UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 33

2.4 La circunferencia y el crculo

OBJETIVOS

Calcular el rea del crculo y el permetro de la circunferencia.

Calcular el rea y el permetro de sectores y segmentos circulares.

Calcular la medida de ngulos y arcos en la circunferencia.

Resolver problemas de reas y permetros en los cuales estn relacionadas varias figuras geomtricas.

Definicin

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que estn a una distancia

dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. El punto dado se llama centro de la circunferencia.

El crculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia. El radio es el segmento que

une el centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. La figura siguiente muestra una

circunferencia de radio r y centro en el punto O.

O

r

Algunos elementos en la circunferencia

Algunos de los elementos geomtricos que se relacionan con la circunferencia son

Cuerda:

Es un segmento cuyos puntos extremos estn sobre la circunferencia. En la figura de abajo los segmentos

AB y CD son cuerdas.

Dimetro:

Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura AB es un dimetro.

Secante:

Es una recta que contiene a una cuerda. En la figura las rectas AB y CD son secantes.

Tangente:

Es una recta que se encuentra en el mismo plano que la circunferencia y que la interseca solamente en un

punto. El punto de interseccin se llama punto de tangencia. Una recta tangente es perpendicular al

radio en el punto de tangencia.

En la figura la recta EF es tangente a la circunferencia en el punto P, por lo tanto el radio OP es

perpendicular a la recta tangente en P.

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 34

O

r

P

F

E

A B

C

D

rea y permetro

Las expresiones para calcular el rea del crculo y el permetro de la circunferencia son

2

2

A r

P r

Ejemplo 1: Crculo inscrito en tringulo equiltero

Encuentre el rea de un crculo inscrito en un tringulo equiltero de lado 6 cm.

Solucin

La figura muestra el crculo inscrito en el tringulo equiltero, donde l es el lado del

tringulo, H es la altura del tringulo y r es el radio de la circunferencia.

r

H

H r

r

/2l

Por el teorema de Pitgoras se puede calcular la altura H ya que se conoce el lado del

tringulo 6l

2

2 2

2 22 2

2

2

3

4 4

3 3 3(6) 3 3

4 2 2

lH l

l lH l

lH l

Ahora observe que el tringulo que tiene base r e hipotenusa H r es semejante al

tringulo de base l/2 e hipotenusa l ya que ambos son rectngulos y tienen un ngulo

agudo comn. Al aplicar proporcionalidad entre sus lados se tiene

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 35

2l

H r l

r

Despejando r y sustituyendo los valores de l y H se obtiene

2

2

3

3

3 33

3

H r

r

H r r

H r

Hr

r

Entonces el rea del crculo es

2

2 3 3A r

Ejemplo 2: Tringulo issceles inscrito en crculo

Encuentre el rea de un tringulo issceles inscrito en un crculo de radio R si la altura del tringulo es

igual al doble de su base.

Solucin

En la figura se muestra el tringulo inscrito, as como su altura y el radio del crculo

trazado a uno de los vrtices del tringulo.

R

2b

2b RR

b

Al aplicar el teorema de Pitgoras en el tringulo rectngulo cuya hipotenusa es R, uno

de sus catetos es 2b R y el otro cateto con longitud 2

b se tiene

2

22 22

bR b R

Despejando la base b en trminos del radio R se tiene

22 2 2

2 2

4 44

0 16 16

bR b bR R

b b bR

Trasladando los trminos al lado izquierdo y factorizando se tiene

217 16 0

(17 16 ) 0

b bR

b b R

Como b no puede ser igual a cero se tiene que

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 36

16

17

Rb y 16 322 2

17 17

R Rh b

El rea del tringulo es

21 1 16 32 2562 2 17 17 289

R RA b h R

Arcos, sectores y segmentos

ngulo central:

Es el ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia. En la figura es un ngulo central.

O

Arco:

Si A y B son dos puntos en una circunferencia, el arco AB , est formado por los puntos A y B y por todos

los puntos de la circunferencia entre A y B. Como hay dos arcos que se pueden asociar a dos puntos sobre

una circunferencia, es importante aclarar a cul de los arcos se est haciendo referencia. Por ejemplo, en

la siguiente figura para referirse al arco subtendido por el ngulo , se puede utilizar un punto

intermedio entre los puntos A y B, y llamarlo arco ACB

O

A

B

C

Longitud de arco:

Como el permetro de una circunferencia es 2 r , es lgico pensar que la longitud del arco est relacionada

con el permetro de la misma. De hecho si el ngulo central es , su medida est en grados y el radio de

la circunferencia es r, la longitud del arco es

2360 180

rl r

Sector circular:

Un sector circular es una regin plana limitada por dos radios y un arco. En la figura ABO es un sector

circular.

O

A

Br

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 37

Como el rea de un crculo es 2r , es razonable pensar que el rea de un sector sea proporcional al

ngulo y al rea del crculo. La expresin para calcular el rea del sector circular cuando el ngulo

est expresado en grados es

2( )360

A r

El permetro se obtiene sumando la longitud del arco con el doble del radio, es decir

2180

rP r

Segmento circular:

Un segmento circular es la regin limitada por una cuerda y por un arco del crculo. En la figura ACB es

un segmento circular

O

A

Br

C

El rea del segmento circular se obtiene restando el rea del tringulo al rea del sector, es decir

sector tringulo A A OACB A OAB

El permetro del segmento se obtiene sumando la longitud del arco con la longitud de la curda, es

decir

longitud longitud P ACB AB

Ejemplo 3: Calculando el rea sombreada

La figura muestra una semicircunferencia con centro en el punto O, cuyo dimetro es 20 cm y un sector

circular con centro en el punto P. Encuentre el rea sombreada.

P

O

Solucin

Para calcular el rea sombreada, se debe expresar el rea sombreada como la suma y

resta de reas de figuras geomtricas conocidas (tringulos, crculos, cuadrados, etc.).

Para ello hay que observar con detenimiento la regin sombreada y disear una

estrategia. Muchas veces el mismo problema se puede resolver combinando las reas

de formas diferentes.

En ste problema el rea sombreada se puede calcular como el rea del semicrculo

de radio 10r cm, menos el rea del segmento circular de radio R.

El rea del semicrculo es

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 38

r

2 21

1 1(10) 50

2 2A r

Para calcular el rea del segmento primero hay que calcular el radio R usando el

teorema de Pitgoras

20

RR

2 2 2

2

20

2 400

200 10 2

R R

R

R

El rea del segmento 2A es el rea del sector menos el rea del tringulo, es decir

22

2

1( ) ( )( )

360 2

90 110 2 10 2 10 2

360 2

100(2) 100(2)

4 2

50 100

A R R R

Finalmente el rea sombreada es

1 2

2

50 (50 100)

100 cm

A A A

Ejemplo 4: Calculando el rea sombreada en crculos

La figura muestra una circunferencia de 8 centmetros de radio que tiene

inscritas tres circunferencias. Las dos circunferencias pequeas tienen radio de

3 centmetros y son tangentes interiormente a la circunferencia mayor y al

dimetro mostrado con lnea discontinua. La otra circunferencia tiene radio

desconocido y es tangente a las dos circunferencias pequeas y a la circunferencia

mayor. Encuentre el rea sombreada.

Solucin

En la siguiente figura se han trazado algunos segmentos que muestran las relaciones

entre los radios de las circunferencias.

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 39

r

r

3

333

8 r

5

Note que se forman dos tringulos rectngulos, en el tringulo pequeo, el cateto menor

mide 3 cm y la hipotenusa mide 5 cm pues es la diferencia entre el radio mayor 8 y el

radio menor 3. Al calcular el cateto mayor de ste tringulo se obtiene

5

3

h

2 2 23 5

25 9 4

h

h

Al utilizar el teorema de Pitgoras en el otro tringulo rectngulo se tiene

3

h 3 r(8 ) 4r

2 2 2(8 ) 4 (3) (3 )r r

Resolviendo la ecuacin anterior para r

2 2

2 2

(8 ) 8(8 ) 16 9 9 6

64 16 64 8 16 6

144 24 6

30 144

144 24

30 5

r r r r

r r r r r

r r

r

r

El rea sombreada en la figura es

2

2 2

2

24 576(8) 2 (3) 64 18

5 25

574cm

25

sA

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 40

O

A

B

C

A C

B

C

B

A

A

C

B

Medida de arcos y ngulos en la circunferencia

Ya se ha definido un arco de la circunferencia y se ha calculado su longitud. Un arco de circunferencia

tambin puede ser medido en grados, en este sentido, la medida de un arco se define como la medida de

su ngulo central. En la figura la medida del arco ACB es

ACB

Los siguientes teoremas permiten calcular una serie de ngulos y arcos que son formados cuando dos

rectas secantes o tangentes se intersecan para formar ngulos en el interior o en el exterior de una

circunferencia.

Angulo inscrito en la circunferencia

Un ngulo se llama inscrito si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de

la circunferencia. La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que intercepta.

1

2BC

Un caso especial del ngulo inscrito es el que subtiende un arco de 180, la medida de ste ngulo esa

es 90, como se muestra en la siguiente figura

1 1 (180 ) 902 2

BAC

De donde se puede concluir que la medida de un ngulo inscrito en una semicircunferencia es 90.

Angulo formado por una secante y una tangente

La medida de un ngulo que tiene su vrtice en la circunferencia y sus lados estn formados por una recta

secante y por una recta tangente a la circunferencia, es igual a la mitad de la medida del arco interceptado.

1

2ACB

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 41

A

CB

D

A

C

B

D

A

B

C

A

B

C

Angulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de la

circunferencia

La medida de un ngulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de una circunferencia,

es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados.

12

AB CD

Angulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de la circunferencia

La medida de un ngulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de una circunferencia, es igual

a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

12

CD AB

ngulo formado por una tangente y una secante que se intersecan fuera de la

circunferencia.

La medida de un ngulo formado por una tangente y una secante que se intersecan en el exterior de una

circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

12

AB AC

ngulo formado por dos tangentes que se intersecan fuera de la circunferencia.

La medida de un ngulo formado por dos tangentes que se intersecan en el exterior de una circunferencia,

es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

12

ABC AC

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 42

Ejemplo 5: Calculando ngulos en la circunferencia

En la figura mostrada el segmento AP es tangente a la circunferencia en A, los segmentos AD y BE son

dimetros, la medida del arco 115AE , los segmentos AD AP . Encuentre la medida de todos los ngulos numerados.

A

C

P

B

D

E

1

234

56

78

9

10

Solucin

Los ngulos no necesariamente se calcularn en el orden en que estn numerados. En

ocasiones es necesario calcular la medida de ciertos arcos para luego calcular los

ngulos.

l 8 es un ngulo central ya que los segmentos AD y BE son dimetros, entonces

8 115AE

l 3 es igual al 8 pues son ngulos opuestos por el vrtice, entonces

3 8 115

l 2 es suplementario del ngulo 8 , entonces

2 180 8 180 115 65

Como el segmento BE es un dimetro, entonces

180BAE

Calculando el arco AB

180

180 180 115 65

AB AE

AB AE

l 4 es un ngulo inscrito en la circunferencia, entonces

1 65

4 32.52 2

AB

Como la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180

5 180 4 8 180 32.5 115 32.5

l 1 est formado por una tangente y una secante a la circunferencia, entonces

1 1 501 115 65 252 2 2

AE AB

Como los segmentos AD AP , entonces el tringulo DAP es issceles y los ngulos

10 y APD son iguales. Por otro lado el segmento AD es perpendicular al segmento

AP, entonces el tringulo DAP es rectngulo y tambin es issceles, entonces

10 45

Como la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180

9 180 10 3 180 45 115 20

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 43

El tringulo DAP es rectngulo pues est inscrito en una semicircunferencia,

entonces los ngulos 6 y 10 son complementarios, entonces

6 90 10 90 45 45

Solo falta calcular 7 , para hacerlo se usar la suma de los ngulos internos de un

tringulo, pero antes hay que calcular el EAC

5 6 32.5 45 77.5EAC

Finalmente se puede calcular el 7

7 180 4 180 77.5 32.5 70EAC

Ejercicios de la seccin 2.4

1. Encuentre el rea de un crculo si su permetro

es 44 cm.

2. Encontrar el permetro de un crculo si su rea

es 24 cm2.

3. Encuentre el rea comprendida entre dos

crculos que tienen el mismo centro si los

dimetros son 12 cm y 16 cm.

4. Encuentre el rea de un crculo inscrito en un

cuadrado de 6 cm de lado.

5. Se inscribe un semicrculo en un rectngulo de

base 20 cm y altura 10 cm como se muestra en

la figura. Calcule el rea sombreada.

6. Se inscribe un semicrculo en un rectngulo de

base 16 cm. Encuentre el rea sombreada.

7. En la figura los cuatro crculos son tangentes

entre s y tienen el mismo radio de 5 cm.

Encuentre el rea sombreada.

8. Encuentre el rea de un cuadrado inscrito en

un crculo de radio 6 cm.

9. Encuentre el rea de un cuadrado inscrito en

un semicrculo de radio 6 cm.

10. Un rectngulo de 6 cm por 8 cm est inscrito

en un crculo. Encontrar el rea que est

dentro del crculo pero fuera del rectngulo.

11. El tringulo de la figura es equiltero de lado

10 cm. Encuentre el rea sombreada.

5

5

5

5

5

5

12. Encuentre el rea sombreada

5

5

5

5

55

13. La figura muestra un tringulo inscrito en una

semicircunferencia. Encuentre el rea

sombreada.

16 12

14. Los radios de dos crculos concntricos difieren

en 2 . Encontrar el radio de cada crculo

sabiendo que el rea del anillo formado es

2 1 3 2 .

15. Se inscribe un cuadrado en un cuarto de

crculo de radio 5 cm, como se muestra en la

figura, encuentre el rea sombreada

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 44

16. Dos semicrculos estn inscritos en un

cuadrado de lado 6 cm, como se muestra en la

figura. Encontrar el rea sombreada.

17. En un crculo de radio 6 cm, se recorta un

anillo de rea igual a la mitad del rea del

crculo, encontrar el ancho del anillo.

18. Se inscribe un tringulo equiltero en un

crculo de radio 8 cm. Encontrar el rea del

segmento limitado por un lado del tringulo y

por la circunferencia.

19. En un crculo de radio 6 cm, calcule el rea del

segmento si la longitud de la cuerda es 6 cm.

20. Encontrar el permetro de un segmento si el

radio del crculo es 12 cm y el ngulo central

mide 120.

21. La figura muestra dos crculos iguales de radio

8 cm que se intersecan de manera que su

cuerda comn mide 8 cm. Encontrar el rea

sombreada

22. Dos rectas tangentes a una circunferencia

interceptan un arco de 120. Si las dos rectas

se interceptan entre ellas, encontrar el

permetro de la regin limitada por las dos

tangentes y el arco.

23. En un crculo de radio 10 cm se inscribe un

trapecio issceles cuyas bases miden 12 y 16

cm. Si el centro del crculo queda en el interior

del trapecio, encontrar el rea dentro del

crculo pero fuera del trapecio.

24. En la figura se muestra un trapecio issceles

cuyas bases miden 18 cm y 8 cm. Todos los

lados del trapecio son tangentes a la

circunferencia. Encontrar el rea del trapecio.

25. Un rombo tiene diagonales de 18 y 24 cm.

Encontrar el rea del crculo inscrito en el

rombo.

26. Un trapecio issceles se inscribe en un

semicrculo de radio 1 cm, de tal forma que uno

de los lados paralelos coincide con el dimetro

del semicrculo. Si la diagonal del trapecio

mide 3 , encuentre el rea del trapecio.

27. En la figura se muestra un semicrculo inscrito

en un tringulo rectngulo cuyos catetos

miden 8 cm y 6 cm. Calcule el rea sombreada.

28. Se inscribe un crculo en un tringulo

rectngulo cuyos catetos miden 4 cm y 2 cm.

Encuentre el rea sombreada.

29. Una ventana de iglesia tiene la forma de un

rectngulo con un semicrculo sobrepuesto,

como se muestra en la figura. Determine las

dimensiones de la misma si su permetro es

10 2 y su rea es 8

30. Se quiere construir un campo de futbol

rectangular con un rea de 6,000 metros

cuadrados. El diseo incluye dos reas

semicirculares en cada extremo para formar

una pista de atletismo de longitud total de 400

metros, como se muestra en la figura.

Determine las dimensiones de la pista.

31. En la figura se muestran dos semicrculos

inscritos en un semicrculo de radio 4 cm. Si

la longitud del segmento AB es 3 cm.

Encuentre el rea sombreada.

A

B

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 45

32. En la figura se muestra un tringulo

equiltero de 2 cm de lado y una

semicircunferencia que tiene su dimetro

sobre uno de los lados del tringulo.

Encuentre el rea sombreada.

33. Tres crculos iguales de 12 cm de radio son

tangentes entre s. Encontrar el rea

sombreada.

34. Encuentre el rea sombreada en la siguiente

figura.

44

4

44

4

35. La figura muestra un tringulo rectngulo

cuyos catetos miden a y b, inscrito en una

semicircunferencia. Adicionalmente la figura

tiene dos semicrculos con centro en el punto

medio de los catetos. Encuentre el rea

sombreada.

36. Un jardn circular tiene 12 metros de dimetro

y es atravesado por un camino de concreto 3

metros de ancho, de forma que uno de los lados

del camino pasa por el centro del jardn.

Encontrar el rea que est sembrada.

37. Los lados de un tringulo issceles miden 5, 5

y 6 cm. Encontrar la razn de las reas de los

crculos inscrito y circunscrito.

38. En un crculo de radio R se inscribe y se

circunscribe un tringulo equiltero.

Encontrar la razn de las reas del tringulo

inscrito al tringulo circunscrito.

39. Un semicrculo de radio R contiene en su

interior otro semicrculo de radio desconocido.

Si la longitud de la cuerda AB es 24 cm.

Encontrar el rea sombreada.

A B

40. La figura muestra un semicrculo de radio 6

cm que tiene en su interior dos crculos

inscritos. Si los dos crculos inscritos son

tangentes entre s y tangentes al semiccrulo,

como se muestra en la figura. Encontrar el

rea sombreada.

6

41. Encuentre la altura h si los crculos tienen

radios de 10 cm y 4 cm.

h

42. En la figura el segmento PC es un dimetro y

el segmento AC es tangente en P. Encuentre

la medida de los ngulos numerados.

O

P

C

A

B

C

12

40

3

43. En la figura 110CD . Encuentre la medida de los ngulos numerados.

E

D

A

B

C

1

2

3

25

4

UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 46

44. En la figura 120BC , 85EC Encuentre la medida de los ngulos

numerados.

E

D B

C

1

2

3

40

4

5

6

45. En la figura el segmento CE es un dimetro,

25CB , 80DE , 60AE Encuentre la medida de los ngulos numerados.

D

B

C

1

25

4

3

A

E

F

O

6

7

46. En la figura el segmento BE es un dimetro, la

recta AG es tangente en A, 80AB ,

20BC , 50DE . Calcule la medida de los ngulos numerados.

O

C

E

D

B

A

1F

2

34

56

10

8 7

9 G

47. En la figura la recta ET es tangente en A,

ET FD , el arco 140AD , 50BC .

Encuentre la medida de los ngulos

numerados.

T

CF

E

D

B

A

12

3

45

6

108 7

911

12

48. En la figura el segmento CE es un dimetro,

80CD , 50BC , 3 20 . 6 30 .

El segmento AP es tangente en A. Encuentre

la medida de los ngulos numerados.

O CE

D

BA

12

3

4

56

10

87

9

P

11

12