CINÉTICA DE UN ROBOT Inteligencia Artificial

24 DE SEPTIEMBRE DE 2014 UNSLG-ICA

Contenido Introducción ........................................................................................................................................................... 3 El brazo o manipulador ......................................................................................................................................... 3 Campo de acción ................................................................................................................................................. 4 Cinética o Cinemática .......................................................................................................................................... 5 Grados de Libertad ............................................................................................................................................... 6

Tipos de configuraciones morfológicas ........................................................................................................... 8 Cartesiana / Rectilínea................................................................................................................................... 9 Cilíndrica ........................................................................................................................................................ 10 Esférica / Polar ............................................................................................................................................... 11 De Brazo articulado / Articulación esférica / Articulación coordinada / Rotación / Angular ............. 11 SCARA ............................................................................................................................................................ 12

Espacio (volumen) de trabajo ............................................................................................................................ 13 Cinemática Directa ............................................................................................................................................. 14

El problema cinemático directo ..................................................................................................................... 16 La representación de Denavit-Hartenberg ................................................................................................... 17

Cinemática Inversa.............................................................................................................................................. 18 Cinemática inversa: Métodos ......................................................................................................................... 21

Método Geométrico .................................................................................................................................... 21 Resolución a partir de matrices de transformación homogénea ........................................................... 21 Desacoplamiento cinemático .................................................................................................................... 22

Diseño y sensores del manipulador .................................................................................................................... 22 El mando adaptable de un manipulador remoto. .......................................................................................... 22 Bibliografía ............................................................................................................................................................ 24

Cinética del R obot

Introducción

Los robots clásicos presentan una arquitectura antropomórfica serial, semejante

al brazo humano. Consisten de una serie de barras rígidas unidas entre sí a través

de articulaciones de un grado de libertad del tipo rotacional o prismática. En

general cada articulación logra su movimiento a través de un accionamiento de

potencia e incluye otros dispositivos como reductores de velocidad, frenos y

sensores de posición o velocidad.

Aunque al definir las relaciones cinemáticas de un robot no se suelen consideran

los aspectos dinámicos, nada más alejado de la realidad cuando se quiere

diseñar un robot ya que existe una inevitable relación causa-efecto entre la

cinemática y la dinámica.

Las arquitecturas de los robots clásicos presentan una serie de propiedades

dinámicas y estructurales caracterizadas por una gran rigidez estructural,

repetitividad y elevado peso propio. El elevado peso propio de los robots clásicos

limita la capacidad carga útil y las velocidades de trabajo, las cuales usualmente

están en torno a los 60 grados/seg. Para las primeras tres articulaciones de los

robots industriales (robots de soldadura) y 250 grados/seg. Para los robots

pequeños de altas prestaciones como el STÄUBLI RX90.

El brazo o manipulador

La estructura mecánica del manipulador puede ser tan variada como los

fabricantes que las hacen. Pero generalmente se pueden distinguir cuatro partes

principales en el manipulador: el pedestal, el cuerpo, el brazo y el antebrazo.

Figura 1.1: Brazo robótico jugador de baloncesto(Universidad Nacional de Chiao-Tung).

Las articulaciones entre las distintas partes rígidas del brazo pueden ser giratorias

(como las del brazo humano) o deslizantes (si hay traslación de las partes). El

número de elementos del brazo y sus articulaciones determinan una

característica propia de cada robot. Al número de movimientos espaciales

independientes entre sí se le denomina grados de libertad.

Campo de acción

Debido a la estructura de las articulaciones y al número de ellas existente, el brazo

del robot puede llegar a alcanzar ciertos puntos del espacio, pero nunca todos.

Al conjunto de los puntos del espacio que el robot puede alcanzar con su

herramienta se le denomina campo de acción, y es una característica propia de

cada robot.

Los fabricantes nos ofrecen en sus catálogos todo un montón de dibujitos en los

que podemos ver las zonas que el robot alcanza y las que no.

Hay otras tres características que definen la calidad del movimiento de un robot:

• Resolución (o precisión). Es el mínimo movimiento que puede realizar el

robot expresado en milímetros.

• Repetitividad. Es una medida estadística del error que comete un robot al

colocarse repetidas veces en un mismo punto.

• Exactitud. Es una medida de la distancia que hay entre el punto donde se

ha colocado el extremo del brazo y el punto real donde debería haberlo

hecho.

Cinética o Cinemática

La cinemática es la rama de la física que estudia las leyes del movimiento de los

cuerpos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita,

esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. La

aceleración es el ritmo con el que cambia la velocidad. La velocidad y la

aceleración son las dos principales magnitudes que describen cómo cambia la

posición en función del tiempo.

Para controlar la posición debemos conocer las propiedades dinámicas del

sistema con el fin de saber cuánta fuerza se requiere para lograr moverlo, ya sea

poca fuerza, el sistema responderá de na forma muy lenta; encambio si

aplicamos demasiada fuerza, el sistema puede golpear contra objets u oscilar

sobre la posicion deseada.

La cinemática de robots industriales y de brazos manipuladores hace referencia

al estudio de su movimiento respecto de un sistema de coor-denadas fijo (o

global) en función del tiempo, independientemente de las causas que lo

producen (sean fuerzas o momentos).

La cinemática del brazo del robot trata con el estudio analítico de la geometría

del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas de

referencia fijo como una función del tiempo sin considerar las fuerzas-momentos

que originan dicho movimiento.

Un robot industrial es un manipulador que puede realizar diversas tareas, dentro

de un espacio de trabajo determinado. Como cualquier otro mecanismo, está

formado por varios elementos relacionados entre sí mediante pares cinemáticos,

R y P (rotación traslación),en la mayoría de los casos. La es-tructura empleada en

los robots es, habitualmente, disponer, sólo, dos pares cinemáticos en cada

elemento. De este modo, uno de los elementos (el primero) se une al soporte o

base fija, mientras que el otro (el último) está libre y dispone de una herramienta

o mano de sujeción que le per-mite manipular y/o trabajar sobre los objetos.

Obtener las ecuaciondes de movimiento no es tarea sencilla debido al gran

número de grados de libertad y no linealidades del sistema. Existen dos problemas

fundamentales en la cinemática del robot.

Problema cinemático directo.

Problema cinemático inverso.

Grados de Libertad

Generalmente un brazo mecánico o manipulador. Está formado por una serie de

elementos estructurales sólidos o eslabones unidos mediante articulaciones que

permiten un movimiento relativo entre cada dos eslabones consecutivos.

Cada uno de los movimientos independientes (giros y desplazamientos) que

puede realizar cada articulación con respecto a la anterior. Son los parámetros

que se precisan para determinar la posición y la orientación del elemento

terminal del manipulador. El número de grados de libertad del robot viene dado

por la suma de los GDL de las articulaciones que lo componen. Puesto que las

articulaciones empleadas suelen ser únicamente de rotación y prismáticas, con

un solo grado de libertad cada una, el número de GDL del robot suele coincidir

con el número de articulaciones que lo componen.

Puesto que para posicionar y orientar un cuerpo de cualquier manera en el

espacio son necesarios seis parámetros, tres para definir la posición y tres para la

orientación, si se pretende que un robot posicione y oriente su extremo (y con él

la pieza o herramienta manipulada) de cualquier modo en el espacio, se

precisará al menos seis grados de libertad.

Fig. 1.2: En la imagen se muestra el esquema de un robot de estructura moderna

con 6 GDL; tres de ellos determinan la posición del aprehensor en el espacio

(q1, q2 y q3) y los otros 3, la orientación del mismo (q4, q5 y q6).

Un mayor número de grados de libertad conlleva un aumento de la flexibilidad

en el posicionamiento del elemento terminal. Aunque la mayoría de las

aplicaciones industriales requieren 6 GDL, como las de la soldadura, mecanizado

y palatización, otras más complejas requieren un número mayor, tal es el caso en

las labores de montaje. Si se trabaja en un entorno con obstáculos, el dotar al

robot de grados de libertad adicionales le permitirá acceder a posiciones y

orientaciones de su extremo a las que, como consecuencia de los obstáculos, no

hubieran llegado con seis grados de libertad. Otra situación frecuente es dotar

al robot de un grado de libertad adicional que le permita desplazarse a lo largo

de un carril aumentando así el volumen del espacio al que puede acceder.

Tareas más sencillas y con movimientos más limitados, como las de la pintura y

palatización, suelen exigir 4 o 5 GDL.

Fig. 1.3: Brazos robóticos en fabricación de vehículos.

Cuando el número de grados de libertad del robot es mayor que los necesarios

para realizar una determinada tarea se dicen que el robot es redundante.

Observando los movimientos del brazo y de la muñeca, podemos determinar el

número de grados de libertad que presenta un robot. Generalmente, tanto en el

brazo como en la muñeca, se encuentra un abanico que va desde uno hasta los

tres GDL. Los grados de libertad del brazo de un manipulador están directamente

relacionados con su anatomía o configuración.

Tipos de configuraciones morfológicas

La estructura del manipulador y la relación entre sus elementos proporcionan una

configuración mecánica, que da origen al establecimiento de los parámetros

que hay que conocer para definir la posición y orientación del elemento terminal.

Fundamentalmente, existen cuatro estructuras clásicas en los manipuladores, que

se relacionan con los correspondientes modelos de coordenadas en el espacio y

que se citan a continuación: cartesianas, cilíndricas, esféricas, angulares. Así, el

brazo del manipulador puede presentar cuatro configuraciones clásicas:

• Cartesiana

• Cilíndrica

• Esférica

• De brazo articulado o angulares

Y una no clásica:

• SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm).

El empleo de diferentes combinaciones de articulaciones en un robot, da lugar a

diferentes configuraciones morfológicas, con características a tener en cuenta

tanto en el diseño y construcción del robot como en su aplicación. Las

combinaciones más frecuentes son con tres articulaciones, que son las más

importantes a la hora de posicionar su extremo en un punto en el espacio. A

continuación se presentan las características principales de las configuraciones

del brazo manipulador.

Cartesiana / Rectilínea El posicionando se hace en el espacio de trabajo con las articulaciones

prismáticas. Esta configuración se usa bien cuando un espacio de trabajo es

grande y debe cubrirse, o cuando la exactitud consiste en la espera del robot.

Posee tres movimientos lineales, es decir, tiene tres grados de libertad, los cuales

corresponden a los movimientos localizados en los ejes X, Y y Z.

Los movimientos que realiza este robot entre un punto y otro son con base en

interpolaciones lineales. Interpolación, en este caso, significa el tipo de

trayectoria que realiza el manipulador cuando se desplaza entre un punto y otro.

A la trayectoria realizada en línea recta se le conoce como interpolación lineal y

a la trayectoria hecha de acuerdo con el tipo de movimientos que tienen sus

articulaciones se le llama interpolación por articulación.

Fig. 1.4: manipulador cartesiano

Cilíndrica El robot tiene un movimiento de rotación sobre una base, una articulación

prismática para la altura, y una prismática para el radio. Este robot ajusta bien a

los espacios de trabajo redondos. Puede realizar dos movimientos lineales y uno

rotacional, o sea, que presenta tres grados de libertad.

Este robot está diseñado para ejecutar los movimientos conocidos como

interpolación lineal e interpolación por articulación. La interpolación por

articulación se lleva a cabo por medio de la primera articulación, ya que ésta

puede realizar un movimiento rotacional.

Fig. 1.5: manipulador cilíndrico

Esférica / Polar Dos juntas de rotación y una prismática permiten al robot apuntar en muchas

direcciones, y extender la mano a un poco de distancia radial. Los movimientos

son: rotacional, angular y lineal. Este robot utiliza la interpolación por articulación

para moverse en sus dos primeras articulaciones y la interpolación lineal para la

extensión y retracción.

Fig. 1.6: manipulador Esférico o Polar.

De Brazo articulado / Articulación esférica / Articulación coordinada / Rotación

/ Angular

El robot usa 3 juntas de rotación para posicionarse. Generalmente, el volumen de

trabajo es esférico. Estos tipos de robot se parecen al brazo humano, con una

cintura, el hombro, el codo, la muñeca. Presenta una articulación con

movimiento rotacional y dos angulares. Aunque el brazo articulado puede

realizar el movimiento llamado interpolación lineal (para lo cual requiere mover

simultáneamente dos o tres de sus articulaciones), el movimiento natural es el de

interpolación por articulación, tanto rotacional como angular.

Fig. 1.7: manipulador angular.

SCARA

Similar al de configuración cilíndrica, pero el radio y la rotación se obtiene por

uno o dos eslabones. Este brazo puede realizar movimientos horizontales de

mayor alcance debido a sus dos articulaciones rotacionales. El robot de

configuración SCARA también puede hacer un movimiento lineal (mediante su

tercera articulación).

Fig. 1.8: manipulador tipo SCARA.

Espacio (volumen) de trabajo

Las dimensiones de los elementos del manipulador, junto a los grados de libertad,

definen la zona de trabajo del robot, característica fundamental en las fases de

selección e implantación del modelo adecuado.

La zona de trabajo se subdivide en áreas diferenciadas entre sí, por la

accesibilidad especifica del elemento terminal (aprehensor o herramienta), es

diferente a la que permite orientarlo verticalmente o con el determinado ángulo

de inclinación.

También queda restringida la zona de trabajo por los límites de giro y

desplazamiento que existen en las articulaciones.

El volumen de trabajo de un robot se refiere únicamente al espacio dentro del

cual puede desplazarse el extremo de su muñeca. Para determinar el volumen

de trabajo no se toma en cuenta el actuador final. La razón de ello es que a la

muñeca del robot se le pueden adaptar grippers de distintos tamaños

Para ilustrar lo que se conoce como volumen de trabajo regular y volumen de

trabajo irregular, tomaremos como modelos varios robots.

El robot cartesiano y el robot cilíndrico presentan volúmenes de trabajo regulares.

El robot cartesiano genera una figura cúbica.

El robot de configuración cilíndrica presenta un volumen de trabajo parecido a

un cilindro (normalmente este robot no tiene una rotación de 360°)

Por su parte, los robots que poseen una configuración polar, los de brazo

articulado y los modelos SCARA presentan un volumen de trabajo irregular.

Cinemática Directa

La cinemática es la ciencia que trata el movimiento sin considerar las fuerzas que

lo ocasionan. Dentro de la cinemática se estudian la posicion, velocidad,

aceleración y todas las derivadas de mayor orden de las variables de posicion

(respecto al tiempo o a cualquier otra variable). Por ende, el estudio de la

cinemática de los maipuladores se refiere a las propiedades del movimiento, las

geométricas y las basadas en tiempo.

Figura 1.9: El sistema de coordenadas o “Trama” se adjunta a los manipuladores y a los

objetos e el ambiente.

Los manipuladores consisten de vinculos casi rigidos, los cuales están conectados

por articulaciones que permiten el movimeinto relativo de los vinculos

adyacentes.

Estas articulaciones generalmente se instrumentan con sensores de posicion, los

cuales permiten medir la posicion relativa de los vinculos adyacentes. En el caso

de las articulaciones giratorias o angulares, estos desplazamientos se conocen

como ángulos articulados.

Un problema muy básico en el estudio de la manipulación mecánica se conoce

como cinemática directa, que es el problema geométrico estático de calcular la

posición y orientacion del efector final del manipulador. Específicamente, dado

un conjunto de ángulos articulares, el problema de la cinemática directa es

calcular la pososición y orientacion de la trama de la herramienta relativa a la

trama base. Imaginemos que es como cambiar la representación de la posicion

del manipulador: de una descripcion en el espacio de la articulacion a una

descripcion en el espacio cartesiano.

El problema cinemático directo

El problema cinemático directo se plantea en términos de encontrar una matriz

de transformación que relaciona el sistema de coordenadas ligado al cuerpo en

movimiento respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia.

Para lograr esta representación se usan las matrices de transformación

homogénea 4x4, la cual incluye las operaciones de traslación y la orientación.

La matriz de transformación homogénea es una matriz de 4x4 que transforma un

vector expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de

coordenadas hasta otro sistema de coordenadas.

La matriz de transformación homogénea tiene la siguiente estructura:

Donde los vectores n, s, a, son vectores ortogonales unitarios y p es un vector que

describe la posición x, y, z del origen del sistema actual respecto del sistema de

referencia.

Para entender las propiedades de la matriz de transformación homogénea nos

fijamos en el siguiente gráfico.

Figura 1.10: Interpretación geométrica de la matriz de transformación homogénea.

Al analizar las columnas de la submatriz de rotación de la matriz de

transformación homogénea iTj , un observador localizado en el origen de sitema-

i, puede ver como están orientados los ejes x, y, z del sistema-j, además también

observa como se ha desplazado en coordenadas cartesianas el origen del

sistema-j respecto del origen del sistema de referencia con la información del

vector de posición.

La representación de Denavit-Hartenberg

Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para descubrir y

representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática,

y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este

método utiliza una matriz de transformación homogénea para descubrir la

relación espacial entre dos elementos rígidos adyacentes, reduciéndose el

problema cinemático directo a encontrar una matriz de transformación

homogénea 4 X 4 que relacione la localización espacial del robot con respecto

al sistema de coordenadas de su base.

La representación de D-H, se aplica a robots de cadena cinemática abierta y

consiste en una serie de reglas para colocar los sistemas de referencia de cada

eslabón del robot. Antes de aplicar el método de D-H es importante tener en

cuenta los siguientes comentarios:

• Se parte de una configuración cualesquiera del robot, si bien es

aconsejable colocarlo en una posición sencilla de analizar.

• Se numeran los eslabones, asignando el 0 para la base y n-1 para el último

eslabón, siendo n el número de grados de libertad del robot.

• El sistema de coordenadas orto normal dextrógiro de la base (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0,𝑧𝑧0) se

establece con el eje z0 localizado a lo largo del eje de movimiento de la

articulación 1 y apuntando hacia fuera del hombro del brazo del robot.

• El sistema de referencia de cada eslabón se coloca al final del mismo, en

el extremo de la articulación a la cual está conectado el eslabón siguiente.

• El ángulo o desplazamiento de cada eslabón siempre se mide tomando

como base el sistema de referencia del eslabón anterior.

La matriz de transformación homogénea propuesta por Denavit-

Hartenberg para la solución de este modelo es la que se muestra a

continuación:

De esta matriz ai representa lo largo del eslabón al que se esté haciendo

referencia en el subíndice i, di es la distancia entre articulaciones, es decir,

es cuando el eslabón no está unido exactamente a la base del motor,

existe una distancia representada por este parámetro, si este perno o

distancia está desfasado un determinado ángulo este se representa

mediante αi, finalmente θi representa el ángulo de giro de la articulación,

es decir, el ángulo que gira el motor del eslabón i.

Cinemática Inversa

En Robótica, la Cinemática inversa (IK) es la técnica que permite determinar el

movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador final

se ubique en una posición concreta. El cálculo de la cinemática inversa es un

problema complejo que consiste en la resolución de una serie de ecuaciones

cuya solución normalmente no es única.

Este problema se plantea de la siguiente manera: dada la posición y orientación

del efector final del manipulador, calcule todos los conjuntos posibles de ángulos

articulares que podrían utilizarse para obtener esta posición y orientación dadas.

El problema de la cinemática inversa no es tan simple como el de la cinemática

directa. Debido a que las ecuaciones cinemáticas son no lineales, su solución no

es siempre sencilla en una forma cerrada. Además, surgen preguntas sobre si

existe una solución o existen múltiples soluciones.

El estudio de estas cuestiones hace que apreciemos lo que la mente humana y

el sistema nervioso logran realizar cuando, al parecer, movemos y manipulamos

objetos con nuestros brazos y manos.

La existencia o inexistencia de una solución cinemática define el espacio de

trabajo de un manipulador dado. La falta de una solución significa que el

manipulador que el manipulador no puede obtener la posición y orientación

deseadas, ya que se encuentran fuera del espacio de trabajo del manipulador.

Figura 1.11: Brazo Robot SCARA.

La cinemática inversa más sencilla es la que se aplica al brazo robot tipo SCARA

y brazo robot cilíndrico. En el brazo SCARA tenemos que resolver los dos ángulos

de las articulaciones. En este tipo de brazos el eje Z no interviene en la cinemática

inversa porque es un resultado en sí mismo. Desde el punto de vista del cálculo

sólo tenemos en cuenta los ejes X e Y, y la longitud de las articulaciones.

El triángulo formado por LongBrazo, LongAntBr e Hipotenusa suele ser del tipo

irregular, sobre todo si los dos catetos (LongBrazo y LongAntBr) no son iguales.

Para resolver los ángulos de este tipo de triángulo hay que aplicar el Teorema del

Coseno.

Cinemática inversa: Métodos

Método Geométrico

- Se suele utilizar las primeras variables articulares.

- Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos).

Es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de

que se consideren solo los primeros grados de libertad para posicionar el

extremo.

El procedimiento se basa en encontrar un número suficiente de relaciones

geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del

robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus

elementos.

• Robot con 3 GDL.

• Coordenas Px, Py, Pz

• Robot con estructura planar.

La orientación del último enlace es la suma de las variables articulares.

Resolución a partir de matrices de transformación homogénea

- Se despejan las n variables en función de las componentes de los vectores.

En principio es posible tratar de obtener el modelo cinemático inverso de un robot

a partir del conocimiento de su modelo directo.

Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición

y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares,

obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas. Sin embargo, en la

práctica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que

obliga a desecharla.

Desacoplamiento cinemático

- En robots de 6 GDL.

- Separación y posicionamiento.

Diseño y sensores del manipulador

Aunque los manipuladores son, en teoría, dispositivos universales que se aplican

a muchas situaciones, la economía generalmente dicta que el dominio de la

tarea deseada ejerce una influencia sobre el diseño mecánico del manipulador.

Junto a otras cuestiones como el tamaño, la velocidad y la capacidad de carga,

el diseñador debe también considerar el número de articulaciones y su arreglo

geométrico. Estas consideraciones afectan el tamaño y la calidad del espacio

de trabajo del manipulador, la rigidez de la estructura del manipulador y demás

atributos.

Entre más articulaciones contenga el brazo de un robot, más destreza y

capacidad tendrá. Desde luego que también será más difícil de construir y más

costoso.

El mando adaptable de un manipulador remoto.

Un sistema de mando de robot causa a un manipulador remoto, seguir una

trayectoria de referencia estrechamente en un marco de referencia Cartesiano

en el espacio de trabajo, sin el recurso a un modelo matemático intensivo de

dinámica del robot y sin el conocimiento del robot y parámetros de carga. El

sistema, derivado de la teoría lineal multivariable, utiliza a los manipuladores

delanteros relativamente simples y controladores de retroalimentación con

modelo y adaptable de referencia del mando. El sistema requiere dimensiones

de posición y velocidad del extremo manipulador del efector. Éstos pueden

obtenerse directamente de los sensores ópticos o por cálculo que utiliza las

relaciones de la cinemática conocidas entre el manipulador modelado y el

extremo de la juntura de la posición del efector. Derivando las ecuaciones de

control, las ecuaciones diferenciales no lineales acopladas a la dinámica del

robot, expresan primero la forma general de la cinemática, entonces la

linealización por cálculo de perturbaciones sobre una específica operación del

punto en las coordenadas Cartesianas del extremo del efector. El modelo

matemático resultante es un sistema multivariable lineal de orden de 2n (donde

n = es el número de coordenadas espaciales independientes del manipulador)

esto expresa la relación entre los incrementos del actuador de n voltajes de

control (las entradas) y los incrementos de las coordenadas de n, la trayectoria

de extremo del efector (los rendimientos). La trayectoria del efector incrementa

la referencia, la trayectoria se incrementa: esto requiere la retroalimentación

independiente y controladores de manipulación. Para este propósito, le basta

aplicar posición y retroalimentación de velocidad a través de la matriz de n x n

posición y velocidad, la matriz de ganancia de retroalimentación.

Bibliografía

Robótica 3ra edición 2006 John J. Craig Editorial Pearson

http://forums.parallax.com/attachment.php?attachmentid=40183&d=1138274073

http://www.academia.edu/5241556/Practicas_de_Robotica_utilizando_Matlab_

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https://sites.google.com/site/proyectosroboticos/cinematica-inversa-i

http://www.uaz.edu.mx/cippublicaciones/ricvol4num2tom1/Ingenierias/Cinematica.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Cinemática