31/03/2015

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Cinemática de una Partícula

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniera Civil

Msc.: Fredy Miguel Loayza Cordero

La cinemática es la descripción del movimiento de los cuerpos en el espaciotiempo por medios matemáticos, sin tener en cuenta las causas que lo originan.

Para la descripción del movimiento de los cuerpos el observador debe definir unsistema de referencia con relación al movimiento que esta analizando.

Denominaremos como partícula a un cuerpo físico ideal de extensióndespreciable.

Cinemática

Introducción

Un cuerpo estará en movimiento cuando su vector posición en un sistema dereferencia cambia con respecto al tiempo.

𝑟(𝑡+∆𝑡) 𝑟(𝑡)

𝑃(𝑡+∆𝑡)𝑃(𝑡)

∆ 𝑟

oo

P

P

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1. POSICIÓN. La posición instantánea de una partícula con componentes x, y, zes 𝑟

Donde las coordenadas x, y, z sonfunciones del tiempo:

La magnitud del vector de posición será:

Movimiento curvilíneo

a) Coordenadas Cartesianas

𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 +z 𝑘

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑧 = ℎ 𝑡 .

2. Desplazamiento. Si una partícula se mueve de P a P’ en un intervalo detiempo t. El desplazamiento está dado por:

Movimiento curvilíneo

|∆ 𝑟| = (∆𝑥)2+(∆𝑦)2+(∆𝑧)2

∆ 𝑟 = 𝑟′ − 𝑟 = ∆𝑥 𝑖 + ∆𝑦 𝑖 + ∆𝑧 𝑘

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Movimiento curvilíneo

3. Velocidad media. Si una partícula se mueve de P a P’ experimenta undesplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media será

Es un vector secante a la

trayectoria

𝑣𝑚 =∆ 𝑟

∆𝑡=∆𝑥

∆𝑡 𝑖 +

∆𝑦

∆𝑡 𝑗 +

∆𝑧

∆𝑡 𝑘

𝑣𝑚 = 𝑟′ − 𝑟

𝑡′ − 𝑡=∆ 𝑟

∆𝑡

Movimiento curvilíneo

4. Velocidad instantánea. Se obtiene llevando al límite cuando t 0, lavelocidad media y representando como derivada se tiene:

Es un vector tangente a la curva y tiene unamagnitud definida por

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑟

∆𝑡=𝑑 𝑟

𝑑𝑡

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑖 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑗 +

𝑑𝑧

𝑑𝑡 𝑘= 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘

v = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2

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Movimiento curvilíneo5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades instantáneas dela partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleraciónmedia es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir

La aceleración media es unvector paralelo a v y tambiéndepende de la duración delintervalo de tiempo

𝑎𝑚 = 𝑣𝑄 − 𝑣𝑃

𝑡𝑄 − 𝑡=∆ 𝑣

∆𝑡

6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media esdecir haciendo cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo

La aceleración instantánea es unvector que tiene mismadirección que el cambioinstantáneo de la velocidad esdecir apunta hacia la concavidadde la curva

Movimiento curvilíneo

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆ 𝑣

∆𝑡=𝑑 𝑣

𝑑𝑡

𝑎 =𝑑

𝑑𝑡(𝑑 𝑟

𝑑𝑡)= (

𝑑2 𝑟

𝑑𝑡2)= 𝑟

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Movimiento en Rectlineo

a=f(x, v, t)

a) a=𝑎0cte. dv=𝑎0dt

dv=𝑎(𝑡)dtb) a=f(t)

c) a=f(x) vdv=𝑎(𝑥)dx

d) a=f(v) dx=𝑣𝑑𝑣

𝑎(𝑣)

dt=𝑑𝑣

𝑎(𝑣)

Consideremos una partícula moviéndose en uno de los ejes delsistema cartesiano, supongamos el eje x entonces su aceleraciónpuede puede ser constante, función del tiempo, la posición,velocidad de la partícula y a partir de esta aceleración puedeencontrar, la velocidad, la posición de la partícula.