Aplicaciones: (Ecuacin Lineal.)Docente: Francisco Arias Dominguez

Circuitos elctricos simples.Consideremos un circuito elctrico simple que consta de algunos de los cuatro elementos siguientes

en serie: una fuente de fuerza electromotriz (batera o generador), una resistencia, un condensador y uninductor. La fuente de fuerza electromotriz o voltaje E, impulsa a las cargas elctricas y produce una

corriente i. La resistencia R, se opone al paso de la corriente produciendo una cada de la fuerza electro-

motriz igual a ER = iR (ley de Ohm). El inductor, de inductancia L, se opone a cualquier cambio en la corriente produciendo una cada

de la fuerza electromotriz igual a EL = L didt . El condensador (de capacitancia C) almacena una carga q. La carga almacenada se opone a la

entrada de nueva carga y produce una cada de la fuerza electromotriz igual a EC = qC .

Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra en la siguiente tabla

Si aplicamos la segunda ley de Kircho. "La suma algebraica de todas las cadas de la fuerzaelectromotriz en cualquier camino cerrado de un circuito electrico es igual a cero" con loscuatro elementos anteriores, se sigue que E = EC + ER + EL. Luego, se verica

E =q

C+ iR + L

di

dt:

Ahora hay que tener en cuenta que i = dqdt, por lo que la ecuacin anterior adopta la forma

E =q

C+R

dq

dt+ L

d2q

dt2:

Se trata de una ecuacin diferencial de segundo orden.

1

CASOS PARTICULARES:a) Circuito RL en serie:(Resistencia, Inductancia, no hay condensador)

E(t) = iR + Ldi

dt:

b) Circuito RC en serie: (Resistencia, Capacitancia, no hay inductor)

E(t) =q

C+R

dq

dt:

EJERCICIOS.1: Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 y un inductor

de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra en t = 0, determine la corriente para todo t. (Rta: i(t) =253(1 e3t))2: Determine i(t) para el circuito elctrico del problema anterior si el generador de 50 V se remplaza

por otro con una fem de E(t) = 10 sin(7t). (Rta: i(t) = 558(3 sin(7t) 7 cos(7t)) + 35

58e3t)

3: Una bateria cuya fem est dada por E(t) = 200e5t se conecta en serie con una resistencia de 20

y uncondensador de 0; 01 F . Suponiendo que q(0) = 0 encuentre la carga y la corriente en cualquiertiempo. Muestre que la carga alcanza un mximo, calcule su valor y halle el valor de t para el cual sealcanza. (Rta: q(t) = 10te5t, i(t) = 10(1 5t)e5t, qmax = 0; 74 coulombs)4: Una resistencia de R vara con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a R = 1+0; 01t. Se conecta

en serie con un condensador de 0; 1 F y un generador con una fem de 100 V . La carga inicial en elcondensador es de 5 coulombs. Encuentrea) La carga y la corriente como una funcin del tiempo.b) La carga mxima terica.(Rta: (a) q(t) = 10 5(1 + 0; 01t)1000, i(t) = 50(1 + 0; 01t)1001, (b) qmax = 10 coulombs)5: A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0; 1 H y la resistencia es de 50 , se le aplica

una tensin de 30 V . Determine la corriente i(t) si i(0) = 0. Cul ser el valor de la corriente despusde un tiempo largo?.6: A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200 y la capacitancia es de 104 F , se le

aplica una fuerza electromotriz de 100 V . Si q(0) = 0, calcule la carga q(t) en el capacitor y obtenga lacorriente i(t). (Rta: q(t) = 1

100 1

100e50t, i(t) = 1

2e50t)

7: Un inductor de L henrys vara con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a L = 0; 05 + 0; 001t. Seconecta en serie con un generador cuya fem es de 40 V y una resistencia de 10 . Si la corriente i escero inicialmente, encuentre

2

a) La corriente para todo t > 0.b) Cul es la corriente mxima terica.8: Una resistencia de 20 y un inductor de 5 H se conectan en serie en un circuito elctrico en el

cual hay un ujo de corriente de 20 A al tiempo t = 0. Encuentre la corriente para t 0 si la fem escero para t > 0:9: Una batera de 12 volts se conecta a un circuito en serie cuya inductancia de 1

2henrys y una

resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero.10: Un condensador de 5 103 F est en serie con una resistencia de 25 y una fem de 50 cos(6t)

V , t 0. El interruptor se cierra en t = 0. Si la carga inicial en el condensador es cero, determine lacarga y la corriente en cualquier tiempo.11: Una resistencia de 20 se conecta en serie con un condensador de 0; 01 F y una fem en volts

dada por 40e3t + 20e6t. Si q(0) = 0, muestre que la carga mxima en el condensador es de 0; 25coulombs.12: Un circuito consiste de una resistencia constante de R ohms en serie con una fem constante de

E volts y una inductancia constante de L henrys. Si la corriente inicial es cero, muestre que la corrientecrece a la mitad de su valor terico mximo en L ln 2

Rs.

13: Resuelva el circuito RL en serie suponiendo que E(t) = E0 sin(!t) e i(0) = i0.14: Una fuerza electromotriz

E(t) =

8 20

se aplica a un circuito LR en serie que tiene inductancia de 20 henrys y resistencia de 2 ohms. Encuentrela corriente i(t) si i(0) = 0.Respuesta:

i(t) =

8 20:

15: Suponga que un circuito RC en serie tiene un resistor variable. Si en el tiempo t la resistenciaest dada por R = k1 + k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas, y adems si V (t) = V0 y q(0) = q0.Determine: (a) el modelo (P:V:I:) que describe esta situacin. (b) Demuestre que la solucin del (P:V:I)es

q(t) = V0C + (q0 V0C)

k1k1 + k2t

1=Ck2:

3