centro de masa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CENTRO DE MASA

Curso : Física I

Profesor : Darwin Vilcherrez Vilela.

Alumno : Seminario Beltrán Edwin.

-2012-

CENTRO DE MASA

INTRODUCCIONLa primera parte de cualquier curso de física elemental nos habitúa a tratar cuerpos de extensión finita como si fueran objetos puntuales. Así por ejemplo, tratamos al sol y la tierra como si fueran dos puntos, a un hombre como si no tuviera extensión y lo mismo hacemos con cajas, poleas, etc.

Debemos entender que el hecho de que nuestras aproximaciones parezcan razonables no significa que tengan algún soporte teoremático. Siguiendo este orden de ideas dedicaremos las próximas clases a buscar una justificación matemática a la aproximación de partícula puntual.

Con el fin de llevar a cabo este programa debemos introducir el concepto de sistema, para ello consideremos un conjunto (M) de partículas y sus interacciones mutuas, un sistema de partículas es un subconjunto arbitrario (C ⊂ M) de partículas del conjunto inicial, el complemento de C recibe la denominación de ambiente ´o exterior, las interacciones entre las

Consideremos por ejemplo el conjunto de objetos físicos constituido por la tierra, la luna, el sol y el resto del sistema solar, es más o menos claro que si queremos estudiar los movimientos de la luna con respecto a la tierra deberíamos tomar como sistema al par tierra-luna, y como ambiente al resto del sistema solar.

En resumen, lo que se oculta detrás del concepto de sistema es la idea mecanicista fundamental de aislar las componentes de un todo para intentar entender el comportamiento del todo como resultado del comportamiento de las partes. Con esta idea en mente vamos a introducir un concepto bastante más preciso.

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CENTRO DE MASA

CENTRO DE MASA1. DEFINICIÓN EXPERIMENTAL.

Consideremos un sistema de partículas, compuesto por N de ellas, cuyas masas

designaremos por mi (i = 1, 2,... N) y sea ri el vector de posición de la partícula iésima respecto al origen O de un referencial dado. Definimos el centro de masa de un tal sistema de partículas como el punto del espacio, que designamos por CM o por G, cuando así convenga. Cuyo vector de posición respecto a O es

Donde M = mi representa, evidentemente, la masa total del sistema de partículas.

El centro de gravedad de un cuerpo se define como el punto de aplicación de la resultante de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre él. Así pues, el centro de masa y el centro de gravedad son conceptualmente diferentes y no debemos confundirlos. Sin embargo, las posiciones de ambos centros suelen coincidir en la mayor parte de las situaciones prácticas.

2. DEFINICIÓN

Es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original.

En la Física, el centro geométrico, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, o coincidir entre sí.


CENTRO DE MASA

En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centro geométrico un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

El centro de masas coincide con el centro geométrico cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema de tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

El centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes).

Cuando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una trayectoria parabólica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc.

Pero todos ellos fueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones, pero la realidad es que todos estos cuerpos están conformados por muchas partículas.

El centro de masa se refiere a cuerpos o a varios cuerpos que se mueven en relación de otros y se define como el punto (x, y) que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula sometida a una fuerza neta.

Consideraciones:

Se llama centro de masa de un cuerpo, al punto donde debe aplicarse una fuerza no equilibrada para que dicho cuerpo realice un movimiento de traslación sin rotación.

En cualquier sistema, el centro de masa de dos masas se encuentra en la recta que las une, en forma tal que divide dicha recta en segmentos inversamente proporcionales a dichas masas.

Durante el movimiento, el punto de partida divide la distancia entre los dos cuerpos en proporción inversa a sus masas, siendo el centro de masa el punto de partida

3. EJEMPLO PRÁCTICO.

Por ejemplo si lanzamos una mancuerna al aire.


CENTRO DE MASA

Un observador que se encuentra lejos verá que ésta efectivamente describe una trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve detalladamente lo que sucede.

El observador dirá que cada masa en forma individual no describe una trayectoria parabólica, sino que están girando y moviéndose caprichosamente, pero sin embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola, este punto particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM) y se comporta como una partícula puntual de masa M + m.

4. POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA.


CENTRO DE MASA

La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene dada por la expresión:

Donde M es la masa total del sistema de partículas. Donde r es el vector posición de la

masa mi.

La cantidad de movimiento del sistema de partículas es la misma de la cantidad de movimiento de su centro de masa.

Esta es una ecuación vectorial, cada una de las componentes de la posición del centro de masas vendrá dada por:

5. VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA

El movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el centro de masa de la misma deberá estar moviéndose también, si analizamos una de ellas, digamos la j-esima partícula, en un tiempo Dt ésta deberá haberse desplazado Δrj, entonces el desplazamiento del CM en ese mismo intervalo de tiempo será:


CENTRO DE MASA

Entonces la velocidad del centro de masa VCM queda determinada por:

Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del sistema de partículas

entre la masa total del sistema

Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza resultante externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se mantiene constante por lo tanto vCM deberá también permanecer constante, como si se tratase de una partícula de masa M, esto confirma una vez más que el centro de masa se comporta como una partícula puntual de masa M y velocidad vCM .

Si en un sistema aislado de partículas no actúan fuerzas externas la velocidad del centro de masa es constante Si la velocidad del centro de masa es cero la posición del centro de masa es constante

6. ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA.

Si sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas externas, hemos demostrado antes que:

Donde es la suma de todas las fuerzas

externas al sistema.

Finalmente obtenemos:

Es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema entre la masa M del sistema de partículas.


CENTRO DE MASA

EJERCICIOS

1. El ejemplo más simple corresponde al de dos partículas, de masas m1 y m2, respectivamente. Tomaremos como eje x la recta definida por las dos partículas. En estas condiciones, al ser y1 = y2 = 0 y z1 = z2 = 0, serán ycm = 0 y zcm = 0, de modo que el centro de masa estará situado sobre el eje x, siendo su posición.

Las distancias d1 y d2, de cada una de las partículas al centro de masa CM, son:


CENTRO DE MASA

De modo que:

Y el centro de masa está situado entre ambas partículas, siendo la distancia a cada una de ellas inversamente proporcional a sus masas.

2. Juan y Luisa están en un bote homogéneo de longitud L=3,00 m y masa M=100 kg en el medio del lago. Juan, que pesa 80,0 kg se encuentra en el extremo izquierdo del bote mientras que, Luisa que pesa 50,0 kg se encuentra en el extremo derecho del mismo. Considero el origen de coordenadas en la posición inicial de Juan. Entonces el centro de masas se encuentra originalmente en:

3. Quiero hallar el centro de masa de la barra de longitud L y densidad de lineal de masa λ=M/L constante aplicando la definición:


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