Christian Pinedo - Fundamentos da Matemática

7/29/2019 Christian Pinedo - Fundamentos da Matemtica

1/266

Christian Q. Pinedo


2/266

ii Fundamentos da Matemtica


3/266

A minha esposa: Karyn Siebert

A meus filhos: Milagros, Andr,

Matheus, Nykolas e Kevyn.

iii


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iv Fundamentos da Matemtica

Ttulo do originalFundamentos da Matemtica

Primeira Edio, janeiro de 2008

Direitos exclusivos para lngua portuguesa:GEPEM

UFT - CAMPUS DE ARAGUANA

519.5

Pinedo. Christian Quintana, 1954 -

Fundamentos da Matemtica/ Christian Jos Quintana Pinedo : Uni-

versidade Federal do Tocantins. Campus de Araguana, Curso de Cincias -

Habilitao plena em Matemtica, 2007.

250 p. il. 297mm

I. Lgica matemtica. Christian Q. Pinedo. II. Srie. III. Ttulo

CDD 519.5 ed. CDU

Araguana - TO - 2007


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SUMRIO

Notaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

Prefcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 LGICA MATEMTICA 1

1.1 EVOLUO DA LGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Evoluo da lgica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 UMA CLASSIFICAO DA LGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Lgica Indutiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Lgica Dedutiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 O que a lgica no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 O que a lgica matemtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 ENUNCIADOS. PROPOSIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Noo de raciocnio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Noo de verdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Enunciados abertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 Composio de proposies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5 Conectivos lgicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.6 Argumento: Indutivo. Dedutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.7 Tabela-verdade de uma proposio composta. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.8 Construo de uma tabela

verdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Exerccios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 TAUTOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Tautologias elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.2 Implicao lgica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.3 Equivalncia lgica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Exerccios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 LGEBRA DE PROPOSIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5.1 Propriedades da conjuno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5.2 Propriedades da disjuno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.3 Propriedades da disjuno e conjuno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.4 Mtodo dedutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

v


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vi Fundamentos da Matemtica

1.5.5 Reduo do nmero de conectivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.5.6 Princpio de dualidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Exerccios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Miscelnea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 TEORIA DA DEMONSTRAO 59

2.1 ARGUMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.1.1 Argumento: Dedutivo. Indutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.1.2 Premissas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.1.3 Inferncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.4 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1.5 A Implicao em detalhes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.6 Validade de um argumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.7 Condicional associada a um argumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1.8 Reconhecendo Argumentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1.9 Argumentos consistentes fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2 INFERNCIA LGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.1 Regras de inferncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.2 Principais regras de inferncia lgica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2.3 Verificao com o uso de tabela-verdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2.4 Verificao sem o uso de tabela-verdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Exerccios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3 DEMONSTRAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.3.1 Demonstraes diretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.3.2 Demonstraes indiretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.4 FUNES PROPOSICIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.4.1 Funo proposicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.4.2 Raiz de uma funo proposicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.5 QUANTIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.5.1 Negao de quantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.5.2 Ambigidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Exerccios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Miscelnea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3 CONJUNTOS 111

3.1 ESTUDO AXIOMTICO DA TEORIA DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . 112

3.1.1 Conceitos primitivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.1.2 Axioma de extenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.3 Axioma de especificao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.1.4 Definies de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.1.5 Conjunto Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.1.6 Classe: Vazia. Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


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Christian Jos Quintana Pinedo vii

3.1.7 Axioma do par no ordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.1.8 Incluso de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.1.9 Axioma das potncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1.10 Conjunto: Potncia. Disjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.1.11 Diagramas: De Venn-Euler. Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1.12 Complemento de um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Exerccios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2 OPERAES COM CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2.1 Unio de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2.2 Interseo de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.2.3 Diferena de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.2.4 Diferena simtrica de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.3 LGEBRA DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.3.1 Leis da lgebra de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.3.2 Princpio de dualidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.3.3 Famlia de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.4 Axioma das unies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.5 Operaes generalizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.3.6 Axioma do conjunto vazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Exerccios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 RELAES 155

4.1 OUTRAS CLASSES DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.1.1 Propriedade definida sobre um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.1.2 Quantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2 CONJUNTO PRODUTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.2.1 Par ordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.2.2 Produto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2.3 Diagonal de um produto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2.4 Relaes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2.5 Domnio e Imagem de uma relao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.2.6 Diagramas de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2.7 Grfico de uma relao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3 TIPOS DE RELAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3.1 Relao binria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3.2 Relao reflexiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3.3 Relao simtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3.4 Relao anti-simtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.3.5 Relao transitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.3.6 Relao de equivalncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.3.7 Relao inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Exerccios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171


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viii Fundamentos da Matemtica

4.4 CLASSES DE EQUIVALNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.4.1 Conjunto quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.4.2 Partio de um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.5 APLICAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.5.1 Domnio e Imagem de uma aplicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.5.2 Axioma de substituio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.5.3 Grfico de uma aplicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.5.4 Definio formal de aplicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.5.5 Aplicao biunvoca, sobrejetiva e bijetiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.5.6 Composio de aplicaes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.5.7 Imagem inversa de uma aplicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.5.8 Aplicao inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.6 CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.6.1 Conjuntos enumerveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.6.2 Paradoxo de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Exerccios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Miscelnea 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5 NMEROS NATURAIS 197

5.1 CONJUNTO INDUTIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.1.1 Axioma de Infinitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.2 NMEROS NATURAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.2.1 Induo matemtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.2.2 Adio de nmeros naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.2.3 Relao de ordem em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.2.4 Multiplicao de nmeros naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2.5 Potncia inteira de um nmero natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Exerccios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.3 PROPRIEDADES ADICIONAIS EM N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.3.1 Multiplicidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.3.2 Divisibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.3.3 Relao entre o m.m.c. e m.d.c.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.3.4 Propriedades adicionais de divisibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Exerccios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Miscelnea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6 OPERAES BINRIAS 233

6.1 RELAO DE ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.1.1 Relao de ordem parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.1.2 Relao de ordem total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.2 LIMITES: Superior. Inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.2.1 Supremo. nfimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236


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Christian Jos Quintana Pinedo ix

6.2.2 Elementos: Maximal. Minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.3 LEIS DE COMPOSIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.3.1 Lei de composio interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.3.2 Isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.3.3 Lei de composio externa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.4 OPERAES BINRIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.4.1 Operao binria univocamente definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.4.2 Sistema matemtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.4.3 Classificao dos sistemas matemticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Exerccios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250


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x Fundamentos da Matemtica

NOTAES

Seo negao 1.3.5 conjuno 1.3.5 disjuno inclusiva 1.3.5 disjuno exclusiva 1.3.5

condicional 1.3.5 bicondicional. 1.3.5

p1, p2, , pn q argumento de premissas p1, p2, , pn e concluso q 2.1.4 quantificador universal 2.5

quantificador existencial 2.5

N conjunto dos nmeros inteiros 3.1.1

Z conjunto dos nmeros inteiros 3.1.1

Q conjunto dos nmeros racionais 3.1.1

R conjunto dos nmeros reais 3.1.1

C conjunto dos nmeros complexos 3.1.1

classe vazia 3.1.6U classe universal 3.1.6

incluso de conjuntos 3.1

incluso prpria de conjuntos 3.1

P(A) conjunto potncia de A 3.4CUA complemento de A em U 3.26 unio de conjuntos 3.6 interseo de conjuntos 3.7 diferena simtrica de conjuntos 3.2.4

A B produto cartesiano de A com B 4.2R : A B aplicao R de A em B 4.17

m | n m divide n 5.3.2mn m no divide a n 5.3.2

A B A isomorfo com B 6.3.2


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PREFCIO

Considerando que a matemtica uma cincia formal no emprica, os fatores que incidem

no problema do conhecimento para o aprendizado da matemtica muito complexo, este tema

na verdade um dos grandes desafios para os pesquisadores da didtica geral.

A maioria dos estudantes de todos os nveis do ensino, dizem que aprender matemtica

difcil, no obstante poucas vezes busca-se uma explicao do porque no aprendem as cincias

exatas os alunos?

Os alunos no aprendem matemtica, porque no sabem relacionar conhecimentos que se

ensinam na escola com os problemas que se apresentam na vida real. Alm disto, a maioria dos

estudantes optaram por aprender matemtica pelo modo mecanicista que o pior de todos os

mtodos.

Outro grave problema que o aprendizado no significativo. Estas notas pretendem motivar

aos estudantes para que, com a ajuda da lgica matemtica ele seja capaz de achar estes

relacionamentos entre os diferentes esquemas do aprendizado, e deste modo tenha uma boa

estrutura cognitiva.

Uma inquietude bastante natural no aluno interessado em um curso de lgica matemtica

a de aprender a demonstrar. Porm demora em entender o que uma demonstrao em

matemtica, isto se deve ao fato que o aluno no tem claro o que demonstrar nesta cincia.

Somente tem a preparao regular na manipulao mecnica de alguns conceitos matemticos;

o estudante carece de esprito analtico.

Confunde os desenvolvimentos formalistas, mecanicistas e a memorizao com o raciocnio

correto. Precisamente essa falta de esprito analtico o que provoca um rechao anlise de

conceitos e mtodos bsicos da matemtica, como por exemplo, o mtodo da reduo ao absurdo,

o conceito de limite e o principio da induo matemtica.

Considero que se uma pessoa aprende lgica matemtica, saber relacionar estes conhecimen-

tos, com as outras reas para deste modo criar conhecimento.

Esta obra representa o esforo de snteses na seleo de um conjunto de notas de aula de

xi


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xii Fundamentos da Matemtica

Fundamentos da Matemtica I de um Curso de Licenciatura em Matemtica, sob a Lgica

Matemtica e Teoria de Conjuntos teis quando um estudante comea a estudar esta cin-

cia. O objetivo deste trabalho orientar a metodologia para que o leitor possa raciocinar

matematicamente e interpretar a soluo de sentenas matemticas.Cada captulo se inicia com os objetivos que se pretende alcanar; os exerccios apresentados

esto classificados de menor a maior dificuldade.

A variedade dos problemas e exerccios propostos pretende transmitir minha experincia

profissional durante muitos anos de exerccio como Consultor em Matemtica Pura e Aplicada,

assim como professor de Ensino Superior, com atuao na graduao e ps-graduao da docncia

universitria.

Estas notas servem como pr-requisito ao estudo de uma disciplina de estruturas algbricas,

onde os conceitos de grupos, anis e corpos so estudados desde um ponto de vista da teoria deconjuntos.

Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuies e sugestes dos

leitores.

Christian Quintana Pinedo.

Pato Branco - PR, Janeiro de 2007

Nas questes matemticas no se compreende a incerteza nem a dvida, assimcomo tambm no pode-se estabelecer distines entre verdades mdias e verdades degrau superior.

David Hilbert1

A Cincia, pelo caminho da exatido, s tem dois olhos: A Matemtica e aLgica.

De Morgan2

1O Ph. Dr. David Hilbert nasceu em Knigsberg (Prussia) em 1862, foi matemtico excepcionalmenteabrangente e talentoso, fez contribuies lgica matemtica, fsica-matemtica, teoria da relatividade, teoriacintica dos gases, equaes integrais, etc. Faleceu em Gttingen (Alemanha) em 1943.

2Augustus De Morgan nasceu cego (de um olho) em Madras em 1806, era bastante versado em filosofia ehistria da matemtica. Escreveu sobre lgebra, clculo diferencial, lgica e teoria das probabilidades. Morganfaleceu em Londres em 1871


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Captulo 1

LGICA MATEMTICA

Aristteles

Aristteles nasceu em Estagira em 384 a.C. e faleceu em Calcis(Eubea), em322a.C. Estudou com Plato durante vinte anos e lecionouna Academia que Plato fundou.

Depois de viajar por vrios pases, voltou a Atenas, onde abriuuma escola de Filosofia, que competiu com seriedade e exito com aAcademia de seu mestre.

Esteve bastante ligado com Alexandre o Grande (356 323 a.C.),de quem havia sido conselheiro, razo pela qual, morte de este, teveque abandonar Atenas, onde no pode mais ingressar .

Aristteles representa o ponto mximo da cincia e filosofia

clssica, as quais contribuiu como pensador excepcional e comopesquisador audacioso e sistemtico. da que praticamente todas

suas obras esto relacionadas com a cincia da natureza, alm da lg-

ica, da metafsica, da tica, da poltica, da retrica e da potica, algo assim como uma enciclopdia do

saber de sua poca.

1.1 EVOLUO DA LGICA

1.1.1 Introduo.

Podemos pensar a lgica como o estudo do raciocnio correto. O raciocnio o processo de

obter concluses a partir de suposies ou fatos. O raciocnio correto o raciocnio onde as

concluses seguem-se necessria e inevitavelmente das suposies ou fatos.

A lgica procura estudar as coisas da mente, e no as coisas reais. Por exemplo, quando dize-

mos: arco-ris bonito, sol distante, praia suave so classificaes que damos s coisas. Aplicamos

lgica na filosofia, matemtica, computao, fsica entre outros.

Na filosofia para determinar se um certo raciocnio vlido ou no, pois uma frase pode

ter diferentes interpretaes, no obstante a lgica permite saber o significado correto. Nas

matemticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podam ser aplicados nas

pesquisas. Na computao para determinar se um determinado programa correto ou no, na

fsica para obter concluses de experimentos. Em geral a lgica aplicamos nas tarefas do dia-dia,

1


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2 Fundamentos da Matemtica

qualquer trabalho que realizarmos tem um procedimento lgico.

A lgica somente mais uma teoria do pensamento; Aristteles considerado o criador da

lgica, porem o nome lgica veio bem depois. No incio ela no tinha um nome. Para Aristteles,

a lgica seria um modo a ser usado para as pessoas poderem raciocinar com segurana (evitandoerrar).

Observe um exemplo da lgica dedutiva de Aristteles:

Todo planeta quadrado.

A Terra um planeta.

Logo, a Terra quadrada.

lgica dedutiva pelo fato que ao comear com algumas informaes, pode-se chegar a uma

concluso (deduzir!); esta investigao chamada de Silogismo.Esta lgica no se preocupa com o fato de a Terra ser quadrada, mesmo que se saiba que ela

redonda. Pouco importa, ela aceita a informao que lhe foi dada. Mas exige que o raciocnio

esteja correto. Preocupa-se com a forma: A = B, ento, B = A. Ela no presta ateno ao

contedo: A ou B podem ser planetas, burros, plantas, etc. Por isso, esta lgica formal (de

forma) e dedutiva (de deduo).

A nossa lgica formal dedutiva funciona assim: a partir de uma seqncia de oraes ver-

dadeiras chegamos a uma concluso verdadeira; a lgica sempre utiliza uma linguagem exata

(smbolos, sinais). Isso simplifica e facilita seu estudo.

Aristteles tambm elaborou a argumentao lgica indutiva.

A baleia, o homem e o cozinho so mamferos.

A baleia, o homem e o cozinho mamam.

Logo, os mamferos mamam.

Ou seja, de enunciados singulares chegamos a um universal.

Mais tarde, Bacon e Stuart Mill aprofundaram esses ensinamentos e dividiram a lgica em

trs reas:

1. Formal: Aquela que acabamos de explicar.

2. Transcendental: Esta lgica estuda as condies que do base ao nosso conhecimento.

Kant explicou que o intelecto tende a colocar todo em ordem, cada tijolinho no lugar. Alis,

cada pessoa j possui uma lgica natural ao interpretar e classificar o que ela vivencia.

3. Matemtica: Os filsofos desenvolveram a lgica matemtica h pouco tempo (Frege,

Peano, Russell e outros). Ela origina frmulas de outras frmulas, puro raciocinio. So

regras e mais regras inventadas, como jogos de cartas.

Hegel, no entanto, achava que a lgica referia-se ao pensamento e realidade; disse que:

todo o que racional real, e todo o que real racional.


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Christian Jos Quintana Pinedo 3

A lgica uma cincia, uma arte, um jogo; todo se passa como em um tabuleiro de xadrez.

Mas vejamos tambm um outro tipo de lgica, a que considera a verdade (o contedo). Ela

considera o desconhecido, a dvida, a opinio, a certeza.

chamada de lgica material. Ela no aceita o fato se algum diz que a Terra quadrada.Temos alguns conceitos nesta lgica:

Ignorncia a falta do conhecimento.

Dvida a indeciso entre uma afirmao e uma negao.

Opinio uma opo que envolve a dvida.

Certeza um firme apego verdade.

A verdade pode gerar muita discusso e barulho. Afinal, como podemos saber o que mesmo

a verdade? Os cticos, por exemplo, acham que no podemos afirmar nada; pois todo incerto.

J quem segue o dogmatismo considera que a razo humana pode conhecer a verdade. E h

muitas outras posies sobre a verdade: positivistas, idealistas e outras.

O importante saber que a verdade varia conforme os muitos sistemas filosficos. Isso pode

ser potico. Existem verdades e a lgica utiliza a que deseja utilizar. A lgica material defende

a verdade na qual acredita de perigos como o sofisma.

Sofisma um raciocnio errado com a aparncia de verdadeiro, tem a inteno de conduzir

ao erro; observe o raciocnio:

Maria Alice bonita. Maria Clara bonita.

Logo, todas as Marias so bonitas.

Voc j imaginou o que seria se no existisse lgica nas coisas? J imaginou se nada fizesse

sentido? Hoje, a lgica fundamental em nossa sociedade. Dizemos que ela est na informtica,

no ensino, na matemtica, na medicina, etc.

Logo, o resumo de todo isto, que podemos considerar como sendo vlida a seguinte definio.

Definio 1.1. Lgica.Define-se lgica como a cincia da argumentao, prova, reflexo ou inferncia. Ela lhe

permitir analisar um argumento ou raciocnio e deliberar sobre sua veracidade. A lgica no

um pressuposto para a argumentao, claro; mas conhecendo-a, mesmo que superficialmente,

torna-se mais fcil evidenciar argumentos invlidos.

1.1.2 Evoluo da lgica.

1.1.2.1 Perodo Aristotlico (390 a.C. a 1.840 d.C.)A histria da lgica tem incio com o filsofo grego Aristteles de Estagira (384

322 a.C.)

(hoje Estavo) na Macednia. Aristteles criou a cincia da lgica cuja essncia era a teoria do

silogismo (certa forma de argumento vlido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada


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Organon ( Instrumento da Cincia). Na Grcia, distinguiram-se duas grandes escolas de

lgica, a:

Peripattica que derivava da escola fundada por Aristteles, e a;

Estica fundada por Zeno (326 264 a.C.).

A escola Estica foi desenvolvida por Crisipo (280 250 a.C.) a partir da escola Megriafundada por Euclides, (seguidor de Scrates). Segundo Kneale ( O Desenvolvimento da lgica),

houve durante muitos anos certa rivalidade entre os Peripatticos e os Megrios, isto talvez

tenha prejudicado o desenvolvimento da lgica, embora na verdade as teorias destas escolas

fossem complementares.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646

1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem

tido pouca influncia nos 200 anos seguidos e s foram apreciados e conhecidos no sculo XIX .

1.1.2.2 Perodo Booleano (1840 a 1910)

Inicia-se com George Boole (1815 1864) e Augustus de Morgam (1806 1871). Publicaramos fundamentos da chamada lgebra da lgica, respectivamente com Mathematical Analysis

of Logic e Formal Logic. Gotlob Frege (1848 1925) um grande passo no desenvolvimentoda lgica com a obra Begriffsschrift de 1879. As idias de Frege s foram reconhecidas pelos

lgicos mais ou menos a partir de 1905. devido a Frege o desenvolvimento da lgica que se

seguiu. Giuseppe Peano (18581932) e sua escola com Burali Forti, Vacca, Pieri, Pdoa, Vailati,etc. Quase toda a simbologia da matemtica se deve a essa escola italiana.

1.1.2.3 Perodo Atual (1910 )

Com Bertrand Russell (18721970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) se inicia o perodoatual da lgica, com a obra Principia Mathematica. David Hilbert (1862 1943) e sua escolaalem com Von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. Kurt Gdel (1906-1978) e Alfred Tarski

(1902

1983) com suas importantes contribuies. Surgem as lgicas no-clssicas: N.C.A. da

Costa (Universidade de So Paulo) com as lgicas paraconsistentes, L. A. Zadeh (Universidade

de Berkeley-USA) com a lgica fuzzy e as contribuies dessas lgicas para a Informtica, no

campo da Inteligncia Artificial com os Sistemas Especialistas.

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em lgica englobam muitas reas do

conhecimento.

1.2 UMA CLASSIFICAO DA LGICA

1.2.1 Lgica Indutiva.

til no estudo da teoria da probabilidade, no ser abordada.


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1.2.2 Lgica Dedutiva.

Que pode ser dividida em :

Lgica Clssica: Considerada como o ncleo da lgica dedutiva. o que chamamos hojede Clculo de predicados de primeira ordem com ou sem igualdade e de alguns de seussubsistemas. Trs princpios (entre outros) regem a lgica clssica: Da identidade. Da

contradio; e. Do terceiro excludo os quais sero abordados mais adiante.

Lgicas Complementares da Clssica: Complementam de algum modo a lgica clssicaestendendo o seu domnio. Estas so: lgica modal, lgica dentica, lgica epistmica entre

outras.

Lgicas No-clssicas: Assim caracterizadas por desconsiderar algum ou alguns dos

princpios da lgica clssica. Sendo estas: lgica paracompleta e lgica intuicionista (des-consideram o princpio do terceiro excludo); lgica paraconsistente (desconsidera o princ-

pio da contradio); lgica no-altica(desconsidera o terceiro excludo e o da contradio);

lgica no-reflexiva (desconsidera o princpio da identidade); lgica probabilstica , lgica

polivalente, lgica fuzzy entre outras.

1.2.3 O que a lgica no .

Vale fazer alguns comentrios sobre o que a lgica no .

Primeiro: A lgica no uma lei absoluta que governa o universo. Muitas pessoas, no passado,

concluram que se algo era logicamente impossvel (dada a cincia da poca), ento seria

sempre literalmente impossvel. Acreditava-se tambm que a geometria euclidiana era uma

lei universal; afinal, era logicamente consistente. Mas sabemos que tais regras geomtricas

no so universais.

Segundo: A lgica no um conjunto de regras que governa o comportamento humano. Pessoas

podem possuir objetivos logicamente conflitantes. Por exemplo:

Pedro quer falar com o Coordenador do Curso de Matemtica.

O Coordenador Carlos.

Logo, Pedro quer falar com Carlos.

Infelizmente, pode ser que Pedro tambm deseje, por outros motivos, evitar contato com

Carlos, tornando seu objetivo conflitante. Isso significa que a resposta lgica nem sempre

praticvel.

1.2.4 O que a lgica matemtica?

Tem-se tentado caracterizar a matemtica ao longo dos tempos, quer quanto a seu contedo,

ou a sua forma e mtodos; acontece que a matemtica constantemente est evoluindo com novas

teorias, assim mais proveitoso caracterizar estes conhecimentos matemticos quanto natureza

de seus contedos.


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No inicio do sculo XIX tentou-se caracterizar as matemticas como uma cincia da quanti-

dade, embora esta concepo ainda perdure na mente da maioria das pessoas esta errada. Com

o desenvolvimento de novas teorias como, por exemplo: Teorias algbricas ou de ordens; estru-

turas topolgicas, a moderna teoria da medida, a teoria dos conjuntos, etc. Todas estas novasteorias foram se impondo de modo natural, de modo que a fines do sculo XIX muitas disciplinas

matemticas so denominadas pela idia de estrutura de tal modo que desde que N. Bourbaki 1

comeou a publicar seu tratado lments de Mathmatiqueem 1939, a matemtica concebida

como a cincia das estruturas.

Os lgicos profissionais preferem desenvolver e aplicar a lgica matemtica a defini-la, mas,

quando instados, encaram sua atividade como relativa essencialmente a um ou a outro dos

aspectos seguintes:

Aspecto explicativo: A lgica matemtica um sofisticado instrumento da anlise e ulte-

rior formalizao de fragmentos dos discursos coloquiais das cincias, em particular na

matemtica (competindo parcialmente com a lingstica geral).

Aspecto calculativo: A lgica matemtica considerada como instrumento do clculo formal

destinado a substituir a argumentao indutiva e formal que consiste na:

a) Demonstrao de uma proposio q a partir de certas hipteses p ?

b) No demonstrao de q a partir de p ?

c) Indecibilidade do problema da demonstrabilidade de q a partir de p ?

Os ramos da lgica matemtica, organizam-se pelo seus aspectos em cinco ramos com suas

especificaes prprias interligados entre sim a saber: i) Teoria da demonstrao; ii) Teoria

dos conjuntos; iii) Teoria dos modelos; iv) Teoria da computabilidade; v) Lgica matemtica

intuicinista/construtivista.

1.3 ENUNCIADOS. PROPOSIES

Todos ns usamos a lgica no dia-dia, s vezes sem nos darmos conta disso.

Exemplo 1.1.Seu pai lhe diz:

Se voc tirar dez em Fsica e Matemtica, lhe darei um presente. Voc sabe

que no basta tirar dez apenas em Fsica ou apenas em Matemtica. Para ganhar o

presente, necessrio tirar 10 nas duas disciplinas.

Se por outro lado ele dissesse:

Se voc tirar dez em Fsica ou Matemtica, lhe darei um presente; a bastaria

tirar dez em uma das matrias.1Nicolas Bourbaki (1936 ): Seu nome est escrito em grego, sua nacionalidade francesa e sua histria

muito curiosa [9]. um dos matemticos mais influentes do sculo XX, existem muitas lendas sobre ele


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Esse foi um exemplo simples da utilizao da lgica. Muitos outros poderiam ser listados.

O que os matemticos fizeram foi dar um aspecto matemtico lgica, alm de aprimor-la.

Mas a idia fundamental antiga.

As, pessoas, em geral, pretendem raciocinar agir logicamente, no dia-dia, nos estudos,falando de poltica, futebol, de seus projetos ou do futuro da humanidade.

No entanto, a lgica que fundamenta os raciocnios e as aes raramente explicada ou

submetida a crticas. Ela incorporada de forma inconsciente a partir, sobretudo, do aprendizado

da lngua natural e parece to bem partilhado por todos que poucos se julguem carentes de lgica

ou considerem necessrio estud-la.

Por outro lado, muito freqente ouvirmos dizer que estudar matemtica desenvolve o

raciocnio lgico. Apesar de esta relao no ser totalmente certa, a percepo da estreita relao

entre a matemtica e lgica, entre a lgica e linguagem, entre a linguagem e o pensamento con-

tribui bastante para esclarecer muitas razes pelas quais estudamos certos assuntos sobre todomatemtica.

Na linguagem natural utilizamos frases de vrios tipos:

Declarativas:

Fredy escritor. Todos os gatos so pardos. Existem estrelas maiores que o Sol.

Imperativas:

Segure firme! No faa isso. Procure a entrada.

Interrogativas:

Quando ser a prova de Fundamentos? Quantos peruanos trabalham na Coordenao de Matemtica?

Exclamativas:

Que loira bem gelada! Parabns a voc!

No sero objeto de estudo as sentenas imperativas, interrogativas ou exclamativas.

1.3.1 Noo de raciocnio.

A noo de raciocnio est presente em todos os estudos da lgica

Freqentemente quando falamos de lgica, pensamos em razo. Segundo a definio de nossa

linguagem, a razo a faculdade que tem o ser humano de avaliar, julgar e ponderar idias

universais.


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2o Que tm que acontecer para que um enunciado seja verdadeiro?

Aqui se pede uma definio de um enunciado verdadeiro.

3

o

Como temos certeza que o enunciado verdadeiro?Aqui se pergunta pelo conhecimento. Pergunta-se como averiguar se um enunciado ver-

dadeiro e onde o critrio de verdade um processo.

Em nossas investigaes sobre a linguagem natural, interessa-nos aquela que alcana uma

compreenso mais clara de suas estruturas lgicas e traduzi-las posteriormente para uma lin-

guagem matemtica.

Consideremos inicialmente as frases declarativas, j que elas podem ser classificadas como

verdadeiras (v) ou falsas (f); estas sentencias na matemtica so chamadas de proposio.

Definio 1.3. Proposio.Proposio todo enunciado que exprime um pensamento de sentido completo, isto , aquele

pensamento que admite um, e somente um, dos valores: verdadeiro (v) ou falso (f).

Conclui-se que, as proposies devem satisfazer os dois princpios fundamentais:

1. Uma alternativa s pode ser verdadeira ou falsa.

2. Uma alternativa no pode ser verdadeira e falsa.

As proposies denotam-se com as letras minsculas p, q, r, s, t, , tambm chamadas devariveis proposicionais

Exemplo 1.3.

a) p : O nmero 2 menor que 3. (v)

b) q :

3 < (v)

c) r : 7 1 = 2 + 4 5 (f)

d) s : A Terra uma estrela. (f)

e) t : Existem prefeitos que so honestos. (v)

Portanto, as proposies so sentenas declarativas afirmativas (expresso de uma linguagem)

da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

A lua quadrada. (f)

A neve branca. (v)

Matemtica uma cincia. (v)

Definio 1.4. Axioma.

Define-se axioma, como uma proposio que se admite como verdadeira porque dela se podem

deduzir as proposies de uma teoria ou de um sistema lgico ou matemtico.


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1.3.5 Conectivos lgicos.

1.3.5.1 Negao.

J dissemos que uma proposio p pode ser verdadeira ou falsa, no havendo outra possi-bilidade. Alfred Tarski 2 foi um dos maiores lgicos de todos os tempos, criador da teoria dos

modelos (moderna teoria semntica).

A negao de uma proposio p escreve-se p e se l: no p ou falso que p, ou no verdade que p e; outra proposio que nega se cumpra a proposio p.

A negao de uma proposio, no afirma que acontea o contrario, a Tabela (1.1) mostra o

valor verdade para a proposio p.

p pv f

f vTabela 1.1: Negao da proposio p

Exemplo 1.5.

Suponha a proposio p: 12 um nmero mpar; logo a proposio p: No verdade que12 seja nmero mpar.

Observe que p somente nega p, e no afirma o oposto de aquilo que afirma p.

Exemplo 1.6.

Suponha a proposio p: Lima a capital do Per (v).

p: Lima no a capital do Per (f).

p: No verdade que Lima a capital do Per (f).

Exemplo 1.7.

Seja a proposio p: Maria bonita, logo p: No verdade que Maria seja bonita.

A proposio p no afirma que Maria seja feia, pois do fato ser bonita ao fato ser feiaexistem outras possibilidades:

bonita feia

outras possibilidades

Discutir o seguinte exemplo:

Exemplo 1.8. Paradoxo 3 da frase.

Seja a proposio: p : Esta frase falsa.

Se p (f), ento p : No verdade que esta frase falsa. uma frase verdadeira.2Alfred Tarski (1902 1983), autor de um dos primeiros livros de introduo lgica moderna3Uma declarao essencialmente contraditria baseada em um pensamento vlido de suposies lgicas.


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Se p (v), ento p : No verdade que esta frase falsa, tambm uma frase verdadeira.

Observao 1.1.

a) Negar uma proposio p no apenas afirmar algo diferente do que p afirma, ou algo comvalor lgico diferente. Por exemplo, a proposio.

q : Lima a capital de Per (v), no a negao de p : Braslia a capital de Per (f).

b) Sendo verdadeira uma proposio p, a sua negao falsa e vice-versa; como conseqncia,

a negao da proposio p afirma o mesmo que p, isto , a negao da negao de p logicamente equivalente a p. Escrevemos p p ( l-se; logicamente equivalente).

A tabela-verdade ao lado, resume o afirmado. p p p

v f vf v f

1.3.5.2 Conjuno. Chama-se conjuno das proposies p e q proposio representada por p q, cujo valor

lgico verdadeiro (v) somente quando as duas proposies p e q sejam ambas verdadeiras, e;

falsa (f) nos demais casos.

A notao p q se l p e q, e o valor lgico definido pela seguinte tabela-verdade.

p q p qv v vv f ff v ff f f

Tabela 1.2: Conjuno de p e q

A Tabela (1.2) prev todas as possibilidades para o valor lgico de uma proposio composta

a partir dos valores lgicos das componentes e dos conectivos lgicos, chamada tabela-verdade

da proposio composta. O conectivo lgico

traduz a idia de simultaneamente.

conveniente diferenciar entre o e que usamos na determinao da conjuno p e q o

e na utilizao da linguagem do dia-dia. O mesmo texto permitira diferenciar um do outro.

Assim por exemplo quando se diz: Seja a proposio p e q entende-se claramente que o e

est determinando sua funo lgica; no outro caso quando se diz: Sejam as proposiesp e q

fazemos uso do e no sentido da linguagem do dia-a-dia.

Exemplo 1.9.

a) Curitiba encontra-se em So Paulo e So Paulo tem uma populao predominantemente

latina. Esta proposio falsa(f), pois as duas proposies simples so falsas. Trata-se de

uma proposio composta falsa(f), uma vez que a primeira proposio falsa (independente

do valor lgico da segunda proposio)


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Observao 1.2.

Na linguagem do dia-a-dia, a palavra ou tem dois sentidos:

1o p : Mrio motorista ou professor.

2o q : Carlos gacho ou paulista.

Da proposio p podemos obter as proposies: Mrio motorista, assim como Mrio

professor, podendo ser ambas verdadeiras ento temos que Mrio motorista e professor.

Mas na proposio q, temos as proposies Carlos gacho, e a outra Carlos paulista

sendo verdadeira somente uma de elas que exclua o valor verdade da outra; no possvel ocorrer

Carlos gacho e paulista

Na proposio p, a disjuno inclusiva; e, na proposio q a disjuno exclusiva. O smbolo

indica o conectivo lgico exclusivo e sua tabela-verdade indica-se na Tabela (1.4).p q p q

v v fv f vf v vf f f

Tabela 1.4: Disjuno exclusiva de p e q

1.3.5.4 Condicional.

Chama-se proposio condicional das proposiesp e q (nessa ordem) proposio composta

p q, cujo valor lgico falso (f), quando p seja verdadeiro e q falso, nos demais casos aproposio verdadeira (v).

p q p qv v vv f ff v vf f v

Tabela 1.5: Condicional de p e q

A notao p q se l se p, ento q. Seu valor lgico definido pela tabela- verdade (1.5).Na proposio p q, a proposio p chamada de antecedente(hipteses) e a proposio q

de conseqente (tese).

Exemplo 1.13.

Sejam as proposies p: 3 + 2 = 5 e q: 3 < 5, ento temos as quatro possibilidades:

Se 3 + 2 = 5 3 < 5 esta proposio composta (v)Se 3 + 2 = 5

3

5

esta proposio composta (f)

Se 3 + 2 = 5 3 < 5 esta proposio composta (v)Se 3 + 2 = 5 3 5 esta proposio composta (v)


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As proposies condicionais so importantes na matemtica, e tem varias maneiras diferentes

de enuncia-las, assim por exemplo, p q podemos entender como uma das seguintes formas:

p implica q.

p condio suficiente para q

Para que p necessrio que q.

q condio necessria para p

Se p, tambm q.

q cada vez que p

q se p.

q sempre que p.

Toda implicao est associada a outras trs proposies, elas so: a recproca, a inversa e a

contra-recproca.

Suponha temos a proposio composta: p q. Podemos obter outras proposies com-postas relacionadas com p e q, sendo estas de muita utilidade na teoria da demonstrao.

Recproca : q p.

Inversa :

p

q.

Contra-recproca : q p.

Exemplo 1.14.

Escreva a recproca, a inversa e contra-recproca de cada uma das seguintes proposies:

i) Se 7 7 = 0, ento 7 = 7.

ii) Se a termina em zero, ento a mltiplo de 2.

iii) Se x = y, ento x + y par.

Soluo.(i)

Temos p : 7 7 = 0 e q : 7 = 7, a proposio da forma p q.Recproca: Se 7 = 7, ento 7 7 = 0. da forma: q pInversa : Se 7 7 = 0, ento 7 = 7. da forma: p qContra-recproca : Se 7 = 7, ento 7 7 = 0 da forma: q p.

Soluo.(ii)

Temos p : a termina em zero e q : a mltiplo de 2, a proposio da forma p q.Recproca: Se a mltiplo de 2, ento a termina em zero.

Inversa: Se a no termina em zero, ento a no mltiplo de 2.

Contra-recproca: Se a no mltiplo de 2, ento a no termina em zero.

Soluo.(iii)


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Temos p : x = y e q : x + y par.

Recproca: Se x + y par, ento x = y.

Inversa: Se x = y, ento x + y no par.

Contra-recproca: Se x + y no par, ento x = y.1.3.5.5 Bicondicional.

Chama-se proposio bicondicional das proposies p e q proposio composta p q, cujovalor lgico verdade (v) quando p e q so ambas verdadeiras ou ambas falsas; e, falsa (f) nos

demais casos.

A notao p q se l: p se, e somente se4, q; o valor lgico definido pela seguinte tabela-verdade (Tabela (1.6):

p q p

q

v v vv f ff v ff f v

Tabela 1.6: Bicondicional de p e q

Uma proposio bicondicional obtm-se por definio como a conjuno de uma condicional

e sua recproca; isto p q equivalente a (p q q p).

1.3.6 Argumento: Indutivo. Dedutivo.Nosso principal objetivo ser a investigao da validade de argumentos. Argumentar

apresentar uma proposio como sendo uma conseqncia de uma o mais proposies.

Definio 1.5. Argumento.

Chamamos de argumento a um conjunto de proposies operadas por conectivos lgicos, as

quais uma proposio a concluso e as demais so premissas5.

Isto , um argumento constitudo pelas proposies p1, p2, , pn chamadas premissas,nas quais nos baseamos segundo os conectivos lgicos para garantir uma proposio q chamada

concluso.Os argumentos esto tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos.

Definio 1.6. Argumento dedutivo.

Diz-se que um argumento dedutivo quando, sendo suas premissas verdadeiras, a concluso

tambm verdadeira.Premissa:

Premissa:

Concluso:

Todo homem mortal.

Joo homem.

Joo mortal.

Esses argumentos sero objeto de estudo para a compreenso de teorias matemticas.4A frase se, e somente se devida a A. Tarski5Cada uma das proposies de um silogismo que serve de base concluso.


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Definio 1.7. Argumento indutivo.

Diz-se que um argumento indutivo quando, a verdade das premissas no basta para assegurar

a verdade da concluso.

Premissa:Premissa:

Concluso:

comum aps a chuva ficar nublado. Est chovendo.

Ficar nublado.

As premissas e a concluso de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada,

permitem que o argumento possa ter uma anlise lgica apropriada para a verificao de sua

validade.

1.3.7 Tabela-verdade de uma proposio composta.

Dadas varias proposiesp, q, r, podemos combina-las pelos, conectivos lgicos , , ,, e construir proposies compostas, tais como:

P(p, q) : p (p q)Q(p, r) : (p r) rR(p, r, s) : (p s r) (s (p s))

Observao 1.3.

1o Se voc tiver n proposies simples, o nmero de linhas que resultam de todas as combinaes

de verdade (v) e falsidade (f) 2n.

Assim, caso numa tabela-verdade estivermos trabalhando com trs proposies simples,

ento teramos nessa tabela-verdade 23 = 8 linhas.

2o Uma proposio composta, tambm chamada funo-verdade.

3o Se voc tiver n proposies simples, ento existem 22n

proposies compostas diferentes.

Por exemplo, dadas as proposies p e q, ento podemos obter 222

= 24 = 16 proposies

compostas diferentes a saber:

p q p q p q p q p p p p p p p q p q p q p q p q p q p p p p p p

1.3.8 Construo de uma tabela verdade.Suponha temos a construir a tabela-verdade para a proposio P(p, q) : (p q), logo

teremos a considerar o seguinte roteiro da Tabela (1.7):

a) Forma-se em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes s duas proposies simples p

e q (coluna 1a);

b) logo em seguida forma-se a coluna para q (coluna 2a);c) depois forma-se a coluna para p q (coluna 3a);


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d) finalmente a coluna relativa aos valores lgicos da proposio composta P(p, q) : (p q)(coluna 4a).

p q q p q (p q)v v f v fv f v v ff v f f vf f v v f1a 2a 3a 4a

Tabela 1.7:

Tambm podemos considerar o seguinte roteiro (Tabela (1.8)):

a) Formam-se as primeiras colunas correspondentes s duas proposies simples p e q (coluna1a);

b) em seguida direita, traa-se uma coluna para cada uma dessas proposies e para cada um

dos conectivos que figuram na proposio composta dada (colunas 2a, 3a e 4a);

c) logo, em certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores

lgicos correspondentes, no modo abaixo indicado (coluna 5a).

p q

(p

q)

v v f v v f vv f f v v v f f f v f f f vf f f f v v f 1a 5a 2a 4a 3a 2a

Tabela 1.8:

Os valores lgicos da proposio composta dada encontram-se na coluna completada escrita

por ltimo (5a).

Exemplo 1.15.Construir tabela-verdade da proposio: P(p, q) : (p q) (q p).

Soluo.

Utilizando o roteiro sugerido temos:

p q (p q) (q p)v v f v v v f f v v v

v f v v f f v v f f v

f v v f f v v v v f f

f f v f f f v f f v f 1a 4a 2a 3a 2a 5a 4a 2a 3a 2a


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Exemplo 1.16.

Construir tabela-verdade da proposio: P(p, q) : (p q) ( p q).Soluo.

Utilizando o roteiro sugerido temos:

p q (p q) ( p q)v v f v f

v f v v v

f v f v v

f f f v v

1a 2a 1a

Problema 1.3.1.Miguel, Pedro e Humberto tm duas ocupaes cada um, motorista, contrabandista, pintor,

jardineiro, barbeiro e msico.

Dados:

1. O motorista ofendeu o msico rindo do seu cabelo comprido;

2. o msico e o jardineiro s gostavam passear com Miguel;

3. o pintor comprou do contrabandista um relgio da Sua;

4. o motorista paquerava a irm do pintor;

5. Pedro devia cinco mil reais ao jardineiro;

6. Humberto venceu Pedro e ao pintor jogando xadrez;

Que ocupao tem Miguel ?

Soluo.

melhor resolver considerando uma tabela com todos os dados de dupla entrada e descar-

tando possibilidades de no ocorrer X, como mostramos a seguir.

Motor. Msico Contra. Barbe. Jardine. Pintor

Miguel X X X Ok. X Ok.

Pedro X Ok. Ok. X X X

Humberto Ok. X X X Ok. X

Observando o quadro conclumos que Miguel o barbeiro.

Problema 1.3.2.

Num determinado prdio existem 4 andares. Ocupados por: um advogado, um construtor,

um contador e um dentista. H no prdio: um condicionador de ar, uma geladeira, um rdio e


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um televisor. Trabalha tambm o seguinte pessoal: um scio, um encarregado de relaes pblicas

(atendente), uma secretria e um office-boy. Chamam-se Alberto, Benedito, Camargo e David,

mas aqui no esto relacionados na ordem de profisses acima citada. Sabendo-se que:

O que ocupa a 1o andar tem um office-boy;

no 3o andar existe um rdio;

o advogado e o construtor trabalham prximos;

o construtor nunca passa pelo andar do dentista, mas Alberto tem que passar pelo andarde Benedito, quando vai falar com a secretria;

David tem sua sala um andar depois do contador;

a sala onde tem a secretria, fica acima da sala de Benedito e embaixo do que tem ageladeira;

o advogado possui um condicionador de ar;

na sala onde existe o televisor, seu proprietrio tem um encarregado de relaes pblicas,que namora a secretria;

o construtor trabalha no andar embaixo do contador;

Quem quem?

Soluo.

Recomenda-se para a soluo de problemas deste tipo uma tabela de dupla entrada como

mostraremos a seguir.

Aps da anlise com os dados do enunciado chegamos seguintes concluso:

Andares Empregados Eletrnicos Profisso Nome

1o Office-boy Cond. de ar Advogado Alberto

2o Encarregado Tv Construtor Benedito

3o

Secretria Rdio Contador Camargo4o Scio Geladeira Dentista David

Assim temos de acordo com a tabela completada acima:

Advogado de nome Alberto, tem um office boy, um condicionado de ar e ocupa a primeirasala;

O construtor tem um encarregado das relaes pblicas, dispe de Tv, ocupa a segundasala e seu nome Benedito;

O contador tem uma secretria, um rdio, ocupa a terceira sala e seu nome Camargo; O dentista tem um scio, uma geladeira ocupa a quarta sala e chama-se David.


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Problema 1.3.3.

Aps lanar trs dados sobre a mesa, Rodrigo somou os nmeros das suas faces superiores

e encontrou o nmero 10. Em seguida, ele multiplicou os mesmos 3 nmeros e encontrou como

resultado 30. Qual o produto dos nmeros das faces inferiores desses dados?Observao: Num dado, a soma dos nmeros de 2 faces opostas sempre igual a 7.

Soluo.

Como o produto dos 3 nmeros das faces superiores igual a 30, estes 3 nmeros s podem

ser 1, 6 e 5 ou 2, 3 e 5, j que 30 = 2 3 5 e que os nmeros nas faces de um dado noso maiores que 6. Das 2 possibilidades que enunciamos apenas a que composta pelos nmeros

2, 3 e 5 tem a soma dos 3 nmeros iguais a 10. Encontrado que os nmeros das faces superiores

so 2, 3 e 5, de imediato se chega aos nmeros das faces inferiores: 5, 4 e 2, respectivamente.

Assim, o produto procurado 5

4

2 = 40.

Problema 1.3.4.

Mrio mente as segundas, teras e quartas-feiras, e fala a verdade nos demais dias da semana.

Paula mente apenas as quintas, sextas e aos sbados. Num certo dia, foram feitas as afirmaes:

por Mrio, ontem foi meu dia de mentir; por Paula, ontem foi tambm meu dia de mentir.

Qual o dia da semana em que foram feitas estas afirmaes?

Soluo.

Note que se Mrio e Paula fazem a mesma afirmao, ou ambos falam a verdade, ou ambos

mentem, ou um deles fala a verdade enquanto o outro mente. Mas no h dia da semana em que

ambos mentem, o que nos leva a descartar esta hiptese.Para ambos falarem a verdade, o nico dia possvel de isso acontecer no domingo, j que

nos outros dias da semana, um dos dois, ou Mrio ou Paula, mente.

Resta ento que um falou a verdade enquanto o outro mentiu. Mas se um deles falou a

verdade quando disse que ontem foi dia de mentir, ento esse dia s pode ser quinta-feira ou

domingo.

Como j vimos que domingo um dia impossvel de ambas as afirmaes ocorrerem, o dia

da semana em que foram feitas estas afirmaes foi quinta-feira.

Problema 1.3.5.A cada dois anos no perodo de 1858 a 1864 nasceu um compositor famoso. Claude Debussy

nasceu na Frana, Gustav Mahler nasceu na ustria, Giacomo Puccini nasceu na Itlia e Richard

Strauss na Alemanha. Debussy no era o mais velho, Puccini era 2 anos mais velho que Mahler,

Strauss era mais novo que Debussy. Descubra o ano no qual nasceu cada compositor.

Soluo.

Antes de tudo, vamos identificar as 3 afirmaes que o enunciado nos trouxe:

i) Debussy no era o mais velho.

ii) Puccini era 2 anos mais velho que Mahler.

iii) Strauss era mais novo que Debussy.


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Por (ii). conclumos que Puccini nasceu e logo em seguida (2 anos depois) veio Mahler. Como

Strauss era mais novo que Debussy (iii) mas Debussy no era o mais velho (i), Debussy no pode

ter nascido antes de Puccini, pois neste caso seria o mais velho de todos. Dado isto, a nica

alternativa que h a seguinte: primeiro nasceu Puccini, em seguida Mahler, depois Debussy epor fim Strauss.

Problema 1.3.6. Malba Than.

Trs pessoas num bar fizeram uma despesa que importou em R$9, 00 para cada uma, total-

izando R$27, 00. Todavia, cada uma deu ao garom R$10, 00. Por falta de troco, este devolveu

R$5, 00. Destes, tiraram-seR$3.00, que lhe deram como gorjeta. Ento, como sobraramR$2, 00?

Soluo.

Os R$2, 00 correspondem ao abatimento feito pelo garom.

Problema 1.3.7.

Trs estudantes, Alberto, Bernardo e Carlos tem por namoradas a Ana, Beatriz e Claudia,

no necessariamente nessa ordem. Em uma festa que assistiram estas seis pessoas compraram

rifas de preos diferentes cada uma. Cada pessoa comprou tantos boletos como reais gastou essa

mesma pessoa por rifa.

Alberto comprou 23 rifas mais que Beatriz e Bernardo comprou 11 mais que Ana. Cada

homem gastou 63 reais mais que sua namorada. Qual era o nome da namorada de cada um?

Soluo.

Suponha um homem compra m boletos a m reais cada um; logo ele gastou m2 reais.De modo anlogo, suponha cada mulher compra n boletos a n reais cada um; logo ela gastou

n2 reais.

Da relao m2 n2 = 63 segue que (m + n)(mn) = 63 e como 63 = 163 = 321 = 79,pode acontecer:

m + n = 63 m + n = 21 m + n = 9

m n = 1 m n = 3 m n = 7

De onde obtemos trs pares de valores para m e n: 32 e 31, 12 e 9 por ltimo 8 e 1.Como Alberto comprou 23 boletos mais que Beatriz, e Bernardo 11 mais que Ana, ento:

Alberto = 32 Ana =1

Bernardo = 12 Beatriz = 9

Carlos = 8 Claudia = 31

Portanto os casais so: Alberto casado com Claudia, Bernardo casado com Beatriz e Carlos

casado com Ana.


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Exerccios 1-1

1. Das frases seguintes, assinale quais so proposies, atribuindo-lhes o valor lgico corre-

spondente:

1. Per e Brasil.

2. Brasil foi campeo mundial de futebol em 1982.

3. As diagonais de todo paralelogramo so de comprimentos iguais.

4. O triplo de 6.

5. Que horas so ?

6. Todo quadrado um retngulo.

7. (a + b)2 = a2 + b2

8. 2 < 59. As diagonais de alguns paralelogramos so de comprimentos iguais.

10. senx = sen(

2+ x)

11. 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)2

12. Quadrados e tringulos.

13. 0, 5 e 5 so razes da equao x3 25x = 014. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +

(2n

1) = n2

15. Todo tringulo um polgono.

2. Sejam as proposies: p : A vaca foi para o brejo; q: O boi seguiu a vaca.

Forme frases na linguagem natural, que correspondam s proposies seguintes:

1. p 2. q 3. p q 4. p q5. p q 6. p q 7. (p q) 8. (p q)9. p q 10. p q 11. ( q) 12. p q

3. Considere as proposies: p : Esta frio; q: Esta chovendo. Traduzir para a linguagem

natural as seguintes proposies:

1. p 2. p q 3. p q 4. p q5. p q 6. p q 7. p q 8. p q9. (p q) p 10. p q 11. ( q) 12. ( p) q

4. Considere as proposies: p : Pedro alto; q: Pedro jogador de basquete. Escreva

em forma simblica cada uma das seguintes proposies:

1. Pedro no alto.


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2. Pedro no jogador de basquete.

3. No verdade que Pedro no seja alto.

4. No verdade que Pedro jogador de basquete.

5. Pedro alto e jogador de basquete.

6. Pedro alto ou jogador de basquete.

7. Pedro alto e no jogador de basquete.

8. Pedro no alto e jogador de basquete.

9. Pedro no alto ou no jogador de basquete.

10. No verdade que, Pedro alto e jogador de basquete.

11. No verdade que, Pedro alto ou jogador de basquete.

12. No verdade que, Pedro no alto ou no jogador de basquete.

13. Pedro no alto, nem jogador de basquete.

5. Sejam: p: Londres a capital da Inglaterra.

q: A torre Eiffel situa-se em Londres.

r: O meridiano de Greenwich passa por Londres.

Traduza para a linguagem natural cada uma das proposies abaixo e determine o respec-

tivo valor lgico:

1. p 2. q r 3. p r 4. q5. p q 6. q p 7. r 8. p r9. q p 10. p q 11. q p 12. (p q)

6. Determine todos os valores lgicos para a proposio p q a partir dos valores lgicosde p e q.

7. Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposies:

1.

(p

q) 2.

p

q.

8. Mostre que a proposio p q q uma contradio.

9. O verso da uma folha a pgina oposta que se observa. Que pgina corresponde ao verso

do verso da pgina que se observa?

10. O avesso de uma blusa, o lado contrrio ao que se v. O que o avesso do avesso do

avesso da blusa? O que o avesso do avesso da blusa?

11. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies matemticas:

1. Se x > 0 ento y = 3

2. Se x + y = 6 ento z < 0.


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3. Se x = 6 ou x = 5, ento x2 11x + 30 = 0.4. Se x2 11x + 30 = 0 ento x = 6 ou x = 55. Se z > 5 ento x

= 1 e x

= 2.

6. Se y = 4 e x < y ento x < 5.

12. Determine a recproca, inversa e contra-recproca de cada uma das seguintes proposies

condicionais.

1. Se v paralelo a w ento w paralelo a v .2. Duas retas se interceptam se no so paralelas.

3. Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscrever-se num curso de mestrado.

4. Se a Virgnia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado ento a sua licenciaturano de Matemtica.

5. Se a Virgnia se licenciar com boa mdia em Matemtica ela vai ter uma bolsa para se

inscrever num curso de mestrado.

6. Aprovar em lgebra uma condio necessria para o Belo se licenciar.

7. Uma condio suficiente para um tringulo satisfazer o Teorema de Pitgoras ser um

tringulo retngulo.

8. Uma condio necessria para dois tringulos serem semelhantes que tenham lados

iguais.9. Um tringulo equiltero s se os seus trs ngulos so iguais ou os seus trs lados so

iguais.

10. Trs pontos esto sobre a mesma circunferncia s se no forem colineares.

13. Quem tem olhos azuis?

Em um grupo de trs pessoas duas delas tem olhos escuros e a outra olhos azuis, as pessoas

que tem olhos escuros mentem, e a pessoa de olhos azuis sempre diz a verdade. Em uma

conversa cada uma diz:

Marta: Eu tenho olhos azuis.

Clara: Marta mentiu quando disse ter olhos azuis.

Rita: Clara quem tem olhos azuis.

14. Assinale uma concluso correta.

Uma pessoa pode ser boa ou ruim. A mesma pessoa pode ser estudante ou trabalhadora.

Mas esta pessoa estudante e ruim. Logo esta pessoa no pode ser: a) Estudante e

trabalhadora; b) Boa e trabalhadora; c) Trabalhadora e ruim.

15. Trs senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavam pelo parque, quando

Dona Rosa disse:


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No curioso que estejamos usando vestidos das cores branca, rosa e violeta,

embora nenhuma de ns esteja usando vestido de cor igual a seu prprio nome.

Uma simples coincidncia, respondeu a senhora com o vestido violeta.

Qual a cor do vestido de cada senhora?

16. Considere a Terra como uma esfera perfeita e imagine a menor corda de comprimento

entorno do Equador. Corta-se essa corda em um ponto, adicione-se a ela um metro linear

de corda e coloque-a novamente entorno do Equador. Existir uma separao entre o

Equador e a corda aumentada, entorno de toda a Terra (ver Figura (1.1)). O Equador da

Terra mede aproximadamente 40000 km.

Figura 1.1: Figura 1.2:

Intuitivamente, de quanto essa separao aproximadamente? (S se pede uma resposta

aproximada, segundo a intuio) .

a) Menos de 1mm. b) Entre 1mm. e 2cm. c) Pouco mais de 15cm.

17. Considere uma laranja e imagine a menor corda de comprimento entorno do equador da

laranja. Corta-se essa corda em um ponto, adicione-se a ela um metro linear de corda

e coloque-a novamente entorno do equador. Existir uma separao entre o equador da

laranja e a corda aumentada, entorno de toda a laranja (ver Figura (1.2))

Intuitivamente, de quanto essa separao aproximadamente? (S se pede uma resposta

aproximada, segundo a intuio)

a) Mais de 60cm. b) Entre 60 cm e 19cm. c) Menos de 16cm.

18. So apresentadas trs caixas a voc. Somente uma delas contm ouro, o outras duas esto

vazias. Cada caixa tem uma pista sobre seu contedo s uma mensagem est contando a

verdade as outras duas esto mentindo.

Qual caixa tem o ouro?

O ouro

no est aqui

O ouro

no est aqui

O ouro est

na segunda caixa


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Para obter a tabela-verdade seguimos o seguinte roteiro:

1o Aplicamos o valor-verdade da disjuno para as proposies p e q.

2o

Aplicamos a negao proposio q.

3o Aplicamos a valor-verdade s colunas 1o e 2o.

4o Escrevemos novamente valor-verdade para a proposio p.

5o Aplicamos o valor-verdade da implicao s colunas 3o e 4o.

Observe-se nesta proposio composta que o conectivo da implicao o de maior hierarquia

e na 5a coluna todas as linhas tem o valor-verdade (v), logo a proposio uma tautologia

Definio 1.9. Contradio.

Chama-se contradio toda proposio composta quando, depois de procurar a ltima coluna

de sua tabela-verdade achamos somente a letra (f).

De outro modo, contradio toda proposio composta P(p, q, r, ) cujo valor lgicosempre falso (f), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples p, q, r, .

Portanto, P(p, q, r, ) uma tautologia se, e somente se, P(p, q, r, ) umacontradio.

Exemplo 1.21.

A proposio p

p uma contradio.

p p p pv f f

f v f

Exemplo 1.22.

Determine a tabela-verdade para a proposio: P(p) : ((p p) p)Soluo.

p ((p p) p)v f v v v v vf f f f f v f

6o 1o 3o 2o 5o 4o

Portanto, a proposio: P(p) : ((p p) p) uma contradio

Definio 1.10. Contingncia.

Chama-se contingncia toda proposio composta quando, depois de procurar a ltima coluna

de sua tabela-verdade achamos uma mistura de linhas com a letra (v) ou (f).

De outro modo, uma contingncia toda proposio composta que no tautologia nem

contradio. As contingncias tambm so chamadas de proposies contingentes ou proposies

indeterminadas.


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Exemplo 1.23.

Determine a tabela-verdade para a proposio: P(p, q, r): ((p q) r)Soluo.

Observe que o conectivo de maior hierarquia .

p q r ((p q) r)v v v v v f f

v v f f v v v

v f v v f f f

v f f v f f v

f v v v f f f

f v f v f f v

f f v v f f ff f f v f f v

Portanto, a proposio: P(p, q, r): ((p q) r) uma contingncia

1.4.1 Tautologias elementares.

1. Leis da equivalncia.

(a) p p . . . reflexiva.

(b) (p q) (q p) . . . simetria.(c) ((p q) (q r)) (p r) . . . transitividade.

2. Lei do terceiro excludo.

p p

3. Lei do silogismo hipottico.

((p q) (q r)) (p r)

4. Lei do silogismo disjuntivo.

((p q) p) q

5. Lei do absurdo.

(a) ( q (p p)) q(b) ( q (p p)) q(c) (( q p) ( q p)) q

6. Lei de no contradio.

(p p)7. Lei comutativa.


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(a) Para a conjuno: (p q) (q p)(b) Para a disjuno: (p q) (q p)(c) Para a bicondicional: (p

q)

(q

p)

8. Lei associativa.

(a) Para a conjuno: (p (q r)) (p q) r)(b) Para a disjuno: (p (q r)) (p q) r)

9. Lei distributiva.

(a) (p (q r)) ((p q) (p r))(b) (p (q r)) ((p q) (p r))

10. Leis de Morgan.

(a) (p q) ( p q)(b) (p q) ( p q)

11. Dupla negao.

( p) p

12. Adio.

p (p q)13. Simplificao.

(a) (p q) p(b) (p q) p

14. Modus Ponens.

((p q) p) q

15. Modus Tollens.

(( q p) p) q

16. Idempotente.

(a) (p p) p(b) (p p) p

17. Transposio (ou de contraposio).

(p q) ( q p)

18. Implicao material.

(p q) ( p q)


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19. Equivalncia material.

(a) (p q) ((p q) (q p))

(b) (p q) ((p q) ( p q))20. Dilema construtivo.

((p q) (r s) (p r)) (q s)

21. Dilema destrutivo.

((p q) (r s) ( q s)) ( p r)

22. Exportao.

(a) ((p q) r) (p (q r))(b) ((p1 p2 pn) r) (p1 p2 pn1) (pn r))

1.4.2 Implicao lgica.

Definio 1.11.

Dizemos que uma proposio P(p, q, r, ) implica, logicamente outra proposio Q(p, q, r, )se, sempre que P(p, q, r, ) seja verdadeira(v), ento Q(p, q, r, ) tambm verdadeira(v).

Exemplo 1.24.

Sejam P(p, q): p q e Q(p, q): p q, temos que:

p q p q p qv v v v

v f

f v v v

f f v v

p q P(p, q) Q(p, q)v v v

v f

f v v

f f v

Logo a proposio P(p, q) implica logicamente a Q(p, q).

Exemplo 1.25.

Mostre que a proposio P(p, q): p (p q) implica logicamente proposio Q(p, q):p q.Soluo.

p q p (p q) p qv v v v

v f

f v v vf f v v

p q P(p, q) Q(p, q)v v v

v f

f v vf f v


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19. Determine a negao lgica das seguintes proposies:

1. Estudo lgica, ou esta prova fcil.

2. No estudo lgica, e esta prova no fcil.3. Se voc se comportar bem ento, levo voc ao circo.

4. Se voc no se comportar bem ento, no levo voc ao circo.

5. Se voc se comportar bem ento, no levo voc ao circo.

6. Se comporte bem e no levo voc ao circo.

7. 3 < x

8. "ser branco"

20. Resolva o seguinte enigma:Um viajante pede a mo da filha do sulto. Para t-la o sulto diz ao viajante:

Destas cinco escravas, voc tem que deduzir a cor dos olhos da segunda e da

terceira. As cinco tero os olhos vendados de forma que voc no seja capaz de

v-las. Trs tm olhos verdes, duas tm olhos azuis.

As de olhos verdes sempre mentem, as de olhos azuis sempre dizem a verdade.

Voc pode fazer somente trs perguntas para elas.

Ah! esqueci, se voc comete um engano, voc morrer por sua insolncia.

Viajante : De que cor so seus olhos?

Escrava 1 : bla, bla, bla . . . (responde em um idioma incompreensvel para ele)

Viajante : Que falou tua companheira?

Escrava 2 : Ela falou que tem olhos verdes.

Viajante : Que falhou a primeira e de que cor so os olhos da segunda?

Escrava 3 : A primeira diz ter olho azul, e a segunda tem olho verde.

Concluso : O viajante caso com a princesa.

21. Tenho trs pares de sapatos: S1, S2 e S3; um par preto, um par marrom e o outro

branco, no necessariamente nesta ordem. Somente uma das afirmaes verdadeira: i)

S1 preto; ii) S2 no preto; iii) S3 no branco.

Quais as cores dos sapatos S1, S2 e S3 nessa ordem?


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1.5 LGEBRA DE PROPOSIES

Trata-se nesta seo de um conjunto de operaes lgicas que podemos realizar, com a uti-

lizao dos conectivos da conjuno, disjuno, negao, implicao e bicondicional.

1.5.1 Propriedades da conjuno.

Consideremos p, q, r, s e t proposies simples, ento o conectivo lgico da conjuno

satisfaz as seguintes propriedades:

a) p p p . . . idempotente.

b) p

q

q

p . . . comutativa.

c) (p q) r p (q r) . . . associativa.

d) p t p sempre que t verdadeira (v) . . . propriedade de p

e) p s s sempre que s falsa (f) . . . propriedade de s

Demonstrao. a)

Na seguinte tabela-verdade observe que as linhas das proposies p p e p so idnticas, ea bicondicional p

p

p uma tautologia.

p p p pv v v v

f f v f

Assim, tanto, p p quanto p so proposies logicamente equivalentes.

Demonstrao. b)

Com efeito, observando as colunas da tabela-verdade para as proposies p q e q pmediante o conectivo obtemos uma tautologia.

p q p q q pv v v v v

v f f v f

f v f v f

f f f v f

Logo, tanto, p q quanto q p so proposies logicamente equivalentes.

Demonstrao. c)

Temos que a tabela-verdade para a proposio (p q) r p (q r) uma tautologia.


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p t p t tv v v v v

f v v v v

p s p s pv f v v v

f f f v f

Estas propriedades exprimem de t e s so respectivamente o elemento absorvente e o ele-

mento neutro da conjuno.

Exemplo 1.37. Propriedade idempotente.

i) x = 3 x = 3 x = 3

ii) a 8 a 8 a 8

Exemplo 1.38. Propriedade comutativa.

i) x = 7 x = 5 x = 5 x = 7

ii) a 6 a 15 a 15 a 6

iii) y 6 y 1 1 y y 6

Exemplo 1.39. Propriedade associativa.

i) (x = 7 x = 5 ) x 12 x = 5 (x = 7 x 12

ii) (a 6 a 15) (a = 7) a 15 (a 6 a = 7)

Exemplo 1.40. Propriedade de identidade.

i) a = 3 | a |< 1 a = 3

ii) x = 3 | x | 2 | x | 2

1.5.3 Propriedades da disjuno e conjuno.

Sejam p, q e r proposies simples, temos as seguintes propriedades:

1. Absoro.

(a) p (p q) p(b) p (p q) p

2. Propriedade distributiva.

(a) p (q r) (p q) (p r)(b) p (q r) (p q) (p r)

3. Negao.

(a) ( p) p


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( (p q) p) (( p q) p) . . . lei de Morgan.

(( p q) p) ( p p) q) . . . comutativa.

( p p) q) (T q) . . . tautologia. (T q) T . . . tautologia.

Portanto, (p q) p logicamente verdadeira; tautologia.

Observao 1.6.

Denotamos comT as proposies logicamente verdadeiras (tautologias), e comC proposieslogicamente falsas (contradio)

Exemplo 1.41.Mostre a implicao: ((p q) p) q (modus ponens) logicamente verdadeira.

Demonstrao.

(((p q) p) q) . . . hiptese.

((( p q) p) q) . . . tautologia.

(( p p) (q p) q) . . . distributiva.

(C

(q

p)

q) . . . contradio.

((q p) q) . . . cancelamento.

T . . . tautologia.

Portanto, ((p q) p) p logicamente verdadeira; tautologia.

1.5.5 Reduo do nmero de conectivos.

Foram estudados cinco conectivos lgicos, entretanto podemos reduzir esse nmero para dois,

entendendo-se com isto que trs deles podem ser definidos em funo de dois, confirmando-separa estas novas definies a mesma tabela-verdade da proposio original.

Propriedade 1.4.

Entre os cinco conectivos lgicos fundamentais:

, , ,

trs exprimem-se em termos apenas dos seguintes pares:

a) e ; b) e ; c) e .

Demonstrao. a)

1o p q ( p q) ( p q)


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Exemplo 1.43.

As seguintes proposies esto na forma normal (FNC):

p q, p q r, ( p q) ( q r)Exemplo 1.44.

So (FNC) ( p q) (r s p), p q, p q, p, q

No so (FNC) p q, r, p (q r), (p q)

Observao 1.8.

Para todo proposio composta, possvel determinar uma (FNC) a ela logicamente equiva-

lente. Para isso, usamos as seguintes regras:

a) Eliminando p q por p q e p q mediante a substituio ( p q) (p q).

b) Eliminando as negaes repetidas e parnteses precedidos de pelas regras da negao dupla e de Morgan .

c) Substituem-se:

1. p (q r) por (p q) (p r)

2. (p q) r) por (p q) (p r)

Exemplo 1.45.

Seja ((p q) q) (r q); temos:

1. ((p q) q) (r q) . . . hiptese.

2. ( (p q) q) (r q) . . . lei de Morgan

3. ( p q) q) (r q) . . . lei de Morgan, tautologia.

4. (( p q) ( q q)) (r q) . . . tautologia.

5. ((( p q) ( q q)) r) (( p q) ( q q)) q) . . . tautologia.

6. ( p q r) ( q q r) ( p q q) ( q q q)

Exemplo 1.46.

Determine a (FNC) da proposio (((p q) q) (q r))Soluo.

(((p q) q) (q r)) (( (p q) q) ( q r)) ((( p q) q) ( q r)) (( p q) ( q q) ( q r))


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Exemplo 1.49.

Determinar a (FND) da proposio: (p q) (q p).Soluo.

((p q) (q p)) ((( p q) q) (( p q) p) (( p q) (q q) ( p p) (p q))

Exemplo 1.50.

Determinar a (FND) da proposio: ((p q) q) (r q).Soluo.

1. ((p q) q) (r q) . . . hiptese.

2.

(p

q)

q

(r

q) . . . lei de Morgan.

3. ( p q) q (r q) . . . lei de Morgan.

Propriedade 1.6.

Uma frmula normal disjuntiva contradio se, e somente se, cada elemento equivalente

frmula conjuntap com sua negao p.Demonstrao.

De fato, se cada elemento equivale a p p ento, a disjuno da (FND) contradio.Reciprocamente, se a (FND) contradio, ento cada elemento da disjuno contradio

e da, cada elemento equivalente a p p.

Observao 1.9.

1. Toda proposio pode ser levada para uma (FN) equivalente pela eliminao dos conectivos

e .

2. Existem duas espcies de (FN) para uma proposio: a forma normal conjuntiva (FNC) e

a forma normal disjuntiva (FND).

3. Uma mesma proposio pode ter mais de uma (FNC) ou (FND).

1.5.6 Princpio de dualidade.

Seja P uma proposio que s contem os conectivos , e . A proposio que resultade P trocando cada conectivo por , cada por chamado de dual de P e denotado porP.

Propriedade 1.7.

SeP e Q so duas proposies equivalentes que somente contem os conectivos , e ,

ento as suas duais respectivas P1 e Q1 tambm so logicamente equivalentes.

Exemplo 1.51.


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Da equivalncia p (p q) p, deduz-se pelo principio de dualidade, a equivalnciap (p q) p.

A partir de (p

p)

q

q deduz-se, pelo princpio de dualidade que: (p

p)

q

q

Pequeno dicionrio de heurstica

Definies : De termos so descries de seus significados por meio de outros termos que se

supe sejam bem conhecidos.

Os termos tcnicos em matemtica so de duas categorias: Uns so aceitos como ter-

mos primitivos e no se definem (ponto, reta, plano, elemento, conjunto, etc). Out-

ros consideram-se como termos derivados e so definidos normalmente (bissetriz, crculo,

parbola, etc).Diagnstico : um termo tcnico em educao, com o significado de caracterizao mais

rigorosa do aproveitamento do aluno.

Equacionamento : como traduo de um idioma para outro. Esta comparao usada por

Newton na sua Arithmetica Universalis, pode contribuir para estabelecer a natureza de

certas dificuldades muitas vezes encontradas na soluo de um problema.

Heurstica : Ou heurtica era o nome de um certo ramo de estudo, no bem delimitado,

pertencente lgica, filosofia, muitas vezes delineado mas raramente apresentado com

detalhes

Idia brilhante : uma expresso coloquial que significa um sbito avano no sentido da

soluo.


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1 p (q r) (p q) (p r) 2. ( p) p3. p (q r)

Christian Pinedo - Fundamentos da Matemática

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