CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA

FUERZA Y ACELERACIÓN

SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

CINÉTICA: Es una rama de la dinámica que se ocupa de la relación entre el cambio de movimiento de un cuerpo y las fuerzas que lo provocan.

Segunda Ley de Newton: Cuando una fuerza desbalanceada actúa en una partícula, ésta se acelerará en la dirección de la fuerza con una magnitud que es proporcional a ésta.

Si la masa de la partícula es , la segunda ley del movimiento de Newton se escribe en forma matemática como

LEY DE LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE NEWTON

fuerza de atracción entre las dos partículas constante de gravitación universal: masa de cada una de las dos partículas distancia entre los centros de las dos partículas

En el caso de una partícula localizada en o cerca de la superficie terrestre, la única fuerza gravitatoria de magnitud considerable es la que existe entre la Tierra y la partícula.

Esta fuerza se denomina “peso W” y para nuestro propósito será la única fuerza gravitatoria considerada.

distancia entre el centro de la Tierra y la partícula

, aceleración de la gravedad

LEY DE LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE NEWTON

Aquí se utilizarán los valores

Sistema Internacional SI:

Sistema FPS (pies-libras-segundo):

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

Cuando más de una fuerza actúa en una partícula, la fuerza resultante se determina por medio de una suma vectorial de todas las fuerzas, es decir, .

En el caso general, la ecuación de movimiento se escribe como

Diagrama de cuerpo libre: muestra todas las fuerzas que actúan sobre la partícula:

Diagrama cinético: se refiere al movimiento de la partícula provocado por las fuerzas.

En particular, observe que si , entonces la aceleración también es cero, de modo que la partícula bien puede permanecer en reposo o moverse a lo largo de una trayectoria de línea recta a velocidad constante.

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

En el instante considerado, la partícula i-ésima, de masa , se somete a un sistema de fuerzas internas y a una fuerza externa resultante.

es la resultante de todas las fuerzas internas que las demás partículas ejercen en la partícula i-ésima.

es la fuerza externa resultante y representa por ejemplo, el efecto de las fuerzas gravitatoria, eléctrica, magnética o de contacto entre la partícula i-ésima y los cuerpos o partículas adyacentes no incluidas dentro del sistema.

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Cuando se aplica la ecuación de movimiento a cada una de las demás partículas del sistema, se obtienen:

La suma de las fuerzas internas, si se realiza es igual a cero, ya que las fuerzas internas entre dos partículas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos:

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Si es un vector de posición que localiza el centro de masa G del sistema de partículas, entonces por definición del centro de masa

Al diferenciar esta ecuación dos veces con respecto al tiempo y suponer que ninguna masa entra o sale del sistema, se obtiene

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: COORDENADAS RECTANGULARES

Cuando una partícula se mueve con respecto a un marco de referencia inercial y , las fuerzas que actúan en la partícula, lo mismo que su aceleración, pueden expresarse en función de sus componentes .

ECUACIONES CINEMÁTICA

ACELERACIÓN CONSTANTE

Velocidad como función del tiempo Posición como función del tiempo

Velocidad como función de posición

EJEMPLO 1 El embalaje de 50 kg mostrado en la figura descansa sobre una

superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es . Si el embalaje se somete a una fuerza de tracción de 400 N como se muestra, determine su velocidad en 3 segundos a partir del punto de reposo.

Ecuaciones de Movimiento:

Cinemática: Obsérvese que la aceleración es constante, ya que la fuerza aplicada P también los es.

EJEMPLO 2 Si se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo,

con una velocidad inicial de 50 m/s. Determine la altura máxima a la que llegará si (a) se ignora la resistencia atmosférica y (b) la resistencia atmosférica se mide como , donde es la rapidez del proyectil en cualquier instante, medida en m/s.

PARTE aEcuaciones de Movimiento:

Cinemática: La aceleración es constante

EJEMPLO 2Si se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo, con una velocidad inicial de 50 m/s. Determine la altura máxima a la que llegará si (a) se ignora la resistencia atmosférica y (b) la resistencia atmosférica se mide como , donde es la rapidez del proyectil en cualquier instante, medida en m/s.

PARTE b Ecuaciones de Movimiento:

Cinemática: La aceleración no es constante puesto que depende de la velocidad.

EJERCICIO EN CLASES 1El furgón de equipajes A que se muestra en la foto pesa 900 lb y remolca un carro B que pesa 550 lb y un carro C de 325 lb. Durante un corto tiempo la fuerza de fricción desarrollada en las ruedas del furgón es , donde está en segundos. Si el furgón arranca del punto de reposo, determine su rapidez en 2 segundos. También, ¿cuál es la fuerza horizontal que actúan en el acoplamiento entre el furgón y el carro B en este instante? Ignore el tamaño de furgón y de los carros.

EJERCICIO 1 - TAREA

El camión de masa 2 kg viaja a 15 km/s, cuando se aplican los frenos en todas las ruedas, lo que hace que patine una distancia de 10 m antes de detenerse. Determine la fuerza horizontal constante desarrollada en el acoplamiento C y la fuerza de fricción desarrollada entre las llantas del camión y la carretera durante este tiempo. La masa total del bote y el remolque es de 1 kg. Respuesta: y

EJERCICIO 2 - TAREA

Si los bloques A y B de 10 kg y 6 kg de masa, respectivamente, se colocan sobre el plano inclinado y se sueltan, determine la fuerza desarrollada en el eslabón. Los coeficientes de fricción cinética entre los bloques y el plano inclinado son y . Ignore la masa del eslabón (barra de unión).

ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DEPENDIENTE ABSOLUTO DE DOS PARTÍCULAS

EJEMPLO 1

El bloque A de 100 kg en la figura se suelta del punto de reposo. Si no se toman en cuenta las masas de las poleas y la cuerda, determine la rapidez del bloque B de 20 kg en 2s.

EJEMPLO 2

El hombre de 75 kg sube por la cuerda con una aceleración de , medida con respecto a la cuerda. Determine la tensión en la cuerda y la aceleración del bloque de 80 kg.

EJERCICIO - TAREA

EL bloque A de 10 lb se desplaza hacia la derecha a en el instante mostrado. Si el coeficiente de fricción cinética es entre la superficie y el bloque A, determine la velocidad de A cuando se ha desplazado . El bloque B pesa 20 lb. Respuesta:

ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALES Y TANGENCIALES

Si la trayectoria se define como , el radio de curvatura en el punto donde la partícula está localizada se obtiene con:

EJEMPLO 1

Determine el ángulo de inclinación de la pista para que las llantas de los autos de carreras mostrados en la figura no dependan de la fricción para que no se deslicen hacia arriba o hacia debajo de la pista. Suponga que el tamaño de los automóviles es insignificante, que su masa es y que se desplazan alrededor de la curva de radio a una rapidez constante .

EJEMPLO 2

El diseño de la rampa de salto de esquís que se muestra en la foto requiere conocer el tipo de fuerzas que se ejercerán en la esquiadora y su trayectoria aproximada. Si en este caso el salto se puede representar de forma aproximada por la parábola de la figura, determine la fuerza normal en la esquiadora de 150 lb de masa en el momento que llega al extremo de la rampa, punto A, donde su velocidad es de . Además, ¿cuál es su relación en este punto?

EJEMPLO 3

El patinador de 60 kg que aparece en la figura se desliza cuesta debajo de la pista circular movido sólo por la fuerza de la gravedad. Si parte del punto de reposo cuando , determine la magnitud de la reacción normal que la pista ejerce en él cuando . Ignore su estatura en el cálculo.

EJERCICIO - TAREA

Un hombre de 75 kg de masa se sienta en la silla conectada por medio de un pasador al brazo BC. Si el hombre siempre está sentado en posición recta, determine las reacciones horizontal y vertical de la silla en el hombre en el instante . En este instante su rapidez es de , la cual se incrementa la aceleración a . . Respuesta: y

COMUNICADO IMPORTANTE

POR DISPOSICIÓN DE LA DIRECCIÓN DE CARRERA LOS ALUMNOS DE DINÁMICA I TENDRÁN CLASES NORMALES HASTA EL SÁBADO 27 DE JULIO Y EL EXAMEN CONJUNTO SERÁ EL JUEVES 1 DE AGOSTO.