Chumpitaz Malpartida Luis Genesis Geogebra

7/21/2019 Chumpitaz Malpartida Luis Genesis Geogebra

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Tenemos ms soluciones que problemas

y esas soluciones estn asociadas

con la tecnologa

Joel Arthur Barker


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DEDICATORIA

A Luis Fernando

Mi padre, en recuerdo de su ejemplo, tesn y sabidura que lo caracterizaban y a su

inagotable fuerza para empujarme a que yo sea buen padre y verdadero maestro, tarea

que hizo hasta los ltimos das de su vida.

A Dora

Mi madre adorada, ya que sus consejos, sus valores, y su gran fortaleza, son pilares de

mi confianza y motivacinen el complicado camino de la bsqueda de la felicidad.

A Lucy

Mi compaera, que con su amor y su paciencia, es mi apoyo en el difcil camino de

nuestra superacin.

A Joaqun

Mi hijo querido, porque fue la inspiracin de este trabajo y sin su comprensin nohubiera continuado por el camino de la investigacin.

A Ricardo

Mi hijo, mi amigo, por su paciencia, confianza y su mano amiga durante toda mi

investigacin.

A Gabriel y Fernando

Mis queridos hermanos, que a pesar de la distancia me transmiten fuerza y confianza

para ser cada vez mejor.


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AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento ms sincero a la profesora Dra. Jess Victoria Flores

Salazar, asesora de mi investigacin, por su total dedicacin, comprensin y valiosa

colaboracin.

De igual forma, agradezco a la profesora Dra. Mara Jos Ferreira da Silva de la

Pontificia Universidad Catlica de Sao Paulo en Brasil, por su generosa disponibilidad,

as como su inestimable ayuda en proceso de revisin de mi tesis.

Mi gratitud al profesor Mg. Mariano Gonzlez Ulloa por sus orientaciones durante mi

aprendizaje del software educativo ya que estas despertaron mi inters para investigar

en el campo de la tecnologa de la informacin y comunicacin.

A la profesora Dra. Luisa Ruiz-Higueras de la Universidad de Jan en Espaa, por supreocupacin de acortar esa gran distancia para lograr compartir la informacin de su

tesis doctoral.

Al profesor Mg. Juan Carlos Sandoval Pea, mi maestro y amigo, que con su ejemplo

supo mostrarme el camino por el cual seguir sus pasos.

A los profesores Mg. Miguel Gonzaga Ramrez y Dr. Francisco Ugarte Guerra de la

Pontificia Universidad Catlica del Per y al Dr. Oswaldo Velsquez Castan del

IMCA, por sus invaluables aportes en el desarrollo de una apropiada definicin para lafuncin definida por tramos.

A la estudiante de matemtica pura, mi sobrina Gabriela Betsabe Benito Alejo por su

excelente formacin y el firme apoyo mostrado en los momentos difciles del desarrollo

de esta investigacin.

A la Pontificia Universidad Catlica del Per, por el estmulo de los maestros del

posgrado de Enseanza de las Matemticas para la elaboracin esta tesis y por el

incentivo econmico del Programa de apoyo a la Investigacin para Estudiantes de

Posgrado (PAID) que me permiti invertir en los medios y materiales caractersticos de

una investigacin con tecnologas de informacin y comunicacin.

Un agradecimiento especial merecen los estudiantes de la Universidad San Ignacio de

Loyola que participaron en la experiencia educativa, por su colaboracin y el

entusiasmo mostrado en la actividad de aprendizaje con el GeoGebra.


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Esta tesis tiene como objetivo analizar las acciones de los estudiantes de los cursos de

Anlisis Matemtico I de las carreras de ingeniera de la Universidad San Ignacio de

Loyola, durante una secuencia de aprendizaje de la funcin definida por tramos mediada

por el GeoGebra. Debido a que el anlisis estuvo centrado en aquellas acciones que

instrumentalizaban al GeoGebra y a la funcin definida por tramos, nos planteamos

responder las siguientes interrogantes: Cmo una secuencia de aprendizaje puede

minimizar las dificultades que se presentan a los estudiantes cuando instrumentalizan

algunas propiedades del software GeoGebra en su aprendizaje de la funcin definida por

tramos? Cmo una secuencia de aprendizaje puede minimizar las dificultades que se

presentan a los estudiantes al instrumentalizar propiedades de la funcin definida por

tramos en su aprendizaje con el GeoGebra?. Para este estudio elegimos como

referencial terico el Enfoque de Instrumental de Rabardel (2011) y como referencial

metodolgico la Ingeniera Didctica de Artigue (1995). Este enfoque nos permiti

esclarecer las preguntas planteadas y los objetivos deseados, siendo el aspecto central el

proceso denominado Gnesis Instrumental. Producto de nuestro anlisis identificamos

en las interacciones de los estudiantes con el GeoGebra y con la funcin definida por

tramos, que los estudiantes movilizaron esquemas de uso pre existentes que permitieron

minimizar las dificultades en la secuencia de aprendizaje, y que adems, en las ltimas

actividades algunas de las propiedades de estos dos artefactos conservaron las funciones

adquiridas durante sus respectivas transformaciones a instrumentos.

Palabras clave:Gnesis Instrumental. Funcin definida por tramos. GeoGebra.


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A dissertao tem como objetivo analisar as aes dos estudantes da disciplina de

Anlises Matemtico I das carreiras de engenharia da Universidade San Ignacio de

Loyola durante uma sequncia de aprendizagem da funo definida por partes mediada

pelo GeoGebra. Como o foco da anlise esteve nas aes que instrumentalizam

GeoGebra e funo definida por partes, queremos responder as seguintes questes:

Como uma sequncia de aprendizagem pode minimizar as dificuldades que surgem nos

estudantes quando instrumentalizam algumas propriedades do GeoGebra na sua

aprendizagem da funo definida por trechos? Como pode uma sequncia de

aprendizagem minimizar as dificuldades que os alunos tm de instrumentalizar

propriedades da funo definida por trechos na sua aprendizagem com GeoGebra?. Para

este estudo, nossa escolha como referencial terico a Abordagem Instrumental de

Rabardel (2011) e como referencial metodolgico aspectos da Engenharia Didtica de

Artigue (1995). Esta abordagem ns permitiu esclarecer as questes levantadas e os

objetivos desejados, sendo o ponto central o processo chamado Gnese Instrumental.

Produto da anlise identificamos, nas interaes com GeoGebra e a funo definida por

trechos, que os estudantes mobilizaram esquemas de uso preexistentes que lhes permitiu

minimizar as dificuldades na sequncia de aprendizagem. Alm disso, nas ltimas

atividades algumas das propriedades desses dois artefatos preservaram as funes

adquiridas durante suas respetivas transformaes a instrumentos.

Palavras-Chave:Gnese Instrumental. Funo definidas por partes. GeoGebra.


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Figura 1. Pgina web de GeoGebra en espaol ........................................................... 21

Figura 2. Dos de las tres formas de ingreso de informacin al GeoGebra.................... 22

Figura 3. Las tres vistas de una funcin definida por tramos .................... ................... 22

Figura 4. Muestra simultnea de la forma algebraica y grfica de una funcin ............ 23

Figura 5. Traslacin horizontal de una funcin definida por tramos ............................ 23

Figura 6. Ecuacin implcita de una curva .................................................................. 24

Figura 7. Componentes de un instrumento .................................................................. 26

Figura 8. Modelo de Situaciones de la Actividad instrumentada .................................. 27

Figura 9. Relacin de carreras de ingeniera en la USIL ............................................. 35

Figura 10. Cuatro de los diez ciclos en la estructura curricular de Ingeniera Civil ...... 36

Figura 11. Ejemplo 3 y grfica de su respectiva funcin ............................................. 38




Figura 15. Ejemplo 10 y grfica de su respectiva funcin ........................................... 40

Figura 16. Funcin propuesta por Euler ...................................................................... 44

Figura 17. Los equipos de estudiantes durante la segunda etapa. ................................ 53

Figura 18. Pregunta 1-a desarrollada por el equipo 1 .................................................. 55


Figura 20. Pregunta 1-b desarrollada por el equipo 1 .................................................. 58


Figura 22. Pregunta 1-c desarrollada por el equipo 1 .................................................. 59


Figura 24. Pregunta 1-d desarrollada por el equipo 1 .................................................. 61



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Figura 48. Pregunta 5-e desarrollada por el equipo 1 .................................................. 87


Figura 50. Pregunta 5-f desarrollada por el equipo 1......................................... .......... 89

Figura 51. Pregunta 5-f desarrollada por el equipo 2......................................... .......... 90


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Figura 62. Pregunta 7-a desarrollada por el equipo 1 ................................................ 101


Figura 64. Pregunta 7-b desarrollada por el equipo 1 ................................................ 103


Figura 66. Pregunta 7-c desarrollada por el equipo 1 ................................................ 105








Figura 74. Pregunta 8-d desarrollada por el equipo 1 ................................................ 116





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Figura 84. Pregunta 10-a desarrollada por el equipo 1 .............................................. 128

Figura 85. Pregunta 10-a desarrollada por el equipo 2 .............................................. 129

Figura 86. Pregunta 10-b desarrollada por el equipo 1 .............................................. 130

Figura 87. Pregunta 10-b desarrollada por el equipo 2 .............................................. 130

Figura 88. Pregunta 10-c desarrollada por el equipo 1 .............................................. 132

Figura 89. Pregunta 10-c desarrollada por el equipo 2 .............................................. 133


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Tabla 1. Libros de consulta de los estudiantes ............................................................. 37

Tabla 2. Graficando una funcin por tramos con el comando Si [] ............................... 46

Tabla 3. Graficando una funcin por tramos con el comando Funcin [] ..................... 47

Tabla 4. Resultados de la prueba diagnstica aplicada ................................................. 49

Tabla 5. tems de preguntas y archivos de la secuencia de aprendizaje ........................ 50

Tabla 6. Propiedades del GeoGebra y propiedades de la funcin definida por tramos .. 51

Tabla 7. Pregunta 1 y archivo Pregunta_1.ggb de la secuencia de aprendizaje ............. 54

Tabla 8. Graficando un punto (Modelo SAI) Equipo 1 ............................................. 56

Tabla 9. Graficando un punto (Modelo SAI) Equipo 2 ............................................. 57

Tabla 10. Graficando una recta (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 .................... ............ ..... 59

Tabla 11. Regla de correspondencia def (Modelo SAI) Equipo 1 ............................ 61

Tabla 12. Regla de correspondencia de f (Modelo SAI) Equipo 2 ............................. 62

Tabla 13. Pregunta 2 y archivo Pregunta_2.ggb de la secuencia de aprendizaje ........... 63

Tabla 14. Identificando las coordenadas de B (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 .............. 65

Tabla 15. Regla de correspondencia de f cuando pasa por (0,0) Equipo 1 y 2 .......... 67

Tabla 16. Coordenadas de B cuando f (x)=x-2 (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 ............ 68


Tabla 18. Identificando el punto que se traslada (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 ........... 71

Tabla 19. Calculando a y b para que f(x)=x2+2x-1 (Modelo SAI) Equipo 1 ............. 72

Tabla 20. Calculando a y b para que f(x)=x

2

+2x-1 (Modelo SAI) Equipo 2 ............. 73


Tabla 22. Graficando funciones con dominio natural (Modelo SAI) Equipo 1 ......... 76

Tabla 23. Graficando funciones con dominio natural (Modelo SAI) Equipo 2 ......... 77

Tabla 24. Pregunta 5 y sus archivos Pregunta_5a.ggb y Pregunta_5a.ggb .................... 79


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Tabla 25. Graficandof definida en un intervalo cerrado (Modelo SAI) Equipo 1 .... 81

Tabla 26. Graficando f definida en un intervalo cerrado (Modelo SAI) Equipo 2 .... 82

Tabla 27. Graficando g definida en un intervalo cerrado (Modelo SAI) Equipo 1 .... 84

Tabla 28. Graficando g definida en un intervalo cerrado (Modelo SAI) Equipo 2 .... 85

Tabla 29. Graficando dos funciones con un solo comando (Modelo SAI) Equipo 1 . 88

Tabla 30. Graficando dos funciones con un solo comando (Modelo SAI) Equipo 2 . 89


Tabla 32. Dominio de una funcin definida por tramos (SAI) Equipos 1 y 2 ........... 92

Tabla 33. Rango de una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 ..... 94

Tabla 34. Funcin definida por tramos de trazo continuo (Modelo SAI) Equipo 1 .... 95

Tabla 35. Funcin definida por tramos de trazo continuo (Modelo SAI) Equipo 2 .... 96

Tabla 36. Dominio de la funcin construida (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 .................. 98

Tabla 37. Intervalo donde de la funcin es creciente (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 ..... 99

Tabla 38. Pregunta 7 y archivo Pregunta_7.ggb de la secuencia de aprendizaje ......... 100

Tabla 39. Intervalos donde de la funcin es decreciente (SAI) Equipo 1 y 2 ........... 102

Tabla 40. Identificando el rango de f (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 .......................... 104

Tabla 41. Regla de correspondencia cuando f es de trazo continuo Equipo 1 y 2 ..... 106

Tabla 42. Pregunta 8 y sus archivos Pregunta_8a.ggb y Pregunta_8b.ggb ................. 107

Tabla 43. Tramos de una funcinf definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 .... 109

Tabla 44. Tramos de una funcin f definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 2 ... 110

Tabla 45. Regla de una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 ......... 112


Tabla 47. Graficando una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 ...... 114


Tabla 49. Pregunta 9 y archivo Pregunta_9.ggb de la secuencia de aprendizaje ......... 117



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Tabla 52. Dominio de una funcin definida por tramos (SAI) Equipo 1 y 2 ........... 122

Tabla 53. Rango de una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 ... 123

Tabla 54. Transformando una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 125

Tabla 55. Transformando una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 126

Tabla 56. Pregunta 10 y archivo Pregunta_10.ggb de la secuencia de aprendizaje ..... 127

Tabla 57. Rango de una funcin definida por tramos (Modelo SAI) Equipo 1 y 2 ... 129

Tabla 58. Transformando a una funcin de trazo continuo (SAI) Equipo 1 y 2 ....... 131




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A A .............................................................................................................. 16

A 1 A BA ........................................................................................................ 17

A 2 A A ............................................................................... 33

A 3 A A ............................................................................ 43

A 4 A .............................................................................................. 48


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15

A A .............................................................................................................. 135

A ..................................................................................................................................... 138

A ......................................................................................................................................... 141

A ............................................................................................................................................. 167


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CONSIDERACIONES INICIALES

La presente investigacin abordar el estudio de los procesos de instrumentalizacin

relacionados con en el aprendizaje de la funcin definida por tramos por medio del software

GeoGebra, investigacin que ha de contribuir al aprendizaje del clculo. Esta contribucinconsidera destacar que, los entornos computacionales pueden promover el uso de nuevas

metodologas, y que, un aprendizaje inadecuado sobre un determinado objeto matemtico

puede generar dificultades en el aprendizaje de otros objetos matemticos.

A continuacin presentamos nuestro trabajo compuesto de cuatro captulos:

En el primer captulo, analizamos algunas investigaciones relacionadas con el aprendizaje de

la funcin definida por tramos, la importancia del uso del software de geometra dinmica en

la enseanza-aprendizaje de la matemtica, como tambin la importancia del uso del

GeoGebra en el aprendizaje del Clculo. Tambin describimos aspectos del software

GeoGebra y del enfoque instrumental de Rabardel (2011) necesarios y suficientes para

nuestra investigacin. Formulamos los problemas y objetivos de nuestra investigacin.

En el segundo captulo, sealamos que escogimos la ingeniera didctica de Artigue (1988),

como metodologa para nuestra investigacin, ya que nos permite confrontar los anlisis a

priori y a posteriori de cada actividad de la secuencia de aprendizaje que diseamos.

En el tercer captulo, estudiamos la funcin definida por tramos, primero describimos un

aspecto histrico que gira alrededor de dicha funcin. Proponemos, para inters de nuestra

investigacin, una definicin formal de una funcin definida por tramos. Luego describimos

las caractersticas del software GeoGebra que permiten obtener las grfica de una funcin

definida por tramos.

En el ltimo captulo, caracterizamos a los sujetos de nuestra investigacin, explicamos

aspectos de la seleccin de los participantes de la experimentacin, describimos la secuencia

de actividades y realizamos un anlisis a priori y a posteriori de las acciones de los estudiantes

del curso de Anlisis Matemtico I de la Universidad San Ignacio de Loyola ubicada en eldistrito de la Molina de la ciudad de Lima.


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CAPTULO 1 LA PROBLEMTICA

En esta parte de la investigacin, detallamos la problemtica que envuelve a la temtica de

este trabajo. Debemos sealar que para esto, se realiz la revisin de investigaciones

relacionadas con la mediacin instrumental y con la enseanza aprendizaje del Clculo, las

que permiten justificar que este estudio se desarrolla en un ambiente de aprendizaje con el

software educativo GeoGebra, como tambin las preguntas de investigacin con sus

respectivos objetivos.

1.1Antecedentes

Se presenta la investigacin de Salazar (2009) que asegura que en la medida que pueda

trabajarse en forma interactiva en entornos computacionales puede promoverse el uso de

metodologas diferentes a las tradicionales, Yam (2009) indica que un dbil o inadecuadoaprendizaje del concepto de una funcin definida por partes puede convertirse en un obstculo

en sentido de Brousseau (2007) para el aprendizaje de nuevos conocimientos en el rea del

clculo. Tambin la investigadora observo que el concepto matemtico de funcin por partes

inadecuadamente aprendido puede generar un obstculo en el aprendizaje de otros como el de

continuidad o discontinuidad. Para este estudio se plante lo siguiente: qu tipo de relacin

se establece entre la didctica y la historia de la funcin definida por partes? Para eso tuvo

como referencial terico un enfoque sistmico, se apoy de la teora de los Campos

Conceptuales de Vergnaud, la teora de Registros de Representacin Semitica de Duval ypara el estudio de las interacciones en aula la teora de Situaciones Didcticas de Brousseau

(2007). En el desarrollo su la investigacin primero se analiz las concepciones que tenan los

estudiantes respecto al concepto de funcin y al de funcin definida por partes, en segundo

lugar se analiz el hecho de que la funcin definida por partes debe estar al aprendizaje de

continuidad y discontinuidad de funciones, efectundose un estudio de reconocimiento grfico

de funciones con estas caractersticas. De las conclusiones de su investigacin podemos

resaltar:

- Las nociones desarrolladas tanto histrica, como didctica y cognitivamente asociadasal concepto, estn relacionadas con el anlisis de cierta irregularidad decomportamiento grfico que determinan algunos tipos de funciones.

- El conocimiento de la relacin entre cierto tipo de funciones (funciones por partes) ysu aspecto grfico, no favorece un anlisis profundo por parte de los estudiantes conrespecto a otro tipo de relaciones funcionales-grficas.


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De esta investigacin y para nuestro estudio consideramos relevante el haber identificado que,

se presentan dificultades en el aprendizaje de la funcin definida por partes como

consecuencia del aspecto grfico de esta funcin, como adems, que un deficiente aprendizaje

de esta funcin genera dificultades en el aprendizaje de otros objetos matemticos, es decir se

hacen presente obstculos en el sentido de Brousseau (2007). Para nuestro estudio, creemos

necesario prestar atencin a los obstculos relacionados con el aprendizaje de las funciones

definidas por tramos, dichos obstculos sern observados como dificultades que presentan los

estudiantes en sus acciones durante su aprendizaje de la funcin definida por tramos a travs

del GeoGebra.

Si bien este estudio permite justificar nuestra investigacin de la enseanza aprendizaje del

clculo con la funcin definida por tramos, en los estudios de la siguiente investigadora

encontramos razn suficiente para que nuestro trabajo considere el anlisis de las

interacciones de los estudiantes cuando estos desenvuelven sus aprendizajes en con medios

computacionales como los software de geometra dinmica.

Salazar (2009) observo como los estudiantes de segundo ao de secundaria se apropian de las

transformaciones geomtricas en el espacio, cuando interactan con el ambiente de Geometra

Dinmica Cabri 3D y analiza que raciocinio movilizan cuando se realizan tales actividades.

Para este estudio se plante como interrogantes De qu forma los estudiantes se apropian de

las herramientas y/o recursos del ambiente Cabri 3D cuando estudian algunas

transformaciones geomtricas en el espacio? Cmo la integracin del Cabri 3D interfiere en

el proceso de aprendizaje de esas transformaciones geomtricas en el espacio?. Para esto tuvocomo referencial terico la teora del Abordaje Instrumental de Rabardel y la teora de

Registros de Representacin Semitica de Duval. En el desarrollo de la investigacin primero

se efectu un diagnstico relacionado con conocimiento del Cabri 3D y el reconocimiento de

las transformaciones geomtricas, en particular, la simetra axial, la traslacin y la rotacin,

luego trabaj sus actividades en dos etapas, primero sobre la introduccin al Cabri 3D y luego

sobre la construccin de modelos animados. El experimento fue llevado a cabo en una escuela

particular en Brasil. En un inicio los estudiantes no mostraban experiencia previa en

Geometra Dinmica. De las conclusiones de su investigacin podemos resaltar:

- La inexperiencia de los estudiantes en la interaccin con el Cabri 3D no fue unabarrera para trabajar con dicho software.

- Los resultados obtenidos en el estudio de instrumentacin fueron similares a losesquemas de los anlisis a priori.

- Se pudo constatar que el instrumento y el objeto pueden cambiar de funcin en eldesarrollo de la actividad.


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- El software permiti un aprendizaje secuencial de los estudiantes ya que despus delos dos primeros encuentros ellos ponan un orden en las construcciones.

- Se identific indicios del surgimiento de actividades instrumentales colectivas.

De esta investigacin creemos importante considerar que la inexperiencia de los estudiantes

en el uso del software no sera una barrera para realizar nuestro estudio del aprendizaje de las

funciones definidas por tramos con el GeoGebra, como tambin que, una actividad deaprendizaje mediada por el GeoGebra podra permitir que los estudiantes sujetos a nuestra

investigacin logren un aprendizaje secuencial de la funcin definida por tramos. Creemos

que para todo el proceso de interacciones estudiantes - GeoGebra, debemos efectuar una

observacin cuidadosa del cambio de funciones que pueden presentarse tanto en el

instrumento como en el objeto matemtico en estudio.

Para la integracin de un software apropiado para la actividad de aprendizaje de la funcin

definida por tramos, encontramos en la siguiente investigacin, razones suficientes para que

nuestro estudio se lleve a cabo con el software de geometra dinmica y clculo simblico

GeoGebra.

Dvila (2010) resalta que la importancia de usar GeoGebra en el aprendizaje del clculo se

debe a la necesidad de trabajar en distintas formas de lenguaje (en particular el grfico) y

establecer relaciones entre estas. De las conclusiones de su investigacin podemos resaltar:

- No se pudo evaluar el grado en el que contribuy la propuesta, de simular con elGeoGebra fenmenos cambiantes y representar objetos variables, en favorecer a laconstruccin de los significados personales sobre los objetos variable y funcin.

- Pudo observar que los estudiantes describieron el comportamiento de magnitudestanto numricamente como grficamente con la pendiente de la recta tangente.

- Considera que su propuesta si promueve la construccin del significado de derivadacomo tambin de otros objetos del clculo mediante el desarrollo de prcticas ligadas ala resolucin de problemas de optimizacin y haciendo uso de herramientas brindadaspor ambientes dinmicos.

Uno de los aspectos ms relevantes que podemos considerar de Dvila (2010) desde la

perspectiva de nuestro tema de estudio es: aunque la integracin del GeoGebra genera la

posibilidad de promover la construccin de significados de los objetos del clculo existe la

dificultad en medir el grado en que una propuesta didctica puede contribuir a esta

construccin.


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1.2Justificacin del tema de investigacin

En el levantamiento de informacin realizado en la Universidad Nacional de Educacin

Enrique Guzmn y Valle, la Universidad Peruana Cayetano Heredia y la Pontificia

Universidad Catlica del Per no hemos podido evidenciar relacionado con nuestro tema de

investigacin trabajos de investigacin cuyo foco sea la manera en que las Tecnologas deInformacin y Comunicacin (TIC) pueden mejorar los procesos de enseanza y aprendizaje

en el rea acadmica de matemtica de los cuatro niveles educativos. Pensamos que esto

puede suceder dado que muchos investigadores somos an inmigrantes digitales, esto presenta

la posibilidad de que un investigador no haya desarrollado las destrezas suficientes como para

efectuar investigaciones en esta lnea. Se puede percibir, como en ambientes de enseanza

aprendizaje, docentes de escuela y de universidades conciben que, usar las TIC disponibles

podra mejorar desempeo del estudiante. La presentacin de un video en un televisor o

computadora, slides con un retroproyector o diapositivas con computadora, el uso de materialconcreto como regla y comps o la aplicacin de un software educativo, siempre necesita

nuevas metodologas didcticas que casi seguro no son las que todos los docentes venimos

usando en los ltimos aos.

En el caso de los estudiantes, en particular de aquellos que cursan la especialidad de

Ingeniera, la matemtica viene siendo, desde los orgenes tcnicos de esta carrera, el rea

fundamental para el quehacer ingenieril. Dado que en los ltimos aos, investigaciones en

educacin en varios idiomas estn dedicadas a la matemtica en la enseanza a nivel superior,

podra asegurar que en algunas instituciones de nivel superior existe la prioridad de que en

condiciones ptimas el estudiante aprenda cada vez mejor el Clculo.

La experiencia profesional nos indica, que luego de haber aprendido sobre las caractersticas

de las funciones reales de una variable real y en particular sobre las funciones especiales, el

estudiante presenta obstculos en el aprendizaje de una funcin definida por tramos. Esta

situacin se puede observar en una sesin de aprendizaje, en la interaccin entre el docente y

el estudiante, a travs de las respuestas a los reactivos planteados por el docente. Dificultades

en el aprendizaje de la funcin por tramos es tambin reflejada en las respuestas a preguntasplanteadas en evaluaciones estandarizadas de carcter individual y colaborativo.

En este contexto presentaremos a continuacin las caractersticas que describen mejor al

software que mediar las interacciones entre los estudiantes y la funcin definida por tramos a

travs de sus propiedades.


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1.3El software GeoGebra

GeoGebra es un software de cdigo abierto de matemtica dinmica para la enseanza y el

aprendizaje de las matemticas desde la escuela intermedia hasta nivel universitario. De

acuerdo con Hohenwarter (2012), en la actualidad el GeoGebra es usado sin mucha dificultad

como software de geometra dinmica (DGS) y como un sistema de lgebra computacional(CAS), donde las funciones bsicas del CAS se orientan a salvar algunas brechas entre la

geometra, lgebra y clculo.

Se puede acceder al GeoGebra a travs de la descarga de instaladores de GeoGebra 4 o

GeoGebra 5 beta para mltiples plataformas o ejecutar el software directamente desde

Internet utilizando GeoGebra 4 Webstart.

Figura 1. Pgina web de GeoGebra en espaol

En el rea de formacin bsica responsable del curso de Anlisis Matemtico I en la

Universidad San Ignacio de Loyola (USIL) se tiene, desde la solicitud de instalacin del

GeoGebra en las computadoras de las aulas y en los ambientes de estudio como la biblioteca y

la sala vip para los estudiantes, la intencin de que con ayuda del software el estudiante

pueda mejorar sus procesos de adquisicin y desarrollo de competencias declarados en el

diseo curricular USIL.

Por otro lado el GeoGebra viene favoreciendo a algunos docentes a superar dificultades en la

accin de comprobar propiedades y relacionar los objetos matemticos con sus

representaciones en los temas desarrollados del curso de Anlisis Matemtico 1 de la USIL,

en particular en el tema de funciones reales de una variable real.


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Elegimos el GeoGebra en su versin 5 debido a que como DGS permite al usuario crear y

modificar dinmicamente construcciones euclidianas.

El GeoGebra brinda al usuario la capacidad de construir, modificar representaciones de

objetos matemticos o tomar medidas, a travs del uso de la barra de herramientas o con la

combinacin de comandos. Otra forma de ingresar informacin es a travs de la hoja de

clculo.

Figura 2. Dos de las tres formas de ingreso de informacin al GeoGebra

El GeoGebra presenta un interfaz de usuario con tres ventanas principales que pueden

contener las representaciones algebraica, grfica y numrica de objetos matemticos y una

cuarta ventana para el clculo algebraico.

Figura 3. Las tres vistas de una funcin definida por tramos


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El GeoGebra muestra en forma automtica la ecuacin de la lnea de una funcin o de un

lugar geomtrico construido por el usuario.

Figura 4. Muestra simultnea de la forma algebraica y grfica de una funcin

En GeoGebra el cambio de alguna caracterstica como el valor de una constante o la posicin

de un objeto, hace posible evidenciar propiedades geomtricas y relaciones entre objetos

construidos.

Figura 5. Traslacin horizontal de una funcin definida por tramos

El GeoGebra es capaz de trazar la grfica en un sistema de coordenadas rectangulares tanto

ecuaciones implcitas como explicitas o una ecuacin paramtrica.


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Figura 6. Ecuacin implcita de una curva

El GeoGebra permite guardar registros de los objetos construidos a travs de la exportacin

de grficos en formatos png, eps y en cdigo para Latex. Adems permite guardar archivos

con los protocolos de las acciones del usuario en la construccin de un objeto matemtico.

Respecto a las acciones de los estudiantes en su aprendizaje con GeoGebra, creemos

necesario considerar el arrastre de objetos, debido a que es la propiedad ms resaltante de los

software de geometra dinmica. Esta cualidad nos permite modificar un objeto en la vista

grfica de GeoGebra de manera que una figura pueda convertirse en otra, identificar o validar

una caracterstica de un objeto, etc. En las investigaciones sobre el uso del modo de arrastrar o

desplazar un objeto, Arzarello y otros (2002) describen siete tipos de arrastre, de las que

destacamos cinco como tiles para analizar las actividades de nuestros estudiantes:

- Arrastre errtico: desplazar de manera aleatoria los puntos bsicos, sin un plan preciso,

para descubrir configuraciones interesantes o regularidades de la figura.

- Arrastre limitado: desplazar puntos semi-desplazables, es decir puntos sobre un objeto

y que slo pueden ser desplazados sobre ste.

- Arrastre guiado: desplazar los puntos bsicos de un grfico con el fin de darle una

forma particular y/o se mantenga una propiedad geomtrica.

- Arrastre de test: mover un punto desplazable o semi-desplazable a fin de ver si el

dibujo conserva las propiedades iniciales.

A continuacin presentaremos un enfoque de las teoras de las actividades con instrumentos

que nos permitir desarrollar nuestro estudio.


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1.4Aspectos del Enfoque Instrumental

Para estudiar los aspectos iniciales de la creacin del software GeoGebra y la funcin definida

por tramos como instrumentos de aprendizaje por parte de los estudiantes, consideramos el

enfoque instrumental presentado por Rabardel (2011), aunque es relativamente reciente,

demarca las directrices necesarias para el estudio en escenarios de enseanza y aprendizaje.Consideramos la investigacin de Salazar (2009) para sealar dos trminos clave, que de

acuerdo con este enfoque son necesarios en nuestro estudio para establecer los conceptos

principales del enfoque instrumental:

Sujeto:Refirase a un individuo o grupo de individuos que desarrollan una accin y/o son

elegidos para el estudio.

Esquemas de utilizacin: Este trmino es concebido en el sentido de los esquemas de

Vergnaud (1996) citado en Salazar (2009): un esquema es una organizacin invariante decomportamientos para clases de situaciones.

Para esta investigacin, ponemos especial atencin a los conceptos artefacto e instrumento, ya

que a partir de sus distinciones podremos analizar las primeras acciones de los estudiantes en

su interaccin con el GeoGebra y con la funcin definida por tramos. De acuerdo a la

orientacin antropotcnica que establece Rabardel (2011) podemos afirmar que:

Artefacto: Puede entenderse como una cosa susceptible de su uso, elaborada para inscribirse

en actividades intencionales, es decir, la intencionalidad es causa de su existencia.

Cada artefacto es diseado para producir una clase de efectos y le corresponden posibilidades

de transformaciones de los objetos de la actividad.

Puede ser un medio material como un regla, una chaquitaclla (instrumento agrcola para el

labrado utilizado en zonas andinas), un computador, entre otros. Tambin puede ser un medio

simblico como el cdigo Morse, la iconografa inca, el lenguaje algebraico, un grfico en un

sistema de coordenadas rectangulares, etc.

Instrumento: Puede entenderse como un artefacto en situacin, inscrito en su uso, y en

relacin instrumental a la accin del sujeto.

Es as que Rabardel (2011) cree necesario definir al instrumento de la siguiente manera:

una entidad mixta, que comprende, a la vez, al sujeto y al objeto (en elsentido filosfico del trmino): el instrumento es una entidad compuesta queincluye una componente artefactual (un artefacto, una fraccin de artefacto oun conjunto de artefactos) y una componente cognitiva (el o los esquemas de


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utilizacin, a menudos relacionados con esquemas de accin ms generales)(p. 178).

Es decir, el concepto de instrumento involucra tanto al artefacto como a los esquemas

mentales desarrollados por el estudiante cuando realiza una clase de tareas, como se muestra

en la figura 7.

Figura 7. Componentes de un instrumento

Resaltamos que un mismo esquema de utilizacin puede aplicarse a una multiplicidad de

artefactos que pertenecen a la misma clase como tambin a clases vecinas o diferentes. Es

decir, un esquema desarrollado en la accin sobre un artefacto puede transponerse de un

artefacto a otro, pero tambin puede causar problemas con el otro artefacto. En nuestro caso

estos artefactos podran ser a nivel de software el AutoCAD con el GeoGebra, o a nivel de

funciones, la funcin cuadrtica con la funcin definida por tramos.

De acuerdo a Rabardel (2011), el enfoque instrumental estudia la diferencia que existe entre

el artefacto, instrumento y los procesos que desenvuelven la transformacin progresiva del

artefacto en instrumento, transformacin que denomin como proceso Gnesis Instrumental.

Para el anlisis en nuestra investigacin, es necesario considerar aspectos de los instrumentos

que nos permitan identificarlos en la gnesis instrumental del GeoGebra como de la funcin

definida por tramos. Sobre estos aspectos, Rabardel (2011) considera que:

La posicin intermediaria del instrumento hace de l un mediador de lasrelaciones entre el sujeto y el objeto. Constituye un universo intermediariocuya caracterstica principal es adaptarse doblemente al sujeto ya al objeto,

una adaptacin en trminos de propiedades materiales pero tambincognitivas y semiticas en funcin del tipo de actividad en el que se insertael instrumento o para el cual est destinado (p. 135)

Del mismo autor identificamos dos perspectivas de la mediacin que nos permiten

caracterizar las propiedades de nuestros instrumentos:


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La mediacin epistmica, donde el instrumento es un medio que permite el conocimiento del

objeto. La mediacin va dirigida del objeto al sujeto.

La mediacin pragmtica, donde el instrumento es un medio de accin transformadora del

objeto. La mediacin va dirigida del sujeto al objeto.

Es as que Verillon y Rabardel (1985) citado en Rabardel (2011), proponen el modelo deSituaciones de la Actividad Instrumentada (IAS: Instrumental Activity Situations) con la

finalidad de caracterizar, desde los polos sujeto, instrumento y objeto, las situaciones donde el

artefacto sufre una transformacin. Este conjunto de polos es denominado por Rabardel

(2011) como Triada caracterstica de las Situaciones de la Actividad con Instrumentos. Las

posibles interacciones de esta triada estn representadas en la figura 8.

Figura 8. Modelo de Situaciones de la Actividad instrumentada

Fuente: Rabardel (2011 p. 98)

Para analizar las acciones de los estudiantes (sujetos) en su aprendizaje de la funcin definida

por tramos (objeto/instrumento) mediados por el GeoGebra (instrumento), creemos necesario

considerar este modelo ya que nos permitir estudiar algunas interacciones entre los

elementos de la triada en la situacin de aprendizaje que planteamos para nuestro estudio, es

as que consideramos las siguientes interacciones:

[S-O d] Sujeto Objeto (directa)

[S-I] Sujeto Instrumento

[I-O] Instrumento Objeto


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[S-O m] Sujeto Objeto (mediada por el instrumento)

Estas interacciones se desarrollan en un ambiente formado por el conjunto de condiciones que

el estudiante debe tener para realizar sus actividades.

La evolucin de artefactos relacionada con la actividad del sujeto y el surgimiento de losesquemas de utilizacin, concierne a dos dimensiones, dos orientaciones diferentes y a la vez

conjuntas: la instrumentalizacin dirigida hacia el artefacto y la instrumentacin diriga hacia

el sujeto mismo. Sobre esto Rabardel (2011) asegura que:

Las gnesis instrumentales, los procesos de instrumentacin y deinstrumentalizacin constituyen un campo de investigacin considerableque es necesario desarrollar. La instrumentalizacin del artefacto secompleta por una instrumentacin. (p. 223)

De acuerdo al enfoque instrumental estos procesos se pueden definir como:Instrumentalizacin: Es un proceso referido al surgimiento y evolucin de los componentes

artefacto del instrumento: seleccin, reagrupacin, produccin, institucin de funciones,

catacresis, atribucin de propiedades, transformacin del artefacto (estructura,

funcionamiento, etc.) que prolongan las creaciones y realizaciones de artefactos cuyos lmites

son difciles de determinar debido a este proceso de transformacin.

Instrumentacin: Es un proceso relativo al surgimiento y a la evolucin de los esquemas de

utilizacin y de accin instrumentada: constitucin, funcionamiento, evolucin por

acomodacin, coordinacin, combinacin, inclusin y asimilacin recproca, asimilacin de

artefactos nuevos a esquemas ya constituidos.

Respecto a lo descrito, nuestro foco de estudio se encuentra en los procesos de

instrumentalizacin, que segn Rabardel (2010):

La instrumentalizacin puede definirse como un proceso de enriquecimientode las propiedades intrnsecas del artefacto por parte del sujeto. Un procesoque se basa en las caractersticas y propiedades intrnsecas del artefacto y lesda un estatus en funcin de la accin en curso y de la situacin. (p 216).

Se pueden distinguir dos niveles de instrumentalizacin por atribucin de funcin a un

artefacto:

- En un primer nivel, la instrumentalizacin es local, relacionada con una accin

singular y con circunstancias de su desarrollo. El artefacto est instrumentalizado

momentneamente.


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- En un segundo nivel, la funcin adquirida se conserva de manera durable como una

propiedad del artefacto en relacin con una clase de acciones, de objetos de la

actividad de situaciones. La instrumentalizacin es durable o permanente.

El proceso de instrumentalizacin puede estudiarse tanto desde el punto de vista de la

estructura como del plano del funcionamiento, como es el caso de los artefactos procedentes

de tecnologas informticas y en nuestro caso particular el GeoGebra. Cabe aclarar que los

procesos de instrumentalizacin no se limitan a los artefactos de carcter tecnolgico, de

acuerdo con Rabardel (2011) los lenguajes operativos son productos de una transformacin

hecha por operarios.

Segn Trouche (2004), Rabardel (1995) eligi la palabra catacresis para designar una

situacin donde una herramienta es usada en lugar de otra o para hacer algo que no haba sido

concebida.

Respecto a la instrumentalizacin Trouche (2004) sugiere la existencia de tres estadios:

- Estadio de descubrimiento y seleccin de las teclas y comandos relevantes: Por

ejemplo, cuando un estudiante selecciona un cono de la barra de herramientas o

identifica un comando de la barra de entrada para representar grficamente una

funcin en el GeoGebra.

- Estadio de personalizacin: Por ejemplo, cuando un estudiante usa el Zoom del

GeoGebra para tener mejor vista de los detalles de los objetos que se pueden construir

o manipular en la ventana grfica del software.

- Estadio de transformacin: Por ejemplo, cuando el estudiante crea en la barra de

herramientas del GeoGebra una macro para realizar varias construcciones rpidas,

todas basadas en el mismo proceso.

Teniendo como base este enfoque instrumental, consideramos que existe la necesidad de

caracterizar la forma como los estudiantes enfrentan las restricciones de la situacin de la

actividad con instrumentos. Respecto a esto Rabardel (2011) asegura:

El artefacto constituye para el sujeto un conjunto de restricciones que se leimponen y que debe administrar en la singularidad de cada una de susacciones. Las restricciones son por supuesto diferentes segn los tipos deactividad en relacin con el artefacto. (p. 269).

Rabardel (2011) seala tres tipos de restricciones que impone el artefacto:

- Restricciones de modalidades de existencia: relacionadas con propiedades del

artefacto como objeto material o cognitivo.


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- Restricciones de intencionalidad: relacionadas con los objetos sobre los cuales permite

actuar y las transformaciones que autoriza.

- Restricciones de estructuracin de la accin: relacionadas con la pre estructuracin de

la accin del usuario.

El enfoque instrumental establece que las acciones de los estudiantes tambin estn

influenciadas por la manera como el artefacto es comprensible para ellos, es decir, que tan

visible es el artefacto o parte de l. Esta visibilidad es tratada por Rabardel (2011) en trminos

de transparencia del artefacto, de los enfoques y distintos tipos de transparencia que analiz

este autor, describimos brevemente aquellos que nos permitirn analizar la visibilidad de la

funcin definida por tramos como la del software GeoGebra.

Transparencia cognitiva: Que nos permite analizar la visibilidad de herramientas cognitivas,

como la funcin definida por tramos. Esta transparencia define el grado de accesibilidad del

sujeto a los conocimientos, procedimientos y modelos subyacentes al funcionamiento de laherramienta. Segn Rabardel (2011):

El criterio que permite hablar de transparencia es la proximidad con lasrepresentaciones iniciales de los sujetos: por ejemplo, a mayor proximidadentre una herramienta de representacin externa y las representacionesiniciales de los operarios (con relacin a los procesos representados y a lostratamientos efectuados) debera haber mayor transparencia para losoperarios y eso debera facilitar el aprendizaje. (p. 289)

Transparencia operativa: Que nos permite analizar en referencia a la distancia que el

instrumento inscribe entre el sujeto y lo real, de la complejidad de los esquemas necesariospara su utilizacin y su asimilacin, como es el caso de los esquemas necesarios para la

utilizacin del software GeoGebra. Esta transparencia es relativa a la accin del usuario con el

instrumento y sobre ste. Segn Rabardel (2011):

Por eso proponemos el concepto de transparencia operativa para designar laspropiedades caractersticas del instrumento, pertinentes para la accin delusuario, as como la manera como el instrumento las vuelve accesibles,comprensibles, incluso perceptibles por parte del usuario. (p. 291)

1.5Delimitacin del problema

Como sealamos anteriormente, las investigaciones en Enseanza de la Matemtica revisadas

hasta el momento, especficamente Yam (2009), muestran que existen problemas en el

aprendizaje del Clculo, en particular en integracin de conceptos ya adquiridos en el

aprendizaje de la funcin definida por tramos.


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Es as que surge el inters por investigar, disear y elaborar una propuesta que permita

analizar cuestiones de ndole cognitivo (como se aprende) y didctico (como se ensea) en un

medio donde los software como GeoGebra sean vistos por el docente como un recurso

oportuno para el ptimo aprendizaje y enseanza sobre un determinado objeto matemtico.

Cabe resaltar que las inquietudes hacia esta lnea de investigacin tuvieron origen en

ambientes donde existan como nicos recursos tecnolgicos, un aparato de televisin y un

reproductor de DVD, al da de hoy, los medios donde se vienen desenvolviendo los

aprendizajes en matemtica para estudiantes de ingeniera, no solo tienen mejores recursos

TIC sino que develan nuevos problemas en el proceso de enseanza aprendizaje de las

matemticas, estos permitieron direccionar mis inquietudes hacia el presente tema de estudio.

Para esta investigacin se ha considerado el estudio de la mediacin instrumental del software

de GeoGebra en el aprendizaje de la funcin por tramos en escenarios didcticos que

posibiliten el desenvolvimiento de las potencialidades de los estudiantes.

Problema de investigacin

Es as que elaboramos las siguientes preguntas:

Cmo una secuencia de aprendizaje puede minimizar las dificultades que se presentan a los

estudiantes cuando instrumentalizan algunas propiedades del software GeoGebra en su

aprendizaje de la funcin definida por tramos?Cmo una secuencia de aprendizaje puede minimizar las dificultades que se presentan a los

estudiantes al instrumentalizar propiedades de la funcin definida por tramos en su

aprendizaje con el GeoGebra?

Objetivos de la investigacin

De la formulacin anterior, se desprenden los siguientes objetivos de investigacin:

1. Analizar las acciones de los estudiantes que instrumentalizan al GeoGebra en una

secuencia de aprendizaje de la funcin definida por tramos.

2. Estudiar las acciones de los estudiantes cuando instrumentalizan la funcin definida por

tramos en una secuencia de aprendizaje de esta funcin mediada por el GeoGebra.


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Para alcanzar los objetivos generales pretendemos lograr los siguientes objetivos especficos:

1. Disear una actividad que permita a los estudiantes iniciarse en el uso del GeoGebra

durante el aprendizaje de la funcin definida por tramos.

2. Describir las acciones que permiten a los estudiantes la instrumentalizacin del GeoGebra

y la instrumentalizacin de la funcin definida por tramos en una secuencia de aprendizaje

de esta funcin mediada por el GeoGebra.

3. Identificar las dificultades que se presentan a los estudiantes al instrumentalizar algunas

propiedades del software GeoGebra en su aprendizaje de la funcin definida por tramos.

4. Identificar las dificultades que se presentan a los estudiantes al instrumentalizar algunas

propiedades de la funcin definida por tramos en su aprendizaje con el GeoGebra.


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CAPTULO 2 METODOLOGA DE INVESTIGACIN

En este captulo describiremos brevemente las caractersticas de nuestra metodologa de

investigacin la cual es cualitativa-experimental considerada en este trabajo a travs de la

ingeniera didctica, ya que permitir analizar exhaustivamente todos los componentes de los

procesos de construccin y comunicacin de los saberes matemticos en la clase.

2.1Ingeniera Didctica

La nocin de ingeniera didctica surge a inicios de los 80 en Francia como una metodologa

para las realizaciones tecnolgicas de los hallazgos de la teora de Situaciones Didcticas. Su

nombre surge al comparar el trabajo didctico con el trabajo de un ingeniero. Segn Artigue

(1995):

() para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientoscientficos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo cientfico.Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetosmucho ms complejos que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tieneque abordar prcticamente, con todos los medios disponibles, problemas delos que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo. (p. 33).

As, al igual que un ingeniero, el profesor concibe, realiza, observa y analiza secuencias de

enseanza para lograr el aprendizaje de un contenido matemtico determinado por un grupo

especfico de alumnos. Por otra parte, a medida que pone en prctica lo planeado evoluciona

de acuerdo a las interacciones que se producen en clase.El trmino ingeniera didctica se utiliza con una doble funcin en la didctica de las

matemticas:

Como metodologa de investigacin experimental de tipo casustico Como mtodo de produccin de situaciones de enseanza y aprendizaje

Es oportuno aclarar que en nuestra metodologa el esquema experimental de la ingeniera

didctica est orientado a las observaciones y el anlisis de las secuencias de aprendizaje en el

aula, de la funcin definida por tramos en un medio de interaccin con el recurso tecnolgico

GeoGebra. Como caracterstica de esta metodologa el control de la validez es interno y se

consigue por contraste entre lo que planificamos y lo que realmente sucedi en las actividades

diseadas para nuestra investigacin.


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Fases de la Ingeniera Didctica

Consta de cuatro fases, donde en cada una de ellas puede predominar la funcin investigadora

o la funcin de enseanza aprendizaje segn las actividades realizadas por el ingeniero-

profesor

Habiendo presentado ya las 4 fases de la ingeniera didctica, explicaremos en qu consiste

cada una de ellas.

La concepcin de esta metodologa como ingeniera exige un anlisis respecto al cuadro

terico general y tambin sobre los conocimientos didcticos adquiridos y relacionados con el

tema de investigacin. Segn Artigue (1995):

En una investigacin en ingeniera didctica, la fase de concepcin se basano solo en un cuadro terico didctico general y en los conocimientosdidcticos previamente adquiridos en el campo de estudio, sino tambin enun determinado nmero de anlisis preliminares. (p.38).

Considerando los objetivos de esta investigacin, este anlisis se efectuar en los siguientes

aspectos:

Aqu se analizar los contenidos contemplados en la enseanza, en nuestro estudiocorresponde a la caractersticas de la funcin definida por tramos.

Aqu se analizar las concepciones de los estudiantes, las dificultades que determinan suevolucin.

Para desarrollar las actividades propuestas en nuestra investigacin, en sesiones previas a la

experimentacin los estudiantes han desarrollado competencias en los niveles inicio,

desarrollo, competente o ejemplar, de acuerdo a la categora de logros de aprendizaje por

competencias diseado para cursos de matemticas (Anexo) en la Universidad San Ignacio de

Loyola:

I. Comunicacin matemtica

a. Comprenden el concepto de funcin real.

b. Aplican las propiedades fundamentales y operaciones con funciones.

II. Modelamiento matemtico

c. Identifican las funciones constante, lineal y cuadrtica.


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III.Resolucin de problemas

d. Representan en un sistema de coordenadas rectangulares una funcin constante,

lineal o cuadrtica.

Para motivos de nuestro estudio, creemos que necesario efectuar una seleccin de los

estudiantes que venan desarrollando las competencias matemticas en el curso de Anlisis

Matemtico I. Asegurar un estndar mnimo en las competencias desarrolladas por los

estudiantes permitir prever y controlar dificultades en nuestra experimentacin, como

describiremos en el captulo 4.

Aqu describimos el tratamiento que se da a las funciones definidas por tramos en las sesionesdel curso de Anlisis Matemtico I, las estrategias sealadas en el slabo y el tratamiento delobjeto matemtico en los textos referenciados en dicho documento.

Como parte de nuestra metodologa y previo a elaborar nuestra secuencia didctica,realizamos un estudio preliminar de las orientaciones de enseanza (aspecto didctico)

teniendo como focos de atencin para este estudio, las funciones definidas por tramos y uso

del software GeoGebra en el curso de Anlisis Matemtico I de las carreras de Ingeniera en

la Universidad San Ignacio de Loyola (USIL).

La funcin definida por tramos es tratada en el curso de Anlisis Matemtico I que se imparte

a los estudiantes de las carreras de Ingeniera Agroindustrial y Agronegocios, IngenieraIndustrial y Comercial, Ingeniera Informtica y de Sistemas, Ingeniera Civil, Ingeniera

Empresarial e Ingeniera en Industrias Alimentarias, como mostramos en la figura 9.

Figura 9. Relacin de carreras de ingeniera en la USIL

Fuente: www.usil.edu.pe

El curso de Anlisis Matemtico I es un curso obligatorio sin pre requisito, como se muestra

en la estructura curricular publicada en la pgina web de la USIL (figura 10), cuenta con seis


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horas (de cincuenta minutos cada una) a la semana, desarrolladas durante las diecisis

semanas de un ciclo regular o semestre acadmico de acuerdo al slabo del curso (Anexo1).

Figura 10. Cuatro de los diez ciclos en la estructura curricular de Ingeniera Civil

Fuente: www.usil.edu.pe

Los temas que se desarrollan, anteceden y se encuentran relacionados a las sesiones de

aprendizaje de la funcin definida por tramos son las siguientes:

Mdulo 1: Sistema de nmeros reales

- Sistema de los nmeros reales.

- Razones e identidades trigonomtricas.

- Inecuaciones lineales, polinmicas, racionales y valor absoluto.

Mdulo 2: Geometra analtica

- Rectas.

- Programacin lineal.

- Circunferencia, elipse, parbola e hiprbola.

Mdulo 3: Funciones reales de variable real

- Definicin, caractersticas, modelamiento y transformacin de funciones.

- Funcin lineal y sus aplicaciones.

- Funcin cuadrtica y sus aplicaciones

- Funcin raz cuadrada y sus aplicaciones.

- Funciones polinmicas, valor absoluto, racional

- Funciones exponencial, logartmica y sus aplicaciones.

- Funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente.


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Para este anlisis seleccionamos dos libros de consulta para el estudiante, referenciados en el

slabo del curso de Anlisis Matemtico I. La informacin de cada uno de estos libros es

presentada en la tabla 1.

Tabla 1. Libros de consulta de los estudiantes

LIBROS DIDCTICOS

AUTORES TTULO CAPTULOS

Ron LarsonBruce H. Edwards

Clculo

Novena edicin - 2010

P. Preparacin para el clculo

P.3 Funciones y sus grficas.

James Stewart

Clculo de una variableConceptos y contextos

Cuarta edicin 2010

1. Funciones y modelos1.1 Cuatro formas de representar una funcin.1.2 Modelos matemticos: Un catlogo de

funciones esenciales.1.3 Nuevas funciones a partir de funciones

anteriores.

La descripcin de cada libro, tiene por objetivo mostrar el tratamiento que se da a la funcin

definida por tramos e identificar posibles problemas que se presentan en cada una de sus

propuestas.

De las observaciones sobre las funciones definidas por tramos tratadas en el libro de Larson y

Edwards (2010) destacamos:

- Se introduce el concepto de funcin definida por tramos presentando nicamente el

ejemplo 3 de la pgina 21.

- En este libro todos los ejemplos son presentados con un ttulo. El ejemplo 3 ya

sealado presenta el ttulo Una funcin definida por ms de una ecuacin.

- De este ttulo podemos entender que el autor sugiere que existen funciones definidas

por ms de una ecuacin.

- En la descripcin de las caractersticas de la funcin del ejemplo 3 no se establece que

para una funcin de esta clase es necesaria una cantidad finita de ecuaciones.

- Dado que en el Mdulo 2 de geometra analtica el uso del trmino ecuacin, no fue

tratado nicamente como una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se

verifica para una cantidad finita valores de las variables o incgnitas x e y , sino

tambin como una declaracin matemtica que asevera que dos cantidades que

contienen esas variables son iguales para un conjunto infinito de pares ordenados

( ),a b donde x a= e y b= . Entonces el trmino ecuacin relacionado con el de


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funcin en el ttulo del ejemplo 3 ya sealado, no generara ningn tipo de obstculo

en la comprensin de la funcin definida tramos.

Figura 11. Ejemplo 3 y grfica de su respectiva funcin

Fuente: Larson (2010)

De las observaciones sobre las funciones definidas por tramos tratadas en el libro de Stewart

(2010) destacamos:

- Como parte de la seccin 1.1 Cuatro formas de representar una funcin el autor

presenta una sub seccin de ttulo Funciones definidas por partes. En esta se

introduce el concepto de funcin definida por tramos proponiendo los ejemplos del 7

al 10 y afirmando que las funciones presentadas en estos estn definidas por

diferentes frmulas en diferentes partes de sus dominios.

- El ejemplo 7 presenta la forma algebraica de una funcin definida nicamente por dos

reglas de correspondencia, diferentes y bsicas, como la recta 1y x= y la parbola2

y x= cuyas caractersticas fueron descritas en el ejemplo 2 de la pgina 14. Notamos

tambin que cada formula descrita corresponde a una funcin diferente con su

respectivo dominio y que la unin de estos dominios corresponde al dominio de la

funcin f


Fuente: Stewart (2010)


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- El ejemplo 10 presenta un caso de contexto real, donde se justifica el uso de la funcin

definida por tramos. El libro de Stewart (2010) respalda los siguientes aspectos

tericos de nuestra definicin:

I. La regla de correspondencia de f se escribe en funcin de dos o ms reglas de

correspondencia.

II. Cada una de las reglas de correspondencia est definida en partes distintas del

dominio de f .

III. La unin de todos los dominios de if es el dominio de f y la interseccin de

los mismos es el conjunto vaco.


Fuente: Stewart (2010)

Podemos agregar que como resultado de una revisin bibliogrfica, observamos que las

caractersticas de las funciones definidas por tramos descritas en los libros de consulta de los

estudiantes mencionados en la tabla 1, se encuentran integradas en la descripcin del libro

Matemticas 1 Clculo diferencial de Zill (2011) donde se asegura que una funcin f puede

implicar dos o ms expresiones o frmulas, cada una definida en partes distintas sobre el

dominio de f . Una funcin definida de esta manera se denomina funcin definida por

partes(p. 25). Estas caractersticas son la base de nuestra referencia para proponer ms

adelante una definicin de la funcin definida por tramos apropiada para los intereses denuestra investigacin.


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En esta fase el investigador toma la decisin de actuar sobre determinadas variables del

sistema que no estn fijadas por las restricciones. A estas variables se les llama las variables

de comando, las cuales son pertinentes nuestro en tema de investigacin.

Artigue (1995) considera dos tipos de variable de comando:

Variables macro-didcticas o globales son las asociadas con la organizacin y gestin del

medio, se dice que son concernientes a la organizacin global de la ingeniera.

Variables micro-didcticas o locales son las asociadas a la organizacin local de la ingeniera,

o sea la organizacin de una secuencia o fase dependiente del contenido didctico en que se

enfoca la enseanza. En nuestro caso organizamos las variables de acuerdo al tipo de artefacto

investigado:

Variables respecto a la gnesis instrumental del GeoGebra:

- Los tipos de conos presentes en la barra de herramientas.

- El aspecto de la ventana grfica del GeoGebra: presencia de la cuadrcula y condicin

del zoom en el sistema de coordenadas.

- El tipo de comandos para graficar funciones.

Variables respecto a la gnesis instrumental de la funcin definida por tramos:

- Los tipos de expresiones que conforman la regla de correspondencia.

- Tipos de grficos de las funciones definidas por tramos.

- La cantidad de expresiones que conforma la regla de correspondencia.

Esta fase, el proceso de enseanza y aprendizaje, se inicia con el contacto

investigador/profesor/observador con el grupo de estudiantes objeto de la investigacin.

As la experimentacin supone:

La explicitacin de las condiciones de realizacin de la investigacin a los estudiantesseleccionados.

El establecimiento del contrato didctico. La aplicacin de los instrumentos diseados en la fase anterior. El registro de las observaciones realizadas durante experimentacin.

Cuando la experimentacin dura ms de una sesin, se recomienda hacer un anlisis a

posteriori local, con la finalidad de hacer las correcciones necesarias de una sesin a otra.


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Esta fase se basa en el conjunto de datos recolectados en la fase de experimentacin as como

las observaciones realizadas en la secuencia de enseanza, al igual que las producciones de

los estudiantes en clase o fuera de ella. Estos datos se complementan con otros obtenidos por

otras recopilaciones de datos como cuestionarios, entrevistas, etc. aplicados en distintos

momentos de la enseanza.

Se har una comparacin entre el anlisis a priori y el anlisis a posteriori, se fundamenta en

esencia la validacin de las hiptesis formuladas en la investigacin. Luego de esta

comparacin se precisarn que aspectos no logrados quedarn como cuestiones abiertas para

futuras ingenieras didcticas.


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CAPITULO 3 - FUNCIN DEFINIDA POR TRAMOS

En esta parte presentaremos una breve referencia de la evolucin del concepto de funcin

como tambin los aspectos matemticos que definen a la funcin definida por tramos.

3.1Algunos aspectos histricos

La experiencia nos demuestra que un estudiante consigue difcilmente desenvolver un

concepto de funcin lo suficientemente aproximado a su generalidad, esto es tal vez posible

porque en matemtica el concepto de funcin no solo es fundamental sino que tambin es

muy abstracto. De acuerdo a esto Ruiz-Higueras (1994) afirma que el concepto de funcin,

tal como se define actualmente en matemticas, es un objeto muy elaborado como

consecuencia de numerosas generalizaciones realizadas a travs de una evolucin de ms de 2

000 aos (p. 147). La evolucin histrica de la nocin de funcin fue analizada por Ruiz-Higueras (1994) en las siguientes etapas:

La etapa de la antigedad, en donde, de acuerdo con Youschkevitech (1996), los aportes en la

nocin de funcin se encuentran en la Astronoma, los babilonios utilizaron tablas de

funciones, teoremas geomtricos y reglas de interpolacin. Ruz-Higueras (1994) afirma que

en el pensamiento griego exista una idea primitiva de funcin contenida en las nociones de

cambio y relacin entre magnitudes variables.

La etapa de la edad media, en donde los rabes introdujeron la trigonometra al estudio de

todo tipo de tringulos planos y esfricos a partir de un conjunto de medios auxiliares de la

Astronoma, perfeccionaron el mtodo de tabulacin y se comenz a utilizar la interpolacin

cuadrtica. En esta misma etapa Oresme inicio sus estudios sobre el uso de segmentos

rectilneos para representar todo lo que vara, lo que sera hoy, segn Azcrate y Deulofeu

(1996), la representaciones grficas de la funciones sobre los ejes cartesianos.

En los siglos XV y XVI, donde Ruz-Higueras (1994) distingue la formulacin de lo que hoy

consideramos variable en una funcin o incgnita de una ecuacin y la formacin

definitiva de las funciones trigonomtricas, favorables al desarrollo concepto de funcin.

La etapa del siglo XVII, donde segn Boyer (1987), Fermat y Descartes mostraron el mundo

de la representacin analtica, lo que permiti traducir un problema de geometra plana en

un problema algebraico equivalente, esto permiti concebir figuras representadas por

expresiones ( ), 0P x y = .


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La etapa del siglo XVIII, en donde el concepto de Jean Bernoulli sugiere una forma analtica

en las funciones sin dejar claro la manera en que deben constituirse estas funciones a partir de

la variable independiente. Euler discpulo de Bernoulli estudi el caso de la cuerda vibrante y

a travs de este problema tuvo necesidad de considerar funciones ms generales que aquellas

funciones analticas. As defini funciones como la que se muestra en la figura 16.

Figura 16. Funcin propuesta por Euler

Fuente: Ruz-Higueras (1994)

En 1970, Charles mostr que funciones que estn definidas por ms de una regla de

correspondencia, en intervalos diferentes, pueden representarse tambin por una sola

expresin. La etapa del siglo XIX, Cauchy propuso en el sentido de Charles una funcin que

puede ser representada por una sola expresin 2x para todos los valores reales de x , en

donde la regla de correspondencia de dicha funcin es:

0

0

x xy

x x


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Podemos observar en esta breve descripcin de la evolucin histrica de la nocin de funcin,

que fue necesario considerar la funcin definida por tramos en el intento de resolver

problemas de mecnica o establecer un concepto general de funcin. Dado que la

epistemologa de la funcin por tramos no parece que se produjo de manera clara, creemos

que es posible que los estudiantes presenten dificultades en su aprendizaje de dicha funcin.

3.2Estudio de las funciones definidas por tramos

Para nuestro estudio requerimos establecer un conjunto de funciones base o de partida para el

diseo de la secuencia de aprendizaje de funcin definida por tramos mediado por el

GeoGebra, en base a criterios que justifican la construccin sistemtica de conocimiento de

los estudiantes. Es as que diseamos una secuencia didctica que considera la funcin

constante, la funcin lineal y la funcin cuadrtica.

Definicin de una funcin definida por tramos

Inicialmente fijamos una familia de funciones { }:F f , que denominamos funciones

bsicas, y una familia Yde subconjuntos no vacos de , ( )Y P .

Definicin: Una funcin :f A , donde A es una funcin definida por tramos, si

existe una coleccin o familia de funciones { }:i i i If A de la forma |i iAf f= ,

donde f F y iA Y , i I , donde I es un conjunto de ndices contable, de modo que:

I. ( ) ( )if x f x= si ix A , i I . (Propiedad de la regla por tramos)

II. ii I

A A

= . (Propiedad del dominio)

III. i jA A = para ,i j I , i j . (Propiedad del no solapamiento)

IV.Dados ,i j I , i j , |i iAf f= , |j jAf g= con ,f g F , se tiene que f g

. (Propiedad de la no redundancia)

Para efectos de nuestro estudio Fes la familia de las funciones generadas por { }21, ,x x es

decir el conjunto de todas las combinaciones lineales de las funciones ( )1 1x = , ( )2 x x = y


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( ) 23 x x = con coeficientes en , adems Y es la familia de uniones a lo ms numerables

de intervalos.

Por ejemplo, la siguiente expresin:

( )

2 1 2

4 1 32 3 5

x x

f x xx x

+

=

No son tres funciones sino una sola donde la regla de correspondencia est dada en tres partes.

En este caso:

- Una parte se usa para los nmeros reales menores o igual que -2.

- Una segunda parte para los nmeros reales que verifican 1 3x .

- Una tercera parte para los nmeros mayores o igual que 5.

- El dominio de f es la unin ] ] [ ] [ [, 2 1,3 5, .- Si 8x= la regla indica que x se eleva al cuadrado y se suma la unidad.

- Si 8x = la regla indica que x se multiplica por 2 y se le resta tres unidades.

3.3Construccin de la grfica una funcin definida por tramos con GeoGebra

En la tabla 2, mostramos la construccin de la funcin definida por tramos f , segn el

comando condicional Si[] del software GeoGebra.

Tabla 2. Graficando una funcin por tramos con el comando Si []

Usando el comando Si[] escribimos enla barra de entrada las reglas decorrespondencia de los tramos de la

funcin f del ejemplo anterior:

( )

2 1 2

4 1 3

2 3 5

x x

f x x

x x

+

=


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Luego de escribir el comando con lasintaxis necesaria del comando Si[],apretamos el botn Enter del teclado

de la computadora y obtenemos lasiguiente grfica.

De acuerdo al manual oficial del GeoGebra descrito por Hohenwarter (2012), la grfica de

una funcin puede construirse tambin a travs del uso del comando Funcin[]. Aunque el uso

de este comando nos permite construir la grfica de un solo tramo a la vez de la funcin f , en

un mismo sistema de coordenadas rectangulares puede visualizarse una grfica como la

obtenida por el comando condicional Si[], como se muestra en la tabla 3.

Tabla 3. Graficando una funcin por tramos con el comando Funcin []

Usando el comando Funcin[]escribimos en la barra de entrada lasreglas de correspondencia de los tramos

de la funcin f :

( )

2 1 2

4 1 3

2 3 5

x x

f x x

x x

+

=

Luego de escribir una lista de trescomandos Funcin[] con la sintaxiscorrecta, apretamos el botn Enter delteclado de la computadora y obtenemosla siguiente grfica.

Observamos que el comando funcin no permite graficar funciones donde los intervalos son

abiertos como por ejemplo la funcin ( ) 10 1g x x= + definida para ] [1,3x , dada esta

situacin podemos asegurar que existen muchos casos en donde una lista de comandos

Funcin[] no permitira construir una funcin definida por tramos.


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CAPTULO 4 - EXPERIMENTO Y ANLISIS

En este captulo caracterizamos a los sujetos de la investigacin, describimos los aspectos de

su seleccin, explicamos el desenvolvimiento del experimento y efectuamos el anlisis a

priori y a posteriori de la secuencia de actividades segn los aspectos del enfoque

instrumental y metodologa de investigacin de nuestra ingeniera.

4.1Caracterizacin de los sujetos de la investigacin

Participaron seis estudiantes del curso de Anlisis Matemtico I de las carreras de ingeniera

de la universidad San Ignacio de Loyola, organizados en dos equipos de tres estudiantes, a

estos equipos los denominamos como Equipo 1 y Equipo 2.

Los estudiantes de estos equipos participarn en dos encuentros, el primer encuentro para una

evaluacin diagnstica que nos permita asegurar que pueden movilizar los conocimientos

previos para su normal desempeo en el segundo encuentro.

El segundo encuentro consistir en el desenvolvimiento de los estudiantes en una secuencia de

aprendizaje de la funcin por tramos mediado por el software GeoGebra.

Las actividades diseadas para nuestros fines se llevaron a cabo considerando el perfil de los

estudiantes de primer ciclo de las carreras de ingeniera. Los conocimientos previos para el

aprendizaje del concepto de las funciones definidas por tramos fueron adquiridos en las

sesiones de Anlisis Matemtico I que los estudiantes iban cursando.

4.2Seleccin de los sujetos de la investigacin

Estos estudiantes se presentaron en forma voluntaria luego de una convocatoria en dos de las

diez aulas programadas para el curso de Anlisis Matemtico I del ciclo regular 2012-2 de la

Universidad San Ignacio de Loyola.

En dicha convocatoria se inform a los estudiantes sobre la experiencia que se podra obtener

y habilidades que podran desarrollar usando el software GeoGebra en una actividad deaprendizaje de conceptos matemticos.

Con el fin de lograr objetividad en esta seleccin, aplicamos una prueba diagnstica los seis

estudiantes del curso de Anlisis Matemtico I, dicha prueba de diagnstico fue diseada para

aproximar el nivel de logro de los estudiantes en saberes previos al aprendizaje de la funcin

definida por tramos, en este diseo consider las competencias declaradas en el anlisis


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cognitivo de nuestra ingeniera didctica del Captulo 2, para esto diseo la siguiente

secuencia:

- Cinco preguntas de comunicacin matemtica.

- Dos preguntas de modelamiento matemtico.

- Dos preguntas de resolucin de problemas.

Tabla 4. Resultados de la prueba diagnstica aplicada

tem Competencia Estudiante1Estudiante

2Estudiante

3Estudiante

4Estudiante

5Estudiante

6

1 I.a.

2 I.a.

3 I.b.

4 I.b.

5 I.b.

6 III.d.

7 II.c.

8 II.d.

9 III.d.

Cantidad depreguntas resueltassatisfactoriamente

7 6 9 8 6 8

La tabla 4 consolida la cantidad de preguntas de la prueba de diagnstico que cada estudiante

ha resuelto satisfactoriamente. Se puede observar que el mayor desempeo en las preguntas

de comunicacin matemtica.

Este desempeo nos permite asegurar el desarrollo de una actividad de aprendizaje de la

funcin definida por tramos con estudiantes con buen desempeo en la aplicacin del

concepto, propiedades y las operaciones con funciones como la constante,

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