CIRCULO DE MHOR 3

8/4/2019 CIRCULO DE MHOR 3

1/10

REPRESENTACIN DEL ESTADO TENSIONAL DE UN SLIDO.CRCULOS DE MOHR

Los crculos de Mohr son un mtodo para representar grficamente el estado tensional que padeceun punto de un slido en un instante determinado. Aunque actualmente, gracias a los ordenadores,

es posible calcular las tensiones con gran precisin sin recurrir a estos mtodos, siguen siendo degran validez puesto que de un solo golpe de vista hacen comprensible la situacin tensional delslido.Para entender esta representacin repasaremos brevemente algunos conceptos ya estudiados comolos de esfuerzo (tensin) y deformacin, y su modo de ser expresados.

1. ESFUERZO

El esfuerzo o tensin se define como una fuerza por unidad de rea, con unidades en psi o MPa. Enuna pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen como una funcin continuamentevariable dentro del continuo del material. Cada elemento infinitesimal en el material puedeexperimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo, por lo que debemos considerar los esfuerzos comoactuando sobre elementos infinitesimalmente pequeos dentro de la pieza. Estos elementos suelen

modelarse cada uno como un cubo, segn se muestra en la Figura 4-1. Las componentes de losesfuerzos actan en las caras de estos cubos de dos maneras distintas. Los esfuerzos normalesactan de manera perpendicular (es decir, normal) a la cara del cubo y tienen tendencia ya sea a tirarde l (esfuerzo a traccin), o a empujarlo (esfuerzo a compresin). Los esfuerzos cortantes actanparalelos a las caras de los cubos, en pares sobre caras opuestas, lo que tiende a distorsionar elcubo a forma romboidal. Esto es anlogo a tomar las dos rebanadas de pan de un sndwich deNocilla y deslizarlas en direccin opuesta. Como resultado, la capa de Nocilla se cortar. Estascomponentes normales y cortantes del esfuerzo que actan sobre un elemento infinitesimalconforman los trminos de un tensor.

El esfuerzo es un tensorde segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes paradescribirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede expresar comola matriz:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

(4.1a)

donde la notacin para cada componente de esfuerzos contiene tres elementos, una magnitud (yasea o ), la direccin de una normal a la superficie de referencia (primer subndice) y en unadireccin de accin (segundo subndice). Nos serviremos de referimos a los esfuerzos normales y para los esfuerzos cortantes.

Muchos elementos de maquinaria estn sujetos a estados de esfuerzo tridimensionales y por lo tanto

requieren un tensor de esfuerzo como el de la ecuacin 4.1a. Hay, sin embargo, casos especiales,que se pueden tratar como estados de esfuerzo en dos dimensiones. El tensor de esfuerzo para dosdimensiones es

(4.1b)

La Figura 4-1 muestra un cubo infinitesimal de material tomado del interior de una pieza sujeta aalgunos esfuerzos tridimensionales. Las caras de este cubo infinitesimal son paralelas a un sistemade ejes xyz tomado con alguna orientacin conveniente. La orientacin de cada una de las caras se


2/10

define por su vector superficial normal1 segn se muestra en la Figura 4-1a. La normal de superficie ala cara x es paralela al eje de las x, etctera. Obsrvese que, por lo tanto, hay dos caras x, dos carasy y dos caras z, una positiva y la otra negativa, segn se defina el sentido de su vector superficialnormal.

En las Figuras 4-Ib y c se muestran los nueve componentes de esfuerzo, actuando sobre las

superficies de este elemento infinitesimal. Las componentes xx, yy y zz son los esfuerzos normales,que se llaman as porque actan en direccin normal a las superficies x, y, z del cubo,respectivamente. Las componentes xyy xz, por ejemplo, son los esfuerzos cortantes que actansobre la cara x y cuyas direcciones de accin son paralelas a los ejes y y z, respectivamente. El signode cualquiera de estas componentes se define como positivo si los signos de su normal a lasuperficie y la direccin de fuerzo son iguales; y negativo, si son distintos. Por lo que lascomponentes que se muestran en la Figura 4-lb son todas ellas positivas, porque accionan sobre lascaras positivas del cubo y sus direcciones tambin son positivas. Las componentes que se muestranen la Figura 4- 1 c son todas ellas negativas, porque actan sobre las caras positivas del cubo y susdirecciones son negativas. Esta regla de signos convencional hace que los esfuerzos normales detraccin sean positivos, y los esfuerzos normales de compresin, negativos.

En el caso de dos dimensiones, slo una cara del cubo de esfuerzos necesita dibujarse. Si se

retienen las direcciones x y y, y se elimina la z, miraremos perpendicularmente al plano xy del cubo dela Figura 4-1, y veremos los esfuerzos que aparecen en la Figura 4-2, que actan sobre las caras novistas del cubo. En funcin de la regla convencional de signos arriba enunciada, el lector deberconfirmar que las componentes de esfuerzo que aparecen en la Figura 4-2 sean todas positivas.

La notacin de doble subndice arriba citada es consistente cuando se aplica a esfuerzos normales.Por ejemplo, el esfuerzo normal xx acta sobre la cara x y tambin aparece en la direccin x. Dadoque en esfuerzos normales los subndices se repiten, es comn eliminar uno de ellos y hacerreferencia a las componentes normales o perpendiculares como x, y y z. En las componentes deesfuerzo cortante se necesitan para su definicin ambos subndices y se conservan. Tambin sepuede demostrar que el tensor de esfuerzo es simtrico, lo que significa que

Con ello se reduce el nmero de componentes de esfuerzo a calcular.

(a) Normales de superficie. (b) Componentes de esfuerzo (c) Componentes depositivas. esfuerzo negativas.

FIGURA 4-1

2. DEFORMACIN

1 Un vector normal de superficie se define como que crece hacia fuera de la superficie del slido, en direccin perpendicular onormal a dicha superficie. Su signo se define como el sentido de este vector normal de superficie, en el sistema local de

coordenadas.


3/10

En la regin elstica de la mayor parte de los materiales de ingeniera el esfuerzo y la deformacinestn relacionados de manera lineal mediante la ley de Hooke. La deformacin es tambin un tensorde segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma

y en el caso de dos dimensiones

(4.3b)

donde representa tanto una deformacin normal como una deformacinproducida por el esfuerzo cortante, quedando ambas diferenciadas por sussubndices. Aqu tambin por comodidad simplificaremos los subndices

repetidos, para deformaciones perpendiculares o normales ax,

y y

z, y altiempo consideraremos dobles subndices para identificar deformaciones por

cortante.

3. ESFUERZOS PRINCIPALES

Los sistemas de ejes tomados en la Figura 4-1 y la Figura 4-2 sonarbitrarios y, por lo general, se eligen por comodidad al calcular losesfuerzos aplicados. Para cualquier combinacin particular de esfuerzosaplicados, alrededor de cualquier punto que se analice habr unadistribucin continua del campo de esfuerzos. Los esfuerzos normales ycortantes en el punto variarn con la direccin en cualquier sistema decoordenadas que se escoja. Siempre habr planos sobre los cuales las

componentes de esfuerzo cortante sean igual a cero. Los esfuerzosnormales que actan sobre esos planos se conocen como esfuerzosprincipales. Los planos sobre los cuales estas fuerzas principales actanse conocen como planos principales. La direccin de las normales desuperficie a los planos principales se conocen como ejes principales y losesfuerzos normales que actan en estas direcciones se conocen comoesfuerzos normales principales. Habr tambin otro conjunto de ejesmutuamente perpendiculares sobre los cuales los esfuerzos cortantessern mximos. Los esfuerzos cortantes principales actan sobre unconjunto o sistema de planos que estn a 45 en relacin con los planos delos esfuerzos normales principales. En la Figura 4-3 aparecen los planosprincipales y los esfuerzos principales, para el caso en dos dimensiones dela Figura 4-2.

Desde un punto de vista de ingeniera lo que ms nos preocupa en eldiseo de nuestras piezas de maquinaria es que no fallen y el fallo ocurrirsi el esfuerzo en cualquier punto excede a cierto valor seguro. Es necesarioque determinemos los esfuerzos de mayor dimensin (tanto normalescomo de cortante) que ocurren en cualquier parte dentro del material queforma nuestra pieza de maquinaria. Quiz nos preocupe menos de ladireccin de estos esfuerzos que su magnitud, siempre y cuando elmaterial se pueda considerar por lo menos macroscpicamente istropo, esdecir, con propiedades de resistencia uniformes en todas direcciones. Lamayor parte de los metales y muchos otros materiales de ingenieracumplen con estos criterios, aunque como notables excepciones se debenmencionar la madera y los materiales compuestos.


4/10

La expresin que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales es

donde es la magnitud del esfuerzo principal y nx, ny y nz, son los cosenos directores del vectorunitario n, que es normal al plano principal:

Para que haya una solucin a la ecuacin 4.4a, el determinante de la matriz de coeficientes debe serigual a cero. Al expandir este determinante e igualarlo a cero, obtenemos

donde

La ecuacin 4.4c es un polinomio cbico en . A los coeficientes C0, C1, y C2 se les conoce comoinvariantes tensoriales, porque tienen los mismos valores, independientemente de la eleccin inicialde los ejes xyz sobre los cuales se midieron o calcularon los esfuerzos aplicados. Estos tresesfuerzos principales (normales) 1, 2 y 3 son las tres races de este polinomio cbico. Las racesde este polinomio son siempre reales y, por lo general, quedan ordenadas de manera que 1>2>3.De ser necesario, se puede determinar la direccin de los vectores principales de esfuerzo,sustituyendo cada raz de la ecuacin 4.4cen 4.4ay resolviendoen funcin de nx, ny ynz, para cadauno de los tres esfuerzos principales. Las respectivas direcciones de los tres esfuerzos principalesson mutuamente ortogonales.

Los esfuerzos cortantes principales se pueden determinar a partir de los valores de los esfuerzosnormales principales, utilizando

Si los esfuerzos normales principales han sido ordenados como se muestra arriba, entonces mx =13. Las respectivas direcciones de los planos de los esfuerzos cortantes principales estn a 45delos esfuerzos normales principales, y tambin son mutuamente ortogonales.

La solucin de la ecuacin 4.4c en funcin de sus tres races se puede hacer de maneratrigonomtrica o mediante un algoritmo iterativo de determinacin de races.

Para el caso especial de un estado de esfuerzos en dos dimensiones, las ecuaciones 4.4 c para elesfuerzo principal se reducen a2

2Tambin se aplican las ecuaciones 4.6 cuando un esfuerzo principal es distinto de cero, pero est dirigido a lo largo de uno de

los ejes del sistema de coordenadas xyz seleccionado para el clculo. El cubo de esfuerzos de la Figura 4-2 se gira entoncesrespecto a un eje principal para determinar los ngulos de los otros dos planos principales.


5/10

Las dos races distintas de cero calculadas a partir de la ecuacin 4.6ase identifican temporalmentecomo a y b, y en el caso de dos dimensiones, la tercera raz c, ser siempre igual a cero.Dependiendo de valores resultantes, las tres races entonces se identifican de acuerdo con la reglaconvencional: la algebraicamente mayor = 1, la algebraicamente menor = 3 Y la otra = 2.Aplicando la ecuacin 4.6apara resolver el ejemplo que aparece en la Figura 4-4 nos dara valoresde 1 = a, 3 = b Y2 = c = 0, segn aparece indicado en la figura

3. Por supuesto, la ecuacin 4.4ccorrespondiente al caso tridimensional se puede utilizar de todas maneras para resolver cualquiercaso endos dimensiones. Uno de los tres esfuerzos principales determinados aparecer entoncescomo igual a cero.

Una vez determinados los tres esfuerzos principales y ordenados segn se describe arriba, sedetermina el esfuerzo cortante mximo a partir de la ecuacin 4.5:

4. ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIN PLANA

El estado general del esfuerzo y la deformacin es tridimensional, pero hay configuracionesgeomtricas particulares que pueden ser tratadas de manera distinta.

Esfuerzo plano

El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial, tambin se conoce como esfuerzoplano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situacin escomn en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarn delgado puede tambin tenerun estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus puntos de sujecin. Estos casos sepueden tratar con el procedimiento ms sencillo de las ecuaciones 4.6.

Deformacin plana

Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformacionesprincipales (digamos 3) es igual a cero, y las deformaciones restantes son independientes de ladimensin a lo largo de su eje principal, n3, ste se conocer como deformacin plana. Estasituacin ocurre en geometras particulares. Por ejemplo, si una barra larga, slida, prismtica estcargada nicamente en la direccin transversal, aquellas regiones dentro de ella que estn lejos decualquier restriccin en sus extremos tendrn en esencia una deformacin igual a cero en la direccina lo largo del eje de la barra, y se tratar de una deformacin plana. (Sin embargo, el esfuerzo no esigual a cero en la direccin de deformacin igual a cero.) Un dique hidrulico largo puedeconsiderarse con una situacin de deformacin plana, en regiones muy lejos de sus extremos o de subase, donde est sujeto a estructuras vecinas.

5. CRCULOS DE MOHR

3 Si en el caso de dos dimensiones la regla convencional de numeracin en tres dimensiones se sigue con rigidez, entonces

algunas veces los dos esfuerzos principales distintos de cero se convertirn en 1 y3 si son de signo opuesto (como en elcaso del ejemplo 4-1). Otras veces sern 1 y2 cuando ambos sean positivos y el menor (3) es igual a cero (como en el caso

del ejemplo 4-2). Una tercera posibilidad es que ambos esfuerzos principales distintos de cero sean negativos (a compresin) yel algebraicamente mayor del conjunto (1) sea entonces igual a cero. La ecuacin 4.6 identifica de manera arbitraria los dosesfuerzos bidimensionales principales distintos de cero a yb, con el que queda (c) reservado para el miembro igual a cerodel tro.


6/10

Desde hace mucho tiempo los crculos de Mohr4 han sido una forma de solucin grfica de laecuacin 4.6 y de determinar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. Muchoslibros de texto sobre diseo de mquinas presentan el mtodo del crculo de Mohr como una tcnicaprimordial de solucin para la determinacin de esfuerzos principales. Antes de la llegada de lascalculadoras y de las computadoras programables, el mtodo grfico de Mohr era una formarazonable y prctica de resolucin de la ecuacin 4.6. Hoy da, sin embargo, es mucho ms prctico

determinar numricamente los esfuerzos principales. Sin embargo, presentamos el mtodo grficopor varias razones. Puede servir como verificacin rpida a una solucin numrica, o quizs sea elnico mtodo viable si falla la energa de su computadora o si se agotan las pilas de su calculadora.Tambin cumple con el til objetivo de ser una presentacin visual del estado de los esfuerzos en unpunto.Tambin hay crculos de Mohr en el caso de esfuerzos tridimensionales, pero no est disponibleningn mtodo de graficacin para crearlos directamente a partir de datos de esfuerzos aplicados,excepto en el caso especial de que uno de los esfuerzos principales sea coincidente con un eje delsistema de coordenadas xyz seleccionado, es decir, cuando uno de los planos es el del esfuerzoprincipal. Sin embargo, una vez calculados los esfuerzos principales a partir de la ecuacin 4.4cmediante alguna tcnica adecuada de determinacin de races, se pueden dibujar crculos de Mohrtridimensionales segn los esfuerzos principales calculados.El plano de Mohr --en el cual se trazan los crculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente

perpendiculares, aunque en el espacio real el ngulo entre ellos representa 180. Todos los ngulosdibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el ejepara todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados x, y y z, se trazan a lo largode este eje y los esfuerzos principales 1, 2 y 3 tambin se determinan sobre este eje. La ordenadaes el eje para todos los esfuerzos cortantes. Se utiliza para trazar los esfuerzos cortantes aplicadosXY, XZ y YZ y determinar el esfuerzo cortante mximo

5. Mohr utiliz una regla convencional de signospara esfuerzos cortantes, que hace que los pares esfuerzo cortante en sentido del movimiento de lasagujas del reloj sean positivos, lo que no es consistente con la regla de la mano derecha, ahoraestndar. Aun as, esta regla convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el crculode Mohr. La mejor manera de demostrar el uso del crculo de Mohr es mediante ejemplos.

4Ideados por el ingeniero alemn Otto Mohr (18351918). Sus crculos tambin se utilizan para la transformacin coordenada

de deformaciones , de los momentos de rea y de los productos de inercia.

5El hecho de que Mohr utilizara un mismo eje para trazar ms de una variable es una de las fuentes de confusin para los

estudiantes cuando se enfrentan por primera vez a este mtodo. Slo se debe recordar que todos los esfuerzos normales setrazan sobre el eje horizontal, trtese o no de esfuerzos normales (x, y, z) o de esfuerzos principales (1, 2 y3) aplicados y

todas las tensiones tangenciales se trazan sobre el eje vertical, independientemente que se trate de esfuerzos cortantes (xy,etctera) o de esfuerzos cortantes mximos aplicados (12, etctera). Los ejes de Mohr no son ejes cartesianos convencionales.


7/10

EJEMPLO 1

Determinacin de los esfuerzos principales mediante los crculos de Mohr

Problema Un elemento de esfuerzo biaxial como se muestra en la Figura 4-2 tiene x =40.000 psi, y = 20.000 psi y xy = 30.000 psi en sentido contrario al de las

manecillas del reloj (ccw). Se pide trazar los crculos de Mohr para determinarlos esfuerzos principales.

Solucin Vanse la Figura 4-2 y la Figura 4-5.

1 Se trazan los ejes del plano de Mohr segn se muestra en la Figura 4-5b, y mrquelos como y.

2 Se sitan los esfuerzos dados x, (como lnea OA) en cualquier escala prctica a lo largo del ejede esfuerzos normales (horizontales). En este ejemplo x., es un esfuerzo de tensin (positivo).

3 Se lleva el esfuerzo y (como lnea) a lo largo del eje normal de esfuerzos. En este caso y es unesfuerzo de compresin (negativo).

4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes xy crea un par en sentido contrario al delas agujas del reloj sobre el elemento. Este par se equilibra con el par en sentido de las agujas delreloj proporcionado por los esfuerzos cortantes y. Estos dos esfuerzos cortantes (xy y yx,) son deigual magnitud, de acuerdo con la ecuacin 4.2, y positivos, de acuerdo con la regla de signosconvencionales de esfuerzos. Pero, en vez de utilizar la regla convencional de signos de esfuerzos,se trazan en el crculo de Mohr de acuerdo con la rotacin que implican para el elemento, segn laregla convencional de signos de la mano izquierda: positivo en sentido de las agujas del reloj ynegativo en sentido contrario al de las agujas del reloj.

5 Dibujamos una lnea vertical hacia abajo --en sentido contrario al movimiento de las agujas delreloj - del extremo de x, (como lneaAC) para representar la magnitud a escala de xy. Trazamos unalnea vertical hacia arriba -en sentido del movimiento de las agujas del reloj- del extremo de sy (comolnea BD) para representar la magnitud a escala de

yx.

6 El dimetro de un crculo de Mohr es la distancia del punto Cal punto D. La lneaAB corta a CD.El crculo se dibuja tomando esta interseccin como centro.

7 Dos de los esfuerzos normales principales se determinan a continuacin como las dosintersecciones que este crculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales, en los puntos P1, yP3: 1 = 52.426 psi, y 3 = -32.426 psi.

8 Dado que en este ejemplo no hay esfuerzos aplicados en la direccin z, se trata de un estado deesfuerzos de dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal 2, es igual a cero, y se localiza en elpunto 0, que tambin se identifica como P2.

9 Todava deben dibujarse otros dos crculos de Mohr. Los tres crculos de Mohr quedan definidospor los dimetros (1 2), (1 3) y de (2 3), que son las lneas P1P2, P1P3 Y P2P3. Los trescrculos aparecen en la Figura 4-5c.

10 Trazamos lneas tangentes horizontales desde los extremos superior e inferior de cada crculo deMohr hasta su interseccin con el eje del cortante (vertical). Ello determina los valores de losesfuerzos cortantes principales, asociados con cada par de esfuerzos normales principales: 13 =42.426, 12 = 26.213 y 23 = 16.213 psi. A pesar de tener nicamente dos esfuerzos normalesprincipales distintos de cero, hay tambin tres esfuerzos cortantes principales distintos de cero. Sinembargo, slo el mayor de ellos, mx= 3= 42.426 psi es de inters para efectos de diseo.

11 Tambin podemos determinar los ngulos (con respecto a nuestros ejes xyz originales) de losesfuerzos normales principales y los cortantes principales, partiendo del crculo de Mohr. Estos

ngulos, si el material es homogneo o istropo, slo tienen un inters acadmico. En caso de no seristropo, las propiedades del material dependen de la direccin y entonces la direccin de losesfuerzos principales es de importancia. El ngulo 2 = -45' de la Figura 4-5a representa la


8/10

orientacin del esfuerzo normal principal con respecto al eje de las x en nuestro sistema original. Lalnea DC del plano de Mohr est en el eje de las x en el espacio real, y los ngulos se miden deacuerdo con la regla convencional de la mano izquierda de Mohr ---en sentido del movimiento de lasagujas del reloj- Dado que en el espacio real los ngulos del plano de Mohr son el doble, el ngulodel esfuerzo principal 1 con respecto al eje x en el espacio real es = -22.5'. El esfuerzo 3 ser de90 a partir de 1 y en el espacio real el esfuerzo cortante mximo 13 estar a 45 del eje de 1.


9/10

EJEMPLO 2

Determinacin de esfuerzos planos mediante los crculos de Mohr

Problema Un elemento de esfuerzo biaxial como se muestra en la Figura 4-2 tiene x, =

40.000 psi, y = 20 000 psi y xy = 10.000 psi en sentido contrario al movimiento

de las manecillas del reloj (ccw). Determnense, mediante crculos de Mohr, losesfuerzos principales.

Solucin Vanse las Figuras 4-2 y 4-6.

1 Trazamos los ejes del plano de Mohr segn se muestra en la Figura 4-6, e identifquelos como y .

2 Se seala el esfuerzo dado x, (como lnea OA) a escala a lo largo del eje de esfuerzos normales(horizontal). Nuevamente, en este ejemplo x, es un esfuerzo de tensin (positivo).

3 Se sita el esfuerzo y (como lnea OB) a escala a lo largo del eje de esfuerzos normal. y estambin un esfuerzo de tensin (positivo) y, por lo tanto, aparece en la misma direccin que x, a lo

largo del eje de .

4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes xy crean un par contra las agujas delreloj sobre el elemento. Este par est equilibrado por el par con las agujas del reloj proporcionado porlos esfuerzos cortantes yx, Recuerde que ambos esfuerzos cortantes (xy y yx,), son iguales, deacuerdo con la ecuacin 4.2 y positivos, de acuerdo con la regla convencional de signos deesfuerzos.

5 Trazamos una lnea vertical hacia abajo de la punta de x, (como lneaAC) para representar lamagnitud a escala de xY. Mediante una lnea vertical hacia arriba de la punta de y (como lnea BD)se representa la magnitud a escala de yx.

6 El dimetro de un crculo de Mohr es la distancia del punto Cal punto D. La lneaAB atraviesa ala lnea CD. El crculo se dibuja tomando esta interseccin como centro.

7 Dos de los tres esfuerzos normales principales se encuentran a continuacin en las dosintersecciones que este crculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales en los puntos P1, y P3:1 = 44.142 y 2 = 15.858 psi. Si nos detenemos en este momento, el esfuerzo cortante mximoparece ser12 = 14.142 psi, segn queda definido por la proyeccin de una tangente horizontal desdela parte superior del crculo con el eje de las , segn se muestra en la Figura 4-6b.

8 Dado que en este ejemplo no hay ningn esfuerzo aplicado en la direccin z, se trata de unestado de esfuerzos en dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal, 3, se sabe que es igual acero, por lo tanto est localizado en el punto 0, tambin marcado como punto P3,

9 Todava quedan dos crculos de Mohr por dibujar. Los tres crculos de Mohr quedan definidospor los dimetros (1 3), (1 2) y de (2 3), los cuales, en este caso, son las lneas P1P3, P1P2y P2P3, segn se observa en la Figura 4-6.

10 Llevamos lneas tangentes horizontales de la parte de los extremos superior e inferior de cadacrculo de Mohr hasta cruzar el eje del cortante (vertical). Esto determina el valor de los esfuerzoscortantes principales, asociados con cada par de esfuerzos normales principales: es decir, 13 =22.071, 12 = 14.142 y 23 = 7.929 psi. El mayor de todos stos es mx= 22.071, y no el valor 14.142que se determin en el paso 7.

11 Siempre es el crculo que est entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina elesfuerzo cortante mximo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo principal igual a cero no era el menorde los tres, porque uno de los esfuerzos principales era negativo. En este ejemplo, el esfuerzo

principal igual a cero es el menor. Por lo tanto, si se dejan de dibujar los tres crculos, se hubierallegado a un error serio en el valor de mx.


10/10

CIRCULO DE MHOR 3

Documents

Transcript of CIRCULO DE MHOR 3