Cepuns 2013-II Semana 02

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS

Ciclo 2013-II

TRIGONOMETRÍA “Sector Circular”

SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos

radios y un arco de circunferencia

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de

longitud de un arco de circunferencia, se calcula

mediante el producto del número de radianes

del ángulo central y el radio de la

circunferencia.

Deducción: Sea la circunferencia con

centro en “0” y radio “r” comparando la

longitud de arco y el ángulo central como

se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado

geométrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco Ángulo Central

l rad.

r 1 rad.

De donde se obtiene l = . r .

Donde:

l : longitud de arco

: Número de radianes del ángulo

central

r: radio de la circunferencia

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular la longitud

de arco (l), siendo 0: centro.

Solución:

l = 6

. 18

l = 3 cm

PROPIEDAD:

2

1

2

1

L

L

A

A

(Radio constante)

Área Del Sector Circular: El área de un

Sector Circular se calcula mediante el producto

del número de radianes del ángulo con el radio

de la circunferencia elevado al cuadrado

dividido entre dos.

Deducción:

Comparando (por regla de tres simple)

Área de un Sector Circular Ángulo Central

r2 2 rad.

Semana Nº 2

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.

2


S rad.

Resolviendo se obtiene:

2

2rS también:

2

rlS

2

2lS

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular el área del

sector A0B. 0: centro.

Solución:

2

6.

3

2

S

S = 6 cm2

Área del Trapecio Circular:

dLL

S2

21

AOBCOD SSS

Valor numérico del ángulo central

= d

LL 21 ; (0 < < 2 )

NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de

vueltas que da una rueda de radio “r” al

desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante

el cociente de la longitud que describe el centro

de la rueda dividido entre 2 r. (perímetro de la

rueda).

En esta figura el número de vueltas que da la

rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”

hasta “B” se calcula:

rn c

v 2

l ; rL

g ;

2gn

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).

(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre

una superficie curva.

rrR

n2

r

rRn

2

(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.

Se cumple:

1r1 = 2r2

n1r1 = n2r2

L1 = L2

(*) Ruedas unidades por sus centros.

Se cumple: 1 = 2 n1 = n2

2

2

1

1

r

L

r

L


3


Propiedad

PROBLEMA RESUELTOS

1) Halle el área sombreada:

a)

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

RESOLUCIÓN

Sx = S AOB S COD

x

x

x

x

x

S a² b²2 2

S a² b²2

1S 6²

2 6

36S

12

S 3

RPTA.: C

2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando la rueda menor gira º la mayor gira g.

¿En qué relación se encuentra los radios?

a) 3

7 b) 8

13 c) 9

10d) 3

10e) 9

4

RESOLUCIÓN Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda

menor y mayor respectivamente.

En una bicicleta se cumple que:

1R1 = 2R2

ºR1 = ( g)R2

1 2

1

2

9ºR º R

10

R 9

R 10

RPTA.: C

3) Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa

que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5 m

a) 1

3 b) 1

8 c) 1

9d) 1

4 e) 1

10

RESOLUCIÓN

1 + 2 = 144º

L1 = L2 1R1 = 2R2

1 2 1

2 1 2

R V 5

R V 3

1 2 144 1

2 2 180 2

0

R

S

R R R R

R

R

R

3S 5S

7S

5

3

g

º

R1

R2

30ºo

C

D

B

A

6

30ºo

C

D

B

A

6

a

b


4


1 2 1 2

1 2

2 2V V 8k V V 2k

5 5

1 1k V V 2

20 20

1

10

RPTA.: E

4) Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.

a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11 RESOLUCIÓN

RECORRIDA#V2 r

Sabemos: r = ( ) (21) = 21

# vueltas = 21

2 1

#v = 10,5 RPTA.: D

5) De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la

curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?

a)24 b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4

RESOLUCIÓN

ABL = 240º 18u 24

180

De la figura:

L 24

241r 240r

L = 24,1 RPTA.: B

6) En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD tienen igual área.

Halle: m

n

a) 2

2

b) 1

2

c) 2

d) 2

e) 1 RESOLUCIÓN

m²menor :S

2

n²mayor :2S

2

1 m²

2 n²

1 m m 2

n n 22

RPTA.: A

r o

rBoA

20

A

r

B

B

A240 r

A

r

B

B

240 r

L

nmo

D

A

BC

nmrad S S


5


7) Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser:

A)1 rad B) 2 rad C) 1rad

2

D)4rad E) 1

4rad

RESOLUCIÓN

Condiciones:

i) S = S L Ra²

2

R.L = 2a²

ii) Perímetro = Perímetro

2R + L = 4a

(2R+L)²=16a² (2R+L)² = 8(2a²)

4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)

4R² 4R.L +L² = 0 (2R L)² = 0 2R L = 0

2R = L 2R = R = 2 RPTA.: B

PROBLEMA DE CLASE

1) Calcule: 2 3

1

S SM

S

Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones

sombreadas

S2

S1

S3

2

A) 12

7

B) 13

2

C) 1

12 D) 5 + 2 E) 5 2

2) Del gráfico, determinar

NMP

BA

L

L

Si AOB es sector circular.

a) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¼ e) 1

3) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en las que se inscribe un ángulo central determinando longitudes de arco sobre dichas circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.

Calcule;

rF 16 2

R siendo r y R los radios de las circunferencias (r<R). a) 7 b)8 c) 9 d)10 e) 11

4) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del área de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del sector, si la medida del ángulo central expresado en radianes, toma su mayor valor entero posible?.

a)12 b)24 c) 48 d)72 e) 144 5) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que

están en progresión aritmética, además

EFL a

, CDL b

y ABL c

Calcular:

2 2

2

b a

c .

E

C

A

FD

B

A1

A3

a) ½ b) 2/3 c)2 d) 3 e) 3–1

6) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m.

ubicado sobre una pista horizontal, si el

triángulo empieza a girar sin resbalar (ver

gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el

piso otra vez; calcular el espacio recorrido por

dicho punto.

S

a

a

a

a


6


a) 5 m b) 9 m c) 10 m d) 12 m e) 15 m

7) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el

ángulo (en radianes) que se debe girar para que

los centros de las esferas A y B se encuentren

a la misma altura si inicialmente dicha

diferencia de alturas es de 14 unidades?.

A

B

2u

5u

a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5

8) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué ángulo habrá girado la rueda menor si la relación de sus radios es de 1 a 4.

a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º

9) A partir del gráfico, calcular la longitud recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.

a) 5 m

b) 5/2 m

c) 2 m

d) 3 /2 m

e) 8 m

10) Siendo O , O1 centros de los sectores circulares , calcular el perímetro de la región sombreada.

a) R6

3

4 b) 3

64R

c) R32

d) 3

84R e)

263

R

11) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB, entonces el perímetro de la región sombreada es:

a) 2 b)

3

11 c) 3

5 d) 3

7 e) 3

12) Determine el número de vueltas que da la

rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9 r/2 , R = 9r

a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9

13) ¿Cuánto deben girar las poleas mostradas para que la esferita baje 3m y cuánto debe ser el radio r, Si R = 2m ?

a)

rad3

2 y 2m b) rad

2

3 y 2m c) rad

3

1 y 1m

d) rad y 2m e) rad

2

3 y m

2

3

14) Hallar el área de la región sombreada si AOB

y COD son sectores circulares, donde

2

9 y

BC 3m .

O

A

C

B D


7


a) b) c) d) e)

15) Calcule la altura en términos de R, a la que

se encontrará el punto A de la rueda, cuando

éste gire un ángulo de 1305º, desplazándose

sobre una pista horizontal.

R

A

a) 2 1 R

b)

1 2 2R

2 c)

1 2 2R

2

d) 2 2

R2 e)

2 2 1R

2

PROBLEMA DE REPASO

1) En el esquema mostrado se tiene que al

hacer girar la faja, las ruedas A y C giran

longitudes que suman 28 . Determinar

cuantas vueltas dará la rueda mayor.

a) 1 b)1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

2) El ángulo central que subtiende un arco de

radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo

hasta que mida Sg, ¿Cuánto debe aumentar el

radio para que la longitud de dicho arco no

varíe? (S y C son lo convencional)

a) 5 b) 15 c) 19 d) 23 e) 31

3) En la figura adjunta calcule el número de

radianes que gira la esfera de radio r al radar de A hacia B, sobre la superficie curva de radio

R(R=29r), si x

6 .

RA B

x

rr

a) rad

6 b)6 rad c)2,5 rad d)5 rad e) rad

5

4) De la figura mostrada, determinar el

número de vueltas que da una rueda de radio r

para recorrer el circuito MNP.

a)

rrR

6

3 b) r

rR6

3 c) r

rR2

3 d) r

rR2

3 e) r

rR6

3

5) La longitud de una circunferencia es (7x +

3) m, un ángulo central de x rad, subtiende un

arco de (4x + 1) m, calcular el valor de “x”

a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 7/2 e) 1/6

6) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 =

3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran

inicialmente al mismo nivel y la rueda de radio

r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la

diferencia de alturas (h), después de este giro

(en u), es:

a) 2.5 b)2 c) 3 d) 3,5 e) 1

7) Determinar el valor de “L”

a) 3 b)6 c) 12 d) 15 e) 10

8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero

de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la


8


curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo

que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.

a) 12 cm b)16 cm c)18 cm d)24 cm e) 30 cm

9) De la figura, calcular

2

1

SS ; siendo S1: Área

del sector AOB y S2: Área del sector COD.

a)

baa b)

baa c)

baa2

d) ba

a2

e) ba

a2

10) Dado un trapecio circular cuyo perímetro

mide 20cm. Halle el valor máximo, en cm2, de su área.

a) 12cm2 b) 16cm2 c) 20cm2

d) 25cm2 e) 30cm2

11) Del gráfico adjunto, calcular el área sombreada, si se sabe que: MN=4m

a) 2 m2

b) m2

c) 4 m2

d)

2

m2

e) 3 m2

12) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda

menor gire 8 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

13) Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.

a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 40

14) Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su

extremo recorre 3 m. a) 5m

b) 6m

c) 7m

d) 8m

e) 9m

15) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

16) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u).

a) 88

b) 92

c) 172

d) 168

e) 184

17) Del gráfico hallar “x+y”

a) a b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a

45º

N

M

4m

50g

/12

a

y

x

B

A

120º

135º

R

R

A

B r

r

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