cimentacion de maquinas

Cimentación de Maquinas Ing Pedro Obando Oyola

CIMENTACIÓN DE MAQUINAS

PRELIMINARES

Capitulo 1

PRELIMINARES

En las

figuras mostradas se tiene un bloque de concreto y una placa del mismo material que se usan para construir elementos que transmiten al terreno las cargas generadas por los pesos propios y por cargas de tipo dinámico generadas por maquinas que hacen que la resultante de la combinación de ambas caiga en algún punto de la base; cuya posición es variable debido a que la resultante tiene una fuerza variable Fo. . Esta condición hace que si el eje neutro corta a la sección transversal la divida en dos partes, en una de las cuales todos los puntos que se encuentren en ella están en tracción, mientras que los puntos que se encuentran en la otra parte están en compresión.

El concreto material usado en cimentación de maquinas es un material compuesto ( mezcla de piedra , arena cemento y agua) que soporta muy bien los esfuerzos de compresión, pero la resistencia a esfuerzos de tracción es pequeña y en la práctica se considera que es cero.

Debemos evitar que en los cimientos, elementos sometidos generalmente a flexo compresión el eje neutro corte a la base.

Veremos a continuación que en todas las sesiones transversales existe una porción de área denominada núcleo central que tiene una propiedad muy importante, que consiste en que si la fuerza resultante de la cargas de las fuerzas que actúan sobre el cimiento caen dentro de esta área o en su periferia el eje neutro no cortará a la sección transversal y por lo tanto en el cimiento no se presentaran esfuerzos de tracción.

El estudio que realizaremos a continuación tiene por finalidad la determinación de esta área para diversas secciones transversales

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Núcleo Central

Cuando se tiene un elemento sometido a una fuerza Normal y momentos flectores el eje neutro puede o no cortar a la sección transversal. Con referencia a la figura 1.1, cuando el eje neutro a-a la corta en la sección aparece dos zonas una que está en tracción, y otra que en compresión. Si el eje neutro b-b no corta a la sección transversal los esfuerzos serán sólo de tracción o solo de compresión.

Si en cambio el eje fuera tangente a un punto cualquier de la sección (eje c-c y eje d-d, etc. ) los esfuerzos en estos puntos serían nulos y máximos en puntos opuestos pero siempre del mismo signo.Si se trazan todas las líneas neutras posibles alrededor de una sección , los puntos de aplicación de todas las fuerzas correspondientesdarán origen a un perímetro que encerrara una porción de superficie S que se llama Núcleo Central de la Sección al l cual lo definiremos como el lugar geométrico de la sección en donde si se aplica una fuerza excéntrica de compresión, los esfuerzos que genera esta fuerza en toda la sesión transversal serán de compresión(o de tracción en caso que la fuerza sea de

tracción )

El núcleo central es de vital importancia cuando se estudia elementos construidos con materiales frágiles, los cuales como ya se dijo su resistencia a la tracción es casi nula, y que serán sometidos a flexo-compresión. Entre los materiales frágiles que carecen de capacidad para resistir esfuerzos de tracción, tenemos el hierro colado, la fundición gris, el hormigón la piedra, etc. estos dos últimos materiales usados en la construcción en cimentación de maquinas.

Con referencia a la sección transversal 1.2 los ejes x-y son ejes principales y centrales y forman con el eje z un triedro derecho. Supondremos que la sección transversal está sometida a una fuerza axial de

tracción N (+) y a los momentos positivos y .

El eje neutro generado por estas cargas está ligado en la determinación del núcleo central .

Cuando se tiene una sección sometida a la acción de la

fuerza normal N y dos momentos flectores el

Fig. 1.2

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esfuerzo normal en cualquier punto de la sección es:

1.1

La ecuación del eje neutro se obtiene haciendo con lo cual la ecuación del eje neutro será:

Que corresponde a la de una recta de la forma y= mx+b, en la cual la pendiente de la recta es el coeficiente de la variable x de la ecuación 1.3

El sistema mostrado en la figura 12 es equivalente a una fuerza aplicada en un punto P de coordenadas P = ( xo , yo ) siendo

Siendo A el área de la

sección transversal y kxx, y kyy los radios de giros con respecto a los ejes x e y respectivamente. Remplazando en los datos indicados en la ecuación 1.1 tenemos

o su equivalente

Como N y A no son nulas el termino entre paréntesis debe ser nulo para que se cumpla la ecuación (1.5) en consecuencia el eje neutro es independiente de la carga N y el área A y su ecuación es y su ecuación se reduce a la ecuación (1.6)

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La cual se puede escribir de la siguiente forma

eje x, y b es el punto donde el eje neutro corta al eje y siendo sus valores

( 1.8)

Teorema 1

Si los momentos de inercia con respecto a los ejes

principales y centrales son iguales el

eje neutro es paralelo al vector momento

cuya pendiente es

Fig 1.3

Siendo las inercias iguales, la ecuación 1.4 nos da lar pendiente del eje neutro

que igual a la pendiente con lo cual se concluye que el eje neutro y el

vector momento son paralelos.

Teorema 2

Si los momentos de inercia y el vector momento es paralelo al eje neutro

uno de los momentos son mulos.

Si el vector momento es paralelo al eje neutro se tiene por el teorema 1 que m = m1

Es decir

O su equivalente

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El termino entre paréntesis no puede ser nulo por ser lo que implica que

si las tangentes son iguales sus cotangentes también lo son por lo tanto se

tiene

Para que se cumpla la ecuación anterior es necesario que M xx =0

Corolario 1

Si la carga actúa en uno de los ejes el eje neutro es paralelo al otro eje . Si la fuerza

N actúa en el punto

Figura 1,4

Teorema 3

Si el punto de aplicación de la carga N se desplaza sobre una recta L el eje neutro gira en torno de un Punto P = (x, y) que puede considerarse que se encuentra en el infinito si la recta pasa por G

Si P1 = (x0 , yo) pertenece a la recta L, y p es la distancia del origen a la recta siendo eP el vector unitario perpendicular a la recta L que forma un ángulo α con el eje de las x . Las componentes del vector ep será . La ecuación de la

recta L tiene por valor

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Efectuando la ecuación (1.9)

tenemos las ecuaciones

Fig. 1.4

En la ecuación (1.11) son variables

Obsérvese que de la Figura (4) se puede obtener

La ecuación 1.11 es la ecuación de la recta L , por ser variables.

El eje neutro según la ecuación (1.6) es

Obsérvese que la ecuación 1.6 no representa ahora un solo eje neutro sino infinitos

ejes neutros Para tenemos el eje neutro

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Y así para se tiene

Vamos ahora a demostrar que los infinitos ejes neutros representados por la ecuación 1.6 pasan por un punto P. se tiene que cortar en un punto o ser paralelos Punto que puede suponerse en el infinito cuando la recta L pase por G. y sus coordenadas serían

Sumando las ecuaciones (1.6) con (1.11).se tiene la ecuación de las familias de rectas que satisfacen a ambas ecuaciones

o su equivalente

(1.13)

Para que se cumpla la ecuación (1.13) es necesario que cada paréntesis sea iguales a cero y a partir de los cuales se obtienen la coordenadas del Punto P =(x,y)

Luego todos los ejes neutros dados por la ecuación (1,6) pasan por el punto

Las ecuaciones (1.9ª) y (1.9b) que se obtuvieron de la figura 1.4 tienen por valor

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Cuando la carga pasa por G, el valor de p es 0 remplazando en la ecuación 1.14 se

tiene que Los ejes neutros se cortan en el infinito al ser

Los valor (1.14 a)y (1.14b) remplazando en la ecuación (1.11) definen a la ecuación de la recta L

L :

Y el punto P donde giran los ejes neutros cuando la carga se desplaza sobre la recta L como

Fig. 1.5

CASOS PARTICULARES

Si la recta L es paralela al eje x

El vector unitario perpendicular a L y p será b

siendo ,

Primer Caso

Cuando la carga se desplaza sobre la recta L paralela al eje x. de ecuación L : y = yo los ejes neutros giran en torno de P Situado sobre el otro eje

Fig. 1.6

En este caso b = yo, y Empleando (1,15)

(1.16)

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Segundo caso Cuando la carga se desplaza sobre una recta L paralela al eje y, de ecuación L : x =xo

Los ejes neutros giran en torno del punto P situado sobre el otro eje

Fig.1.7 En este caso a = xo,

Teorema 4

Si el punto de la carga N se desplaza sobre la recta L los ejes neutros giran en torno del

punto pero cuando la carga se aplique en P el eje neutro es L

La recta L definida por la ecuación 1.10 se puede escribir como

El punto de aplicación de la carga según se vio por la ecuación (1.14) y (1,15)

Fig.1.8

Punto que satisface a la ecuación del eje neutro determinado por la ecu Remplazando los valores de xo e yo en la ecuación (1.6) tenemos

La cual simplificada se reduce a la ecuación de la recta L definida por (1.11)

Con lo cual queda demostrado el teorema 4

Si la ecuación (1.6) la expresamos como

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La ecuación del eje neutro es de la forma

Fig.1.9

Siendo

l En la figura 8 se muestra una sección rectangular de base b y altura h en el cual se pueden trazar cuatro rectas

tangente : que coincide con AB

que coincide con BC que

coincide CD y que coincide con DA

Como existen cuatro rectas tangentes al contorno que coinciden con los lados del rectángulo el núcleo central tendrá 4 vértices 1,2,3,y4

Usando el teorema 3. Cuando la carga recorra la recta L1

que pasa por A y B los ejes neutros giran en torno de 1. El punto 1 se determina cuando la carga N esta en el punto medio P1, de AB Cuando la carga se desplaza sobre

la recta L2 recta que pasa por B y C los ejes neutros giran en torno del punto 2. El punto 2 se determina cuando la carga N esta en P2,,punto medio de BC. Cuando la carga N recorre la recta L3 los ejes neutros giran en torno del punto 3. El cual se determina cuando la carga esta en el punto media P3 en forma análoga se determina el punto 4.

Según el teorema 4 Cuando la carga N recorra la recta determinada por 1-2 los ejes neutros giran en torno de B. Siendo AB eje neutro, cuando la carga N esta en 1 y BC cuando la carga esta en 2.

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Para una sección T. Usando el método usado en el caso del rectángulo de Tiene que cuando la carga N se desplaza sobre L1. Los ejes neutros giran en torno al punto 1 .

Cuando la carga se aplique en 1 El eje neutro coincide con AB . En forma análoga cuando la carga se aplique en 2 el eje neutro pasa por Ay B en forma similar se procede para los puntos 3 y 4

MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS VÉRTICES DEL NÚCLEO CENTRAL

La determinación de los vértices del núcleo central se basa en la aplicación de los teoremas 3,y 4 los casos particulares que de ellos se concluyen , El procedimiento a seguir seria;

1 Determinemos el centroides G de la sección

2.- Determinar los ejes principales y centrales de inercia ( que pasan

por G, 3.- Determinar los momentos de inercia con respecto a los ejes principales y centrales 4.-Determinar los radios de giro con respecto a los mejes principales y centrales 5.- Determinar el número de tangentes que se pueden trazar al perímetro de la sección de la sección cuyo núcleo central se quiere determinar 6.- Considerar que sobre estas tangentes se desplazara la carga N de compresión 7.- Se debe determinar los puntos en que estas tangentes cortan a los ejes principales y centrales (al eje x en ai y al eje y en bi)

8) Determinar las coordenadas del punto = en

donde giran los ejes neutros cuando la carga se desplaza sobre la tangente

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punto que será el vértice del múleo central. Procediendo de la misma manera para las demás tangentes se tienen los n vértices del núcleo central. En consecuencia el núcleo central tendrá tantos vértices como tangentes se tengan .

Ejemplo N 1

Determinar el núcleo central de un rectángulo de base b y altura h

Los ejes x- y son ejes principales y centrales .Las inercias y los radios de giro serán

Al contorno del rectángulo se pueden trazar 4tangentes .La rectas L11 que corta al eje x en

y al eje y en cuando la carga se desplace

sobre esta recta los ejes neutros giran en torno del punto

La recta L22 corta a x en y

al eje y en . Cuando la cargase desplace sobre la recta L22 el punto P2 tendrá por coordenada

L a recta L33 cota a x en

y a y en obteniéndose el punto . La recta L44

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corta al eje x en y al eje y en obteniéndose el punto Los cuatro

puntos son los vértices del núcleo

Ejemplo Nº2

Determinar el núcleo central de una sección circular de radio R

Para el circulo cualquier sistema de ejes ortogonales que pasen pos G son ejes principales y centrales, es decir que existen infinitos sistemas ortogonales que son principales y centrales L

os momentos con respecto a cualquiera de los ejes x e y son

En el círculo existen infinitas tangentes que cortan a los ejes principales en ai = y bi = R .

Para las infinitas rectas tangentes al contorno del círculo existen infinitos puntos

de coordenadas

Lo que nos indica que todos los puntos distan del G una distancia R/4. En consecuencia el núcleo central es un

círculo de radio

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Ejemplo 3 Determinar el núcleo central del triangulo rectángulo ABG cuyos ejes centrales son e son ejes centrales pero no centrales .Sabemos que los momentos de inercia con respecto al eje u-u y al eje son:

Siendo el producto de inercia igual a

en donde A es el área del

triangulo

Determinemos los ejes principales y centrales que pasan por G para lo cual se necesita determinar previamente los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes e

Determinemos los momentos de inercia con respecto a los ejes principales

=

Determinemos el ángulo α que forman los ejes principales y centrales con respecto al eje

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Determinemos los radios de giro

Coordenadas de os vértices referidas a los ejes e

Determinemos las coordenadas en de A ,B, y C con referencia a los ejes x-y Usando la transformación de coordenadas

cm

Ecuación de la recta AB referida al sistema x-y

Recta que corta a los ejes en

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Ecuación de la recta AC

La recta corta a los ejes en

Ecuación de la recta BC

La recta corta a los ejes en

Determinemos la coordenada de los vértices del núcleo central que serán

Cuando el eje neutro sea AB se tendrá el punto P1 de

coordenadas

Cuando el eje neutro sea BC se tendrá P2

Cuando el eje neutro es BC se tiene el punto P2 . Cuando el eje neutro es AC el punto será P2

Ejemplo Nº4

Determine el núcleo central para la figura mostrada

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Solución determinemos el centro de gravedad G Considerando el rectángulo de 80 cm x20 cm y el triángulo de 80x50

A1 = 80x20 = 1600 mm2

A2 = 80x30/2 = 1200 mm2

Área total = 2800 mm2

Cuando la recta AE es el eje neutro su ecuación es

y = - 18.75 y corta a los ejes en

de donde se obtiene el punto 1

Cuando el eje neutro es DE se obtiene el P2

Cuando el eje neutro es AB el punto se obtiene es

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Cuando recta CD es el eje neutro pendiente y que pasa por C de

coordenadas de ecuación

Que corta a los ejes en x = a = 41.90 mm y =b = 31.43 mm se obtiene el punto P4

Cuando el eje neutro es CD se obtiene el punto P5 uniendo los cinco

puntos se tiene el núcleo central

Ejemplo 2

Para el angular L de 10cm x10 cm x1cm Se conoce los momentos de inercia y los radio de giro con respecto a los ejes principales y centrales x-y

Para determinar el núcleo, Los ejes neutros deben ser la recta AE, la recta AB la recta BC, la recta DC y la recta DE . para ello es necesario determinar en donde estas rectas cortan a los ejes x e y esto se consigue si se determinan BG , GT y GM (Ver figura)

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Cuando el eje neutro es AE de obtiene de un punto de

en donde

Cuando CD es el eje neutro se obtiene , CD esta recta corta a los ejes x.y en a =

10,15, b = -10,15 siendo . Cuando la fuerzai se aplique en el

eje neutro será DE

Si la carga se desplaza sobre ED los ejes neutros giran en torno de un punto la recta

ED corta al eje x en y al eje y en el punto

los cinco puntos determinados forman el

perímetro del núcleo central.

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