31/03/2015

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Movimiento Curvilíneo en el Plano

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniera Civil

MSc.: Fredy Miguel Loayza Cordero

Estudiaremos a una partícula con movimiento curvilíneo en el plano, este análisislo realizaremos en el sistema de coordenadas Rectangulares, el Sistema Normal-Tangencial y el sistema de Coordenadas Polares.

Movimiento Curvilíneo en el Plano

y

x

𝒓 = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋

𝑥

𝑦

𝒗 =𝒅 𝒓

𝒅𝒕=𝒅𝒙

𝒅𝒕 𝒊 +

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝒋 = 𝒓

𝒂 =𝒅 𝒗

𝒅𝒙=𝒅𝒗𝒙𝒅𝒕

𝒊 +𝒅𝒗𝒚

𝒅𝒙 𝒋 = 𝒓

La velocidad

La aceleración

Coordenadas Rectangulares XY.

El modulo de la velocidad será:

𝒗 = 𝒗. 𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

𝒂 = 𝒂. 𝒂 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

El modulo de la aceleración será:

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MOVIMIENTO PARABOLICO Es un movimiento compuesto los cuerpos que realizan este movimiento semueven uniformemente horizontalmente y uniformemente variadoverticalmente .

Movimiento vertical:

Movimiento horizontal: 𝐲 = 𝒚𝟎 + (𝒗𝟎)𝒚𝒕 −𝟏

𝟐𝒈𝒕𝟐

𝒗𝒚 = (𝒗𝟎)𝒚 −𝒈𝒕

𝒗𝒚𝟐 = (𝒗𝟎)𝒚

𝟐 − 𝟐𝒈(𝒚 − 𝒚𝟎)

𝒗𝒙 = (𝒗𝟎)𝒙

𝐱 = 𝒙𝟎 + (𝒗𝟎)𝒙𝒕

(𝒗𝟎)𝒙= 𝒗𝟎𝒄𝒐𝒔𝜽

(𝒗𝟎)𝒚= 𝒗𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽

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Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son deespecial interés.1. El alcance R, es la máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil

2. La altura máxima h alcanzada por el proyectil

𝑹 =𝒗𝟎

𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽

𝒈

𝒉 =𝒗𝟎

𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽

𝟐𝒈

Describiremos el movimiento usando coordenadaslocales, las cuales son las componentes medidas alo largo de la tangente t y la normal n a latrayectoria y los vectores unitarios et y en .

Coordenadas normales y tangenciales

tvev ˆ

La velocidad v es un vector que siempre estangente a la trayectoria.

dt

dssv

L a velocidad

El modulo de la velocidad es

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Donde la derivada respecto de t de es et es diferente de cero

ttt vvvdt

d

ee)e(a

n

ttt eeee

kvds

dv

dt

ds

ds

d

dt

d

La aceleración

En el tiempo t se encuentra en P con unavelocidad V en dirección tangente y una

aceleración a dirigida hacia la concavidadde la curva. La aceleración puededescomponerse en una componente

tangencial at (aceleración tangencial)paralela a la tangente y otra paralela a la

normal an (aceleración normal)

La relación del la curvatura y es radio de curvatura es

1k

Finalmente podemos escribir la aceleración como

nt

v

dt

dveea ˆˆ

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El radio de curvatura ρ, es la distancia perpendicular desde la curva hasta el

centro de curvatura en aquel punto.

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Casos particulares1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

ρ => an = v2/ρ = 0 => a = at = dv/dt2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante

at = dv/dt = 0 => a = an = v2/ρ3. Si la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x)

entonces el radio de curvatura se calcula mediante

nt aaa

dondenn

vea ˆ

2

tt

dt

dvea ˆ

Luego la aceleración podemos expresar como

Es la componente tangencial

representa la razón de cambio de

la magnitud de la velocidad.

Es la componente normal ocentrípeta representa la razón de

cambio de la dirección de la

velocidad.

y

y su modulo22

nt aaa

2/3

22

2

|/|

])/(1[

dxyd

dxdy