Cinetica de Un Punto Material - Fuerza y Aceleracion - 2014-II (1)
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CINTICA DE UNA PARTICULA
M.Sc. Norbil Tejada Campos
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CICLO ACADEMICO 2014-II
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
LA COLLPA
-
CINTICA DE UNA PARTICULA
pdt
damF
1. Cintica.- Parte de la Mecnica que estudia las relaciones existentes
entre las fuerzas que actan sobre una partcula y su movimiento, dado por
la Segunda Ley del Movimiento o Segunda Ley de Newton; As, tenemos:
Donde: m es la masa de la partcula, considerada constante para
velocidades pequeas ( v
-
As, tenemos:
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF xxx
2
2
dt
ydm
dt
dvmmaF
y
yy
2
2
dt
zdm
dt
dvmmaF zzz
1. LEY DE NEWTON EN COORDENADAS RECTANGULARES
-
Si, la fuerza resultante que acta sobre una partcula tiene la misma
direccin y lnea de accin durante todo el tiempo; dicha partcula,
con movimiento resultante, esta obligada a moverse sobre una lnea
recta y normalmente se denomina Movimiento Rectilneo.
Casos:
A. Fuerza es constante ( F = constante ).
B. Fuerza en funcin del tiempo ( F = F(t) ).
C. Fuerza en funcin de la rapidez ( F = F(v) ).
D. Fuerza en funcin de la posicin ( F = F(x) ).
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.):
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF
1Ctm
Fv
21
2
2CtCt
m
Fx
Se obtiene: Por condiciones iniciales: si, para
t0 = 0, tenemos: x = xo ^ v = vo
tvvmF
o
2
2ttvxx
mF
oo
Caso particular: Caida Libre:
F = W (peso) ^ a = g (aceleracin de la gravedad)
2
21 gttvyy oo
gtvv o
Por condiciones iniciales: si, yo= 0 ^ vo= 0
gtv 22
1gty
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.):
Ejemplo 01.- (p. 12.3; pag. 529; Dinmica, Irvin Shames). Un cuerpo
puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado. El coeficiente de
rozamiento es de 0,05. Si la velocidad del bloque al llegar al punto ms
bajo es de 9 m/s. A qu altura se solt y durante cunto tiempo viaj?.
30
= 0,05
Respuesta:
1. h = 4,54 m
2. t = 2,01 s.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):
2
2
)(dt
xdm
dt
dvmmatF
1
)(Cdt
m
tFv
t
m
tF
dt
dx
dt
d
dt
xd )(2
2
Se obtiene:
Donde:
t t
CdtCdtm
tFx 21
)(
mF(t)
y
x
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):
Ejemplo 02.- (p. 12.25; pg. 531; Dinmica, I. Shames). Una
fuerza en la direccin x dada por la relacin F = 10sen6t (N)
acta sobre un cuerpo de 10 kg de masa. Si cuando t = 0 el
cuerpo tiene una velocidad de 3 m/s y est en la posicin x = 0,
Cul es la posicin alcanzada por el cuerpo a partir del origen
cuando t = 4 s?. Hacer la curva desplazamiento-tiempo.
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
C. FUERZA EN FUNCION DE LA VELOCIDAD ( F = F(v)):
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF
1
1
)(Ct
mvF
dv
v
m
vF
dt
dv
dt
xd )(2
2
Se obtiene:
Donde:
21),( CdtCtHx
Ecuacin: t = t(v), lo cual es mejor encontrar
una ecuacin de la forma: v = H (t , C1)
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
Ejemplo 03.- Un avin de carreras aterriza a una velocidad de 100 m/s cuando se
despliega un paracadas de freno. Este paracadas tiene un rea frontal de 30 m2
y un CD = 1,2 . El avin tiene un rea frontal de 20 m2 y un CD = 0,4. Si el avin y
el paracadas tienen una masa conjunta de 8 Mg, Cunto se tardar en reducir
su velocidad de 100 m/s hasta 60 m/s simplemente rodando? Considrese aire =
1,2475 kg/m3 e ignrese la resistencia al rodamiento de los neumticos, y que no
hay viento.En el rea de Mecnica de Fluidos, se conoce como la resistencia al avance D de un cuerpo a travs de un fluido cuya densidad de
masa es viene dada por CDv2A, donde v es la velocidad del cuerpo relativa al fluido, A es la superficie frontal del objeto, y CD es el
denominado coeficiente de resistencia al avance (drag) que se determina, normalmente, mediante experimentacin.
-
D. FUERZA EN FUNCION DE LA POSICION ( F = F(x)):
2
2
dt
xdm
dt
dvmmaF
21
1)(2
CdxxFm
vx
)(2
2
xFdt
dvm
dt
xdm
Se obtiene:
Donde:
22
1
1)(2
C
CdxxFm
dxt
x
x
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
-
2. MOVIMIENTO RECTILINEO
Ejemplo 04.- El rozamiento (=0,10) y un resorte lineal (k=365N/m)
oponen resistencia al movimiento del bloque A (P=3580N). Si se suelta el
bloque partiendo del reposo con el resorte indeformado, determinar,
durante la primera fase del movimiento hacia abajo del plano inclinado:
a) el desplazamiento mximo del bloque a partir de su posicin de reposo,
b) la velocidad del bloque cuando se halle a 4,5 m de su posicin de
reposo, c) el tiempo que emplea el bloque en llegar a 4,5 m de su posicin
normal.
-
)( nt aamamF
dt
dvmmaF TT
2vmmaF nn
Donde:
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
-
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 05.- Un pndulo de 6 m de longitud se mueve en un plano vertical,
de tal forma que, en la posicin representada en la figura , la tensin en la
cuerda es 2 veces el peso de la masa pendular. Determinar para la masa
suspendida: a) las componentes tangencial y normal de la aceleracin en
dicha posicin, b) la velocidad correspondiente.
0
37L
Trayectoria
m
-
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 06.- Una esfera de 3 kg se desliza por una varilla que est curvada en el
plano vertical y cuya forma puede estar descrita por la ecuacin
, donde x e y se expresan en metros. Cuando x = 2 m, la esfera se
mueve a lo largo de la varilla con celeridad de 5 m/s que est aumentando a razn
de 3 m/s2. determinar las componentes normal (Fn) y tangencial (Ft) de la fuerza
que ejerce la varilla sobre la esfera en ese instante.
2
2
18 xy
-
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL
Ejemplo 07.- Una esfera que pesa 15 N se desliza por una varilla contenida en
un plano vertical y cuya forma queda descrita por la ecuacin ,
donde x e y se miden en metros. Cuando la esfera se halla en el punto (-2,4 ;
2,4), indicado, se mueve a lo largo de la varilla con una celeridad de 4,5 m/s,
disminuyndola a razn de 0,9 m/s2. Determinar las componentes normal y
tangencial de la fuerza que en ese instante ejerce la varilla sobre la esfera.
yx 4,22
yx 4,22
-
)( aamamF r
2 rrmmaF rr
rrmmaF 2
Donde:
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
urrurrmF r
22
3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
-
Ejemplo 08.- Un cuerpo esfrico pequeo de masa m se libera estando
la cuerda bin tensa y = 30. Encontrar la tensin en la cuerda durante
el movimiento resultante. (figura adjunta).
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
-
Ejemplo 08.- Un cuerpo esfrico pequeo de masa m se libera estando la cuerda bin
tensa y = 30. Encontrar la tensin en la cuerda durante el movimiento resultante.
(figura adjunta).
m
0
L
Eje Radial
(+)
Eje
Transversal (-)
(+)
mg
T
ru
u
SOLUCION:
Hiptesis:
1. La cuerda es inextensible.
2. L, longitud de la cuerda constante.
Respuesta:
13 senmgT
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES
-
)( zr aaamamF
2 rrmmaF rr
rrmmaF 2
Donde:
zmmaF zz
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS
-
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS
Ejemplo 09.- Un pndulo cnico consiste en una esfera que pesa 100 N
sostenida por un hilo de 2,4 m de longitud que gira en torno a un eje
vertical con una velocidad angular constante tal que mantenga el hilo
formando un ngulo de 30 con la vertical. Determinar la tensin T en el
hilo y la celeridad lineal v de la esfera.
-
xy
z
0
m
F
r
3.4. LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
GRAVITATORIAS
3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES
-
dt
vdmamF
vmddtF
De la ecuacin del movimiento de una partcula de masa m, tenemos:
Integrando para un intervalo de tiempo desde t1 hasta t2 y entre v1 y v2,
respectivamente, tenemos:
12
2
1
vmvmvdmdtF
v
vt
Ecuacin del impulso y momentos lineales, que permite calcular la velocidad
final de la partcula luego de un tiempo y conociendo la velocidad inicial.
4. METODO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA PARTICULAS
4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal
-
A. IMPULSO LINEAL:
La integral , se define como el Impulso Lineal; cantidad
vectorial que mide el efecto de la fuerza durante el tiempo que sta acta;
tiene la direccin de la fuerza y se expresa en unidades de fuerza por
unidades de tiempo, como: N.s; kgf.s; libf.s; etc.
t
dtFI
t0
F
Fc
I = Fc ( t2 t1)
t1 t2
t0
F
t1 t2
t
FdtI
4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal
-
B. MOMENTO LINEAL:
Definido como el producto de la masa de la partcula por su velocidad, es
decir: , cantidad vectorial que tiene la direccin de la velocidad y
se expresa en unidades de masa por unidades de velocidad, como: kg.m/s;
g.cm/s; lib.pie/s; etc.
vmp
12 vmvmdtFIt
As, tenemos:
pppvmvmI
1212
Grficamente:
m
1p
m
2p
1p
m2p
I
4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal
-
B. MOMENTO LINEAL:
Ecuaciones en componentes rectangulares:
y
t
yy mvdtFmv 21
x
t
xx mvdtFmv 21
z
t
zz mvdtFmv 21
4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal
-
C. PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL:
4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal
De la experiencia, se tiene que: ;
por lo que, el momento lineal total de un
sistema compuesto de dos particulas que estan
sujetas solamente a su interaccion mutua,
permanece constante.
2121:"" vmvmppptpara inicial
2121:"" vmvmppptpara final
pp
En general: El momento lineal total de un sistema aislado de particulas es
constante, asi tenemos:
teconspppppn
i
i tan...321
Tenemos que:
-
C. PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL:
4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal
teconspp tan21
2121 pppp
2211 pppp
21 pp
Una interaccin produce un intercambio de momento lineal
Para un sistemas de dos particulas con
interaccion mutua, se cumple que:
-
A. MOMENTO ANGULAR:
El momento angular o momentum angular de una partcula con respecto al
punto 0 del sistema inercial, se define como: el momento del momento
lineal; As, tenemos:
vmrprH
0
4. METODO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA PARTICULAS
4.2. MOMENTO ANGULAR.- Principio del Impulso y El Momento Angular
-
A. MOMENTO ANGULAR:
La componente del momento angular en el eje Z, es:
)(0 senrmvprH z
dmvHoz
4.2. MOMENTO ANGULAR.- Principio del Impulso y El Momento Angular
-
B. RELACION ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y EL MOMENTUM ANGULAR:
Multiplicando vectorialmente por , tenemos:
)(0 vrmdt
dM
vmrFr
vmamF
De la ecuacion general del movimiento:
r
00 HM
Similar a: pvmF
4.2. MOMENTO ANGULAR.- Principio del Impulso y El Momento Angular
-
C. IMPULSO ANGULAR.- Principio del Impulso y el Momento Angular
Operando, e integrando para un intervalo de tiempo de t1 a t2, tenemos:
De la ecuacin, tenemos:
000 Hdt
dHM
IMPULSO ANGULAR: 2
1
2
1
tt
tt
HdtFrdtM
102000
2
1
2
1
HHHddtM
t
t
t
t
20010
2
1
HdtMH
t
t
4.2. MOMENTO ANGULAR.- Principio del Impulso y El Momento Angular