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CINEMÁTICACINEMÁTICA

Física y química 1º BachilleratoFísica y química 1º Bachillerato

Autores: Dpto. FyQ IES Clara Campoamor texto teórico básico

Adaptación, ejemplos y ejercicios MxH Dpto. FyQ

IES San Diego de Alcalá

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EL MOVIMIENTOEL MOVIMIENTO1 Movimiento y sistemas de referencia

Un cuerpo se mueve, si cambia su posición respecto a un punto de observación

Si está en movimiento, es relativo

Si dicho punto está en reposo, el movimiento es absoluto

El viajero se equivoca al pensar que se mueve el vagón de enfrente.

Al mirar al andén, comprueba que es su vagón el que se mueve

El conductor está en reposo respecto al pasajero que transporta, pero está en movimiento respecto al peatón.

Desde tierra el proyectil cae describiendo una parábola. Desde el avión cae en línea recta

3

La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen.

Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia.

¿Qué es un sistema de referencia? realmente siempre que realizamos cualquier medida la hacemos respecto a algo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hasta la puerta hay 2 m" al decir esto nos estamos tomando a nosotros mismos como referencia.

Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha parece que se mueve respecto a nosotros.

PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN REALIZADO LAS MEDIDAS.

PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN REALIZADO LAS MEDIDAS.

4

Vector de posición y vector desplazamientoEl vector de posición de un móvil, es el

vector con origen en O y extremo en P1. r1

r 1

OP1

=Se representa por

X

YP1

P2

r

s

r2

r1

Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros

Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros

y

x

desplazamiento

trayectoria

vectores de posición

Los vectores de posición determinan las diferentes posiciones del movimiento podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos las posiciones como posición 1 y posición 2. Son vectores que van desde el origen del sistema de referencia a la posición que se mide.

5

En general, r

| | s

El vector (posición final menos posición inicial) se denomina vector desplazamiento. Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el movimiento.

12 rrr

Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones inicial y final del recorrido.Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metrosEs vectorial.

Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones inicial y final del recorrido.Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metrosEs vectorial.

Coinciden desplazamiento y trayectoria cuando el movimiento es rectilíneo

EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

También coinciden cuando estudiamos desplazamientos muy pequeñitos , infinitesimales o diferenciales:

trayectoria

dSrd

6

EJEMPLOEJEMPLO• La ecuación del movimiento de un punto material P es

en unidades del SI. Calcula:a) El vector desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.b) El módulo del vector desplazamiento. SOLUCIÓN: a) El vector de posición a t = 1s

b) El vector de posición a t = 3s El vector desplazamiento vale entre esos instantes

El módulo del vector desplazamiento es :

mjimjir

·4·2·1·4·1·21

jtitrP

·4·2

mjimjir

·12·6·3·4·3·23

mjirrr

·8·413

mr 80641684 22

7

Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han viajado juntos. Tienen en común su velocidad media

t

smv

trvm

jtyi

txvm

jviv ymxm

Magnitud velocidad media escalar:

Vector velocidad media:

jyixr

VELOCIDADVELOCIDAD

La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...

La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o Km / h etc...

Se define velocidad media como el cambio de posición de un cuerpo en un intervalo de tiempo:

Se define velocidad media como el cambio de posición de un cuerpo en un intervalo de tiempo:

12

12

tt

rr

t

rVm

Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo

Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo

12

12

tt

SS

t

SVm

8

EJEMPLO

1. La posición de una partícula viene dada en el SI por.

Calcular:

a) El vector desplazamiento entre t = 2s y t = 5s.

b) La velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5s.

SOLUCIÓN:

El vector de posición a t = 1s El vector de posición a t = 3s El vector desplazamiento vale

• La velocidad media se obtiene dividiendo el vector desplazamiento por el tiempo transcurrido

jttittrP

·23·2 32

mjirrr

·364·4815

mjijir _·3·1·21·3·11·2 321

mjijir _365·51·5·25·3·15·2 322

smjijiji

t

rvm /·91·12

4

·364

4

·48

15

·364·48

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CUESTIONESCUESTIONES1. La ecuación del movimiento de un punto material P es

en unidades del SI. a) vector desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.b) El módulo del vector desplazamiento.

2. ¿Puede ocurrir que en un movimiento el módulo del vector desplazamiento sea cero y el espacio recorrido sea distinto de cero?

3. La posición de una partícula varía con el tiempo según expresada en SI. Calcular el vector desplazamiento y la velocidad media en los intervalos 1s y 3s, y 2s y 4s. ¿Qué tipo de movimiento es?.

4. La posición de una partícula viene dada por en el SI. Calcular:

a) El vector desplazamiento entre t = 2s y t = 5s.b) La velocidad media entre los instantes t = 3s y t = 6s.

jttitrP

·2·13 22

jtitrP

·3·3

itrP

·24

10

4

Cuando t 0 el vector desplazamiento se sitúa tangente a la trayectoria

La velocidad instantánea es la que posee un móvil en un punto de su trayectoria

r

v

=

tcuando t 0

Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil

X

Y

r1

r

r2

r3

r4

r

r

La velocidad instantánea es el cambio de posición de un cuerpo en movimiento en cada instante.

La velocidad instantánea es el cambio de posición de un cuerpo en movimiento en cada instante.

Cuando el cambio es diferencial el módulo (valor numérico) de dr es igual que dS

dt

dS

dt

rdv

dt

rd

t

r

tv

0

lim

VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA

11

EJEMPLOEJEMPLO• La ecuación del movimiento de un punto material P es en

unidades del SI. Calcula:a) La velocidad instantánea en función del tiempob) La velocidad instantánea para t = 3s.c) El módulo del vector velocidad instantánea . SOLUCIÓN: La vel. Inst. se obtiene derivando respecto a t

El vector vel. Inst a t = 3s

El módulo del vector vel. Inst es :

jtitrP

·2·5 32

smv /77,61381629169005430 22

smjtitdt

rdv /·6·10 2

smjijiv /·54·30·3·6·3·10 2

12

Física y Química1º BACHILLERATO

ACELERACIÓN

ACELERACIÓN

La aceleración instantánea

v

a

=

tcuando t 0

La aceleración media am

= =

v

t

v2

v1

-

t2 - t1

r1

r2

v

v1

v1

v 2

v 2

A A

X

Y

X

Y

B

Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por tanto serán m/s2 o Km/h2 etc... Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.

Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por tanto serán m/s2 o Km/h2 etc... Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.

dt

Vda

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V

La aceleración media estudia el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. Es un vector con la misma dirección y sentido que el vector resultante de restar la velocidad inicial y final vectorialmente ,en cierto t se define como :

Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la dirección y sentido de .

La aceleración media estudia el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. Es un vector con la misma dirección y sentido que el vector resultante de restar la velocidad inicial y final vectorialmente ,en cierto t se define como :

Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la dirección y sentido de .

12

12

tt

VV

t

Vam

V

1

2

= 2 – 1 y en esa misma dirección y sentido sale

1

- 2V

V

VV

VVV

ma

La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un instante determinado del movimiento:

es también una magnitud vectorial

La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un instante determinado del movimiento:

es también una magnitud vectorial

Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo dt cada vez mas pequeños.

dt

vd

t

v

ta

0

lim

14

EJEMPLOEJEMPLO3. El vector posición de una partícula, expresado en unidades del SI, es:

Calcula:

a) El vector velocidad instantánea en función del tiempo

b) La velocidad instantánea para t = 2 y t = 4 s.

c) El vector aceleración media entre los instantes t = 2 y t = 4 s

d) El vector aceleración instantánea.

SOLUCIÓN:

El vector velocidad instantánea:

La velocidad instantánea para t = 2

Y para t = 4 s

El vector acel. Media:

Y el vector aceleración instantánea:

jtitr

·2·2

smjitdt

rdv /·2·2

smjijiv /·2·4·2·2·2

smjijiv /·2·8·2·4·2

2

0

0 /22

4

24

2428smi

ijiji

tt

vvam

2/2 smidt

Vda

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CUESTIONESCUESTIONES1. La posición de una partícula varía con el tiempo según

expresada en SI. Calcular la velocidad para t = 1s, 2s y 4s. ¿Qué tipo de movimiento es?.

2. La posición de una partícula viene dada por en el SI. Calcular:a) La velocidad en cualquier instante.b) La velocidad en los instantes t=2s y t=5s.

3. El vector posición de un móvil, expresado en unidades del SI, es: . Calcula:

a) El vector desplazamiento entre los instantes t = 2 y t = 4 s.b) La velocidad media entre los instantes t = 2 s y t = 4s.c) La velocidad, indicando módulo y dirección, para los instantes anteriores.d) El vector aceleración.• R: a) ; b) ;c) ; ; = 3,57º; ; V = 32,01 m/s; = 1,78º;d)

jtitr

)2(·4 2

jtitrP

·5·2

jttr

24 2

mjir

·2·48 smjivm /·24

smjitv /·8

smjiv /·32

smv /03,16

smjiv /·16

2/·8 smia

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COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓNCOMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN

Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto, cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento.

V

VuT

VuV T

.

Si usamos el sistema de referencia en función de la trayectoria podemos descomponer la aceleración en dos componentes:

uN

uT

eje perpendicular al movimiento

eje tangente al movimiento

aT

aN

a

trayectoria

dt

udVu

dt

Vd

dt

uVd

dt

Vda T

T

T

..).(

aceleración tangencial (aT) :cambio del módulo de la velocidad respecto al tiempoaceleración normal (a N):cambio de la dirección de la velocidad respecto al tiempo

NNTT uauaa

.. 22NT aaa

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LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio de la magnitud velocidad, es decir, del módulo de la velocidad. Si aT = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el

movimiento es uniforme.

En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la aceleración tangencial.

LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO.

(m/s2)

Se obtiene con la velocidad, en un instante dado, al cuadrado entre el radio de giro

(m/s2)

Se obtiene con la velocidad, en un instante dado, al cuadrado entre el radio de giro

Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo si aN =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo.

(m /s2)

Se obtiene derivando el módulo de la velocidad

(m /s2)

Se obtiene derivando el módulo de la velocidad

dt

vd

t

v

ta

0

lim

R

vaN

2

18

EJEMPLOEJEMPLO3. El vector posición de una partícula, expresado en unidades del SI, es:

Calcula:

a) El vector velocidad instantánea en función del tiempo

b) El vector aceleración instantánea.

c) El módulo de la aceleración tangencial en cualquier instante

d) El módulo de la aceleración normal en cualquier instante si el radio de curvatura de la trayectoria es R = 1 m

SOLUCIÓN:

El vector velocidad instantánea:

El vector aceleración instantánea.• El módulo de la aceleración tangencial se obtiene derivando el módulo del vector

velocidad: que vale

por lo que

El módulo de la aceleración normal

jtitr

·3·2 2

smjitdt

rdv /·3·4

2/4 smidt

Vda

dt

vdaT

smttv /91634 222

Ta

2/916

32sm

t

tat

22

222

/_9161

916smt

t

R

van

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CUESTIONESCUESTIONES1. Se sabe que un móvil se mueve con una velocidad que viene dada por la

siguiente expresión:

• Hallar la aceleración tangencial a los 2 s de iniciado el movimiento sabiendo que su aceleración normal es, en ese instante, 1,56 m/s2.

• R: at = 1,25 m/s

2. La trayectoria de una partícula, que se mueve en el plano x‑y, responde a las ecuaciones paramétricas siguientes: x = 2t2, e y = 2t2 ‑ 1.

• Determina los vectores posición, velocidad, aceleración así como la aceleración tangencial y la normal si el radio de curvatura es R = 2 m.

• RR: (m); (m/s);

smjitv /5·2

jtitr

·12·2 22 jtitv

·4·4 )/(·4·4 2smjia

)/(32

64 2

2sm

t

tat )/(16 22 smtan

20

6MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)

Tiempo (s)

50 100 150 200 250

Posición A B C D E Distancia al hangar (m)

200 400 600 800 1000

r

v r

t

r 0

=-

t - t0

r 0

r + (t - t0)v

En forma escalar: x = x0 + v (t - t0)

200

600

1000

50 150 250100 200 t (s)

x (m)

4

50 150 250100 200 t (s)

v (m/s)

Gráfica x-t Gráfica v-t

Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no hay aceleración normal.Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que tampoco existe aceleración tangencial.Luego este movimiento no tiene aceleración.

Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento ( r ) y la trayectoria (S) coinciden.Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden.

x = V.tx = V.t

Velocidad pendiente de la gráfica

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CUESTIONESCUESTIONES1. Un coche se dirige, con una velocidad de 54 km/h, hacia un semáforo

situado a 400 m. ¿Cuál es la distancia del coche al semáforo 5 segundos después si su velocidad es constante? ¿Qué velocidad tendrá en ese instante?, razona tu respuesta. R: 325 m.

2. Un coche circula en línea recta con velocidad constante de 80 km/h calcula:a) la posición del coche cuando transcurran 10 s. b) El tiempo que tarda en recorrer

50000 m y c) Dibujar los gráficos s‑t y v‑t.R: a) 222,2 m, 225 s.

3. Un coche circula a 90 km/h por un tramo de carretera donde está prohibido circular a más de 70 km/h. Un radar de policía lo detecta y un coche de policía sale 3 segundos después, desde una distancia de 2000m por delante del coche, para encontrarlo con una velocidad constante de 70km/h. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará? R: t = 46,31 s; x = 1157,9 m de donde partió el coche infractor.

4. Dos automóviles se mueven siguiendo una trayectoria rectilínea entre dos puntos A y B situados a 3200 m uno de otro. El primero, partiendo del reposo, sale de A y se dirige a B con una velocidad constante de 30 m/s. El segundo sale de B dos segundos más tarde y se dirige hacia A con una velocidad constante de 25 m/s. Calcula en qué punto se encontrarán. Dibuja la gráfica espacio-tiempo de ambos móviles. R: a 1477,27 m de A.

22

2 7

Física y Química1º BACHILLERATO

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

Sustituyendo A y v por su valor resulta:

La aceleración media coincide con la aceleración instantánea ya que la aceleración es constante

t (s)

v (m/s)

Gráfica v-t

v

tt0

v0

tg a=

t (s)

v (m/s)

Gráfica v-t

v

tt0

v0

La ecuación se transforma en:v

t

a

=

ttvv

tva

0

0 v = v0 + a (t - t0)

)(·2

)·( 00

00 ttvv

ttvA

El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es el espacio recorrido

Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial.

)(·2

)·()·( 0

000000 tt

vttavttvxx

20000 ··

2

1· ttattvxx

23

Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: Ecuación de la velocidad:

Ecuación de la posición

Eliminando el tiempo de las dos anteriores:

Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: Ecuación de la velocidad:

Ecuación de la posición

Eliminando el tiempo de las dos anteriores:

S(m)

S0

t (s)

S(m)

S0

t (s)

V(m/s)

V0

t (s)

V (m/s) V0

t (s)

ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO.(acelerar) (frenar)

La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.

El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no de que el cuerpo acelere o frene. Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo una aceleración positiva lo frenaría.Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van en el mismo sentido.

El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no de que el cuerpo acelere o frene. Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo una aceleración positiva lo frenaría.Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van en el mismo sentido.

00 ttavv 2

0000 ··21· ttattvxx

020

2 ··2 xxavv

24

CUESTIONESCUESTIONES1. Un coche se dirige, con una velocidad de 54 km/h, hacia un semáforo

situado a 400 m. ¿Cuál es la distancia del coche al semáforo 50 segundos después de frenar con una aceleración de ‑0,3 m/s2 ¿Qué velocidad tendrá en ese instante. R: 25 m ‑ 0 m/s

2. Un coche parte del reposo y circula en línea recta con aceleración constante, hasta alcanzar una velocidad de 80 km/h en 15 segundos. Mantiene constante la velocidad durante 30 segundos y a continuación se para en 10 s:

Calcular la distancia recorrida en cada etapa y la distancia total. Dibujar los gráficos a‑t y v‑t.R: a) 166,7 m, 666,7 m; 111,1 m, total: 945,5 m.

3. Un coche circula a 100 km/h por un tramo de carretera donde está prohibido circular a más de 70 km/h. Un coche de policía arranca al verlo pasar. Lo persigue con una aceleración constante de 1,5 m/s2. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará? R: t = 37,07 s; x = 1,03 km.

4. Dos móviles se mueven siguiendo una trayectoria rectilínea entre dos puntos A y B situados a 1100 m uno de otro. El primero, partiendo del reposo, sale de A y se dirige a B con una aceleración constante de 1 m/s2 El segundo sale de B dos segundos más tarde y se dirige hacia A con una velocidad constante de 25 m/s. Calcula en qué punto se encontrarán. Dibuja la gráfica espacio-tiempo de ambos móviles. R: a 422,82 m de A.

25

TIRO VERTICALTIRO VERTICAL

Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:

Y

X

h0

V0

h máxima

V final = 0

- g

Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: a = - g = - 9,8 j m/s2 con el sistema de referencia que hemos tomado.Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre que acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y luego baja).Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con un movimiento uniformemente acelerado y sus ecuaciones del movimiento son :

En donde nos interesan sobre todo el cálculo de la altura máxima, el tiempo que tarda el móvil en llegar a un punto y la velocidad cuando cae hasta un punto o hasta el origen

Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: a = - g = - 9,8 j m/s2 con el sistema de referencia que hemos tomado.Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre que acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y luego baja).Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con un movimiento uniformemente acelerado y sus ecuaciones del movimiento son :

En donde nos interesan sobre todo el cálculo de la altura máxima, el tiempo que tarda el móvil en llegar a un punto y la velocidad cuando cae hasta un punto o hasta el origen

smjttgvv /· 00

mjttgttvyy __··21· 2

0000

020

2 ··2 yygvv

26

EJEMPLOEJEMPLO• Se lanzan verticalmente de abajo arriba dos objetos con dos segundos de intervalo. El

primer objeto tiene una velocidad inicial de 50 m/s, y el segundo, una velocidad inicial de 80 m/s. Calcula:

• A) El tiempo transcurrido hasta que los dos objetos están a la misma altura• La altura a la que se encuentran los dos objetos.• La Velocidad de cada objeto en el momento del encuentro.• SOLUCIÓN:• Se trata de dos MRUA verticales; que parten del origen y afectados por al misma

aceleración; g; con lo que las ecuaciones de la posición para ambos vienen dadas por :y son:

• Cuando se encuentran los dos y1= y2. De donde

• realizando operaciones:• La altura se obtiene con t y una de las ecuaciones:

• Las velocidades al encontrarsen vienen dadas por la ecuación

mjttgttvyy __··21· 2

0000

mjtty __0·8,9·2

10·500 21

ttttty 44·8,9·212·802·8,9·2

12·800 222

ttttt 44·9,42·80·9,4·50 22 my 5,1166,3·9,46,3·50 2

1

smjttgvv /· 00

smtgvv /146,3·8,950·011 smtgvv /646,1·8,9802·022

st 6,3

27

CUESTIONESCUESTIONES1. Una piedra se lanza verticalmente hacia abajo desde un puente con una

velocidad inicial de 10 m/s y tarda 3 s en llegar al agua,

a) ¿Con qué velocidad llega la piedra al agua? Solución: 39,4 m/s

b) ¿Cuál es la altura de¡ puente? Solución. 74,1 m

2. Una piedra que se deja caer desde lo alto de un edificio tarda 4 s en llegar al suelo. Calcula: a) La velocidad de la piedra justo antes de llegar al suelo. b) La altura del edificio. Solución: a) - 39,2 m/s; b) 78,4m.

3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 400 m/s. Calcula la altura máxima alcanzada y la velocidad que tiene el cuerpo a la mitad de dicha altura.Sol:Yma= 8156,8 m;vmitad= 282,7 m

4. Desde cierta altura se lanza un cuerpo horizontalmente. Demuestra que el tiempo que tarda en alcanzar el suelo es el mismo que si ese cuerpo se deja caer desde la misma altura.

28

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu

Al ser un movimiento uniforme el módulo de la velocidad es constante luego no hay aceleración tangencial. Su trayectoria es una circunferencia por lo que el desplazamiento y la trayectoria no coinciden.La velocidad va cambiando constantemente de dirección por lo que existe aceleración normal.

Si la única aceleración que existe es la normal y la aceleración es constante, la aceleración media es igual que la instantánea en su única componente en este caso que es la aceleración normal.

Ecuación del movimiento uniforme : Si hay espacio inicial queda

Aceleración normal o centrípeta

Ecuación del movimiento uniforme : Si hay espacio inicial queda

Aceleración normal o centrípeta

Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS X/t Y V / t NO ES POSIBLE DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA X,Y.

Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo

R

vaN

2

tVx · tVxx ·0

29

11

P1

r 1

P2

r 2

s

r i

v

v

Magnitudes angulares

s = RR

R

= 1rad

El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y normal al vector

v

r

El vector de posición cambia de dirección. Cumple que = R

r

r

| |Su trayectoria es una circunferencia de

radio R

Si s = R, se dice que el ángulo mide un radián.

Una circunferencia completa 360° 2 rad

Por definición Rs Se mide en rad

t (rad/s) ó bien 1 rpm = rad/s

602

VELOCIDAD ANGULAR ω es el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Como es lógico puede estudiar este cambio en un intervalo, velocidad angular media, o en un instante, velocidad angular instantánea.

30

cteRtR

tsv

= cte (por ser R cte)

La ecuación del movimiento es:

)tt(t 00

Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa y se mide en segundos

Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1 que también se llaman Herzios (Hz)

V = ω·RV = ω·R

El período y la frecuencia son inversos:Tiempo (s) número de vueltas T (periodo) 1 vuelta1 segundo f (frecuencia)Despejando

La relación de estas dos magnitudes con la velocidad angular se puede determinar pensando que si el móvil da una vuelta completa recorre un ángulo de 2пrad y el tiempo que tardó en recorrerlo es el período T luego como la velocidad angular relaciona el ángulo recorrido con el tiempo empleado en recorrerlo :

T ·2fT 1

Relación entre las magnitudes angulares y lineales

31

• b) Para calcularlos hay que tener en cuenta que el periodo es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa y la frecuencia es su invesa:

• = . t = 2,84 s – 1 . 0,85 s = 2,41 rad 7,58 rad

• La aceleración centrípeta o normal:

EJEMPLOEJEMPLO• Un punto describe una trayectoria

circular de 30 cm de radio tardando 3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular:

• La velocidad angular en r.p.m y en rad/s

• El periodo y la frecuencia del movimiento

• El ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento.

• Su aceleración centrípeta• Solución:• a) Se trata de hacer un cambio de

unidades:

rpmvueltasS

s

vueltas23,85min23,85

min1

60·

2,3

_5

srad

vueltas

vueltas ·84,21

·2·

2,3

_5

T

·2 sT 704,0

·84,2

·2·2

HzsT

f _420,1704,0

11

222

2

2

/87,233,0··84,2·

;·

smRa

RR

va

n

n

32

13EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE

ACELERADO (MCUA)

EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)

t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 s

t = 4 s

Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y angular, que varían de forma constante con el tiempo

0 = 0 rad/s

1 = 2 rad/s

2 = 4 rad/s

3 = 6 rad/s

4 = 8 rad/s

= 2 rad/s2 = 2 rad/s2

= 2 rad/s2 = 2 rad/s2

La ecuación del movimiento es: tt2

00·

21·

t0

33

14LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOSLA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS

Un móvil tiene aceleración si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del vector velocidad

a

v

Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a

a

a

= +

vt

v

| |cuando t 0= está relacionada con la variación del móduloa

a = Rv2

está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad

a

v a

P

r

Z

YX

a

a

34

Movimientos circulares

aN 0 y R = cte

Movimientos rectilíneos

aN= 0

Movimiento rectilíneo uniforme

a = 0

Movimiento circular

uniforme

a = 0

Movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado

aT 0

Movimiento circular

uniformemente acelerado

a = cteMovimiento

rectilíneo acelerado

a cte

Movimiento circular

acelerado

a cte

magnitud lineal= magnitud angular por radio

S(espacio en metros)= ( ángulo en rad ) .R

V(velocidad)= (velocidad angular ).R

aT (aceleración tangencial) = (aceleración angula). R

Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado:

Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado:

Derivando se obtiene la velocidad

Derivando se obtiene la velocidad

Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado:

Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado:

Derivando se obtiene la velocidad

Derivando se obtiene la velocidad

R = aTR = aT

20000 )·(·

2

1)·( ttattvxx t

20000 )·(·

2

1)·( tttt

tavdt

dxv t ·0

tdt

d·0

35

EJEMPLOEJEMPLO

• Dos niños están montados en los caballitos de un «Tío Vivo». Determina la aceleración a la que están sometidos, cuando el «Tío Vivo» gira con una velocidad angular de 32 rpm, sabiendo que la distancia de los niños al eje de giro es de 2,5 m. R: a = 28,07 m/s2.

• SOLUCIÓN:SOLUCIÓN:

• Primero calculamos la velocidad angular en rad/s

• y después aplicando la ecuación

• Obtenemos la aceleración:

RR

van ·2

2

sradvuelta

rad

s

vueltasrpm /_·07,1

_1

_·2·

60

min1·

min

_3232

2222

/_25,285,2··07,1· smRR

van

36

CUESTIONESCUESTIONES1. Una rueda gira a razón de 600 radianes/minuto. Calcula: a) La velocidad

lineal de un punto situado a 5 cm del eje y de otro situado a 25 cm del eje. b) La aceleración en cada uno de los puntos. R: a) 0,5 y 2,5 m/s; b) 5 y 25 m/s2.

2. Un ventilador gira con una velocidad angular constante de 22 revoluciones por segundo. Calcula: a) La velocidad lineal del extremo de una de sus aspas, que describe una circunferencia de radio 15 cm. b) ¿Qué longitud habrá recorrido ese punto en 3 horas de funcionamiento? R: a) 20,73 m/s; b) 2,24·105 m.

3. Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 60 cm de radio con una velocidad constante de 12 cm/s. Calcula: a) La velocidad angular. b) La aceleración normal. c) El período y la frecuencia. d) El número de vueltas que da en 12 segundos. R: a) 0,2 rad/s; b) 0,024 m/s2; c) T = 31,4 s; f = 0,032 s-1; d) 0,38 vueltas.

4. Un piloto de avión se lanza hacia abajo para describir un rizo siguiendo un arco de circunferencia cuyo radio es 300 m. En la parte inferior de la trayectoria, donde su velocidad es de 180 km/h, ¿cuáles son la dirección y el módulo de su aceleración? R: a = 8,33 m/s2.

37

2 18COMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓNCOMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓN

Trayectoria

La velocidad del niño al correr sobre la cinta, crece o decrece según el sentido elegido

El principio de superposición dice que si un objeto está sometido a la vez a dos o más movimientos, se cumple que:

r...rrrr i321

v...vvvv i321

a...aaaa i321

Ox1

Ox2

x1 = x01 + v1x t

x2 = x02 + v2x t

x1 + x2 = (x01 + x02) + (v1x + v2x) t

La suma es un MRU en la misma dirección

En este caso, su composición será:

38

19COMPOSICIÓN DE MRU PERPENDICULARESCOMPOSICIÓN DE MRU PERPENDICULARES

Sean dos movimientos rectilíneos uniformes en las direcciones de los ejes X e Y con velocidades respectivas

vx vy

y

Si un móvil experimenta solo el primer movimiento: tvxx x0

Si un móvil experimenta solo el segundo movimiento: tvyy y0

Cuando experimenta la superposición de ambos: )0

·()vv()yx(yx yx00 tt

El resultado es un MRU en la dirección determinada por: vvv yxt

vx

vy

vt

x0

y0

y

Y

OX

x

y

yx

x

39

EJEMPLOEJEMPLO• Un barquero impulsa a su barca con una velocidad de 0, 6 m/s para

pasar a la otra orilla de un río de 50 m de ancho. La corriente arrastra a la barca con una velocidad de 0,4 m/s. Representa y halla la velocidad resultante y calcula la posición de la barca a los 70 segundos.

• Sea , la velocidad con que impulsa el barquero a su barca, y , la velocidad de arrastre por la corriente (Fig. ) La velocidad resultante, es:

• Y el módulo de :• El ángulo φ que forma con (eje de las X) es tal que

•• Posición de la barca a los 10 s:

•

yV

VxV

smjijViVVVV yxyx /·4,0·6,0··

smVVV yx /_721,04,06,0 2222

V

xV

vtg

"24'41º33;3

2

6,0

4,0

x

y

V

Vtg

mjijitVtVyxr yx

·4·6·10·4,0·10·6,0··

mr _21,746 22

40

Cuándo una partícula se encuentra sometida a dos movimientos simultáneos e independientes, el movimiento que realiza es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hay movimientos en apariencia complejos que se pueden estudiar de forma mucho más simple como superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se habla de Composición de movimientos.

El caso más corriente de composición de movimientos es el lanzamiento de proyectiles, ya sea vertical, horizontal u oblicuo.

En primer lugar es necesario tener claro que al lanzar un proyectil lo que hacemos es dispararlo con una cierta velocidad inicial, desentendiéndonos inmediatamente de él y dejándolo a merced de la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra y le hace caer sometido a la aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2, que es vertical y hacia abajo.

En todos los casos vamos a considerar despreciable la resistencia del aire.

Debemos establecer en primer lugar un sistema de referencia que mantendremos siempre igual en todos los movimientos, el sistema de referencia más sencillo es aquel que sitúa EL EJE Y EN LA VERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO.

Los lanzamientos los vamos a clasificar según la dirección en que lanzamos (la dirección del vector velocidad inicial) en tiros:, horizontales y oblicuos:

DIFERENTES DE MOVIMIENTOS COMPUESTOS ACELERADOS

41

21ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL

Trayectorias descritas por la pelota según el sistema de referencia

Para un observador en tierra, la trayectoria es parabólica

Para un pasajero del avión, el movimiento es vertical y en caída libre

Para el observador en caída libre, el móvil posee un MRU horizontal

42

La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos simultáneos:

SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente en línea recta).

SOBRE EL EJE Y: (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.

X

V0

h 0

Y

alcance

r

El vector de posición tiene:1) componente x (MRU) S = V· t avance del proyectil) 2) componente y donde se mide la caida y por lo tanto las

alturas (MRUA) sin velocidad inicial

y la velocidad se saca derivando:

El vector de posición tiene:1) componente x (MRU) S = V· t avance del proyectil) 2) componente y donde se mide la caida y por lo tanto las

alturas (MRUA) sin velocidad inicial

y la velocidad se saca derivando:

smjttgivv x /· 00

mjttgttvyy y __··21· 2

0000

mjttgyittvr x __··21·· 2

0000

43

ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. En el suelo la altura es cero luego y = 0 entonces:

Y sacando el valor de t con la anterior ecuaciónes posible obtener el alcance

La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA.

sustituyendo en y queda

Ecuación de la trayectoriaEcuación de la trayectoria

mjttg __··2100 2

0

tvx x·0

tvx x·0

mjttgyy __··21 2

00

tvx x·0

220

0 ··2x

v

gyy

44

24

Física y Química1º BACHILLERATOESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUO

O TIRO PARABÓLICO ESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUO

O TIRO PARABÓLICO

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6

Unas trayectorias muy comunes

jga

v01

v02

v03

i

Son las descritas, por ejemplo, por el lanzamiento de distintos proyectiles disparados desde el suelo.

Dependen de la velocidad inicial de salida y del ángulo de lanzamientov i0

i

45

Si el tiro es oblicuo hacia arriba el vector de posición entonces es:

X

V0

Y

alcance

r

h0

V

h máxima

V0x

V0y

El vector de posición tiene:1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil) 2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )

2r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m) 2y la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s

El vector de posición tiene:1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil) 2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )

2r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m) 2y la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s

ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. Al llegar al suelo la altura es cero luego Y =0.h0+V0Yt-1gt2=0 2Resolviendo la ecuación de segundo grado se saca el tiempo. El recorrido en horizontal es X y por tanto con el valor de tiempo obtenido se saca X que es el alcance:X= V0X . t

VoX = V0. cos

V0Y = V0. sen

VoX = V0. cos

V0Y = V0. sen

V0Y

V0X

46

La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA

X = V0X. t

Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2 2

X = tV0X

Y = h0 + V0Y . X - g . X 2 V0X 2 V0

2

Ecuación de la trayectoria

Y = h0 + V0Y . X - g . X 2 V0X 2 V0

2

Ecuación de la trayectoria

La ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuenta que en ese punto el vector velocidad resulta horizontal luego la componente Vy de la velocidad es cero.

VoY - g.t = 0 de aquí sacamos el tiempo y para determinar la altura vamos a la componente Y del vector de posición que mide las diferentes alturas e introducimos el valor de tiempo obtenido : Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2 2

47

Para un tiro oblicuo hacia abajo:

V0

Y

alcance

rh0

V0x

V0y

V0Y

V0X

V0

El vector de posición tiene1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )

2

r = (V0X . t ) i + ( h0 - V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m) 2

la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s

El vector de posición tiene1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )

2

r = (V0X . t ) i + ( h0 - V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m) 2

la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s

Y = h0 - V0Y . X - g . X 2 V0X 2 V0

2

Ecuación de la trayectoria

Y = h0 - V0Y . X - g . X 2 V0X 2 V0

2

Ecuación de la trayectoria

48

EJEMPLOEJEMPLO• Un arma dispara un proyectil cuya velocidad de salida es de 400 m/s y forma con la

horizontal un ángulo de 30º. Calcula: a) El alcance máximo medido horizontalmente. b) La altura máxima alcanzada. c) La velocidad a los 4 s del lanzamiento.

• a) El alcance máximo se obtiene teniendo en cuenta que al salir y al llegar su posición en y es: y0 = 0 e y = 0; de modo que con la ecuación del MRUA vertical para la posición y sustituyendo calculamos el tiempo y

• con éste y la ecuación de la posición para el MRU horizontal •

• b) Cuando se consigue la altura máxima, vy = 0. Por tanto:

• V =V0·sen30 – gt = 0 t= (V0·sen30)/g = (400·0,5)/9,8 = 20,41s

• y sustituyendo en la ecuación [Y]:• c) Velocidad a los 4 s:

tVxx x·00

200 ·

2

1· tgtVyy y

2·8,92

1·30·40000 ttsen s

sent _8,40

9,4

30·400

mx _2,141398,40·30·cos4000

my _2,204141,20·8,92

141,20·05·400 2

smiVVx /_41,34630·cos

smjjtgsenVVy /_8,160)4·8,9200(·30·

smV /_9,3818,16041,346 22

49

CUESTIONESCUESTIONES

1. un pastor lanza una piedra con una honda alcanzando un objetivo que está a 200 m en la horizontal del tiro de lanzamiento. Si el ángulo de salida fue de 45º, calcula la velocidad de lanzamiento. Calcula también la altura máxima alcanzada y el tiempo de vuelo (g = 10 m/s2). Soluc.: V0 = 44,72 m/s; y = 50 m; t = 6,32 s.

2. Si el lanzamiento del problema anterior se hubiese efectuado en la Luna, halla la distancia alcanzada y el tiempo tardado (gL = 1,63 m/s2). SOLUC.: x = 1 227 m; t = 38,8 s.

3. En un salto, una pulga ha cubierto una distancia horizontal de 40 cm. Suponiendo que haya efectuado el salto con la inclinación óptima para lograr la distancia máxima, ¿con qué velocidad impulsó su salto? (g = 10 m/s2). Soluc.: V0 = 2 m/s.

4. En una competición universitaria un lanzador de martillo ha alcanzado la distancia de 64,20 m. Suponiendo que la bola sale con un ángulo de 45º, calcula la velocidad de lanzamiento y la aceleración centrípeta a que estaba sometida la bola en el momento de ser lanzada, si el radio de la circunferencia descrita medía 1,20 m (g = 10 m/s2). Soluc.: V0 = 25,34 mls, an = 535 m/s2.