros el motor es

( ) ( )( )( )1

K z bH z

z z a−

=− −

[1.45]

con

( )

1

11

1

T

T

T

T

K e Ta e

T eb

e T

−

−

−

−

= − +

=

−= −

− +

[1.46]

el cero es real negativo el modelo a seguir es

( ) ( )( )

( )1 22

1 2

1mm

m

B q q p pH q

A q q p q p+ +

= =+ +

[1.47]

no tiene el cero de lazo abierto. Se debe cancelar la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero en b . Se factoriza B como


B z bB K

+

−

= −

= [1.48]

1AA A

+

−

=

= [1.49]

por lo tanto

1 21mm

B p pBK K

+ += = [1.50]

ufcr

B BA A

+ −

+ −

SR

yTS +

−

cr

Se hace

0

m

m

m c

R A B R

S A A S

T B A A A

+

+

+

=

=

=

[1.51]


ufcrB BA A

+ −

+ −

A SB R

+

+

y0m c

m

B A AA S +

−

cr

La función de transferencia en lazo cerrado resulta

1c

S By T TBR A

S Br S RA SBR A

= =++

[1.52]

( )0m o c m c

c m m m

y TB B A A A B B B B A Ar RA SB A B RA A A A SB B A RA SB

+ + − −

+ + − + + − − −= = =

+ + + [1.53]

La ley de control resulta

0

0

c

m c mc

m m

m cc

m

Ru Tr Sy

B A A A A A Su r yA B R A B R

B A A A A Su r yA B R B R

+ +

+ +

+ +

+ +

= −

= −

= −

[1.54]


Además se cumple la ecuación

o cA A A R B S− −= + [1.55]

el observador se puede elegir como

( ) 1oA z = [1.56]

Los grados deR y S deben satisfacer

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

1 1mgrad R grad A grad A grad A

grad S grad A

= + − =

= − = [1.57]

Se eligeR de orden cero y S de orden uno. 2

1 2c c cA z a z a= + + [1.58]

o cA A A R B S− −= + [1.59]

( )( ) ( ) 20 0 1 1 21 c cz z a r K s z s z a z a− − + + = + + [1.60]

de donde,

1 2

0 0 11

1 c ca a a ar s s

K K+ + −

= = = [1.61]

Además


( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 20 0

21 20 1 2

1

1

m

m c m c c c

z p pT z A z B z t z

Kp pT B A A A B A z a z aK

+

+ += = =

+ += = = + +

[1.62]

Si la referencia es constante se puede hacer

( )1 20 1 2

1 1 c cp pT t a aK

+ += = + + [1.63]

La ley de control es

m c m cc c

m m

m m c c m

S B A B A Su r y r yB R A S B RA B R

B RA u B A r SA y

+ + +

+

= − = −

= −

[1.64]

( )( ) ( )

( )

2 21 21 2 1 2

2 1 21 2

1

1

c c c

c c

p pq b q p q p u q a q a rK

a a a aq p q p q y

K K

+ +− + + = + +

+ + − − + + +

[1.65]


( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2 21 21 2 1 2 1 2

3 20 0 1 1 0 2 1 1 1 2

1c c c

p pq p b q p bp q bp u q a q a rK

s q s p s q s p s p q s p y

+ + + − + − − = + + −

− + + + + +

[1.66]

( ) ( )

( )( ) ( )

1 1 2 1 2 2 3

1 21 1 2 2 3

0 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 3

1k k k k

c c c c ck k k

k k k k

u p b u p bp u bp up p r a r a rK

s y s p s y s p s p y s p y

− − −

− − −

− − −

= − − − − +

+ ++ + + −

− − + − + −

[1.67]

0 200 400 600 800 1000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 200 400 600 800 1000-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 200 400 600 800 1000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Las dos primeras figuras corresponden a igual modelo pero diferente comportamien-

to en lazo cerrado. En la tercera se varía el modelo. La oscilación en el control es por la cancelación del cero real negativo. Decrece aumentando el período de muestreo.


Ejemplo 1.3. Motor sin Cancelación de Ceros el cero aparece en lazo cerrado

( ) 1 22

1 2

11mp p z bH z

b z p z p+ + −

=− + +

[1.68]

( )1B

B K z b

+

−

=

= − [1.69]

por lo tanto

( )1 21

1mp pB

K b+ +

=−

[1.70]

el observador debe cumplir

( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 1mgrad A grad A grad A grad B+≥ − − − = [1.71]

el observador se puede elegir como

( )oA z z= [1.72]

Los grados deR y S deben satisfacer


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 1

1 1mgrad R grad A grad A grad A

grad S grad A

= + − =

= − = [1.73]

Se eligeR de orden cero y S de orden uno. ( )( )( ) ( )( ) 3 2

1 0 1 1 21z z a z r K z b s z s z p z p z− − + + − + = + + [1.74]

Se calcula la igualdad para z b= , 1z = y z a= obteniendo tres ecuaciones

( )( )( )

( )( )( )( )

21 2

1

0 1 1 2

3 20 1 1 2

1

1 1

b b p b pr b

b b a

K b s s p p

K a b s a s a p a p a

+ += − +

− −

− + = + +

− + = + +

[1.75]

de donde se determinan los parámetros Además

( ) ( ) ( ) ( )1 2

0 01

1mp pT z A z B z z t z

K b+ +

= = =−

[1.76]

La ley de control es 0 0 1 1 1 1k k k k ku t r s y s y ru− −= − − − [1.77]


0 500 1000 1500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 500 1000 1500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


- Caso Adaptativo

0 500 1000 1500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


- Ganancia Estática BT BRy r v

AR BS AR BS= +

+ + [1.78]

Se aplica un escalón de 1r = y 0,2v = −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 11 0,2

1 1 1 1 1 1 1 1B T B R

yA R B S A R B S

= −+ +

[1.79]

Si no se adapta 0,5656y∞ =


Ganancia estática: Primera figura: si no se adapta. Segunda figura: adaptando

0 50 100 1500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 1500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


1.3. Procedimiento de Diseño

- Datos: Se necesita:

( )A z , ( )B z sin factores comunes

polinomio característico en lazo cerrado deseado ( )lcA z

términos deseados en el regulador, ( )dR z y ( )dS z

función de transferencia deseada ( )( )

m

m

B zA z

- Condición de Exceso de Polos ( ) ( ) ( ) ( )m mgrad A grad B grad A grad B− ≥ − [1.80]

- Condición de Seguimiento del Modelo El factor B− no debe ser cancelado por lo que se debe cumplir

mB B B−= [1.81]

- Condición de Grados de Polinomios se debe cumplir


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1lc m d dgrad A grad A grad A grad R grad S= + + + − [1.82]

- Paso 1 Factorizar A y B como

A A AB B B

+ −

+ −

=

= [1.83]

donde A+ y B+ son los factores a cancelar.

- Paso 2 Resolver la ecuación

d d lcA R R B S S A− −+ = [1.84]

para calcular R y S

- Paso 3 la ley de control es

Ru Tr Sy= − [1.85]

donde


m d

m d

m lc

m m

R A B R R

S A A S S

T B A A

B B B

+

+

+

−

=

=

=

=

[1.86]

la característica en lazo cerrado es lc m lcA A B A A+ += [1.87]

La condición de grado surge de [1.84] ya que el mínimo regulador se obtiene con

( ) ( ) ( ) 1dgrad S grad A grad R−= + − [1.88]

por lo que, de [1.86]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1m d d

m d d

grad S grad A grad A grad A grad R grad S

grad A grad A grad R grad S

− += + + + + −

= + + + − [1.89]

como ( ) ( )grad S grad R= , resulta [1.82]


1.3.1. Cálculo de la Ley de Control Otra forma de calcular la ecuación diofantina es considerar que se tiene una solu-

ción a la ecuación

0 0 0

lcAR BS A+ = [1.90]

y la solución de mínimo grado, iR y iS ,

0i iAR BS+ = [1.91]

Se definen los polinomios R y S de modo que

0

0

i

i

R XR YRS XS YS= +

= + [1.92]

con X polinomio estable y mónico entonces, reemplazando 0R y 0S

0

lcAR BS XA+ = [1.93]

Si se elige 0lcA y X tal que

0

lclcA XA= [1.94]

se cumple que los polinomios


0

0

i

i

R XR YRS XS YS= +

= + [1.95]

satisfacen d d lcA R R B S S A− −+ = [1.96]

Además se debe cumplir que ( ) ( ) ( )d dgrad X grad R grad S= + [1.97]

y el grado de Y ( ) ( ) ( ) 1d dgrad Y grad R grad S= + − [1.98]

Para calcular Y se supone que dR divide a R y dS divide a S.

Los coeficientes de Y se calculan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 00 0

ii i i i d i

ii i i i d i

X z R z Y z R z para R zX z S z Y z S z para S z

− = =− = =

[1.99]


Ejemplo 1.4. Acción Integral Agregar acción integral implica ( )1 0R =

Se supone que se ha calculado el controlador con 0R y 0S y se desea agregar una acción integral.

La mínima solución a la ecuación [1.91] es

i

i

R BS A

= −

= [1.100]

Se introduce un nuevo polo en lazo cerrado en 1x− por lo que X resulta

1X z x= + [1.101]

el polinomio Y es un escalar 0Y y= [1.102]

la ecuación [1.99] es de la forma (para que R tenga una raíz en 1) ( ) ( ) ( ) ( )0

1 01 1 1 1 0R x R y B= + − = [1.103]

de donde se despeja 0y

( ) ( )( )

0

0 111 1

Ry x B= + [1.104]


el nuevo controlador es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

010

1

010

1

1 11

1 11

x R B zR z z x R z

B

x R A zS z z x S z

B

+= + −

+= + −

[1.105]


Ejemplo 1.5. Control del Motor con Acción Integral Planta discretizada

( ) 0 12

1 2

b q bG qq a q a

+=

+ + [1.106]

El regulador calculado anteriormente era ( ) 1R q q r= + [1.107]

( ) 0 1S q qs s= + [1.108]

( ) 0T q qt= [1.109]

2

1 11 2

0 01 11

0 0 1 12

0 0

1

b bp pb bb br

b b b b ab b

+ +

= − +

− −

[1.110]

( )1 2

11

00

1

1

p pk

bbb

+ +=

−

3 22 1 2 2 2

21

0 20

a p a p akbb ab

+ +=

−

[1.111]


2 1

02 1

k ksa−

=−

1 1 0s k s= − 1 2

01

00

1t1

p pbbb

+ +=

−

[1.112]

La ley de control era 0 0 1 1 1 1k k k k ku t r s y s y ru− −= − − − [1.113]

Nuevo diseño:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

010

1

1 11i

x R B qR q q x R q

B+

= + − [1.114]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

010

1

1 11i

x R A qS q q x S q

B+

= + − [1.115]

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1

1 1 0 10 1

1 1i

x rR q q x q r b q b

b b+ +

= + + − ++

[1.116]

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 1 2

1 0 1 1 20 1

1 1i

x rS q q x qs s q a q a

b b+ +

= + + − + ++

[1.117]

( ) 21 2i i iR q q qr r= + + [1.118]


( ) ( )( )( )

( )( )( )

1 1 1 121 1 0 1 1 1

0 1 0 1

1 1 1 1i

x r x rR q q q r x b r x b

b b b b + + + +

= + + − + − + +

[1.119]

( ) 20 1 2i i i iS q q s qs s= + + [1.120]

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

1 1 1 1 1 120 1 0 1 1 1 1 2

0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1i

x r x r x rS q q s q x s s a x s a

b b b b b b + + + + + +

= − + + − + − + + +

[1.121]

Nueva ley de control: 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2k k i k i k i k i k i ku t r s y s y s y r u r u− − − −= − − − − − [1.122]


x1=.8 y x1=.9

0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 500 1000 1500 2000 2500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


- Caso Adaptativo x1=.8, ff=1

0 500 1000 1500 2000 2500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x1=.9, ff=1

0 500 1000 1500 2000 2500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

1.5


1.4. Parametrización de Youla-Kucera

Teorema 1. Teorema de Youla-Kucera

Sea un sistema ( )( )

B zA z y ( )

( )0

0S z

R z un regulador estable, entonces, todo regu-

lador estable puede describirse como:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

S z S z Q z A zR z R z Q z B z

+=

− [1.123]

con ( )Q z estable

- Demostración Primero se debe demostrar que el regulador [1.123] es estable, para lo que se intro-

duce ( ) ( )( )

Y zQ z

X z= , con lo que se puede escribir,

0

0

S XS YAR XR YB

+=

− [1.124]

en lazo cerrado queda


( ) ( ) ( )0 0 0 0AR BS A XR YB B XS YA X AR BS+ = − + + = + [1.125]

dado que X y 0 0AR BS+ son estables, el sistema lo será. Para probar de que todos los polinomios son estables, se considera un regulador

S R que estabiliza el sistema, dando una función característica AR BS C+ = [1.126]

de donde, la ecuación [1.123] queda

0 0SR QSB RS QRA− = + [1.127]

por lo tanto

0 0 0 0SR RS SR RSQAR BS C

− −= =

+ [1.128]

que es estable ya que C lo es. -------------------fig 57---------------

Clase 10 STR determin.sticos -...

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