Clase 1 - Análisis Numérico

CLASE 1Preliminares

UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICAINGENIERÍA CIVIL DE MINASCÁLCULO NUMÉRICO

DOCENTE:Felipe Quezada Castañeda

Introducción

El Cálculo Numérico corresponde a la rama del Análisiscuyo objetivo es el diseño de modelos y algoritmos quepermitan, mediante operaciones elementales sencillas,simular procesos matemáticos más complejos.

Por ejemplo, tenemos el problema de resolver lasiguiente integral, definida como

𝐾 𝑥 = 0

𝜋/2 𝑑𝜃

1 − 𝑥 sin2 𝜃

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CLASE I - PRELIMINARES ULARE – MARZO 2015

Introducción (Cont.)

La integral anterior, llamada integral elíptica de primeraespecie, no puede ser resuelta mediante ninguna de lastécnicas algebraicas estudiadas en los cursos elementales deCálculo. Vale decir, no existe ninguna función 𝐾 𝑥 cuya

derivada sea igual a 𝐾′ 𝑥 =𝑑𝜃

1−𝑥 sin2 𝜃.

Por lo tanto, cabe hacernos la siguiente pregunta: ¿Quésucedería si algún proceso ingenieril importante dependierade la resolución de esta integral? ¿Cómo lo haría uncomputador para poder resolver este problema, si noexisten técnicas algebraicas capaces de solucionarlo?

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La respuesta es una sola:

¡ALGORITMOS!

Un algoritmo es una serie de reglas matemáticas sencillasque, mediante fórmulas de recurrencia listadas en pasos(obviamente finitos), permiten realizar una actividadmediante instrucciones claras y precisas. Naturalmente, enanálisis, dichas actividades implican solucionar problemasmatemáticos complejos o que, en el ejemplo anterior,resolver problemas muy difíciles de solucionar por víaspuramente algebraicas.

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Por ejemplo, si quisiéramos solucionar el problema del desperfecto de una

lámpara, podríamos diseñar una serie de instrucciones, listadas

convenientemente, a fin de poder llegar a una resolución final en

términos de los diferentes casos que pueden darse a la hora de revisar

dicho problema

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Preliminares de Cálculo

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Límites y Continuidad

Antes de poder estudiar a fondo cualquier tema de análisisnumérico, es necesario repasar algunos conceptos previos sobrefunciones reales. Sobretodo aquellos relacionados con lacontinuidad y la existencia de estas entidades.

En primera instancia, cobra protagonismo el concepto de límite deuna función real. Una función 𝑓 definida en un conjunto Ω ⊆ 𝐼𝑅tiene límite 𝐿 cuando la variable independiente 𝑥 se acerca alvalor 𝑥0, definido por

𝐿 = lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥

si dado 휀 > 0 , existe un valor 𝛿 > 0 tal que 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀 ↔𝑥 − 𝑥0 < 𝛿.

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Límite de una Función

Límites y Continuidad (Cont.)

De forma más intuitiva, la idea de límite es la siguiente.Considerando una función 𝑓 𝑥 , definida en un intervaloabierto 𝑎, 𝑏 tal que 𝑎 < 𝑥0 < 𝑏, si 𝑥 se acerca a 𝑥0 en unvalor cuya magnitud es 𝛿 , entonces 𝑓 variará en unamagnitud 𝐿.

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Límites y Continuidad (Cont.)

Sea 𝑓 una función definida en un conjunto Ω ⊆ 𝐼𝑅, y sea 𝑥0 unelemento de Ω. Diremos que 𝑓 es continua en 𝑥0, si y sólo si secumplen las siguientes condiciones:

o 𝑓 está definida en 𝑥0

o lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0

De la misma forma, la función 𝑓 se dirá continua en Ω si 𝑓 escontinua para todo 𝑥 ∈ Ω.

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Continuidad de una Función

Diferenciabilidad

Los conceptos de límite y continuidad son importantes, porque nospermiten determinar cuando las funciones de variable real son biencomportadas. Esto, en la mayoría de los casos, quiere decir que lasfunciones son diferenciables y tienen gráficas regulares y suaves.

En esta misma línea, sea 𝑓 una función real definida en un conjunto Ω ⊆𝐼𝑅, y sea 𝑥0 un punto de Ω. La función 𝑓 se dirá diferenciable en 𝑥0, si ellímite

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0𝑥 − 𝑥0

existe. En este caso, denotamos el límite anterior como la derivada de 𝑓y se designa como 𝑓′(𝑥0).

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Diferenciabilidad (Cont.)

Si el límite anterior existe para todo 𝑥 ∈ Ω, se dirá que𝑓 es diferenciable en todo Ω y, por ende, 𝑓′ 𝑥denotará la derivada de la función 𝑓 en dicho intervalo.

El conjunto de todas las funciones que tienen 𝑛derivadas continuas en Ω se denota como 𝐶𝑛 Ω , y sedice que estas funciones son de clase 𝐶𝑘, con 𝑘 ≤ 𝑛, enΩ.

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Teorema de Rolle

El teorema de Rolle es uno de los resultados más simples yútiles del cálculo diferencial, y nos permite demostrar laexistencia de un punto interior en un intervalo abierto parael cual una función diferenciable se anula cuando el valor dela misma en los extremos del intervalo es el mismo.

Sea 𝑓 una función de clase 𝐶1 definida en el intervaloabierto 𝑎, 𝑏 . Si 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 , entonces existe una constante𝑐 tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, para la cual 𝑓′ 𝑐 = 0

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Teorema de Rolle (Cont.)

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El teorema de Rolle nos permite determinar que una función diferenciable

en un intervalo abierto 𝑎, 𝑏 tiene pendiente nula si sus valores en los

extremos de dicho intervalo son los mismos.

Teorema del Valor Medio

El teorema del valor medio es uno de los resultados másimportantes del cálculo diferencial.

Sea 𝑓 una función real de clase 𝐶1 definida en el intervaloabierto 𝑎, 𝑏 . Entonces existe 𝑐 tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, para elcual

𝑓´ 𝑐 =𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎

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Teorema del Valor Medio (Cont.)

En términos más sencillos, el teorema dice que, para cualquierfunción 𝑓 de clase 𝐶1 en 𝑎, 𝑏 , existe al menos un punto 𝑐 interior a𝑎, 𝑏 tal que la tangente a la curva en 𝑐 es paralela a la recta secante

que une los puntos 𝑎, 𝑓 𝑎 y 𝑏, 𝑓 𝑏

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Teorema de Taylor

El último resultado importante del cálculo diferencial querepasaremos será el relativo al Teorema de Taylor. Este teoremanos permite obtener aproximaciones polinómicas de una función enun anillo centrado en algún punto en el cual dicha función seadiferenciable. El teorema permite además obtener cotas para elerror cometido con esta aproximación.

Sea 𝑓 una función 𝑛 veces diferenciable en el intervalo cerrado𝑎, 𝑥 . Si 𝑓 es 𝑛 + 1 veces diferenciable en el intervalo abierto𝑎, 𝑥 , entonces se cumple que

𝑓 𝑥 =

𝑘=0

𝑛𝑓 𝑘 𝑎

𝑘!𝑥 − 𝑎 𝑘 + 𝑅𝑛 𝑓

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Teorema de Taylor (Cont.)

El término 𝑅𝑛 𝑓 es llamado resto de la aproximaciónpolinomial de Taylor, y está definido como

𝑅𝑛 𝑓 =𝑓 𝑛+1 𝜉

𝑛 + 1 !𝑥 − 𝑎 𝑛+1

El término 𝜉 corresponde a un número real entre 𝑎 y 𝑥.

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Vamos a ejemplificar la utilidad de la fórmula de Taylordeterminando una aproximación polinomial para la funciónexponencial 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, la cual es sencilla de obtener.

Como 𝑓 𝑛 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 para todo 𝑥 en cualquier intervalo deltipo 𝑎, 𝑏 , entonces, en virtud del teorema, se tiene que laaproximación de Taylor para 𝑒𝑥 centrada en 𝑥 = 0 vienedada por:

𝑒𝑥 = 𝑒0 +𝑒0

1!𝑥 − 0 +

𝑒0

2!𝑥 − 0 2 +⋯+

𝑒0

𝑛!𝑥 − 0 𝑛

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Luego tenemos,

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+𝑥3

3!…+𝑥𝑛

𝑛!

O de forma más elegante,

𝑒𝑥 =

𝑘=0

𝑛𝑥𝑘

𝑘!

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Las aproximaciones de Taylor (i.e. polinomios de Taylor) sondenominadas de orden 𝑛, siendo 𝑛 el grado del polinomioutilizado para la aproximación. Por ejemplo, utilizandonuevamente a la función exponencial, la aproximación deTaylor de cuarto orden vendría siendo,

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+𝑥3

3!+𝑥4

4!

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Esta aproximación puede graficarse y compararse con el gráfico dela función exponencial en una vecindad del origen, tal y como semuestra en la figura.

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Lo anterior permite establecer la gran precisión que tiene elteorema de Taylor en la aproximación de funciones máscomplejas mediante polinomios, porque permite no sólo quelos polinomios tomen los mismos valores en el valor deseado,sino que además, tengan el mismo radio de curvatura endicho punto.

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Preliminares de Álgebra

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Vectores

Un vector en 𝐼𝑅𝑛 es un fila de números reales ordenados dela siguiente manera

𝒂 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛

Las 𝑛 constantes 𝑎𝑖 𝑖=1𝑛 son llamadas componentes del

vector 𝒂

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Vectores (Cont.)

Los vectores cumplen con las siguientes propiedades:

1. Suma de Vectores

Sean 𝒂 y 𝒃 vectores en 𝐼𝑅𝑛. Luego tenemos

𝒂 + 𝒃 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛

2. Ponderación por un escalar

Sea 𝒂 un vector en 𝐼𝑅𝑛 y sea 𝜆 una constante real (i.e. escalar). Sedefine el producto del vector 𝒂 por el escalar 𝜆 como

𝜆𝒂 = 𝜆 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 = 𝜆𝑎1, 𝜆𝑎2, … , 𝜆𝑎𝑛

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Propiedades

Vectores (Cont.)

3. Producto interno

Sean 𝒂 y 𝒃 dos vectores en 𝐼𝑅𝑛 . Definimos el productointerno (i.e. producto punto o escalar) entre ambos vectorescomo

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑏𝑛 =

𝑘=1

𝑛

𝑎𝑘𝑏𝑘

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Vectores (Cont.)

4. Norma o distancia

Sea 𝒂 un vector en 𝐼𝑅𝑛 . Definimos la norma (i.e. valorabsoluto o magnitud) del vector 𝒂 como

||𝒂|| = 𝑎12 + 𝑎2

2 +⋯+ 𝑎𝑛2 =

𝑘=1

𝑛

𝑎𝑘2

12

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Matrices

Una ordenación de números dispuestos en filas y columnasde manera rectangular es llamada matriz. Si la matriz tiene𝑚 filas y 𝑛 columnas, diremos que la dimensión de dichasmatriz es de 𝑚 × 𝑛, y la escribimos como sigue

𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

… 𝑎1𝑚… 𝑎2𝑚… 𝑎3𝑚

⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3

⋱ ⋮… 𝑎𝑚𝑛

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Matrices (Cont.)

El conjunto de todas las matrices cuya dimensión es 𝑚 × 𝑛 sedenomina 𝕄𝑚×𝑛. Los valores 𝑎𝑖𝑗 son llamados elementos dela matriz, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 y 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Cuando la matriz 𝐴 ∈ 𝕄𝑚×𝑛 tiene el mismo número de filasque de columnas, digamos 𝑛 filas y 𝑛 columnas, decimos quela matriz 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝒏. En estecaso, los elementos 𝑎𝑖𝑗 para los cuales 𝑖 = 𝑗 forman lallamada diagonal principal de la matriz. La suma de dichoselementos es llamada traza de la matriz.

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Propiedades y Carácterísticasde las Matrices

La condición necesaria y suficiente para que la matriz 𝐴 =𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 sean iguales (i.e. 𝐴 = 𝐵), es que tengan la

misma dimensión y, además, que cada uno de los elementosde una de ellas sea igual al respectivo elemento de la otra.Es decir,

𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ; ∀ 𝑖, 𝑗 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ∧ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

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Igualdad de Matrices

Propiedades y Carácterísticasde las Matrices (Cont.)

Una matriz que tenga nulos todos sus elementos es llamadamatriz nula. En términos matemáticos

𝐴 = 𝑂 ↔ 𝑎𝑖𝑗 = 0 ; ∀ 𝑖, 𝑗 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ∧ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

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Matriz Nula


Sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 dos matrices de dimensión 𝑚 × 𝑛.La suma (o diferencia) de ambas, 𝐴 ± 𝐵, es otra matriz 𝐶 =𝑐𝑖𝑗 de dimensión 𝑚 × 𝑛, en la que cada elemento de 𝐶 es

la suma de los correspondientes elementos de 𝐴 y 𝐵. Esdecir,

𝐴 ± 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗

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Suma de Matrices


Sean 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 dos matrices tales que el número decolumnas de 𝐴 es igual al número de filas de 𝐵, digamos, 𝐴 ∈𝕄𝑚×𝑝 y 𝐵 ∈ 𝕄𝑝×𝑛 (i.e. ambas matrices son confirmes para lamultiplicación). El producto de ambas matrices 𝐴𝐵, en este orden,es otra matriz D = 𝑑𝑖𝑗 ∈ 𝕄𝑚×𝑛 definida por la fórmula

𝑑𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 +⋯+ 𝑎𝑖𝑝𝑏𝑝𝑗

Dicho de otra forma,

𝑑𝑖𝑗 =

𝑘=1

𝑝

𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ∧ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛

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Multiplicación de Matrices

Propiedades y Carácterísticasde las Matrices (Cont.)Por ejemplo, sean 𝐴 y 𝐵 las siguientes matrices

𝐴 =

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32

; 𝐵 =𝑏11 𝑏12𝑏21 𝑏22

El producto 𝐴𝐵 de ambas matrices sería entonces

𝐴𝐵 =

𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22𝑎31𝑏11 + 𝑎32𝑏21 𝑎31𝑏12 + 𝑎32𝑏22

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Propiedades y Carácterísticasde las Matrices (Cont.)Suponiendo que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son matrices conformes para lamultiplicación, tenemos las siguientes propiedades:

a) Distributividad siniestral: 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶

b) Distributividad dextral: 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶

c) Asociatividad: 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶

d) No conmutatividad: En general, 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴

e) Elemento absorbente: 𝐴𝐵 = 𝑂 ↔ 𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 𝑂

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Una matriz cuadrada 𝐴 cuyos elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≥ 𝑗,es llamada matriz triangular superior. Por el contrario, si 𝐴es una matriz cuyos elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≤ 𝑗, entonces 𝐴es llamada matriz triangular inferior. Por último, si lamatriz 𝐴 es tal que 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗, entonces 𝐴 esuna matriz diagonal.

Si 𝐴 es una matriz diagonal tal que sus elementos 𝑎𝑖𝑗 = 1para todo 𝑖 = 𝑗, entonces dicha matriz es llamada matrizidentidad (i.e. matriz unidad), y se denota como 𝐼𝑛, siendo 𝑛el orden de esta matriz.

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Matriz Identidad

Propiedades y Carácterísticasde las Matrices (Cont.)Siendo así, la matriz identidad puede escribirse como:

𝑎𝑖𝑗 =

1 0 00 1 00 0 1

… 0… 0… 0

⋮ ⋮ ⋮0 0 0

⋱ ⋮… 1

Si 𝐴 y 𝐵 son dos matrices tales que 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛, entonces 𝐵 esllamada inversa de 𝐴, y se denota como 𝐴−1.

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La transpuesta de una matriz 𝐴 de orden 𝑚 × 𝑛 es otra matriz, quedenotamos por 𝐴𝑡, tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.

La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

- 𝐴𝑡 𝑡 = 𝐴

- 𝑘𝐴 𝑡 = 𝑘𝐴𝑡, donde 𝑘 es un escalar.

- 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡

- 𝐴𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡

- Si 𝐴 = 𝐴𝑡, entonces la matriz 𝐴 se dirá simétrica.

- Si −𝐴 = 𝐴𝑡, entonces la matriz 𝐴 se dirá antisimétrica.

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Matriz Transpuesta

Determinantes

Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛. Definimos la funcióndeterminante de la matriz 𝐴, que denotamos como det 𝐴 ,como una aplicación tal que

det 𝐴 :𝕄𝑚×𝑝 → 𝐼𝑅 | 𝐴 → det 𝐴

El valor del determinante puede calcularse dependiendo delorden de la matriz en cuestión. Por ejemplo, si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 escuadrada de orden 2, se tendrá que

det 𝐴 = det𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

=𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

=𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12

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Determinantes (Cont.)

Para órdenes superiores seguimos el siguiente procedimiento: Sea𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛 . Llamamos menorcomplementario del determinante det 𝐴 al determinante 𝑀𝑖𝑗 deorden 𝑛 − 1 que resulta al suprimir en 𝐴 todos los elementos dela fila 𝑖 y de la columna 𝑗. El menor complementario asociado designo −1 𝑖+𝑗 es llamado cofactor del elemento 𝑎𝑖𝑗, y se denotacomo 𝐴𝑖𝑗.

Definimos entonces el determinante de la matriz 𝐴, denotadocomo det 𝐴 , al número real definido por la fórmula:

det 𝐴 =

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗

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Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛, y sea 𝐴𝑖𝑗 el cofactordel elemento 𝑎𝑖𝑗 en la matriz 𝐴 . Definimos la matrizadjunta de 𝐴 (i.e. la adjunta de la matriz 𝐴) como

adj 𝐴 = 𝐴𝑖𝑗𝑡 = −1 𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗

𝑡

Luego, la matriz inversa de 𝐴, que denotamos como 𝐴−1,puede formularse como

𝐴−1 =adj 𝐴

det 𝐴

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Matriz Adjunta


Sea 𝐴 una matriz cuadrada de orden 𝑛. Diremos que 𝐴 esdefinida positiva si y sólo si det 𝐴𝑘 > 0, donde 𝐴𝑘 es unasubmatriz de 𝐴 definida como

𝐴𝑘 =

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

… 𝑎1𝑘… 𝑎2𝑘

⋮ ⋮𝑎𝑘1 𝑎𝑘2

⋱ ⋮… 𝑎𝑘𝑘

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Matriz definida positiva


Por ejemplo, sea 𝐴 la siguiente matriz

𝐴𝑘 =4 2 1−1 5 21 1 7

es definida positiva. En efecto, la submatriz 𝐴1

𝐴1 = 4

tiene determinante positivo, det 𝐴1 = 4.

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La submatriz 𝐴2

𝐴2 =4 2−1 5

también tiene determinante positivo, det 𝐴2 = 22. Finalmente, lasubmatriz 𝐴3 (que naturalmente es la matriz original)

𝐴3 =4 2 1−1 5 21 1 7

También tiene determinante positivo, det 𝐴3 = 144 . Luego, lamatriz 𝐴 es definida positiva.

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