Simn LamarCelso Fortoul PadrnANLISIS ESTTICO DE ESTRUCTURASFormulacin MatricialElCentroparalaInnovacin,elDesarrolloTecnolgicoydelConocimientoen Ingeniera(CENTROCITECI)esunaorganizacincreadaafinalesde2006,enfuncinde incentivarprocesosdegeneracinyaprovechamientosocialdelconocimiento,deinnovacinydesarrollo tecnolgico en el pas. Orientadaporcriteriosderesponsabilidadsocial,CITECIesunainiciativaquebusca responder a las demandas del sector productivo venezolano, en funcin de apoyar su crecimiento ycompetitividadatravsdeestrategiasyprogramasqueapuntan,almismotiempo,al fortalecimientoyaprovechamientodeltalentohumanoydelascapacidadesnacionalesen cienciaytecnologa,yalavinculacindelsectorempresarialconlossectorespblicos, acadmicos y de investigacin, as como con las comunidades y la sociedad en general, de cara a los problemas prioritarios del pas, y con el findecontribuir con la mejora de la calidad de vida de la poblacin, y con el desarrollo social y econmico de la nacin. El CENTRO CITECIinici sus actividades con los aportes deun grupo de empresas del pas,segnlosrequerimientosdelaLeyOrgnicadeCiencia,TecnologaeInnovacin promulgada en 2005, y de acuerdo con lo estipulado por el reglamento de la misma ley. A travs deCITECI, el sectorempresarialcontribuye efectivamente conel desarrollo de la ciencia y la tecnologa en el pas. Dentrodesusprogramasdeaccin,yenconsonanciaconestosobjetivos,CITECI presentapublicacionesdestinadasaapoyarlageneracin,difusinydivulgacindel conocimiento en el pas, con miras a su apropiacin social EdicionesCITECIincluyetrescolecciones:Conocimientoeinvestigacin compuesta por obras de alto nivel cientfico y tcnico, librosdestinados a valorar y difundir la generacin delinvestigacinefectuadasenelpas,yaapoyarlaformacindeltalentohumano, especialmenteencursos de pregrado y postgrado; Conocimiento y desarrollo,conmonografas yestudiosorientadosacontribuirconpresentarpropuestas,herramientasmetodlogicas, diferentespuntosdevistaparaelanlisisyladiscusindetemasdeactualidadmundialyde problemasprioritariosdelpasendiversossectoresdeinters;ylacoleccinConocimientoy aplicacinconpublicacionesdealtoimpactosocial,enespecial,cartillasdedivulgacin destinadasaladifusindelconocimientoparasupopularizacinyaplicacinmasiva, primordialmenteconcebidasparaqueunagranpartedelapoblacinpuedateneraccesoal conocimientoyutilizarlodemaneraprcticaenlasolucindealgunosdesusproblemas especficos. NALISIS ESTTICO DE ESTRUCTURASFormulacin MatricialAUTORESSimn LamarCelso Fortoul PadrnEDITORESMarianela LafuenteCarlos GenatiosCoordinacin EditorialCorporacin RCKF1974DiseoMara Luisa ContrerasImpresin y encuadernacinFanarteC.A.Depsito legal: if25220076101815ISBN: 978-980-7081-00-9 Centro CITECIwww.citeci.comwww.ghella.comcontactos@citeci.comTodos los derechos reservados.Ningn prafo o imagen contenidos en esta edicion puede ser reproducidos, almacenados, o transmitidos total o parcialmente por medio alguno, sin la autorizacin expresa del Centro CITECI.Con la Colaboracin de Ghella Sogene C.A. y Ghella SpANALISIS ESTTICO DE ESTRUCTURASFormulacin MatricialSe termin de imprimir en el mes de mayode 2007,en Caracas, con el cuidado de Fanarte C.A.El tiraje consta de 1.000 ejemplares SIMN LAMAR Y CELSO FORTOUL PADRN Los Profesores Simn Lamar y Celso Fortoul Padrn han dedicado, cada uno, ms de 50 aosaladocenciadelAnlisisEstructuralenlaUniversidadCentraldeVenezuelayla Universidad Simn Bolvar; ahora usan su experiencia para producir esta obra, en donde tanto el estudiantecomoelingenieroestructuralenejercicioencontrarnunavaliosaynovedosa exposicin de la teora del anlisis esttico de estructuras en su formulacin matricial. ElProfesorLamarobtuvosuttulodeIngenieroCivilenlaUniversidadCentralde Venezuelaen1953;elMasterofScienceenlaUniversityofMichigan,y,elDoctoradoen StanfordUniversity,ambasenlosEstadosUnidos.EsIndividuodeNmerodelaAcademia Nacional de la Ingeniera y elHbitat y en 2007 recibi el ttulo deDoctorHonorisCausa de la Universidad Central de Venezuela. El Profesor Fortoul Padrnobtuvo su ttulo de Ingeniero Civil en la Universidad Central de Venezuela en 1948. Recibi en 1995 el Premio Simn Bolvar de la Asociacin de Profesores delaUniversidadSimnBolvar,y,en2004elPremioFranciscodeVenanzidelaUniversidad Central de Venezuela.

NDICE DE MATERIAS Prlogo xi Notacin Principalxiii I. SISTEMAS ESTRUCTURALES PLANOS1 1. Nociones de Mecnica Analtica3 1.1Coordenadas Generalizadas3 1.2Sistemas Discretos y Continuos4 1.3Sistemas Discretos. Condiciones de Vnculo 4 1.4Desplazamientos Virtuales. Grados de Libertad7 1.5Cargas Generalizadas7 1.6Sistemas Lineales8 1.7Un Caso de Geometra no Lineal9 1.8Caso de Geometra Lineal. Superposicin de Desplazamientos y Fuerzas11 1.9Identificacin de Coordenadas14 1.10Comentario Final22 Bibliografa Recomendada22 Problemas22 2. Discretizacin de Estructuras 27 2.1Sistema Estructural27 2.2Discretizacin de Estructuras28 2.3Comentario Final36 Problemas36 3. Teora de Barras Rectilneas37 3.1Solicitacin Longitudinal37 3.2Solicitacin Transversal. Teora de Timoshenko38 3.3Solicitacin Transversal. Teora de Euler-Bernouilli40 3.4Efecto no Lineal de la Fuerza Longitudinal41 3.5Torsin42 3.5.1Torsin de Barras de Paredes Delgadas de Seccin Transversal Abierta44 Bibliografa Recomendada46 Problemas46 4. Trabajo y Energa de Deformacin47 4.1Trabajo y Trabajo Complementario47 4.2Energa de Deformacin y Energa de Deformacin Complementaria 48 4.3Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamientos Virtuales50 4.3.1Formulacin para un Elemento50 4.3.2Formulacin para una Estructura52 4.4Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales 56 vi NDICE DE MATERIAS 4.4.1Formulacin para un Elemento56 4.4.2Formulacin para una Estructura57 4.5Teoremas de Castigliano59 4.6Caso de Comportamiento Lineal60 4.6.1Energa de Deformacin60 4.6.2Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamiento Virtuales61 4.6.3Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales61 4.6.4Ley de Clapeyron64 4.6.5Ley de Betti64 4.7Comentario Final65 Bibliografa Recomendada65 Problemas66 5. Elemento Rectilneo67 5.1Coordenadas Estticas y Geomtricas67 5.2Funciones de Forma Asociadas a las Coordenadas Estticas69 5.2.1Elemento de Seccin Constante72 5.3Matriz de Flexibilidad75 5.3.1Elemento de Seccin Constante76 5.4Matriz de Flexibilidad por el Principio de las Fuerzas Virtuales82 5.5Matriz de Rigidez87 5.5.1Elemento de Seccin Constante88 5.6Funciones de Forma Asociadas a las Coordenadas Geomtricas89 5.6.1Elemento de Seccin Constante90 5.7Elemento con Restricciones a su Deformacin92 5.8Elemento Longitudinalmente Rgido95 5.8.1Elemento de Seccin Constante97 5.9Elemento Transversalmente Rgido97 5.9.1Elemento de Seccin Constante98 5.10Elemento Rgido99 5.11Interpretacin de las Funciones de Forma como Lneas de Influencia99 5.12Comentario Final102 Bibliografa Recomendada102 Problemas103 6. Matrices de Compatibilidad y Equilibrio105 6.1Coordenadas y Matrices de Rigidez y Flexibilidad de los Elementos sin Ensamblar105 6.2Matrices A, B y C107 6.3Determinacin e Indeterminacin Esttica. Determinacin e Indeterminacin Cinemtica108 6.4Estructuras con Juntas Complejas124 6.5Elementos no Unidos Rgidamente a las Juntas126 6.6Carga Externa Correspondiente a Carga Generalizada Nula 129 Bibliografa Recomendada132 Problemas132 7. Matrices de Rigidez y Flexibilidad de Estructuras 135 7.1Principio del Trabajo Virtual o de los Desplazamientos Virtuales135 7.2Principio del Trabajo Complementario Virtual o de las Fuerzas Virtuales 137 7.3Compatibilidad en Trminos de la Matriz de Equilibrio 138 7.4Equilibrio en Trminos de la Matriz de Compatibilidad138 7.5Relacin entre las Fuerzas R y la Carga Generalizada Q139 7.6Matriz de Flexibilidad en Trminos de B y f140 7.6.1Particionamiento de la Matriz B141 7.7Matriz de Rigidez en Trminos de A y k142 7.8Energa de Deformacin en Trminos de K y F143 NDICE DE MATERIAS vii 7.9Comentario Final144 Bibliografa Recomendada145 Problemas145 8. Transformacin de Coordenadas 149 8.1Transformacin en Elementos149 8.1.1Transformacin Esttica150 8.1.2Transformacin Geomtrica154 8.2Transformacin en Estructuras160 8.2.1Transformacin Esttica161 8.2.2Transformacin Geomtrica163 8.3Condiciones de Vnculo a Posteriori 165 Bibliografa Recomendada167 Problemas168 9. Condensacin de Coordenadas171 9.1Condensacin Esttica en Estructuras172 9.1.1Condensacin Esttica de la Matriz de Rigidez172 9.1.2Condensacin Esttica de la Matriz de Flexibilidad179 9.2Condensacin Geomtrica en Estructuras185 9.2.1Condensacin Geomtrica de la Matriz de Flexibilidad185 9.2.2Condensacin Geomtrica de la Matriz de Rigidez191 9.3Condensacin en Elementos193 9.4Comentario Final200 Bibliografa Recomendada200 Problemas201 10. Ensamblaje Directo de la Matriz de Rigidez205 10.1Particionamiento de A(i) por Columnas205 10.2Inclusin de Desplazamiento como Cuerpo Rgido en las Coordenadas de Elementos209 10.3Ensamblaje Directo de K217 10.4Caso de Rodillo Inclinado224 10.5Caso de Cerchas228 10.6Ancho de Banda de la Matriz de Rigidez231 10.7Algoritmo de Cuthill-McKee232 10.8Elementos con Restriccin a su Deformacin234 Bibliografa Recomendada239 Problemas239 11. El Problema Fundamental del Anlisis Estructural. Mtodos de Clculo243 11.1El Problema Fundamental243 11.2Mtodos de Anlisis Estructural245 11.2.1Mtodo de las Fuerzas245 11.2.2Mtodo de los Desplazamientos246 11.3Comentario Final248 Bibliografa Recomendada248 Problemas249 12. Mtodo de los Desplazamientos251 12.1Solucin del Problema Fundamental251 12.1.1Sistemas Cinemticamente Determinados. Procedimiento Bsico de Clculo251 12.1.2Sistemas Cinemticamente Determinados. Procedimientos Alternos de Clculo261 12.1.3Sistemas Cinemticamente Indeterminados265 12.1.4Sistemas Cinemticamente Indeterminados. CargaX no Nula 270 12.2Caso de Fuerzas en los Elementos278 viii NDICE DE MATERIAS 12.2.1Determinacin de las Fuerzas de Empotramiento279 12.3Comentario Final297 Bibliografa Recomendada300 Problemas301 13. Mtodo de las Fuerzas305 13.1Solucin del Problema Fundamental305 13.1.1Estructuras Isostticas. Procedimiento Bsico de Clculo 306 13.1.2Estructuras Isostticas. Procedimiento Alterno de Clculo310 13.1.3Estructuras Estticamente Indeterminadas313 13.2Caso de Fuerzas en los Elementos326 13.3Cambio de Redundantes337 13.4Comentario Final346 Bibliografa Recomendada346 Problemas346 14. Asentamiento de Apoyos349 14.1Aplicacin del Mtodo de los Desplazamientos349 14.1.1Solucin en una sola Etapa de Clculo367 14.2Aplicacin del Mtodo de las Fuerzas369 Bibliografa Recomendada375 Problemas376 15. Cambios de Temperatura y Errores de Fabricacin y Montaje 379 15.1Relaciones Termoelsticas379 15.2Aplicacin del Mtodo de los Desplazamientos384 15.3Aplicacin del Mtodo de las Fuerzas390 15.4Errores de Fabricacin394 15.5Errores de Montaje396 Bibliografa Recomendada397 Problemas398 16. Efecto no Lineal de la Fuerza Longitudinal 401 16.1Caso de Fuerza Axial de Compresin401 16.2Caso de Fuerza Axial de Traccin407 16.3Anlisis por el Mtodo de los Desplazamientos408 Bibliografa Recomendada413 Problemas414 17. Determinacin Aproximada de la Matriz de Rigidez de Elementos417 17.1Fuerza Axial y Momento en Trminos de las Funciones de Forma 417 17.2Matriz de Rigidez en Funcin de D y E418 17.3Efecto no Lineal de la Fuerza Axial. Matriz de Rigidez Geomtrica423 Comentario Final429 Bibliografa Recomendada429 Problemas430 18. Elementos Curvos431 18.1Matrices de Flexibilidad y Rigidez431 Bibliografa Recomendada441 Problemas442 19. Subestructuras 445 19.1Elementos Complejos446 19.2Anlisis por Subestructuras453 19.2.1Anlisis por el Mtodo de los Desplazamientos454 19.2.2Anlisis por el Mtodo de las Fuerzas 469 Bibliografa Recomendada482 Problemas483 NDICE DE MATERIAS ix II. SISTEMAS ESTRUCTURALES EN EL ESPACIO485 20. Elemento Rectilneo en el Espacio487 20.1Matrices de Flexibilidad y Rigidez487 20.2Elemento de Seccin Constante490 20.3Matriz de Rigidez en Coordenadas Globales495 20.3.1Determinacin de la Matriz de Rotacin497 20.4Matriz de Flexibilidad en Coordenadas Globales502 20.5Casos Particulares de Solicitacin del Elemento502 20.5.1Elemento de Rejilla 503 20.5.2Elemento de Cercha506 Bibliografa Recomendada508 Problemas508 21. Anlisis de Estructuras Espaciales511 21.1Caso General de Anlisis Tridimensional511 21.2Anlisis de Rejillas527 21.3Anlisis de Cerchas546 Bibliografa Recomendada555 Problemas555 22. Estructuras de Edificios Solicitadas por Fuerzas Horizontales561 22.1Planteamiento del Problema 562 22.2Planteamiento en Ausencia de Dinteles562 22.2.1Contribucin de los Prt icos563 22.2.2Contribucin de los Muros565 22.3Muros Acoplados por Dinteles585 22.3.1Matriz de Rigidez de Muros Acoplados por Dinteles586 22.4Comentario Final604 Bibliografa Recomendada605 Problemas605 III. ELEMENTOS FINITOS609 23. Introduccin al Mtodo del Elemento Finito611 23.1Ecuaciones de la Teora de Elasticidad612 23.2Principio del Trabajo Virtual615 23.3Anlisis por Elementos Finitos616 23.4Matriz de Rigidez de un Elemento617 23.5Transformacin de Direcciones Locales a Globales623 23.6Comentario Final629 Bibliografa Recomendada630 Problemas631 IV. APNDICES 633 1. lgebra de Matrices635 Definicin de Matriz635 Diversos Tipos de Matrices635 Matrices Particionadas636 Operaciones Matriciales636 Resolucin de un Sistema de Ecuaciones639 Formas Cuadrticas639 Bibliografa Recomendada640 x NDICE DE MATERIAS 2. Integracin Numrica641 Frmula de los Trapecios642 Frmula de Simpson642 Frmulas de Newton-Cotes642 Frmula de Gauss-Legendre642 Bibliografa Recomendada644 3. Clculo Numrico de Fuerzas de Seccin y Elsticas645 Fuerza Longitudinal645 Fuerza de Corte y Momento646 Elstica Longitudinal648 Elstica Transversal648 Resultados Numricos648 Bibliografa Recomendada649 4. Geometra de Deformacin de una Barra Rectilnea651 Barras Flexibles651 Barras con Restriccin a su Deformacin653 5. Fuerzas de Empotramiento en Elementos Rectilneos de Seccin Constante 655 Solicitacin Transversal655 Solicitacin Longitudinal656 Solicitacin Torsional657 6. Deformacin en Elementos Rectilneos Isostticamente Apoyados659 Solicitacin Transversal659 Solicitacin Longitudinal660 Solicitacin Torsional661 ndice Alfabtico 663

PRLOGO Lapresenteobrarecogelaexperienciaquehantenidolosautoresenlaenseanzadelateora lineal de estructuras de barras, en su formulacin matricial, en la Universidad Central de Venezuela y la UniversidadSimnBolvar,ambasenCaracas;estdirigidatantoalajuventudestudiosacomoalos ingenieros estructuralesen ejercicio de su profesin; el desarrollo de la obra supone que el lector posee conocimientoselementalesdeesttica,resistenciadematerialesymatemticassimilaresalos impartidos en cursos universitarios de pregrado de Ingeniera. El libro est dividido en cuatro partes; las Partes I y II estudian el anlisis de estructuras planas y tridimensionales, respectivamente, por el mtodo de los desplazamientos y el de las fuerzas; las Partes III y IV son una breve introduccin al mtodo de elementos finitos y seis apndices, respectivamente; stos ltimosversansobretemascuyoconocimientoesimprescindibleparalacabalcomprensindelas primeras tres partes, las cuales constan, en conjunto, de 23 captulos. Los primeros 13 captulos versan sobre el anlisis de estructuras planas de elementos rectilneos solicitadasporcargasexternas,y,constituyenlapartefundamentaldellibro;losprincipiosestudiados son universales y aplicables, por lo tanto, a todo tipo de estructuras, incluyendo las tridimensionales; no debe omitirse la lectura de ninguno de ellos por el lector interesado en el tema. Los captulos 14 y 15 son extensiones del anlisis a solicitaciones producidas por cambios de temperatura, asentamiento de apoyos yerroresdefabricacinomontaje.Elcaptulo16trataelefectonolinealdelafuerzaaxialenla solicitacintransversaldelelementorectilneo,elcualpuedeserinteresanteparaalgunoslectores.El captulo 18 estudia el elemento plano de directriz curvilnea y es, por lo tanto, una extensin del anlisis aestructurasquepresentanestetipodeelementos.Elcaptulo19trataeltemadelanlisisusandoel concepto de subestructuras; este captulo demanda mayor esfuerzo del lector para su total comprensin. Los captulos 20 y 21 comprenden el anlisis de estructuras tridimensionales; son slo una extensin de loestudiadoparalasestructurasplanasynopresentan,porlotanto,ningnprincipiofundamental adicional a los estudiados previamente. El captulo 22 trata un problema particular de mucho inters para el ingeniero estructural como es el anlisis de estructuras de edificios sometidas a fuerzas horizontales; es talvezeldemsdifcillecturaporlacomplejidaddelproblema.Loscaptulos17y23presentan procedimientosaproximadosdeanlisis;el17tratasobreladeterminacindelamatrizderigidezde elementos rectilneos, y, el 23 es una introduccin muy corta del mtodo del elemento finito aplicado a la solucindeproblemasplanosdeteoradeelasticidad;elusoreiteradodeambosprocedimientosenla solucin de un problema determinado conduce a un mtodo adaptativo para mantener el error por debajo de un lmite previamente establecido. Alolargodeldesarrollodelaobrahay144ejerciciosilustrativosresueltos,lamayoradelos cualesmerecenqueellectorlossigacuidadosamenteyaquemuchosdeellospresentanconceptosy xii PRLOGO consideraciones adicionales que no aparecen en otra parte del texto; por ello los ejemplos ilustrativos son parte integral del libro, que sin los mismos pecara de incompleto. Al final de cada captulo se proponen unaseriedeproblemasparaqueellectorinteresadolosresuelvaypuedamedirsugradode aprovechamiento;paralasolucindelosmismosesrecomendableusaralgnsistemadeclculoque facilitelasoperacionesdelgebramatricialconelcomputadorcomosonMathematica,Mathcad, Maple, Matlab, etc.. Elautorprincipalescribilaversinoriginaldelaobra,lacualfuerevisadaporelsegundo, quienhizosugerenciasdemodificacinyalgunasadicionesquealserincorporadasalaversinfinal mejoraron sustancialmente la presentacin. Laformulacinmatricialdelanlisisestructural,despusdelostrabajospionerosdeArgyrisy Kelsey en la dcada de los 1950, est hoy en da bien establecida; por ello no se hace referencia explcita alasfuentesoriginariasdelaformulacinactual;alfinaldecadacaptuloserecomiendaunacorta bibliografadondeelinteresadopuedeencontrarestudiosmsdetalladosyotrosenfoquesaltema estudiado en el correspondiente captulo. Algunos de los conceptos y consideraciones que aparecen en el texto son originales del autor principal y no han sido previamente publicados.

NOTACIN PRINCIPAL Amatriz de conectividad A(i)submatriz de A correspondiente al elemento i A(i)submatriz A(i) al eliminar sus columnas nulas A, Irea y momento de inercia coeficiente de dilatacin trmica; ngulo Bmatriz de equilibrio B(i)submatriz de B correspondiente al elemento i Cmatriz de compatibilidad entre r y q CE(i)cdigo de ensamblaje del elemento i E, G, mdulos de elasticidad longitudinal, transversal y coeficiente de Poisson p, Pdeformacin virtual, fuerza virtual q, Qdesplazamiento virtual, carga virtual r, Rdesplazamiento virtual, carga virtual W, Wctrabajo virtual, trabajo virtual complementario f matriz de flexibilidad de elemento Fmatriz de flexibilidad de estructura i (x)funciones de forma asociadas a las coordenadas geomtricas i (x)funciones de forma asociadas a las coordenadasestticasJ, constantes de rigidez a la torsin de Saint-Vnant y a la torsin por flexin kmatriz de rigidez de elemento Kmatriz de rigidez de estructura N(x), V(x), M(x)fuerzas de seccin, (longitudinal, transversal y momento) p, p(i)coordenadas geomtricas de un elemento P, P(i)coordenadas estticas de un elemento P-psistema de coordenadas de un elemento o del conjunto de elementos qcoordenadas geomtricas de una estructura, coordenadas generalizadas Qcoordenadas es tticas de una estructura, carga generalizada Q-qsistema de coordenadas de una estructura rcoordenadas geomtricas de las juntas de una estructura Rcoordenadas estticas de las juntas de una estructura; matriz de rotacin R-rsistema de coordenadas de las junta de una estructura , componentes de tensin longitudinal y transversal Tcambio de temperatura Tmatriz de transformacin U, Ucenerga de deformacin, energa de deformacin complementaria x, y, zdirecciones o ejes locales de elemento X, Y, Zdirecciones o ejes globales de estructura X(x), Y(x)intensidad de cargas longitudinal y transversal en elemento X-xcoordenadas redundantesu(x), v(x), w(x)componentes de desplazamiento segn ejes x, y, z W, Wctrabajo, trabajo complementario (s)rea sectorial principal Parte I SISTEMAS ESTRUCTURALES PLANOS NOCIONES DE MECNICA ANALTICA3

Captulo 1 NOCIONES DE MECNICA ANALTICA 1.1 COORDENADAS GENERALIZADAS La configuracin geomtrica de un sistema mecnico, engeneral, o de una estructura o sistema estructural,enparticular,puededefinirseatravsdecoordenadasgeneralizadas;entenderemospor coordenadasgeneralizadasunconjuntodeparmetros,quesonfuncionesdeltiempoendinmicay tomanvaloresconstantesenelcasodeesttica,yloscualestienenunainterpretacingeomtricatal comolongitud,rea,volumen,ngulo,coordenadascartesianasrectangulares,coordenadascilndricas, etc.Enlosucesivo,ladenominacingeneraldecoordenadaslausaremosenelsentidomsamplio,equivalente a coordenadas generalizadas.La Figura 1.1 muestra dos sistemas mecnicos constituidos por barras rgidas y resortes, con posibles sistemas de coordenadas generalizadas, respectivamente. x

A B A u OB u

O A A Figura 1.1 Dos sistemas mecnicos compuestos por barras rgidasy coordenadas generalizadas posibles. Convieneaclararquetambinenlaesttica,lascoordenadasdependendeltiempo.Enesttica las cargas externas se aplicangradualmente; la magnitud de las cargas vara desde cero, su valor inicial, hastasuvalorfinalduranteunlapsosuficientementelargoparaquelasaceleracionesproducidassean pequeas y se puedan despreciar, por lo tanto, las fuerzas de inercia. La ley de variacin temporal de las cargasnoesimportantecontaldequeseagradual;elanalistaestticocalculaelestadodelsistema estructural(fuerzasinternas,desplazamientos,tensiones,deformaciones...)correspondientealinstante finalde la aplicacin de las cargas; el tiempo figura como un parmetro sin importancia y generalmente se dice, como lo hemos apuntado antes, que el fenmeno esttico no depende del tiempo. 4NOCIONES DE MECNICA ANALTICA 1.2 SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS Sistemasdiscretossonaqulloscuyaconfiguracingeomtricapuededefinirseatravsdeun nmerofinitodecoordenadasgeneralizadas;talessonlossistemasqueestnconstituidospor subsistemasindeformables,es decir,porpartculasycuerposrgidos,comolosmostradosenla Figura 1.1. Sistemascontinuos, encambio, son aqulloscuya configuracin geomtrica no puededefinirse por unnmero finito de coordenadasgeneralizadas; la caracterstica principal de los sistemas continuos es la presencia en ellos de elementos deformables, en los cuales se hace necesario el uso de funciones de laposicinydeltiempooslodelaposicin,paradefinirlaconfiguracindeformadadetales elementos.La Figura 1.2 muestra un sistema continuo constituido por una barra flexible; la posicin de un punto genrico S sobre el eje de la barra se define por su abscisa x en la configuracin no deformada de la barra; en la configuracin deformada la posicin de S se define por las componentes u(x) y v(x) de su desplazamiento. y, v A S S v(x) OA x, u x u(x) Figura 1.2 Viga flexible como ejemplo de un sistema continuo. Los desplazamientosu(x) y v(x) de la seccin genrica no pueden definirse a travs de un nmero finito de coordenadas. Laestticadesistemascontinuosserigeporecuacionesdiferencialesendondelasvariables independientessonlascoordenadasespaciales;tratndosedeunasolavariable,tendremosecuaciones diferencialesordinarias; cuando hay msde una variable espacial, tendremos ecuacionesdiferenciales a derivadasparciales.Enladinmicadesistemascontinuosunavariableindependienteadicionalesel tiempo y tales problemas se rigen siempre por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. En los sistemas discretos, por cuanto las coordenadas generalizadas ocurren en un nmero finito, laestticaserigeporecuacionesalgebraicasyladinmicaporecuacionesdiferencialesordinarias,en donde lavariable independiente es el tiempo. Los sistemasdiscretosno existen en el mundo fsico real; son slo un modelo abstracto que, en algunoscasos,puedenrepresentarsatisfactoriaoconvenientementeunasituacinreal.Lossistemas continuosmodelanmssatisfactoriamentelarealidadfsica,peroanesnecesariointroducirhiptesis simplificativas en las leyes que rigen su comportamiento para poder llegar a la formulacin de un modelo manejable matemticamente. 1.3 SISTEMAS DISCRETOS. CONDICIONES DE VNCULO ConsideremosunsistemamecnicodiscretoyunsistemadecoordenadasasociadodeN coordenadas, las cuales designaremos porr1, r2, ... ..., rN ; o, mssencillamente, porri, ( i = 1, 2, ..., N ); se dice que tales coordenadas son independientes, cuando cada una de ellas puede tomar cualquier valor dentrode un conjunto infinito de valores admisibles, independientemente de losvaloresde las restantes NOCIONES DE MECNICA ANALTICA5

coordenadas.Sielconocimientodelosvaloresdelascoordenadasri,(i=1,2,... ...,N),permiteconocer,haciendo uso de la geometra, la posicin de cada uno de los puntosdelsistema mecnico, se dicequeelsistema de coordenadas es completo. Silascoordenadasri,(i=1,2,......,N),constituyenunsistemacompleto,perono independiente, lasmismasdeben cumplir ciertas relacioneso condicionesde vnculo, las cuales pueden escribirsecomo relaciones finitas de la forma dada por la ecuacin (1.1). ( )m it r r r fN i, ... ... , 2 , 10 ; , ... ... , ,2 1==(1.1) Tambinpuedenexistircondicionesdevnculoexpresadascomorelacionesinfinitsimasno integrables de la forma:

( ) ( )s idt t r r r g dr t r r r gN i jNjN ij, ... ... , 2 , 10 ; , ... ... , , ; , ... ... , ,2 112 1== +=(1.2) en donde fi, gij, gi son funciones; t es el tiempo. Lasrelaciones(1.1)sellamancondicionesdevnculoholnomasylas(1.2),noholnomas; caracterstica de estas ltimas es su no integrabilidad, ya que si ello fuera posible se pudieran poner bajo laforma(1.1)yserancondicionesdevnculoholnomas.Lascondicionesdevnculonoholnomas existen, por lo general, cuando las mismas expresan relaciones en donde entran las velocidades de ciertos puntos del sistema. Cuandotodaslascondicionesdevnculosondeltipoholonmico,sedicequeelsistema mecnicoesholnomo; la existencia de condiciones de vnculo no holnomasdetermina que el sistema sea no holnomo. Un sistema mecnico es esclernomo si es holnomo y el tiempo no aparece enforma explcita en las condiciones de vnculo. Sidelasmcondicionesde vnculo(1.1) slom1,(m1sm), sonlinealmenteindependientes, se dice que hay m1 condiciones de vnculo efectivas; las restantes son condiciones aparentes de vnculo. En cuanto a las condiciones no holnomas de vnculo, tambin pueden separarse ens1 condiciones efectivas ys2condiciones aparentes, ( s1 + s2 = s ). Lasm1condicionesefectivasdevinculacinholnomaspermitenescogerncoordenadas generalizadas independientes qi, ( i = 1, 2, ... ... , n ); n = N - m1. Cada coordenadarise puede expresar como una funcin de las coordenadas generalizadas independientes y el tiempo ( )N it q q q h rn i i, ... ... , 2 , 1; , ... ... , ,2 1== (1.3) Lascondicionesdevnculonoholnomasnopermitenreducirelnmerodecoordenadas generalizadasporque tales condiciones no estn expresadas en forma finita. 6NOCIONES DE MECNICA ANALTICA Los casos de esttica son, en general, holnomos ya que no existen velocidades importantes que sonlasmagnitudesqueentranenlascondicionesnoholnomasdevinculacin.Ennuestrocaso,slo nos ocuparemos de sistemas holnomos. Las coordenadas generalizadas q1, q2, q3, ......, qn las consideraremos como las componentes de unvector qenunespaciovectorialdedimensin n,elcual supondremosunvector columna,esdecir, una matriz de n filas y una columna, (((((((((

=nqqq...21q el cual escribiremos algunas veces como una fila transpuesta para ahorrar espacio en la escritura: | |tnq q q ... ...2 1= q Como vectores bases que generan el espacio vectorial de dimensinn podemos tomar a:

| || || |ttt1 ... ... 0 0 0...0 ... ... 0 1 00 ... ... 0 0 1===n21eee endondeei tiene todas sus componentesnulas, excepto la de ordeni, la cual esigual a la unidad. Estos vectores bases son, por supuesto, linealmente independientes. Cualquier vector V se puede expresar bien como: | |tn nV V V V1 2 1... ...= V o como: n 2 1e e e VnV V V + + + = ... ...2 1 segn convenga. LaFigura1.3muestraotravezlossistemasmecnicosdelaFigura1.1,usandolanotacinq paralascoordenadasgeneralizadasyunmodomssencilloparasurepresentacin.Laflecharecta representalacomponenteortogonal,enladireccinysentidodelaflecha,deldesplazamientolineal (traslacin) correspondiente; la flecha curva representa el giro o rotacin alrededor del eje perpendicular alplanodeldibujo.Larepresentacinsehaceenlaconfiguracininicial,nodeformada,delsistema. Para mayor simplicidad, cada flecha se identifica slo con el ndice correspondiente de la coordenadaq. Tal esquema de representacin de las coordenadas lo usaremos cuando no presente ninguna confusin. NOCIONES DE MECNICA ANALTICA7

1A B 2 O 1

O A Figura 1.3 Sistemas mecnicos de la Figura 1.1 con una representacin ms sencilla y ms usual de lascoordenadas generalizadas q. 1.4 DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES. GRADOS DE LIBERTAD Si un sistema mecnico tiene en un instante dado una configuracin definida por las coordenadas generalizadas), ..., ... , 2 , 1 ( , n i qi= undesplazamientovirtualesaqulquepuedeocurrirparallevarel sistemadesuconfiguracininstantnea,real,aunaconfiguracinvirtualdefinidaporunasnuevas coordenadas), ..., ... , 2 , 1 ( , n i q qi i= o + endonde) ..., ... , 2 , 1 ( , n i qi= o ,sonvariacionesvirtualesdelas coordenadas, las cuales supondremos infinitsimas. El tiempo se supone congelado en un desplazamiento virtual, es decir, ot = 0, lo cual es de importancia en sistemas no esclernomos por aparecer el tiempo en forma explcita en las condiciones de vnculo. Caractersticaimportantedelasvariacionesvirtualesdelascoordenadasydeldesplazamiento virtualcorrespondienteessutotalindependenciadelosdesplazamientosreales;entrelos desplazamientos virtuales y los reales no existe ninguna relacin. Tomaremossiempre desplazamientosvirtualescompatiblesconlascondicionesde vnculo. Las condicionesholonmicasdevinculacinquedanautomticamentesatisfechasaldefinirun desplazamientovirtualmedianteunavariacinvirtualdelascoordenadasgeneralizadas,noaslas condiciones no holonmicas, ya que stas no influyen en el nmero de coordenadas independientes. Sedefinecomogradosdelibertaddeunsistemamecnicoo,conmsprecisin,nmerode gradosdelibertad,alnmerodevariacionesvirtualesindependientesdelascoordenadasgeneralizadas que definen el desplazamiento virtual ms general del sistema. Enlossistemasholnomoslosgradosdelibertadcoincidenconelnmerodecoordenadas generalizadas independientes; no as en los sistemas no holnomos ya que las variaciones virtuales de las coordenadas generalizadas deben satisfacer las condiciones de vnculo no holnomas. En los sistemas no holnomoselnmerodegradosdelibertades,porlotanto,igualalnmerodecoordenadas independientes menos el nmero de condiciones efectivas de vnculo no holnomas. 1.5 CARGAS GENERALIZADAS En general, en un sistema mecnico de tipo holonmico de n grados de libertad, la configuracin deformada puede definirse a travs de un sistema de coordenadas generalizadas), ..., ... , 2 , 1 ( , n i qi=de n componentes.Eldesplazamientovirtualmsgeneralsedefineporunavariacinvirtualdelas coordenadas generalizadas,es decir,). ..., ... , 2 , 1 ( , n i qi= oSupondremos que el desplazamiento virtual es infinitsimo,ancuandopodranconsiderarsedesplazamientosvirtualesdemagnitudfinita.Eltrabajo 8NOCIONES DE MECNICA ANALTICA realizado por las fuerzas externasen un desplazamiento virtual se le llama trabajo virtual, el cual puede expresarse como: n nq Q q Q q Q W o o o o ... ...2 2 1 1+ + = endondelostrminos) ..., ... , 2 , 1 ( , n i Qi= dependende lasfuerzasexternasque actan enel sistemay tambindelageometra;talestrminosrecibenelnombredecargasgeneralizadas.Lascargas generalizadas representan o miden las fuerzas externas actuantes; a cada coordenadaqi corresponde una carga generalizada Qi. Las coordenadas qimiden o representan la geometra deformada del sistema, son coordenadasgeomtricas;anlogamente,lascargasgeneralizadassoncoordenadasquerepresentano midenelsistemadefuerzasexternas,soncoordenadasdefuerzaoestticasentalsentido.Segnlo anterior, el sistema de coordenadas generalizadas es doble, comprende tanto las coordenadas geomtricas qi como las coordenadas estticas Qi, por ello lo llamaremos en lo sucesivo, sistema de coordenadas Q-q. Lascoordenadas) ..., ... , 2 , 1 ( , n i qi= sonindependientes, por cuantoen suseleccin se tomaen cuentatodaslascondicionesdevnculo.Lascoordenadasestticas) ..., ... , 2 , 1 ( , n i Qi= tambinson independientessilaestructuraesgeomtricamenteestable,esdecir,quecualquierdesplazamientoo cambiodeconfiguracingeomtricaquetengalaposibilidaddeexperimentarlaestructuraimpliquela deformacin de algunos de sus elementos constitutivos; si la estructura es geomtricamente inestable las coordenadasQinoseranindependientesyaquetendranforzosamentequecumplirlascondicionesde equilibriocorrespondientesaltrabajovirtualenaquellosdesplazamientoscomocuerporgidodela estructuraodealgunadesuspartes.Cuandosetrataelcasodeanlisisdeunaestructura geomtricamente inestable pero en estado de equilibrio, se recurre generalmente al artificio de suponer la existencia de vnculos adicionales que estabilizan la estructura y que no generan reacciones. 1.6 SISTEMAS LINEALES Unaestructura es un sistema lineal cuando lasecuacionesque rigen su comportamiento general son lineales. La linealidad comprende tanto el comportamiento fsico del material constituyente desdeel punto de vista de las relaciones tensin-deformacin comola influencia de la geometra de deformacin en las ecuaciones que rigen el comportamiento de la estructura. El material de Hooke es el prototipo de material elstico lineal, en el cual las relaciones tensin-deformacin se expresan a travs de relaciones lineales que comprenden los mdulos de elasticidad;los coeficientesomdulosdeelasticidadindependientessondosparaelmaterialisotrpicoyaumentan cuandoelmaterialexhibealgunaanisotropa.Lamayoradelosmaterialesdeconstruccin(acero, aluminio,madera,...)satisfacenaproximadamentelaleydeHookehastaciertosnivelesdetensin. Algunos materiales (concreto, caucho, polmeros, ...) exhiben un comportamiento no lineal e inelstico a la vez. Si las deformaciones que experimenta una estructura y los desplazamientos correspondientes son pequeoscomparadosconlasdimensionesdelamisma,sepuededespreciarlainfluenciadelos desplazamientosenlasecuacionesdeequilibriodelaestructura,esdecir,sepuedeusarlageometra inicial, no deformada, de la estructura para plantear las ecuaciones de equilibrio; esto es lo que constituye lageometralineal.Siporelcontrario,lasecuacionesdeequilibrioseplanteantomandoencuentala configuracin deformada de la estructura, estaramos en presencia de una geometra no lineal, como es el caso del estudio de la estabilidad elstica del equilibrio de columnas y vigas-columnas. Enestaobrasupondremos,salvoqueexpresemoslocontrario,queelmaterialeslinealmente elstico,isotrpico,queobedecelaleydeHookeyquelosdesplazamientosydeformacionesson NOCIONES DE MECNICA ANALTICA9

infinitsimos y no influyen, por lo tanto, en las ecuaciones de equilibrio. Todo esto conduce a una teora linealdeestructuras,lacualesmanejablematemticamenteyparalacualrigeelprincipiode superposicin. El caso no lineal no es manejable cmodamente, sino en casos muy sencillos; es necesario recurrir a mtodos aproximados de anlisis numrico que la mayor de las veces suponen que la estructura se carga a intervalos de tiempo y que en cada intervalo el comportamiento es lineal para la carga aplicada enel mismo intervalo, pero que la ley de comportamiento puede variar de un intervalo a otro. 1.7 UN CASO DE GEOMETRA NO LINEAL A fin de ilustrar el concepto delinealidadgeomtrica, consideraremoselsistemamostradoenlaFigura1.4,elcualestconstituidopordosbarrasrgidasdeiguallongitud,articuladasentresy restringidaspordosresortesdetorsinyelapoyofijoenelextremoA;elsistemaestsolicitadopor cuatro fuerzas externas, como se muestra en la figura. y, v W2 W4 k1k2 W3x, u A BW1

CLL Figura 1.4. Sistema constituido por dos barras rgidas. Para definir la configuracin ms general del sistema hacen falta dos coordenadas generalizadas independientes, quehemostomado como losngulosqueformancada una de lasbarras con elejede abscisas,comose muestra enla Figura1.5. W2W4 y, v C W3 q2 W1 B q1

AB C

Figura 1.5. Configuracin deformada del sistema y coordenadas generalizadas. Lascomponentescartesianasdeldesplazamientodeunpuntogenrico,S(x,0),delsistemase obtienen como: s s s s =L x L q L x q LL x q xx u2 ) cos 1 ( ) ( ) cos 1 (0 ) cos 1 () (2 11 (1.4) s s +s s=L x L senq L x q sen LL x q sen xx v2 ) (0) (2 11 x , u 10NOCIONES DE MECNICA ANALTICA endondeu(x)yv(x)correspondenalascomponentesdedesplazamientosegnlosejesxey, respectivamente. Lasecuaciones(1.4) han sido calculadas, suponiendo quelosdesplazamientospueden alcanzar cualquier valor finito, es decir, no estn restringidos a valores infinitsimos. Consideremos ahora un desplazamiento virtual del sistema, el cual se puede definir en su forma msgeneralcomounavariacinvirtualdelascoordenadasgeneralizadasoq1yoq2;talvariacin virtual y, como consecuencia, el desplazamiento virtual correspondiente son de magnitud infinitsima yocurrenapartirdelaconfiguracingenricadefinidaporelvalordelascoordenadasgeneralizadas,como se muestra en la Figura 1.6. y, v oq2 oq1 q2 q1

x, u A BC Figura 1.6. Desplazamiento virtual ms general del sistema. Portratarsedevaloresinfinitsimos,lascomponentesdeldesplazamientovirtualpueden obtenerse como las diferenciales de las ecuaciones (1.4), dando como resultado:

s s s s =L x L q q sen L x q q sen LL x q q sen xx u2 ) (0) (2 2 1 11 1o ooo (1.5)

s s +s s=L x L q q L x q q LL x q q xx v2 cos ) ( cos0 cos) (2 2 1 11 1o ooo Particularizando las ecuaciones (1.5) para los puntos B y C, se tiene 2 2 1 12 2 1 11 11 1cos coscosq q L q q L vq q sen L q q sen L uq q L vq q sen L uCCBBo o oo o oo oo o+ = == = El trabajo virtual de las fuerzas externas en el desplazamiento virtual considerado es ) cos cos ( ) ( cos2 2 1 1 4 2 2 1 1 3 1 1 2 1 1 1q q q q L W q q sen q q sen L W q q L W q q sen L W W o o o o o o o + + + + = Agrupando los trminos que multiplican a oq1 y oq2, esta ltima expresin puede escribirse como 2 4 2 3 21 4 1 3 1 2 1 1 12 2 1 1coscos cosq L W q sen L W Qq L W q sen L W q L W q sen L W Qq Q q Q W+ =+ + =+ = o o o(1.6) NOCIONES DE MECNICA ANALTICA11

endondeQ1yQ2sonlascargasgeneralizadas.Estascargasgeneralizadasdependennoslodelas fuerzasexternas,sinotambindelascoordenadasq1yq2,esdecir,delageometradeformadadel sistema.Estoescaractersticadeunateoradedesplazamientosfinitosyquedificultalaobtencinde soluciones,antratndosedesituacionesfsicasmuysencillascomoelsistemadelaFigura1.4.La dificultadsedebealageometranolineal,locualconduceaqueelsistemaserijaporecuacionesno lineales, para cuya solucin no existe una teora que aborde el problema en forma general y sistemtica. 1.8 CASO DE GEOMETRA LINEAL. SUPERPOSICIN DEDESPLAZAMIENTOS YFUERZAS Afindeobtenerunmodelomatemticoquepuedasermanejadoenformasencilla,es imprescindiblehacersimplificacionesqueconduzcanaunateoracuyavalideznosergeneralsino limitada;taleselcasodeunateoradedesplazamientosinfinitsimosodeprimerorden,lacual analizaremosacontinuacinparaelcasoespecficodelsistemafsicodelaFigura1.4.Sienlas ecuaciones (1.4) sustituimos el seno y coseno que all aparecen por sus desarrollos en serie (*) se obtiene: s s + + s s + =s s + s s + =L x L Oqq L xqq LL x Oqq xx vL x L O qL xqLL x O qxx u2 ) 5 ( )6( ) ( )6(0 ) 5 ( )6() (2 ) 4 (2 20 ) 4 (2) (322311311222121 En una teora de desplazamientos infinitsimos, se toma slo hasta los trminos de primer orden de estas ltimas expresiones, es decir, s s +s s=s s =L x L q L x q LL x q xx vL x x u2 ) (0) (2 0 0 ) (2 11 Ahoralosdesplazamientossonfuncioneslinealesdelascoordenadasyrige,porlotanto,el principio de superposicin para ellos.

(*)La expresinO(n)representa el orden de la sumade los trminos que se omiten en el desarrollo; n es el orden de magnitud referido a u, supuesto de orden unidad. ) 4 (21 cos) 5 (623OuuOuu u sen+ =+ = 12NOCIONES DE MECNICA ANALTICA Estamosenpresenciadeunageometralineal,locualsimplificamucholateora(*).Siguiendo conelproblemaqueestamosconsiderando,losdesplazamientosvirtualescorrespondientesaByC seran: 2 1 10 0q L q L v q L vu uC BC Bo o o o oo o+ = == = y el trabajo virtual de las fuerzas externas: ) (2 1 4 1 2q q L W q L W W o o o o + + = con lo cual las cargas generalizadas seran: L W QL W L W Q4 24 2 1=+ =(1.7) Convieneobservar queenel casodedesplazamientos infinitsimoslascargasgeneralizadasno dependen de las fuerzas W1 y W3, las cuales s intervienen en el caso de desplazamientos finitos. Todoocurre ahora en formamssencilla. Como losdesplazamientosvirtualesno dependendel valordelascoordenadasgeneralizadas, pueden ser representados suponiendola configuracinoriginal, nodeformada,delsistema,comosehaceenlaFigura1.5;msan,envirtuddelalinealidaddelos desplazamientosconrespectoalascoordenadas,ydelosdesplazamientosvirtualesconrespectoalas variacionesvirtualesdelascoordenadas,esposibley,msan,conveniente,representarestadosde desplazamientoquecorrespondenavalorunidaddeunacoordenadaespecficayvalornulodelas restantes;talesestadosdedesplazamientoaparecenenlaFigura1.6ylosllamaremosestadosde desplazamientoelemental.Eldesplazamientototal,realovirtual,seobtienesuperponiendolosestados dedesplazamientoelemental,multiplicadocadaunodeellosporelvalordelacoordenada correspondientesisetratadedesplazamientosreales,oporelvalordelavariacinvirtualdela coordenada si se trata de desplazamientos virtuales. y, v B C oq2 L (oq1 + oq2 ) oq1 x, u A BC Figura 1.5. Desplazamiento virtual ms general del sistema en una teora de desplazamientos infinitsimos. Convienehacernotarqueelvalorunidaddelacoordenadageneralizadacorrespondienteaun estadodedesplazamiento elemental debe considerarse como un valor infinitsimo y que los valores que tomanlosdesplazamientoscorrespondientes,sonsimplesfactoresquehayquemultiplicarporlos valoresdelascoordenadaso sus variacionesvirtuales, segnel caso, para obtener losdesplazamientos, reales o virtuales. Sera un grave error considerar y tratar un estado de desplazamiento elemental como si

(*)Unateoraunpocomsrefinadaseraunadesegundoorden,endondesetomanencuentatrminoshastade segundo orden. NOCIONES DE MECNICA ANALTICA13

fuera de desplazamientosfinitos. Losestadosde desplazamiento de la Figura 1.6 son simplemente, el mismodiagrama de desplazamientosinfinitsimosde la Figura 1.5, en donde se tomaoq1 = 1 y oq2 = 0 en un caso, y oq1 = 0yoq2 = 1 en el otro. y, v

B C 1L x, u A BC(a) Correspondiente a la coordenada q1 y, v C 1 Lx, u ABC(b) Correspondiente a la coordenada q2 Figura 1.6. Estados de desplazamiento elemental. Si llamamos |1(x) y |2(x) laselsticas de desplazamiento v(x) correspondientes a losestadosde desplazamiento elemental, es decir, s s s s=s ss s=L x L L xL xxL x L LL x xx20 0) (20) (21|| la elstica correspondiente a valores genricos, q1 y q2, de las coordenadas sera: ) ( ) ( ) (2 2 1 1x q x q x v | | + = Nohemoshechomencindelaelsticadedesplazamientosu(x),porcuantoesnulaparael sistemade coordenadascartesianasseleccionado, pero podra existir para otrosejeso para otro sistema mecnico. Las funciones |1(x) y|2(x) reciben el nombre de funcionesde forma. Representan y definen laelsticaoelsticas,segnseaelcaso,delosdesplazamientosqueocurrenencadaestadode desplazamiento elemental. De lo anterior se desprende que cuando queremos analizar un sistema mecnico ytomamos un sistema de coordenadas q1, q2, ... que definen el desplazamiento generalizado(*) de un nmero discretode puntosdel sistema,existenfuncionesde forma asociadas a cada coordenada que en su conjunto, y con el valor de las coordenadas, definen el desplazamiento de todos los puntos del sistema. En forma completamente anloga a los estados de desplazamiento elemental, se pueden construir sistemasdefuerzasexternasquecorrespondanavalorunidaddeunacargageneralizadaespecficay

(*)Ladenominacindesplazamientogeneralizadocorrespondeaundesplazamientoabsolutoorelativo,una componente dedesplazamiento,unarotacin o cualquier combinacin de componentes de desplazamiento. 14NOCIONES DE MECNICA ANALTICA valornulodelasrestantes;talesestadosdesolicitacinlosllamaremosestadosdecargaelementaly aparecen representados en la Figura 1.7 para el sistema mecnico que estamos considerando. y

1/L x ABC (a) Correspondiente a la coordenada Q1 y 1/L 1/L

x AB C (b) Correspondiente a la coordenada Q2 Figura 1.7. Estados de carga elemental. LosdiagramasdecargaelementaldelaFigura1.7seconstruyendeterminandolasfuerzas externas que corresponden a las cargas generalizadas del caso. Si de las ecuaciones (1.7) despejamos W2 y W4 en funcin de Q1 y Q2, se obtiene: LQWLQ QW242 12== Deestas ecuaciones se pueden obtener los valores de W2 y W4 que corresponden a cada caso de carga elemental, haciendo Q1 = 1yQ2 = 0 para el primer caso yQ1 = 0yQ2 = 1 para el segundo. 1.9 IDENTIFICACIN DE COORDENADAS Consideremosunaestructuracuyageometradeformadayestadodecargaestnrepresentados medianteunsistemadecoordenadasQ-q.Siconsideramosque,apartir deunaposicingenricadela estructura,ocurreundesplazamientovirtualdefinidoporunavariacinvirtualqdelascoordenadas geomtricas, el trabajo virtual de las fuerzas externas, conforme con la definicin de carga generalizada, es:

1 1 2 2... ...n ntW q Q q Q q Q = + + += q Q(1.8) NOCIONES DE MECNICA ANALTICA15

Siconsideramoscomodesplazamientovirtualelestadodedesplazamientoelemental correspondiente a la coordenada qm, es decir,

oq = emoqi=0 i=m oqm=1 e introducimos estos valores en la ecuacin (1.8), se obtiene como resultado: oW=Qm es decir, el trabajo virtual de las fuerzas externas (fuerzas reales) en el desplazamiento virtualoq = em es igual a la carga generalizada Qm. Enformaanloga,siconsideramosunsistemadefuerzasvirtualesrepresentadoporuna variacinvirtual oQdelascoordenadasestticas, sedefine como trabajo complementario,enestecaso virtual, a la expresin oW c=oQ1 q1+oQ2 q2+ ......+ oQn qn (1.9) oW c=oQ t q Si consideramos como fuerzas virtuales al definido por el estado de carga elemental correspondiente a la coordenada Qm, es decir,

oQ = emoQi=0 i=m oQm=1 e introducimos estos valores en la ecuacin (1.9), se obtiene como resultado: oW c=qm esdecir,el trabajocomplementario virtual delasfuerzasquecorresponden alestado decarga virtual oQ = em en los desplazamientos reales de la estructura es igual a la coordenada geomtrica qm. Resumiendoloanterior,podemosdecirqueelestadodedesplazamientoelementaloq=em

sirveparaidentificaryexpresarlacomponentedecargageneralizadaQmenfuncindelasfuerzasexternasmedianteeltrabajovirtualdetalesfuerzas.Delmismomodo,elestadodecarga elementaloQ=emsirveparaidentificaryexpresarlacomponentedecoordenadageneralizadaqmen funcindelosdesplazamientosfsicosdelaestructuraatravsdeltrabajocomplementariovirtualde tales fuerzas. Como ejemplos sencillos, calculamos para el sistema mecnico de la Seccin 1.8, que aparece en laFigura1.4,eltrabajovirtualdelasfuerzasexternaseneldesplazamientovirtualcorrespondienteal estado de desplazamiento elemental oq = e2 (ver la Figura 1.6); se obtiene como carga generalizada: Q2=W4 L Si ahora tomamos como sistema de fuerzas virtuales al estado de carga elemental oQ = e2, (ver laFigura1.7),eltrabajocomplementariovirtualdeestasfuerzasenlosdesplazamientosrealesdel sistema da como resultado la coordenada geomtrica correspondiente 16NOCIONES DE MECNICA ANALTICA Lv vvLvLqB CB C= =1 12 que identifica a q2 como ngulo de giro de la barra BC del sistema considerado. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.1 El sistema mecnico de la Figura 1.8 est compuesto por tres barras rgidas vinculadas entre s ysustentadaspordosresortesylosapoyosmostrados.Seleccionarunsistemadecoordenadas generalizadasQ-q,dibujarlosestadosdedesplazamientoycargaelementalesyexpresarel desplazamientodeB,CyDascomolasrotacionesdelasbarrasenfuncindelascoordenadas generalizadas. C

4L/5 k2 A B D k1

L3L/53L/5 Figura 1.8 Sistema Mecnico. La Figura 1.9a muestra la deformacin ms general del sistema, la cual queda definida por los dos parmetros geomtricos o coordenadas generalizadas sealadas en la figura; q1 es la rotacin de la barraAByq2,lacomponentehorizontaldeldesplazamientodeC;laFigura1.9bmuestraenforma convencionalel sistema de coordenadasQ-qseleccionado. El sistema de coordenadascartesianasOxy nos servir de referencia para medir las componentes u y v de desplazamientos. q2 C 2 C y, v q1 B1 AD D B O x, u (a) Deformada (b) Sistema Q-q Figura 1.9 Deformada del sistema y coordenadas Q-q. LaFigura1.10amuestraelestadodedesplazamientoelementalcorrespondienteala coordenada q1; la barra AB rota la unidad alrededor de A; la barra BC experimenta una traslacin L en ladireccindelejeOy;mientrasquelabarraCDrota5/3alrededordeEensentidohorario.La Figura 1.10bmuestralosdesplazamientosdeB,CyDmedianteflechas,convencinqueusaremosa menudo.LaFigura1.11essimilarala1.10,perocorrespondealacoordenadaq2;enesteestadola barra AB no experimenta desplazamiento; la barra BC rota5/4 Lalrededor de B en sentido horario; y la barra CD rota5/4 Lalrededor de F en sentido antihorario. NOCIONES DE MECNICA ANALTICA17

CL LE C L B 1L 4L/3 A B DD

4L/3 (a) Deformada(b) Desplazamientos Figura 1.10 Estado de desplazamiento elementalq = e1. F 1 4L/5 3/4 C 1 3/4 C4L/5

ADDB2 2 (a) Deformada (b) Desplazamientos Figura 1.11 Estado de desplazamiento elementalq = e2. Porsuperposicindelosestadosdedesplazamientoelemental,podemosexpresarlas componentes de desplazamiento y rotaciones pedidas: 1

1 (a) Q = e1(b) Q = e2 Figura 1.12 Estados de carga elemental. LaFigura1.12muestralosdosestadosdecargaelemental,loscualessonobvios.Conviene notar que las fuerzas externas correspondientes a los estados de carga elemental no son nicas; es muy 0 2344535434500 02 12 1 2 1 22 11= + =+ = = = = = == = =D DCD C CBC B BAB A Av q qLuqLq q q L v q uqLq L v uq v uuuu 18NOCIONES DE MECNICA ANALTICA sencillo determinar un estado de fuerzas externas que corresponda a determinados valores de la carga generalizada;si suponemosslo fuerzasconcentradas aplicadasen B, C y D en lasdireccionesde los ejes Oxy Oy como muestra la Figura 1.13, determinaramos estas fuerzas satisfaciendo las ecuaciones que dan las magnitudes de las cargas generalizadas W4

W3

W2 W5 W1 Figura 1.13 Rgimen de carga externa. ConocidasQ1yQ2,elsistemadedosecuaciones(1.10)permitedeterminarlasfuerzasW; podemosdarvaloresarbitrariosaW1,W4yW5,porejemplo,ydeterminarW2yW3delsistemade ecuaciones.Attulodeejemplo,laFigura1.14muestratresregmenesdistintosdefuerzasexternas, cadaunodeloscualesrepresentaelestadodecargaelementalcorrespondientealacoordenadaq2, como puede comprobar el lector; estos tres estados de fuerzas externas son equivalentes en el sentido de que corresponden a la misma carga generalizada, Q1 = 0yQ2 = 1. 1 1

5 7/41 4 11/2 3 3/8

Figura 1.14 Tres representaciones distintas del estado de carga elemental Q = e2. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.2 La Figura 1.15 muestra el mismo sistema mecnico considerado en el Ejemplo Ilustrativo 1.1 y losestadosdedesplazamientoelementalquecorrespondeno,msbien,definenunsistemade coordenadasQ-q.DeterminarlosdesplazamientosdeB,CyDentrminosdelascoordenadas generalizadas y, del resultado, identificarq1yq2; determinar los estados de carga elemental. 5 4 3 25 4 2 124334W W W QWLW L W L Q+ = + =(1.10) NOCIONES DE MECNICA ANALTICA19

4/3 C C C 4/3 o B 1o y, v1 A D DA B 4/3 D B 4/3 x, u ODeformadaDesplazamientos de B, C, D (a) Estado de desplazamiento elemental q = e1 2/3 1/2 1/2 C2/3 C C1 o oB A 1 DABD B Deformada Desplazamientos de B, C, D (b) Estado de desplazamiento elemental q = e2 Figura 1.15 Estados de desplazamiento elemental. Elsistema posee dos grados de libertad y losdesplazamientosde B, C y D estn definidospor cuatro componentes de desplazamiento, vB, uC, vC y uD, las cuales no son independientes, deben cumplir dos condiciones de restriccin que corresponden a los cambios de longitud de las barras BC y CD, los cualesdebensernulos.Paracadabarraescribiremosestascondiciones,usandolasexpresionesdeducidas en el Apndice 4. Ellectorpuedecomprobarquelosdesplazamientoscorrespondientesalosestadosq=e1 y q = e2 cumplen las ecuaciones (1.11); en caso contrario no seran compatibles por producir cambio de longitud de las barras, y no tendra sentido continuar el problema. EldesplazamientodelospuntosB,CyDseobtieneporsuperposicindelosestadosde desplazamiento elemental 0 cos sen ) (0 cos ) ( sen= o + o = A= o + o = AC C D CDB C C BCv u u Lv v u L(1.11) 20NOCIONES DE MECNICA ANALTICA . ,43432 1 D B Du v q u q = = Deestosresultadospodemosdespejarq1yq2entrminosdelascomponentesfsicasde desplazamiento; existen varias posibilidades de hacerlo, una de ellas es: otra posibilidad es

2 CC AB3/4 D A BD

(a)Q = e1(b) Q = e2 Figura 1.16 Estados de carga elemental. Delasecuaciones(1.12)podemosdeterminarlosestadosdecargaelemental,sabiendoqueel trabajocomplementariovirtualdelasfuerzasdelestadodecargavirtualQ=ei,enlos desplazamientos reales del sistema, es igual a la coordenada qi. La Figura 1.16 muestra los dos estados de carga elemental; existen, naturalmente, otras representaciones de los mismos con fuerzas diferentes, que podramos determinar con el mismo procedimiento usado en el Ejemplo Ilustrativo 1.1. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.3 LaFigura1.17dalosestadosdecargaelementalquedefinenunsistemadecoordenadasQ-qparael mismo sistema mecnico considerado en los dos ejemplos ilustrativos anteriores. Determinar q1 y q2 en trminosdelosdesplazamientosfsicosdeB,CyDyconstruirlosestadosdedesplazamiento elemental.

034213234012 2 12 1= == + =+ = =D DC CB Bv q uq v q q uq q v uC Dv q u q 2432 1= =(1.12) NOCIONES DE MECNICA ANALTICA21

(1.13) C 1C1 y, voo o 1o ABDA BD

0 x, u (a) Q = e1(b) Q = e2 Figura 1.17 Estados de carga elemental. Lascoordenadasgeneralizadasqi,soninmediatas,sonigualesaltrabajocomplementario virtual de las fuerzas del estado de carga virtual oQ = eien los desplazamientos del sistema Elestadodedesplazamientoelementalq=e1lo determinamosusandolasecuaciones(1.13) y (1.11), La solucin de estas ecuaciones es: Delmismomododeterminamoslosdesplazamientoscorrespondientesalestadoq=e2;la Figura 1.18 muestra ambos estados de desplazamiento elemental. 7/4 1 C1 C 1 1 A B10/3 D A B 4/3 D

(a) q = e1(b) q = e2 Figura 1.18 Estados de desplazamiento elemental. C B Cu v q u q + = =2 1054) (530 ) (545301= + = += +=C C DB C CC BCv u uv v uu vu310471 1 = = = =D C C Bu v u v 22NOCIONES DE MECNICA ANALTICA 1.10 COMENTARIO FINAL Parafinalizarestecaptulo,diremosqueunaestructuracualquiera,cuandoestsolicitadapor fuerzas,experimentadesplazamientosqueladeforman.Paraelanlisisserecurreaunsistemade coordenadasgeneralizadasQ-q;lascoordenadasgeomtricasqconstituyenunarepresentacin matemticadelosdesplazamientosfsicosqueexperimentalaestructura;lascoordenadasestticasQ constituyen, en forma anloga, una representacin matemtica del sistema de fuerzas externas que actan en la estructura. Esto es de capital importancia en el anlisis y conviene que el lector diferencie entre las componentes fsicas de fuerzas y desplazamientos y las componentes de susrespectivas representaciones matemticasatravsdelsistemaQ-q.Enmuchoscasoslascomponentesfsicasymatemticas coinciden,esdecir, son lasmismas, pero en otros, como hemosvisto en losejemplos considerados, son distintas; en el caso del sistema sencillo de la Seccin 1.8, las coordenadas q1 y q2 son los giros fsicos de las barras AB y BC, pero las cargas generalizadas Q1 y Q2 no coinciden con las fuerzas W1 a W4. BIBLIOGRAFA RECOMENDADA CHOW, T. L., Classical Mechanics, John Wiley, Nueva York, 1995. DSOUZA, A. F. y V. K. GARG, Advanced Dynamics. Modeling and Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, E. U. A., 1984. GOLDSTEIN, H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, E. U. A., 1959. GREENWOOD, D. T., Classical Dynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, E. U. A., 1977. McCUSKEY, S. W., Introduction to Advanced Dynamics, Addison-Wesley, Reading, E. U. A., 1959. PROBLEMAS 1.1 La Figura P1.1 muestra un sistema mecnico plano constituido por tres barras rgidas AB, BCD y EF, vinculadasentresyconlalminatierramediantearticulacionesyresortesdecomportamiento elstico lineal; k1, k2 y k3 son los coeficientes respectivos de rigidez. El sistema est solicitado por las cinco fuerzas mostradas. (a)Dibujarunaconfiguracindeformadadelsistema,lomsgeneralposible,ydefinirlacon coordenadas generalizadas independientes. (b) Dibujar los estados de desplazamiento elemental. (c) Determinar y dibujar los estados de carga elemental. (d) Expresar los desplazamientos de B, C, D y E as como las rotaciones de las barras AB, BCD y EF en funcin de las coordenadas generalizadas. (e) Determinar el valor de la carga generalizada que corresponde a la solicitacin externa dada. NOCIONES DE MECNICA ANALTICA23

W1

AB C k1k2 L W2

D W3 F M1k3 E

W4

LL

Figura P1.1 Sistema de tres barras rgidas. 1.2LosestadosdedesplazamientodelaFiguraP1.2, endondenomostramoselresortek3paramayor claridad, definen un sistema de coordenadas Q-q para el sistema mecnico del Problema P1.1. (a) Determinar los desplazamientos de B, C, D y E en funcin de las coordenadas generalizadas. (b) Determinar y dibujar los estados de carga elemental. (c)Identificar lascoordenadasgeneralizadasde tipogeomtricoen trminosde losdesplazamientos fsicos del sistema. (d) Determinar el valor de la carga generalizadaparaelestadode carga mostrado en la Figura P1.1.

C 12B A2CCB AB D 2 DD 1 FFEE (a) q = e1 AB CA BC

D D F E1 FEE

1 (b) q = e2 Figura P1.2 Estados de desplazamiento elemental (contina). 24NOCIONES DE MECNICA ANALTICA 1 ABC AB 1CC

D1 DD 1 FF EE (c) q = e3 Figura P1.2 Estados de desplazamiento elemental (continuacin). 1.3LaFigura P1.3 muestra losestadosde carga elementalquedefinen un sistema de coordenadasQ-q para el mismo sistema fsico considerado en los dos problemas anteriores. (a)Identificar lascoordenadasgeneralizadasde tipogeomtricoen trminosde losdesplazamientos fsicos del sistema. (b) Determinar y dibujar los estados de desplazamiento elemental. (c) Expresar el desplazamiento de B, C, D y E as como las rotaciones de las barras AB, BCD y EF en funcin de las coordenadas generalizadas. (d)Determinarlosvaloresquetomanlascargasgeneralizadasparalassolicitacionesexternas mostradas en la Figura P1.1. AB 1 C

D

F E (a) Q = e1 1 ABC D

F E 1 (b) Q = e2 Figura P1.3 Estados de carga elemental (contina). NOCIONES DE MECNICA ANALTICA25

1 C A B

FD

E1 (c) Q = e3 Figura P1.3 Estados de carga elemental (continuacin). 1.4LaFiguraP1.4muestraelmismosistemamecnicoconsideradoenlosproblemasanteriores, solicitadoestavezporcargasconcentradasydistribuidas.Determinarelvalorquetomalacarga generalizada en cada uno de los sistemas Q-q usados en los Problemas 1.1 a 1.3. W1 W2 C A B

L/2 D w F E W3 W4 Figura P1.4 Cargas externas que solicitan al sistema.