ANLISIS BSICO DE SISTEMAS DE CONTROL ECUACIONES DE ESPACIO - ESTADOIng. Pedro Capcha BuizaUniversidad Nacional de IngenieraDepartamento de Mecnica Elctrica

Qu es un sistema de control ?

En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.En el mbito domsticoControlar la temperatura y humedad de casas y edificiosEn transportacinControlar que un auto o avin se muevan de un lugar a otro en forma segura y exactaEn la industriaControlar un sinnmero de variables en los procesos de manufacturaControl de Procesos

En aos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez ms importante en el desarrollo y avance de la civilizacin moderna y la tecnologa.Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:tales como control de calidad de los productos manufacturados, lneas de ensa,ble automtico, control de mquinas-herramienta, tecnologa espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robtica y muchos otrosControl de Procesos

Clasificacin de los Sistemas de ControlS.C. Lineales vs. No Lineales.S.C. Invariantes en el Tiempo (Parmetros constantes) vs. Variable en el Tiempo (Ej. Aceleracin Vehculo espacial).S.C. Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto.S.C. Una Entrada una Salida vs. Mltiples Entradas y Mltiples Salidas.S.C. Parmetros Concentrados vs. Distribuidos.S.C. Determinsticos vs. Estocsticos

Ejemplos: Sistema de Control de Velocidad

Ejemplos: Sistema de Control de Robot

Ejemplo: Control del Brazo del Robot

Ejemplo: Sistema de Control de la Fuerza de Agarre de la mano de un Robot

Ejemplo: Control Numrico de una mquina

Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de Un Horno

Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de un Auto

Ejemplos de procesos automatizadosUn moderno avin comercial

SatlitesEjemplos de procesos automatizadosControl de concentracin de un producto en un reactor qumico.

Incremento de la productividad.Alto costo de mano de obra.Seguridad.Alto costo de materiales.Mejorar la calidad.Reduccin de tiempo de manufactura.Reduccin de inventario en proceso.Certificacin (mercados internacionales).Proteccin del medio ambiente (desarrollo sustentable). Por que es necesario controlar un proceso ?

Otros EjemplosSistemas de Control de TrficoSistemas Biolgicos (Ecuaciones de Volterra ampliadas)Sistemas de Control de InventarioSistemas Empresariales

Elementos Bsicos del Diseo de Sistemas de ControlRequisitos Generales de los Sistemas de Control.Todo Sistema de Control debe ser Estable. (absoluta vs. Relativa), velocidad de respuesta, reducir errores razonablemente.Teora de Control Moderna (TCM) vs. Teora del Control Clsico (TCC).La TCC utiliza extensamente la funcin de transferencia. Realiza el anlisis en el dominio de s y/o el dominio de la frecuencia.LA TCM se basa en el concepto de Espacio de Estado, utiliza extensamente el anlisis vectorial - Matricial

Elementos Bsicos del Diseo de Sistemas de ControlLa TCC Brinda buenos resultados para sistemas de control de una entrada y una salida, siendo intil para sistemas de mltiples entradas y salidas. LA TCM es buena para sistemas con Mltiples entradas y mltiples salidas.La TCC utiliza los mtodos de control convencional (PID, Lugar de Races, Respuestas de Frecuencia), estn basados ms en la comprensin fsica que matemtica.La TCM utiliza ms mtodos (Espacio de Estados) con fuerte anlisis matemtico, siendo ms difciles de entender que el clsico

Elementos Bsicos del Diseo de Sistemas de ControlModelado MatemticoComponentes de un SC (Electromecnicos, hidrulicos, neumticos, electrnicos, etc.), los cuales se reemplazan con modelos matemticosNo deben ser muy complicados ni muy simples, representando los elementos esenciales de tal forma que sus predicciones sean bastante precisas.Se deben tener en cuenta los isomorfismos.En Ingeniera del Control se usan ecuaciones diferenciales parciales invariantes en el tiempo, funciones de transferencia y ecuaciones de estado para modelos matemticos de sistemas lineales invariantes en el tiempo.Las relaciones entradas- salida no lineales se linealizan en la vecindad de los puntos de operacin.

Elementos Bsicos del Diseo de Sistemas de ControlAnlisis y Diseo de sistemas de Control.Anlisis: La investigacin bajo condiciones especficas del comportamiento de un sistema, cuyo modelo matemtico se conoce.Anlisis de respuesta transitoria: La determinacin de respuesta de una planta a seales y perturbaciones de entrada.Anlisis de Respuesta en Estado Estacionario: La determinacin de la respuesta tras la desaparicin de la respuesta transitoria.Diseo: Hallar un sistema que cumpla la tarea dada.Sntesis: Encontrar, mediante un procedimiento directo, un sistema de control que se comporte de un modo especfico.

Elementos Bsicos del Diseo de Sistemas de ControlMtodo bsico de diseo de Control.Es necesaria la utilizacin de procedimientos de tanteo, por las diversas perturbaciones en los sistemas los cuales incluyen no linealidadesndice de Comportamiento: Es una medida cuantitativa del comportamiento, que indica la desviacin respecto al comportamiento ideal. Se determina por los objetivos del S.C. Ej. Integral de error a minimizar.Ley de Control: La especificacin de la seal de control durante el intervalo de tiempo operativo. Se busca determinar la ley de control ptimo.

Elementos Bsicos del Diseo de Sistemas de ControlPasos de DiseoDada una planta industrial, primeramente se deben elegir sensores y actuadores a apropiados.Construir Modelos Matemticos apropiados de la planta.Disear un controlador de tal modo que el sistema de lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas.El controlador es una solucin a la versin matemtica del problema de diseo.Simular el modelo en una computadora para verificar el comportamiento del sistema, en respuesta a diversas seales y perturbaciones.Con los resultados de simulacin se debe redisear el sistema y completar el anlisis correspondiente.Construir un prototipo del sistema fsico.Probar el Prototipo hasta cumplir con los requisitos.

Modelado MatemticoRepresentacin de Sistemas Dinmicos en Espacio de Estados

Qu es un modelo?

Construccin abstracta (conjunto de reglas) con un objetivo: Describir el sistema en cuestin Determinar lo que se puede hacer con l Determinar cmo alcanzar objetivos

La Teora de Sistemas no trata directamente con el mundo real sino con Modelos del mundo real obtenidos a partir de las ciencias bsicas.

Los Modelos pueden ser:

Fsicos

Lgico-Matemticos

Grficos

MODELOS

Los modelos no son nicos y dependen de los objetivos para los cuales los construimos.

Por ello un mismo sistema puede admitir muchos modelos distintos.

Ejemplo: una resistencia elctrica se puede ver como un atenuador de corriente o como un calefactor, o como un objeto decorativo,etc.

Los modelos matemticos pueden ser:

Estticos: Ecuaciones algebraicas

Dinmicos: Ecuaciones diferenciales

MODELOS

ModelosMentalesLingsticosGrficosMatemticosSoftware

ModelosEjemplo: Motor de corriente directa controlado por armadura.

Modelo Esttico:

Modelo Dinmico: Modelos

Construccin de los Modelos Matemticos

Modelos Matemticos

Conceptos Matemticos PreliminaresPropiedades de la Transformada de Laplace.Mtodo Operacional para resolver ecuaciones diferenciales lineales (EDL).La EDL se transforma en una operacin algebraica en funcin de una variable compleja s, se resuelve la f(s) y luego se aplica la transformada inversa de Lapalace.Laplace se puede utilizar en tcnicas de anlisis grfico para predecir el funcionamiento del sistema sin resolver las EDL.Resolviendo las EDL se obtienen componentes de estado transitorio y estacionario en la solucin simultneamente.

Conceptos Matemticos PreliminaresVariables Complejas y Funcin Compleja.

Conceptos Matemticos PreliminaresTeorema de Euler

Conceptos Matemticos PreliminaresTransformada de Laplace

Conceptos Matemticos PreliminaresAplicar Laplace a las funciones: (Ejemplo)

Funcin de TransferenciaPermite caracterizar las relaciones entre la entrada y la salida de componentes o de sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.Def.:La funcin de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relacin entre la transformada de Laplace de salida (funcin respuesta) y la transformada de Laplace de Entrada (funcin excitacin), bajo la suposicin que todas las condiciones iniciales son cero.

Funcin de TransferenciaUtilizando este concepto de funcin de transferencia, se puede representar la dinmica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia ms alta de s en el denominador de la funcin de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.El concepto de funcin de transferencia esta limitado a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.La FT es un mtodo operacional apara expresar la ecuacin diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.La FT es una propiedad de un sistema en s, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o funcin impulsora.

Funcin de TransferenciaLa FT incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida: no obstante, no brinda ninguna informacin con respecto a la estructura fsica del sistema.Si se conoce la FT de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensin de la naturaleza del sistema.Si se Conoce la FT de un sistema, se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema, brindando la descripcin de las caractersticas dinmicas del sistema.

Sistema de Representacin de un Sistema de ControlDiagrama de bloques:G(s)Bloque FuncionalPunto de Suma+-B(s)G(s)R(s)E(s)C(s)H(s)Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo CerradoSealesxy=G(s)*xPunto de Bifurcacin

Funciones de Transferencia del Ejemplo anteriorFuncin de TransferenciaDe Lazo Abierto:Funcin de TransferenciaDirecta:Funcin de TransferenciaDe Lazo Cerrado:Funcin de TransferenciaDe Lazo Cerrado con AmplificacinDe la Seal de Entrada K:

Representacin de un SLC sometido a perturbacinSe pueden considerar las respuestas de las entradas por separado y luego sumarlas.B(s)G1(s)R(s)E(s)C(s)H(s)++N(s)G2(s)Perturbacin

Representacin de un SLC sometido a perturbacin

Procedimientos para trazar un Diagrama de BloquesEscribir las ecuaciones que describen el comportamiento dinmico de cada componente.Tomar las transformadas de Lapace de stas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero. Cada transformada se representa individualmente en forma de Bloque.Se integran los elementos en un Diagrama de Bloques completo.

Conversin de Diagramas de BloquesSuma de Seales:Conexin en Cascada:=Conexin en Paralelo:

Conversin de Diagramas de BloquesRetroalimentacin:=Traslado del Sumador:Traslado del Punto de Salida:

Ejemplo 1: DB de CircuitoRieie0Laplace:C-+

Ejemplo 1: DB Circuito1/REi(s)E(s)I(s)E0(s)(1)1/CsI(s)E0(s)(2)1/REi(s)E(s)I(s)E0(s)(3)1/CsE0(s)

Mtodo del Espacio de EstadosTeora de Control Moderna (1960) Concepto de Estado.Teora de Control Moderna vs. Teora de Control Clsica.Multivariable vs. Una entrada una SalidaDominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas.Estado: Es el conjunto ms pequeo de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0.Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado de un sistema dinmico.

Mtodo del Espacio de EstadosVector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0.Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, Xn,.Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado)SISOMIMO

Mtodo del Espacio de EstadosLas ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado:u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema, y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema, es decir:

Mtodo del Espacio de EstadosEstudiaremos sistemas dinmicos lineales invariantes en el tiempo, de mltiples entradas y mltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponder a las ecuaciones Matriciales: Las Matrices deben serde tamao adecuado:A = Matriz de EstadoB = Matriz de EntradaC = Matriz de SalidaD = Matriz de Transmisin DirectaEcuacin de EstadoEcuacin de Salida

Mtodo del Espacio de EstadosFuncin de TransferenciaDe un Integrador

Ejemplo 1: Sistema Elctrico Circuito RLCAplicando la Leyes de Kirchhoff:

Ejemplo 1: Sistema Elctrico Circuito RLCOrganizando las ecuaciones:En forma matricial:

Ejemplo 1: Sistema Elctrico Circuito RLCSe desea estudiar el comportamiento de Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R:La representacin variable estado del circuito RLC:Las matrices son:

Ejemplo 2:Motor Elctrico Controlado por campoMotor de corriente continua controlado por campo, con corriente de armadura Constante. Mueve una carga J, Coeficiente de friccin viscosa B con velocidadangular w(t).La ecuacin es:

Ejemplo 2:Motor Elctrico Controlado por campoLas Ecuaciones son:Matricialmente:

Ejemplo 2:Motor Elctrico Controlado por campoRepresentacin 1 Espacio Estado: Salida w(t)Representacin 1 Espacio Estado: Variables de estado T(t) y W(t)

Representacin Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales Salida sin derivadasMtodo sencillo para sistemas SISO:El sistema queda unvocamente determinado si se conocen las condicionesIniciales, as:

Representacin Espacio Estado a Partir de Ecuaciones Diferenciales Salida sin derivadasAs, puede escribirse la ED como:Matricialmente:

GlosarioVariable Controlada: Salida del Sistema.Variable Manipulada: Entrada del Sistema.Control: valor medio vs. Valor deseado.Plantas: Objeto fsico a controlarse.Procesos: Operacin a controlar.Sistemas: Perturbaciones: afecta la salida del sistema.Control Retroalimentado: Operacin -> perturbaciones -> Reducir Salida vs Entrada de Referencia

GlosarioSistemas de Control retroalimentado: Mantener relacin entre Salida vs. Entrada de Referencia.Servosistemas o Servomecanismos: SCR ->Salida = Control Mecnico (velocidad o aceleracin).Sistemas de Regulacin Automtica: SCR ->Entrada Ref. o Salida son Constantes Mantener la salida en el valor deseado.Sistemas de Control de Procesos: SRA Salida (Temperatura, Presin, flujo. Ph, etc.) vs. Cronograma establecido.

GlosarioSistemas de Control de Lazo Cerrado (SCR). Variaciones no previsibles.Sistema de Control de Lazo Abierto (Salida no tiene efecto en el control Ej. Lavadora - Calibracin). Sistemas en los que se conoce bien las entradas y salidas sin perturbaciones.SCLA vs. SCLC (Componentes imprecisos, Estabilidad, Costo = f(Potencia)).Sistemas de Control Adaptables (Ajustes en el controlador, Caractersticas dinmicas).Sistemas de Control de Aprendizaje.

*Objetivo de la PresentacinEstas diapositivas no pretenden ser un curso de control. Recoge los elementos bsicos del mismo y se enfoca en su anlisis a travs de ecuaciones de Espacio Estado.*Si la extensin de las variaciones de las variables del sistema no es amplia, el sistema puede linealizarse dentro de un rango relativamente estrecho de valores de las variables. Para sistemas lineales se aplica el principio de superposicin.En aquellos sistemas en los que no es posible aplicar el principio de Superposicin son No Lineales.Los sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, son sistemas de control con parmetros concentrados, al contrario, los sistemas de control con parmetros distribuidos se describen con ecuaciones diferenciales parciales.Un sistema de control es determinstico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible, de lo contrario es estocstico.*****Modelos mentales: son representaciones presentes en nuestro cerebro; tenemos, por ejemplo, una representacin mental de nuestro cuerpo que nos permite controlarlo para caminar, saltar, etc. Modelos lingsticos: son representaciones con palabras; este prrafo, por ejemplo intenta explicar con palabras qu es el sistema denominado modelo lingstico Modelos grficos: en ocasiones empleamos tablas y/o grficas como modelos; los catlogos de productos de ingeniera suelen contener muchos ejemplos de este tipo de modelo. Modelos matemticos: estos modelos son ampliamente usados en reas como la fsica, la ingeniera, la economa, etc.; generalmente se trata de ecuaciones que muestra las relaciones existentes entre las variables que afectan un sistema; Modelos de software: en ocasiones es posible desarrollar programas de computador que representen a sistemas complejos. *Modelamiento de Sistemas: Esta estrategia consiste en descomponer (abstractamente) el sistema en subsistemas ms simples, cuyos modelos sean factibles de obtener gracias a la experiencia previa. Una vez obtenidos estos submodelos, se buscan las relaciones que existen entre ellos, para interconectarlos y obtener el modelo del sistema original. Esta estrategia busca una descripcin desde adentro del sistema, generalmente basada en el conocimiento de las leyes que rigen los sistemas simples. El modelo as obtenido se conoce como Modelo de Caja Blanca

Identificacin de Sistemas: Esta estrategia consiste en acumular un nmero suficiente de observaciones sobre las seales de entrada y salida del sistema, con el propsito de emplearlas para construir un modelo del mismo. No se centra en lo que existe al interior del sistema, sino el su comportamiento respecto al entorno. El modelo asi obtenido se conoce como Modelo de Caja Negra

Estrategia hbrida: Existe una tercera estrategia, que realmente es una combinacin de las anteriores: Al igual que en la estrategia de Modelamiento, se emplea el conocimiento que est a la mano acerca de la estructura interna del sistema y las leyes que rigen su comportamiento, y se emplean observaciones para determinar la informacin que haga falta. El modelo as obtenido se conoce como Modelo de Caja Gris *De acuerdo con lo presentado la figura, en este curso se emplearn modelos matemticos causales, dinmicos, determinsticos, de parmetros concentrados, lineales, invariantes en el tiempo, y de tiempo continuo .

Para un sistema continuo de una nica entrada y una nica salida, el modelo empleado corresponde a una ecuacin diferencial ordinaria de coeficientes constantes: *Las funciones complejas en anlisis de control son univaluadas.La condicin de Cauchy Riemman permite establecer si una funcin compleja G(s) es analitica en una regin dada.La derivada de una funcin analtica se puede obtener, slo con diferenciar G(s) con respecto a s.Los Puntos en el Plano s, dnde:G(s) es analtica se llaman puntos ordinarios.G(s) no es analtica se llaman puntos singulares.G(s) y la derivada de G(s) tiende al infinito se llaman polos mltiples.G(s) es igual a cero se llaman ceros.*Para hallar la transformada inversa no siempre es fcil aplicar la integral. Se utilizan mtodos basados en las tablas de Laplace y divisin en fracciones parciales.La c de la funcin inversa es una constante real llamada abscisa de convergencia la cual es mayor que las partes reales de todos los puntos singulares de F(s).*Diagrama de Bloques: Es una representacin grfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las seales.Bloques funcionales: Es un smbolo de la operacin matemtica que el bloque produce a la salida, sobre la seal que tiene a la entrada. Los bloques tienen las funciones de transferencia. La flechas indican el flujo de las seales.Magnitud de Salida: Es la seal de entrada al bloque, multiplicada por la magnitud de la funcin de transferencia en el bloque.Ventajas de la Representacin por Diagramas de Bloques: Es fcil tomar el DB general de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de acuerdo con el flujo de seales y en que es posible evaluar la contribucin de cada componente al comportamiento general de todo el sistema.Un DB representa el componente dinmico de un sistema, mas no su componente fsico.Punto de Suma: Si hay un + la seal debe sumarse, si hay un la seal debe restarse. Estas cantidades deben tener las mismas dimensiones y unidades.Punto de Bifurcacin: Es un punto desde el cual la seal desde un bloque va concurrentemente a otros bloques o puntos de suma.*Funcin de Transferencia de Lazo Abierto: Relacin entre la seal de retroalimentacin y la seal de error.Funcin de Transferencia Directa: Relacin entre la Salida y la Seal de Error.Funcin de Transferencia de Lazo Cerrado: Relacin entre la Salida y la Entrada del sistema. La salida del sistema depende de la funcin de transferencia y de la naturaleza de la entrada del sistema.*1)Cualquier sistema de lazo cerrado con retroalimentacin unitario H(s) = 1, tiende a igualar la entrada con la salida.*Reduccin de Diagramas de BloquesLos bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes es necesario combinar estos bloques en un bloque individual.Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no producen efecto de carga se pueden representar como un bloque individual, siendo la funcin de transferencia en este bloque simplemente el producto de la funciones de transferencia individuales.Es posible simplificar un diagrama de bloque muy complejo, con muchos lazos de retroalimentacin, modificando paso a paso, utilizando las reglas del lgebra de bloques.*1)La variable controlada es la cantidad o condicin que se mide y controla.

2)La variable Manipulada es la cantidad o condicin modificada por el controlador, a fin de afectar la variable controlada.

3) El control significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar al sistema la variable manipulada para corregir o limitar la desviacin del valor medio, respecto al valor deseado.

4) Una perturbacin es una seal que tiene a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Puede ser generada dentro del sistema (interna) o puede ser por fuera del sistema (externa).

5) La entrada de Referencia es utilizada para compararla con la salida y con base en la diferencia el controlador decide cmo modificar la variable manipulada.*1) Los SCR no se limitan a la ingeniera, sino tambin en sistemas biolgicos, financieros, etc. Estos sistemas pueden o no tener como parte del controlador un humano.

*En los Sistemas de Control de Lazo Cerrado SCLC, el uso de la retroalimentacin hace que la respuesta del sistema sea relativamente insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de parmetros del sistema.La estabilidad en los Sistemas de Control de lazo Abierto SCLA es ms facil de lograr, ya que en l la estabilidad no es un problema importante. En los SCLC si es un problema por la tendencia a sobrecorregir errores que pueden producir oscilaciones de amplitud constante o variable.La potencia de la salida determina el tamao, peso y costo de un sistema de control.