Cinematic A

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

DEPARTAMENTO DE FISICA

CURSO DE FISICA I

1 CINEMATICA DE UNA PARTICULA

Bernardo Arenas Gaviria

Gabriel Pérez Lince

MEDELLIN 2002

UNIDAD 1

CINEMATICA DE UNA PARTICULA OBJETIVO: Describir el modelo físico-matemático, que permite obtener la herramienta nece-

saria para analizar el movimiento de los cuerpos considerados como partículas. 1.1. INTRODUCCION En esta unidad se inicia el estudio del movimiento de los cuerpos, que corresponde a una parte de la física denominada mecánica. Esta a su vez se divide en cinemática y dinámica. En lo que sigue, se busca analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento de los cuerpos. Esta parte de la mecánica es la que recibe el nombre de cinemática. 1.2. SISTEMAS DE REFERENCIA La frase “traer un cuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 m”, es una frase incompleta, porque 2 m ¿a partir de o respecto a quién? Esto lleva a la necesidad de especificar un punto u observador de referencia respecto al cual se miden los 2 m; por ello se debe decir: “Traer un cuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 m respecto al observador B”.

La frase ados a unatiene, en de radio 2

Para defincuerpo A

nterior tampoco es completa, ya que hay un conjunto muy grande de puntos ubica- distancia de 2 m, respecto al observador B. Al unir este conjunto de puntos se ob-el espacio tridimensional, una esfera de radio 2 m, y en el plano, una circunferencia m, como se muestra en la figura 1.1 para el caso bidimensional.

ir con tod que se enc

B

Figura 1.1. Conjunto de puntos a una distancia de 2 m, respecto al observador B.

y

a claridad la posición del cuerpo, se puede hacer la afirmación: “Traer un uentra a una distancia de 2 m respecto a un observador B, de tal manera

2 m

θ

A

B x

Figura 1.2. Posición del cuerpo A respecto al cuerpo B.

Cinemática de una partícula

2

que la recta que une a B con A forma un ángulo θ con el eje x, tomado horizontalmente”. Esto equivale a decir que se ha adicionado un sistema de coordenadas al observador B, como se muestra en la figura 1.2, donde lo que realmente se ha definido es un sistema de referencia, que consiste en un observador al que se le ha asignado o ligado un sistema de coordenadas. Por lo anterior, se puede concluir que para conocer con certeza la posición de un cuerpo es indispensable definir un sistema de referencia, ya que de lo contrario no tendría sentido la ubi-cación del cuerpo en consideración.

En síntesis: observador + sistema de coordenadas = sistema de referencia.

Lo anterior únicamente es válido para el observador B, ya que si se cambia de sistema de re-ferencia, necesariamente la posición del cuerpo sería completamente diferente. De igual forma, el movimiento de un cuerpo puede definirse como un cambio continuo de posición respecto a otro cuerpo, es decir, el movimiento de un cuerpo dado sólo puede expre-sarse en función de un sistema de referencia. Además, el movimiento de un cuerpo A, respecto al cuerpo B, puede ser muy diferente respecto a otro cuerpo C. Los cuerpos A y C en reposo uno respecto al otro, se encuentran en movimiento hacia la dere-

cha respecto al cuerpo B, como en la figura 1.3. Pero una situación diferente se presenta cuan-do se toma un sistema de referencia con origen en el cuerpo C, como se indica en la figura 1.4. En este caso, el cuerpo A está en reposo respecto a C y el cuerpo B en movimiento hacia la izquierda respecto C.

De acuerdo hace necesar

y'

MovimientoA

C

Bx

y

Figura 1.3. Movimiento de A y C, respecto al sistema de referencia con origen en B.

con lo anterior, cuando se quiere analizar el estado cinemático de un cuerpo, se io definir con toda claridad cuál es el sistema de referencia a utilizar, ya que como

Movimiento

A

C

BFigura 1.4. Movimiento respecto al sistema de referencia con origen en C.

x'


3

en la situación de la figura 1.3, el movimiento de A y C es hacia la derecha, mientras que para la situación de la figura 1.4, A está en reposo y B en movimiento hacia la izquierda. Para obtener información completa sobre la forma como cambia la posición de un cuerpo, es necesario medir tiempos, o sea, que el observador debe disponer de un reloj, además del sis-tema de coordenadas. De la situación anterior también se puede concluir que reposo y movimiento son conceptos relativos, ya que ambos dependen del sistema de referencia en consideración. En lo que sigue, se supone que se tiene un sistema de referencia bien definido. Los sistemas de referencia que se emplearán en adelante, se supone que están en reposo respecto a la tierra; estos sistemas reciben el nombre de sistemas de referencia inerciales. En la unidad 2, se defi-ne este tipo de sistemas de referencia. Lo expuesto anteriormente también es válido en el caso de dos y tres dimensiones. Pregunta Por la ventana de un autobús, en movimiento respecto a la vía, un pasajero deja caer un cuer-po. ¿Cuál será la trayectoria seguida por el cuerpo, respecto al pasajero? ¿Cuál será la trayec-toria seguida por el cuerpo, respecto a una persona que se encuentra sobre la vía? LA TIERRA Y LA ATMOSFERA TERRESTRE A diario se observan cuerpos en movimiento, bien sobre la superficie de la tierra o a determi-nada altura respecto ella. El movimiento de estos cuerpos ocurre dentro de un gran mar de aire llamado atmósfera. El aire, el más común de los gases de la tierra, es una mezcla de gases co-nocidos, tales como: nitrógeno, oxígeno, bióxido de carbono, hidrógeno, etc. Cuando se analiza el movimiento de un cuerpo, respecto a la superficie de la tierra, se obtienen los mismos resultados si este análisis se lleva a cabo respecto a un globo estático a determina-da altura respecto a la tierra. La igualdad en los resultados, al tomar cualquiera de los sistemas de referencia anteriores, se debe a que la atmósfera terrestre está estática respecto a la tierra, es decir, que la gran masa de aire es arrastrada por la tierra en su movimiento de rotación. O sea, que cuando un cuerpo se eleva en el aire sigue sin separarse de la tierra ya que se mantiene ligado a su capa gaseosa la cual también toma parte en el movimiento de rotación de la tierra alrededor de su eje. Debido a que el sistema tierra - aire gira como un todo, hace que arrastre consigo todo lo que en él se encuentra: las nubes, los aeroplanos, las aves en vuelo, etc. Si esto no ocurriera, los cuerpos en todo momento estarían sometidos a fuertes vientos, situación que no se presenta. Necesariamente, cuando un cuerpo se mueve respecto a la tierra, sobre ella o a una altura de-terminada, estará sometido a los efectos del aire. Esta situación se percibe cuando se viaja en un auto con las ventanillas abiertas o cuando se deja caer verticalmente una hoja de papel. En ambos casos los cuerpos tienen un movimiento respecto al sistema aire. En esta unidad, no se consideran los efectos del aire sobre el movimiento de los cuerpos. El análisis de esta situación se hace en la unidad 2.


4

1.3. CONCEPTO DE PARTICULA Se considera la siguiente situación: Un cuerpo se desliza o traslada sobre una superficie hori-zontal sin cambiar su orientación ni su forma geométrica, es decir, se mueve como un todo de una posición a otra. En este caso, como se indica en la figura 1.5, los puntos A y B se mueven la distancia d.

Aunque sólo se han mueven la misma dipo, ya que el compoCuando es posible hdelo de una partícultícula. En esta unidad se corecta o a lo largo demodelo de partícula. 1.4. DESCRIPCION 1.4.1. VECTOR PO Una partícula se mual sistema de refereción de la partículadesde el origen del s

Si el vector posiciónmagnitud y dirección

d

considerado los puntos A y B, es cierto que todos los puntos del cuerpo se stancia d. Esto permite analizar el movimiento de solo un punto del cuer-rtamiento de él es idéntico al comportamiento de todos los demás puntos. acer la simplificación anterior, se dice que el cuerpo se ha reducido al mo-a. Posteriormente, se dará una definición más completa del concepto par-

nsidera sólo el movimiento de traslación de los cuerpos, bien sea en línea una curva; por ello el movimiento de los cuerpos se describe mediante el

GENERAL DE LA CINEMATICA DE UNA PARTICULA

SICIÓN ( r )

eve a lo largo de un camino, también conocido como trayectoria, respecto ncia mostrado en la figura 1.6, para el caso de dos dimensiones. La posi-, en un instante determinado, está dada por el vector posición r trazado istema de referencia a la posición donde se encuentre la partícula.

en est

AB

x

xA

Bx

x

dFigura 1.5. Traslación pura de un cuerpo.

y

componentes rectangulares está dado por jir yx += , se tiene que su án dadas, respectivamente, por

xO ij

r(t)

A( , )x yTrayectoria

Figura 1.6. Vector posición de una partícula..

θ


5

r x y= +2 2 y θ = −tan 1 yx

. (1.1)

La forma de las expresiones dadas por la ecuación (1.1) son válidas, en general, para obtener la magnitud y dirección de cualquier vector, si se conocen sus componentes rectangulares. En la figura (1.6) se observa que el vector posición r varía con el tiempo, mientras la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria. Ejemplo 1.1. El vector posición de una partícula que se mueve en el plano xy, está dado por

jir )15()3()( 2 −−−= ttt ,

donde r está dado en m y t en s. Cuando 50.2=t s la partícula pasa por el punto A. Determi-nar: a) Las coordenadas de la partícula en el punto A. b) La magnitud y dirección del vector posición. Solución a) Reemplazando 50.2=t s en la expresión jir )15()3()( 2 −−−= ttt , se obtiene

jir ˆ.. )m758()m500(A +−= .

Como en el plano el vector posición se expresa en la forma jir yx += , al comparar con la igualdad anterior se llega a

50.0−=x m y 75.8=y m,

que son las coordenadas de la partícula cuando pasa por el punto A. b) Utilizando las ecuaciones (1.1), se obtiene que la magnitud y dirección del vector posición

están dadas por 76.8=r m y o73.86=θ .

El siguiente diagrama es una representación gráfica de los resultados obtenidos.

Ejercicio 1.1. En el ejemplo 1.1, determ

y (m)

ine:

A

x (m)i

j

r8.75

- 0.50 Oθ


6

a) La ecuación de la trayectoria seguida por la partícula. ¿Qué trayectoria describe la partícu-la?

b) El instante en que la partícula pasa por el eje x y el instante en que pasa por el eje y . c) El vector posición de la partícula en el instante 0=t . Ejercicio 1.2. Resolver el ejemplo 1.1 sabiendo que el vector posición de la partícula está dado por

jir )2()12( 32 +−−= tt , donde r está dado en m y t en s. 1.4.2. VECTOR DESPLAZAMIENTO ( r∆ ) Como se indica en la figura 1.7, se considera una partícula que en el instante t1 pasa por el punto A, determinado por el vector posición 1r . Si en un cierto tiempo posterior t2 la partícu-la pasa por el punto B, determinado por el vector posición 2r , el vector desplazamiento que describe el cambio de posición de la partícula conforme se mueve de A a B es dado por

jirrr )()( 121212 yyxx −+−=−≡∆ , (1.2) Ejemplo 1.2.

Una partícula cuyo vepunto A en s502.t =dirección del vector d Solución Al remplazar 004.t =

Además

y mediante la ecuaciónentes rectangulares e

y A( , , )x y t

ctor posición está dado por jir )15()3()( 2 −−−= ttt , se encuentra en el . Si en el tiempo s004.t = pasa por el punto B, calcular la magnitud y esplazamiento entre A y B.

s en )(tr , se encuentra que

jir )m001()m001(B .. −= .

jir )m758()m500(A .. +−= ,

n (1.2), para este caso se tiene que el vector desplazamiento en compo-stá dado por

jir )m75(9)m501( .. −=∆ .

xO ij

Trayectoria

Figura 1.7. Vector desplazamiento.

∆rr1

r2

1 1 1

B )(x , y , t2 2 2


7

Ahora, utilizando las ecuaciones.(1.1), se encuentra que la magnitud y dirección del vector desplazamiento están dadas por

m 869.r =∆ y o2581.=β . En el diagrama siguiente se muestra, tanto el vector desplazamiento como el ángulo que forma con la horizontal.

Ejercicio 1.3. Resolver el ejemplo 1.2 cuando

jir )2()12( 32 +−−= tt , r está 1.4.3. VELOCIDAD Cuando la posición de una partíadquirido una velocidad. En gecon que cambia de posición al Vector velocidad media ( v )

De acuerdo con la figura 1.8, se A, determinado por el vector popunto B, determinado por el ve

y

y

O ij

F

r

el vector posición de la partícula considerada está dado por dado en m y t en s.

cula cambia con respecto al tiempo, se dice que la partícula ha neral, la velocidad de una partícula se define como la rapidez transcurrir el tiempo.

xO

β

rA

rB

∆ r

A( , , )x y t

considera una partícula que en el instante 1t pasa por el punto sición 1r . Si en un tiempo posterior 2t la partícula pasa por el ctor posición 2r , la “velocidad media” durante el intervalo de

x

Trayectoria

igura 1.8. Vector velocidad media.

1 1 1

B( , , )x y t2 2 2

v

1

r2

∆ r


8

tiempo 12 ttt −=∆ , se define como el desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo correspondiente, es decir

jijirrrv yx vvtt

yyxxttt

+=−

−+−=

−−

=∆∆≡

12

1212

12

12 )()(. (1.3)

Dimensiones y unidades del vector velocidad media De acuerdo con la ecuación (1.3), las dimensiones del vector velocidad media son 1LT− . Por consiguiente, las unidades son m s 1− en el sistema SI, cm s 1− en el sistema gaussiano, p s 1− en el sistema Inglés; y en general, cualquier unidad de longitud dividida por una unidad de tiem-po, tal como km h 1− . Así, v es un vector, ya que se obtiene al dividir el vector r∆ entre el escalar t∆ , por lo tanto, la velocidad media incluye tanto “dirección” como “magnitud”. Su dirección está dada por r∆ y su magnitud por t∆∆ r . v es una velocidad media ya que la expresión no dice cómo fue el movimiento entre A y B. La trayectoria pudo haber sido curva o recta, el movimiento pudo haber sido continuo o variable. La siguiente es una situación en la cual el vector velocidad media es nulo. En la figura 1.9, un cuerpo parte del punto A y pasando por el punto B regresa al punto A, luego de un tiempo

t∆ . En este caso, la velocidad media es cero ya que el desplazamiento de la partícula es cero, aunque la distancia recorrida es diferente de cero.

Ejemplo 1.3. Para la partícula considecidad media. Solución Reemplazando el vector(1.3), se encuentra que l

y

rada en el ejemplo 1.2 determinar la magnitud y dirección de la velo-

desplazamiento r∆ del ejemplo 1.2 y 5.1=∆ t 0 s en la ecuación a velocidad media en componentes rectangulares está dada por

jiv )sm(6.5)sm001( -1-1 −= . .

xO ij

Figura 1.9. Vector desplazamiento nulo.

A

B


9

Mediante las ecuaciones (1.1), para este caso se encuentra que la magnitud y dirección del vector velocidad media son

-1s m 586.v = y o2581.=β .

que es la misma dirección del vector desplazamiento r∆ , como se esperaba. Ejercicio 1.4. Demuestre que la velocidad media, cuando la partícula del ejemplo1.2 pasa del punto A al punto B, está dada por jiv )( AB tt +−= . Ejercicio 1.5. Resuelva el ejemplo 1.3, cuando el vector posición de una partícula en movimiento está dado por la expresión jir )2()12( 32 +−−= tt . Ejemplo 1.4. Obtener la velocidad media, magnitud y dirección, cuando la partícula del ejercicio 1.4 se mueve durante los intervalos de tiempo mostrados en la tercera columna de la tabla 1.1. Solución En la tabla 1.1 se muestran los valores obtenidos para la magnitud (v ) y la dirección (θ ) del vector velocidad media, en diferentes intervalos de tiempo ( t∆ ) con s003B .t = .

Tabla 1.1.

At (s) Bt (s) t∆ (s) v (m s 1− ) θ ( o ) 2.98 3.00 0.02 6.06 80.50 2.99 3.00 0.01 6.07 80.52 2.995 3.00 0.005 6.078 80.530 2.998 3.00 0.002 6.081 80.534 2.999 3.00 0.001 6.082 80.536 2.9995 3.00 0.0005 6.0823 80.5369 2.9998 3.00 0.0002 6.0826 80.5374 2.9999 3.00 0.0001 6.0827 80.5375 2.99999 3.00 0.00001 6.08275 80.53766 2.999995 3.00 0.000005 6.082758 80.53767

Pregunta ¿Qué puede concluir al observar los valores de las tres últimas columnas de la tabla 1.1? Ejercicio 1.6. Resuelva el ejemplo 1.4 cuando jir )2()12( 32 +−−= tt , r en m y t en s. Vector velocidad instantánea (v )


10

Es la velocidad de una partícula en un instante dado cualquiera. La velocidad, respecto a de-terminado sistema de referencia, puede variar porque cambia su magnitud ó su dirección ó simultáneamente su magnitud y dirección. Para el movimiento representado en la figura 1.10, ¿cómo se puede determinar la velocidad en el punto A?

Considerando las posiciones intermedias de la partícula en 2't , 2''t , 2'''t ,K determinadas por los vectores posición 2'r , 2''r , 2'''r ,K se observa que los vectores desplazamiento

''','',' rrr ∆∆∆ ,K cambian tanto en magnitud como en dirección, o sea que la velocidad media varía tanto en magnitud como en dirección al considerar dichos puntos intermedios en-tre A y B.

Análogamente, los intervalos de tiempo correspondientes 12 ttt −=∆ , 12 tt't' −=∆ ,

12 t''t't' −=∆ , 12 t'''t''t' −=∆ , se van haciendo cada vez más pequeños. Si se continúa este proceso haciendo que B se aproxime al punto A, el vector desplazamiento

se hace cada vez más pede la tangente a la trayecnoce como velocidad intante de tiempo 1t .

Si r∆ es el desplazamievelocidad en un tiempo

t∆ , tienden a cero, es de

La ecuación (1.4) no es m

y A

queño hasta que tiende a una dirección límite, que corresponde a la toria de la partícula en el punto A. Este valor límite de t∆∆ r se co-stantánea en el punto A, o sea, la velocidad de la partícula en el ins-

nto en un pequeño intervalo de tiempo t∆ , a partir de un tiempo ot , la posterior t , es el valor al que tiende t∆∆r cuando tanto r∆ como cir,

t∆ ∆∆rv

0tlim

→= . (1.4)

ás que la definición de derivada, esto es

tddrv = . (1.5)

xO ij

Figura 1.10. Vector velocidad instantánea.

B

v

B'

B''∆r''

∆r'∆r

rA

rB


11

De donde la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria seguida por la partícula. La magnitud de la velocidad se llama rapidez y es igual a

tv

ddrv == .

Si jir yx += , se tiene que en componentes rectangulares

jijirv yx vvty

tx

t+=+==

dd

dd

dd .

Si en la figura 1.11, se conocen las componentes rectangulares, se tiene que su magnitud y dirección están dadas por

22yx vvv += y

x

y

vv1tan−=θ .

De acuerdo definición del vector velocidad instantánea, se tiene que sus dimensiones y unida-des son las mismas del vector velocidad media. En adelante, siempre que se hable de velocidad, se hace referencia a la velocidad instantánea.

Partiendo de la dpartícula si se co(1.5) se obtiene q

Mientras no se cresolver la integr Un caso particuladirección. Cuand

efinición del vector velocidad, es posible conocer el vector posición de una noce la forma como varía el vector velocidad con el tiempo. De la ecuación ue

ttt

t

d)(o

o ∫+= vrr . (1.6)

onozca la forma como varía el vector velocidad con el tiempo, no es posible al de la ecuación (1.6).

r se presenta cuando el vector velocidad permanece constante en magnitud y o ello ocurre, la ecuación (1.6) se transforma en

)( oo tt−+= vrr . (1.7)

x

y

O ij

r(t)

Trayectoria

Figura 1.11. Componentes rectangulares del vector velocidad.

θvy

vx

v


12

Ejemplo 1.5. Considerando de nuevo la partícula del ejemplo 1.1 determinar la velocidad, magnitud y di-rección, en el instante 3=t s. Solución Empleando la ecuación (1.5) se tiene que la velocidad en cualquier instante de tiempo t está dada por

jiv t2−= .

Remplazando 3=t s en la expresión para vr , se tiene que el vector velocidad en componentes rectangulares está dado por

jiv )sm6()sm1( -1-1 −= .

Así que su magnitud y dirección están dadas respectivamente por

083.6=v m s 1− y o5480.=θ ,

donde θ es el ángulo que forma el vector velocidad con el eje x en el cuarto cuadrante.

Pregunta Compare este resultado con los valores de la tabla del ejemplo 1.1. ¿Qué puede concluir? Ejercicio 1.7. Resuelva el ejemplo 1.5 para jir )2()12( 32 +−−= tt . Compare el resultado con los obteni-dos en el ejercicio 1.6. Ejemplo 1.6. Si la velocidad de una partícula está dada por jiv t2−= , hallar el vector posición de la partí-cula en el instante de tiempo t sabiendo que partió de una posición en la cual

jir )m15()m03(o +−= . cuando 0o =t . Solución Reemplazando or y v en la ecuación (1.6), se encuentra que al evaluar la integral y simplifi-car, el vector posición de partícula está dado por

jir )15()3( 2 −−−= tt ,

que es el mismo vector posición considerado en el ejemplo 1.1. De este resultado, se puede concluir que si se conoce el vector posición de una partícula, en función del tiempo, es posible conocer el vector velocidad y si se conoce el vector velocidad, en función del tiempo, se puede conocer el vector posición de la partícula (recuerde que la integración es la operación inversa de la derivación). Ejercicio 1.8.


13

Resuelva el ejemplo 1.6 cuando la velocidad de la partícula está dada por jiv 234 tt −= , con jir m)002(m)001(o .. −−= en 0o =t . Compare su resultado con el vector posición dado en el

ejercicio 1.2. 1.4.4. ACELERACION A menudo, la velocidad de un cuerpo cambia en magnitud y/o dirección, al encontrarse en movimiento; cuando esto ocurre se dice que el cuerpo tiene una aceleración. La aceleración de un cuerpo se define como la rapidez con que cambia su vector velocidad al transcurrir el tiempo. Vector aceleración media ( a )

De la figura 1.12, en el tiempo 1t una partícula se encuentra en el punto A y tiene una veloci-dad 1v y en el instante 2t (posterior) se encuentra en el punto B y tiene una velocidad 2v , la “aceleración media” a durante el movimiento de A a B se define como el cambio de veloci-dad dividido entre el intervalo de tiempo correspondiente, es decir

12

12

ttt −−=≡ vvva

∆∆ , (1.8)

a es un vector ya que se obtiene dividiendo el vector v∆ con el escalar t∆ , o sea, que se caracteriza por su magnitud y dirección. Su dirección es la de v∆ y su magnitud es dada por

t∆∆ v . a es una aceleración media ya que no se ha dicho la forma como varía el vector velocidad

con el tiempo duracambio en el vectotud y en dirección, Dimensiones y unDe acuerdo con lasiguiente, las unida

y A

nte el intervalo de tiempo t∆ . Si durante este intervalo de tiempo no hay r velocidad, esto es, si el vector velocidad permanece constante, en magni-

entonces 0=v∆ en todo el intervalo de tiempo y la aceleración sería cero.

idades del vector aceleración media ecuación (1.8), las dimensiones del vector aceleración son 2TL − . Por con-des son m s 2− en el sistema SI, cm s 2− en el sistema gaussiano, p s 2− en el

xO ij

Figura 1.12. Vector aceleración media.

B

v2

∆

v1

v2

- v1

v


14

sistema Inglés; y en general, cualquier unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado, tal como km h 2− . Ejemplo 1.7. Una partícula pasa por el punto A en el instante At y por el punto B en el instante Bt . Deter-minar el vector aceleración media de la partícula entre estos dos puntos, sabiendo que su vec-tor velocidad está dado por jiv t2−= . Solución En este caso, la velocidad de la partícula en el punto A está dada por jiv AA 2 t−= y en el punto B por jiv BB 2 t−= , o sea que el cambio en la velocidad es jv )(2 AB tt −−=∆ . Rem-plazando v∆ y AB ttt −=∆ en la ecuación(1.8), se encuentra que el vector aceleración media es dado por

ja )sm2( -2−= .

Por el resultado obtenido, se tiene que la velocidad no cambia en la dirección del eje x y por ello no aparece componente de aceleración en dicha dirección, mientras que se presenta un cambio de velocidad en la dirección del eje y lo que hace que se presente una componente de aceleración en esta dirección. Ejercicio 1.9. Resolver el ejemplo 1.7 si jiv 234 tˆt −= , donde v está dado en m s 1− y t en s. . Vector aceleración instantánea ( a ) Si una partícula se está moviendo de tal manera que su aceleración media, medida en varios intervalos de tiempo diferentes no resulta constante, se dice que se tiene una aceleración va-riable. La aceleración puede variar en magnitud y/o dirección. En tales casos, se trata de determinar la aceleración de la partícula en un instante dado cualquiera, llamada “aceleración instantánea” a y está definida por

2

2

0 dd

ddlim

tttt

rvva ===→ ∆

∆∆

. (1.9)

Si el vector velocidad en componentes rectangulares está dado por jiv yx vv += , entonces el vector aceleración se expresa en la forma

jijia yxyx aat

vtv +=+=

dd

dd . (1.10)

De este modo su magnitud y dirección están dadas, respectivamente, por

22yx aaa += y

y

x

aa1tan−=θ .

Como se muestra en la figura 1.13, el vector aceleración siempre apunta hacia la concavidad de la trayectoria y en general no es tangente ni perpendicular a ella.


15

Las dimensiones y unidades del vector aceleración instantánea, o simplemente aceleración,

son las mismas De la definición

Esta integral setiempo. En el caso partientonces

Reemplazando

Expresión que partícula está en Ejemplo 1.8. Hallar la aceler

jiv t2−= . Solución Derivando la expor

Este resultado mrección y, lo qunea. Ejercicio 1.10. Resolver el ejem

y

que las del vector aceleración media.

de aceleración, ecuación (1.9), se encuentra que

ttt

t

d)(o

o ∫+= avv . (1.11)

puede resolver sólo si se conoce la forma como varía la aceleración con el

cular que el vector aceleración permanezca constante, en magnitud y dirección,

)( oo tt−+= avv . (1.12)

la ecuación (1.12) en la ecuación (1.6), luego de integrar y evaluar se llega a

2o2

1ooo )()( tttt −+−+= avrr . (1.13)

únicamente es válida si el vector aceleración permanece constante mientras la movimiento.

ación, en función del tiempo, de una partícula cuya velocidad está dada por

presión anterior respecto al tiempo, se encuentra que la aceleración está dada

ja )sm2( -2−= .

uestra que la aceleración de la partícula es una constante a lo largo de la di-e se esperaba ya que coinciden la aceleración media y la aceleración instantá-

plo 1.8, si la velocidad está dada por jiv 234 tt −= .

xij

O

aax i

ay j

Figura 1.13. Componentes rectangulares del vector aceleración.

θ


16

Ejemplo 1.9. Determinar, en función de t , la velocidad de una partícula cuya aceleración está dada por

ja )sm002( -2.−= , con iv )s m001( -1o .= en 0o =t .

Solución Luego de reemplazar ova y en la ecuación (1.11), al integrar y evaluar se llega a la expre-sión

jiv t2−= .

Que es un resultado idéntico a la expresión dada en el ejemplo 1.8, como se esperaba. Ejercicio 1.11. Resuelva el ejemplo 1.9 para jia t64 −= con 0o =v en 0o =t . Compare con la expresión dada para v en el ejercicio 1.9. 1.5. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UNA PARTICULA Hasta este momento se han definido, de manera general, las cantidades cinemáticas que permi-ten describir el movimiento de los cuerpos, mediante el modelo de partícula. En lo que sigue, se consideran casos particulares de las expresiones consideradas anteriormente. Se inicia con el caso del movimiento más simple que puede presentarse como es el de un cuerpo cuya trayectoria es una línea recta, la cual se hace coincidir, generalmente, con uno de los ejes de coordenadas ( yx ó ). Luego de analizar este movimiento, se analizan otros movi-mientos más generales en el plano que se representan por medio de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas o utilizando coordenadas polares. Aunque el desplazamiento es en general una cantidad vectorial, se considera en primer lugar

la situación en la cual sla mayoría de los casorectilínea descrita por loblicua, como la mostra Si en la figura 1.14, el el vector posición, el vpectivamente, por

Mov

ólo una componente del desplazamiento es diferente de cero, ya que en s se hace coincidir uno de los ejes de coordenadas con la trayectoria a partícula. La trayectoria en línea recta puede ser vertical, horizontal u da en la figura 1.14.

eje x coincide con la trayectoria descrita por una partícula se tiene que ector velocidad y el vector aceleración de la partícula están dados, res-

iaivir a,v,x === .

imientoiO

xFigura 1.14. Movimiento rectilíneo de una partícula.


17

Ahora, como al hacer coincidir el eje x con la trayectoria de la partícula ya queda definida la dirección del movimiento, es posible escribir las cantidades anteriores en forma escalar, es decir

,xr = (1.14.a)

td

d ,xv = (1.14.b)

,td

d va = (1.14.c)

O sea, las definiciones y conceptos de la sección anterior siguen siendo válidos, ecuaciones (1.1) a (1.13), siempre y cuando se tenga presente que solo aparece una componente en cada uno de los vectores, si la trayectoria coincide con el eje utilizado. Es preciso recordar que no se debe confundir “desplazamiento” con “distancia recorrida”, co-mo se ilustra en la figura 1.15, donde una partícula va del origen de coordenadas O al punto A y luego regresa, pasando por O, hasta llegar al punto B.

Así, el desplazamientomientras que la distancy OOAOA( ++−=∆ x Ejercicio 1.12. Una partícula, cuya posen línea recta a lo largoa) Determine la velocb) Calcule la posición

s502.t = . c) ¿Cuáles son las di

de la expresión dad Velocidad en el movim En el caso de movimieecuación (1.14.b.) y cuysentido de i si dd >txel sentido de movimien

A BO

de la partícula está dado por el vector que va del punto O al punto B, ia recorrida es 2 OA + OB, es decir, OBOA2OBOAOA +=++=d

OB)B = .

ición está dada por 5)( +−−= tt4t3tx 23 ( x en m y t en s), se mueve del eje x . idad y la aceleración de la partícula en función del tiempo. , la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante de tiempo

mensiones de los coeficientes numéricos, en cada uno de los términos a para )(tx ?

iento rectilíneo

nto rectilíneo, la velocidad es un vector cuya magnitud está dada por la a dirección coincide con la del movimiento, así, v estará dirigida en el 0 y en el sentido opuesta si 0dd <tx . Así, el signo de tx dd indica

to, como se muestra en la figura 1.16.

x

Figura 1.15. Desplazamiento y distancia recorrida.


18

En síntesis, dsistema de ref Para movimie

que como se s Ejercicio 1.13Determinar, eeje x , sabiendm en 0o =t . 1.5.1. MOVIM Se presenta ucual se muevsenta cuandoen movimienne

esta es la ecurectilíneo un

En muchos cuna línea rectra 1.17 se mucaso de una p

MovimientoMovimiento

e acuerdo con lo anterior, se tiene que el signo de la velocidad está dado por el erencia empleado.

nto en una dimensión, la expresión dada por la ecuación (1.6) adquiere la forma

ttvxx d)(o

o ∫+=t

t

, (1.15)

abe, es posible resolver la integral si se conoce la forma funcional de )(tv .

. n función del tiempo, la posición de una partícula que se mueve a lo largo del o que su velocidad varía con el tiempo en la forma 189 2 −−= ttv , con 5o =x

Compare su resultado con la expresión para )(tx dada en el ejercicio 1.12.

IENTO RECTILÍNEO UNIFORME

n caso particular de la ecuación (1.15) cuando la magnitud de la velocidad con la e un cuerpo permanece constante, es decir, Constante=v ; esta situación se pre- la aguja del velocímetro de un auto no cambia de posición mientras el auto está to rectilíneo. Resolviendo y evaluando la integral de la ecuación (1.15), se obtie-

)( oo ttvxx −+= , (1.16)

ación cinemática de posición para este movimiento, que se denomina movimiento iforme (MRU).

asos es posible tomar 0o =t . La ecuación (1.16), corresponde a la ecuación de a, donde su pendiente es la magnitud de la velocidad del movimiento. En la figu-estran las gráficas de la posición y la velocidad en función del tiempo, para el

artícula con movimiento rectilíneo uniforme.

OOii x x

v > 0 v < 0Figura 1.16. El signo de indica el sentido de movimiento.v


19

En la figdada por

Al compcorrespo EjerciciDemuesvelocidacuando s EjemploLos autolos y cona) Deteb) Calc

Av = SoluciónDiagramCantidad

Como lorectilínedada por

x v

ura 1.17 se tiene que la pendiente de la gráfica de posición en función del tiempo está

o

oPendientettxx

−−

= . (1.17)

arar las ecuaciones.(1.16) y (1.17) se encuentra que realmente la pendiente de la recta nde a la velocidad de una partícula con movimiento rectilíneo uniforme.

o 1.14. tre que durante el intervalo de tiempo ottt −=∆ , el área bajo la recta, en la gráfica de d en función del tiempo (figura 1.17) es igual al desplazamiento x∆ de una partícula, e tiene movimiento rectilíneo uniforme.

1.10. s A y B se mueven con velocidades BA y vv , sobre una pista recta, en carriles parale- sentidos opuestos. Inicialmente, los autos están separados una distancia d . rminar el tiempo que demoran los autos en pasar uno frente al otro. ular el tiempo que demoran los autos en pasar uno frente al otro, sabiendo que

s m 60 -1 , s m 40 -1B =v , m. 50=d

a ilustrativo del problema, en el cual se muestra el sistema de referencia a emplear. es dadas: d , BA y vv . Cantidad desconocida: t .

s autoso unifo la ecua

x

xov

toto ttt

tOOArea = ∆ x

Figura 1.17. Gráficas de posición y velocidad en función del tiempo, para un MRU.


se mueven con velocidades constantes, entonces cada uno tiene movimiento rme. O sea, que las ecuaciones cinemáticas de posición tienen la forma general ción (1.16), con 0o =t , 0oA =x y dx =oB .

O

A B

dx


20

Respecto al sistema de referencia con origen en O, las ecuaciones cinemáticas de posición para los autos A y B están dadas respectivamente, por:

tvx AA = . (1)

tvdx BB −= . (2)

a) Cuando pasa un auto frente al otro la posición es la misma, por lo que las ecuaciones (1) y (2) son iguales, teniendo en cuenta que a partir de la situación inicial, el tiempo que demo-ran los autos en encontrarse es el mismo.

Luego de igualar las ecuaciones.(1) y (2), y simplificar, se encuentra que el tiempo que

demoran en encontrarse está dado por

BA vvdt+

= . (3)

b) Al remplazar s m 60 -1A ,v = s m 40 -1

B =v , m 50=d en la ecuación (3), se tiene

s 50s m 40s m 60

m 501-1- .t =

+= ,

que es el tiempo que los autos demoran en pasar uno frente al otro. Ejercicio 1.15. Resolver el ejemplo 1.10, suponiendo que el auto B se mueve en el mismo sentido que el auto A. ¿Qué se puede afirmar respecto al tiempo, cuando las velocidades de los autos son iguales? Aceleración en el movimiento rectilíneo De acuerdo con la definición de aceleración, en el caso de movimiento rectilíneo un cuerpo posee aceleración si cambia la magnitud de la velocidad con el tiempo, es decir, si ( )tvv = . La aceleración es un vector cuya magnitud está dada por la ecuación (1.14.c) y cuya dirección coincide con la del movimiento o con la opuesta, dependiendo de si la magnitud de la veloci-dad aumenta o disminuye con el tiempo. Igual que para la velocidad, el signo de la aceleración lo da el sistema de referencia. Movimiento acelerado Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se tiene movimiento “acelerado”, es decir, cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido. Esta situación se presenta cuando en un auto se aplica el acelerador. En la figura 1.18 se ilustra este caso.


21

En síntesis, ución tienen el Movimiento d Si la velocidado” o “retardsituación se pcaso.

En síntesis, uaceleración ti Para movimieque es posible

Ejercicio 1.16Determinar, eeje x , sabien

-1o s m 1−=v

1.13. 1.5.2. MOVIM Es un movim

Co== a(t)a

aa

n cuerpo tiene movimiento acelerado, cuando tanto la velocidad como la acelera- mismo signo.

esacelerado o retardado

d disminuye en valor absoluto con el tiempo, se tiene movimiento “desacelera-ado”, es decir, cuando la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos. Esta resenta cuando en un auto se aplican los frenos. En la figura 1.19 se ilustra este

ne

nd

n

OOii x x

v > 0 v < 0Figura 1.18. Movimiento acelerado

vv

a < 0a > 0

aa

cuerpo tiene movimiento desacelerado o retardado, cuando la velocidad y la nen signos opuestos.

nto en una dimensión, la ecuación (1.11) se puede escribir en la forma integral resolver si se conoce la forma funcional de )(ta .

∫+=t

to

d)(o ttavv , (1.18)

. función del tiempo, la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del o que su aceleración varía con el tiempo en la forma 818 −= ta , con

en 0o =t . Compare su resultado con la expresión para )(tv dada en el ejercicio

IENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

iento en el cual la magnitud de la aceleración permanece constante, es decir, stante . De este modo, la ecuación (1.18) toma la forma

)( oo ttavv −+= (1.19)

OOii x x

v > 0 v < 0Figura 1.19. Movimiento retardado o desacelerado.

vv

a > 0a < 0


22

esta es la “ecuación cinemática de velocidad” para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). La ecuación (1.19) corresponde a la ecuación de una línea recta, donde su pendiente es la magnitud de la “aceleración” del movimiento. En la figura 1.20 se muestran las gráficas de la velocidad y la aceleración en función del tiempo, para el caso de movimiento rectilíneo uni-formemente acelerado. De la figura 1.20, se tiene que la pendiente de la gráfica de velocidad en función del tiempo está dada por:

.attvv

=−−

=o

oPendiente

Al comdiente formem La ecute acelevalua

que sól Cuandlerado,la aceleLa penpartícu

v a

parar esta expresión para la pendiente, con la ecuación (1.19), se encuentra que la pen-de la recta corresponde a la aceleración de una partícula con movimiento rectilíneo uni-ente acelerado.

ación cinemática de posición de una partícula con movimiento rectilíneo uniformemen-erado, se obtiene al sustituir la ecuación (1.19) en la ecuación (1.15), donde al integrar y r se llega a la expresión

2o2

1ooo )()( ttattvxx −+−+= , (1.20)

o es válida si la magnitud de la aceleración permanece constante.

o se gráfica la posición de una partícula con movimiento rectilíneo uniformemente ace- en función del tiempo, se obtiene una parábola cuya concavidad depende del signo de ración. En la figura 1.21 se muestra la gráfica en el caso de una aceleración positiva.

diente de la recta tangente en un punto, tal como A, corresponde a la velocidad de una la en la posición Ax , en forma matemática

Add

A xxtxv == .

v

voa

toto ttt

tOOArea = ∆ v

Figura 1.20. Gráficas de velocidad y aceleración en función del tiempo, para un MRUA.

Area=∆x


23

Ejercicio 1.Demuestre igual al camcuando se t Ejercicio 1.Demuestre al desplazammovimiento Ejemplo 1.1Un auto viadelante de éaplica los

-2s m 50. . a) ¿El autob) Calculec) Calcule Solución Diagrama il

En el diagranadas del spunto B es

x

17. que el área bajo la recta, en la gráfica de aceleración en función del tiempo, es bio en la velocidad v∆ de una partícula durante el intervalo de tiempo ottt −=∆ ,

iene movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

18. que el área bajo la recta, en la gráfica de velocidad en función del tiempo, es igual

iento x∆ de una partícula durante el intervalo de tiempo ottt −=∆ , cuando tiene rectilíneo uniformemente acelerado.

1. ja a -1h km 60 a lo largo de una pista recta, el conductor ve un camión que viaja l a una distancia de m 30 y con una velocidad de -1h km 50 . El conductor del auto

frenos a los s2 de haber observado el camión, generando una aceleración de

alcanza al camión? ¿Por qué? el tiempo en que se detiene el auto. la posición del auto y del camión en el instante considerado en el numeral anterior.

ustrativo del problema:

ma sistemla pos

x

xA

xo

O to tA tt

A

Figura 1.21. Variación de la posición en función del tiempo, para un MRUA.


e considera la situación inicial de los móviles, y se toma el origen de coorde-a de referencia en la posición donde el conductor del auto ve al camión. El ición donde el auto aplica los frenos.

O

A

B 30x(m)

C


24

Cantidades dadas: -1-1

oA s m 716h km 60 .v ≡= , m 30x oC = ,

-1-1C s m 9.13h km 50v ≡= ,

s 2A =t , 2-s m 50.a −= .

Ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad para el auto y el camión: Antes de aplicar los frenos, el auto se mueve con movimiento rectilíneo uniforme entre O y B, así la ecuación (1.16), con 0o =t y 0o =x adquiere la forma

tx 7.16'A = . (1) A partir del punto B, el auto adquiere un movimiento rectilíneo uniformemente retardado, por lo que la ecuación (1.20) se transforma en

221

BA )2(50)2(716 −−−+= t.t.xx . (2)

El camión se mueve con movimiento rectilíneo uniforme a partir de m 30oC =x , por lo que la ecuación (1.16) se puede escribir como

tx 9.1330C += . (3)

Reemplazando s 2A =t en la ecuación (1), se tiene que la posición del auto cuando aplica los frenos es

m 4.33B =x . (4) O sea, que al remplazar la ecuación (4) en la ecuación (2) , se tiene

221

A )2(50)2(716433 −−−+= t.t..x . (5)

)2(50716A −−= t..v (6) En las expresiones anteriores, t es el tiempo medido a partir de la situación inicial del auto y del camión. a) Si el auto y el camión se encuentran, su posición debe ser la misma. Por lo tanto, las ecua-

ciones (3) y (5) deben ser iguales. Esto lleva a una expresión cuadrática en t , cuya solu-ción es

246667 ..t −±= ,

que corresponde a soluciones físicamente no aceptables ya que se obtiene un tiempo ima-ginario que no tiene significado dentro del marco de la física clásica. Lo anterior, permite concluir que el auto y el camión no se encuentran.


25

b) Para hallar el tiempo que demora el auto en detenerse, la ecuación (6) se iguala a cero, lo que permite obtener como resultado

s 4.35=t . (7) c) La posición de los móviles cuando se detiene el auto, se encuentra remplazando la ecua-

ción (7) en las ecuaciones (3) y (5). De este modo se obtiene

m 06.522y m 29.312A == Cxx . El resultado anterior muestra que cuando el auto se detiene, el camión se encuentra m 77.209 delante de él. Esto significa que el auto, mientras se encuentra en movimiento, está atrás del camión y por consiguiente no es posible que se encuentren como se concluyó en el numeral a). Ejercicio 1.19. Resolver el ejemplo 1.11 suponiendo que la velocidad del camión es -1h km 40 , la separación inicial entre el auto y el camión es de m 5 y el tiempo de reacción del conductor del auto es

s 50. . Analice completamente los resultados obtenidos. Movimiento vertical de un cuerpo ó “caída libre” A diario se observan cuerpos que ascienden o descienden verticalmente en el aire. A este mo-vimiento se le denomina caída libre cuando se presenta en el vacío, siempre y cuando sólo se considere el efecto debido a la acción de la tierra sobre el cuerpo. En esta sección se despre-cian los efectos que pueda tener el aire sobre el movimiento, lo que equivale suponer que se mueven en el vacío. Este es un ejemplo muy importante de movimiento rectilíneo uniforme-mente acelerado, y se presenta cuando los cuerpos caen libremente bajo la acción de la grave-dad. La aceleración con la cual se mueven libremente los cuerpos a lo largo de la vertical se deno-mina aceleración de la gravedad y es un vector que siempre está dirigido hacia abajo en la dirección vertical y se representa por el símbolo g . El signo de g , independientemente del sentido de movimiento del cuerpo a lo largo de la ver-tical, depende del sentido que se tome como positivo para el eje vertical, que generalmente se hace coincidir con el eje y . Así, jg g±= , es decir, el signo es positivo cuando el eje y se toma positivo verticalmente hacia abajo y negativo cuando eje y se toma positivo verticalmen-te hacia arriba, en síntesis, el signo depende del sistema de referencia como se indica en la

Figura 1.22. El signo de la aceleración depende del sistema de referencia.


26

figura 1.22. En la figura 1.23, se indican los dos sentidos de movimiento que se pueden presentar cuando un cuerpo se mueve verticalmente sometido a la aceleración de la gravedad. El cuerpo A tiene movimiento rectilíneo uniformemente retardado ya que el sentido del vector velocidad se opo-ne al sentido del vector aceleración de la gravedad; en su lugar, el cuerpo B tiene movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ya que el sentido del vector velocidad coincide con el sen-tido del vector aceleración de la gravedad. En conclusión, cuando un cuerpo se mueve verticalmente hacia arriba, el movimiento es retar-dado y cuando un cuerpo se suelta o se lanza verticalmente hacia abajo, el movimiento es

acelerado, independi Aunque el valor de terrestre, debido a lo

-2s m 8.9=g en el svalor de g es el mimientras no se alejela distancia sobre la Ejemplo 1.12. Desde la superficie dad de -1h km 54 . Adesde una altura de no coinciden. a) Calcular el tiempb) En el instante qu

ciende la piedra? Solución Cantidades dadas: vCantidad conocida: Diagrama ilustrativo

B

ente del sistema de referencia.

la aceleración de la gravedad g varía de un lugar a otro de la superficie s cambios de altura respecto al nivel del mar, su magnitud es cercana a istema de unidades SI ó -2s p 2.32=g en el sistema inglés de unidades. El smo para todos los cuerpos que caen y se toma independiente de la altura, n mucho de la superficie terrestre ya que su valor disminuye a medida que superficie terrestre o bajo ella (menos masa que atrae) aumenta.

de la tierra se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una veloci- los s 7.0 de lanzada la piedra, se deja caer un pequeño bloque de madera

m 10 , respecto a la superficie de la tierra. Las trayectorias de los cuerpos

o que demoran los cuerpos en pasar uno frente al otro. e el bloque llega al piso, ¿dónde se encuentra la piedra? ¿Asciende o des-

-1-1po s m 15h km 54 ≡= , s 70o .t = , m 10ob =y .

2s m 89 −−= .g .

del problema:

a g =Movimiento Movimiento

TierraFigura 1.23. Movimiento vertical acelerado y desacelerado.

A


27

Ecuaciones cinemáticas de posicPiedra:

Bloque de madera:

a) Cuando la piedra y el bloquecuaciones (1) y (3) son igutiempo de encuentro es

b) Cuando el bloque llega al pi

obtiene para el tiempo de caí

Para determinar la posición de lción (5) en la ecuación (1) obten

Para saber si la piedra asciende ecuación (2), encontrándose el v

como el signo es negativo, de adescendiendo. Ejercicio 1.20. Resolver el ejemplo 1.12, si el bpiso.

y

ión y velocidad para la piedra y el bloque:

221

p 8915 t.ty −= , (1)

t.v 8915p −= . (2)

221

b )70(8910 .t.y −−= , (3)

)70(89b .t.v −−= (4)

e se encuentran, la posición vertical es la misma, es decir, las ales. Al llevar a cabo el procedimiento, se encuentra que el

s 930.t = .

so, se tiene que 0b =y , por lo que mediante la ecuación (3) se da del bloque el valor

s 12.t = . (5) a piedra, cuando el bloque llega al piso, se reemplaza la ecua-iéndose el valor

m 99p .y = .

o desciende en ese instante, se reemplaza la ecuación (5) en la alor

-1p s m 65.v −= ,

cuerdo con el sistema de referencia, se tiene que la piedra está

loque se suelta en el instante que es lanzada la piedra desde el

yob

O Tierra

vob= 0

vop


28

1.6. MOVIMIENTO CURVILINEO EN UN PLANO En esta sección se considera el movimiento de una partícula en un plano utilizando coordena-das rectangulares yx , , y posteriormente se analiza el movimiento de una manera más general empleando las coordenadas polares θ,r . 1.6.1. MOVIMIENTO CURVILÍNEO BAJO ACELERACIÓN CONSTANTE Este es un caso de movimiento en el cual la partícula está sometida a una aceleración cuya magnitud y dirección permanecen constantes. En la vida real se presenta este movimiento cuando se patea un balón de fútbol, cuando se golpea un balón de voleibol, cuando se lanza una pelota de béisbol, cuando se dispara un proyectil, o en general, cuando se lanza o dispara un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal diferente de o0 ó o90 es decir, siempre que se cumple la condición oo 900 <α< . Se presenta una situación particu-lar para o0=α , estos es, cuando el cuerpo se lanza horizontalmente desde una altura determi-nada respecto a la superficie terrestre. Cuando un cuerpo adquiere tal movimiento, está some-tido a la aceleración de la gravedad, que como se sabe, su magnitud y dirección permanecen constantes. En el análisis que sigue, se supone que el aire no tiene ningún efecto sobre el mo-vimiento, o sea, se considera el movimiento como si fuera en el vacío.

Se considera una partícula que se lanza desde el punto A, con una velocidad ov que forma un ángulo α con la horizontal, como se muestra en la figura 1.24. En este movimiento, es posible descomponer la velocidad inicial en componentes horizontal y vertical, lo que permite hacer el análisis utilizando coordenadas rectangulares. De acuerdo con el sistema de referencia elegido, el eje x se hace coincidir con la superficie de la tierra. Además, el tiempo se empieza a medir desde el instante en que es lanzado el cuerpo, es decir, 0o =t .

Considerando dadas por

y

la figura 1.24, las condiciones iniciales en componentes rectangulares, están

,yx jir ooo +=

i

j

a j g =-

Ayo

xo

vo

TierraO

α

x

Figura 1.24. Movimiento parabólico, con origen O, en la superficie de la tierra.


29

sencos ooo ,vv jiv α+α= (1.21)

.g ja −=

Ahora, la posición del cuerpo, en cualquier instante, está dada por

jir yx += . (1.22)

Reemplazando las ecuaciones (1.21) y (1.22) en la ecuación (1.13), que es válida cuando el vector aceleración es constante, se encuentra

jiji )sen()cos( 221

oooo tgtvytvxyx −α++α+=+ . (1.23)

Como los vectores unitarios ji y son linealmente independientes, entonces al igualar com-ponentes en la ecuación (1.23), se encuentra que las ecuaciones cinemáticas de posición para este movimiento, en las direcciones horizontal y vertical, están dadas por

tvxx α+= cosoo , (1.24)

221

oo sen tgtvyy −α+= . (1.25)

Al derivar las ecuaciones (1.24) y (1.25) respecto al tiempo, se obtiene

α= cosovvx , (1.26)

tgvvy −α= seno , (1.27)

que son las ecuaciones cinemáticas de velocidad, en las direcciones horizontal y vertical, para este caso. Finalmente, al derivar las ecuaciones (1.26) y (1.27), se encuentra

gaa yx −== y0 .

En conclusióy vertical, do

y

n, las ecuaciones (1.24) a (1.27) rigen el movimiento en las direcciones horizontal nde en la horizontal se tiene una componente de movimiento con velocidad cons-

a j g =-

Avo

Tierra

Oα x

Figura 1.25. Movimiento parabólico, con origen en el punto de lanzamiento.

-h

i

j


30

tante y en la vertical una componente de movimiento con aceleración constante. Mediante dichas expresiones es posible obtener toda la información sobre el movimiento de la partícula. De acuerdo con lo anterior, es posible interpretar este movimiento como una superposición de un movimiento uniforme en la dirección horizontal y un movimiento uniformemente acelerado en la dirección vertical. Con el fin de simplificar y obtener más información sobre el movimiento de la partícula, se considera el caso particular donde se toma el origen de coordenadas en el punto de lanzamien-to A, como se muestra en la figura 1.25.

En este caso particular, con 0y 0 oo == yx , las ecuaciones (1.24) y (1.25) se transforman en

tvx α= coso , (1.28)

221

o sen tgtvy −α= . (1.29)

Para hallar la ecuación de la trayectoria seguida por la partícula se despeja el tiempo t de la ecuación (1.28) y se reemplaza en la ecuación (1.29), obteniéndose una ecuación cuadrática en la coordenada x , o sea

22o

2

2sec tan x

vgxy α−α= , (1.30)

que corresponde a la ecuación de una parábola )( 2bxaxy −= donde a y b son constantes. Esta es la razón por la cual a este movimiento se le denomina movimiento parabólico, aunque tam-bién se le conoce como movimiento de proyectiles ya que estos describen generalmente esta trayectoria. Como la componente vertical de la velocidad se hace cero en la altura máxima alcanzada por la partícula, mediante la ecuación (1.27), se encuentra que el tiempo que demora en alcanzarla está dado por

gvt α

=seno . (1.31)

Reemplazando la ecuación (1.31) en la ecuación (1.29) se obtiene la altura máxima alcanzada por la partícula, respecto al punto de lanzamiento, es decir

2o

máx )2()sen(

gvy α

= . (1.32)

De este modo, la altura máxima respecto a la superficie de la tierra, está dada por

hg

v+

α=

2o

máx 2)sen(

H . (1.33)


31

Para determinar el tiempo que la partícula demora en cruzar el eje x , se hace 0=y en la ecuación (1.29), permitiendo llegar a las expresiones

gvtt α

==sen

2y0 o , (1.34)

estos dos tiempos tienen significado físico ya que el cuerpo pasa dos veces por la posición

0=y , la primera en el instante que es lanzado y la segunda cuando cruza el eje x luego de haber pasado por la altura máxima. Adicionalmente, al comparar la ecuación (1.31) con la segunda expresión en la ecuación (1.34) se observa que el tiempo que demora la partícula en alcanzar la altura máxima es igual al tiempo que demora en ir de la altura máxima al eje x , es decir, al nivel de lanzamiento del proyectil. La posición horizontal de la partícula cuando llega al eje x, se obtiene al reemplazar el tiempo dado por la ecuación (1.34) en la ecuación (1.28), obteniéndose

α= 2sen2o

máx gvx . (1.35)

De acuerdo con la ecuación (1.35), el máximo valor que puede adquirir el alcance se obtiene cuando 12sen =α , es decir, para o902 =α ó o45=α . Cuando el cuerpo llega a la superficie de la tierra hy −= , por lo que al reemplazar en la ecua-ción (1.29) y luego de simplificar, se llega a una ecuación cuadrática en el tiempo t , cuyas soluciones están dadas por

[ ]2o

o )αsen(211αsen vgh

gvt +±= , (1.36)

donde el radicando es una cantidad mayor que uno. Así, solo se tiene un valor real para el tiempo, es decir, un valor con significado físico, cuando se toma el signo positivo que antece de al radical. Lo anterior, está de acuerdo con la situación planteada ya que el cuerpo, luego de lanzado, sólo se encuentra en la superficie de la tierra una vez.

Los resultados obtenidociones:

y

s en esta sección, son válidos cuando se cumplen las siguientes condi-

a j g =-

vo

Oα x

Figura 1.26. Movimiento parabólico, en el aire y en el vacío.

VacíoAire


32

- El alcance debe ser suficientemente pequeño, como para que se pueda despreciar la curva-tura de la tierra, y de este modo poder considerar la superficie de la tierra como plana.

- La altura máxima debe ser suficientemente pequeña, como para poder despreciar la varia-

ción de la gravedad con la altura. - La magnitud de la velocidad inicial del proyectil debe ser suficientemente pequeña, como

para poder despreciar los efectos del aire. Como se verá en la unidad 2, los efectos del aire sobre el movimiento de los cuerpos, se hacen significantes entre mayor sea la magnitud de la velocidad. En la figura 1.26 se muestra la diferencia en la trayectoria de una partícula, cuando se mueve en el vacío y cuando se mueve en un medio como el aire.

Ejemplo 1.13. En un partido de fútbol, un defensa patea el balón desde el piso, con una velocidad de

-1s m 025. formando un ángulo de o30 con la horizontal. En el instante que sale el balón, un delantero que se encuentra a m 060. del defensa, corre hacia el balón y lo recibe en la cabeza a una altura de m 02. . Calcular a) La posición horizontal del balón cuando da en la cabeza del delantero. b) La velocidad del delantero, suponiendo que corre a velocidad constante. Solución De acuerdo con el diagrama ilustrativo del problema, donde se muestra el sistema de referen-cia a emplear, se tiene Cantidades dadas: Para el balón -1

o s m 025.v = , 0oo == yx , 0o =t , o30=α , m 02A .y = . Para el delantero m 060od .x = .

Cantidad conocida -2s m89.g −= .

Ecuaciones cPara el balón

y

inemáticas de posición y velocidad

t.x 30cos025b = , (1)

30cos025b .vx = ,

221

b 89sen30025 t.t.y −= . (2)

a j g =-

vo

Oα x

A( , )x yA A

xodxA


33

t-.vy 9.830sen025b = .

Para el delantero tv.x dd 060 += . (3)

Constanted =v .

a) Para calcular la posición horizontal del balón, cuando da en la cabeza del delantero, es necesario calcular primero el tiempo que demora en llegar a dicha posición. Para ello, se reemplaza m 02A .y = en la ecuación (2). Así, se obtiene una ecuación cuadrática en el tiempo, cuyas soluciones son

s 42ys 20 21 .t.t == .

En principio estos valores reales de tiempo tienen significado físico, ya que el balón pasa dos veces por la posición en la cual m 02.y = . Ahora, reemplazando estos valores de tiempo en la ecuación (1), se encuentra que las posiciones horizontales correspondientes, están dadas por

m 052ym 34 b2b1 .x.x == .

b) Como en el instante que el balón da en la cabeza, la posición horizontal del delantero es la misma del balón, entonces la ecuación (3) da para los dos valores de la posición, las si-guientes velocidades del delantero

-1

d2-1

d1 s m 33ys m 5278 .v.v −=−= .

Los resultados anteriores muestran que en ambos casos el delantero debe correr hacia la iz-quierda, ya que las velocidades son negativas, es decir, se debe mover en el sentido negativo del eje x . Por otro lado, el valor de velocidad -1

d1 s m 5278.v −= , en el caso real no se debe considerar, puesto que hasta el momento en condiciones normales no ha sido posible que un atleta alcance esta velocidad tan alta. En los cien metros planos la velocidad alcanzada es del orden de -1s m 11 . Por consiguiente, la velocidad del delantero debe ser -1s m 33.− , lo que in-dica que el balón ya ha pasado por la altura máxima cuando se encuentran balón y delantero. Ejercicio 1.21. Resolver el ejemplo 1.13, si el delantero se encuentra inicialmente a m 45 respecto al punto de lanzamiento. Ejemplo 1.14. El observador A, que viaja en la plataforma de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme respecto al piso, lanza una partícula verticalmente hacia arriba. El observador A está en reposo respecto al móvil y el observador B está en reposo respecto a la tierra. ¿Cuál es la trayectoria seguida por la partícula? Despreciar los efectos del aire. Solución


34

Esta pregunta sólo se puede responder, cuando se haya definido con exactitud quien está ana-lizando el movimiento. En este caso, se debe especificar si es el observador A o el observador B quien responde la pregunta anterior. Respecto al observador A, la respuesta es que la partícula describe una trayectoria rectilínea y vertical, ya que la velocidad horizontal del observador es la misma velocidad horizontal de la partícula, es decir, para el observador A la partícula no tiene componente horizontal de la ve-locidad. De acuerdo con esto, la partícula regresa de nuevo a la mano del observador A como se ilustra en la figura. En su lugar, para el observador B, la partícula tiene tanto una componente horizontal como vertical de velocidad, y de este modo la partícula describe una trayectoria parabólica, ya que

respecto a la tierra la par

Ejercicio 1.22. Desde un avión que vuecuerpo. Un observador etener el cuerpo por encimplique si es posible esta recta. 1.7. MOVIMIENTO GE

B

tícula regresa a una posición diferente como se muestra en la figura

A

la horizontalmente a una velocidad de 1hkm200 − , se deja caer un n tierra, quiere correr de tal manera que su velocidad le permita man-

a de su cabeza, para de este modo, poderlo recibir en su mano. Ex-situación, considerando que el observador en tierra se mueve en línea

NERAL EN UN PLANO

vB


35

En esta sección se analizan los efectos que se presentan, cuando se considera por separado, los cambios en la magnitud y en la dirección de los vectores posición y velocidad, de una partícu-la que se mueve en una trayectoria curvilínea, utilizando coordenadas polares.

Igual que en el caso de θuur y que cumplen las sig

- Son perpendiculares ent- ru , en todo instante, e

radial. - θu , en todo instante, es

rio transversal. Ahora, de acuerdo con la dbe una trayectoria curvilíneque la dirección, mas no su Con el fin de hacer más sifunción de los vectores unsistema de coordenadas recfigura 1.27, se tiene que lodados por

donde θ se expresa en radia 1.7.1. VECTOR POSICIÓN

De acuerdo con la definicióposición, cuando la partícul

y

coordenadas rectangulares, se consideran dos vectores unitarios uientes condiciones

re sí. s paralelo al vector posición r y se le denomina vector unitario

perpendicular al vector posición r y se le denomina vector unita-

efinición de estos vectores unitarios, mientras una partícula descri-a, la dirección del vector posición cambia con el tiempo, es decir, magnitud, de los vectores unitarios θuur y cambia con el tiempo. mple el trabajo matemático, se expresan los vectores θuur y en itarios ji y cuyas direcciones permanecen constantes, cuando el tangulares no rota mientras la partícula está en movimiento. De la s vectores unitarios θuur y en componentes rectangulares están

jiur θθ sencos += , (1.37)

jiu θθθ cossen +−= , (1.38) nes.

n del vector unitario ru y de la figura 1.27, se tiene que el vector a pasa por el punto A, se puede expresar en la forma

rr ur = , (1.39)

Avr

uruθ j

i

θ

θ xFigura 1.27. Vectores unitarios radial y transversal.


36

donde, en general, cambian tanto su magnitud como su dirección mientras la partícula describe la trayectoria curvilínea. 1.7.2. VECTOR VELOCIDAD En esta sección se muestra que un cambio en la magnitud del vector posición ó un cambio en su dirección, genera una componente en la velocidad. De acuerdo con la figura 1.27, la velocidad de la partícula en el punto A, está dada por la ecuación (1.5), donde al reemplazar la ecuación (1.39), adquiere la forma

)(dd

dd

rrtt

urv == . (1.40)

Derivando la ecuación (1.40) respecto al tiempo, teniendo en cuenta que ru varía en dirección por tratarse de una trayectoria curvilínea, se tiene

tr

tr

r dd

dd ruuv += . (1.41)

Derivando la ecuación (1.37) respecto al tiempo y comparando el resultado con la ecuación (1.38), se encuentra que

θuur

tθ

t dd

dd = , (1.42)

donde se observa que la derivada respecto al tiempo del vector unitario en la dirección radial, es un vector paralelo al vector unitario en la dirección transversal, es decir, es un vector per-pendicular al vector posición. Luego de reemplazar la ecuación (1.42) en la ecuación (1.41), se obtiene

θuuv r tθr

tr

dd

dd += . (1.43)

Como resultado del procedimiento llevado a cabo, en la ecuación (1.43) aparecen dos compo-nentes de la velocidad, una en la dirección radial y otra en la dirección transversal. La componente de la velocidad en dirección radial, solo aparece cuando cambia con el tiempo la magnitud del vector posición y se le denomina velocidad radial, es decir

trvr d

d≡ . (1.44)

En su lugar, la componente de velocidad en la dirección transversal, solo aparece cuando cam-bia con el tiempo la dirección del vector posición y se le denomina velocidad transversal, o sea


37

trv

ddθ

θ ≡ . (1.45)

Mediante las definiciones dadas por las ecuaciones (1.44) y (1.45), la ecuación (1.43) se puede escribir en la forma

θuuv r θr vv += . (1.46) Ahora, como las componentes radial y transversal de la velocidad son perpendiculares, como

se muestra en la f

Ejemplo 1.15. Una partícula se

jir 242 tt += da) La ecuación db) Las coordenac) Las compone Solución a) De acuerdo c

coordenadas paramétricas

En la figura sigui

y

igura 1.28, se cumple 22θvvv r += .

mueve en el plano yx de tal forma que su posición está dada por la expresión onde r está dado en p (pies) y t en s. Determinar e la trayectoria seguida por la partícula. das polares correspondientes, en función del tiempo. ntes radial y transversal de la velocidad, en función del tiempo.

on la expresión dada para el vector posición de la partícula, se tiene que sus rectangulares están dadas por tx 2= y 24ty = . Mediante estas ecuaciones se encuentra que la trayectoria seguida por la partícula está dada por

2xy = ,

ente se muestra la trayectoria parabólica seguida por la partícula.

j

ix

Figura 1.28. Componentes radial y transversal del vector velocidad.

r ( )t

vvθ θu

vr ru


38

b) Las coordenadas polaresdel vector posición con ticamente, se tiene

c) La componente radial dposición con el tiempo,se encuentra que está da

La componente transversal posición con el tiempo, estáy (2) se encuentra que está d

Ejercicio 1.23. Teniendo en cuenta el ejempa) Halle la velocidad de la b) Compruebe que 22( yx vv +c) Calcule el valor de las c

el instante 2=t s. 1.7.3. VECTOR ACELERA En esta sección, se muestradirección genera una compo Para ello, primero se expres

y

están dadas por la magnitud del vector posición y por la dirección respecto al eje x , como se indica en el diagrama anterior. Matemá-

212 )41(2 /ttr += , (1)

t2tan-1=θ . (2)

e la velocidad, que se debe al cambio en la magnitud del vector está dada por la expresión trvr dd= . Mediante la ecuación (1), da por

212

2

)41()81(2/r t

tv+

+= .

de la velocidad, que se debe al cambio en la dirección del vector dada por la expresión t/rv ddθθ = . Utilizando las ecuaciones (1) ada por

212 )41(4

/ttv

+=θ .

lo 1.15: partícula en componentes rectangulares.

212221 )() /r

/ vv θ+= . omponentes radial y transversal de la velocidad de la partícula en

CIÓN

que un cambio en la magnitud de la velocidad ó un cambio en su nente en la aceleración.

a el vector velocidad en función de su magnitud y dirección.

j

ix

v

rθ


39

Se considera una partícdonde se toma Oo composición de la partículatrayectoria entre Oo y Atrayectoria entre Oo y B El desplazamiento de l

S∆ (longitud de la traforma

Si se hace que el puntS∆∆ ≈r , así, el prime

que es un vector unitarun vector en la direcció Por otro lado, el segund

que corresponde a la mtor desplazamiento porque xd ó yd en un m

y

ula que se mueve a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura 1.29, o punto de referencia, u origen, sobre la trayectoria. De este modo, la cuando pasa por el punto A está dada por AO oA =S (longitud de la ) y cuando pasa por el punto B está dada por BO oB =S (longitud de la ).

a partícula a lo largo de la trayectoria, entre las posiciones A y B, es yectoria entre A y B). Ahora, la ecuación (1.4) se puede escribir en la

,SS

tr

trv

tt ∆∆

∆∆lim

∆∆lim

0∆0∆ →→==

.tS

Srv

tS

=

→→ ∆∆lim

∆∆lim

0∆0∆ (1.47)

o B se aproxime al punto A, se tiene que cuando están muy próximos r paréntesis de la ecuación (1.47) adquiere la forma

T0 ddlim urr ==

→∆ SS∆∆

S, (1.48)

io tangente a la trayectoria seguida por la partícula, ya que se divide n tangente a la trayectoria por su magnitud.

o paréntesis se transforma en

vtS

t∆S∆

t∆===

→v

ddlim

0, (1.49)

agnitud del vector velocidad puesto que se divide la magnitud del vec- el intervalo de tiempo correspondiente. Así, Sd juega el mismo papel ovimiento rectilíneo.

j

ix

Figura 1.29. Movimiento curvilíneo de una partícula.

vA

vB

∆ r

∆S

O

B

ASA

SB

OO


40

De este modo, reemplazando las ecuaciones (1.48) y (1.49) en la ecuación (1.47), se encuentra que

Tuv v= , (1.50)

donde se expresa el vector velocidad como el producto de su magnitud por su dirección.

Utilizando la figura 1.30zontal, se expresa en com

Además, como se indicacular al vector velocidadmina vector unitario norm

Si en el instante t la pardiante la ecuación (1.50)

Derivando la ecuación (1tangencial varía en direc

Derivando la ecuación (encuentra que la ecuació

y

, el vector unitario tangencial Tu que forma un ángulo φ con la hori-ponentes rectangulares por

jiu φφ sencosT += . (1.51)

en la figura 1.30, se define un segundo vector unitario Nu perpendi- y dirigido hacia la concavidad de la trayectoria. Este vector se deno-al, que expresado en componentes rectangulares, adquiere la forma

jiu φφ cossenN +−= . (1.52)

tícula se encuentra en el punto P de la figura 1.30, se tiene que me-, la ecuación (1.9) adquiere la forma

)(dd

dd

Tuva vtt

== . (1.53)

.53) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que el vector unitario ción por tratarse de una trayectoria curvilínea, se tiene

tv

tv

dd

dd T

Tuua += . (1.54)

1.51) respecto al tiempo y teniendo en cuenta la ecuación (1.52), se n (1.54) adquiere la forma

NT dd

dd uua

tφv

tv += . (1.55)

j

ix

Figura 1.30. Vectores unitarios tangencial y normal.

r ( )t

v

uTuN

ϕϕ

P


41

Comparando las ecuaciones (1.54) y (1.55), se tiene que la derivada respecto al tiempo del vector unitario en la dirección tangencial es un vector perpendicular o normal a la curva en el punto P. En la ecuación (1.55), la componente en la dirección paralela al vector unitario tangencial se le denomina aceleración tangencial y aparece siempre que cambia la magnitud del vector velo-cidad con el tiempo, es decir

tva

dd

T = . (1.56)

Igualmente, en la ecuación (1.55) la componente en la dirección paralela al vector unitario normal se le llama aceleración normal y aparece cuando cambia la dirección del vector velo-cidad con el tiempo, esto es

tφva

dd

N = . (1.57)

Con las definiciones dadas por las ecuaciones (1.56) y (1.57), la ecuación (1.55) se puede es-cribir en la forma

NNTT uua aa += . (1.58) Como las componentes tangencial y normal de la aceleración son perpendiculares, en este caso se cumple la relación

2N

2T aaa += .

En la figura 1.31 movimiento curvil Hay otra forma deEn la figura 1.32, yectoria, donde d Sto P al punto P' en

y

se muestran las componentes tangencial y normal de la aceleración en un íneo.

expresar la ecuación (1.57) para la componente normal de la aceleración. se considera un pequeño desplazamiento de la partícula a lo largo de la tra-

PP'= es el pequeño arco que recorre la partícula al moverse desde el pun-un pequeño intervalo de tiempo td .

j

ix

Figura 1.31. Componentes tangencial y normal del vector aceleración.

r ( )t

aaT Tu

aN Nu


42

En la figura 1.32, las perpendiculares a las rectas tangentes en los puntos P y P', se cortan en el punto C llamado centro de curvatura.

Escribiendo el término tφ dd en la forma

Sφv

tS

Sφ

tφ

dd

dd

dd

dd == , (1.59)

donde se ha utilizado la ecuación (1.49). Definiendo el radio de curvatura por CP≡ρ , en la figura 1.32, se tiene

φS dd ρ= o ρ

= 1dd

Sφ . (1.60)

reemplazando la ecuación (1.60) en la ecuación (1.59), se obtiene

Así, al reemplazar lnormal se puede exp

De este modo, media

Ejemplo 1.16. Para la partícula conormal de la acelera

y

ρ

= vtφ

dd . (1.61)

a ecuación (1.61) en la ecuación (1.57) se encuentra que la aceleración resar en la forma

ρ

2

Nva = . (1.62)

nte la ecuación (1.62), la ecuación (1.55) adquiere la forma

N

2

Tdd uua

ρv

tv += . (1.63)

nsiderada en el ejemplo 1.15, determinar las componentes tangencial y ción.

j

ix

Figura 1.32. Radio de curvatura en el movimiento curvilíneo.

C

P

P'dSρ

dϕ

ϕ

ϕ ϕ+d

ϕ


43

Solución Derivando respecto al tiempo el vector posición de la partícula dado en el ejemplo 1.15, se encuentra que la magnitud y dirección de la velocidad están dadas por

212 )161(2 /tv += , (1)

t4tan-1=ϕ . (2)

La componente tangencial de la aceleración, que se debe al cambio en la magnitud de la velo-cidad con el tiempo, está dada por tvaT dd= . Mediante la ecuación (1) se encuentra que está dada por

212 )161(32

/T tta

+= .

La componente normal de la aceleración, que se debe al cambio con el tiempo en la dirección de la velocidad, está dada por tva ddN ϕ= . Con ayuda de las ecuaciones (1) y (2) se encuen-tra que está dada por

212N )161(8

/ta

+= .

Ejercicio 1.24. En el ejemplo 1.16: a) Determine la aceleración de la partícula en componentes rectangulares. b) Compruebe que 212

N2T

2122 )()( //yx aaaa +=+ .

c) Calcule los valores de las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instan-te s2=t .

d) Determine el radio de curvatura en función del tiempo y su valor en el instante 2=t s. 1.8. MOVIMIENTO CIRCULAR En esta sección se analiza un caso particular de movimiento curvilíneo en un plano, como es

el movimiento circular. rencia de radio R, dada p

y

En este caso, la trayectoria seguida por una partícula es una circunfe-or la expresión

222 Ryx =+ ,

O

Figura 1.33. Trayectoria en el movimiento circular.

x

R


44

donde se ha tomado el origen de coordenadas coincidente con el centro de la trayectoria, como se indica en la figura 1.33. 1.8.1. VECTOR POSICION ( r ) Este movimiento se caracteriza por tener un vector posición en el cual su magnitud permanece constante, es decir, la ecuación (1.39) se transforma en

rur R= ,

o sea, como se muestra en la figura 1.34, el vector posición únicamente cambia en dirección mientras la partícula está en movimiento. 1.8.2. VECTOR VELOCIDAD ( v )

Como la magnitud del tícula, se tiene que el pcha ecuación en la form

VELOCIDAD ANGUL La velocidad angular se

que tiene dimensión -T Mediante la definiciónpuede escribir como

En conclusión, en el mción transversal, mienteste tipo de movimientcomo al vector unitario

y

vector posición es igual al radio de la circunferencia descrita por la par-rimer término de la ecuación (1.43) se hace cero, transformándose di-a

θuvtθR

dd= . (1.64)

AR (ω )

define por

td

dθω ≡ , (1.65)

1 , y unidad 1 rad −s .

dada por la ecuación (1.65), la ecuación (1.64), para la velocidad, se

θuv ωR= . (1.66)

ovimiento circular, solo se tiene componente de velocidad en la direc-ras que no se tiene componente en la dirección radial. Ahora, como en o, el vector posición es perpendicular tanto el vector unitario transversal tangencial, entonces se cumple que

O

Figura 1.34. Vector posición en el movimiento circular.

x

r u

=Rr


45

Tuu ±=θ ,

como es de esperarse, ya que en todo movimiento circular, el vector velocidad siempre es tan-gente a la trayectoria seguida por una partícula como se muestra en la figura 1.35, donde

Tuu −=θ .

1.8.3. VECTOR ACELER Cuando una partícula descplazando, en la ecuación seguida por la partícula, es

Además, al reemplazar la tor aceleración dado por la

ACELERACION ANGUL La aceleración angular se

que tiene dimensión -2T , y Mediante la ecuación (1.6

expresión que solo es váli En síntesis, en un movimtangencial y una compone

y

ACION ( a )

ribe una trayectoria circular, su vector aceleración se obtiene reem-(1.63), el radio de curvatura ρ por el radio R de la circunferencia decir,

N

2

Tdd uua

Rv

tv += . (1.67)

magnitud de la velocidad, de acuerdo con la ecuación (1.66), el vec- ecuación (1.67), se transforma en

N2

Tdd uua Rω

tωR += . (1.68)

AR (α )

define por

tddωα ≡ , (1.69)

unidad rad s 2− .

9), la ecuación (1.68) se puede escribir como

N2

T uua RωαR += , (1.70)

da en un movimiento circular.

iento circular generalmente se tiene una componente de aceleración nte de aceleración normal o centrípeta dadas, respectivamente, por

O

Figura 1.35. Velocidad en el movimiento circular.

xvr

u=R

r

uθ

uΤ


46

αRtva ==

dd

T , (1.71.a)

RRva 2

2

N ω== . (1.71.b)

En la figura 1.36, se muestran las componentes tangencial y normal de la aceleración. 1.8.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Un tipo de movimiento circmagnitud de la aceleración del vector velocidad y por presenta, se tiene un movim En otra palabras, una partíangular es cero. Así, la acebido al cambio en la direcci De acuerdo con lo anterior,

ular se presenta, cuando tanto la magnitud de la velocidad como la permanecen constantes, es decir, cuando solo cambia la dirección ende la dirección del vector aceleración. Cuando esta situación se iento circular uniforme (MCU).

cula tiene movimiento circular uniforme, cuando su aceleración leración únicamente tiene componente en la dirección normal, de-ón del vector velocidad.

la ecuación (1.70) se convierte en

N2

N

2

uua RωRv == . (1.72)

O

Figura 1.36. Aceleración en el movimiento circular.

aT

aN

a

R


47

Igualmentedad son per Una partícua intervalos Si la partícuel período

Además, lanida por

Comparandperíodo, o s

Por la ecuas 1− que se a

símbolo qu La frecuenc

Si en el tieción (1.65),

v

, este tipo de movimiento se caracteriza porque los vectores aceleración y veloci-pendiculares entre sí, como se ilustra en la figura 1.37.

la sometida a un movimiento circular uniforme, posee un movimiento que se repite iguales de tiempo, o sea, que el movimiento es periódico.

la, con movimiento circular uniforme, realiza n vueltas en un tiempo t , se define P , o tiempo que tarda en dar una vuelta completa, por

ntP = . (1.73)

partícula tiene una frecuencia ν , o número de vueltas por unidad de tiempo, defi-

tn=ν . (1.74)

o las ecuaciones (1.73) y (1.74), se encuentra que la frecuencia es el inverso del ea

P1=ν . (1.75)

ción (1.75), se tiene que la dimensión de frecuencia es -1T , es decir, su unidad es costumbra definir como

Hz 1s 1 -1 ≡ ,

e proviene de la palabra Hertz.

ia también se expresa en revoluciones por minuto o rpm, donde

Hz601rpm 1 ≡ .

mpo ot , una partícula con MCU tiene una posición angular oθ , mediante la ecua- se encuentra que su posición angular θ en el instante de tiempo t , está dada por

O

a

Figura 1.37. Vectores velocidad y aceleración en el movimiento circuar uniforme


48

v

tt d)(o

o ∫ω+θ=θt

t

, (1.76)

pero como en este caso la velocidad angular es una constante del movimiento, la ecuación (1.76) se transforma en

)( oo tt−ω+θ=θ , (1.77)

donde ω es una constante del movimiento y θ se expresa en radianes. Esta ecuación corres-ponde a la ecuación cinemática de la posición angular en un movimiento circular uniforme.

Si en el tiempo 0o =t , una partícula con movimiento circular uniforme tiene la posición angu-lar 0o =θ , cuando da una vuelta se tiene que el tiempo y la posición angular, respectivamente, son Pt = y π= 2θ . Reemplazando estos términos en la ecuación (1.77), se obtiene

Pπω 2= , (1.78)

o teniendo en cuenta la ecuación (1.75)

νπ= 2ω . (1.79)

No sobra aclarar que las ecuaciones (1.78) y (1.79), únicamente son válidas para el caso de partículas con movimiento circular uniforme. Ejemplo 1.17. Una piedra, sujeta al extremo de una cuerda, se hace girar de tal manera que describe una cir-cunferencia de radio 30 cm y en un plano horizontal. La posición angular de la piedra está dada por ( ) tt 3=θ , donde θ está dado en rad y t en s. Calcular:

SC

a

O

a

θR

a) La velocidad angular de la piedra. b) La velocidad de la piedra. c) El tiempo que demora la piedra en dar una vuelta. d) El número de vueltas que da la piedra en la unidad de

tiempo. e) La aceleración de la piedra.

olución antidades dadas:

m 30cm 30 .R ≡= , tt 3)( =θ

) Utilizando la definición de velocidad angular, ecuación (1.65), se encuentra que su valor es


49

-1s rad 3=ω .

Este resultado indica que la velocidad angular es independiente del tiempo, de este modo, la piedra tiene un movimiento circular uniforme.

b) Como es un movimiento circular, la velocidad es un vector tangente a la trayectoria segui-da por la piedra. Por consiguiente, de acuerdo con la definición de velocidad transversal (en este caso coincide con la velocidad tangencial) dada por la ecuación (1.64), se encuen-tra que su valor es

1s m 900 −= .v .

c) El tiempo que demora la piedra en dar una vuelta, que corresponde al período, se obtiene reemplazando π= 2θ rad y Pt = , en la expresión dada en el enunciado. Con ello, se en-cuentra que

092.P = s.

d) El número de vueltas por unidad de tiempo, que corresponde a la frecuencia, se encuentra teniendo en cuenta que es igual al inverso del período, así

Hz480.=ν .

e) Como la piedra posee un movimiento circular uniforme, su aceleración coincide con la aceleración centrípeta dada por la ecuación (1.72), obteniendo el valor

2

N s m 702 −== .aa .

Ejercicio 1.25. Responda las siguientes preguntas, teniendo en cuenta la situación planteada en el ejemplo 1.17. a) ¿Cuál es el valor de la aceleración angular de la piedra? ¿Por qué? b) ¿Por qué razón la piedra está sometida a una aceleración, si la magnitud de la velocidad

permanece constante? c) En la situación considerada, ¿el vector aceleración es paralelo a la cuerda? Para responder

esta pregunta, lleve a cabo el experimento. 1.8.5 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Cuando la aceleración angular de una partícula permanece constante, se dice que tiene un mo-vimiento circular uniformemente acelerado, es decir, que tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad cambian con el tiempo. Como consecuencia, la velocidad angular tam-bién varía con el tiempo.

Ahora, si una partícula en el instante ot tiene una velocidad angular oω y se mueve con una aceleración angular α , la velocidad angular ω en el instante de tiempo t , está dada por

)( oo ttωω −α+= , (1.80)


50

donde se ha utilizado la ecuación (1.69). Esta ecuación corresponde a la ecuación cinemática de velocidad angular en un movimiento circular uniformemente acelerado. Por otro lado, al reemplazar la ecuación (1.80) en la ecuación (1.76), luego de integrar y eva-luar se llega a

2o2

1ooo )()( ttttωθθ −α+−+= , (1.81)

que es la ecuación cinemática de la posición angular de una partícula con movimiento circular uniformemente acelerado. Ejemplo 1.18 La partícula de la figura, describe una trayectoria circular de radio m250. y con una acelera-ción total de 2s m 09 −. . En el instante mostrado, calcular: a) La aceleración tangencial de la partícula. b) La aceleración centrípeta de la partícula.

Solución a) Para conocer la aceleración

ración total que es paralela a

b) De igual manera, la aceleracla aceleración en la dirección

a

Ejercicio 1.26. Calcule la velocidad de la partíc 1.8.6 VECTOR VELOCIDAD A En esta sección, se define la veltidad que tiene magnitud y direc

va 30o

0.25 m

tangencial de la partícula, se halla la componente de la acelela velocidad, es decir

..a 22T s m 5430sens m9.0 −− ==

ión centrípeta de la partícula corresponde a la componente de radial, o sea

... 22N s m 79730coss m 09 −− ==

ula, para el instante mostrado en la figura del ejemplo 1.18

NGULAR

ocidad angular como una cantidad vectorial, es decir, una can-ción.


51

Se define el vector velocidad angular, como un vector perpendicular al plano en el cual se mueve la partícula, cuyo sentido está dado por la regla de la mano derecha, y que gira sobre sí mismo en el sentido que se mueve la partícula. Por la ecuación (1.66), se tiene que la magnitud del vector velocidad está dada por

pero de la figura 1.38, se

por lo que al reemplazar

donde γ es el ángulo ent Ahora, por definición deforma vectorial

expresión válida solo padad es perpendicular tancondición de validez gen De acuerdo con la ecuacleración angular, es decir

Derivando la ecuación (encuentra que el vector a

z

Rv ω= , (1.82)

tiene que γsen rR = , (1.83)

la ecuación (1.83) en la ecuación (1.82), se obtiene

γω senrv = , (1.84)

re el vector velocidad angular ω y el vector posición r .

l producto cruz o vectorial, es posible escribir la ecuación (1.84) en la

rωv ×= , (1.85)

ra movimiento circular. Como resultado se tiene que el vector veloci-to al vector velocidad angular como al vector posición, siendo esta eral.

ión (1.69), si la velocidad angular es un vector, también los es la ace-

tddωα ≡ . (1.86)

1.85) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta la ecuación (1.86), se celeración está dado por

x

y

r

v

w

O

Figura 1.38. Velocidad angular como vector.

R

γ


52

)( rωωrαvωrαa ××+×=×+×= . (1.87)

En el caso de una partícula con movimiento circular uniforme, donde la aceleración sólo tiene componente en la dirección centrípeta, la ecuación (1.87) se transforma en

)( rωωvωa ××=×= . Como se muestra en la figura 1.39, el producto vectorial vω× apunta hacia el centro de la

circunferencia y su m

ya que los vectores ve 1.9. VELOCIDADES Existe una velocidad sobrepasar. Esta velocpero por razones de co Las velocidades que acidades muy pequeñaviajar por la Costa Atgrande, pero si se le ccir, es una velocidad d En el laboratorio, es pcidades comparables

0,999.0,99.0,9.0 ccccidad de la luz, respec

z

agnitud está dada por

Ra 2ω= ,

locidad angular y velocidad son perpendiculares.

ALTAS Y VELOCIDADES BAJAS

límite o máxima, que las partículas no pueden alcanzar y mucho menos idad es la velocidad de la luz cuyo valor es 810×99792458.2=c m s 1− , modidad se aproxima a 810×3=c m s 1− .

dquieren los cuerpos macroscópicos que se observan a diario, son velo-s o bajas, comparadas con la velocidad de la luz. Por ejemplo, es común lántica a una velocidad de 100 km h 1− . Esta velocidad aparentemente es ompara con la velocidad de la luz, es sólo el 61039 −×. % de ella, es de-espreciable frente a la velocidad de la luz.

osible que partículas microscópicas, como los electrones, alcancen velo-con la velocidad de la luz. Por ejemplo, pueden alcanzar velocidades de

,9999. c que corresponden al %90 , %99 , %.999 , %.9999 de la velo-tivamente.

x

y

r

va

ω

O

Figura 1.39. Vectores velocidad y aceleración en el MCU.


53

Lo anterior, lleva a clasificar las velocidades entre bajas y altas, donde se tienen velocidades bajas si la magnitud de la velocidad v de una partícula cumple la relación cv << , y se tienen velocidades altas cuando se tiene cv ~ . El modelo de la cinemática que se ha analizado, o modelo clásico, únicamente es válido en el rango de velocidades bajas, esto es, cuando cv << . Para partículas, con velocidades comparables a la velocidad de la luz ( c~v ), el modelo váli-do se conoce como relatividad especial, y los postulados en los que descansa este modelo lle-van a cambios drásticos tales como el hecho que la longitud de una varilla a alta velocidad sea menor que cuando se encuentra en reposo, esta y otras consecuencias se han podido demostrar experimentalmente. En este curso, se consideran partículas en movimiento con velocidades que son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Ejemplo 1.19. Las coordenadas de una partícula en movimiento, en función del tiempo, están dadas por

tAytAx ω=ω= cosy sen . Determinar a) La trayectoria seguida por la partícula. b) La magnitud de la velocidad de la partícula en cualquier instante. c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula, en cualquier instan-

te. d) El sentido de movimiento de la partícula. Solución a) De acuerdo con el enunciado, el vector posición de la partícula en función del tiempo, está

dado por )cos(sen jir ttA ω+ω= ,

Por lo que al aplicar el teorema de Pitágoras, se encuentra que su magnitud es

.Ar = O sea, que la magnitud del vector posición de la partícula es constante mientras la partícula

se mueve. De este modo, la partícula describe una trayectoria circular de radio AR = . b) Empleando la definición de velocidad, se encuentra que está dada por

)sen(cos jiv ttA ω−ωω= ,

por lo que su magnitud es .Av ω=

es decir, que la partícula se mueve de tal forma que la magnitud de su velocidad permanece constante, en otras palabras, tiene un movimiento circular uniforme. c) Como la magnitud de la velocidad es independiente del tiempo, la componente tangencial

de la aceleración ( tva ddT = ), que es una consecuencia del cambio en la magnitud de la velocidad, es cero.


54

La componente normal o centrípeta de la aceleración, que proviene del cambio en la direc-

ción del vector velocidad, en este caso coincide con la aceleración total de la partícula, es decir

rjia 22 )cos(sen ω−=ω+ωω−= ttA ,

por lo que su magnitud está dada por .Aaa 2

N ω==

Como se esperaba, la magnitud de la aceleración de la partícula permanece constante. d) Para determinar el sentido de movimiento de la partícula en la trayectoria circular, se con-

sidera el punto P de la siguiente figura.

Cuando la partícula pasa por el p

s

Como en ambos casos se cumplla velocidad, se obtiene v ω−=ria circular de radio A , con mov Ejercicio 1.27. Para la partícula considerada en a) ¿Cuál es la posición inicial

de la partícula en la gráfica b) Determine la relación mate

quier instante. ¿Qué ángulo c) Compruebe que se satisfaced) ¿Cuál es la aceleración angu

1. Una partícula se mueve dur

velocidad media de la partíca) ¿Qué se puede decir acerca

y

unto P sus coordenadas son Ax = y 0=y , o sea que

0cosó1en == tt ωω .

e que 2πω =t , al reemplazar este valor en la expresión para jA , lo cual indica que la partícula se mueve en una trayecto-

imiento circular uniforme y en sentido horario.

el ejemplo 1.19: de la partícula si 0o =t ? ¿Cuál es la posición correspondiente anterior? mática entre el vector posición y el vector velocidad, en cual-forman estos dos vectores? ¿Por qué? la expresión .Rva 2

N = lar de la partícula? ¿Por qué?

PREGUNTAS

ante un intervalo de tiempo t∆ . En este intervalo de tiempo, la ula es cero. del desplazamiento de la partícula?

R=A

P

?

?

a xO


55

b) ¿Cómo es la trayectoria seguida por la partícula? c) ¿Existe solo una trayectoria posible?

2. Una partícula describe una trayectoria en la cual el vector velocidad siempre es perpendi-

cular al vector posición. ¿Cuál es la trayectoria seguida por la partícula? 3. Una partícula describe una trayectoria en la cual el vector velocidad siempre es perpendi-

cular al vector aceleración. ¿Qué movimiento tiene la partícula? 4. “Un auto de carreras recorre una curva con velocidad constante”. ¿Es correcta esta afir-

mación? 5. Un proyectil se lanza con una velocidad que forma un ángulo diferente de cero con la ho-

rizontal. Desprecie los efectos del aire. a) ¿Cuáles cantidades físicas permanecen constantes durante el movimiento? b) En algún instante, ¿se hace cero la velocidad? c) En algún instante, ¿el vector velocidad es perpendicular vector aceleración?

6. Cuando la velocidad de una partícula se hace cero, ¿necesariamente su aceleración es ce-

ro? 7. El símbolo )(tv se puede interpretar como “la velocidad en función del tiempo” o como

“el producto de la velocidad por el tiempo”. En las siguientes igualdades, ¿qué interpreta-ción se da a )(tv ?

a) .t)s m 5()t( 1 iv −−= b) iv t)s m 3.4()t( 2−= . 8. Para un cuerpo que se lanza desde el piso, verticalmente hacia arriba, se toma el sistema

de referencia de tal manera que la dirección positiva del eje y apunta verticalmente hacia abajo. Entre qué puntos:

a) ¿La velocidad es positiva? b) ¿La velocidad es negativa? c) ¿La aceleración es positiva? d) ¿La aceleración es negativa? e) ¿El movimiento es acelerado? f) ¿El movimiento es desacelerado? 9. Desde un balcón, se lanza la piedra A verticalmente hacia arriba y la piedra B vertical-

mente hacia abajo. Si las velocidades con que son lanzadas tienen igual magnitud, ¿para cuál piedra es mayor la magnitud de la velocidad, justo antes de chocar con el piso?

Cinematic A

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