Circuitos-Tema 1

ELECTRNICA

3 de Grado en Fsica

Facultad de Ciencias - U.A.M.

TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES a) Elementos de circuitos b) Mtodos simplificados de anlisis c) Principio de superposicin d) Circuitos de dos terminales e) Impedancia y anlisis fasorial f) Mxima transferencia de seal en la interconexin de circuitos g) Filtros

2

TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. a) Elementos de circuitos

El comportamiento de cada elemento se define frecuentemente mediante una relacin V-I, siendo V la tensin entre los terminales del elemento e I la corriente por el mismo.

Tipos de elementos ideales:

Activos: pueden ceder energa de forma neta al circuito

El valor de la corriente en una fuente de tensin depende del circuito en el

que se encuentre El valor de la tensin entre los terminales de una fuente de corriente depende del

circuito en el que se encuentre

Tipo Nombre Smbolo V-I

Independientes

Fuente de tensin

Fuente de corriente

Vab

I

V1

Vab

II1

3


V1 I1, tensin o corriente en algn punto del circuito en el que se encuentran Los coeficientes , , y son constantes con las dimensiones apropiadas A diferencia de las independientes, tanto el valor de la tensin como el de la

corriente en estas fuentes, depende del circuito en el que se encuentren Ejemplo real: transformador


Dependientes

Fuente de tensin

Fuente de corriente

Vab

I

Vab

I

4


Pasivos: no pueden ceder energa en trmino neto al circuito

Recordar cmo se obtienen Req, Ceq y Leq cuando se tienen asociaciones serie o paralelo de estos elementos

Un cable es una resistencia de valor nulo vab = 0, i: depende del circuito Notacin: se suelen utilizar minsculas para las magnitudes que dependen de t Al conectar los elementos, aparecen ramas, nodos, lazos cerrados y mallas:


Impedancias

Resistencia

Bobina

Condensador

Vab

I

dt)t(diLv ba =

dt)t(dvCi ab=

5


Nodo: punto donde se unen tres o ms elementos Rama: porcin de circuito entre dos nodos que no pasa por un tercer nodo Lazo cerrado: recorrido en un circuito que parte y acaba en el mismo punto Malla: lazo cerrado que no contiene otros lazos cerrados en su interior

Ejemplo: el circuito de la figura presenta

- 2 nodos - 3 ramas - 3 lazos cerrados - 2 mallas

6


Cesin y consumo de energa Para estudiar la potencia en un circuito, es necesario adoptar un nico criterio de signos para todos los elementos del mismo. P. ej., segn criterio para eltos. pasivos:

En general, de acuerdo con el criterio para eltos. pasivos, se tiene para todos los elementos (activos y pasivos):

Definiciones de potencia: Si i(t), v(t)=ctes, P=IV Las resistencias siempre consumen energa Si hay varias fuentes en un circuito, puede ocurrir que alguna consuma energa El criterio para fuentes dependientes es el mismo que para f. independientes En bobinas y condensadores ideales en circuitos con fuentes de seal (tensin o

corriente) peridicas el consumo medio de energa es nulo

Elemento

Balance Vab > 0, Iab > 0 consumo

Vab = V1 > 0 Si Iab > 0 consumo

Vab = V1 > 0 Si Iab < 0 cesin

Iab = I1 > 0 Si Vab > 0 consumo

Iab = I1 > 0 Si Vab < 0 cesin

dt)t(v)t(iT1P);t(v)t(i)t(p T0 ==

7

Elementos reales en circuitos reales

Los elementos reales se separan en mayor o menor grado de los elementos ideales estudiados, lo que habr que tener en cuenta en los montajes experimentales que se van a realizar en el laboratorio. Estas son algunas de las diferencias que nos podremos encontrar:

Activos: Fuentes de tensin independientes: la tensin no es la misma para cualquier

corriente. Habitualmente se les denomina fuentes de alimentacin.

Pasivos: Condensadores y bobinas: se comportan como si tuvieran una cierta

componente resistiva asociada, llamada resistencia parsita. Por ejemplo, para las bobinas:

Fuente de tensin ideal Modelo de fte. de tensin real Fuente de alimentacin

V

I


8

TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. b) Mtodos simplificados de anlisis

Ejemplo de anlisis de circuitos: Se conocen VA, IB, Rj y , pero no I1, IR2 ni VIB

Cmo conocer las magnitudes desconocidas? Mediante las leyes de Kirchhoff

Aplicando mtodos simplificados de anlisis Leyes de Kirchhoff: 1) L.K.N.: en un nodo, Ik = 0 (Conservacin de la carga) 2) L.K.M.: en una malla, Vk = 0 (Potencial elctrico, conservativo)

En el circuito anterior, escogiendo arbitrariamente los sentidos de corrientes y tensiones y usando adems la L. de Ohm:

I1 + IB I2 = 0 VA + R1I1 + I1 + R2I2 = 0 VIB + R3IB + I1 + R2I2 = 0

Las L.K. nos proporcionan un sistema de tantas ecuaciones como incgnitas Se pueden plantear ms ecuaciones, pero son linealmente dependientes

9


Los mtodos simplificados de anlisis reducen el nmero de incgnitas a hallar utilizando slo una de las dos L.K. y la ley de Ohm

Mtodo de tensiones de nodo: utiliza la L.K.N.

Se elige un nodo como origen de tensiones (V=0), y se etiquetan los restantes Se asignan corrientes a todas las ramas del circuito Mediante la L.K.N. se plantean n-1 ecuaciones de nodo (siendo n # de nodos) Se expresan las ecs. en funcin de las tensiones de nodo usando la L. Ohm Si el sistema es indeterminado (porque hay fuentes dependientes), se buscan

relaciones adicionales en el propio circuito y se resuelve el sistema (obtencin de las tensiones de nodo)

Ejemplo: L.K.N.: I1 + IB I2 = 0; I1 = (VA+ Vx)/R1 = (VA Vx)/R1 I2 = (Vx I1)/R2

Atencin!: VA+ = VA debido a la eleccin del origen de tensin (VA 0) En cualquier otro caso, VA = VA+ - VA VA+ No confundir la corriente por la fuente dependiente de tensin, I2, con I1

( ) ...,V0R

R/VVVIR

VVX

2

1XAXB

1

XA =

+

10


Mtodo de corrientes de malla: utiliza la L.K.M.

Se asigna una corriente de malla a cada malla. Una rama perteneciente a dos mallas estar recorrida por dos corrientes de malla

Mediante la L.K.M. se plantean m ecuaciones de malla (siendo m # de mallas) Se expresan las ecs. en funcin de las corrientes de malla usando la L. Ohm Si el sistema de ecuaciones es indeterminado, se buscan relaciones adicionales

en el circuito y se resuelve el sistema (obtencin de las corrientes de malla)

Ejemplo: L.K.M.: VA + IxR1 + I1 + (Ix Iy)R2 = 0 (Iy Ix)R2 I1 + IyR3 + VIB = 0 I1 = Ix (ec. adicional) Iy = IB (ec. adicional)

VA + Ix(R1 + + R2) + IBR2 = 0 IB(R2 + R3) (R2 + )Ix + VIB = 0

Atencin!: No confundir las corrientes de malla con las corrientes de rama En este caso, se podran haber etiquetado directamente las corrientes de malla

como I1 e IB tomando los sentidos apropiados para las mismas Entre los terminales de una fuente de corriente hay una tensin desconocida

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TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. c) Principio de superposicin

P de superposicin: En aquellos fenmenos fsicos en los que causa y efecto estn linealmente relacionados, el efecto total de varias causas actuando simultneamente es equivalente a la suma de los efectos de cada causa actuando individualmente.

En circuitos electrnicos: causas fuentes independientes efectos tensiones y corrientes que producen

Anulacin de fuentes independientes:

Cortocircuito Circuito abierto Este teorema puede usarse con cualquiera de los mtodos de anlisis anteriores Es especialmente til en algunos circuitos de c.a.

Ejemplo: Obtener IB utilizando el principio de superposicin

IB = IB + IB, siendo IB : corriente debida a I1 IB : corriente debida a V2

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TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. c) Principio de superposicin

Anulando V2: Anulando I1:

Y resolviendo ambos circuitos parciales mediante los mtodos de anlisis estudiados, se puede obtener que:

IB = I1R2/(R1+R2) IB = V2/(R1+R2)

IB = (I1R2 + V2)/(R1+R2)

Atencin!: Las fuentes dependientes no se deben anular, pues no son causas No olvidar que la corriente por un cortocircuito puede tomar cualquier valor,

mientras que la corriente por un circuito abierto es nula Las ecuaciones de un circuito parcial no son vlidas para el otro, pues la

topologa de ambos circuitos es diferente

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TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. d) Circuitos de dos terminales

Qu ocurre si en una red o circuito lineal conectamos entre dos puntos una resistencia adicional (o resistencia de carga) y hacemos variar su valor?

Las corrientes y tensiones dentro de la red lineal variarn con el valor de R Se establecer una corriente I por la resistencia, y la cada de tensin V entre

sus terminales ser funcin de ella A la relacin V-I as obtenida se le denomina ecuacin caracterstica del circuito, y

a su representacin grfica, curva caracterstica

Ejemplo: ecuacin caracterstica del circuito de la figura, dados los puntos A y B L.K.N.: I1 I2 I = 0; I1 V/R2 I = 0

V(I) = R2I1 R2I Curva caracterstica:

00

I1

R2I1

V

I 14

Observar que la relacin obtenida es de la forma V(I) = A BI; este resultado es general para toda red lineal, por ser combinacin de elementos lineales

La constante A ([A] = V) corresponde a la situacin en que I=0 (R no conectada o de valor infinito), y recibe el nombre de tensin de Thvenin, VTh

La constante B ([B] = ) recibe el nombre de resistencia equivalente, Req V(I) = VTh Req I

Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por una fuente de tensin en serie con una resistencia (Teorema de Thvenin)

Si se intercambian las variables dependiente e independiente, la relacin es de la forma I(V) = C DV; este resultado es tambin general para toda red lineal

La constante C ([C] = Amp) corresponde a la situacin en que V=0 (R=0), y recibe el nombre de corriente de Norton, In. Como C = A/B, entonces IN = VTh/Req

La constante D ([B] = -1) es D = B-1 = Req-1

I(V) = IN Req-1V

Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia (Teorema de Norton)


15

Los circuitos de Thvenin y Norton son a su vez equivalentes entre s Aplicacin: propiedad de transformacin de fuentes En circuitos con varias posibilidades de eleccin de los terminales, se obtendrn

distintas ecuaciones caractersticas (y distintos circuitos equivalentes) para cada par de terminales. En el ejemplo anterior es inmediato que:

tomando los puntos C y A: V (I) = R1I1 R1I tomando los puntos C y B: V (I) = (R1+R2)I1 (R1+R2)I

Obtencin de los circuitos equivalentes de Thvenin y Norton de una red lineal

1) Identificando trminos una vez obtenida la ecuacin caracterstica 2) Imponiendo en el circuitos las condiciones de circuito abierto (tensin VTh) y

de cortocircuito (para IN), y utilizando la relacin entre ellas para obtener Req 3) Si el circuito no tiene fuentes dependientes, se puede obtener Req

eliminando las fuentes independientes y calculando el equivalente de la asociacin de resistencias visto desde esos dos puntos

4) En cualquier circuito, eliminando fuentes independientes y aplicando una tensin auxiliar Vext, se tiene Req= Vext / Iext

Ejemplo: circuitos equivalentes de Thvenin y Norton de la red lineal vista desde a y b


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1) Identificando trminos en su ecuacin caracterstica: Para obtener V(I) conectamos una resistencia de carga R entre a y b; Vo V

L.K.N.: AiIi + V/Ro + I = 0; sobra Ii Vi RiIi ArVo = 0; Ii = Vi/Ri ArV/Ri AiVi/Ri AiArV/Ri + V/Ro + I = 0

Finalmente, 2) Imponiendo condiciones de salida en circuito abierto y cortocircuito: En circuito abierto, VTh = Vo = Ro AiIi = Ro AiVi/Ri + Ro AiArVTh/Ri En cortocircuito, Vo V = 0 IRo = 0 IN = AiIi = AiVi / Ri

Atencin!: En la expresin V(I) no pueden figurar otras corrientes o tensiones que no sean

valores nominales de fuentes independientes, ni tampoco la resistencia de carga


i

iiN

iori

oieq

iori

oiiTh

iori

oi

iori

oii

RVAI,

RRAARRR,

RRAARVAVI

RRAARR

RRAARVA)I(V =

=

=

+

=

iori

oiiTh RRAA

RVAV

=

iori

io

N

Theq RRAA

RRI

VR

==

17

Todas las redes lineales consideradas hasta aqu presentan la resistencia como nico elemento pasivo. Si presentaran bobinas o condensadores, el sistema de ecuaciones a plantear sera ntegro-diferencial, al no ser vlida la ley de Ohm para estos dos elementos. Sin embargo, cuando las fuentes independientes son sinusoidales, mediante la formulacin fasorial la ley de Ohm puede extenderse tambin a bobinas y condensadores. Consideremos dos redes sencillas para verlo:

Circuito inductivo de seal alterna

Si definimos las magnitudes complejas fasor tensin, v, y fasor corriente, i, a partir de los factores que diferencian a v(t) e i(t), y efectuamos su cociente: ZL , impedancia de la bobina La ley de Ohm se verifica tambin para la bobina si las seales son alternas, tienen

una misma frecuencia y utilizamos notacin fasorial para tensiones y corrientes

TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. e) Impedancia y anlisis fasorial

{ } { }

=

===

+

=+

===

+=

++

tj)2(jp)2

t(jptjjp

)t(jp

pp

p

eeL

VRee

LV

Re)t(i,eeVReeVRe)t(vPero

)2

tcos(L

V)t(sen

LV

dt)t(vL1)t(i

dtdiL)t(v

?)t(i);tcos(V)t(v

bobinalaadageneralizaOhmdeLeyZivLjZdefinimosSi

LjivbienoLjLeive

LV

i,eVv

LL

2j)

2(jpj

p

=

===

0

18

Circuito capacitivo de seal alterna

Anlogamente al caso inductivo, si definimos las magnitudes complejas fasor tensin, v, y fasor corriente, i, a partir de los factores que diferencian a v(t) e i(t), y efectuamos su cociente:

ZC, impedancia del condensador

La ley de Ohm se verifica tambin para el condensador si las seales son alternas, tienen una misma frecuencia y utilizamos notacin fasorial para tensiones y corrientes


{ } { }

=

===

++=++=+==

+=

+

+++ tj)2(j

p)

2t(j

ptjj

p)t(j

p

ppp

p

eeCVReeCVRe)t(i,eeVReeVRe)t(vPero

)2

tcos(CV)t(senCV)t(senCVdtdvC)t(i

?)t(i);tcos(V)t(v

rcondensadoaldageneralizaOhmdeLeyZivCj

1ZdefinimosSi

Cj1ivbieno

Cj1e

C1

iveCVi,eVv

CC

2j)

2(j

pj

p

=

=

=

=

+

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Veamos ahora si con esta nueva notacin la ley de Ohm sigue siendo vlida para resistencias:

Circuito resistivo de seal alterna

Definiendo el fasor tensin, v, y el fasor corriente, i, y efectuando su cociente: La ley de Ohm se sigue verificando en la resistencia con la notacin fasorial

Se puede demostrar que la ley de Ohm generalizada es tambin vlida para cualquier asociacin de elementos pasivos

La obtencin de la impedancia equivalente de una asociacin serie o de una asociacin paralelo, se calcula de manera anloga a la de las respectivas asociaciones de resistencias:

{ } { }

=

===

+==

+=

++ tjjp)t(jptjjp

)t(jp

p

p

eeRV

ReeRV

Re)t(i,eeVReeVRe)t(vPero

)tcos(RV

R)t(v)t(i

?)t(i);tcos(V)t(v

RRjpj

p ZivRZdefinimossi;RivbienoRive

RV

i,eVv ===

( ) 11keqkeq ZZZZ ==


20


Ejemplo: Hallar el valor nominal de dos elementos pasivos tales que su impedancia equivalente sea Zeq = (7 3j) para la frecuencia de la red elctrica

- Si los dos elementos estn en serie, Z1 = 7 = R1 ; Z2 = 3j = 1/jC C = 1/3; C = 1/300 = 1,06mF - Si los dos elementos estn en paralelo,

Leyes de Kirchhoff en notacin fasorial:

1) L.K.N.: en un nodo, ik (t) = 0 (Conservacin de la carga) Re{Ik exp(jkt) exp(jk)} = Re{Ik exp(jkt) exp(jk)} = 0; esto se sigue verificando si imponemos que Ik exp(jkt) exp(jk) = 0; y si 1 = 2 = = N = Ik exp(jk) = 0; finalmente, definiendo los fasores corriente como ik Ik exp(jk) ik = 0

2) L.K.M.: en una malla, vk (t) = 0 (Potencial elctrico, conservativo) y mediante el mismo proceso se obtiene que si vk Vk exp(jk ) vk = 0

Observacin: Las leyes de Kirchhoff en notacin fasorial slo son vlidas en circuitos con fuentes de la misma frecuencia

F6,16458

3CCj

1j3

58Z,7

58R

Z1

R1j

583

587

58j37;

Z1

R1

Z1

Z1

j371

2

2221

=

=

===

+=+=+

+=+=

21


Resolucin de circuitos de corriente alterna (c.a.)

1) Si hay elementos no resistivos, se expresan las seales de las fuentes en forma fasorial

2) Se aplican los mtodos de resolucin de circuitos considerando la ley de Ohm generalizada y las impedancias de los elementos pasivos

3) Si el circuito tiene fuentes de distintas frecuencias, simultneamente se debe hacer uso del principio de superposicin

4) A partir de los resultados en notacin fasorial, se obtienen las expresiones temporales

Ejemplo: Obtener la expresin temporal de la tensin en la resistencia R2, siendo la fuente de tensin alterna v2= v2(t) = Vp cos(t)

Fuentes con distinta frecuencia (v2 = 0) (1 = 0, 2 = ) Circuitos parciales (V1 = 0) 22

( ) ( )( )

{ }

)tcos(VVRR

R)t(v,Finalmente

)t(v)(vReeV)(vefasor

CRarctg2

yVCR1

CRVsiendo,eVeV

CR1

CR

VCRj1

CRjV

RCj

1R

vRZ

RRiv

RRRdefiniendoyVeVv,fasorialformaen)t(vExpresando

VRR

RRIV

m121

2AB

2AB2AB)t(j

m2ABtj

pp2p

pm

jm

jp2

p

p

pp

pp

p

p2

pC

pp2AB

21pp0j

p22

121

221AB

+++

=

==

+

=

+

=

+

=

+

=+

==

==

+==

+


(v2 = 0)

(v1 = 0)

23


Atencin!:

La impedancia de un elemento pasivo no resistivo depende de la frecuencia de la fuente que acta sobre l En el circuito parcial que resulta al anular V1, se puede simplificar el paralelo de las resistencias porque no se pide la corriente por ninguna de ellas Para pasar a la expresin temporal, basta con recuperar la funcin trigonomtrica de partida, y aadir en el argumento la fase del fasor solucin

Teoremas de Thvenin y Norton en circuitos de corriente alterna (frecuencia nica)

Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por una fuente de tensin en serie con una impedancia

Todo circuito lineal se comporta de la misma manera que un circuito formado por una fuente de corriente en paralelo con una impedancia

24


Algunas definiciones de uso frecuente en seales dependientes del tiempo

Dada una seal v(t) peridica, con periodo T, se definen:

Valor medio (o valor de continua): Para seales sinusoidales, Valor pico-pico (Vp-p ): diferencia entre el mximo y mnimo valor de la seal Valor eficaz (o valor rms): Para seales sinusoidales, siendo Vp la amplitud o valor de pico de la

seal. Significado del valor eficaz: en el caso de que la seal sea una corriente i(t), es el

valor que tendra que tener una corriente continua Ief para producir en una resistencia la misma disipacin de calor que produce en la misma resistencia i(t) en un periodo.

=T0 dt)t(vT

1v~

0v~ =

==T0

2rmsef dt)t(vT

1vV

2V

V pef =

25

TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. f) Mxima transf. de seal en la interconexin de circuitos

Transferencia de seal a una carga

Al conectar una resistencia de carga RL entre dos puntos o terminales de una red lineal, se produce la transferencia de corriente, tensin y potencia de la red a la carga:

Si representamos estas dependencias frente a RL, se observa que:

La transferencia de corriente es mxima si RL=0 (RL> Req) La transferencia de potencia es mxima si RL= Req

En el caso de redes con impedancia de Thvenin no resistiva la transferencia de potencia es mxima si ZL= Z*eq

2Th2

Leq

LL

2L

ThLeq

LL

Leq

ThL

V)RR(

RRI)R(P

;VRR

R)R(V;RR

V)R(I

+==

+=

+=

00

V

P

RL

I

Req26


Transferencia de seal a un circuito de cuatro terminales

En ocasiones, el receptor de la seal entregada por una red lineal de dos terminales no es una carga, sino otro circuito intermedio de cuatro terminales que a su vez se encarga de transferir la seal a la carga o bien a etapas posteriores de un circuito ms complejo:

En este caso, los criterios de transferencia mxima de seal a la red de cuatro terminales son los mismos, si se considera que la carga que ve la red de dos terminales es la resistencia de entrada de la segunda red.

Cmo se calcula la resistencia de entrada de un circuito?:

siendo Vi e Ii la tensin y la corriente en el puerto de entrada de ese circuito.

Si el circuito tiene elementos no resistivos, entonces se habla de impedancia de entrada.

i

ii I

VR =

27


Ejemplo: Hallar la resistencia de entrada del circuito

32

321i

32

321i

32

32i1ip1ii

32p

3

pp

2

p3R2Ri

i

ii

R)B1(RRRRR

;R)B1(R

RRRIR)B1(R

RRIRIVRIV

;R

B1R1V

RBVV

RV

III;IVR

++=

+

+=+

+=+=

+=

+=+==

28

Filtrado pasivo de seales alternas

Si vi = vi(t) = Vp sen(2f t + ), es una fuente de seal alterna de frecuencia variable, y la red lineal contiene algn elemento no resistivo, sta transmitir las seales de tensin o corriente distintamente segn cul sea f Para estudiar cmo transfieren las seales de tensin o corriente de distintas frecuencias un circuito de este tipo, se definen las funciones ganancia, que debido al uso de fasores sern en general funciones complejas de la frecuencia:

El estudio matemtico de las funciones |Av(f)| y |Ai(f)| permite conocer la relacin entre las amplitudes de las seales de salida y de entrada para cada frecuencia as como la funcin que realiza el circuito.

El estudio matemtico de las funciones v(f) y i(f) permite conocer el desfase entre las seales de salida y de entrada para cada frecuencia.

En ocasiones, la impedancia de carga puede tener valor infinito (io = 0)

TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. g) Filtros

)corrientesotensiones,x,y(xy)jf(Hciatransferendefuncioneslas,generalenY

)eAA,eAA(ii)jf(AcorrientedeGanancia,

vv)jf(AtensindeGanancia

ioi

o

jii

jvv

i

oi

i

ov

iv

=

==

==

29


Tipos bsicos de filtrado

Cuando una red selectiva en frecuencias transfiere a su salida una amplitud extremadamente pequea de la seal respecto a la amplitud de entrada para un cierto rango de frecuencias, se dice que la red filtra la seal de entrada o que es un filtro. Dependiendo de qu rango se trate, se distinguen los siguientes tipos (|A|=|Av(f)| o |Ai(f)|):

Paso bajo Paso alto Paso banda Rechaza banda (Circ. resonante) (de corte/Notch)

Frecuencias de corte: fC, fC1, fC2 Ancho de banda del filtro: f = fmx fmn (f = fC , y fC2 fC1 respectivamente) Los circuitos prcticos suelen tener transiciones suaves entre la regin de paso y la de rechazo se define la frecuencia de corte fC como aqulla tal que |A|f=fc = |A|mx/2 En los circuitos pasivos la ganancia mxima es igual o menor que 1 (salvo excepciones)

30

00

1

fC

IAI

f0

0

1IAI

ffC0

0

1IAI

ffC1 fC20

0

1

fC2fC1

IAI

f


Ejemplo: Estudiar el comportamiento del mdulo y la fase de la ganancia de tensin de los circuitos capacitivos siguientes:

a) b)

Adems, |Av| es siempre decreciente Adems, |Av| es siempre creciente Asntotas y lmites de |Av|: Asntotas y lmites de |Av|:

RC21ff

21A;0f1A

)RCf2(arctg)f(,)RCf2(1

1)f(A

;RCf2j1

11RZ

1)ZR(i

iZvv)jf(A

Cvmxv

2v

1CC

C

i

ov

=====

=+

=

+=

+=

+==

0ALm;1ALmRCf21A,

RC21f;1A,

RC21f

vfv0f

vv

==

>>

>


Grficamente, dando valores a R y C:

f, escala lineal f, escala logartmica f, escala logartmica, AdB = 20logIAvI

Diagramas de Bode del mdulo y la fase: a) Filtro paso bajo b) Filtro paso alto Buenas aproximaciones rectilneas

0 100 200-120-90-60-30

0306090

120 ()

(a)

(b)

f (Hz)32

10-1 100 101 102 103 1040,0

0,5

1,0 IAvI

(a)

(b)

f (Hz)fC

0,7

0 100 2000,0

0,5

1,0

0.7

IAvI

(a)

(b)

f (Hz)fC=31.8Hz 10-1 100 101 102 103 104

-40

-20

0

-20*log(f/fC)AdB

(a)

(b)

f (Hz)fC

-3dB

20*log(f/fC)

10-1 100 101 102 103 104-120-90-60-30

0306090

120 ()

(a)

(b)

f (Hz)


Ejemplo: Estudiar el comportamiento del mdulo y la fase de la ganancia de tensin del circuito siguiente, siendo C = 1F, L = 1mH y R = 10:

Asntotas de |Av|:

Lmites de |Av|:

RC21fff;

LC1

RC21

21

RC41,f

...R1

Lf21Cf2

21A;

ff

ff

LCR1

1)f(A;LC2

1ff1A)f(A

Lf21Cf2Rarctg)f(,

Lf21Cf2R1

1)f(A

;

Lf21Cf2jR1

11)IIZZ(R

1)IIZZR(i

)IIZZ(ivv)jf(A

1C2C

2

2C1C

v2

0

0

2

v0mxvv

22

v

1LCLC

LC

in

outv

==+

+

=

=

=

+

=

====

=

+

=

+

=+

=+

==

( )

0ALm;0ALm

RCf21

Cf2R11A,ff;f

RL2

Lf21R1

1A,ff

vfv0f

22v022

v0

==

+>>

+


Grficamente, dando valores a R, L y C:

f, escala lineal f, escala logartmica f, escala logartmica, AdB = 20logIAvI

Diagramas de Bode del mdulo y la fase: Filtro paso banda

Buenas aproximaciones rectilneas

10-2 100 102 104 106 1080.0

0.5

1.0

0.7

IAvI

f (Hz)

34

10-2 100 102 104 106 108-80

-60

-40

-20

0 20*log1-3dB

20*log(2(L/R) f)-20*log(2RC f)AdB

f (Hz)5x104 1x105

0,0

0,5

1,0

0.7

IAvI

f (Hz)fC1f0 fC2

f0=5033HzfC1=1458HzfC2=17373Hzf=15915Hz

10-2 100 102 104 106 108

-90

-45

0

45

90

()

f (Hz)0 5x104 1x105

-90

-45

0

45

90

()

f (Hz)f0


Diagramas de Bode aproximados: representacin rpida

En un circuito lineal, las relaciones entre los fasores de cualquier par de variables elctricas (Av , Ai , Z) se pueden expresar en la forma Ai, Bi, Ck, Dk : constantes complejas que pueden valer cero; i :ceros; k :polos

35

= = ()() ( ) ( ) (1 ) (1 )

= ; = ; = +

= [1 + 22 ]1/2 [1 + 2

2]1/2 ; =

= 20 10[1 + 22]1/2

20 10[1 + 2

2]1/2


Diagramas de Bode aproximados: representacin rpida

Se consideran cinco tipos posibles de contribuciones en la funcin de transferencia:

A AdB Diagrama lineal Diagrama lineal

k (real) 20logk 0,

jf/f1 20log(f/f1) /2

20log(f/f2) /2

(1+jf/fc)

arctg(f/fc)

arctg(f/fp)

36

2c )f/f(1log20 +

2p )f/f(1log20 +( )pf/jf1

1+

2f/jf1


Debido a las propiedades de las operaciones con logaritmos y con complejos, los diagramas se construyen mediante la suma de las contribuciones individuales presentes.

Ejemplo: diagramas de Bode aproximados de Av del filtro paso alto (fa=100Hz):

37

10-1 100 101 102 103 104 105-180

-90

0

90

180

90 - arctg(f/fa) Suma de

contribuciones lineales

()

flog (Hz)

=

+

=

+=

a

2

aav

a

av f

farctg2

;ff1log20

fflog20A;

f/jf1f/jf)jf(A

10-1 100 101 102 103 104 105-40

-20

0

20

40

20*log(f/fa) 1/sqrt[1+(f/fa)

2] Suma de contribuciones

lineales

AdB

flog (Hz)

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. a) Elementos de circuitosTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. a) Elementos de circuitosTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. a) Elementos de circuitosNmero de diapositiva 6TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. a) Elementos de circuitosNmero de diapositiva 8TEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. b) Mtodos simplificados de anlisisTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. b) Mtodos simplificados de anlisisTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. b) Mtodos simplificados de anlisisTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. c) Principio de superposicinTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. c) Principio de superposicinTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. d) Circuitos de dos terminalesTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. d) Circuitos de dos terminalesTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. d) Circuitos de dos terminalesTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. d) Circuitos de dos terminalesTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. e) Impedancia y anlisis fasorialTEMA 1: TEORA DE REDES LINEALES. e) Impedancia y anlisis fasorialNmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37

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