Circunferencia
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Circunferencia
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Índice La Circunferencia. La Circunferencia como lugar geométrico. Elementos de la circunferencia. Ecuación analítica de la circunferencia. Ejemplo.
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Circunferencia
La circunferencia, se obtiene como un caso particular de elipse, se origina al cortar el cono con un plano perpendicular al eje del cono.
Corte
Eje
Plano
Circunferencia
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Circunferencia como lugar geométricoEs el lugar
geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante.
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Elementos de la circunferencia En toda circunferencia
conviene considerar:
C: es el centro de la circunferencia.
P: un punto cualquiera de la circunferencia.
r: se le conoce como radio y es la distancia del centro de la circunferencia al punto P.
P (x, y)
r
C (a, b)
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Ecuación analítica de la circunferencia Si hacemos coincidir el
centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2.
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Ecuación analítica de la circunferencia
Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:
r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Podemos desarrollar
resolviendo los cuadrados y obtenemos:
x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0
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Ecuación analítica de la circunferencia
x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0
Si reemplazamos D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2 Tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
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EJEMPLO: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 6 = – 2a a = – 3 E = – 8 – 8 = – 2b b = 4 El centro de la circunferencia es (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6 La ecuación de la circunferencia queda:
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Haz click y observa la
gráfica
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EJEMPLO: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6 6 = – 2a a = – 3 E = – 8 – 8 = – 2b b = 4 El centro de la circunferencia es (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6 La ecuación de la circunferencia queda:
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
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gráfica