VELOCIDAD Y ACELERACION EN EL MOVIMIENTO COPLANARIO

Introduccin

Debido a que el movimiento es inherente a las mquinas, las cantidades cinemticas como la velocidad y la aceleracin son de importancia para la ingeniero en el anlisis y diseo de los componentes de las mquinas. Los valores cinemticos en las mquinas han alcanzado magnitudes extraordinarias. Las velocidades de rotacin, que una vez se consideraron altas a un valor de 10 000 rpm, ahora se aproximan a 100 000.0 rpm.Los grandes rotores de los motores a chorro trabajan a velocidades de 10 000 a 15 000 rpm, y las ruedas de turbinas pequeas giran a una velocidad de 30 000 a 60 000 rpm.El tamao de los rotores y su velocidad de rotacin se relacionan en tal forma que a menor tamao mayor ser la velocidad de rotacin permitida. Una cantidad ms bsica en los rotores es la velocidad perifrica, la cual depende de la velocidad de rotacin y el tamao (V = R). Las velocidades perifricas en las turbomquinas estn llegando a valores de 50 000 a 100 000 pies/min. Las velocidades perifricas en las armaduras elctricas (10 000 pies/min) y en los cigeales automotrices (3 000 pie/min) son ms bajas que en los rotores aeronuticos.Aunque las velocidades de los rotores o de las manivelas de los mecanismos de eslabones articulados son bajas, la tendencia es hacia mayores velocidades debido a la demanda de mayores tasas de productividad en las mquinas que se emplean para impresin, fabricacin de papel, hilado, computacin automtica, empaque, embotellado, maquinado automtico y muchas otras aplicaciones.La aceleracin centrpeta en la periferia de un rotor depende del cuadrado de la velocidad de rotacin y del tamao (An = (2R). En las turbinas, dichas aceleraciones se estn aproximando a valores de 1 a 3 millones de pies/s2 o sea aproximadamente de 30 000g a 100,000g, valores que pueden compararse con la aceleracin de 10g que soportan los pilotos de aviones, o de 1000g que soportan los pistones automotrices.La aceleracin se relaciona con la fuerza (MA), por el principio de Newton y se relaciona a su vez con el esfuerzo y la deformacin, que pueden o no ser crticos en una pieza de una mquina,

dependiendo de los materiales empleados. La velocidad de una mquina est limitada en ltima instancia por las propiedades de los materiales de que est formada y las condiciones que influyen en las propiedades de los materiales empleados.Las altas temperaturas que se dan por la compresin de los gases y la combustin de los combustibles, junto con las que se dan como resultado de la friccin, son una condicin que influye en la resistencia de los materiales de las mquinas de potencia de alta velocidad. El grado en que se eleva la temperatura tambin depende de las medidas que se tomen para la transferencia de calor mediante refrigerantes como aire, aceite, agua o Freon.El buen diseo de una mquina depende de la explotacin del conocimiento en los campos de la dinmica, el anlisis de esfuerzos, la termodinmica, la transmisin de calor y las propiedades de los materiales.Sin embargo, el propsito de este captulo es estudiar solamente las relaciones cinemticas en las mquinas.Para los cuerpos que giran alrededor de un eje fijo, como el caso de los rotores, los valores cinemticos se determinanrpidamente a partir de formulas elementales bastante conocidas ( V = R, An = 2R, At = R ).Sin embargo los mecanismos como el corredera-biela-manivela y sus inversiones son combinaciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino tambin de miembros oscilatorios y reciprocantes.Debido a las velocidades y aceleraciones relativas entre los diferentes miembros. Junto con las muchas posiciones relativas geomtricas que se pueden dar, el anlisis cinemtico de un mecanismo de estabones articulados es relativamente complejo comparado con el de un rotor. Los principios y mtodos que se ilustran en este captulo son principalmente los que se emplean para el anlisis de mecanismos de eslabones articulados compuestos de combinaciones de rotores, barras, correderas, levas, engranes y elementos rodantes.En las exposiciones siguientes se supone que los eslabones individuales de un mecanismo son cuerpos rgidos en que las distancias entre dos partculas dadas de un eslabn mvil, permanecen fijas. Los eslabones que sufren deformaciones durante el movimiento, como los resortes, caen dentro de otra categora y se analizan como miembros vibratorios.

La mayora de los mecanismos elementales se encuentran en movimiento plano o se pueden analizar como tales. Los mecanismos en los que todas las partculas se mueven en planos paralelos se dice que estn en movimiento plano o coplanarios.El movimiento de un eslabn se expresa en trminos de los desplazamientos lineales y las aceleraciones lineales de las partculas individuales que constituyen el eslabn.Sin embargo, el movimiento de un eslabn tambin puede expresarse en trminos de los desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de lneas que se mueven con el eslabn rgido.Existen muchos mtodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, los que se emplean comnmente son:

a) anlisis de velocidad por centros instantneos;b) anlisis de velocidad por mtodo de resolucinc) anlisis mediante el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea analtica o grficamente por medio de polgonos de velocidad y aceleracin (mtodo de imagen);d) anlisis mediante el empleo de matemticas vectoriales para expresar la velocidad y aceleracin de un punto con respecto de un sistema fijo o un sistema mvil de coordenadas;e) anlisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre de circuito escritas en forma compleja.

De los mtodos mencionados, el primero, el segundo y el tercero, mantienen el aspecto fsico del problema. El quinto mtodo que hace uso de vectores en forma compleja, tiende a hacerse demasiado mecnico en su operacin a tal grado que los aspectos fsicos se pierden rpidamente. Sin embargo se debe mencionar que el cuarto y quinto mtodo se presentan para soluciones por computadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va ha analizar durante un ciclo completo. Particularmente en este captulo se analizaran los tres primeros mtodos.

5.1 Velocidades de los centros instantneos

Cuando un cuerpo gira alrededor de un centro, la velocidad de cualquier punto en l ser en una direccin perpendicular al radio y su magnitud es proporcional al radio de esta forma en la Fig.5.1 donde el cuerpo 2 esta articulando al cuerpo 1, la velocidad del punto P es perpendicular al radio rp y tiene una magnitud vp = 2/1 rp. Similarmente a la velocidad del punto Q es perpendicular al radio rQ y tienen una magnitud vQ =2/1 rQ dividiendo estas dos ecuaciones se produce:vQ / vp = rQ / rp o vQ = vp (rQ / rp )(5.1)

Figura 5.1 Velocidad de CI

Cuando la velocidad de una punto sobres un cuerpo es conocida y representados por un vector, muy frecuentemente se desea encontrar grficamente la velocidad de otro punto sobre el mismo cuerpo, en la fig. 5.1 tmese en cuenta que la velocidad del punto P es conocida y representada por el vector vp se desea encontrar la velocidad del punto Q. Con O como centro y con el radio OP, o rp, se traza un arco cortando OQ, alargado, si el necesario, hasta S. Como S y P estn a la misma distancia del centro de rotacin, sus velocidades son de igual magnitud, pero de direccin diferente. El vector ST, trazando perpendicular a OS, se iguala a la longitud del vector Vp. Este es marcado Vp, ya que representa la magnitud de la velocidad de P, pero no en su direccin correcta, trazando la lnea OT y el vector QW perpendicular a OQ o rQ obtenemos los tringulos semejantes OQW y OST.De donde:

QW = OQo VQ = rQSTOSVp rp

Que comparada con la ecuacin 5.1, QW representa la velocidad del punto Q en la misma magnitud que ST representa la velocidad del punto P.El mismo resultado podra obtenerse girando el punto Q alrededor del centro O hasta el punto X en la lnea Op (fig. 5.2) trazando la linea OY, y el vector XZ perpendicular a Op o rp, obtenemos otra vez dos tringulos semejantes. Consecuentemente, XZ representan la magnitud de la velocidad del punto Q a la misma escala que PY representa la velocidad del punto P. El vector XZ es marcado VQ ya que es la magnitud Vq, pero no su direccin correcta. Girando este vector alrededor de O hasta el punto Q, obtenemos la velocidad VQ, ya que se han considerado solamente condiciones instantneas, esta construccin grafica es aplicable cuando el punto sobre el que gira el cuerpo es un centro instantneos o un centro permanente.

Figura 5.2 Velocidad de CI

Puntos en diferentes eslabones.

Muy frecuentemente es necesario encontrar la velocidad de un punto en un determinado eslabn de un mecanismo, a partir de la velocidad de otro punto localizado en un diferente eslabn. Comnmente se dispone de varios mtodos y cada uno de ellos tiene sus ventajas para casos particulares, es muy aconsejable que el estudiante entienda los principios de cada uno de estos mtodos , para que utilice el que mas le convenga para un problema en particular, o bien emplee un mtodo para comprobar el otro. Algunos problemas se resuelven mejor combinando estos mtodos.Antes de esbozar los mtodos, resulta conveniente clasificar alguno de los centros instantneos como centros de pivoteo. Estos son los centros relacionados al eslabn fijo 1 y por lo tanto

tienen su numero en su subscripto. De esta manera, en la fig. 5.3 los centros de pivoteo son O12 O13 y O 14.

Figura 5.3 Determinacin de velocidad mtodo eslabn - eslabn

a) Mtodo de eslabn a eslabn.

Este es un mtodo de paso por paso, por medio del cual comenzamos con el eslabn donde esta localizado el punto con la velocidad conocida, y derivamos a travs de su centro instantneo con respecto a un eslabn conectado y despus continuamos con el eslabn conectado a su centro instantneos con respecto al siguiente eslabn. Continuando de esta manera, llegamos finalmente al eslabn que contiene el punto cuya velocidad es requerida. En general, es necesario empezar localizando todos los centros de pivoteo y los centros instantneos de cada eslabn con respecto a su eslabn adjunto.Para ilustrar el mtodo consideraremos el cuadriltero articulado de la fig. 5.3 en el cual el eslabn 1 es fijo. Supondremos que la velocidad del punto Q en el eslabn 1 es la requerida. En este ejemplo los eslabones 2 y 4 estn conectados por el eslabn 3, y trabajaremos a travs de este ultimo desde el 2 al 4.Primeramente localizamos los centros instantneos O21 O25, O31 O34 y O41, como se ilustra en la figura.La velocidad del punto P es conocida y representada por el vector Vp, perpendicular a una lnea desde P al centro de pivoteo O21, considerando los dos puntos P y O23 como puntos en el eslabn 2, trazamos la construccin ( segn el art. 5.1) mostrada y por tringulos semejantes a y b encontramos el vector de velocidad Vo23 para el punto O23.Por definicin de un centro instantneos, O23 es un punto en el eslabn 3, as como tambin en el eslabn 2, Siendo un punto en el eslabn 3 gira sobre el centro de pivoteo O31; igualmente como

es un punto en el eslabn 2 gira sobre el centro de pivoteo O21. Por lo tanto el vector de velocidad V023 es trasportando (arco c) girando sobre el centro de pivoteo O31 a una lnea que pasa sobre O31 y O34. Considerando la posicin de O23 girada y el centro O34 como punto en el eslabn 3, efectuamos la construccin (segn Art. 5.1) mostrada segn los tringulos d y e; empleando O31 como el centro de pivoteo para encontrar el vector de velocidad Vo34 para el punto O34 . Ahora O34 y Q, son putnos en el eslabn 4, que giran sobre el centro de pivoteo O41 . De ah que Vo34 se puede trasporta sobre este centro de pivoteo a la lnea O41Q (arco f) Dibujando los tringulos semejantes g y h, encontramos el vector de velocidad VQ que representa la velocidad requerida para el punto Q. Dicho vector es perpendicular a un lnea desde Q hasta el centro de pivoteo O41.De esta descripcin es evidente que : el giro de cualquier eslabn relativo al eslabn fijo ocurre alrededor del centro de pivoteo que contiene el nmero de ese eslabn y el del eslabn fijo. La velocidad absoluta de cualquier punto sobre un eslabn, es en una direccin perpendicular a una lnea desde el punto hasta el centro de pivoteo de ese eslabn, y el vrtice del tringulo semejante, segn la construccin del art. 5.1 siempre es el centro de pivoteo del eslabn considerado.En este ejemplo los tres eslabones 2, 3 y 4 estn conectados por pernos articulados. Las conexiones entre estos eslabones pueden, no obstante, ser de cualquier forma, y el mtodo se pude aplicar en cualquier mecanismo, siempre que los centros instantneos requeridos estn accesibles.

b) Mtodo directo.

Cuando un mecanismo tiene muchos eslabones, el mtodo eslabn-eslabn resulta ser muy fastidioso. Muy frecuentemente se puede emplear el mtodo directo para reducir el trabajo que se requiere en tales casos. Tal como lo implica el nombre, vamos directamente desde el eslabn que contiene la velocidad conocida, hasta el eslabn que tiene el punto cuya velocidad es la requerida. Esto puede efectuarse encontrando la velocidad del centro instantneo que contiene en su subscrito los nmeros de los dos eslabones en cuestin, ya que en este punto los dos eslabones tienen una velocidad comn. Por lo tanto solamente se necesitan localizar tres centros instantneos . Si el eslabn fijo es 1 y los dos eslabones en cuestin son m y n, los centros que

deben localizarse son Omn Oml y Onl. Los ltimos dos centros son los centros de pivoteo, y los principios del mtodo eslabn-a-eslabn, con referencia a la construccin, se aplica igualmente aqu.

Figura 5.4 Determinacin de velocidad mtodo directo

Por lo anterior, en la Fig. 5.4, que es el mismo cuadriltero articulado empleado en el ejemplo anterior, la velocidad del punto P en el eslabn 2 es conocida, y se requiere encontrar la velocidad del punto Q en el eslabn 4. Por lo tanto localizamos el centro comn O24 y los dos centros de pivoteo O21 y O41.Los puntos P y O24 son dos puntos sobre el eslabn 2 y por eso giran alrededor del centro de pivoteo O21. Como la velocidad de P es conocida, la velocidad de O24 se puede localizar grficamente por el mtodo del Art. 5.1 y se designa Vo24 . Como el eslabn 2 pivotea alrededor de O21 se traza el tringulo a con un cateto que representa Vp. El triangulo b semejante a a, tendr un cateto correspondiente representado, como se ha indicado, la velocidad de O24. Por ser un punto en el eslabn 4, O24 tienen la misma velocidad Vo24: por tanto conocemos la velocidad de un punto en 4 podemos encontrar la velocidad de cualquier otro punto, tal como Q. Puesto que el eslabn 4 gira alrededor de O41, construimos el tringulo c, y despus el triangulo semejante d. Este vector es girando alrededor de O41 hasta el punto Q, donde se hace perpendicular a un a lnea desde Q hasta el centro del pivoteo O41. En esta posicin el vector representa la velocidad de Q en magnitud y direccin.La construccin se puede aplicar a cualquier forma de mecanismo siempre y cuando est disponible el centro instantneo comn a los dos eslabones en los cuales se localizan los puntos; cuando este punto no es accesible se debe emplear algn otro mtodo. En algunos casos la localizacin de este centro requiere mucho trabajo, y se puede facilitar empleando otro mtodo. Hay que tomar en cuanta que, si uno de los centros de pivoteo se localizan hasta el infinito, todos los puntos en ese eslabn tendrn la misma velocidad en magnitud y direccin. Entonces, si se

encuentra la velocidad del centro comn y el centro de pivoteo del eslabn del cual se desea conocer la velocidad est en el infinito, no es posible, o necesario, trazar arcos, ya que la velocidad del punto es la misma que la del centro comn en magnitud y direccin.

5.2 Velocidades lineales por resolucinSi la magnitud y direccin del movimiento de un punto en un cuerpo en movimiento, y la direccin del movimiento de un segundo punto en el mismo cuerpo son conocidas la magnitud de la velocidad del segundo punto se puede determinar por resolucin. Este mtodo depende del hacho que la distancia entre los dos puntos es constante si el cuerpo es rgido.

Figura 5.5 Velocidad mtodo porresolucin

Sean P y Q (Fig. 5.5) dos puntos en el cuerpo 2 en movimiento con respecto al cuerpo 1. La velocidad de P esta indicada en magnitud y direccin por el vector Vp, en el instante considerado. El punto Q tienen movimiento en la direccin QA en el mismo instante . La direccin PQ es constante, y tambin los componentes de las velocidades en una direccin paralela a PQ deben de ser iguales; de otro manera la distancia entre ellos se aumentara o se disminuira. Trazando el tringulo a encontramos el vector V1, la componente paralela a PQ. Ahora podemos trazar el tringulo b, ya que el vector V1, representa la componente de la velocidad de Q paralela a PQ, y es iguala V1; tambin un cateto es perpendicular a PQ y el tercero coincide sobre QA. El cateto mencionado ltimamente es VQ, y representa la velocidad de Q.Al dibujar las componentes de una resultante, siempre deben trazarse paralelas y perpendiculares al eslabn, o a una lnea proyectada sobre los extremos de los eslabones, pero nunca perpendiculares a la resultante. Si no se trazan perpendiculares hacia el eslabn, estas componentes tendrn otra componente de ellas mismas a lo largo del eslabn, lo cual no destruye el principio en que est basado el mtodo.

El mtodo por resolucin no podr aplicarse cuando dos puntos coinciden sobre una lnea radial de un eslabn que tiene rotacin pura. En casos tales no hay componentes de movimiento sobre esta. En este tipo de situacin debemos acudir al procedimiento esbozado en el Art. 5.1.Trabajando de punto a punto a travs de los eslabones conexos, el mtodo por resolucin se puede emplear en muchos casos para localizar la velocidad de cualquier punto en un mecanismo cuando la velocidad de un punto, no necesariamente en el mismo eslabn es conocida.La aplicacin de este mtodo se podra describir empleando el mismo mecanismo usado anteriormente, como se muestra en la Fig. 5.6. La velocidad del punto P es conocida y la velocidad del punto Q es la requerida. Como el unto P y el centro instantneo O23 coinciden en una lnea radial, no se puede emplear el mtodo por resolucin para encontrar la vo23, y debemos emplear la construccin de tringulos semejantes del Art. 5.1 La velocidad de O23 queda ahora, completamente establecida, pero solamente conocemos la direccin de la velocidad resultante de O34(perpendicular al eslabn 4, o a O34 O41). La velocidad del punto O23 se puede dividir en dos componentes: una perpendicular al eslabn 3 y la otra a lo largo de ste. Esta ltima es marcada V1. Esta componente debe ser la misma en el extremo derecho, en otra forma el eslabn 3 se alargara o comprimira. De all que V1, igual en longitud a V1, se traza desde O34 hasta una perpendicular al eslabn 4 o a O34 O41, determina el final del vector Vo34.

Figura 5.6 Determinacin de velocidadmtodo por resolucin

Como O34 y el punto Q no coinciden en una lnea radial desde el punto de rotacin del eslabn 4, el mtodo por resolucin pude ampliarse otra vez para encontrar la velocidad de Q. Una lnea desde O34 hasta Q siempre es igual en longitud ya que el eslabn 4 se considera como si fuera rgido. Por lo tanto Vo34 se puede dividir entre dos componentes: una perpendicular a la lnea O34Q y la otra a lo largo. La componente sobre esta lnea desde Q hasta el centro de pivoteo O41.

Por esto la punta del vector VQ coincide en la interseccin de una lnea perpendicular a O34Q en la punta de la componente V2, y es perpendicular a QO41.Un segundo ejemplo del uso del mtodo de resolucin se da en la Fig. 5.7 que ilustra un mecanismo compuesto comnmente empleado en las limadoras, como un mtodo para mover el mbolo macho que lleva la herramienta para cortar. La inclinacin del eslabn 5 se ha exagerado para ilustrar con mayor claridad esta construccin.Supondremos que la velocidad del punto P en la manivela motriz 2 es conocida, y que la velocidad del punto Q en el mbolo 6 es la requerida.

Figura 5.7 Mecanismo de limadora, determinacin de velocidadmtodo por resolucin

El punto P en el eslabn 2 y un punto coincidente P en el eslabn 4 deben tener la misma velocidad normal hacia la lnea en la corredera de 3 sobre 4. Si este no fuera el caso, P se saldra de la lnea RO41; esto es imposible, debido al efecto de rigidez del par en deslizamiento. Si VP se resuelve entre dos componentes paralelos y normales a RO41 trazando el triangulo a , entonces la componente normal representa VP, la velocidad del punto P en 4, y la otra componente el paso al cual el eslabn 3 desliza sobre el eslabn 4.P y R son dos punto en el eslabn 4 que giran alrededor de O41. Usando las construcciones graficas enunciadas en el Art. 5.1 e ilustradas por los tringulos b y c; encontramos el vector VR que representa la velocidad de R. El mtodo por resolucin no se puede emplear aqu, porque VP tienen una componente igual a cero sobre RO41.

Finalmente, R y Q son puntos sobre el eslabn 5, y por lo anterior tienen iguales componentes de velocidad sobre 5. El mtodo por resolucin requiere la construccin de los tringulos d y e adems fija la distancia del vector VQ, la cual representa la velocidad de Q.

5.3 Velocidades angulares

Cuando dos cuerpos se encuentra en moviendo, se puede demostrar que sus velocidades angulares instantneas con respecto aun tercer cuerpo, son inversamente proporcionales a la distancias desde su centro instantneo comn, a los centros instantneos sobre los cuales estn pivoteando en el tercer cuerpo. De este modo, en la Fig. 5.8, 2 y 3 son dos cuerpos en movimiento con respecto a 1. Los tres centros instantneos O21O23 y O31 se consideran localizados como queda ilustrado con el teorema de Kennedy.O23 es un punto comn para 2 y 3. Como es un punto 2, su velocidad lineal instantnea es igual a2/1(O23O21). Como es tambin un punto en 3, se est movimiento con una velocidad lineal3/1(O23O31). Por lo consiguiente,

Figura 5.8 Velocidad angular

Cuando un de estas velocidades angulares en conocida, la otra puede determinarse grficamente. La construccin queda indicada en la Fig. 5.8. Supongamos que 2/1 es conocida y que 3/1 se tienen que determinar. Tracemos O31L perpendicular (o a cualquier ngulo conveniente) a O31 O21 con una longitud que represente a 2/1. Unamos LO23 y alarguemos esta lneas hasta encontrar O21M, paralela a O31L. Por tringulos semejantes,

O21M = O23O21 = 3/1O31LO23O312/1

Por lo tanto, O21M representa a 3/1 a la misma escala que O31L representa a 2/1.Cuando O23 cae entre O21 y O31 los cuerpo 2 y 3 giran en sentidos opuestos; pero cuando cae en la misma extensin de O21 O31, hace que los cuerpos 2 y 3 giren en el mismo sentido.Ejemplo. Las fig. 5.9 muestran el mismo mecanismo de manivela, biela y corredora en dos posiciones. En cada caso, considerando que la velocidad angular de la manivela 2(2/1) es conocida, encontrar grficamente la velocidad angular del eslabn 4(4/1).

Figura 5.10 Ejemplo de velocidad(a)(b)

angulara

Construccin. Encuentren los tres centro instantneos de los eslabones 1, 2 y 4. Estos centros coinciden sobre una misma lnea recta segn el teorema de Kennedy. Dibujemos el tringulo LO41O24 en el cual O41L, perpendicular a O41O24, representa la velocidad angular conocida 4/1 requerida.

CENTROS INSTANTNEOS

Los eslabones con movimiento coplanario se pueden dividir en tres grupos: (a) aquellos con movimiento angular sobre un eje fijo; (b) aquellos con movimiento angular, pero que no estn sobre un eje fijo; (c) Aquellos con movimiento lineal, pero sin movimiento angular. Todos estos movimientos pueden ser estudiados mediante el uso de centros instantneos.Este concepto se basa en el hecho de que un par de puntos coincidentes en dos eslabones en movimiento en un instante dado tendrn velocidades idnticas en relacin a un eslabn fijo y, en consecuencia, tendrn una velocidad igual a cero entre s. Por razones cinemticas no tomaremos en cuenta el espesor de los cuerpos perpendiculares al plano de movimiento y trataremos con las proyecciones de los cuerpos en este plano.El centro instantneo se puede definir de cualquiera de las siguientes maneras:A) Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo coplanario, el centro instantneo es un punto en un cuerpo sobre el cual otro gira en el instante considerado.B) Cuando dos cuerpos tiene movimiento relativo coplanario, el centro instantneo es el punto en el que los cuerpos estn relativamente inmviles en el instante considerado.

Movimiento Coplanario: Un cuerpo tiene movimiento coplanario cuando todas las partculas que lo componen se mueven en el mismo plano o en planos paralelos. Los mecanismos tratados de ahora en adelante se consideran que tienen movimientos coplanarios

A partir de esto se puede ver que un centro instantneo es:(a) un punto en ambos cuerpos,(b) un punto en el que los dos cuerpos no tienen velocidad relativa y(c) un punto en el que se puede considerar que un cuerpo gira con relacin al otro cuerpo en un instante dado.En general, el centro instantneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicacin cambia en relacin con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y describe una trayectoria o lugar geomtrico sobre cada uno de ellos. Estas trayectorias de los centros instantneos son llamadas trayectorias polares o centrodas y se analizan posteriormente.

Localizacin de centros instantneos.

Los centros instantneos son sumamente tiles para encontrar las velocidades de los eslabones en los mecanismos. Su uso algunas veces nos permiten sustituir a algn mecanismo por otro que produce el mismo movimiento y mecnicamente es ms aprovechable. Los mtodos para localizar los centros instantneos son, por lo tanto, de gran importancia.Casos especiales:a) Cuando dos eslabones en un mecanismo estn conectados por un perno, como los eslabones 1 y 2 en la figura. 4.1, es evidente que el punto de pivoteo es el centro instantneo para todos las posibles posiciones de los dos cuerpos y es, por esta razn un centro permanente, as como tambin un centro instantneo.

O12

Figura 4.1 Eslabones conectados por un perno

Puesto que se ha adoptado la convencin de numerar los eslabones de un mecanismo, es conveniente designar un centro instantneo utilizando los nmeros de los dos eslabones asociados a l. As pues, O12 identifica el centro instantneo entre los eslabones 1 y 2. Este mismo centro se puede identificar como O21, ya que el orden de los nmeros carece de importancia.b) Cuando un cuerpo tiene movimiento rectilneo con respecto a otro cuerpo, como la fig. 4.2 donde el bloque 2 resbala entre las guas planas 1, el centro instantneo se encuentra en el infinito este es el caso, puesto que, si tomamos cualquiera de los dos puntos tales como A y B, sobre 2 y trazamos KL y MN perpendiculares a las direcciones del movimiento, estas lneas son paralelas y se encuentran en el infinito.

Figura 4.2 Bloque en deslizamiento

c) Cuando dos cuerpos resbalan uno sobre el otro, conservando el contacto todo el tiempo como 2 y 3 o Fig. 4.3, el centro instantneo deber de coincidir sobre la perpendicular de la tangente comn. Estos se sigue del hecho de que el movimiento relativo Q2 en 2 al punto Q3 , en 3, se encuentra a lo largo de la tangente comn xy; de otra forma, las dos superficies se separaran o se encajaran una dentro de otra. El movimiento relativo a lo largo de la tangente comn, puede producirse solamente girndolo sobre un centro en algn lugar a lo largo de la perpendicular KL; de aqu el centro instantneo este en esa lnea

Figura 4.3 Cuerpos con resbalamiento

O12

d) Cuando un cuerpo rueda sobre la superficie de otro, el centro instantneo es el punto de contacto, en vista de que en este punto los cuerpos no tienen movimiento relativo.

Figura 4.4 Cuerpos con rodamiento

En la figura 4.4 se representa primero una rueda que tiene rayos radiales pero no tienen llanta, cuando la rueda gira sobre la tierra 1, las posiciones sucesivas del punto de pivoteo, o el centro instantneo, se encuentra en la punta del rayo que hace contacto con la tierra. Ponerle la llanta, como se muestra, es igual a insertarle un nmero infinito de rayos.

Teorema de Kennedy

Los centros instantneos de un mecanismo se pueden localizar por el sistema del teorema de Kennedy. Este teorema establece que los centros instantneos para cualesquiera tres cuerpos con movimientos coplanarios coincidan a lo largo de una misma lnea recta. Se puede demostrar este teorema como contradiccin, como sigue:Concedamos que 1,2,3 (Fig. 4.5) sean cualesquiera tres cuerpos que tienen movimiento coplanario con respecto uno de los otros. Concedamos que O21, O31 O23, sean tres centros instantneos.

Figura 4.5 Teorema de Kennedy

O23 es un punto en 2 o en 3, por que es un eje de apoyo instantneo sobre el cual un cuerpo gira con referencia al otro. Primero consideramos O23 como un punto en 2. Entonces se mueve con relacin a uno sobre el centro instantneo O21, y la direccin de su movimiento es perpendicular a la lnea O31 y O 23. Pero el punto O23 no puede tener dos movimientos relativos a uno al mismo tiempo. Por esta razn, las perpendiculares de las lneas O21 O23 y O31 O23 deben de coincidir. Esto solamente puede ocurrir cuando O21 O23 O31 forman una lnea recta.El teorema de Kennedy es muy til en la localizacin de centros instantneos en los mecanismos, en los casos en que dos centros instantneos de tres eslabones son conocidos y el tercero tiene que buscarse. Los ejemplos dados posteriormente en este captulo ilustran aplicaciones para este propsito.

Nmero de centros instantneos

En cualquier mecanismo que tenga movimiento coplanario, existe un centro instantneo para cada par de eslabones. El nmero de centros instantneos es, por lo anterior, igual al nmero de pares de eslabones. Cuando se tienen n eslabones, el nmero de centros instantneos es igual al

nmero de combinaciones de n objetos tomados a un tiempo, a saber

4.2 Cuadro articulado

La Fig. 4.6. consiste de cuatro barras conectadas por pares de elementos en K,L,M,N.

Figura 4.6 Centros instantneos de cuadro articulado

El numero de centros instantneos es 6 de acuerdo a la expresin del artculo 4.4, esto es, paran = 6, 6(6-1)/2=6. Se encuentra por observacin (casos especiales) que cuatro de estos centros estn sobre los ejes de apoyo.Estos son O23,O24,O35 y O45. los dos restantes o sea O25 y O34, pueden localizar por el uso del teorema de Kennedy.Empleando el teorema de Kennedy para encontrar O25 seleccionamos dos grupos de cuerpos, cada grupo consistiendo de dos cuerpos 2,5 ms un tercero. Los centros instantneos para cada grupo deben de coincidir en una misma lnea recta, segn el teorema. Si tomamos 2,5 y 3 como un grupo, O25 se encuentra sobre una lnea recta con O25 O35. Si tomamos 2,5, 4 como el otro grupo, O25 debe coincidir a lo largo de O24 O45. Por consiguiente, O25 esta en la interseccin de las lneas O23 O35 y O24 O45. El centro instantneo O34 se localiza de forma similar.

Centros instantneos para el mecanismo de corredera biela y manivela

Es importante que el estudiante aprenda a reconocer el mecanismo de corredera-biela y manivela en cualesquiera de las mltiples formas, ya que su aplicacin para usos prcticos es amplia y variada. Se podra describir como una cadena cinemtica de cuatro eslabones, en la cual un par de eslabones tiene movimiento rectilneo con respecto a cada uno de los otros, mientras que el movimiento relativo de cualquier otro par de eslabones adjuntos es el par cerrado. Por consiguiente, el mecanismos tiene tres pares cerrados y un par en deslizamiento.

Figura 4.7 Mecanismo de corredera biela manivela

Las figuras 4.7, 4.8 y 4.9 ilustran tres formas del mecanismo de corredera-biela y manivela; los eslabones correspondientes llevan la misma nomenclatura. Hay seis centros instantneos tres de ellos O21, O23, O34, se encuentran localizados en los ejes de apoyo. Uno, O41 est en el infinito, ya que su movimiento relativo a 1 y 4 es rectilneo.Los dos centros restantes, O24 y O31 se pueden localizar como sigue:Usando el teorema de Kennedy. El centro instantneo O24 se encuentra localizado en la interseccin de las lneas trazadas sobre O21 O41 y O23 O34. El centro instantneo O31 est en la interseccin de las lneas trazadas sobre O21 O23 y O34 O41. Como el centro instantneo O41 se encuentra localizado en el infinito y las lneas paralela su juntan en el infinito donde O41 est situado, es posible trazar lneas sobre este punto moviendo la lnea paralelamente a s misma.

Figura 4.8 Mecanismo deWhitworthFigura 4.9 Mecanismo decorredera biela manivela

Tabulacin de centros instantneos

Cuando un mecanismo tiene seis eslabones, son quince el nmero de centros instantneos a localizar. Entonces es aconsejable tener un mtodo sistemtico para tabular el progreso y para que ayude en la determinacin. Esto se puede complementar por medio de un diagrama circular o por el uso de tablas. Sedan los dos mtodos y se ilustran con un ejemplo.a) Diagrama circular. Un diagrama de la forma mostrada en la figura 4.10b, nos es til para encontrar centros instantneos, puesto que nos da una visualizacin del orden en que los centros

se pueden localizar por el mtodo del teorema de Kennedy y tambin, en cualquier estado del procedimiento, muestra que centros faltan por encontrarse. El diagrama circular ser til para encontrar los centros en el mecanismo de seis eslabones de la figura 4.10a. El siguiente procedimiento se emplea para localizarlos.

Figura 4.10 Diagrama circular

Trazamos un crculo como el de la Fig. 4.10b y marcamos los puntos 1,2,3,4,5 y 6 alrededor de la circunferencia, representando los seis eslabones del mecanismo. Conforme se van localizando lo centros, trazamos lneas uniendo los puntos de los nmeros correspondientes en este diagrama. De este modo, la lnea tendr lnea uniendo todos lo pares de puntos; cuando todos los centros instantneos hayan sido determinados. Los nmeros en las lneas, indican la secuencia en que fueron trazados, para facilitar su cotejo. En un estado del procedimiento (despus de que se han

encontrado 10 centros) el diagrama aparecera como lo muestra la Fig. 4.10b. Inspeccionando los diagramas c) notamos que uniendo 4-6 cerramos dos tringulos 4-6-5 y 4-6-1 ya que ste es el caso, localizamos el centro instantneo O46 en la interseccin de O41 O61 y O45 O56. Si en lugar hubiramos trazado 6-2, solamente un tringulo es decir, el 6-2-1, se habra formado; por esto, el centro O62 no se podra encontrar en este estado; no obstante, su puede encontrar despus de que se ha tazado O25 (lnea 1-4). Por lo consiguiente, la lnea 6-2 se numera 15. El procedimiento es el mismo para los puntos restantes.Si cada lnea se puntea primero, mientras se est localizando el centro y despus, cuando se ha encontrado, se repasa hacindola una lnea slida, se evitan lo errores. La Fig. 4.10a muestra la localizacin de todos lo centros instantneos y la Fig. 4.10c el diagrama circular terminado.

b) Mtodo tabular. El mtodo alternativo para localizar centros instantneos de uso comn es el mtodo tabular. En este procedimiento se establece una tabulacin general y se amplia con tabulaciones suplementarias, tal como est ilustrado en la Fig. 4.10d.En las columnas principales de la tabulacin general se enumeran los nmeros de los eslabones en el mecanismo. En la primera columna se apunta el nmero de la parte superior dela columna, combinando con aquellos nmeros a la derecha del mismo. En la segunda columna se apunta el numero de la parte superior de la columna , combinando con aquellos nmeros a la derecha del mismo. Continuando este procedimiento hasta el final delas tablas, nos da la lista completa de todos los centros que han de encontrarse. Conforme los centros se van localizando en el dibujo, se tachan en la tabla, como queda ilustrado. Comnmente, aproximadamente la mitad de los centros se encuentran por inspeccin se tachan inmediatamente. De este modo, en el ejemplo dela Fig. 4.10, ocho de lo centros, el O12 O23 O34 O45 O56 O14 O16 y O35, se encontraron por inspeccin. El resto tendran que se localizados empleando el teorema de Kennedy y con la ayuda de las tablas suplementarias. Supngase ahora que deseamos encontrar el centro O31. Establecemos la tabla suplementaria en la cual los eslabones 1 y 3 se consideran con un tercer eslabn, digamos el 4. Entonces los centros O34O14 y O13 deben de coincidir en una lnea recta, segn el teorema de Kennedy. El tercer eslabn tambin bajo el encabezado 13. Refirindonos a la tabulacin general, encontramos que los centros O34 O14 O21 y O23 han sido tachados y por lo tanto han sido localizados y estn disponibles. Trazando lnea a travs de ellos localizamos O31.

De la misma manera, por el uso de tablas, se pueden localizar todos los centros. Las tablas suplementarias en la Fig. 4.10d muestran el procedimiento.Frecuentemente se encuentra que el tercer eslabn elegido requiere centros que todava no han sido localizados. En tales casos se debe probar otro tercer eslabn. Si en los primeros intentos se encuentra que ningn tercer eslabn satisface, se suspende temporalmente la bsqueda para ese centro en particular, hasta que se encuentran mas centros.

CUESTIONARIO

4.1.- Defina centro instantneo.

4.2.- Qu expresa el Teorema de Kennedy?

4.3.- Cmo determinamos el nmero de CI en un mecanismo coplanario?

4.4.- Determine el nmero de centros instantneos y localice su posicin.

Bibliografa

Norton, Robert L., Diseo de Maquinaria, Mxico, Editorial Mc Graw Hill, 2006. Lpez Cajn Carlos S., Ceccareli

http://www.ingenierias.ugto.mx/

http://www.fime.uanl.mx/