Clase 1: Espacios muestrales y eventos. Axiomas deprobabilidad. Interpretaci on y propiedades de la medida deprobabilidadLina Mara Acosta Avena*ASESORIAS: LUNES DE 4:00 pm - 6:00 pm. VIERNES DE9:00 am - 11:00 am, B43-103Escuela de EstadsticaUniversidad Nacional de Colombia, Sede Medellinlimacostaav@unal.edu.co*Estudiante de la Maestra en Ciencias EstadsticaEstadstica I.1EVALUACI ONTodas los parciales y trabajos ser an en el horario de clases con una duraci onde 50 minutos y 80 minutos, respectivamente (tener a la mano el da del tra-bajo la orden de impresi on).Las evaluaciones ser an en la sala de sistemas del segundo piso del BLOQUE21.Parcial I (10%). Septiembre 3 y 4.TrabajoI (10%).Septiembre10y11.SobreEstadsticaDescriptivaconel paquete SAS. Leer el documento sobre la inducci on alSAS (MOODLE).Parcial II (15%) . Octubre 1 y 2.Parcial III (15%). Octubre 15 y 16.Estadstica I.2EVALUACI ONParcial IV (15%). Octubre 31 y Noviembre 1.TrabajoII (15%).Noviembre19y20. Sobre Pruebas de hip otesis (en elpaquete SAS).Parcial V (20%). Noviembre 21 y 22.Estadstica I.3SUPLETORIOSLos supletorios ser an la sala de sistemas del segundo piso del BLOQUE 21 alas 12:00 mSupletorio Parcial I. Lunes 9 de septiembre.Supletorio Parcial II. Lunes 7 de octubre.Supletorio Parcial III. Lunes 21 de octubreSupletorio Parcial IV. Miercoles 6 de noviembreSupletorio Parcial V. Lunes 25 de noviembre.Estadstica I.4DEFINICIONESExperimento: Se entiende como cualquier procedimiento que genera datoso informaci on. En otras palabras, un experimento es cualquier proceso queproduce un resultado.Experimento aleatorio: Es aquel que proporciona diferentes resultados,a un cuando este es repetido bajo las misma condiciones experimentales.En los experimentos aleatorios no se sabe de antemano su resultado pero sise conocen los posibles resultados.Estadstica I.5DEFINICIONESEjemplosSeleccionar una o varias cartas de un mazo.Obtener tipos de sangre de un individuo.Lanzar al aire una moneda una o varias veces.Estadstica I.6DEFINICIONESEspacio muestral: El espacio muestral de un experimento aleatorio, de-notado por S, es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experi-mento.EjemplosLanzar una moneda S ={cara, sello} o S ={C, S}Lanzar dos monedas S ={CC, CS, SC, SS}Estadstica I.7DEFINICIONESEstadstica I.8DEFINICIONESEn un diagrama de arbol, cada rama corresponde a un elemento del espaciomuestral.Lanzar tres monedas S ={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}Estadstica I.9DEFINICIONESEstadstica I.10DEFINICIONESLanzar un dado c ubico S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}Lanzar dos dados c ubicos1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)Estadstica I.11DEFINICIONESSelecionarunbombillodelaproducci ondiariaysedeterminasudu-raci on. S = [0, )Seleccionar un n umero del conjunto de los reales. S = (, )De manera que el conjunto de todos los posibles resultados puede ser nito oinnito (numerable o no numerable).Estadstica I.12DEFINICIONESEvento:Uneventodel espaciomuestral esungrupoderesultadoscon-tenidos en este cuyos miembros tienen una caracterstica en com un (se puedenvercomolainformaci onasociadaaunapreguntadeinvestigaci on).Usual-mente se denotan con letras may usculas.Elevento que contiene a ning un resultado delespacio muestralse le llamaEvento vaco o nulo, denotado con la letra griega .Estadstica I.13DEFINICIONESEjemplosSe lanza un dado corriente dos veces consecutivas, sean los eventosA: la suma de los resultados obtenidos es menor que7B: El segundo resultado es un n umero primose tiene queA ={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1),(3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}B={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3),(3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 5)}Estadstica I.14DEFINICIONESDe la producci on diaria de una empresa se seleccionan aleatoriamentetres artculos y se catalogan como defectuosos (D) o no defectuosos (N).Sea A el evento que denota que hay exactamente dos defectuosos.Determinar los elementos de A.Estadstica I.15DEFINICIONESEstadstica I.16DEFINICIONESAl denir el espacio muestral como un conjunto, todas las operaciones b asicasde la teora de conjuntos es aplicable a los eventos. As podemos hablar deuni on, intersecci on, complemento y contenencia.Estadstica I.17OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSSean A y B dos eventos del espacio muestral S.Uni on: Es el evento formado por todos los posibles resultados en A o B o enambos. Se denota por AB.Intersecci on: Es el evento formado por todos los resultados comunes tantoen A como en B. Se denota por AB.Estadstica I.18OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSEstadstica I.19OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSComplemento: El complemento de un evento A con respecto a el espaciomuestral S, es quel que contiene a todos los resultados de S que no se en-cuentran en A. Se denota por A

.Contenecia:Si cualquierresultadodeBtambi enesunresultadodeA,se dice que el evento B est a contenido en A. Se denota por B A.Estadstica I.20OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSEstadstica I.21OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSEventos excluyentes (disjuntos): Se dice que los eventos A y B sonexcuyentes o disjuntos si no tienen resultados en com un, esto es AB =.En general si A1, A2, . . . , An son eventos de S, se dice que son mutuamenteexcluyentes si AiAj = para i = j, i, j = 1, 2, . . . , n.Estadstica I.22OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSEstadstica I.23PROBABILIDADDenici on: La probabilidad es un n umero real que mide la posibilidad deque ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se llevea cabo. Por lo tanto, la probabilidad de un evento tambi en es un n umero realque mide la posibilidad colectiva de ocurrencia, de los resultados del eventocuando se lleve a efecto el experimento.La probabilidad se calcula como el n umero de casos favorables sobre el total.Estadstica I.24PROBABILIDADFunci ondeprobabilidad:Sea Scualquierespaciomuestral ysea Acualquier evento de este, se llamar a funci on de probabilidad sobre el espaciomuestral S a P(A) si satisface los siguientes axiomas:1. P(A) 02. P(S) = 13. Si para los eventos A1, A2, A3, . . . AiAj = para todo i = j se tieneP(A1A2. . .) = P(A1) +P(A2) +. . . =i=1P(Ai)Estadstica I.25PROBABILIDADTEOREMA: Sean A, ByC eventos del espacio muestral S.1. 0 P(A) 1Dm: A S =P() P(A) P(S) =0 P(A) 12. P(A

) = 1P(A)Dm:S = A

A =P(S) = P(A

A) = P(A

) +P(A)=1 = P(A

A) = P(A

) +P(A) =P(A

) = 1P(A)Estadstica I.26PROBABILIDAD3. Si A B entonces P(A) P(B)Dm: Como A B entoncesB = A(BA) =P(B) = P(A) +P(BA) P(A)=P(B) P(A)4. P(AB) = P(A) +P(B) P(AB)Dm:AB = A(A

B) =P(AB) = P(A) +P(B) P(AB)Estadstica I.27PROBABILIDAD5. P() = 0Dm:P() = 1P(

) = 1P(S) = 11 = 06. P(A

B

) = P((AB)

) = 1P(AB) por Leyes de De Morgan7. P(ABC) = P(A) +P(B) +P(C) P(AB) P(AC) P(BC) +P(ABC)8. P(A

B) = P(B) P(AB)Estadstica I.28EJEMPLOS1. Un total del 35% de los estudiantes de la universidad Nacional de Colom-biaest aninscritosenuncursodeingl es,el 7 %est aninscritosenuncurso de alem an y el 2% estan inscritos en cursos de ingl es y alem an(a) qu e porcentaje de estudiantes est an inscritos en cursos de ingl espero no de alem an?(b) qu e porcentaje de estudiantes no est an inscritos en ingl es ni alem an?Estadstica I.29EJEMPLOSSoluci on:Sean los eventosA : Estudiantes inscritos en el curso de alem anI : Estudiantes inscritos en el curso de ingl esSe tiene que P(I) = 0,35 P(A) = 0,07 P(AI) = 0,02(a) Est an preguntando por P(I A

) =?gr acamente se puede ver que I = (AI) (I A

)=P(I) = P(AI) +P(I A

)=P(I A

) = P(I) P(AI) = 0,350,02(b) Est an preguntando por P(I

A

) =?Estadstica I.30EJEMPLOSP(I

A

) = P((I A)

) por teorema parte6 (leyes de De Morgan)= 1P(I A) por teorema parte2= 1[P(I) +P(A) P(I A)] por teorema parte4= 1[0,35+0,070,02]= 0,6Estadstica I.31EJEMPLOSEstadstica I.32EJEMPLOS2. La siguiente tabla presenta la historia de 940 productos de un procesode fabricaci on de semi - conductores. Se elige al azar un producto. SeaA el evento en que el producto tenga altos niveles de contaminaci on y Bel evento en que el producto pas o por un proceso de revisi on electr onica.Contaminaci on alta Revis on electr onicaNo Si TotalNo 514 68 582Si 112 246 358Total 626 314 940Estadstica I.33EJEMPLOSCalcule la probabilidad de que el producto(a) tenga altos niveles de contaminaci on.(b) pase por un proceso de revisi on electr onica.(c) tenga altos nieveles de contaminaci on y pase por un proceso de revisi onelectr onica.(d) tenga altos nieveles de contaminaci on y no pase por un proceso de re-visi on electr onica.Estadstica I.34EJEMPLOSSoluci on(a) P(A) = 358940 = 0,3809(b) P(B) = 314940 = 0,3340(c) P(AB) = 246940 = 0,2617(d) P(AB

) = P(A) P(AB) = 358940246940 = 112940 = 0,1191Estadstica I.35EJEMPLOS3. Sean A y B eventos tales que P(AB) = 0,7 y P(B) = 0,2. DeterminarP(A) de tal forma que los eventos A y B sean mutuamente excluyentes.Sln:Si asuminos que A y B son mutuamentes excluyentes, se tiene queP(AB) = P(A) +P(B) =0,7 = P(A) +0,2 =P(A) = 0,54. Suponga que A, B y C son eventos tales que P(A) = P(B) = P(C) = 0,3,P(AB) = P(CB) = 0,1 y P(AC) = 0. Cu al es la probabilidad deque almenos uno de los eventos ocurra?Estadstica I.36EJEMPLOSSln:Como AC = =ABC = =P(ABC) = 0luegoP(ABC) = P(A) +P(B) +P(C) P(AB) P(AC) P(CB) +P(ABC)= 0,3+0,3+0,30,100,10= 0,75. Los eventos A, B, y C son tales que A B C y P(A) = 14, P(B) = 12yP(C) = 34. Calcule la probabilidad de P(A

B

C)Estadstica I.37EJEMPLOSSln:P(A

B

C) = P((A

B

) C)= P((AB)

C) por leyes de De Morgan= P(C) P(C(AB)) por teorema parte 8= P(C) P(AB)= P(C) P(B)= 3412= 14Estadstica I.38EJEMPLOS6. Sean A y B dos eventos, con P(A) = 12 y P(B

) = 14. Pueden ser A y Bmutuamente excluyentes?.Sln: Supongamos que A y B son mutuamente excluyentes, entoncesP(AB) = P(A) +P(B)ahora P(AB) = 12 + 34 = 54> 1Note que al asumir que los eventos son mutuamente excluyentes nos conducea una probabilidad mayor que 1, por lo tanto A y B no pueden ser eventosmutuamente excluyentes.Estadstica I.39