Cinetica de Un Punto Material - Trabajo y Energia - Vacacional 2013

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M.Sc. Norbil Tejada Campos ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2013 FACULTAD DE INGENIERIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA CINÉTICA DE UNA PARTICULA: Método del Trabajo y Energía

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M.Sc. Norbil Tejada Campos

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA

CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2013

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

CINÉTICA DE UNA PARTICULA:

Método del Trabajo y Energía

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DEFINICION: Cuando una fuerza actúa

sobre una partícula, realiza un trabajo

cuando ésta desplaza a dicha partícula

en la dirección de la fuerza. Así, la

fuerza desplaza a la partícula P

según .

El trabajo es una magnitud física

escalar, y se define como:

F

rd

rdFW

dsFW cos

Según la definición de producto

escalar, tenemos:

TRABAJO y ENERGIA

1. TRABAJO DE UNA FUERZA

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dsFrdFW cos

Análisis:

1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).

2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).

3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).

Unidades:

1. (W) = 1 N.m = 1 J (julio)

2. (W) = 1 din. cm = 1 erg (ergio)

3. (W) = 1 kgf.m

4. (W) = 1 lb.pie

5. etc.

DEFINICION:

1. TRABAJO DE UNA FUERZA

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cosFxxFW

Análisis:

1. W (+); si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido (0º ≤ θ ≤ 90º).

2. W (-); si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos opuestos (90º ≤ θ ≤ 180º).

3. W (nulo); si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares ( θ = 90º).

DEFINICION: Si el desplazamiento es horizontal; tenemos:

m m

(A) (B)

θ

x

FN

P

f

x

1. TRABAJO DE UNA FUERZA

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Conociendo Fc y θ constantes, el

trabajo que realiza Fc cuando la

partícula se desplaza de S1 a S2, se

determina por medio de la ecuación:

12coscos

2

1

SSFdsFW

S

S

Este trabajo se representa mediante una área de un rectángulo, como se observa

en la figura:

Fccosθ

S1 S2 S

F

0

W = AREA

2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL

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Ejemplo 01.- Con una fuerza de 1200 N que forma un ángulo de 37º con la

horizontal se tira una caja de 200 kg, en una superficie áspera horizontal. La caja

se mueve una distancia de 4 m con rapidez constante. Calcular: a) el trabajo

realizado por cada fuerza, b) el coeficiente de roce.

2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL

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Ejemplo 02.- Siendo el campo de fuerzas definido por , en newtons; Hallar el trabajo, que realiza dicho campo para llevar una partícula por la curva C en el sentido indicado en la figura.

2. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE Y DESPLAZAMIENTO LINEAL

F x y i y x j 2 3 42

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La partícula al desplazarse de S1 a S2,

en una posición intermedia se tiene:

kdzjdyidxrd

kmgkPP

El trabajo que realiza la fuerza peso,

es:

2

1

r

r

rdPW

2

1

)()(

r

r

kdzjdyidxkPW

)( 12

2

1

zzPPdzW

z

z

ZmgZPW

3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)

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3. TRABAJO DE UNA FUERZA GRAVITACIONAL (PESO)

Ejemplo 03.- Un cuerpo puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado.

El coeficiente de rozamiento es de 0,05. Si la velocidad del bloque al llegar

al punto más bajo es de 9 m/s. Determine, el trabajo de cada una de las

fuerzas durante el movimiento del cuerpo.

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2. Si la masa (m) experimenta un

desplazamiento arbitrario des x = xi hasta

x = xf, el trabajo realizado por el resorte

está dado por:

22

2

1

2

1)(

fi

fx

ix

resorte xkxkdxxkW

F

xi xf

k

m

1. Si la masa (m) experimenta un

desplazamiento arbitrario desde x = xi

hasta x = xf, el trabajo realizado por un

agente externo (que realiza la fuerza F);

está dado por:

22

2

1

2

1)(

if

fx

ix

xkxkdxxkW

4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE

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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE

Ejemplo 04.- Una masa de 4kg se mueve del punto A al punto B

sobre una varilla de guía lisa de un cuarto de círculo, como se

ilustra. La masa está sujeta a un resorte de longitud no estirado de

200 mm y una constante de resorte de 10 kN/m. Determine el

trabajo total efectuado en la masa.

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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE

Ejemplo 05.- Un collarín de 0,25 lb se desliza en la barra circular AB que

se encuentra en un plano vertical. El resorte unido al collar tiene una

longitud libre de 9 pulgadas y su rigidez es 0,1 lb/pulg. Si el collarín se

suelta desde el reposo en A, determine: a) el trabajo realizado por el

resorte, b) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, c) la rapidez del

collarín cuando llega al punto B.

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Si actúan más de una fuerza sobre el cuerpo, el

trabajo resultante es el realizado por la componente de

la fuerza resultante en dirección del desplazamiento,

entonces en términos del producto escalar en tres

dimensiones, el trabajo total es:

2

1

2

1

2

1

cos)(

S

S

T

S

S

r

r

TOTAL dsFdsFrdrFW

Fcosθ

S 0 S1 S2 ds

Fcosθ

Dicho trabajo representa el área bajo la curva Fcosθ versus s, según la figura:

5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

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Si una fuerza variable F está moviendo a un objeto a lo largo del eje x desde una

posición inicial a otra final, ya no se puede usar la expresión anterior para calcular el

trabajo realizado por la fuerza. En este caso se puede hacer que el cuerpo

experimente pequeños desplazamientos dx, entonces la componente Fx de la fuerza

en la dirección del desplazamiento se puede considerar aproximadamente constante

en ese intervalo dx y se puede calcular un trabajo dW en ese pequeño

desplazamiento como:

f

i

x

x

xdxFW

Dicho trabajo representa el área bajo la curva Fx versus x, según la figura:

5. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

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ENERGIA CINETICA : K = ½ mv2

ENERGIA POTENCIAL : EP = EP (x,y,z)

ENERGIA MECANICA TOTAL : E = K + EP

6. ENERGIA MECANICA

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TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA CINETICA

“El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre

una partícula, es igual al cambio de la energía cinética de la

partícula”:

KKKmvmvW ififn 22

2

1

2

1

Observaciones:

1. W y K son cantidades escalares, de iguales unidades.

2. W (+ o -) y K (+)

3. W y K dependen del marco de referencia elegido; pero Wn = ΔK

6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA

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6. TRABAJO y ENERGIA CINETICA

Ejemplo 06.- Los bloques están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorte está indeformado. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen 0,3 y 0,2, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar: a) la máxima velocidad de los bloques y el alargamiento que, en esa condición sufre el resorte, b) la máxima distancia que recorrerá el bloque de 10 kg, hacia abajo, por el plano inclinado.

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gradF

12

2

1

2

1

)21( rdgradrdFW

0)21( rdFW

Campo de fuerzas conservativas:

a. La fuerza es función de la posición, dada en Coordenadas espaciales.

F=F(x,y,z).

b. La fuerza se expresa como el gradiente de una función escalar

denominada “Potencial de Fuerza”, de la siguiente forma:

c. El trabajo efectuado por una fuerza de este tipo sobre una partícula que se

mueve del punto “1” al punto “2” es independiente de la trayectoria y

depende solamente de los puntos extremos de estudio.

d.- Si la trayectoria recorrida por la partícula es cerrada, entonces el trabajo

efectuado es nulo, porque coinciden los puntos inicial y final.

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL

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El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la

trayectoria y de la rapidez con la que se mueve la partícula. En este caso el

trabajo es sólo función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con

una variación de energía función de la posición, similar al caso de la energía

cinética que es función de la velocidad.

fpipp

r

r

EEErdFW

f

i

“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor

negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza”:

TEOREMA: TRABAJO – ENERGIA POTENCIAL

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL

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Ejemplo 1.- Fuerza de un resorte

ikxF

Fuerza de un resorte:

ikxkx

jx

ix

De donde:

kxx

2

2

1kx

pE

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL

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Ejemplo 2.- Fuerza de gravedad

kmgF

Fuerza de gravedad:

kmgkx

jx

ix

De donde:

mgz

mgz

pE

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL

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Ejemplo 3.- Campo gravitatorio de fuerzas centrales

rur

mMF

2

),,( zyxFF

r

mMgradF

r

mMU

r

mMiagravitator

También puede expresarse como:

Donde,

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL

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Ejemplo 4.- Campo electrico de cargas puntuales

re ud

qQKF

2

),,( zyxFF

r

qQKgradF e

r

qQKU

r

qQK eelectrica

e

También puede expresarse como:

Donde,

7. CAMPO DE FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGIA POTENCIAL

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p

r

r

c ErdFW

f

i

KrdFW

f

i

r

r

c

1. Movimiento en un Campo de Fuerzas Conservativas:

pEK

^

De donde, tenemos que:

Principio de conservación de la Energía Mecánica: “La

suma de la energía cinética y la energía potencial de una

partícula, permanece constante todo el tiempo que dure

el movimiento”.

8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

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4. TRABAJO DE UNA FUERZA DE UN RESORTE

Ejemplo 07.- Un peso de 30 lb se mueve sobre una barra guía lisa

vertical. El peso se suelta del reposo en la posición que se ilustra.

Determine la velocidad cuando se mueve 5 pies hacia abajo. Cada

resorte tiene una longitud sin deformación de 1.5 pies y una

constante de resorte de 75 lb/pie.

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8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

Ejemplo 08.- El resorte tiene una longitud natural de 0.4 m y una

constante de 400 N/m. La corredera unida a él se suelta en el

punto A y se mueve en el plano vertical. Calcular la celeridad de

la corredera al llegar al punto B en ausencia de rozamiento.

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KrdFE

f

i

r

r

cp

KrdFrdFrdFFW

f

i

f

i

f

i

r

r

nc

r

r

c

r

r

ncc

)()(

2. Movimiento en un Campo de Fuerzas no Conservativas:

El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la

energía cinética mas la variación de la energía potencial”.

pnc EKW

8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

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8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

Ejemplo 09.- La corredera C de 1,5 kg se mueve por una varilla inmóvil bajo la acción del resorte cuya longitud natural es de 0,3 m. Si la velocidad de la corredera es de 2 m/s en el punto A y de 3 m/s en el punto B; calcular: a) el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento entre esos dos puntos, b) la fuerza de rozamiento media que actúa sobre la corredera entre A y B si la longitud del trayecto es de 0,70 m. (el plano x-y es horizontal).

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PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:

“Cuando todas las fuerzas que actúan sobre una

partícula son conservativas, la energía Mecánica total en

cualquier posición es igual a una constante, igual a

sumar: E = K + Ep”

LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA:

“La energía de un sistema aislante puede ser

transformada de una clase a otra; sin embargo, la

energía total en sus varias formas no se puede ser

creada ni destruida”

8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

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DEFINICION: Potencia se define como la rapidez con la que se realiza

trabajo. Así tenemos:

i

ii

i

vFdt

rdF

P

dt

dWP

vFdt

rdFP

Como dW para cualquier fuerza Fi es: , de modo que la Potencia

que desarrolla un sistema de n fuerzas en el tiempo “t”, es: ii rdFdW

Unidades:

1. (P) = 1 J/s = 1 w (watts)

2. (P) = 1 lib.pie/s

3. (P) = 1HP (horse power o caballo de potencia)

Equivalencias:

1 w = 1 J/s = 1 N.m/s

1 HP = 550 lb.pie/s = 746 w

9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA

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8. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

Ejemplo 10.- En el dispositivo de forja mostrado, el martillo de 40 kg se

levanta a la posición 1 y se libera del reposo, el cual cae y golpea una

pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del resorte es k

= 1500 N/m, y la tensión en cada resorte es de 150 N cuando el martillo

está en la posición 2. Ignore la fricción, se pide: a) Calcular la rapidez del

martillo justamente antes de que golpee la pieza de trabajo, b) Si toda la

energía cinética del martillo se transfiere a la pieza de trabajo, determine

la potencia media que se transfiere si el impacto dura 0.02 s,

respectivamente.

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MAQUINAS:

)(..

)(..)(

e

s

pentradapotencia

psalidapotenciaeficiencia

Para algunas máquinas se hace necesario conocer la

potencia en base a la cual se puede realizar un trabajo en un

determinado tiempo (ε); donde las fuerzas de rozamiento

disminuyen la potencia de salida haciendo que la eficiencia

de una máquina sea menor que la unidad (ε<1).

Nota.- Se puede definir una nueva unidad de energía en términos de la unidad de potencia, llamada kilowatt-hora. Un kilowatt-hora (kWh) es la energía utilizada durante una hora con una potencia constante de 1 kW. El valor de un kWh es: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 x 106 J.

9. CONSIDERACIONES SOBRE POTENCIA MECANICA