Certamen Informtica

Alumno: Ivan Aliaga CasceresProfesor: Sergio Contreras

Miercoles 15 de julio, 2015

A continuacin se procede a resolver los problemas 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.6, 5.10, 5.13 y 5.14 del libro: Statistical Computingwith R, de Maria L. Rizzo.

1. Ejercicio 5.1Calcular y estimar por el metodo de montecarlo la siguiente integral:

pi/30

sen t dt

y comparar su estimacin con el valor exacto del valor de la integral.

Solucin.-

=

pi/30

sen t dt = cos t|pi/30 = cos0 cospi

3= 1 1

2=

12

Algoritmo.-

a) Se tienen x1, x2, . . . , xm variables pseudo aleatorias de una Distribucin Uniforme U(0, 1)

b) = gm(xi) = 1m mi=1 g(xi) =

1m

mi=1 sen(

pi3 xi).

c) = (b a)gm(xi) = pi3 gm(xi).

N

2. Ejercicio 5.2Refiriendo al ejemplo del ejercicio 5.3 calcular la estimacin por el mtodo de montecarlo la funcin de distribucinacumulada normal estandar, generado por una distribucin Uniforme U(0, x). Comparar su estimacin con la funcinnormal cdf pnorm. Calcular una estimacin de la varianza de la estimacin Monte Carlo de (2) y un intervalo deconfianza del 95 % para (2).

Solucin.-

= x

12pi

et2/2dt

=

0

12pi

et2/2dt +

x0

12pi

et2/2dt

=12+

12pi

=

x0et

2/2dt

= gm(x) =1m

m

i=1

g(xi) =1m

m

i=1

ex2i /2, {x}mi=1 U(0, x)

Algoritmo para las estimaciones.-

a) Se tienen y1, y2, . . . , ym variables pseudo aleatorias de una Distribucin Uniforme U(0, x)

b) = gm(xi) = 1m mi=1 g(xi) =

1m

mi=1 e

x2i /2.

c) = (b a)gm(xi) = xgm(xi) = x 1m mi=1 ex2i /2.

Algoritmo para la varianza.-

a) Se tienen y1, y2, . . . , ym variables pseudo aleatorias de una Distribucin Uniforme U(0, x)

b) = gm(xi) = 1m mi=1 g(xi) =

1m

mi=1 e

x2i /2

c) Var() = 2

m =1m2

mi=1

[g(xi) gm(x)

]2N

0 2000 4000 6000 8000 10000

0.970

0.975

0.980

0.985

0.990

Rplicas (m)

0.96

0.98

1.00

0 2500 5000 7500 10000Rplicas (m)

3. Ejercicio 5.3Calcular la estimacin de Montecarlo de:

=

0.50

exdx

Mediante un muestreo de Uniforme U(0, 0.5), y estimar la varianza de . Encuentra otro estimador de Monte Carlo mediante un muestreo de la distribucin exponencial Cul de las varianzas ( y ) es ms pequeo, por qu?.Solucin

=

0.50

exdx = exp(x)|0.50 = 1 exp(0.5) = 0.3934693

Algoritmo para las estimaciones (Estimacin mediante variables aleatorias pseudo aleatorias uniformes entre 0 a 12 )

a) Se tienen x1, x2, . . . , xm variables pseudo aleatorias de una Distribucin Uniforme U(0, 0.5)

b) == 12 0.5

0 ex2dx = 12

0.50 g(x) f (x)dx =

12Ex [e

x].

c) = 12 gm(yi) =1

2m mi=1 e

yi .

d) Var() = 2

m =1m2

mi=1

[g(xi) gm(x)

]2.

Algoritmo para las estimaciones (Estimacin median variables pseudo aleatorias exponenciales)

a) Se tienen y1, y2, . . . , ym variables pseudo aleatorias de una Distribucin Exponencial Exp(=1).

b) Para cada observacion Xi, calcular:

=

0.50

eydy= 0.5

0g(y)dy

g(Yi) = I(Yi y)={

1 Yi y0 Yi > y

c) Calcular = F(y) = g(Y) = 1m mi=1 I(Yi y).

d) Calcular Var() = 1m2 mi=1

[g(yi) gm(y)

]2.

3

m

return((1/beta(p,q))*thetaest)

}

x

6. Ejercicio 5.6En el Ejemplo 5.7 donde se us el enfoque variable aleatoria de control, se ilustra la integracin de la siguiente integralpor el Mtodo de Montecarlo:

=

10exdx

Consideremos ahora el enfoque variable antittica. Calcule Cov(eU , e1U) y Var(eU + e1U), donde U U(0, 1), Cul esel porcentaje de reduccin en la varianza de que se puede lograr utilizando variables aleatorias antitticas (en compara-cin con la sencilla MC)?.

Solucin

=

10exdx = e1 1 = 1.718282

#variables antiteticas

m

u2