Centro de masa de un cuerpo de distribucin de masa uniformeMtodos Numricos en ingeniera Prof. David Balderas

ResumenBatman lanza un proyectil hacia un objetivo y atina pero no hace suficiente dao, al hacer un segundo intento no consigue atinar, despus de revisar los dos proyectiles se percata que el segundo que lanz estaba roto y faltaba una gran parte del proyectil. De este problema surge la interrogante central que este proyecto pretende resolver, ser culpa de la falta de habilidad de Batman al hacer el lanzamiento o el hecho de que el proyectil este roto cambia el balance del proyectil y por lo tanto su trayectoria al ser lanzado. En caso de que el proyectil sea la causa Batman podr demandar a la compaa que produce los proyectiles (batarangs), solo si el centro de masa difiere ms de 1 cm con respecto a un baratang que est completo y sin rupturas. Es entonces objetivo de este proyecto determinar el centro de masa de cada uno de los batarangs. En la primera parte de este proyecto se presentan los dos baratangs, el completo y el que tiene una ruptura.En la segunda parte se presenta la metodologa. El proyectil analizado es un cuerpo que inferimos es continuo en cuanto a su distribucin de masa. Es por eso que podemos utilizar la media de los puntos en x y en y para obtener las coordenadas del centro geomtrico. Primero se dividi la figura en dos partes para sacar el promedio de ambas y despus utilizando una formula calcular el centro de la figura en su totalidad. En la tercera parte se presentan los resultados utilizando la metodologa propuesta. Los resultados obtenidos sugieren que el centro de masa del objeto cambi proporcionalmente a la ruptura que presenta. Es decir el centro se desplazo en relacin a la cantidad de materia que falta con respecto al baratang sin rupturas. Los resultados fueron los esperados y result que entre los centros de masa obtenidos haba ms de 1cm por lo que Batman puede demandar a la compaa.

IntroduccinEl cambio en la trayectoria de un proyectil lanzado hacia un objetivo, posiblemente es causado debido al cambio del centro de masa derivado de la ruptura parcial del proyectil.El proyectil tiene la forma de la figura 1.1 (Batarang) cuando no tiene ninguna ruptura, para efectos de este proyecto inferimos que el proyectil tiene una distribucin de masa uniforme puesto que no nos dan ningn dato de masa o de densidad y que el espesor del mismo es despreciable respecto a las dems dimensiones del por lo que se trabaja en 2 dimensiones. El centro de masa ser el centro geomtrico.

Figura 1.1 Proyectil sin rupturas

En la figura 1.2 se muestra otro proyectil y es notable que le falta una gran parte de materia con respecto al proyectil de la figura 1.1.

Figura 1.2 Proyectil roto

Estos batarangs son producidos por la compaa China Corp, la cual asegura de acuerdo a la garanta del producto, que aunque existan fallos, la relacin entre los centros geomtricos no exceder 1cm. Por lo tanto si esto no fuera cierto Batman podra demandar a China Corp.Por lo que es objetivo de este proyecto encontrar los centros de masa de los dos batarangs; para despus compararlos y as saber si la ruptura, hace cambiar el centro de masa y por ende la trayectoria, considerando que un tiro perder el blanco si el balance del proyectil (su centro de masa) es distinto al centro geomtrico.

Metodologa Primero se busco acomodar la serie de puntos en x y en y que se introducen para que solo correspondiera un solo punto en y para cada valor de x, por lo que se obtuvieron los puntos en y para las x en que la funcin es mayor a 0, y los puntos en y para los que fuera menor a 1. Separando el batarang en dos partes superior e inferior.Despus de separar la figura, se procede a obtener el centro de masa de cada una de las partes separadas, el se obtiene calculando la media de los puntos en x y la media de los puntos en y, determinado as la coordenada del centro de masa para cada una de los elementos ya mencionados del batarang. Esto es posible si se analiza un cuerpo con distribucin de masa uniforme y si de alguna forma se conocen la serie de puntos que delimitan la figura en x y en y.Tambin se saca el rea de cada una de las partes separadas por medio del mtodo de integracin Simpson 1/3 para una serie de puntos.Finalmente se utiliza la siguiente frmula para obtener el centro de masa total de una figura a partir de 2 figuras. Donde la coordenada en x del centro de masa total se obtiene:

en donde x1 se refiere al promedio de los puntos en x, que sern la coordenada en x del centro de masa de la mitad superior del batarang y x2 el promedio de los puntos en x que ser la coordenada en x del centro de masa de la parte inferior.De la misma manera se obtiene la coordenada en y, solo cambiando las coordenadas de x por coordenadas de y de la frmula anterior.

Donde igual que en la frmula pasada la y1 representa el promedio de los puntos en y, que ser la coordenada en y del centro de masa de la parte superior y y2 que representa el promedio de los puntos en y que ser la coordenada del centro de masa de la parte inferior. Obteniendo as las coordenadas del centro de masa de la figura total.

ResultadosEl centro geomtrico del proyectil sin ruptura se encontr en las coordenadas: (0, 0.0278)

El centro est representado por la cruz azul en la figura 2.1

Figura 2.1 Centro de masa del proyectil sin rupturas

El centro geomtrico del proyectil roto se encontr en las coordenadas: (-2.561, 0.122)

El centro est representado por la cruz azul en la figura 2.2

Figura 2.2 Centro de masa del proyectil roto

Figura 2.2 Centro de masa del proyectil rotoLa distancia entre los dos puntos de centro de masa se calcul de la siguiente manera:

Donde D es la distancia entre los centros, x2 y y2 son las coordenadas centro de masa obtenido del proyectil roto y x1 y y1 las coordenadas del centro de masa del proyectil sin rupturas.

D= 2.56 cmEn la figura 3.1 se muestra la comparacin de los dos batarangs en una misma grafica (verde batarang completo y en rojo el roto) y se muestran los centros geomtricos de cada uno, en verde el centro geomtrico del batarang completo y en rojo el centro del batarang roto.

Figura 3.1 Comparacin de los centros geomtricos

Anlisis de resultados y conclusin El centro de masa que se obtuvo para el batarang completo sale un poco arriba del origen sobre el eje y, esto se debe a la geometra de la figura en la que se observa que hay una asimetra, si se dividiera el batarang en dos partes, arriba y abajo. En la parte de arriba se ve una mayor carga de materia, es mnima casi imperceptible (cuernos del batarang). Esto no pasa para la coordenada en x pues hay una simetra si dividimos el batarang por la mitad, teniendo mitad izquierda y derecha por lo que en promedio se anulan y dan 0.El centro del batarang roto se desplaza notablemente respecto al completo, ahora el centro de masa est ms a la izquierda, ya que ahora la masa se carga ms para ese punto y como se pierde tambin una parte en el eje y en la parte de abajo, tambin se carga un poco hacia arriba subiendo el centro de masa.Comparando los dos centros de masa, se obtuvo que existe una distancia entre ellos de 2.56 cm, as que Batman no ha perdido sus habilidades, el hecho de no atinar al objetivo fue debido al cambio del balance del batarang. Adems, la distancia entre los dos centros de masa excede el centmetro lo cual hace valida la garanta permitiendo a Batman, demandar a China Corp.De esto se concluye que el centro de masa de un objeto s cambia cuando pierde algo de su masa por una ruptura, en este caso los centros de masa se desplazaron proporcionalmente a la ruptura. Es decir si la masa se distribuye uniformemente en un objeto continuo, el centro se desplazar proporcionalmente, si se pierde parte de objeto, por ejemplo si se pierden 2 centmetros en el eje x y 1 en el eje y se espera que el centro de masa se desplace proporcional a esta prdida.Bibliografa

Chapra, S. C. y Canale Raymond P. (2007). Mtodos numricos para ingenieros. Distrito Federal, Mxico: McGraw-Hill.