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ANÁLISIS DEL CICLO ECONÓMICO:
DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES
INFORMÁTICA APLICADA AL ANÁLISIS ECONÓMICO
Instituto L.R. Klein. Universidad Autónoma de Madrid. Octubre 2002
D. Julian Moral Carcedo
Dep. Análisis Económico: Tª Económica e Historia Económica
Universidad Autónoma de Madrid
Análisis del Ciclo Económico Página 3
1.-INTRODUCCION
A pesar de que en Economía carece de sentido considerar que los hechos se
repiten estrictamente, si es cierto que en muchas macromagnitudes se observan de
manera recurrente fases de aceleración a las que siguen fases de contracción y
viceversa, esta sucesión de aceleraciones-contracciones se asocia tradicionalmente a la
idea de ciclo.
Tal y como expone el Instituto Nacional de Estadística (INE) en su publicación
Sistema de Indicadores Cíclicos de la Economía Española: “las economías de mercado
experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y
diverso de magnitudes: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales
oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de
amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.”
De esta definición, derivada de los pioneros trabajos de Burns y Mitchell en el
National Bureau of Economic Research (NBER), se extraen inmediatamente dos
características básicas en el estudio del ciclo económico: la variabilidad en la
evolución del ciclo y la existencia de fluctuaciones en un amplio conjunto de
indicadores o comovimientos. Esta última característica es la que resulta más interesante
desde el punto de vista de la Teoría Económica, existiendo un amplío número de
investigaciones sobre la caracterización y explicación de las fluctuaciones entre
variables. Una revisión parcial de los mismos desde una perspectiva histórica puede
consultarse en Zarnowitz (1991), Zarnowitz (1996) ó Kydlan (1995), entre otros.
En el estudio de las fluctuaciones tradicionalmente se han empleado dos
enfoques complementarios, uno eminentemente empiricista o descriptivo en el que se
atiende principalmente al estudio de las características cíclicas: número de ciclos,
duración total, duración de las fases de aceleración, correlaciones entre variables,
relaciones de adelanto-retraso (“lead and lag”), etc. y de otra parte un enfoque teórico,
en el que se estudia la “habilidad” de un conjunto de “priores” teóricos, plasmados en
relaciones y modelos matemáticos, en la replicación de fluctuaciones cíclicas y
comovimientos observados.
En este documento prestaremos especial atención al primero de los enfoques, y
de manera más concreta a la problemática derivada de la estimación del componente
cíclico, paso ineludible en la caracterización cíclica de cualquier variable.
Análisis del Ciclo Económico Página 4
La necesidad apuntada de tener que estimar el componente cíclico, es indicativa
del modelo que subyace en el tratamiento que daremos a este tema. La hipótesis de los
componentes subyacentes (HCS)1 tan conocida , es el punto de partida en el análisis
cíclico, estableciéndose un conjunto de técnicas más o menos complejas con el objetivo
de “distinguir-estimar” cada uno de los componentes. En Uriel (1995) pueden
encontrarse la descripción de algunos de los métodos tradicionales de descomposición
de series, y en Fischer (1995) un breve repaso a la historia de los métodos de
descomposición, así como una interesante comparación y descripción de los diferentes
procedimientos utilizados por Eurostat en la desestacionalización de series temporales.
Al ser un tema tratado con asiduidad desde hace mucho tiempo, existen muchos otros
trabajos sobre esta materia y rara es la publicación que verse sobre Series Temporales
que no contenga alguna referencia al respecto.
RECUADRO I
-4
-2
0
2
4
6
8
10
70 75 80 85 90 95 00
TASA INTERANUAL DE CRECIMIENTO DEL PIB
“Las economías de mercado experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y diverso de series: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.” (National Bureau of Economic Research)
1 La HCS expone que una serie temporal tY puede descomponerse en todos o alguno de los siguientes
elementos: Tendencia ( tT ), Ciclo ( tC ), Estacionalidad ( tE )e Irregularidad ( tI ).
Análisis del Ciclo Económico Página 5
2.- EL ESTUDIO DEL CICLO ECONÓMICO. OBJETIVOS Y UTILIDADES
Una de las características más sobresalientes de las economías de mercado es la
existencia de ciclos en la actividad productiva, es decir, en la sucesión recurrente de
fases recesivas y expansiones en un conjunto amplio de indicadores, indicadores
relacionados con la evolución de un conjunto de variables macroeconómicas clave, tales
como el PIB, el empleo, inflación, tipos de interés, saldo exterior, etc.
Esta sucesión de fases demuestra como la actividad económica es
inherentemente inestable, resultando se suma utilidad no sólo explicar el porque de estas
oscilaciones, sino el modo en que estas se producen, a que variables afectan, el como se
propagan y en última instancia como pueden anticiparse y como mitigarse. Estos
objetivos constituyen la finalidad del estudio del ciclo económico, campo de la teoría
económica con innumerables aportaciones en los últimos 70 años y aún vigente en la
actualidad, dado que como sucede en numerosas ocasiones en Economía, no existe aún
una teoría generalmente aceptada, sino más bien diferentes aproximaciones que
permiten explicar determinadas características observadas en los datos económicos.
RECUADRO II: CICLO ECONÓMICOS. ALGUNOS TIPOS
• Ondas de Kondratieff, este economista ruso planteaba la existencia de ciclos l argos de entre 40
y 60 años. Sin evidencias empíricas claras.
• Ondas de Kuznets, ciclos de 20 años en variables como el PNB, emigración y población. Con
evidencia empírica.
• "Building cycle". Evidencia de la existencia de ciclos de 15-20 años en el sector de la
construcción.
• Ciclos de Hansen, este economista plantea la existencia de ciclos "mayores" de período 6-11
años (debidos a cambios tecnológicos) junto con ciclos "menores" de duración entre 2 -4 años (
ciclo de inventario/ existencias).
• Business cycle, definidos por el NBER (National Bureau of Economic Research) como un tipo
de fluctuación encontrado en la actividad económica agregada, de duración media 4 años y
rango entre 1-12 años.
• Sub-ciclos de Mack, llamados así por tener una duración corta de 24 meses, encontrados en
series de pedidos, precios, inventarios, etc….
GRANGER .Spectral analysis of economic time series.1964.
Análisis del Ciclo Económico Página 6
Aun cuando se prescinda de la carga teórica explicativa del ciclo, el estudio
puramente descriptivo o empiricista de las características cíclicas de las diferentes
magnitudes económicas proporciona una visión valiosa sobre la coyuntura económica.
El estudio de los comovimientos entre variables, la duración de las fases de aceleración
y desaceleración, etc. permite interpretar adecuadamente, así como anticipar a modo de
escenarios posibles, la evolución de la economía.
Al margen de las explicaciones teóricas, el objetivo de este documento es
proporcionar una introducción a la problemática derivada de la estimación del ciclo
económico, revisando algunas de los conceptos y técnicas más utilizadas con especial
atención a la metodología subyacente en los programas informáticos TRAMO y SEATS 2 , así como a la exposición teórica del filtro de Hodrick-Prescott, técnica profusamente
utilizada en el análisis del ciclo económico.
2.1.-DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES
Dada la naturaleza de las variables estudiadas en Economía es habitual que éstas
exhiban una evolución temporal que puede a su vez dividirse en 4 tipos de movimientos
característicos en función de la duración de los mismos:
• Tendencia, )(tT ,que representa la evolución a largo plazo de la serie. Está
asociada con movimientos de larga duración cuyo período es superior a los 32
trimestres (ocho años). Este componente suele asociarse con los determinantes
del crecimiento económico: progreso técnico acumulado; evolución del stock de
capital físico; nivel, composición y cualificación (capital humano) de la fuerza
de trabajo.
• Ciclo, )(tC movimientos oscilatorios en torno a la tendencia, generalmente
reflejan oscilaciones de duración comprendida entre 2 y 8 años, sin embargo se
admiten especificaciones del ciclo de duración por encima y por debajo de estos
límites. La distinción entre tendencia y ciclo, sobre todo las oscilaciones
comprendidas entre cinco y diez años resulta muchas veces problemática. La
2Programas desarrollados por Agustín Maravall y Victor Gómez.
Análisis del Ciclo Económico Página 7
escasa longitud de la mayoría de las series macroeconómicas junto con la
complejidad de estimar de forma excluyente la tendencia o el ciclo, hacen esta
tarea especialmente difícil. Por otra parte muchos de los factores que afectan a la
tendencia son responsables también del comportamiento cíclico, de forma que
no es conveniente ni posible imponer una distinción clara, por esta razón se
suele manejar habitualmente un componente de ciclo-tendencia compuesto por
ambos.
• Estacionalidad, )(tE ,o patrón repetitivo de duración igual al año. Se trata de un
movimiento periódico o cuasiperiódico de duración inferior o igual al año.
Viene determinado, principalmente, por factores institucionales, climáticos y
técnicos que evolucionan de forma suave, desde una perspectiva a largo plazo.
Este componente suele carecer normalmente de interés, dado que carece de
contenido económico relevante, por eso se suele filtrar (eliminar) la
estacionalidad de la mayoría de variables antes de proceder a su análisis.
• Irregularidad, )(tI o movimientos esporádicos y sin un patrón determinado.
Dado que no contienen información relevante es necesaria su eliminación a fin
de interpretar adecuadamente la evolución de la variable.
Gráfico 1.-Índice de Producción Industrial. Componentes ciclo-tendencia y estacional-irregular
400
600
800
1000
1200
1400
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
IPI HPTREND03
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
EST.+IRREG.
Análisis del Ciclo Económico Página 8
Según estas definiciones, una serie temporal, )(tY , puede admitir una
descomposición del tipo:
)()()()()( tItEtCtTtY +++= (esquema aditivo)
)(*)(*)(*)()( tItEtCtTtY = (esquema multiplicativo)
)()(*)(*)()( tItEtCtTtY += (esquema mixto)
En todo caso hay que destacar que este tipo de descomposición a veces no es
posible, o no es total, dado que en función de la naturaleza y periodicidad de los datos
(series anuales, trimestrales, mensuales, diarias, etc,...) alguno o la totalidad de los
componentes pueden no existir. Asimismo hay que señalar que dado que los
componentes no son observables directamente no existe una total unanimidad en la
definición de los mismos, por lo que existe la posibilidad de que utilizando diversos
métodos y definiciones obtengamos estimaciones de los componentes totalmente
diferentes.
Partiendo de la inobservabilidad de los componentes se hace necesario
determinar a priori las especificaciones de cada uno de los componentes, de aquí que
sea muy habitual encontrarse diversas caracterizaciones de los mismos conforme a los
priores que asuma el investigador.
2.2.-METODOLOGIA UCARIMA DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES
TEMPORALES
La metodología UCARIMA (“unobserved components ARIMA”) asume que
tanto la serie observada como los componentes inobservables responden a modelos
ARIMA, cómo veremos la estimación de los mismos no consiste más que en la
aplicación de filtros de características adecuadas. La ventaja que aporta este método está
ligada a la estimación-especificación previa de un modelo a la serie observada lo que
resuelve los problemas de adecuación del filtrado a la naturaleza de las series. De
manera adicional, este método permite la obtención de medidas estadísticas de
confianza sobre la estimación, así como efectuar predicciones sobre los componentes.
Análisis del Ciclo Económico Página 9
Dado que este tipo de metodología es la utilizada en el programa SEATS procederemos
a continuación a desarrollar someramente el contenido teórico subyacente.
El esquema más extendido de descomposición de series temporales, supone que los
componentes responden a las siguientes especificaciones (Quilis, 1997):
• Tendencia: Se asume que responde a un PGD del tipo:
tTTtd BTB ,)()1( εΘ=− ; ),0(...~, TtT Ndii σε
Es decir, se asume que la tendencia presenta d raíces unitarias ( d normalmente
menor que 3) modulada por un operador de medias móviles de orden igual o inferior a d
(posteriormente se verá la necesidad de imponer esta restricción).
Conforme a los resultados anteriores, la tendencia presenta un espectro
(propiamente se trata de un pseudo-espectro, o espectro en el que se “permite” que haya
un número finito de discontinuidades ±∞ , si bien se utilizará indistintamente la
denominación espectro) con función de transferencia racional de expresión:
)()()(2 ωωω εTTT hh Γ=
22
212
)1(
...1()(
diw
idwd
wiiw
T e
eee−
−−−
−++++
=Γθθθ
ω
πσ
ωε2
)(2T
Th =
Grafico 2.- Espectro de la tendencia (IMA(1,1) de parametro MA=0.8)
F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A
INF 2
4,0
12,0
8,0
6,0
4,8
4,0
3,4
3,0
2,7
2,4
2,2
2,0
Análisis del Ciclo Económico Página 10
La presencia de d raíces unitarias en el denominador de la función de transferencia
determina que en la frecuencia 0 la ganancia sea infinita, de ahí la forma del espectro
representado en el gráfico superior.
• Estacionalidad, se establece un PGD del tipo:
tEEt BEBS ,)()( εΘ= ; ),0(...~, EtE Ndii σε
Donde S(B) es el sumador estacional anteriormente introducido, que para series
mensuales sería:
1132 ...1)( BBBBBS +++++=
El polinomio de medias móviles se asume de orden igual o inferior al del
sumador estacional ( en series mensuales de orden igual o inferior a 11)
En consecuencia el espectro de la estacionalidad responderá a:
)()()(2 ωωω εEEE hh Γ=
2
1132
1111
2212
...1(
...1()(
wiwiwiiw
wiwiiw
E eeee
eee−−−−
−−−
+++++++++
=Γθθθ
ω
πσ
ωε2
)(2E
Eh =
El sumador estacional mensual presenta once raíces unitarias asociadas a la frecuencia
estacional y sus armónicos, la presencia del sumador en el denominador de la función
de transferencia determina que para las frecuencias estacionales el espectro se haga
infinito, característica que puede apreciarse en el gráfico inferior.
Grafico 3.: Espectro de la estacionalidad (mensual)
F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A
-
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
INF 2
4,0
12,0
8,0
6,0
4,8
4,0
3,4
3,0
2,7
2,4
2,2
2,0
Análisis del Ciclo Económico Página 11
• Irregularidad, habitualmente se la representa únicamente como un ruido blanco, si
bien en algunos casos se representa como un proceso invertible de medias móviles
de orden bajo (generalmente 1) que acentúe las altas frecuencias:
tIIt BI ,)( εΘ= ; ),0(...~, ItI Ndii σε
)()()(2 ωωω εIII hh Γ=
22
1)( iwI e −−=Γ θω
πσ
ωε 2)(
2I
Ih =
Grafico 4.-Espectro de la irregularidad (θ=0.7)
• Ciclo, puede verse como un componente residual o bien aceptar una
especificación concreta del mismo, habitualmente se define como un tipo de
fluctuación de período superior al año e inferior a 7, aunque naturalmente
pueden suponerse períodos superiores a 7, dependiendo naturalmente de la
longitud de la serie (una serie de 10 años que presente un ciclo de período mayor
F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A
-
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
INF 2
4,0
12,0
8,0
6,0
4,8
4,0
3,4
3,0
2,7
2,4
2,2
2,0
Análisis del Ciclo Económico Página 12
a 10 aparentará presentar únicamente tendencia. Cómo ya se vio en el apartado
2.6 puede admitirse una representación estacionaria ( una oscilación que se
amortigua) o no estacionaria (un ciclo puro que nunca “muere”).
Una formulación general del ciclo puede ser:
tCCtC BCB ,)()( εΘ=Φ ; ),0(...~, CtC Ndii σε
)()()(2
ωωω εCCC hh Γ=
2
221
2212
..1
..1)(
iqwq
wiiw
iqwq
wiiw
C eee
eee−−−
−−−
++++
++++=Γ
φφφ
θθθω
πσ
ωε 2)(
2C
Ch =
Donde exigiremos que el polinomio de retardos no presente raíces comunes con el
resto de componentes y que dichas raíces estén asociadas a frecuencias “cíclicas”.
Grafico 5.- Espectro del ciclo (ARMA(2,2) no estacionario, periodo 50 (meses)
asociado a la parte AR)
F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A
INF 2
4,0
12,0
8,0
6,0
4,8
4,0
3,4
3,0
2,7
2,4
2,2
2,0
Análisis del Ciclo Económico Página 13
Una vez especificados los modelos que siguen los componentes subyacentes en
el dominio del tiempo y de la frecuencia, la combinación de ellos han de ser
compatibles con el PGD que exhibe la serie, así combinando los diferente modelos
tendríamos:
ttttt IECTY +++= ;
tTdT
ttTTtd
B
BTBTB ,, )1(
)()()1( εε
−Θ
=→Θ=− ;
tEE
ttEEt BS
BEBEBS ,, )(
)()()( εε
Θ=→Θ= ;
tIIt BI ,)( εΘ= ;
tCC
CttCCtC B
BCBCB ,, )(
)()()( εε
ΦΘ
=→Θ=Φ ;
[ ] )()',,,)(,,,( Σ= diagE IECTIECT εεεεεεεε ;
Asumiendo que las distintas perturbaciones están incorrelacionadas entre sí
(matriz de varianzas-covarianzas diagonal) y que los operadores no comparten raíces
comunes.
Como consecuencia de la especificación ARIMA de los componentes y dado
que la agregación de modelos ARIMA proporciona modelos ARIMA, se concluye que
la serie observada, Y, responde a un PGD del tipo:
tt BYB ε)()( Θ=Φ (a)
Análisis del Ciclo Económico Página 14
Que puede no ser estacionario al permitirse que el polinomio autorregresivo
contenga raíces unitarias, en cambio se exige que el polinomio de medias móviles sea
invertible ( no presente raíces unitarias).
La expresión (a) puede contemplarse como la forma reducida del modelo
especificado, y es el que realmente es “observable” (directamente estimable).
En la estimación de componentes subyacentes basados en modelos expresados
en forma reducida, el punto de partida es determinar un modelo ARIMA que aproxime
“razonablemente” bien la serie que deseamos descomponer, por ello toda crítica
aplicable a la modelización ARIMA (estimación, especificación, etc,…) es susceptible
de ser aplicada a la estimación de componentes basada en modelos, así un “mal”
modelo determinará unos componentes “defectuosos” e incluso que componentes no
presentes puedan estimarse al ser compatibles con el modelo ARIMA mal especificado.
Si expresamos la serie como suma de componentes, tendremos:
tIItEE
tCC
CtTd
Tttttt B
BS
B
B
B
B
BIECTY ,,,, )(
)(
)(
)(
)(
)1(
)(εεεε Θ+
Θ+
ΦΘ
+−
Θ=+++=
SI tomamos factor común a todos los sumandos , obtendremos la expresión:
)()()1(
)()()()1(
)()()1(
)()()1(
)()()1(
)()()1(
)()()1(
)()()(
,,
,,
BSBB
BBSBB
BSBB
BBB
BSBB
BBSB
BSBB
BBSBY
Cd
tIICd
Cd
tEECd
Cd
tCCd
Cd
tTTCt
Φ−ΘΦ−
+Φ−
ΘΦ−+
+Φ−
Θ−+
Φ−
ΘΦ=
εε
εε
Tras lo cual, y fijándonos en (a):
tt BYB ε)()( Θ=Φ
Concluiríamos que la parte autorregresiva de (a) equivale a:
)()()1()( BBSBB Cd Φ−=Φ
Análisis del Ciclo Económico Página 15
Y la parte MA a la expresión:
tIICd
tEECd
tCCd
tTTCt
BBSBBBBB
BBSBBBSBB
,,
,,
)()()()1()()()1(
)()()1()()()()(
εε
εεε
ΘΦ−+ΘΦ−+
+Θ−+ΘΦ=Θ
En términos frecuenciales, la serie observada presentara un espectro
(pseudoespectro al presentar el polinomio de retardos, previsiblemente, raíces unitarias):
πσ
ωωω εε 2)()(
)()()()()(
22
iwiw
iwiw
yY ee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
Asumiendo que las perturbaciones aleatorias de los componentes son
independientes, y conforme a la expresión (a) tenemos la siguiente relación general
entre los espectros (Maravall, Planas, 1998)
)()()()()( ωωωωω IECTY hhhhh +++=
πσ
ωωω εε 2)()(
)()()()()(
22 T
iwT
iwT
iwT
iwT
TTT ee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
πσ
ωωω εε
2)()(
)()()()()(
22 E
iwE
iwE
iwE
iwE
EEE ee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
πσ
ωωω εε
2)()(
)()()()()(
22 I
iwI
iwI
iwI
iwI
IIIee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
πσ
ωωω εε 2)()(
)()()()()(
22 C
iwC
iwC
iwC
iwC
CCC ee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
Análisis del Ciclo Económico Página 16
TENDENCIA
CICLO
ESTACIONALIDAD
IRREGULARIDAD
Yt
εT
εC
εE
εI
PROCESO EN “PARALELO”
)()()(2
ωωω εTTT hh Γ=
)()()(2
ωωω εCCC hh Γ=
)()()(2
ωωω εEEE hh Γ=
)()()(2
ωωω εIII hh Γ=
)()()()()( ωωωωω IECTY hhhhh +++=
De manera intuitiva el procedimiento subyacente en la estimación de
componentes basado en modelos expresados en forma reducida, partiría del ajuste de un
proceso ARMA a la serie de interés, ello nos proporcionará la forma reducida (a), a
continuación, procederíamos a “particionar” el modelo de forma que obtenemos unos
componentes congruentes con la especificación de cada uno de ellos (en términos
frecuenciales y del polinomio de retardos asociado) y congruentes a su vez con la
forma reducida.
Sin embargo esta descomposición puede no ser única al poder existir infinitas
descomposiciones congruentes con el modelo en forma reducida (estaríamos ante un
problema clásico de falta de especificación—sistemas compatibles indeterminados), por
lo cual es necesario establecer algún tipo de restricción adicional. Dentro de las
posibilidades existentes, la restricción incorporada con mayor frecuencia es el principio
de descomposición canónica (Hillmer, Bell y Tiao, 1983; Hillmer y Tiao, 1982,
Maravall,…..).
Análisis del Ciclo Económico Página 17
A fin de comprender el problema de la falta de identificación veamos un ejemplo
propuesto por Maravall y recogido por Quilis, en el que se trata la descomposición de
un modelo de líneas aéreas estimado para una serie mensual.
Supongamos que una serie puede aproximarse por el modelo:
tt BBYBB εθθφ )1)(1()1)(1( 12121
12 −−=−−
Los polinomios autorregresivo y medias móviles son por tanto:
131212 1)1)(1()( BBBBBB φφφ +−−=−−=Φ :
13121
12121
12121 1)1)(1()( BBBBBB θθθθθθ −−+=−+=Θ
Estas expresiones determinan una función de transferencia similar a la representada a
continuación (equivaldría al pseudoespectro teórico).
Gráfico 6.-Espectro ARIMA(1,0,1)SARIMA(0,1,1)
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 30
5
1 0
1 5
2 0
2 5F u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a
F r e c u e n c i a ( 0 - p i )
Análisis del Ciclo Económico Página 18
La especificación de la parte autorregresiva de los componentes es inmediata,
basta con factorizar el polinomio total en:
)()1)(1()...1)(1)(1()1)(1()( 11212 BSBBBBBBBBBB −−=++++−−=−−=Φ φφφ :
Donde se aprecia directamente la presencia de una raíz unitaria en la frecuencia
0, (1-B), que se asocia con la tendencia y el sumador estacional S(B) que se asocia a la
estacionalidad.
Para factorizar la parte MA hemos de tener en cuenta los modelos de los
componentes y el polinomio MA estimado en la serie original, cumpliéndose:
tIICd
tEECd
tCCd
tTTCt
BBSBBBBB
BBSBBBSBB
,,
,,
)()()()1()()()1(
)()()1()()()()(
εε
εεε
ΘΦ−+ΘΦ−+
+Θ−+ΘΦ=Θ
En nuestro ejemplo:
ItICtC
EtETtT
BSBBBSB
BBBSBBBB
εφεεφεφθθ
Θ−−+Θ−+Θ−−+Θ−=−−=Θ
)()1)(1()()1(
)1)(1()()1()1)(1()( 12121 (b)
Dado que los ordenes de los operadores MA han de ser compatibles con la
estructura observada se concluye que, dado que la parte observada es un MA de orden
13, la suma de los operadores MA de los componentes no ha de ser superior a 13. Al ser
una suma de operadores MA, cada sumando no ha de presentar un orden superior a 13,
por ello concluimos que:
[ ] 1)([ ≤Θ Borden T
[ ] 11)([ ≤Θ Borden E
[ ] 1)([ ≤Θ Borden C
[ ] 0)([ =Θ Borden I
Igualando la varianza y autocovarianzas del ambos lados de la igualdad (b) se
obtiene un sistema de 14 ecuaciones ( al ser un MA(13) a partir del retardo 13 la
autocovarianza se anula), con las que tenemos que determinar 17 parámetros ( los 13
Análisis del Ciclo Económico Página 19
parámetros de los operadores MA de los componentes y las 4 varianzas de las
perturbaciones de la tendencia, estacionalidad, ciclo e irregularidad), es decir nos
encontramos ante un sistema indeterminado que admite infinitas soluciones, denotadas
genéricamente para nuestro ejemplo cómo:
tTTt BTB ,1 )1()1( εθ+=− ;
tCCt BCB ,1 )1()1( εθφ +=−
tEEEEt BBBEBS ,11
112
21 )...1()( εθθθ ++++= ;
tItI ,ε= ;
Las restricciones adicionales necesarias para la identificación del sistema surgen
del “principio de descomposición canónica”, según el cual el componente no ha ser a su
vez susceptible de ser descompuesto como suma de una señal y un ruido blanco
adicional. Esta restricción supone la maximización de la varianza del componente
irregular, así como que los espectros de los componentes distintos del ruido han de
anularse para alguna frecuencia. Específicamente, para la tendencia exigiremos que el
espectro se anule en PI (frecuencia más alta) y para la estacionalidad que se anule en 0
(Quilis,1997). El exigir que el espectro se anule para alguna frecuencia implica
necesariamente la introducción de una raíz de módulo unitario en la representación de
medias móviles de los componentes, lo que conlleva que las estimaciones de los
componentes no sean invertibles.
Los modelos canónicos de los componentes en el ejemplo son:
tTt BTB ,)1()1( ε+=− ;
tCt BCB ,)1()1( εφ +=− (c)
tEEEEt BBBBEBS ,10
102
21 )...1)(1()( εθθθ ++++−= ;
tItI ,ε= ;
Estimación de los componentes
Una vez que se han determinado los modelos de los componentes procederíamos
a su estimación. Para ello el procedimiento más extendido consiste en la aplicación del
Análisis del Ciclo Económico Página 20
filtro Wiener-Kolmogorov dado que proporciona estimaciones de error cuadrático
mínimo, es simétrico (no origina desfases respecto de la serie original), es infinito
aunque convergente y se adapta a las características estocásticas de la serie en
contraposición a los filtro fijos (Filtro de Hodrick-Prescott, X-11,…).
Según este método la expresión de los estimadores de los componentes, cuando
éstos son ortogonales, corresponde al cociente entre los espectros del componente y de
la serie, utilizando las equivalencias: iwiw eFeB == − ; .
Así, si la serie observada responde a un proceso genérico ARMA (si bien
originariamente el filtro se diseñó para el caso estacionario, puede demostrarse que su
aplicación también es válida en procesos no estacionarios):
tt BYB ε)()( Θ=Φ ; π
σωωω ε
ε 2)()(
)()()()()(
22
iwiw
iwiw
yY ee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
Y a su vez puede descomponerse como la suma de k componentes ortogonales:
∑=
=K
iit XY
1
; )()(1
ωω Xi
K
iY hh ∑
=
=
Cada uno de los cuales responde a su vez a un proceso ARMA:
itiiti BXB ε)()( Θ=Φ ; π
σωωω ε
ε 2)()(
)()()()()(
22 i
iwi
iwi
iwi
iwi
iXiXi ee
eehh
ΦΦΘΘ
=Γ= −
−
Lo que implica:
)()(1
BB i
K
i
Φ=Φ Π=
itiNi
K
it BBB εε )()()(
1
ΘΦ=Θ Σ=
, siendo )(1
1
Bj
K
ijj
Ni Φ=Φ Π−
≠=
.
El filtro WK que permite estimar cada uno de los componentes responde a:
Análisis del Ciclo Económico Página 21
ti
i
i
iiit Y
FF
FF
BB
BBX
)()(
)()(
)()(
)()(ˆ2
2
ΘΦΦΘ
ΘΦΦΘ
=ε
ε
σσ
;
O, simplificando conforme a las anteriores suposiciones:
tNiiNiii
it YF
FF
B
BBX
)(
)()(
)(
)()(ˆ2
2
ΘΦΘ
ΘΦΘ
=ε
ε
σσ
Resulta inmediato ver la equivalencia entre el estimador y el cociente de los
espectros utilizando las equivalencias: iwiw eFeB == − ; :
2
2
2
2
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
ε
ε
ε
ε
σσ
ωω
ω
ω
ωω i
iwiw
iwiw
iwi
iwi
iwi
iwii
Y
Xi
Y
Xi
ee
ee
ee
ee
h
h
h
h
ΘΘΦΦ
ΦΦΘΘ
=Γ
Γ= −
−
−
−
Así partiendo del modelo ARIMA estimado en la serie:
tt BBYBB εθθφ )1)(1()1)(1( 12121
12 −−=−−
Que puede verse como un filtro aplicado a un ruido blanco:
tt BB
BBY ε
φθθ
)1)(1(
)1)(1(12
12121
−−−−
=
En términos frecuenciales:
)()1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1()(
12
12121
12
12121 wh
ee
ee
ee
eewh
iwiw
iwiw
iwiw
iwiw
Y εφθθ
φθθ
−−−−
−−−−
= −−
−−
Para obtener la estimación del componente canónico, bastaría aplicar el filtro
WK sobre la serie original. Así en el caso del ciclo según (c) y simplificando:
tC
t YFF
FFSF
BB
BBSBC
)1)(1(
)1)(()1(
)1)(1(
)1)(()1(ˆ12
12112
1212
2
θθθθσσ
ε
ε
−−+−
−−+−
=
Análisis del Ciclo Económico Página 22
Gráfico 7.-Función de transferencia y fase para el filtro WK en la estimación del ciclo
(thetha1=0.5, thetha12=0.6)
Como podemos observar la función de transferencia asociada al filtro WK en la
estimación del ciclo, presenta ceros en la frecuencia 0 (tendencia) y en las frecuencias
estacionales, asimismo presenta atenuación de las altas frecuencias (asociadas a la
irregularidad). También puede observarse cómo la función de fase es nula para todas las
frecuencias, ello como consecuencia de la simetría del filtro.
2.3.-OTROS METODOS DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES TEMPORALES: EL
FILTRO DE HODRICK-PRESCOTT
La descomposición de series temporales, tal y como se apuntó en la
introducción, es una materia ampliamente tratada en la literatura econométrica, de ahí
que existan un amplio número de técnicas de descomposición de series temporales. Al
margen de la metodología UCARIMA otros métodos han sido utilizados profusamente
por los investigadores y organismos estadísticos de todo el mundo. Algunos de los
métodos más difundidos son el X-11 y el filtro Hodrick-Prescott.
El método X-11 es utilizado en la práctica como una técnica de
desestacionalización de series temporales, proporcionando una estimación de la serie
desestacionalizada, por lo tanto, presentando dicha serie tanto tendencia, como ciclo e
irregularidad.
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 30
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
4 5 0
5 0 0
F u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a
F r e c u e n c i a ( 0 - p i )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Funcion de fase
Frecuencia (0-pi)
Análisis del Ciclo Económico Página 23
El filtro de Hodrick-Prescott (HP) es un método concebido para extraer la
tendencia de una serie temporal. Puede definirse como un filtro lineal no causal que
surge al determinar la tendencia, St, de la minimización de la expresión:
( )∑ ∑=
−
=−+ −−−+−
T
t
T
ttttttt sssssx
1
1
2
211
2 )()()( λ .
Cumpliéndose: ttt csx += .
El parámetro λ controla la suavidad de la tendencia estimada, cuanto mayor es,
mas se aproxima la tendencia a una línea recta. De modo contrario, cuanto menor es el
parámetro, mayor la semejanza entre la tendencia y la serie original.
La solución al problema de minimización puede expresarse en forma matricial cómo:
XMS 1ˆ −= (a) (Tx1) (TxT)(Tx1)
Dónde:
[ ]KKIM 'λ+=
−
−−
−
=
12100
01000
02100
01210
00121
L
MMMM
K
K
K
K
K
(T-2 x T)
La matriz M inversa, nos determina los coeficientes que se aplican a la serie
orignal para obtener la tendencia, lo cual puede intepretarse como los coeficientes del
filtro que nos permite obtener un ouput de un input.
Es habitual trabajar con una derivación del filtro HP proporcionada por King y
Rebelo (1993), que se trataría de la misma formulación del filtro HP considerada para
un número infinito de datos o alternativamente para los tramos centrales de la muestra.
Esta derivación del filtro HP puede observarse intuitivamente al fijarnos en la expresión
(a)
Análisis del Ciclo Económico Página 24
XMS 1ˆ −= (a) (Tx1) (TxT)(Tx1)
Si pasamos M inversa al primer término, podemos escribir:
XSM =ˆ (c) Dónde:
[ ]KKIM 'λ+=
−
−−
−
=
12100
01000
02100
01210
00121
L
MMMM
K
K
K
K
K
(T-2 x T) Asumamos el caso n=6 y lambda igual a 1, entonces la matriz M tiene esta forma:
MATRIZ M 2.000000 -2.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -2.000000 6.000000 -4.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -4.000000 7.000000 -4.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -4.000000 7.000000 -4.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -4.000000 6.000000 -2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -2.000000 2.000000
Con lo que el sistema (c) puede expresarse cómo:
=
−−−
−−−−
−−−
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
221000
264100
147410
014741
001462
000122
x
x
x
x
x
x
s
s
s
s
s
s
Si desarrollamos la fila 3, obtenemos:
3654321 014741 xssssss =++−+−
Análisis del Ciclo Económico Página 25
O alternativamente
3231331323 14741 xsssss =+−+− ++−− O generalizando para t=3 y 4
tttttt xsssss =+−+− ++−− 2112 14741
Lo cual puesto en función de los operadores B y F (backward y forward) kttk xxB −= ;
kttk xxF += , proporciona la expresión:
tt xsFFBB =+−+− )14741( 22 Podemos reescribir el término entre paréntesis de la siguiente forma:
[ ] tt xsFB =−−+ 22 )1()1(1 (d) Dado que lklk BFB −= si k>l ó kllk FFB −= si l>k, por lo que:
[ ]
BBFF
FBBBFF
FFBBFB
447
42221211
)21)(21(1)1()1(1
22
22
2222
−+−+=
=+−−−++−++=
=−+−++=−−+
[ ] 2222 474)1()1(1 FFBBFB +−+−=−−+
Si asumimos que el número de datos disponibles de x es infinito o bien que los
valores centrales se aplican a toda la muestra de x, conseguiremos que la expresión (d)
sea válida para todo t, es decir podemos aplicar (d) para todo t de la muestra sin más que
ampliar con valores de predicción hacia atrás y hacia delante la muestra disponible.
La expresión (d) puede generalizarse para todo lambda, de modo que
proporciona la siguiente formulación general de la tendencia estimada por el filtro HP
modificado:
[ ] tt xsFB =−−+ 22 )1()1(1 λ
O bien:
Análisis del Ciclo Económico Página 26
[ ] tt xFB
s22 )1()1(1
1
−−+=
λ
Dado que
ttt csx +=
Podemos obtener la expresión de la estimación de Ct
[ ]
[ ] [ ] →
−−+
−−−+=
−−+
−=→
→+−−+
=+=
ttt
ttttt
xFB
FBx
FBc
cxFB
csx
22
22
22
22
)1()1(1
1)1()1(1
)1()1(1
11
)1()1(1
1
λλ
λ
λ
[ ] tt xFB
FBc
−−+
−−=22
22
)1()1(1
)1()1(
λλ
Si recordamos la expresión del polinomio de retardos en el dominio de la
frecuencia y tras algunas sustituciones mediante la relación de Euler, llegaríamos a la
expresión de la función de ganancia del filtro HP:
[ ]
−+
−=Γ2
2
)cos1(41
)cos1(4)(
w
ww
tc λλ
[ ]
−+
=Γ2)cos1(41
1)(
ww
ts λ
Grafico 8.- Función de ganancia filtro HP para distintos valores de lambda
FUNC. DE GANANCIA FILTRO HP: TENDENCIA
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 PI
100 400 1600 3200
FUNC. DE GANANCIA FILTRO HP: SERIE-TENDENCIA
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 PI
100 400 1600 3200
Análisis del Ciclo Económico Página 27
En ocasiones se utiliza el filtro de HP modificado para extraer la señal cíclica,
(mediante la sustracción de la tendencia estimada a la serie original), sin embargo, como
apunta Quilis, esto sólo ha de hacerse en series sin estacionalidad ni irregularidad, dado
que por la forma de la función de ganancia, los componentes estacionales e irregulares
“pasarían” sin ser modificados, dando como resultado una señal cíclica “contaminada”
por estos componentes. Otros autores, como Guay y St-Amant (1996) señalan que el
filtro HP “funciona” adecuadamente en la extracción de la señal cíclica cuando el
espectro de la serie original presenta un “pico” en las frecuencias “cíclicas”, en el caso
de que el espectro esté dominado por las bajas frecuencias (cómo es el caso de la
mayoría de series macroeconómicas), el filtro HP proporciona un ciclo “distorsionado”.
RECUADRO III
Aunque el lector pueda verse abrumado por las formulaciones antes incluidas, ha de ser
consciente que seguramente conoce desde hace tiempo uno de los mejore métodos de estimación de la
señal cíclica. Aunque parezca extraño, la tasa de crecimiento interanual (en su versión logarítmica) es
un estimador de la señal cíclica adecuado en la mayoría de ocasiones.
A pesar de su simplicidad la tasa de crecimiento contiene un filtro desestacionalizador y un filtro
de tendencia por lo que su aplicación permite obtener una estimación del ciclo, si bien, contaminado por
la irregularidad.
Aunque la tasa de crecimiento presenta algunas limitaciones, tales como el desfase que introduce
respecto a la serie original, su facilidad de cálculo y su inmediata interpretación hacen de este método uno
de los mejores a la hora de estimar el componente cíclico presente en una serie (1).
(1) F.Melis. Series temporales, coyuntura económica y el BTS del INE: la utilidad y las limitaciones de la
tasa interanual. Boletín trimestral de Coyuntura. INE:Marzo 1984
Análisis del Ciclo Económico Página 28
APLICACIÓN PRACTICA.
El objetivo de esta aplicación práctica consiste en familiarizar al estudiante con
el tratamiento de series temporales necesarias para la extracción de información
relevante en el análisis de coyuntura.
La primera parte de la práctica consistirá en el estudio de las series de Viviendas
Iniciadas y Viviendas terminadas elaboradas por la Dirección General de la Vivienda,
Arquitectura y Urbanismo (Ministerio de Fomento). El interés del estudio de estas
variables reside en a priori es posible establecer entre ambas una clara relación causal y
temporal, dado que una vivienda terminada necesariamente se registró de forma previa
como una vivienda iniciada, por lo tanto la evolución temporal de la serie de Viviendas
Terminadas ha de estar relacionada claramente con la de Viviendas iniciadas. El saber
de antemano que ambas series están relacionadas nos permitirá enfocar el estudio en la
propia técnica sin tener que preocuparnos excesivamente por las razones explicativas de
la relación entre variables, aspecto que en otros casos pone en tela de juicio los
resultados obtenidos.
El punto de partida en el análisis de cualquier serie temporal es la representación
gráfica de dicha serie. Este paso previo nos permitirá apreciar de manera inmediata
cuales son las características temporales dominantes en la serie y, en relación con los
objetivos de esta práctica, también nos permitirá comprender cuales son las dificultades
a las que debe hacer frente el analista de coyuntura.
Grafico 9.- Representación gráfica de las variables.
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
VINIC
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
VTERMI
Análisis del Ciclo Económico Página 29
Un simple vistazo al gráfico 9 nos permite comprobar que en ambos casos, la
característica temporal dominante es la existencia de tendencia, asimismo se perciben
saltos en la variable aparentemente erráticos.
La existencia de tendencia se confirma mediante la inspección del
autocorrelograma, asimismo permite comprobar la existencia de estacionalidad, aspecto
que se manifiesta en la existencia de correlaciones significativas para el retardo 12 en el
caso de series mensuales (4 en el caso de series trimestrales).
Grafico 10.- Autocorrelación de las variables (izquierda: Viviendas iniciadas, derecha:
Viviendas terminadas).
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-60 -40 -20 0 20 40 60 -0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-60 -40 -20 0 20 40 60
RECUADRO: AUTOCORRELACIÓN
Si definimos la correlación entre X e Y cómo:
yx
xyxy SS
S=ρ
La autocorrelación será por tanto:
12
2
===y
y
yy
yyyy S
SSS
Sρ
Consideremos ahora la serie Y desplazada r períodos:
Análisis del Ciclo Económico Página 30
Y(t) Y(t-1) Y(t-2) Y(t-3) 10 - - - 15 10 - - 17 15 10 - 19 17 15 10 21 19 17 15 22 21 19 17 - 22 21 19 - - 22 21 - - - 22
La autocorrelación en el retardo r se define como:
yy
yyy
yy
yyy SS
Sr
SS
Sr rtrtt −− =−== )()( ρρ
Dónde podemos observar que cuando r=0, se cumple que la autocorrelación es igual a 1. En términos poco estrictos, decimos que X e Y están correlacionadas cuando se parecen mucho,
asimismo decimos que Y(t) e Y(t-r) están correlacionadas cuando evolucionan de manera similar, esto se
produce de manera clara cuando existe tendencia.
El gráfico 11 ilustra una situación frecuente en el estudio de series económicas.
La existencia de tendencia claramente dominante en ambas series nos induciría a
afirmar inmediatamente que entre ambas variables existe relación. En este caso es
evidente pensar que existe dicha relación, pero también afirmaríamos lo mismo si
estudiásemos el IPI (Indice de Producción Industrial) y la serie de Viviendas Iniciadas,
series que presentan una correlación de 0,61 pero cuya relación económica no es tan
evidente o al menos es más cuestionable.
Por lo tanto, apreciamos claramente como la presencia de tendencia en las series
analizadas puede conducirnos a extraer conclusiones precipitadas y en muchos casos
erróneas.
Volviendo al caso que nos ocupa, observar directamente el grafico de la
evolución temporal conjunta de las series de viviendas iniciadas y terminadas no nos
permite extraer información relevante sobre ambas series. En todo caso, podemos
afirmar que siguen una trayectoria similar, pero en ningún caso podemos observar un
patrón claro de evolución. Esta falta de patrón claro se hace aún más evidente cuando
limitamos el período de estudio, por ejemplo a los dos últimos años, situación
presentada en el gráfico 12.
Análisis del Ciclo Económico Página 31
Grafico 11.-Representación gráfica de las variables
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
VINIC VTERMI
40000
60000
80000
100000
120000
140000
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
IPI VINIC
Gráfico 12.- Representación gráfica de las variables. 2000-2001
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
00:01 00:04 00:07 00:10 01:01 01:04 01:07 01:10
VINIC VTERMI
Limitando el período de estudio resulta imposible apreciar un patrón común de
evolución entre estas variables, es más, la correlación tan baja entre ambas variables
(0.01) en dicho período conseguiría confundir a cualquier analista coyuntural.
A la luz de las anteriores apreciaciones, resulta por lo tanto evidente la necesidad
de contar con algún método de extracción de información de las variables estudiadas.
Estos métodos en la mayor parte de las ocasiones nos permitirán condensar la
información a cambio de obviar detalles, que a veces pueden resultar importantes, en
todo caso es un coste pequeño a cambio de la información que proporcionan.
Una de las pérdidas de información surge de la eliminación de la estacionalidad
de las series, si ésta está presente. Para desestacionalizar las variables existen numerosos
Análisis del Ciclo Económico Página 32
métodos y procedimientos, en ésta práctica utilizaremos el método implantado en
SEATS, cuyos fundamentos han sido esbozados en la exposición teórica.
Gráfico 13.- Representación gráfica de las variables corregidas de estacionalidad
10000
20000
30000
40000
50000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
VTERSA VINISA
Grafico 14.- Autocorrelación de las variables corregidas de estacionalidad (izquierda:
Viviendas iniciadas, derecha: Viviendas terminadas).
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-60 -40 -20 0 20 40 60 -0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-60 -40 -20 0 20 40 60
La serie desestacionalizada, como podemos apreciar en los gráfico 13 y 14,
presentará tanto tendencia, como ciclo e irregularidad, componentes que trataremos por
separado.
En primer lugar eliminaremos la irregularidad mediante dos métodos
alternativos a fin de apreciar las similitudes, en cuanto a su funcionalidad, entre ambos.
El primer método consiste en la aplicación del filtro de Hodrick-Prescott con un valor
de lambda muy bajo (para esta aplicación se ha tomado un lambda=100), el segundo
método consiste en el cálculo de una media móvil centrada de orden 3. Los resultados
Análisis del Ciclo Económico Página 33
obtenidos se presentan en el gráfico 15, apreciándose la clara similitud de la estimación
proporcionada por ambos métodos.
Grafico 14.- Serie filtrada de irregularidad. Izquierda Viviendas iniciadas
desestacionalizada. Derecha viviendas terminadas desestacionalizada
10000
20000
30000
40000
50000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
MM_VINISA HPTREND03
10000
20000
30000
40000
50000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
MM_VTERSA HPTREND04
El resto del análisis se efectuará con la serie filtrada de irregularidad
proporcionada por el filtro de Hodrick-Prescott, dado que nos permite obtener
estimaciones para todo el período muestral, mientras que la aplicación de la media
móvil centrada nos obligaría a prescindir de parte de las observaciones iniciales y
finales (el mismo número de observaciones que el orden de la media móvil).
Grafico 14.- Series desestacionalizadas, con y sin el componente irregularidad.
10000
20000
30000
40000
50000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
HPTREND03 VINISA
10000
20000
30000
40000
50000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
HPTREND04 VTERSA
En el gráfico 15 se presentan las series corregidas de estacionalidad e
irregularidad, o también denominadas de ciclo-tendencia, dado que tan sólo presentan
Análisis del Ciclo Económico Página 34
dichos componentes al haber sido eliminado el resto. En dicho gráfico ya puede
apreciarse la existencia de un patrón común de comportamiento. Si el lector observa el
gráfico 15, podrá percibir claramente como la serie HPTREND04 (viviendas
terminadas) es similar a HPTREND03 (viviendas iniciadas) desplazada hacia la
derecha, es decir, la serie de viviendas terminadas es, trascurrido un período de tiempo
determinado, la serie de viviendas iniciadas, tal y como cabría esperarse dada la
definición de ambas variables.
Grafico 15.- Series desestacionalizadas sin el componente irregularidad.
10000
20000
30000
40000
50000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
HPTREND03 HPTREND04
La relación entre ambas aún resulta más evidente al analizar el componente
cíclico en exclusiva. Para estimar el componente cíclico eliminaremos la tendencia
mediante la diferenciación de la serie, es decir, restando a cada valor el inmediatamente
anterior 3 . Para comprobar la afirmación anterior, estudiamos el correlograma cruzado
de las series, que no es mas que la correlación cruzada para distintos retardos y
adelantos de una de las dos variables.
Definiríamos la correlación cruzada entre X e Y cómo:
[ ]22 )()(
))(()(
ytxt
yrtxtXY
YEXE
YXEr
µµ
µµρ
−−
−−= −
3 Si la serie original se denota por ty , la serie diferenciada se denota cómo 1−−=∆ ttt yyy . Si a la
serie original se aplican logaritmos y se diferencia la serie resultante, obtenemos prácticamente una tasa de crecimiento intermensual, por lo tanto manejar diferencias logarítmicas equivale a trabajar con tasas de crecimiento.
Análisis del Ciclo Económico Página 35
Nótese que, en general, )()( rr XYXY −≠ ρρ , es decir, frente al caso de la
autocorrelación, la cross-correlación no tiene porqué ser simétrica en torno a 0, de
hecho, esta asimetría se produce de forma clara cuando existe una relación de desfase-
adelanto entre dos serie.
Grafico 16.-Componente cíclico
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
CVTERM CVINI
Grafico 17.-Correlación cruzada
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-60 -40 -20 0 20 40 60
Retardo /Adelanto
corr
ela
ción c
ruza
da
Según el correlograma cruzado, la máxima correlación entre ambas series se
produce al considerar la serie de viviendas iniciadas con la de viviendas terminadas
adelanta 20 meses, es decir, entre ambas variables existe un retardo aproximado de 20
meses.
Análisis del Ciclo Económico Página 36
Grafico 18.-Componente cíclico de las variables desplazadas
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
CVINI CVTERM(20)
¿Cómo podemos interpretar este retardo de 20 meses entre ambas variables?. En
este caso parece evidente achacar dicho desfase al periodo necesario para construir las
viviendas, aunque naturalmente ha de entenderse como un período promedio ya que
existirán excepciones a ese desfase.
Por último, en las tablas siguientes se incluye la caracterización del componente
cíclico presente en ambas series, detallándose la duración media del ciclo, el número de
ciclo completos, duración de las fases de aceleración, etc,.. parámetros de gran interés
para el estudio de la coyuntura.
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
CVTERM MAX_CVTERM MIN_CVTERM
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
CVINI MAX_CVINI MIN_CVINI
Análisis del Ciclo Económico Página 37
SERIE CVINI SEGUN MÁXIMOS SEGUN MINIMOS DURACION CICLO ENTRE PICOS MEDIA 19.153846 18.384615 MEDIANA 19.000000 20.000000 DESV.TIPICA 7.8299229 6.4101282 NUMERO DE CICLOS 13.000000 13.000000 FECHAS DE LOS MAXIMOS 1981. 2. 1982. 11. 1984. 12. 1987. 2. 1988. 9. 1990. 9. 1991. 7. 1992. 5. 1993. 11. 1994. 11. 1997. 12. 1998. 10. 2000. 3. 2001. 11. FECHAS DE LOS MINIMOS 1980. 11. 1981. 12. 1984. 2. 1985. 11. 1987. 10. 1989. 11. 1990. 12. 1991. 8. 1993. 2. 1994. 2. 1995. 11. 1998. 3. 1999. 11. 2000. 10. DURACION FASES ACELERACION (MINIMO-MAXIMO) MEDIA 10.214286 DESVIAC.TIPICA 5.3086080 DURACION FASES DESACELERACION (MAXIMO-MINIMO) MEDIA 8.3846154 DESVIAC.TIPICA 4.6822086
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SERIE CVTERM SEGUN MAXIMOS SEGUN MINIMOS
DURACION CICLO ENTRE PICOS MEDIA 18.384615 18.000000
MEDIANA 17.000000 16.000000 DESV.TIPICA 9.1882031 9.3094934
NUMERO DE CICLOS 13.000000 14.000000
FECHAS DE LOS MAXIMOS 1980. 7. 1981. 8. 1982. 9. 1983. 9. 1985. 2. 1986. 7. 1988. 2. 1990. 2. 1991. 12. 1993. 4. 1993. 9. 1996. 5. 1999. 8. 2000. 6.
FECHAS DE LOS MINIMOS 1980. 6. 1981. 4. 1981. 1. 1983. 6. 1984. 4. 1985. 11. 1987. 3. 1989. 4. 1991. 7. 1992. 2. 1993. 5. 1994. 8. 1997. 11. 1999. 12. 2001. 8.
DURACION FASES ACELERACION (MINIMO-MAXIMO) MEDIA 9.2142857 DESVIAC.TIPICA 6.1915398 DURACION FASES DESACELERACION (MAXIMO-MINIMO) MEDIA 8.5384615 DESVIAC.TIPICA 5.5017480
Análisis del Ciclo Económico Página 39
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