Circulo y Circunferencia
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Fotografía : circunferencia antigua | Diego Juarez
2014 INSTANCIA EVALUATORIA: PARCIAL N°1
CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Profesorado de Matemática Cátedra: Didáctica de la matemática ll Profesora: María del Carmen Navarro
JUAREZ DIEGO A. 1
Profesorado de Matemática Cátedra: Didáctica de la matemática ll Profesora: María del Carmen Navarro
JUAREZ DIEGO A. 2
En el desarrollo del pensamiento geométrico toma particular importancia el
estudio de la circunferencia como lugar geométrico, su representación,
relaciones, propiedades y Teoremas, permitiendo afianzar en los educandos
dichos conceptos para potenciar las relaciones espaciales. La enseñanza de
los elementos de la circunferencia en el aula presenta dificultades para su
apropiación y vinculación en diferentes contextos matemáticos, limitándose en
algunos casos a representaciones mediante regla y compás. Por otro lado, la
metodología (que incluye al docente y su saber) utilizada en su enseñanza
produce errores que se traducen en dificultades en el momento de aplicar el
concepto en geometría analítica, el reconocimiento de sus propiedades para
resolución de situaciones-problema, las características de lugar geométrico,
entre otras. Es necesario establecer estrategias en el aula que permitan dar el
salto de la enseñanza tradicional a la utilización de Modelos Computacionales
y herramientas didácticas que permitan afianzar el concepto y potenciar su
aplicación de manera significativa desarrollando competencias y habilidades
matemáticas
Se considera conveniente trabajar la Matemática con los alumnos como un
proceso de construcción de conocimiento, denominado constructivismo, el cual
afirma que el conocimiento se desarrolla de manera interna conforme el
individuo interactúa con su entorno.
Por lo tanto, creemos importante referirnos al Constructivismo Social, que
considera al sujeto individual y a lo social como fuertemente interconectados,
donde los nuevos conocimientos se forman a partir de los esquemas propios de
la persona producto de su realidad, y con los esquemas de los demás
individuos que lo rodean.
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En general, los psicólogos cognitivos describen al aprendizaje como “un
proceso generativo en el cual el significado y la comprensión deben ser
construidos por los alumnos de forma individual.
Los resultados del aprendizaje son descritos en las representaciones internas
del conocimiento, conocidas como estructuras cognitivas, los cuales se forman
a través de la asimilación de nueva información en las estructuras de memoria
ya existentes, por el acomodo de la estructura cognitiva a la nueva
información.” (Piaget 1948).
Es evidente que cada alumno tiene una cultura previa (Vygotsky) y si se
producen nuevos aprendizajes, estos tienen que formar parte de la nueva
cultura del alumno, que se habrá ampliado. En relación con este planteamiento,
desde la perspectiva del aprendizaje significativo (Ausubel 1992), para evitar
aprendizajes mecánicos y memorísticos, necesariamente, se tienen que
producir dos condiciones: que el profesor presente los nuevos contenidos en la
cultura del alumno y que el alumno quiera incorporarlos a su cultura.
Considerando lo anterior y sin alejarnos de ello, nos enfocaremos en la
descripción de un modelo de instrucción de pensamiento geométrico, que sigue
las mismas líneas estructurales del constructivismo y el aprendizaje
significativo, orientado a la instrucción de la geometría como rama de la
matemática, conocido como el Modelo de Van Hiele.
Los esposos Van Hiele, fueron quienes introdujeron el modelo de los niveles
de pensamiento con el propósito de desarrollar en los alumnos de la escuela
elemental el razonamiento en la geometría. Los niveles de pensamiento tal y
como fueron aplicados por van Hiele a la geometría son: visualización, análisis,
deducción informal, deducción formal y rigor, donde con cada uno se van
generando los sistemas de relaciones que el alumno utilizará para ir
construyendo su criterio encausado por aprendizajes significativo y que lo hará
converger en la autonomía intelectual para resolver problemas de geometría.
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Ahora, con el fin de ayudar al alumno a pasar de un nivel a otro de
pensamiento dado al nivel inmediatamente superior, los esposos Van Hiele
propusieron cinco fases de aprendizaje, al final de las cuales el alumno habrá
alcanzado un nuevo nivel de pensamiento. Estas fases prestan al docente una
secuencia lógica que le permitirá orientar su instrucción de acuerdo a lo que
sus estudiantes necesitan para el óptimo alcance de sus objetivos.
Hay que tener en cuenta que el tratamiento en el aula no consiste sólo en la
transmisión de los contenidos geométricos, sino en adentrar al alumno en todo
un mundo de experiencias en el conocimiento del espacio que percibe, y en
formas de pensamiento propias de la Geometría (De la Torre Gómez 2003).
Es de especial importancia señalar además, los aportes de la ciencia de la
Didáctica, de la cual tomamos como referente para sostener nuestra propuesta,
a la Teoría de las Situaciones Didácticas (Guy Brousseau 1933). La misma,
apunta a modelar situaciones de enseñanza de modo de permitir una
elaboración y una gestión controlada, y se fundamenta en un enfoque
eminentemente constructivista, partiendo del principio que los conocimientos se
construyen por adaptación a un medio que aparece como problemático para el
sujeto, donde el alumno se enfrenta con la necesidad de adecuar su
conocimiento a un determinado problema, y por lo tanto, los conocimientos
matemáticos aparecen como la solución óptima a los problemas propuestos.
Es por ello que enseñar un conocimiento matemático es una primera
aproximación a hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho
conocimiento una actividad de creación matemática. El aprendizaje es una
modificación del conocimiento que el alumno debe producir por sí mismo y que
el maestro sólo debe provocar, siendo un mediador.
En este marco, el aprendizaje se desarrolla a partir de lo que Brousseau llama
situación adidáctica. Donde el alumno debe entrever una respuesta a un
problema planteado, la cual la encontrará a través de la interrelación con el
medio; ese problema debe ser desequilibrante para el alumno y su resolución
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debe dar lugar al error. El conocimiento buscado debe aparecer como el
necesario para pasar de una estrategia de base a la estrategia óptima.
Para que la integración de los miembros más jóvenes a nuestra sociedad sea
una realidad, es imprescindible la adquisición de una formación matemática
que les permita plantear y resolver problemas cotidianos, desarrollar la
capacidad para explorar, formular hipótesis, razonar lógicamente, predecir,
analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos, entender
situaciones e informaciones y acomodarse a contextos cambiantes.
.
Saber usar símbolos y representaciones gráficas para expresar
relaciones.
Usar el razonamiento para hacer conjetura, desarrollar argumentos y
tomar decisiones, manejando y pudiendo comunica las ideas y los
procedimientos básicos de esta ciencia en todas sus formas: oral,
escrita, gráfica y simbólica.
Establecer posibles relaciones entre los contenidos de las matemáticas y
de ella con otras disciplinas.
Sintetizar e integrar los conceptos, procedimientos y formas de
representación relacionados con los distintos contenidos.
Descubre en una situación problemática, cual es la operación que
debe realizarse.
Establece conclusiones a partir de las informaciones dadas e infiere
hechos.
Relaciona en forma adecuada objetos de su entorno con conceptos
geométricos.
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Explica en forma adecuada el proceso que debe seguirse para
calcular el área de una figura.
Reconoce elementos de la circunferencia.
Elaboración de argumentaciones acerca de la validez de las
propiedades de las figuras bidimensionales (triángulos, cuadriláteros y
círculos) para analizar afirmaciones reconociendo los límites de las
pruebas empíricas.
Producción de argumentaciones con base en propiedades para
determinar condiciones que deben cumplir los puntos referidos a
distancias y justificar construcciones de mediatrices, bisectrices,
circunferencias, círculos como lugares geométricos.
Análisis de polígonos construidos con regla no graduada y compás o
software matemático adecuado, acudiendo a argumentos basados en
propiedades de las figuras en juego.
Análisis reflexivo de procedimientos utilizados para construir figuras a
partir de diferentes informaciones (propiedades y medidas), evaluando la
adecuación de la figura obtenida a la información dada.
Uso de instrumentos de geometría y programas graficadores para la
construcción de figuras a partir de informaciones pertinentes.
Exploración de situaciones en las que hay que estimar y calcular
medidas.
Reconocimiento de problemas extramatemáticos en cuya resolución
sea necesario estimar la medida sin acudir al cálculo.
Selección y uso de unidades, forma de expresar cantidades de acuerdo
a la necesidad que involucre el problema (reducción de cantidades).
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Uso critico de las imágenes
Resolución de problemas
Fotografía como medio visual.
Instrumentos geométricos: compas y regla.
Papel.
Técnica de interrogatorio:
Instrumento:
* El cuestionario
Técnica de solución de problemas:
Instrumentos:
* Pruebas objetivas
*pruebas estandarizadas
Técnica de observación:
Instrumentos:
*Debates
* Listas de verificación (de cotejo)
* Escalas de evaluación
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SECUENCIA
DE
ACTIVIDADES
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Conocimientos que debemos tener en cuenta:
Reconocer los polígonos.
Saber cuál es el área de los polígonos regulares.
Recordemos…
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan
de otro que se denomina centro.
La porción del plano delimitada por una circunferencia se denomina
plano
.
Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una
propiedad cuando:
Todos los puntos cumplen esa propiedad.
Todos los puntos que la cumplen pertenecen a la figura.
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Actividades iniciales: estas actividades tienen el objetivo de verificar los
conocimientos previos de los alumnos sobre características y partes de la
circunferencia y del círculo, vistos en la educación primaria.
Coloca cada palabra en la celda que corresponda:
A partir de las palabras que utilizaste en la actividad anterior
,completa:
La es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia.
El es un segmento que une el
con un punto cualquiera de la circunferencia.
El centro es un punto del cual todos los puntos de
la circunferencia.
Un es la parte de la circunferencia comprendida entre
dos de sus
ARCO
RADIO
CUERDA
DIAMETRO
CIRCUNFERENCIA
SEMICIRCUNFERENCIA
A CENTRO
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El es una cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia.
A continuación se realizará una puesta en común para analizar la
relación de las palabras con la imagen y el texto.
Dada las siguientes características, coloca el nombre
correspondiente:
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A partir de lo comprendido, lee cada uno de los siguientes
enunciados y determina si es verdadero o falso. Justifica tu
respuesta.
Se pedirá a 6 alumnos, elegidos al azar, que dibujen las imágenes
presentadas en el pizarrón, para analizar y debatir sus
características, junto a sus demás compañeros.
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A continuación se les pedirá a los alumnos que se dividan en 5 grupos y
se le entregará a cada uno las siguientes imágenes para su
correspondiente análisis.
Une las siguientes imágenes con sus respectivas posiciones:
Se realizará una puesta en común.
TANGENTES EXTERIORES
TANGENTES INTERIORES
CONCENTRICAS
EXTERIORES
INTERNAS
SECANTES
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Actividades de desarrollo: el objetivo de esta etapa es ver el origen de las
formula de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Un día los egipcios, soltaron la cuerda de la estaca alrededor de la cual giraba
y la llevaron sobre la circunferencia para ver cuántas veces cabía en ella.
Probaron con muchas circunferencias y siempre obtuvieron aproximadamente
el mismo resultado.
Te invito a realizar lo mismo que hicieron los egipcios, teniendo en
cuenta diferentes circunferencias, comparar sus radios y diámetros con
la longitud de las mismas. Completa la siguiente tabla:
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Analiza y responde:
¿Cuál es la relación que hay entre la división de la longitud de la
circunferencia y el radio?
¿Cuál es la relación que hay entre la división de la longitud de la
circunferencia y el diámetro?
Como habrás podido comprobar el diámetro cabe tres veces y un poquito en la
longitud de la circunferencia, y el radio más de 6 veces y menos de 7.
Esa relación numérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta por
griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi).
A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez más
cercana de ese número, manejándose actualmente hasta un millón de cifras.
Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras.
Cuando utilizamos el 3,1416 redondeamos ya que el valor de corresponde a
3,141592653589793... Es un número irracional.
A lo largo de la historia, muchos matemáticos se preocuparon por aproximar el
valor de
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Entonces en conclusión…
¿Cómo se obtiene la longitud de la circunferencia?
¿con la medida del diámetro se puede obtener la longitud de la
circunferencia?
¿y con la medida del radio?
Realiza los cálculos correspondientes para cada caso:
Halla la longitud en cm de una rueda de bicicleta que mide 50cm de
radio.
A. 157cm
B. 314cm
C. 103cm
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La longitud de un aro es de 14dm. ¿Cuántos dm mide el radio?
Las ruedas de un vehículo tienen 60cm de diámetro. ¿Cuántos cm
recorren cada vez que dan una vuelta completa?
La rueda de un camión tiene 90cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el
camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
Se realizará una puesta común sobre los cálculos realizados.
A. 2,22dm
B. 4,45dm
C. 143,14dm
A. 188,4cm
B. 376,8cm
C. 240cm
A. 5,65m
B. 565,2m
C. 282,6m
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A continuación analizaremos el área del círculo
Si buscamos en los libros encontramos que el área del
círculo se calcula usando la fórmula:
A = x r²
Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?
Lo que vamos a hacer es romper un círculo en pequeños trozos y con ellos
volver a armarlo en una forma de la cual conocemos cómo calcular su área... el
rectángulo.
Tal vez te preguntes ¿cómo haremos para reordenar las piezas de un círculo y
armar un rectángulo? Vamos a verlo... ¡es fácil!
Comenzaremos con el círculo que queremos dividir:
Ahora dividiremos el círculo en 4 partes:
Luego las ensamblamos tratando de formar un rectángulo:
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No es exactamente un rectángulo, ¿no?. Pero no hemos terminado todavía.
Vamos a romper el círculo en trozos más pequeños, en octavos:
... y organizamos las piezas en forma rectangular:
Este sin duda comienza a verse como un rectángulo, ¡pero todavía falta!. El
siguiente paso es volver a dividir en trozos más pequeños:
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Al ponerlos juntos estamos más cerca de parecerse a un rectángulo:
El objetivo es lograr una forma lo más cercana posible al rectángulo, de manera
que podamos encontrar su área utilizando la fórmula del rectángulo: A = l x a
Seguimos rompiendo el círculo en piezas más pequeñas. Al ordenar todas las
piezas, la forma sería algo como esto:
Esta figura es muy cercana a un rectángulo perfecto, pero puedes ver que la
parte superior e inferior no están aun perfectamente rectas.
¿Puedes visualizar lo que sucederá si continuamos rompiendo el círculo en
piezas cada vez más y más pequeñas?
Las piezas serían tan pequeñas que no las podríamos ver, y la parte superior e
inferior del rectángulo formado con ellas, parecería perfectamente recta. Esto
es lo que queremos ver:
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¡Un rectángulo perfecto!.
Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar su área, utilizando la
fórmula
A = l x a
La siguiente pregunta es: ¿Cuál es el largo y el ancho de nuestro rectángulo
hecho con partes del círculo?
Vamos a volver a una imagen anterior, para que puedas ver las partes del
círculo más claramente:
La longitud del círculo original es la distancia alrededor, o sea la circunferencia:
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La mitad de esta distancia alrededor del círculo, r, va en la
parte superior del "rectángulo", y la otra mitad, también de longitud r, va en
la parte inferior:
En otras palabras, sumadas la parte superior e inferior obtenemos 2 r, o sea
la longitud de la circunferencia.
El ancho del "rectángulo" es el radio del círculo r.
Entonces, sabemos que el largo del "rectángulo" es r y el ancho es r. Ahora
podemos encontrar el área del rectángulo formado con pequeños trocitos del
círculo, usando la fórmula del rectángulo:
... y allí tenemos la fórmula para el área del círculo con la cual comenzamos!
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De acuerdo a la visto…
Conociendo el radio, ¿podemos calcular el área del círculo?
Y conociendo la longitud de la circunferencia. ¿puedes calcularlo?
¿podemos encontrar el radio y el diámetro de una circulo conociendo su
área?
Un círculo tiene 9 cm de radio. ¿Cuál es su área en cm2?
A. 254,34 cm2
B. 28,26 cm2
C. 56,52 cm2
El diámetro de un cartel circular es de 8 centímetros. ¿Cuál es el área?
D. 200,96 cm2
E. 50,24 cm2
F. 12,56 cm2
El área de un círculo es de 78.5 metros cuadrados. ¿Cuál es el radio?
G. 5 m
H. 25 m
I. 12,5 m
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Actividades de cierre: estas actividades tienen carácter integrador respecto a
los contenidos vistos, llevándolo a situaciones de la vida real.
1) Dibujar una réplica de la rueda en tu carpeta, indicando paso a
paso su construcción.
2) ¿cuantas circunferencias debes realizar para el dibujo?
3) ¿hay círculos?
4) ¿Cómo se denomina el área entre las dos circunferencias de
mayor longitud?
5) Si el diámetro de la carreta es de 1,20 m ¿Cuántos metros recorre
la rueda al dar una vuelta? ¿y al dar 100 vueltas?
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6) Si el radio de la circunferencia más grande es de 60 cm, y el radio
de la segunda circunferencia más grande es de 50 cm… ¿cuál es
el área de la corona circular?
7) Si la circunferencia del eje es aproximadamente 452.389342117
cm2, ¿Cuál es la longitud del radio?
8) ¿Cuál es la longitud de los rayos de madera de la rueda?
Lee la siguiente leyenda y luego responde:
Érase una vez un legendario país, llamado Tiro, que estaba gobernado por el
anciano rey Muto. El rey tenía una hija de prodigiosa belleza, Dido, que se
casó con el hombre más rico e influyente de Tiro.
Pigmalión, hijo del rey y hermano de Dido, fue coronado a la muerte de su
padre, pero era tan ambicioso que mató a su cuñado para apoderarse de sus
riquezas. Dido, horrorizada, decidió abandonar Tiro con unos cuantos hombres
descontentos y otras tantas jóvenes consagradas a Afrodita que ellos llevaron
consigo para desposarlas. Huyeron en varios bajeles cargados con las riquezas
que Dido pudo salvar y navegaron hacia el Sur.
Llegaron a las costas de África, donde vivían los getulos, una tribu de libios
cuyo rey era Jarbas. Pidió hospitalidad y un trozo de tierra para instalarse en
ella con su séquito. Jarbas le dijo que le daba tanta tierra como la que pudiera
abarcar una piel de buey, satisfecho por un trato que adivinaba muy ventajoso.
Pero pasó que Dido a fin de que la piel abarcara la máxima tierra posible, la
hizo cortar finas tiras y así consiguió circunscribir un extenso perímetro. Tras
esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que más tarde se convirtió en la
ciudad de Cartago.
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A continuación:
Calcule qué área, según esta leyenda, podría ocupar la fortaleza,
considerando que la piel de toro tenía 4 m2 de superficie y que las tiras
que Dido cortó de aquélla eran de 1 mm de anchura.
¿Cuál es el área que ocupa la ciudad de Cartago?
El centro de la ciudad, ¿a qué distancia se encuentra de los perímetros
de Cartago?
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Imagine la siguiente situación. Usted está acostumbrado a comer pizza cerca
de su casa. La pizzería de su barrio, vende pizzas “circulares” y las ofrece en
diferentes tamaños (o sea, varían los diámetros).
Si la pizza que tiene 10 centímetros de diámetro se vende a $ 10. ¿Cuánto
debería costar la misma pizza pero cuyo diámetro es de 20 centímetros?
Realizar todos los procedimientos.
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Lista de cotejo para evaluar
Actividad Criterios Puntuación
parcial total
La rueda de la carreta
Descubre en una situación problemática, cual
es la operación que debe realizarse.
0,5%
Reconoce elementos de la circunferencia y
círculo.
0,5%
Relaciona en forma adecuada objetos de su
entorno con conceptos geométricos.
0,4%
Explica en forma adecuada el proceso que
debe seguirse para calcular el área de una
figura.
0,6%
La leyenda de Dido y
Cártago
Descubre en una situación problemática, cual
es la operación que debe realizarse
0,5 %
Reconoce elementos de la circunferencia y
círculo.
0,3%
Relaciona en forma adecuada objetos de su
entorno con conceptos geométricos.
0,2%
Explica en forma adecuada el proceso que
debe seguirse para calcular el área de una
figura.
1,0%
¿Cuánto debería salir
una pizza?
Descubre en una situación problemática, cual
es la operación que debe realizarse
1,0%
Reconoce elementos de la circunferencia y
círculo.
0,5%
Relaciona en forma adecuada objetos de su
entorno con conceptos geométricos.
0,5%
Explica en forma adecuada el proceso que
debe seguirse para calcular el área de una
figura
1,0%
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Lista de cotejo
Escuela:
Curso:
Profesor:
Indicadores de logro Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4
Descubre en una
situación problemática,
cual es la operación que
debe realizarse.
Establece conclusiones a
partir de las
informaciones dadas e
infiere hechos.
Relaciona en forma
adecuada objetos de su
entorno con conceptos
geométricos.
Explica en forma
adecuada el proceso que
debe seguirse para
calcular el área de una
figura.
Reconoce elementos de
la circunferencia.
Participación activa en todas las actividades.
SI-NO.
Para calcular la valoración, el punteo obtenido por cada estudiante, divida el total
de si entre el total de aspectos y multiplíquelo por cien y eso le dará el porcentaje.
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BIBLIOGRAFÍA
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Bibliografía
Diseño Curricular Preliminar, ciclo básico, educación secundaria, (pag.
43-45)
Patricia Sadovsky. La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para
pensar y actuar la enseñanza de la Matemática
Atenex, 17 de agosto de2014,
http://conteni2.educarex.es/mats/11798/contenido/
Plan Ceibal: circulo y circunferencia 2, 17 de agosto de 2014,
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/100303_circ
ulo_circunf2.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html
Blog: “tierra a la vista”, Ana de la fuente, 17 de agosto de 2014,
http://iestierra.blogspot.com.ar/2011/05/dido-y-la-piel-de-un-buey.html