cdv-v1.1

Ll. GarridoBarcelona, 2010

CALCUL DE DIVERSESVARIABLES

Versio 1.1

Objectius d’aprenentage

Referits a coneixements:

• Comprendre el signicat de les diferents derivades d’una funcio de diverses variables, de laseva diferenciabilitat, i del seu desenvolupament de Taylor.

• Estendre el concepte d’integral de Riemann a dues i tres dimensions.

Referits a habilitats, destreses:

• Adquirir practica en l’analisi de funcions de diverses variables, especialment de la sevacontinuıtat.

• Resoldre problemes de funcions inverses i implıcites.

• Aprendre a analitzar els maxims i mınims d’una funcio amb condicions i sense.

• Adquirir practica en el calcul d’integrals dobles i triples.

Autor:Lluıs Garrido ([email protected])Departament d’Estructura i Constituents de la Materia &Institut de Ciencies del CosmosFacultat de FısiquesUniversitat de Barcelona

Agraıments:Voldria agrair al meu company Joan Martorell l’acurada deteccio d’errors, que han estat corregitsen aquesta versio, aixı com les seves suggerencies sobre aquest text.

Index

1 Funcions de diverses variables. 11.1 El conjunt RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 L’espai vectorial RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Espai Vectorial Euclidia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Espai vectorial normat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Espai Metric. Nocions de topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Funcions de diverses variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Camps escalars i vectorials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Domini i Imatge d’una funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Espai vectorial de les funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Lımit, lımits iterats i continuıtat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Propietats dels lımits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Lımits reiterats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Lımits direccionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Funcions contınues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 CALCUL DIFERENCIAL EN DIVERSES VARIABLES. 152.1 Derivada parcial i derivada direccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Diferencial d’una funcio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Diferencial a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Expressio del diferencial per funcions escalars de Rn ! R. Gradient . . . 212.2.3 Expressio del diferencial per funcions vectorials de Rn ! Rm. Matriu

Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Condicions de diferenciabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Teorema del valor mitja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Derivades successives. Derivades creuades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1 Igualtat entre les derivades creuades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Formula de Taylor. Matriu hessiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7 Gradient. Rotacional. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.3 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii INDEX

2.7.4 Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 APLICACIONS del CALCUL DIFERENCIAL 353.1 Funcio inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Teorema de la funcio inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2 Canvi de coordenades en R2 i R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Funcio implıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1 Teorema de la funcio implıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Equacio del pla tangent per funcions definides implıcitament . . . . . . . 46

3.3 Maxims i mınims. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.1 Maxims i mınims absoluts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 Maxims i mınims relatius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 Condicio necessaria per ser extrem en una funcio diferenciable . . . . . . 48

3.4 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.1 Extrems condicionats per funcions escalars de dues variables . . . . . . . 533.4.2 Teorema de Lagrange per trobar els extrems condicionats de funcions escalars 55

4 INTEGRACIO DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES 614.1 Recordatori: integracio en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Integrals dependents d’un parametre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Integrals Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1 Integral doble sobre un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.2 Integrals dobles en regions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Integrals triples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4.1 Integral triple en un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5 Canvi de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 SUCCESSIONS i SERIES 835.1 Successions numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.2 Successions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.3 Successions reals divergents cap a ±" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.4 Lımits superior i inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.5 Successions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Series numeriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.1 Condicio de Cauchy per a la convergencia de series . . . . . . . . . . . . . 865.2.2 Serie alternada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.3 Criteris de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Apendix 93

A Canvi de coordenades: bases i operadors 95

B Corbes i superfıcies a R3 101

INDEX iii

Bibliografia 105

iv INDEX

Capıtol 1

Funcions de diverses variables.

1.1 El conjunt RN

Rn es conjunt d’elements, anomenats punts, de la forma

RN = {(a1, a2, ...., aN ) = !a | ai # R} (1.1)

per exemple R2 es el conjunt de punts de la forma (x, y), on x i y son nombres reals i querepresenta el conjunt dels punts en el pla.

En aquests conjunts es poden definir operacions que els doten d’estructures utilitzades enl’estudi del mon fısic. Passem doncs ara, en les seguents seccions, a veure algunes d’aquestesestructures.

1.1.1 L’espai vectorial RN

Al conjunt RN se’l pot dotar d’estructura d’espai vectorial gracies a la introduccio de duesoperacions, una interna i una altra externa i que verifiquen les propietats requerides per a serun espai vectorial.

L’operacio interna, que designarem per ”+”, es defineix com

RN $RN %! RN (1.2)

!a,!b %! !c = !a +!b = (a1 + b1, ..., aN + bN ) (1.3)

i que dota a RN d’estructura de grup abelia doncs de la definicio i utilitzant les propietats de lasuma en el reals, es facil comprovar que compleix:

• associativa: (!a +!b) + !c = !a + (!b + !c)

• existeix l’element neutre !0 = (0, ..., 0), tal que !a +!0 = !0 + !a = !a.

• &!a # RN '!a! = (%a1, ...,%aN ), anomenat element oposat, tal que !a + !a! = !a! + !a = !0

• commutativa: !a +!b = !b + !a

2 Chapter 1. Funcions de diverses variables.

Per altra banda definim l’operacio externa com

R$RN %! RN (1.4)

",!a %! "!a = ("a1, ...,"aN ) (1.5)

(on " es un escalar) amb les propietats:

• ("+ µ)!a = "!a + µ!a

• "(!a +!b) = "!a + "!b

• ("µ)!a = "(µ!a)

• existeix l’element neutre de l’operacio externa (1) tal que: 1!a = !a

aquestes propietats juntament amb l’estructura de grup abans esmentada, doten a RN d’estruc-tura d’espai vectorial.

Base de l’espai vectorial RN

Direm que un conjunt de vectors de RN , {!xi} i = 1, ..., k son linealment dependents si podemtrobar un conjunt de valors reals {"i} i = 1, ..., k tal que

k!

i=1

"i!xi = 0 (1.6)

per exemple en R2 els vectors (1, 0) i (2, 0) son linealment dependentsDirem que un conjunt de vectors de RN , {!xi} i = 1, ..., k ( N son linealment independents

sik!

i=1

"i!xi = 0 (1.7)

nomes es pot verificar si "i = 0 &i. Per exemple en R2 els vectors (1, 0) i (0, 1) son linealmentindependents.

Un conjunt de N vectors linealment independents a RN {!ei} i = 1, ...,N direm que son unabase de l’espai vectorial RN . Qualsevol vector de RN es pot expressar com una combinacio delsvectors de la base: &!x # R podem escriure

!x =N!

i=1

"i!ei (1.8)

on les "i s’anomenen components del vector !x en la base {!ei}

Canvi de base

En un mateix espai vectorial podem agafar diferents bases i aleshores un mateix vector tecomponents diferents en les diferents bases.

Per exemple en R2 podem agafar com a bases:

• base1 = {!e1 = (1, 0),!e2 = (0, 1)}

1.1 El conjunt RN 3

• base2 = {!e!1 = (1, 0),!e!2 = (1/)

2, 1/)

2)}

i aleshores el vector !x = 1!e1 + 1!e2 =)

2!e!2, te components 1, 1 en la base1, mentre que en labase2 les seves components son 0,

)2.

NOTA. Com que les components d’un mateix vector canvien al canviar de base, quant donemun vector donant les seves components, sempre hem d’especificar la base en la que treballem.Aleshores quan escrivim un vector de RN com !x = (x1, ..., xN ), si no especifiquem el contrari,voldra dir que estem treballant en la base cartesiana:

!x = (x1, ...., xN ) = x1(1, 0...0) + ... + xn(0, .., 1) (1.9)

1.1.2 Espai Vectorial Euclidia

Un espai vectorial euclidia es un espai vectorial (V) on tenim definit un producte escalar:

V $ V %! R (1.10)

!x, !y %! !x · !y (1.11)

que satisfa:

• !x · !y = !y · !x

• !x · (!y + !z) = !x · !y + !x · !z

• c(!x · !y) = (c!x) · !y

• !x · !x > 0 si !x *= !0

En un espai vectorial euclidia es compleix la desigualtat de Cauchy-Schwarz:

| !x · !y |()!x · !x"!y · !y (1.12)

En efecte, si !x o !y son !0 la igualtat es compleix. Assumim doncs que els dos vectors son diferentsde !0, ens construım el vector !z = a!x + b!y on a i b son dos nombres reals arbitraris. Aleshores!z · !z + 0 &a, b.

!z · !z = (a!x + b!y) · (a!x + b!y) = a2!x · !x + 2ab!x · !y + b2!y · !y + 0 (1.13)

si agafem a = !y · !y!y · !y !x · !x + 2b!x · !y + b2 + 0 (1.14)

i si ara agafem b = %!x · !y!y · !y !x · !x + (!x · !y)2 (1.15)

Espai Vectorial Euclidia RN

En el cas de l’espai vectorial RN el producte escalar es defineix com

!x · !y =N!

i=1

xiyi (1.16)

es facil demostrar que aquesta definicio compleix les quatre propietats esmentades abans que hade complir tot producte escalar. Amb aquesta operacio RN es un espai vectorial euclidi.


1.1.3 Espai vectorial normat

En un espai vectorial euclidia (on tenim definit un producte escalar) podem definir la normad’un vector com

, !x ,=)!x · !x (1.17)

que compleix les propietats exigides a una norma:

• , !x ,= 0 si !x = !0

• , !x ,> 0 si !x *= !0

• , c!x ,=| c |, !x ,= 0

• , !x + !y ,(, !x , + , !y , (desigualtat triangular)

Les tres primeres propietats tenen una demostracio trivial a partir de les propietats del producteescalar, mentre que la darrera es pot demostrar utilitzant la desigualtat de Cauchy-Schwarz:

, !x + !y ,2 = (!x + !y) · (!x + !y) = !x · !x + 2!x · !y + !y · !y (, !x ,2 + , !y ,2 +2 | !x · !y |

( , !x ,2 + , !y ,2 +2 , !x ,, !y ,= (, !x , + , !y ,)2 (1.18)

Espai vectorial normat RN

Prenent la deficinicio de producte escalar en RN donada en 1.16, podem dotar a RN d’estructurad’espai vectorial normat, on la norma d’un vector en aquest espai ve donada per:

, !x ,=)!x · !x =

#$$%N!

i=1

x2i (1.19)

EXEMPLE. En R2 considerem els vectors

• !x = (x1, x2) = (, !x , cos #x, , !x , sin #x)

• !y = (y1, y2) = (, !y , cos #y, , !y , sin #y)

el seu producte escalar ve donat per

!x · !y = x1y1 + x2y2 = , !x ,, !y , cos #x cos #y+ , !x ,, !y , sin #x sin #y

= , !x ,, !y , cos(#y % #x) =, !x ,, !y , cos # (1.20)

De fet en qualsevol espai euclidia es defineix l’angle entre dos vectors com aquell que

cos # =!x · !y

, !x ,, !y , (1.21)

NOTA. | !x · !y |=|, !x ,, !y , cos # |(, !x ,, !y ,

1.1 El conjunt RN 5

1.1.4 Espai Metric. Nocions de topologia

Un Espai Metric es un conjunt M, no buit, d’objectes x, y, z, ... que anomenarem punts i queesta dotat d’una funcio d anomenada metrica

d : M $M %! R (1.22)

x, y %! d(x, y) (1.23)

que satisfa

• d(x, x) = 0

• d(x, y) > 0 si x *= y

• d(x, y) = d(y, x)

• d(x, y) ( d(x, z) + d(z, y)

tot espai vectorial euclidi es tambe un espai metric si definim

d(!x, !y) =, !x% !y , (1.24)

Les tres primeres propietas de metrica es dedueixen trivialment de les propietats del producteescalar, mentre la darrera es consequencia de la desigualtat triangular

, !x + !y ,(, !x , + , !y ,- d(!x + !y,!0) ( d(!x,!0) + d(!y,!0)

si ara prenem !x! !x% !z i !y ! !z % !y, aleshores la darrera expressio es pot escriure com

d(!x%!y,!0) ( d(!x%!z,!0)+d(!z%!y,!0)-, !x%!y ,(, !x%!z , + , !z%!y ,- d(!x, !y) ( d(!x, !z)+d(!z, !y)(1.25)

Espai Metric RN

Com ja hem vist, RN es un espai vectorial euclidia. Per tant, es tambe un espai metric si definimla distancia entre dos punts com

d(!x, !y) =, !x% !y ,=

#$$%N!

i=1

(xi % yi)2 (1.26)

EXEMPLE. En R2, d(!x, !y) ="

(x1 % y1)2 + (x2 % y2)2

La introduccio de distancia permet tota una riquesa topologica, part de la qual aniremesbrinant a continuacio .

Bola o entorn

En RN definim bola BN (!a; r) de centre en el punt !a i de radi r > 0, com el conjunt de punts

BN (!a; r) = {!x # RN ; d(!x,!a) < r} (1.27)

EXEMPLE. En R, B1(a; r) = (a% r, a + r)EXEMPLE. En R2, B2(!a, r) = {(x, y) |

"(x% a1)2 + (y % a2)2 < r}


Punt interior

Un punt !a # S . RN s’anomena punt interior de S, si existeix alguna bola BN (!a; r) tal queBN (!a; r) . S

Interior de S (int S)

Es el conjunt format per tots els seus punts interiors

Conjunt obert

S . RN es obert si tots els seus punt son interiors. Clarament RN es obert. El conjunt / tambees obert (per conveni o per complir gratuıtament la definicio).

Conjunt tancat

S . RN es tancat si RN % S es obert.EXEMPLE. [1, 2] es tancat, pero (1, 2] no es ni tancat ni obert.

Punt exterior

Un punt !a # RN s’anomena punt exterior de S . RN , si existeix alguna bola BN (!a; r) tal queBN (!a; r) 0 S = /

Conjunt exterior de S (ext S)

Es el conjunt format per tots els seus punts exteriors .

Punt frontera

Un punt !a # RN s’anomena punt frontera si no es interior ni exterior.EXEMPLE. S = (0, 2], intS = (0, 2), extS = (%", 0) 1 (2,+"), punts frontera: 0 i 2.

Conjunt frontera de S ($ S)

Es el conjunt format per tots els seus punts frontera. En l’exemple anterior $S = {1, 2}

Punt adherent

Un punt !a # RN s’anomena punt adherent de S . RN , si & bola BN (!a; r) tenim que BN (!a; r)0S *= /. Tots els punt de S son adherents (+ algun altre).

Conjunt clausura de S (S )

Es el conjunt format per tots els seus punts adherents.

1.1 El conjunt RN 7

Punt d’acumulacio

Un punt !a # RN s’anomena punt d’acumulacio de S . RN , si & bola BN (!a; r) tenim queBN (!a; r) 0 (S % !a) *= /

Conjunt derivat de S (S! )

Es el conjunt format per tots els seus punts d’acumulacio.EXEMPLE. en R tenim S = [a, b) 1 {c}.

• S = [a, b] 1 {c}

• S! = [a, b]

En l’exemple de la figura 1.1, on el conjunt S esta format pels punts de la figura blava(incloent-hi els de la lınia frontera contınua, pero no els de la discontınua) i el punt aillat !f3,tenim que el punt !i es interior, el punt !e es exterior, els punts !fi, i = 1, 2, 3 son frontera, elspunts !i, !f1, !f2, !f3 son adherents i els punts !i, !f1, !f2 son d’acumulacio.

Figura 1.1: Diferents tipus de punts del conjunt S.

TEOREMA

Les seguents afirmacions son equivalents en RN

• S es tancat

• S conte tots els seus punts d’acumulacio

• S conte tots els seus punts adherents

Conjunt fitat o acotat

S . RN es fitat si ' BN (!a; r) tal que S . BN (!a; r)En RN un conjunt tancat i fitat tambe es s’anomena com conjunt compacte.


EXEMPLE (en R2). S = {( 1n , 1

m), n,m # N}. No es obert doncs els seus punts no soninteriors. No es tancat doncs no conte tots els seus punts d’acumulacio (el (0,0)). Es acotat,pero no compacte.

EXEMPLE (en R2). S = {(x, y) | x2 + y2 = r2}. Es acotat i tancat doncs conte tots els seuspunts d’acumulacio. Aleshores es compacte.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Si S . RN es fitat i conte infinits punts, aleshores existeix com a mınim un punt d’acumulacio.EXEMPLE (en R). S = { 1

n ;n # N} te un punt d’acumulacio que es el 0.

Reunions i interseccions d’oberts i tancats

La reunio d’una col·leccio arbitraria (finita o infinita) de conjunts oberts es oberta

S = 1A"F A (1.28)

on A son oberts d’una famılia F. Si x # S aleshores x pertany a algun A de la familia i com x

es interior a n’aquest A, tambe ho es de S.La reunio d’un nombre arbitrari de tancats, no sempre es tancada. Per exemple, si agafem

la colleccio de tancats: Tk = [ 1k , 2], aleshores 1kTk = (0, 2]

La interseccio d’una col·leccio arbitraria (finita o infinita) de conjunts tancats es tancada.La interseccio d’un nombre arbitrari d’oberts, no sempre es un obert, per exemple 0n(% 1

n , 1n)

donara el tancat {0}.

1.2 Funcions de diverses variables.

Les funcions que estudiarem relacionen punts de Rn amb punts de Rm. De forma general:

!f : D . Rn %! Rm (1.29)

!x = (x1, ..., xn) %! !y =

&

''''''(

y1 = f1(!x)y2 = f2(!x)

.

.

ym = fm(!x)

)

******+(1.30)

1.2.1 Camps escalars i vectorials.

En el cas anterior si

• m = 1 parlarem d’una funcio escalar

• m > 1 parlarem d’una funcio vectorial (composta de m funcions escalars)

1.2 Funcions de diverses variables. 9

Figura 1.2: Exemple de funcio de f : D . R2 %! R, z=f(x,y).

Exemples

• Temperatura als punts de l’espai. Es una funcio escalar de 3 variables:

T : R3 %! R (1.31)

!x = (x, y, z) %! T (x, y, z) (1.32)

• Trajectoria d’un objecte en funcio del temps. Es una funcio vectorial d’una variable:

!r : R %! R3 (1.33)

t %! !r(t) =

&

'(x(t)y(t)z(t)

)

*+ (1.34)

• Camp electric als punts de l’espai. Es una funcio vectorial de 3 variables:

!E : R3 %! R3 (1.35)

!x = (x, y, z) %! !E(!x) =

&

'(Ex(!x)Ey(!x)Ez(!x)

)

*+ (1.36)

1.2.2 Domini i Imatge d’una funcio

Donada una funcio f : D . Rn %! Rm definim:

• Domini de !f(!x): conjunt D . Rn de punts !x # Rn on la funcio esta definida

• Imatge de !f(!x): conjunt I . Rm de punts !y # Rm que son imatges dels punts de D.

1.2.3 Espai vectorial de les funcions

Com en el cas de les funcions de R %! R, el conjunt de les funcions definides en D . Rn %! Rm

forma un espai vectorial respecte a les operacions:


• suma de funcions: (!f + !g)(!x) = !f(!x) + !g(!x)

• multiplicacio per un escalar: ("!f)(!x) = "!f(!x)

1.3 Lımit, lımits iterats i continuıtat.

Sigui f : D . Rn %! Rm i !a un punt d’acumulacio de D. Direm que !l # Rm es lımit de !fen el punt !a si &% > 0,'& tal que si , !x % !a ,< & -, !f(!x) % !l ,< %, ( on !x # D % {!a})). Hoexpressarem com:

!l = lim!x#!a!f(!x) (1.37)

Una altre forma d’expressar-ho seria &% > 0,'& | &!x # B$n(!a, &) 0D - !f(!x) # Bm(!l, %) (on B$

vol indicar que el punt central !a no es considera en aquesta bola).

Exemple. Sigui f(x, y) = 2x2(y+1)+y2

2x2+y2 que te lımit 1 quant (x, y)! (0, 0).

&% > 0,'&(%) |,

x2 + y2 < &?-| f(x, y)% 1 |< %

| f(x, y)% 1 | = | 2x2(y + 1) + y2

2x2 + y2% 1 |=| 2x2y + 2x2 + y2 % 2x2 % y2

2x2 + y2|

= | 2x2y

2x2 + y2|= 2x2 | y |

2x2 + y2(| y |(

,x2 + y2 (1.38)

per tant prenent &(%) = % es satisfa la definicio de lımit.

1.3.1 Propietats dels lımits

El lımit, si existeix, es unic

Siguin !b *= !c dos lımits de lim!x#!a!f(!x), aleshores

, !b% !c ,=, !b% !f(!x)% !c + !f(!x) ,(, !b% !f(!x) , + , !f(!x)% !c , (1.39)

Com els lımits existeixen, &% > 0,'&1, &2 tal que

• si , !x% !a ,< &1 -, !f(!x)%!b ,< %/2

• si , !x% !a ,< &2 -, !f(!x)% !c ,< %/2

Ara si prenem & = min(&1, &2) aleshores

, !b% !f(!x) , + , !f(!x)% !c ,< % -, !b% !c ,< % (1.40)

i com aixo pasa &%, aleshores els dos lımits han de ser iguals.

1.3 Lımit, lımits iterats i continuıtat. 11

Suma de lımits

Si lim!x#!a!f(!x) = !b i lim!x#!a!g(!x) = !c, aleshores lim!x#!a(!f(!x) + !g(!x)) = !b + !c.

Demostracio. &% > 0,'&1, &2 tal que

• si , !x% !a ,< &1 -, !f(!x)%!b ,< %/2

• si , !x% !a ,< &2 -, !g(!x)% !c ,< %/2

Ara si prenem & = min(&1, &2) aleshores , !f(!x) + !g(!x) %!b % !c ,(, !f(!x) %!b , + , !g(!x) % !c ,<%/2 + %/2 = % i per tant lim!x#!a(!f(!x) + !g(!x)) = !b + !c.

Lımit del producte d’un escalar per una funcio

Si lim!x#!a!f(!x) = !b aleshores lim!x#!a("!f(!x)) = "!b.

Demostracio. Com lim!x#!a!f(!x) = !b, vol dir &% > 0,'& tal que si , !x%!a ,< & -, !f(!x)%!b ,<

%/ | " |. Aleshores &% > 0 hem trobat un & tal que si , !x% !a ,< & tenim

, "!f(!x)% "!b ,=| " |, !f(!x)%!b ,<| " | %| " | = % (1.41)

Lımit del producte escalar

Si lim!x#!a!f(!x) = !b i lim!x#!a!g(!x) = !c, aleshores lim!x#!a(!f(!x) · !g(!x)) = !b · !c.

Demostracio. , !f(!x) ·!g(!x)%!b ·!c ,=, !f(!x) ·!g(!x)% !f(!x) ·!c + !f(!x) ·!c%!b ·!c ,=, !f(!x) · (!g(!x)%!c) + (!f(!x) %!b) · !c ,(, !f(!x) ,, (!g(!x) % !c) , + , (!f(!x) %!b) , !c , i els dos termes tendeixen a 0quan !x! !a

Lımit de la norma d’una funcio

Si lim!x#!a!f(!x) = !b, aleshores lim!x#!a , !f(!x) ,=, !b ,. Per demostrar-ho agafar l’anterior amb

!f = !g

1.3.2 Lımits reiterats

Hem vist que si existeix el lımit aquest es unic. Aixo es pot utilitzar algunes vegades per veureque el lımit no existeix. Per aixo ens poden apropar per diferents camins al punt !a i si aquestcamins porten a valors diferents, es que aquest lımit no existeix.

Un posible camı es acostar-se variant les components consecutivament. Per exemple, en lesfuncions de R2 ! Rm podem fer (cami (2) de la figura 1.3)

limy#a2(limx#a1!f(x, y))

o be (cami (1) de la figura 1.3)

limx#a1(limy#a2!f(x, y))

que s’anomenen lımits reiterats. Si els dos son diferents, el lımit de la funcio en !a no existeix,pero si son iguals no ens assegura res.


Figura 1.3: Lımits reiterats i lımits direcccionals

Exemple. f(x, y) = xy+y2

x2+y2

limy#0(limx#0xy + y2

x2 + y2) = limy#0

y2

y2= 1

limx#0(limy#0xy + y2

x2 + y2) = limx#0

0x2

= 0

que al ser diferents ens indica que el lımit de la funcio en el (0,0) no existeix.

1.3.3 Lımits direccionals

Una altra forma possible d’acostar-se al punt !a es seguint qualsevol recta que passi per aquestpunt, del tipus !x = !a + "!u, on !u es un vector que ens indica la direcccio de la recta (exemplecamı (3) de la figura 1.3). Aleshores hem de calcular

lim"#0!f(!a + "!u)

Si el lımit depen de !u, el lımit de la funcio no existeix, pero si son iguals no ens assegura res.Exemple. f(x, y) = xy2

x3+y3 i volem calcular el lımit quan ens apropem al (0,0). Les diferentsrectes que passen pel (0,0) son de la forma !x = !a + "!u = (0, 0) + "(1,m) = (","m) i per tanpodem calcular

limx#0f(x,mx) = limx#0xm2x2

x3 + m3x3=

m2

1 + m3(1.42)

que com que depen de la direccio ens indica que el lımit de la funcio en el (0,0) no existeix.

1.3.4 Funcions contınues

Una funcio es contınua en !a silim!x#!a

!f(!x) = !f(!a) (1.43)

en altres paraules &% > 0,'& tal que si , !x% !a ,< & -, !f(!x)% !f(!a) ,< % (!x # D % {!a}).Una funcio sera discontinua en !a si no esta definida, no existeix el lımit o el lımit no coincideix

amb el valor de la funcio. Si el lımit existeix i es discontinua, aquesta discontinuıtat es evitable.

1.3 Lımit, lımits iterats i continuıtat. 13

La suma de dos funcions contınues es contınua

Per a la seva demostracio es procedeix de forma similar a la de suma de lımits

Una funcio vectorial es contınua si i tan sols si totes les seves components soncontınues

Sigui !f(!x) contınua en !a. Aleshores lim!x#!afk(!x) = lim!x#!a!f(!x) · ek = !f(!a) · ek = fk(!a) doncs f

es contınua.Siguin les fk contınues, aleshores lim!x#!a

!f(!x) = lim!x#!a-

fk(!x) · ek =-

fk(!a) · ek = !f(!a)NOTA. Les funcions lineals de Rn ! Rm son contınues. Efectivament

, !f(!x)% !f(!a) , = , !f(!a + !h)% !f(!a) ,=, !f(!h) ,=, !f(!

hiei) ,=,!

hi!f(ei) ,

(!

| hi |, !f(ei) ,(, !h ,!, !f(ei) ,(, !h , nk ( &nk (1.44)

on k + max{, !f(ei) ,, i = 1, ..., n} i agafant & = %/nk queda demostrat.

Continuıtat de funcions compostes

Considerem les funcions: !f : A . Rn ! Rm i !g : B . Rm ! Rs tals que !f(A) . B.

Figura 1.4: Composicio de funcions

Si !f es contınua en !a i !g es contınua en !b = !f(!a) # B, aleshores la funcio composta !go!f estambe contınua.

Com es veu en la figura 2.5

A . Rn!f! B . Rm !g! Rs

!a!f! !b = !f(!a) !g! !c = !g(!f(!a))

Efectivament, com que !g es contınua en el punt !b aleshores &% > 0,'' tal que si , !z %!b ,<' -, !g(!z) % !g(!b) ,< %, pero com que !f es contınua el punt !a aleshores &' > 0,'& tal que si, !x% !a ,< & -, !f(!x)% !f(!a) ,< '.


Per tant concloem que &% > 0,'& tal que si , !x% !a ,< & -, !f(!x)% !f(!a) ,< '-, !z %!b ,<'-, !g(!f(!x))% !g(!f(!a)) ,< %.

Per tant, si !f es contınua en !a i !g es contınua en !b = !f(!a) # D, aleshores

lim!x#!a!g 2 !f(!x) = lim!x#!a!g(!f(!x)) = !g(!f(!a)) (1.45)

Capıtol 2

CALCUL DIFERENCIAL EN

DIVERSES VARIABLES.

2.1 Derivada parcial i derivada direccional.

Considerem les funcions f : R2 ! R. Esta clar que el concepte de derivada en un punt quetenıem per a funcions de R en R s’ha de generalitzar i evidentment dependra de la direccio enque ens apropem al punt (el pendent en una muntanya depen en la direccio en que caminem).

Per aixo definim la derivada direccional en !a i segons la direccio u (vector unitari) com:

!f !(!a; u) = limh#0

!f(!a + hu)% !f(!a)h

(2.1)

sempre i quan el lımit existeixi.En la figura 2.1 es poden veure algunes derivades direccionals d’una funcio de f : R2 ! R ,

en aquest cas concret es mostren les paral·leles als eixos (u = (1, 0), v = (0, 1)). La interpretacioes com abans: ens dona la tangent del angle de la recta tangent.

Figura 2.1: Derivades parcials

En els cas que la direccio u sigui alguna de les direccions de la base canonica u = ei, i =

16 Chapter 2. CALCUL DIFERENCIAL EN DIVERSES VARIABLES.

1, ..., n, aquestes derivades direccionals s’anomenen derivades parcials i tambe s’expressen com:

$i !f(!a) = Di!f(!a) =

$ !f

$!xi(!a) (2.2)

o igualment

$i !f...!a

= Di!f...!a

=$ !f

$!xi

.....!a

(2.3)

Com que per calcular-les hem de fer

$ !f

$!xi(!a) = limh#0

!f(!a + hei)% !f(!a)h

= limh#0

!f(a1, .., ai + h, ..., an)% !f(a1, .., ai, ..., an)h

(2.4)

aleshores, ho podem fer com si la funcio !f fos nomes funcio de la variable i-essima, mantenintla resta constants.

EXEMPLE. Calcular les derivades direccionals en el punt (1,1) de la funcio

f : R2 ! R, f(x, y) = x2 + y2 (2.5)

f !((1, 1); u) = limh#0f((1, 1) + hu)% f(1, 1)

h= limh#0

f(1 + hu1, 1 + hu2)% 2h

= limh#0

/(1 + hu1)2 + (1 + hu2

2)0% 2

h= 2u1 + 2u2 (2.6)

Si ara volem calcular la derivada parcial respecte a x ho podem fer

• #f#x

...(1,1)

= f ! ((1, 1); u = (1, 0)) = 2

• #f#x

...(1,1)

= limh#0f(1+h,1)%f(1,1)

h = limh#0((1+h)2+12)%2

h = 2

• Calculant #f#x , fent la derivada respecte a x i mantenint y constant , i despres mirar el seu

valor en el punt (1,1): #f#x = 2x que existeix en tot R2 i que en el punt (1,1) val 2 com ja

hem calculat.

EXEMPLE. Calcular les derivades direccionals de la funcio

f : R2 ! R, f(x, y) =1 2xy2

x2+y2 en (x, y) *= (0, 0)0 en (x, y) = (0, 0)

(2.7)

que es contınua en el !0 doncs.....

2xy2

x2 + y2% 0

..... (| 2x |( 2,

x2 + y2 (2.8)

i per tant veiem que &% podem agafar & = %/2 tal que si , !x % !0 ,="

x2 + y2 < & aleshores... 2xy2

x2+y2 % f(0, 0)... < %.

Les derivades direccionals son

f !(!0; u) = limh#0f(!0 + hu)% f(!0)

h= limh#0

f(hu1, hu2)% 0h

= limh#0

2h3u1u22

h2(u21+u2

2)% 0

h= 2u1u

22

(2.9)doncs u2

1 + u22 = 1 al ser u un vector unitari. Si ara volem calcular la derivada parcial respecte

a x ho podem fer

2.1 Derivada parcial i derivada direccional. 17

• #f#x (!0) = f !(!0; u = (1, 0)) = 0

• #f#x (!0) = limh#0

f(h,0)%f(0,0)h = limh#0

0h2 %0

h = 0

Tambe podem calcular #f#x en qualsevol punt *= !0, fent la derivada respecte a x i mantenint y

constant:$f

$x=

2y2(x2 + y2)% 2xy22x(x2 + y2)2

=2y2(y2 % x2)(x2 + y2)2

(2.10)

que existeix en tot R2 % {!0}. En el punt (0,0) no te lımit ( doncs limy#0#f#x (my, y) = 2(1%m2)

(m2+1)2 )pero ja hem calculat la derivada #f

#x (!0) i hem vist que val 0.

NOTA. La derivada direccional d’una funcio vectorial !f(!x) =-

i fi(!x)ei tambe es un vector:

!f !(!a; u) =!

i

f !i(!a; u)ei

EXEMPLE. Sigui !f : R2 ! R2 definida per

!f(x, y) =2 "

x2 + y2

e%(x2+y2) cos x

3

(2.11)

aleshores les derivades direccionals son vectors. Per exemple la derivada parcial respecte a y es

$ !f

$y=2

y/"

x2 + y2

%2ye%(x2+y2) cos x

3

(2.12)

NOTA. En funcions de R a R la existencia de la derivada en un punt garanteix que la funcioes contınua en aquell punt. En funcions de varies variables poden existir totes les derivadesdireccionals i que la funcio no sigui contınua. Per exemple, considerem la funcio:

f(x, y) =1 2xy2

x2+y4 en (x, y) *= (0, 0)0 en (x, y) = (0, 0)

(2.13)

Les seves derivades direccionals en (0,0) existeixen i valen:

f !(!0; u) = limh#0f(!0 + hu)% f(!0)

h= limh#0

f(hu1, hu2)% 0h

= limh#0

2h3u1u22

h2(u21+h2u4

2)% 0

h(2.14)

si u1 *= 0 aquest lımit val 2u22/u1 i si u1 = 0 aquest lımit val 0. Per tan les derivades existei-

xen en qualsevol direccio, pero la funcio no es contınua. Per demostrar-ho agafem com camıd’aproximacio al punt (0,0) la corva y2 = Ax

lim(x,y)#(0,0),y2=Ax

2xAx

x2 + A2x2=

2A1 + A2

(2.15)

que com veiem depen del camı.


2.2 Diferencial d’una funcio.

L’aproximacio lineal de l’increment d’una funcio en un punt l’hi direm diferencial. En el cas defuncions de R a R (veure figura 2.2) tenim

• la funcio:

f : R ! R

x ! f(x) (2.16)

• l’increment de la funcio respecte el punt a

!f : R ! R

!x ! !f = f(a +!x)% f(a) (2.17)

• el diferencial de la funcio en el punt a

df : R ! R

dx ! df = f !(a)dx (2.18)

Tan dx com !x representen la variacio de les x respecta al punt a considerat, com es veu en lafigura 2.2, pero quant usem diferencials utilitzarem generalment dx.

Veiem que el diferencial tal com esta definit es linial: df((dx1+)dx2) = f !(a)((dx1+)dx2) =(df(dx1) + )df(dx2)

Figura 2.2: Diferencial

Per que l’aproximacio lineal df sigui veritablement un diferencial, hem de demanar que ladiferencia entre el diferencial (df) i l’increment de la funcio (!f) sigui d’ordre mes gran que elpropi increment de la variable (!x)

!f = df + O(!x) (2.19)

2.2 Diferencial d’una funcio. 19

on O(!x) vol indicar que va mes rapid cap 0 que !x (per exemple com (!x)2 o qualsevolpotencia superior). En altres paraules

f(a + h) = f(a) + df(h) + 0(h) = f(a) + C $ h + h$ E(a, h) (2.20)

on C es una constant (doncs df(h) ha de ser lineal i per tant ha de ser de la forma C $ h) iE(a, h) ha de ser una funcio d’h tal que limh#0E(a, h) = 0 (doncs O(h) es com a mınim depotencia h2)

Per tant, direm que una funcio de R a R es diferenciable en el punt a si en l’entorn d’aquestpunt la podem expressar com

f(a + h) = f(a) + C $ h + h$ E(a, h) (2.21)

on C es una constant i E(a, h) una funcio d’h tal que limh#0E(a, h) = 0.De la definicio anterior esta clar que si una funcio de R a R es diferenciable en a, tambe es

derivable i la seva derivada es precisament igual a la constant C

f !(a) = limh#0f(a + h)% f(a)

h= C + limh#0E(a, h) = C (2.22)

Per altra banda si considerem una funcio de R a R que tingui derivada en un punt a:

f !(a) = limh#0f(a + h)% f(a)

h(2.23)

aleshores podem definir

E(a, h) 3 f(a + h)% f(a)h

% f !(a), h *= 0 (2.24)

i com limh#0E(a, h) = 0 tambe definim E(a, 0) = 0. Aleshores E(a, h) sera una funcio contınuade h i podem escriure

f(a + h) = f(a) + f !(a)h + hE(a, h), &h (2.25)

que juntament amb el fet de que limh#0E(a, h) = 0, ens indica que si una funcio de R a R esderivable en el punt a, tambe es diferenciable en aquest punt. Una altra forma de veure-ho esobservant que la diferencia entre l’increment de la funcio en el punt a i el diferencial en el mateixpunt

!f % df = f(a + h)% f(a)% f !(a)h = hE(a, h) (2.26)

es un infinitessim d’ordre superior a h (doncs quant h ! 0 tenim que E(a, h) ! 0 i per tanthE(a, h) es un infiniessim d’ordre superior a h, es a dir O(h))

Anem ara a generalitzar aquests conceptes a Rn.

2.2.1 Diferencial a Rn

Direm que la funcio !f : D . Rn ! Rm es diferenciable en el punt !a # Int(D) si existeix

• una transformacio lineal !T!a : Rn ! Rm

• i una funcio vector !E(!a,!h) : Rn ! Rm


tal que:!f(!a + !h) = !f(!a) + !T!a(!h)+ , !h , !E(!a;!h) (2.27)

amb lim!h#!0!E(!a,!h) = !0. Com !a es interior al Domini existeix Bn(!a; r) . D, aleshores nomes

considerem !h tals que !a + !h # Bn(!a; r) on la funcio !f esta ben definida.!T!a(!h) s’anomena diferencial total de la funcio en !a. Tambe es denota per:

!T!a(!h) = d!f(!a)(!h) = (D !f)(!a)(!h) (2.28)

o tambed!f!a(!h) = (D !f)!a(!h) (2.29)

Si en funcions de R a R ,

y = df(dx) + f(a) = f !(a)dx + f(a) (2.30)

representava l’equacio de la recta tangent en el punt a de la funcio f(x), ara

!z = d!f!a(d!x) + !f(!a) = !T!a(d!x) + !f(!a) (2.31)

representara l’equacio del pla tangent en el punt a de la funcio !f(!x)NOTA. L’expressio

!z = !f(!a) + !T!a(!x% !a) (2.32)

s’anomena formula de Taylor de 1er ordre de la funcio f al voltan del punt a.EXEMPLE. La funcio f : R2 ! R on f(x, y) = ex+y + 2 sin(2x % y) es diferenciable en el

punt (0,0) i, com veurem mes endavant, la diferencial val:

df(0,0)(x, y) = 5x% y (2.33)

Per a comprovar-ho hem de veure que l’aplicacio sigui linial (ho es) i que

lim!x#!0E(!0; !x) = lim!x#!0

f(x, y)% f(0, 0)% df(0,0)(x, y), !x ,

= 0 (2.34)

Expandint les funcions exponencial i sinus per valors petits:

lim!x#!0E(!0; !x) = lim(x,y)#(0,0)ex+y + 2 sin(2x% y)% 1% (5x% y)

"x2 + y2

= lim(x,y)#(0,0)1 + (x + y) + (x + y)2/2 + ... + 2((2x% y)% (2x% y)3/3! + ...) % 1% 5x + y

"x2 + y2

= lim(x,y)#(0,0)(x + y)2/2% 2(2x% y)3/3! + ...

"x2 + y2

= 0 (2.35)

Si !f(!x) es diferenciable en !a aleshores !T!a(u) = !f !(!a; u)

.En efecte, agafem !h = hu (, !h ,=| h |), si !f(!x) es diferenciable en !a

!f !(!a; u) = limh#0

!f(!a + !h)% !f(!a)h

= limh#0

!T!a(hu)+ , hu , !E(!a;!h)h

= limh#0h!T!a(u)+ | h | !E(!a;!h)

h= T!a(u) ± 1$ lim!h#0

!E(!a;!h) = T!a(u) (2.36)


que ens dona una manera de trobar la funcio diferencial a traves de calcular la derivada direc-cional. De totes maneres la existencia de totes les derivades direccionals no garanteix que lafuncio sigui diferenciable. Per exemple, en 2.13 hem vist un cas de funcio on existeixen totesles derivades direccionals en el (0, 0), pero com aquestes no son una aplicacio lineal, ja podemafirmar que la funcio NO es diferenciable en aquest punt (de fet hem vist que no es ni contınua).

EXEMPLE. Anem a calcular el diferencial en el (0,0) de la funcio f(x, y) = ex+y +2 sin(2x%y). Com ja hem demostrat en 2.35 que es diferenciable en aquell punt, podem utilitzar el fet deque el diferencial !T!0(u) es igual a !f !(!0; u)

T!0(u) = f !(!0; u) = limh#0f(!0 + hu)% f(!0)

h= limh#0

f(0 + hu1, 0 + hu2)% f(0, 0)h

= limh#0ehu1+hu2 + 2 sin(2hu1 % hu2)% 1

h

= limh#01 + (hu1 + hu2) + (hu1 + hu2)2/2 + ... + 2((2hu1 % hu2)% (2hu1 % hu2)3/3! + ...)

h= = 1 + (u1 + u2) + 2(2u1 % u2) = 5u1 % u2 (2.37)

2.2.2 Expressio del diferencial per funcions escalars de Rn ! R. Gradient

Sigui {ei} la base canonica de Rn. Aleshores el diferencial de les funcions escalars de Rn ! R

(que sera una funcio lineal i escalar) es pot escriure com:

T!a(!h) = T!a(n!

i=1

hiei) =n!

i=1

hiT!a(ei) =n!

i=1

hi$f

$xi

....!a

= !4f!a · !h (2.38)

on !4f!a 3 ( #f#x1

...!a

, .., #f#xn

...!a) i s’anomena gradient de la funcio f en el punt !a.

Si f es diferenciable en !a, aleshores acabem de veure que f(!a + d!x) = f(!a) + !4f!a · d!x + O(,d!x ,). Per tant, la direccio d!x de creixement mes gran de la funcio en el punt !a sera precisamentla direccio del gradient (doncs el producte escalar entre el gradient i la direccio es maxim).

EXEMPLE. Anem a calcular el diferencial en el (0,0) de la funcio f(x, y) = ex+y +2 sin(2x%y). Com ja hem demostrat en 2.35 que es diferenciable en aquell punt, podem utilitzar el fet deque el diferencial !T!0(u) es igual a !4f!0 · !h

El gradient es:

!4f(0,0) = ($f

$x

....(0,0)

,$f

$y

....(0,0)

) = ((ex+y + 4cos(2x% y))..(0,0) , (ex+y % 2 cos(2x% y))

..(0,0)) = (5,%1)

(2.39)i per tant

T!0(h1, h2) = !4f(0,0) · (h1, h2) = (5,%1) · (h1, h2) = 5h1 % h2 (2.40)

Pla tangent

Sigui una funcio f : D . R2 ! R que es pot representar en 3 dimensions com es veu en la figura2.3. Segons el que hem vist, l’equacio del pla tangent a la superfıcie en el punt (!a, f(!a)) sera:

z = f(!a)+df(!a)(!!x) = f(!a)+ !4f(!a) · (!x%!a) = f(a1, a2)+$f

$x

....!a

(x%ax)+$f

$y

....!a(y%ay) (2.41)


Figura 2.3: Pla tangent

2.2.3 Expressio del diferencial per funcions vectorials de Rn ! Rm. Matriu

Jacobiana

Sigui {ei}({e!j}) la base canonica de Rn(Rm). Aleshores el diferencial de les funcions vectorialsde Rn ! Rm (que sera una funcio lineal i vectorial) es pot escriure com:

!T!a(!h) = !T!a(n!

i=1

hiei) =n!

i=1

hi!T!a(ei) =

n!

i=1

hi$ !f

$xi

.....!a

=n!

i=1

hi$(-m

k=1 fke!k)$xi

....!a

=n!

i=1

hi

2m!

k=1

$fk

$xi

....!a

e!k

3

=m!

k=1

2n!

i=1

hi$fk

$xi

....(!a)

3

e!k

=m!

k=1

4(!4fk)!a · !h

5e!k =

m!

k=1

4!T!a(!h)

5

ke!k (2.42)

on4!T!a(!h)

5

krepresenta la component k del vector !T!a(!h). Aixo es pot representar en forma

matricial:

!T!a(!h) = (D !f)!a!h =

&

''''''(

(D1f1)!a (D2f1)!a ... (Dnf1)!a(D1f2)!a (D2f2)!a ... (Dnf2)!a

.

.

(D1fm)!a (D2fm)!a ... (Dnfm)!a

)

******+

&

''''''(

h1

h2

.

.

hn

)

******+(2.43)

La matriu (D !f)!a es la matriu jacobiana de !f en el punt !a. Noteu que les files d’aquesta matriuson els gradients dels diferents components fk de la funcio vectorial !f

EXEMPLE. Sigui la funcio f : R3 ! R2 definida per !f(x, y, z) = (zex,%yez). Aquestafuncio es diferenciable a tot R3 i la matriu jacobiana en el punt (x, y, z) sera:

(D !f)!x =2

(D1f1)!x (D2f1)!x (D3f1)!x(D1f2)!x (D2f2)!x (D3f2)!x

3

=2

zex 0 ex

0 %ez %yez

3

= (2.44)


i la diferencial en el punt (x, y, z) sera una funcio vectorial

d!f!x(!h) = (D !f)!x!h =2

zex 0 ex

0 %ez %yez

3&

'(h1

h2

h3

)

*+ (2.45)

2.2.4 Condicions de diferenciabilitat

Algunes condicions necessries

• Continuıtat.

Si una funcio !f es diferenciable en un punt !a, aleshores es contınua en aquest punt.

lim!x#!a!f(!x) = lim!h#!0

!f(!a + !h) = lim!h#!0

4!f(!a) + !T!a(!h)+ , !h , E(!a;!h)

5= !f(!a) (2.46)

aixo implica que la continuıtat es una condicio necessaria per a que una funcio pugui serdiferenciable, pero no es suficient: podem tenir funcions contınues que no siguin diferenci-ables.

EXEMPLE. Exemple de funcio contınua no diferenciable:

f(x, y) =1 xy

x2+y2 si (x, y) *= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

(2.47)

per vere si es contınua prenem primerament els lımits direccionals:

lim(x,y)#(0,0),y=mx = limx#0xmx)

x2 + m2x2= limx#0

mx)1 + m2

= 0 (2.48)

Aixı si el lımit existeix aquest ha de ser 0. Ho podem comprovar amb la deficinio de lımitobservant que

| f(x, y)% 0 |=| xy"

x2 + y2|= | x | | y |"

x2 + y2<

"x2 + y2

"x2 + y2

"x2 + y2

=,

x2 + y2 (2.49)

per tant &% > 0 podem agafar & = % tal que si , !x%!0 ,="

x2 + y2 < & aleshores veiem que| f(x, y) % 0 |< % i per tant el lımit existeix i val 0. Aleshores aquesta funcio es contınuadoncs el lımit coincideix amb el valor de la funcio pero ja hem vist en 2.7 que les derivadesdireccionals no son lineals i per tant no es diferenciable.

• Existencia de les derivades parcials.

Tambe hem vist que si una funcio es diferenciable en un punt aleshores existeixen les sevesderivades direccionals. Per tant l’existencia de les derivades direccionals es una condicionecessaria per a que una funcio sigui diferenciable, pero com veurem en el seguent exempleno es suficient.

EXEMPLE. Exemple de funcio amb totes les derivades direccionals i no diferenciable.Hem vist en 2.13 que la funcio f(x, y) = xy2

x2+y4 per !x *= !0 i que val 0 en el punt !0, teniaderivades direccionals en (0,0): f !(!0, u) = u2

2/u1 si u1 *= 0 i 0 si u1 = 0. En canvi aquestafuncio no es diferenciable. Un motiu ve de que les seves derivades direccionals no sonlineals en !u, un altre ve de que ja hem vist que no es contınua.

Manuel Sanchez Cañadas

la funció es xy/(arq(x^2+y^2))


Condicio suficient de diferenciabilitat

Sigui un funcio !f : D . Rn ! Rm, si existeix una de les derivades parcials D1!f, ...,Dn

!f en elpunt !a i la resta n-1 d’aquestes derivades existeixen en un entorn de !a i son contınues en el punt!a, aleshores la funcio es diferenciable en el punt !a.

NOTA. Aquesta es una condicio suficient pero no es una condicio necessaria de diferenciabi-litat: podem tenir funcions diferenciables on mes d’una de les seves derivades parcials no siguincontınues. Exemple:

f(x, y) =1

(x2 + y2) sin 1x2+y2 si (x, y) *= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)(2.50)

Aquesta funcio admet derivades parcials en tots els punts:

$f

$x= 2x sin

1x2 + y2

% 2xx2 + y2

cos1

x2 + y2,$f

$x

....(0,0)

= limh#0h2 sin 1

h2 % 0h

= 0

$f

$y= 2y sin

1x2 + y2

% 2yx2 + y2

cos1

x2 + y2,$f

$x

....(0,0)

= limh#0h2 sin 1

h2 % 0h

= 0

(2.51)

En el punt (0,0) les parcials existeixen pero no son contınues:

limy#0(limx#0)$f

$x= limy#0(0) = 0

limx#0(limy#0)$f

$x= limx#0(2x sin

1x2% 2x

x2cos

1x2

) (2.52)

i el darrer no existeix. Per contra la funcio es diferenciable doncs

lim!h#!0E(!0;!h) = lim!h#!0

!f!0(!h)% df!0(!h), !h ,

= lim!h#!0

f(!0 + !h)% f(!0)% !4f!0 · !h, !h ,

= lim!h#!0

f(h1, h2)% 0% 0, !h ,

= lim!h#!0

(h21 + h2

2) sin 1h21+h2

2,h2

1 + h22

= 0 (2.53)

2.3 Teorema del valor mitja

Recordem que en funcions f : D . R! R el teorema del valor mitja ens diu que si la funcio esdiferenciable en el interval [a, b] # D aleshores existeix com a mınim un punt c # (a, b) tal que(veure figura 2.4):

f !(c) =f(b)% f(a)

b% a, o be f(b)% f(a) = f !(c)(b% a) (2.54)

En el cas d’una funcio f : D . R2 ! R si agafem dos punts !a !b de D on la funcio esdiferenciable en tots el punts de la recta que els uneix, podem aplicar el teorema del valor mitjade R a R restringint-nos al estudi de la funcio en aquesta recta. Aleshores com a mınim had’existir un punt !c de la recta (amb vector unitari u = (!b% !a)/ , !b% !a ,) tal que

f !(!c; u) =f(!b)% f(!a), !b% !a ,

(2.55)

per tant f(!b)% f(!a) = !4f!c · u , !b% !a ,= !4f!c · (!b% !a)

2.4 Regla de la cadena. 25

Figura 2.4: Teorema del valor mitja

Teorema del valor mitja per funcions f : D . Rn ! R

Es pot generalitzar el que acabem de veure per funcions f : D . R2 ! R. En el cas d’unafuncio f : D . RN ! R si agafem dos punts !a !b de D on la funcio es diferenciable en tots elpunts de la recta que els uneix, aleshores com a mınim ha d’existir un punt !c de la recta que elsuneix tal que

f(!b)% f(!a) = !4f!c · (!b% !a) (2.56)

Teorema del valor mitja per funcions f : D . Rn ! Rm

Per funcions vectorials f : D . Rn ! Rm, es pot aplicar el teorema anterior a cada una de lescomponents, pero no hi ha cap rao per la qual tots els punts !ci trobats per cada component i,siguin el mateix.

El mes proper al teorema del valor mitja en aquest cas es que &!z # RN'!c que depen de !z talque:

!z · (!f(!b)% !f(!a)) = !z ·4(D !f)!c(!b% !a)

5(2.57)

i que es facilment demostrable si apliquem el teorema anterior a la funcio g = !f ·!z : D . Rn ! R

2.4 Regla de la cadena.

Siguin les funcions de la figura 2.5 on

A . Rn !f! B . Rm !g! Rs

!a!f! !b = !f(!a) !g! !c = !g(!f(!a))

Si !f es diferenciable en !a, amb diferencial (D !f)!a i !g es diferenciable en !b = !f(!a) # B, ambdiferencial (D!g)!b aleshores la funcio composta !h = !go!f es tambe diferenciable en !a amb la matriujacobiana

(D!h)!a = (D!g)!f(!a)(D !f)!a (2.58)


Figura 2.5: Composicio de funcions

Efectivament

!h(!a + !y)% !h(!a) = !g(!f(!a + !y))% !g(!f(!a)) = !g(!b + !v)% !g(!b) (2.59)

on hem utilitzat !b = !f(!a) i hem anomenat !b + !v = f(!a + !y). Aleshores com !f es diferenciableen !a:

!v = !f(!a + !y)% !f(!a) = (D !f)!a(!y)+ , !y , !E!f (!a; !y) (2.60)

on lim!y#!0!E!f (!a; !y) = 0. Com !g es diferenciable en !b

!g(!b + !v)% g(!b) = (D!g)!b(!v)+ , !v , !E!g(!b;!v) (2.61)

on lim!v#!0!E!g(!b;!v) = 0. Aleshores podem escriure

!h(!a + !y)% !h(!a) = !g(!b + !v)% !g(!b) = (D!g)!b4(D !f)!a(!y)+ , !y , !E!f (!a; !y)

5+ , !v , !E!g(!b;!v)

= (D!g)!b(D !f)!a(!y)+ , !y , (D !f)!a !E!f (!a; !y))+ , !v , !E!g(!b;!v)

= (D!g)!b(D !f)!a(!y)+ , !y ,6(D !f)!a!(E!f (!a; !y)) +

, !v ,, !y ,

!E!g(!b;!v)7

(2.62)

Aleshores si !h es diferenciable en el punt !a, voldra dir que

!h(!a + !y)% !h(!a) = (D!h)!a(!y)+ , !y , !E!h(!a; !y) (2.63)

on lim!y#!0!E!h(!a; !y) = 0. Comparant aquest requeriment amb l’equacio 2.62 veiem que si de-

mostrem que el lımit del que es troba entre els claudators va cap a 0 quant !y ! !0 hauremdemostrat que !h es diferenciable en el punt !a i a mes a mes que la seva matriu jacobiana es:(D!h)!a = (D!g)!b(D !f)!a.

Anem a demostrar ara que el que es troba entre els claudators de l’equacio 2.62 va cap a 0quant !y ! !0. Com !f es diferenciable !v ! !0 quant !y ! !0. Aleshores !Ef i !Eg aniran cap a zero iigualment (D !f)!a doncs es una aplicacio lineal. L’unic problema podria venir si &!v&

&!y& no estigues

2.4 Regla de la cadena. 27

fitat, pero anem a veure que si que ho esta.

, !v , = , (D !f)!a(!y)+ , !y , !E!f (!a; !y) ,(, (D !f)!a(!y) , + , !y , , !E!f (!a; !y) ,

(m!

i=1

| (!4fk)!a · !y | + , !y , , !E!f (!a; !y) ,

(m!

i=1

, (!4fk)!a , , !y , + , !y , , !E!f (!a; !y) , (2.64)

Per tant, !v ,, !y , (

m!

i=1

, (!4fk)!a , + , !E!f (!a; !y) , (2.65)

que esta acotat com volıem demostrar.Considerant !h(!x) = !g(!f(!x)) i anomenant !u = !f(!x), podem escriure (D!h)!x = (D!g)!u(D !f)!x en

notacio matricial com:&

''''(

#h1#x1

... #h1#xn

. ... .

. ... .#hs#x1

... #hs#xn

)

****+=

&

''''(

#g1#u1

... #g1#um

. ... .

. ... .#gs#u1

... #gs#um

)

****+

&

''''(

#f1#x1

... #f1#xn

. ... .

. ... .#fm#x1

... #fm#xn

)

****+(2.66)

que podem reescriure com

$hj

$xi=

m!

k=1

$gj

$uk

$fk

$xi=

m!

k=1

$hj

$uk

$uk

$xi(2.67)

on per escriure la segona igualtat que es mes facil de recordar hem utilitzat que !u = !f(!x) i que!g(!u) = !h(!u). Per exemple per funcions de R a R

dh

dx=

dh

du

du

dx(2.68)

EXEMPLE. ConsideremA . R2

!f! B . R2 g! R

(x, y)!f(x,y)! (u = f1(x, y), v = f2(x, y))

g(u,v)! g(f1(x, y), f2(x, y))

( #h#x

#h#y ) = ( #g

#u#g#v )2

#u#x

#u#y

#v#x

#v#y

3

(2.69)

que podem reescriure

$h

$x=$g

$u

$u

$x+$g

$v

$v

$x$h

$y=$g

$u

$u

$y+$g

$v

$v

$y(2.70)

Si agafem !f(x, y) = (x % y, x + y) i g(u, v) = u2 + v2, aleshores u = x % y, v = x + y ih(x, y) = g(x% y, x + y) = (x% y)2 + (x + y)2. De forma directa

$h

$x= 4x,

$h

$y= 4y (2.71)


De forma indirecta

$g

$u= 2u,

$g

$v= 2v,

$u

$x= 1,

$u

$y= %1,

$v

$x= 1,

$v

$y= 1 (2.72)

per tant aplicant 2.70$h

$x= 2u + 2v = 4x,

$h

$y= %2u + 2v = 4y (2.73)

EXEMPLE. ConsideremA . R2 f! B . R

!g! R3

(x, y)f(x,y)! t = f(x, y)

!g(t)! (g1(t), g2(t), g3(t))

concretament f(x, y) = x2 + y2 i !g(t) = (sin t, et, t2) i per tant t = x2 + y2 i !h(x, y) = (sin(x2 +y2), ex2+y2

, (x2 + y2)2).De forma directa la matriu jacobiana de h:

&

'(

#h1#x

#h1#y

#h2#x

#h2#y

#h3#x

#h3#y

)

*+ =

&

'(2x cos(x2 + y2) 2y cos(x2 + y2)

2xex2+y2 2yex2+y2

4x(x2 + y2) 4y(x4 + y2)

)

*+ (2.74)

de forma indirecta&

'(

#h1#x

#h1#y

#h2#x

#h2#y

#h3#x

#h3#y

)

*+ =

&

'(

#g1#t#g2#t#g3#t

)

*+ ( #f#x

#f#y ) =

&

'(cos t

et

2t

)

*+ ( 2x 2y ) =

&

'(2x cos(x2 + y2) 2y cos(x2 + y2)

2xex2+y2 2yex2+y2

4x(x2 + y2) 4y(x4 + y2)

)

*+

(2.75)

2.5 Derivades successives. Derivades creuades

Sigui una funcio !f : D . Rn ! Rm. Les seves derivades parcials Di!f = # !f

#xison, a la vega-

da, tambe funcions de Rn ! Rm. Aleshores podem calcular les derivades parcials d’aquestesfuncions i que s’anomenen derivades parcials de segon ordre:

Dj(Di!f)) =

$

$xj

2$ !f

$xi

3

(2.76)

i tambe es fa servir la notacio:

Dj(Di!f)) = Di,j

!f =$2 !f

$xj$xi(2.77)

Igualment es defineixen les derivades parcials d’ordre superior

Di,j,...k!f =

$k !f

$xi...$xk(2.78)

Un fet interessant es en quines circunstanties les derivades poden commutar”, per exemplesi es equivalent fer #2 !f

#xj#xique #2 !f

#xi#xj

2.5 Derivades successives. Derivades creuades 29

EXEMPLE. Agafem la funcio

f(x, y) =1 xy(x2%y2)

x2+y2 si (x, y) *= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

(2.79)

per a !x *= !0 tenim$f

$x=

y(x4 + 4x2y2 % y4)(x2 + y2)2

(2.80)

mentre que per !x = !0 tenim

$f

$x

....(0,0)

= limh#0f(h, 0)% f(0, 0)

h= limh#0

0% 0h

= 0 (2.81)

ara podem calcular la derivada de segon ordre en el punt (0,0):

$

$y

$f

$x

....(0,0)

= limh#0

#f#x(0, h) % #f

#x (0, 0)h

= limh#0%h5/h4 % 0

h= %1 (2.82)

igualment podem calcular per a !x *= !0 tenim

$f

$y=

x(x4 % 4x2y2 % y4)(x2 + y2)2

(2.83)

mentre que per !x = !0 tenim

$f

$y

....(0,0)

= limh#0f(0, h)% f(0, 0)

h= limh#0

0% 0h

= 0 (2.84)

ara podem calcular la derivada de segon ordre en el punt (0,0):

$

$x

$f

$y

....(0,0)

= limh#0

#f#y (h, 0) % #f

#y (0, 0)h

= limh#0h5/h4 % 0

h= 1 (2.85)

veiem que en aquest cas les derivades creuades no son iguals.

2.5.1 Igualtat entre les derivades creuades

Existeixen diversos teoremes que donen condicions suficients per a que una funcio de !f : Rn !Rm tingui les derivades creuades iguals en la seva k-component, es a dir:

$2fk

$xi$xj=$2fk

$xj$xk(2.86)

Per simplicitat ens restringirem a funcions de f : R2 ! R, pero la seva generalitzacio es obvia.

Teorema de Bonnet

Si f : R2 ! R es de la classe C2 en el punt (x, y) aleshores les derivades parcials creuades soniguals.

NOTA. Una funcio f : Rn ! R es diu que es de classe C1 en el punt (x, y) si es un copdiferenciable en (x, y) (recordem que si totes les seves derivades parcials existeixen i son contınues


aixo implica que es diferenciable, no al inreves). Aleshores C2 vol dir que la funcio es duguesvegades diferenciable (ella i les seves primeres derivades parcials).

Un funcio on les derivades fins a segon ordre existeixen i siguin contınues en el punt (x, y),sera de classe C2. Per simplicitat nomes demostrarem el teorema per aquest tipus de funcionsde C2.

Sigui doncs f(x, y) una funcio on les derivades fins a segon ordre existeixen i son contınuesen el punt (x, y). En l’entorn del punt !x on definim:

!(h, k) 3 f(x + h, y + k)% f(x + h, y)% f(x, y + k) + f(x, y)

G(x + h) 3 f(x + h, y + k)% f(x + h, y)

H(y + k) 3 f(x + h, y + k)% f(x, y + k) (2.87)

Com f es diferenciable en (x, y), tambe ho seran G en x i H en y. Aleshores

!(h, k) = G(x + h)%G(x) = G!(a)h =2$f

$x

....(a,y+k)

% $f$x

....(a,y)

3

h =$2f

$y$x

.....(a,b)

hk

!(h, k) = H(y + k)%H(y) = H !(d)k =2$f

$y

....(x+h,d)

% $f$y

....(x,d)

3

k =$2f

$x$y

.....(c,d)

hk

(2.88)

on a # (x, x + h), b # (y, y + k), c # (x, x + h) i d # (y, y + k). Per tant, existeixen un puntsa, b, c i d en els entorns esmentats, tals que

$2f

$y$x

.....(a,b)

=$2f

$x$y

.....(c,d)

(2.89)

Si ara fem h, k ! 0, aleshores a, c! x i b, d! y. Com estem assumint que les derivades segonesson contınues en (x, y) aleshores

limh,k#0$2f

$y$x

.....(a,b)

=$2f

$y$x

.....(x,y)

= limh,k#0$2f

$x$y

.....(c,d)

=$2f

$x$y

.....(x,y)

(2.90)

com volıem demostrar.Existeixen condicions suficients encara menys restrictives, com ho demostra el seguent teo-

rema.

Teorema de Schwarz

Sigui f(x, y) un funcio definida en un entorn S de (x, y). Si existeixen les derivades #f#x , #f

#y i#2f#y#x en S i #2f

#y#x es continua en (x, y), aleshores les derivades creuades en (x, y) son iguals.Efectivament,

$2f

$x$y

.....(x,y)

= limh#0

#f#y

...(x+h,y)

% #f#y

...(x,y)

h

= limh#0limk#0

f(x+h,y+k)%f(x+h,y)k % f(x,y+k)%f(x,y)

k

h

2.6 Formula de Taylor. Matriu hessiana. 31

= limh#0limk#0f(x + h, y + k)% f(x + h, y)% f(x, y + k) + f(x, y)

kh

= limh#0limk#0!(h, k)

hk= limh,k#0

$2f

$y$x

.....(a,b)

=$2f

$y$x

.....(x,y)

(2.91)

on en el darrer pas hem utilitzat el fet que #2f#y#x es continua en (x, y).

2.6 Formula de Taylor. Matriu hessiana.

Recordem que per funcions de R en R amb derivades d’ordre < m diferenciables en [a, x], laformula de Taylor permet escriure

f(x) = f(a) +m%1!

k=1

1k!

f (k)(a)(x % a)k +1m!

f (m)(z)(x % a)m (2.92)

on z # (a, x). Aquesta expressio te la seva generalitzacio per funcions escalars de diversesvariables.

Sigui una funcio escalar f : D . Rn ! R amb derivades parcials d’ordre < m diferenciablesen D, aleshores donats dos punts !a i !x tals que la lınea que els uneix L(!a, !x) 5 D, existeix unpunt !z # L(!a, !x) tal que

f(!x) = f(!a) +m%1!

k=1

1k!

f (k)(!a; !x% !a) +1m!

f (m)(!z; !x% !a) (2.93)

que es la formula de Taylor per funcions de varies variables i on

• f (1)(!a; !x% !a) =-n

i=1#f#xi

...!a

(xi % ai)

• f (2)(!a; !x% !a) =-n

i=1-n

j=1#2f

#xi#xj

...!a

(xi % ai)(xj % aj)

• en general f (k)(!a; !x% !a) =-n

i1=1 ...-n

ik=1#kf

#xi1...#xik

...!a(xi1 % ai1)...(xik % aik)

Donada una funcio escalar f : D . Rn ! R de la classe C2 o superior, definim la matriuHessiana com una matriu de n$ n on els seus elements son

(H!a)i,j = (H!a)j,i 3$2f

$xi$xj

.....!a

(2.94)

i ara la formula de Taylor fins a segon ordre es pot escriure de forma compacta com

f(!x) = f(!a) +n!

i=1

$f

$xi

....!a

(xi % ai) +n!

i=1

n!

j=1

$2f

$xi$xj

.....!a

(xi % ai)(xj % aj) +13!

f (3)(!z; !x% !a)

= f(!a) + !4f...!a· (!x% !a) +

12!

(!x% !a)†H!a(!x% !a) +13!

f (3)(!z; !x% !a) (2.95)

Com el darrer terme 13!f

(3)(!z; !x%!a) es d’ordre o(, !x%!a ,2) podem expressar-lo com 13!f

(3)(!z; !x%!a) =, !x % !a ,2 E2(!a; !x % !a) i on lim(!x%!a)#!0E2(!a; !x % !a) = 0. Estudiant aquest terme podemdonar una cota a l’error que cometem al calcular !f(!x) si nomes utilitzem en el seu calcul elstermes del gradient i la Hessiana.


EXEMPLE. Desenvolupar f(x, y) = ln(1 + x + y)ey fins a segon ordre al voltant del (0,0)

f(!x) = f(!0) + !4f...!0· (!x%!0) +

12!

(!x%!0)†H!0(!x%!0) +13!

f (3)(!z; !x% !a) (2.96)

on !z = !a + "(!x% !a) amb 0 < " < 1 i en el nostre cas !a = !0.

$f

$x=

11 + x + y

ey,$f

$y= (

11 + x + y

+ ln(1 + x + y))ey

$2f

$x2= % 1

(1 + x + y)2ey,

$2f

$y$x= % 1

(1 + x + y)2ey +

11 + x + y

ey

$2f

$x$y= % 1

(1 + x + y)2ey +

11 + x + y

ey,

$2f

$y2= (

11 + x + y

+ ln(1 + x + y))ey + (% 1(1 + x + y)2

+1

1 + x + y)ey (2.97)

que en el punt (0,0) donen:

$f

$x

....!0

= 1,$f

$y

....!0

= 1,$2f

$x2

.....!0

= %1,$2f

$y$x

.....!0

= 0,$2f

$x$y

.....!0

= 0,$2f

$y2

.....!0

= 1 (2.98)

i per tant la Hessiana val

H!0 =2 #2f

#x2

...!0

#2f#x#y

...!0

#2f#y#x

...!0

#2f#y2

...!0

3

=2%1 00 1

3

(2.99)

aleshores

f(!x) = 0 + (1, 1) · (x, y) +12!

(x, y)2%1 00 1

32x

y

3

+ O(, !x% !a ,2)

= x + y +12(x, y)

2%x

y

3

+ O(, !x% !a ,2)

= x + y +12(%x2 + y2) + O(, !x% !a ,2) (2.100)

addicionalment podrıem calcular les derivades d’ordre 3 i donar una cota a l’error, pero aixo hofarem en el seguent exemple.

El mateix resultat d’aquest desenvolupament fins a potencies en xy d’ordre dos, el podıemhaver obtingut utilitzant

ln(1 + x + y) = (x + y)% (x + y)2

2+ O((x + y)2)

ey = 1 + y +y2

2!+ O(y2) (2.101)

i per tant

ln(1 + x + y)ey = ((x + y)% (x + y)2

2+ ...)(1 + y +

y2

2!+ ...)

= (x + y) + (x + y)y % (x + y)2

2+ .... = x + y +

12(%x2 + y2) + ...(2.102)

2.7 Gradient. Rotacional. Divergencia 33

EXEMPLE. Desenvolupar f(x, y) = sin(x + y) fins a segon ordre al voltant del (0,0)

f(!x) = f(!0) + !4f...!0· (!x%!0) +

12!

(!x%!0)†H!0(!x%!0) +13!

f (3)(!z; !x% !a) (2.103)

on !z = !0 + "(!x%!0) = ("x,"y) amb 0 < " < 1.En aquest cas es facil veure que

$f

$.= cos(x + y)- !4f

...!0

= (1, 1)

$2f

$..= % sin(x + y)- H!0 = 0

$3f

$...= % cos(x + y) (2.104)

Aleshores

f(!x) = 0 + (1, 1) · (x, y) + 0 +2!

i=1

2!

j=1

2!

k=1

$3f

$xi$xj$xk

.....!z

(xi % 0)...(xj % 0)(xk % 0)

= x + y % 13!

cos("x + "y)2!

i=1

2!

j=1

2!

k=1

xixjxk

= x + y % 13!

cos("x + "y)(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)

= x + y % 16

cos("x + "y)(x + y)3 (2.105)

Si ens quedem nomes fins a segon ordre de potencies sin(x + y) 6 x + y i el error que cometemesta fitat per

E ( max" | 16

cos("x + "y)(x + y)3 |( 16| (x + y)3 | (2.106)

Per exemple podem escriure que sin(0.1+0.1) = 0.2± 160.23 = 0.200000±0.0013333, mentre

que l’exacte es sin(0.1+0.1) = 0.1986693308.... Evidentment la diferencia entre el valor exacte iel valor aproximat (0.2) es menor que la cota trobada per l’error, concretament aquesta diferenciaes 0.0013306....

2.7 Gradient. Rotacional. Divergencia

2.7.1 Gradient

En la seccio 2.2.2 ja hem introduıt el gradient d’una funcio escalar de n variables com

!4f = ($f

$x1, ...,

$f

$xn) (2.107)

i que dona un vector de Rn. Aixo ens permet utilitzar una notacio forca addient per recordar elque es el gradient. Definim l’operador gradient que actua sobre funcions escalars com

!4 3 ($

$x1, ...,

$

$xn) (2.108)

i entenem !4f com esta definit en 2.107


2.7.2 Rotacional

Per funcions vectorials de R3 ! R3 definim el rotacional en un punt !x com

rot!f = !4$ !f 3

.......

i j k##x

##y

##z

fx fy fz

.......= ($fz

$y% $fy

$z,$fx

$z% $fz

$x,$fy

$x% $fx

$y) (2.109)

PROPIETATS:

• si * : R3 ! R es diferenciable i tambe ho son les seves derivades parcials (- igualtat dederivades creuades), aleshores

!4$ (!4*) =

.......

i j k##x

##y

##z

#$#x

#$#y

#$#z

.......= 0 (2.110)

es a dir rot(gradient *) = 0

• si * : R3 ! R i !f : R3 ! R3 aleshores podeu demostrar que

!4$ (*!f) = *(!4$ !f) + (!4*)$ !f (2.111)

2.7.3 Divergencia

Per funcions vectorials de Rn ! Rn definim la divergencia en un punt !x com

div !f = !4 · !f 3n!

i=1

$

$xifi =

n!

i=1

$fi

$xi(2.112)

PROPIETATS.

• Per funcions vectorials f : R3 ! R3 tenim

!4 · (!4$ !f) = 0 (2.113)

es a dir div(rot!f ) = 0

• si * : R3 ! R i !f : R3 ! R3 aleshores podeu demostrar que

!4 · (*!f) = *(!4 · !f) + (!4*) · !f (2.114)

2.7.4 Laplaciana

Es defineix la Laplaciana d’una funcio escalar de variables (x, y, z) com

!* 3 !4 · !4* =3!

i=1

$2*

$x2i

(2.115)

Capıtol 3

APLICACIONS del CALCUL

DIFERENCIAL

En aquest capıtol tractarem dos problemes fonamentals de l’analisi: la funcio inversa i la funcioimplıcita, com tambe alguna de les seves aplicacions, com el canvi de coordenades, calcul demaxim i mınim,...

3.1 Funcio inversa.

Sigui la funcio f : D . R! R de la figura 3.1, diferenciable en els punts a,M,m i b. Veiem quela funcio es localment invertible en el punt a, no invertible en el maxim local M ni en el mınimlocal m, pero tambe es invertible en el punt d’inflexio b. Veiem dons que si la funcio te derivadano nul·la en un punt, aleshores es localment invertible en aquell punt, pero si la seva derivadas’anul·la hem de fer un estudi mes profund per decidir si es invertible o no en l’entorn d’aquellpunt.

Figura 3.1: Exemple de funcio

Com exemple la funcio f(x) = x3 es localment invertible en tots els seus punts del domini i ames a mes, es globalment invertible doncs no tenim dos punts del domini que vagin a la mateixa

36 Chapter 3. APLICACIONS del CALCUL DIFERENCIAL

imatge.L’extensio a funcions vectorials de diverses variables ens diu que una funcio diferenciable en

!a es localment invertible al voltant d’aquest punt si el determinat de la seva matriu jacobianaen aquest punt es diferent de zero. Aquest determinat es diu la jacobiana i juga el mateix paperque la derivada al demanar que una funcio de R ! R sigui invertible en el punt a. Igualment,si la jacobiana es zero no podem assegurar res sobre la invertibilitat de la funcio.

Per funcions vectorials de varies variables la igualtat de les dimensions dels espais del dominii la imatge es un requeriment per a que pugui ser invertible. Aixo es degut a que , si aquest nofos el cas, l’aplicacio o la seva inversa anirien d’un espai de dimensio inferior a un altre de mesdimensions i aleshores nomes podria generar un subespai.

3.1.1 Teorema de la funcio inversa.

Sigui !f : D . Rn ! Rm diferenciable en un obert S (!f # C1 en S). Sigui T = !f(S). Definim eljacobia d’aquesta funcio en el punt !x # S com

J!f (!x) 3 $(f1, ..., fn)$(x1, ...xm)

3| (D !f)!x |=

..........

#f1#x1

... #f1#xm

. ... .

. ... .#fn#x1

... #fn#xm

..........

(3.1)

El teorema ens diu que si J!f (!a) *= 0 aleshores existeixen dues boles obertes X . S, Y . T iuna funcio !g unıvocament determinada tal que

• !a # X i !f(!a) # Y

• Y = !f(X)

• !f es bijectiva de X a Y

• !g esta definida en Y i verifica:

– !g(Y ) = X

– !g es diferenciable en Y (!g # C1)

– !g = !f%1 es la funcio inversa de !f en X. - !g(!f(!x)) = !x, &!x # X

Les condicions d’aquest teorema son suficients pero no necessaries (com passa en funcionsde R a R).

Veiem un argument plausible per entendre la demanda J!f (!a) =| (D !f)!x |*= 0. Com la funcioes diferenciable en !a podem escriure

!f(!a +!!x) 6 !f(!a) + (D !f)!a(!!x) (3.2)

per tant!y = !f(!a) + (D !f)!a(!x)% (D !f)!a(!a)- !y % !f(!a) + (D !f)!a(!a) = (D !f)!a(!x) (3.3)

i per poder expressar !x en funcio de !y el determinant de la matriu jacobiana (D !f)!a ha de serdiferent de zero.

3.1 Funcio inversa. 37

La matriu jacobiana de la funcio inversa

Recordem que si !h = !g 2 !f aleshores (D!h)!x = (D!g)!f(!x)(D !f)!x. Com !x = !f%1(!f(!x)), ara podem

aplicar la darrera relacio entre matrius jacobianes prenen !h com la identitat i !g = !f%1. Aleshores

I = (D !f%1)!f(!x)(D !f)!x - (D !f%1)!f(!x) = (D !f)%1!x (3.4)

es a dir, la matriu jacobiana de la funcio inversa es la inversa de la matriu jacobiana de la funciooriginal.

Com el determinant de la matriu inversa es el invers del determinant de la matriu original,el jacobia de la funcio inversa es el invers del jacobia de la funcio original:

J!f!1 =1J!f

(3.5)

EXEMPLE. Considerem la funcio vectorial de R2 ! R2:

!f : S . R2 ! R2

(x, y) ! (u, v) = !f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) = (ex, sin(x + y)) (3.6)

Aquesta es localment invertible en el (0,0) doncs, com veurem, el seu jacobia no es nul. Lamatriu jacobiana en qualsevol punt es

(D !f)!x =2

D1f1 D2f1

D1f2 D2f2

3

=2

ex 0cos(x + y) cos(x + y)

3

(3.7)

i per tant el jacobia en qualsevol punt val

J!f (!x) =| (D !f)!x |=.....

ex 0cos(x + y) cos(x + y)

..... = ex cos(x + y) (3.8)

Aleshores lel jacobia en el punt (0,0) val

J!f (!0) = 1 (3.9)

que com es diferent de 0, la funcio es localment invertible en (0,0).Aquesta funcio sera localment invertible en tots els punts (x0, y0) on cos(x0 + y0) *= 0.En els punts on x + y = %

2 + n+, n # Z - y = %x + %2 + n+ la funcio resulta que no es

invertible doncs en aquests punts f2(x, y) = sin(x + y) = sin(%2 + n+) = ±1 i per tant te unmaxim o in mınim.

Aquesta funcio NO es globalment invertible doncs tots els punts de la forma (x0, y0 +2+n), n # Z donen la mateixa imatge (ex0 , sin(x0 + y0))

EXEMPLE. Considerem la funcio vectorial de R2 ! R2:

!f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (ex + ey, ex % ey) (3.10)

Com el jacobia en qualsevol punt val

J!f (!x) =| (D !f)!x |=.....ex ey

ex %ey

..... = %2exey *= 0&!x # R2 (3.11)


la funcio es localment invertible en un entorn de cada punt de R2. Anem a veure que a mes ames es globalment invertible.

1u = ex + ey

v = ex % ey -1

u + v = 2ex

u% v = 2ey -1

x = lnu+v2

y = lnu%v2

(3.12)

com u + v > 0 i u % v > 0 la regio de la imatge de !f es la que es mostra en la figura 3.2 i quees on esta definida la funcio inversa. Per a cada punt (u, v), 3.12 determina unıvocament (x, y).la funcio !f es globalment invertible

!f%1 : A . R2 ! R2

(u, v) ! (lnu + v

2, ln

u% v

2) (3.13)

Figura 3.2: regio de la imatge de !f

Finalment calculem les matrius jacobianes tan de !f i !f%1 i comproven que una es la inversade l’altre.

(D !f)!x =2

#u#x

#u#y

#v#x

#v#y

3

=2

ex ey

ex %ey

3

(D !f%1)!u =2

#x#u

#x#v

#y#u

#y#v

3

=2

1u+v

1u+v

1u%v

1u%v

3

(D !f%1)!u=!f(!x)(D !f)!x =2

e%x/2 e%x/2e%y/2 %e%y/2

32ex ey

ex %ey

3

=2

1 00 1

3

= I (3.14)

Igualment

J!f (!x) = | (D !f)!x |= %2exey

J!f!1(!u) = | (D !f%1)!u |= 1/(%2exey) = 1/J!f (!x) (3.15)

3.1.2 Canvi de coordenades en R2 i R3.

Una de les aplicacions de la funcio inversa es en el canvi de coordenades.

3.1 Funcio inversa. 39

Coordenades polars en el pla

!f : S . R2 ! R2

(r, #) ! (x = r cos #, y = r sin #) (3.16)

on S = {(r, #); r > 0, 0 ( # < 2+}La jacobiana de la transformacio es

(D !f)(r,&) =2

#x#r

#x#&

#y#r

#y#&

3

=2

cos # %r sin #sin # r cos #

3

(3.17)

i el jacobia sera

J!f (r, #) =$(x, y)$(r, #)

=| (D !f)(r,&) |=.....cos # %r sin #sin # r cos #

..... = r cos2 # + r sin2 # = r (3.18)

Per tant la transformacio inversa existeix exceptuant en els punts (r = 0, #) on el jacobias’anul·la. Tots aquests punts van a parar al (x = 0, y = 0) (l’angle # esta indeterminat).

La transformacio inversa es

!f%1 : R2 ! S . R2

(x, y) ! (r =,

x2 + y2, # = tan%1 y

x) (3.19)

La jacobiana de la transformacio inversa es

(D !f%1)(x,y) =2

#r#x

#r#y

#&#x

#&#y

3

=2

x/"

x2 + y2 y/"

x2 + y2

%y/(x2 + y2) x/(x2 + y2)

3

(3.20)

on hem utilitzat #&#x = %y/(x2 + y2) doncs si ( = tan%1 x- x = tan(() aleshores

dx

d(=

d

d(

8 sin(cos(

9= 1 +

sin2 #

cos2 #= 1 + x2 =

1cos2 #

d(

dx=8

dx

d(

9%1

=1

1 + x2(3.21)

i per tant com # = tan%1/ y

x

0tindrem

$#

$x=

11 + y2/x2

%y

x2=

%y

x2 + y2,$#

$y=

11 + y2/x2

1x

=x

x2 + y2(3.22)

El jacobia sera

J!f!1(x, y) =$(r, #)$(x, y)

=| (D !f%1)(x,y) |=.....

x/"

x2 + y2 y/"

x2 + y2

%y/(x2 + y2) x/(x2 + y2)

..... =1

"x2 + y2

(3.23)

Evidentment es compleix que

(D !f%1)(x,y)(D !f)(r,&) =2

cos # sin #%(sin #)/r (cos #)/r

32cos # %r sin #sin # r cos #

3

=2

1 00 1

3

(3.24)

i pels jacobians

J!f!1(x, y)J!f (r, #) =1rr = 1 (3.25)


Coordenades esferiques en R3

!f : S . R3 ! R3

(r, #,,) ! (x = r sin # cos,, y = r sin # sin,, z = r cos #) (3.26)

on S = {(r, #,,); r > 0, 0 ( # < +, 0 ( , < 2+}La jacobiana de la transformacio es

(D !f)(r,&,') =

&

'(

#x#r

#x#&

#x#'

#y#r

#y#&

#y#'

#z#r

#z#&

#z#'

)

*+ =

&

'(sin # cos, r cos # cos, %r sin # sin,sin # sin, r cos # sin, %r sin # cos,

cos # %r sin # 0

)

*+ (3.27)

i el jacobia sera

J!f (r, #,,) =$(x, y, z)$(r, #,,)

=| (D !f)(r,&,') |=

.......

sin # cos, r cos # cos, %r sin # sin,sin # sin, r cos # sin, %r sin # cos,

cos # %r sin # 0

.......

= r2 sin3 # + r2 cos2 # sin # = r2 sin # (3.28)

Per tant la transformacio inversa existeix exceptuant en els punts on (r = 0, # = 0 o +,,)doncs el jacobia s’anul·la. Tots els punts amb r = 0 van a parar al (x = 0, y = 0, z = 0)(els angles # i , estan indeterminats). Tots els punts (r *= 0, # = 0,,) van a parar al (x =0, y = 0, z = r) (l’angle , esta indeterminat). Tots els punts (r *= 0, # = +,,) van a parar al(x = 0, y = 0, z = %r) (l’angle , esta indeterminat).

La transformacio inversa es

!f%1 : R3 ! S . R3

(x, y, z) ! (r =,

x2 + y2 + z2, # = cos%1 z"

x2 + y2 + z2,, = tan%1 y

x) (3.29)

Per calcular la jacobiana de transformacio inversa podem fer us de la propietat

(D !f%1)(x,y,z) =

&

'(

#r#x

#r#y

#r#z

#&#x

#&#y

#&#z

#'#x

#'#y

#'#z

)

*+ = (D !f)%1(r,&,') =

&

'(sin # cos, r cos # cos, %r sin # sin,sin # sin, r cos # sin, %r sin # cos,

cos # %r sin # 0

)

*+

%1

(3.30)Per tant calculem (D !f)%1

(r,&,'). Primer fem la seva transposta

M =

&

'(sin # cos, sin # sin, cos #

r cos # cos, r cos # sin, %r sin #%r sin # sin, %r sin # cos, 0

)

*+ (3.31)

i els elements de la matriu inversa son

(D !f%1)ij =(%1)i+j

| (D !f) || M |ij (3.32)

on | M |ij es el determinant de l’element reduıt ıj” de M i | (D !f) |= J!f (r, #,,) = r2 sin #.

3.2 Funcio implıcita. 41

Per exemple

(D !f%1)11 =$r

$x=

1J!f

.....r cos # sin, %r sin #%r sin # cos, 0

..... = sin # cos, =x

"x2 + y2 + z2

(3.33)

o tambe

(D !f%1)12 =$r

$y=

1J!f

.....r cos # sin, %r sin #%r sin # sin, 0

..... = sin # sin, =y

"x2 + y2 + z2

(3.34)

Finalment

(D !f%1)(x,y,z) =

&

'(

#r#x

#r#y

#r#z

#&#x

#&#y

#&#z

#'#x

#'#y

#'#z

)

*+ =

&

'(sin # cos, sin # sin, cos #

1r cos # cos, 1

r cos # sin, % sin &r

% sin'r cos &

cos'r sin & 0

)

*+ (3.35)

i que tambe podem expressar en funcio de x, y, z.El fet de tenir un canvi de coordenades ens permet definir noves bases amb les que treballar

en lloc de la base canonica i expressar operadors com el gradient, rotacional,.. en aquestes novesbases. Veure Apendix A per mes detalls.

3.2 Funcio implıcita.

Un problema molt habitual es donar una corba en el pla de la forma implıcita F (x, y) = 0 encomptes de forma explıcita y = f(x) ( si coneixem y = f(x) sempre podem reescriure comF (x, y) = y % f(x) = 0).

La pregunta que ens fem es en quines condicions, donat F (x, y) = 0, podem trobar y enfuncio de x.

EXEMPLE. Sigui la funcio de la figura 3.3 F (x, y) = x2 + y2 % 1 = 0

Figura 3.3: F (x, y) = x2 + y2 % 1 = 0

La ”solucio”en aquest cas es y = ±)

1% x2 si x2 < 1 i localment sempre podrem decidiren quina branca de les dos ens trobem. Per exemple si estem en el punt (1/

)2, 1/

)2) ens


trobem localment en la branca ”+”, mentre que si estem en el punt (1/)

2,%1/)

2) ens trobemlocalment en la branca -”. El problema el tenim en els punts (±1, 0) doncs a l’entorn d’aquestspunts puc decidir anar a qualsevol de les dues branques i per tant no estem davant d’una funcio(esta bivaluada).

Si z = F (x, y) el seu gradient !4F dona la direccio en el pla (x, y) de maxim creixementde la funcio, mentre que les direccions perpendiculars donaran les direccions on F es mante l-localment”estable: si dibuixem les corbes de nivell de F (x, y) el gradient sempre es perpendiculara aquestes corbes. Si ara agafem la corba de nivell F (x, y) = 0 la relacio local y(x) ve donadaper direccio perpendicular al gradient: els unics punts on podem tenir problemes seran aquellson la direccio de la corba de nivell segueixi j, es a dir on !4F · j = #F

#y = 0.Una altre forma de veure-ho es observant que els punts problematics son aquells on y! es fa

infinit. Com el vector !v = (#F#y ,%#F

#x ) es perpendicular a !4F i per tant y! 7 #F#x /#F

#y , els possiblespunts problematics seran quant #F

#y = 0. Alternativament podem definir g(x) = F (x, y(x)) = 0i aleshores

0 =dg

dx=$F

$x+$F

$yy! - y! = %

#F#x#F#y

(3.36)

i per tant tornem a veure que els punts problematics seran aquells on #F#y = 0

En resum, si F (x, y) = 0, es pot trobar y = y(x) localment en tots els punts on #F#y *= 0.

Si #F#y = 0 ho haurem d’estudiar mes detingudament. Per exemple F (x, y) = y3 % x = 0 te

#F#y

...(0,0)

= 0 pero no te cap problema en (0, 0), de fet y = x1/3 esta definida en tot R.

EXEMPLE. Sigui F (x, y, z) = x2 + y2 + z2% 1 = 0 i volem determinar z(x, y). Les solucionsl.locals”son z = ±

"1% x2 % y2 en el cercle x2 + y2 < 1. Nomes hi haura problemes en els punts

de la circunferencia x2 +y2 = 1 dons en aquest punts podem anar cap a les dues solucions. Comabans, els candidats seran aquells punts on 0 = !4F · k = #F

#z dons en aquests punts la funcio z

pot ser bivaluada quant ens movem en el pla x, y.Els punts on 0 = #F

#z = 2z son precisament els punts de la circunferencia abans esmentada.Una altre forma d’arribar a aquest requeriment es veure que la funcio z(x, y) nomes pot esta

ben definida en el punt (x0, y0)

z(x, y) 6 z(x0, y0) +$F

$x

....(x0,y0)

(x% x0) +$F

$y

....(x0,y0)

(y % y0) (3.37)

si existeixen les derivades parcials #F#x

...(x0,y0)

i #F#y

...(x0,y0)

. Aleshores si definim g(x, y) = F (x, y, z(x, y)) =0 tenim

0 =$g

$x=$F

$x$ 1 +

$F

$z

$z

$x- $z$x

= %#F#x#F#z

0 =$g

$y=$F

$y$ 1 +

$F

$z

$z

$y- $z$y

= %#F#y#F#z

(3.38)

Com veiem, per tal de que z estigui ben definida, o sigui que existeixin les derivades parcials dez en (x0, y0), cal que #F

#z

...(x0,y0)

*= 0EXEMPLE. Sigui

!f : R3 ! R2

(x, y, t) ! (F1(x, y, t), F2(x, y, t)) = (0, 0) (3.39)


Com tenim 3 variables i dues restriccions, nomes hi haura una variable independent. En quinescondicions podem trobar y = y(t) i x = x(t) al voltant de t0? ( amb !f(x0, y0, t0) = (0, 0)) Pertal de que les darreres funcions estiguin ben definides

x(t) 6 x(t0) +dx

dt

....t0

(t% t0)

y(t) 6 y(t0) +dy

dt

....t0

(t% t0) (3.40)

les derivades dx/dt i dy/dt han d’existir. Aleshores si definim !g(t) = (F1(x(t), y(t), t), F2(x(t), y(t), t)) =(0, 0) tenim

0 =dg1

dt=$F1

$x

dx

dt+$F1

$y

dy

dt+$F1

$t$ 1

0 =dg2

dt=$F2

$x

dx

dt+$F2

$y

dy

dt+$F2

$t$ 1 (3.41)

que ens permet escriure2

#F1#x

#F1#y

#F2#x

#F2#y

3

(x0,y0,t0)

2dxdtdydt

3

t0

= %2

#F1#t#F2#t

3

(x0,y0,t0)

(3.42)

Com veiem, per tal de que x(t) i y(t) estiguin ben definides, o sigui que existeixin les derivadesdx/dt i dy/dt en t0, cal que puguem invertir la darrera equacio i aixo nomes es pot fer si eljacobia de !F respecte a les variables ”dependents”(en aquest cas x, y) es diferent de zero.

$(F1, F2)$(x, y)

=

.....

#F1#x

#F1#y

#F2#x

#F2#y

..... *= 0 (3.43)

3.2.1 Teorema de la funcio implıcita.

Sigui

!F : S . Rn+k ! Rn

(!x,!t) ! !F (!x,!t) amb !x # Rn,!t # Rk (3.44)

de classe C1 (diferenciable) en S (les !x(!t) les anomenarem variables dependents (independents).Sigui (!x0,!t0) un punt de S tal que !F (!x0,!t0) = !0 i sigui el jacobia n$ n

det[D!x!F ](!x0,!t0) =

$(!F )$(!x)

.....(!x0,!t0)

*= 0 (3.45)

aleshores existeix un obert k-dimensional T tal que !t0 # T i una funcio vectorial

!h : T . Rk ! Rn

!t ! !x = !h(!t) (3.46)

tal que

• !h es C1 en T


• !h(!t0) = !x0

• !F (!h(!t),!t) = !0 per cada !t # T

A mes a mes hi ha una relacio entre matrius jacobianes

(D!t!h)!t0 = (D!x

!F )%1(!x0,!t0)

(D!t!F )(!x0,!t0) (3.47)

DEMOSTRACIO. A partir de la funcio diferenciable

!F : S . Rn+k ! Rn

(!x,!t) ! !F (!x,!t) amb !x # Rn,!t # Rk (3.48)

definim la nova funcio diferenciable

!H : S . Rn+k ! Rn+k

(!x,!t) ! !y = (!F,!t) (3.49)

que sera invertible en (!x,!t) si

0 *= $ !H

$(!x,!t)=

................

$x1F1 · · · $xnF1 $t1F1 · · · $tkF1... . . . ...

... . . . ...$x1Fn · · · $xnFn $t1Fn · · · $tkFn

0 · · · 0 1 · · · 0... . . .

...... . . .

...0 · · · 0 0 · · · 1

................

=

.......

$x1F1 · · · $xnF1... . . . ...

$x1Fn · · · $xnFn

.......=$ !F

$!x(3.50)

Veiem doncs que si es invertible podrem expressar (!x,!t) en funcio de (!F,!t). En el cas d’un punt(!x0,!t0) de S tal que !F (!x0,!t0) = !0 on el jacobia anterior sigui no nul, aleshores podrem expressar(!x,!t) en funcio de (!F,!t) en l’entorn de (!0,!t0). Si ara en aquest entorn nomes considerem elpunts on !F = !0 (imposicio donada per la funcio implıcita) aleshores !x queda en funcio nomesde !t com volıem (!x = !h(!t)).

A mes a mes si definim !g(!t) = !F (!h(!t),!t) = 0 tenim

0 =$gi

$tj=!

k

$Fi

$xk

$hk

$tj+$Fi

$tj(3.51)

que en forma matricial es pot expressar evidentment com

0 = D!t!g = D!x!FD!t!h + D!t

!F (3.52)

i per tantD!t!h = %(D!xF )%1D!t

!F (3.53)

EXEMPLE. Sigui la funcio

!F : S . R5 ! R2

(u, v;x, y, x) ! (u + v + x2 % y2 + z2, u2 + v2 + u% 2xyz) (3.54)


Aquesta funcio es diferenciable en qualsevol punt de R5. Si ara definim la funcio implıcita!F (u, v;x, y, z) = 0 , com tenim 5 variables i dues restriccions, tindrem nomes 3 variables inde-pendents (podem expressar dues variables en funcio de les altres 3); podem expressar u, v enfuncio de x, y, z (noteu que en aquest exemple, comparat amb l’enunciat del teorema, !u juga elpaper de les !x i !x el paper de les !t).

Si considerem el punt !a = (%1/2, 1/2, 0, 0, 0) com !F (!a) = !0 i

(Du,v!F ) =

2#F1#u

#F1#v

#F2#u

#F2#v

3

=2

1 12u + 1 2v

3

- $(F1, F2)$(u, v)

....!a

=

.....1 1

2%12 + 1 21

2

..... = 1 *= 0 (3.55)

es compleixen les hipotesis de teorema de la funcio implıcita en aquest punt.Calculem ara la matriu jacobiana de la funcio implıcita D!x!u. Per aixo podem intentar trobar

l’expresio explıcita de u, v en funcio de x, y, z, fet que no sempre es possible, o be utilitzar laregla de la cadena d’on hem obtingut que (D!x!u)!a = %(D!uF )%1

!a (D!x!F )!a. Per tant

(D!x!u)!a =2

#u#x

#u#y

#u#z

#v#x

#v#y

#v#z

3

!a

= %2

#F1#u

#F1#v

#F2#u

#F2#v

3%1

!a

2#F1#x

#F1#y

#F1#y

#F2#x

#F2#y

#F2#z

3

!a

= %2

1 12u + 1 2v

3%1

!a

22x %2y 2z%2yx %2xz %2xy

3

!a

= %2

1 12%1

2 + 1 212

3%12 0 0 00 0 0

3

=2

0 0 00 0 0

3

(3.56)

Tambe podem ampliar aquesta formulacio per trobar derivades d’ordre superior per a funci-ons de les quals no coneixem la seva expressio explıcita.

EXEMPLE. Sigui la funcio

F : R3 ! R

(x, y, z) ! y2 + xz + z2 % ez % 3 (3.57)

Aquesta funcio es diferenciable en qualsevol punt de R3. Si ara definim la funcio implıcitaF (x, y, z) = 0 , com tenim 3 variables i una restriccio, tindrem nomes 2 variables independents(podem expressar una variable en funcio de la resta) ; podem expressar z en funcio de !x = (x, y)(noteu que en aquest exemple, comparat amb l’enunciat del teorema, z juga el paper de les !x i!x el paper de les !t).

Si considerem el punt !a = (2, 2, 0) com !F (!a) = 0 i el jacobia

$F

$z

....!a

= x + 2z % ez = 2 + 0% 1 = 1 *= 0 (3.58)

es compleixen les hipotesis de teorema de la funcio implıcita en aquest punt.Si ara volem trobar l’expressio de la serie de Taylor fins a segon ordre de la funcio z = h(x, y)

necessitarem les parcials d’aquesta funcio en el punt !a, de la qual no tenim la seva expressioexplıcita, fins a segon ordre. Per primer ordre podem utilitzar la regla de la cadena d’on hemobtingut que (D!x

!h)!a = %(DzF )%1!a (D!xF )!a i per tant

( #z#x

#z#y ) = %(

$F

$z)%1 ( #F

#x#F#y ) = % 1

x + 2z % ez( z 2y )- ( #z

#x#z#y )!a = (0,%4) (3.59)


o tambe ho podem fer derivant F (x, y, z(x, y)) = 0

0 =$F

$x+$F

$z

$z

$x- $z$x

= %#F#x#F#z

= % z

x + 2z % ez- $F

$x

....!a

= 0

0 =$F

$y+$F

$z

$z

$y- $z$y

= %#F#y#F#z

= % 2yx + 2z % ez

- $F

$y

....!a

= %4 (3.60)

Per calcular les derivades parcials de segon ordre, ara que ja tenim la forma explıcita de les deprimer ordre i podem utilitzar-les:

$2z

$x2= %

#z#x(x + 2z % ez)% z(1 + 2z #z

#x % ez #z#x)

(x + 2z % ez)2- $2z

$x2

.....!a

= 0

$2z

$y$x= %

#z#y (x + 2z % ez)% z(2#z

#y % ez #z#y )

(x + 2z % ez)2- $2z

$x2

.....!a

= 4

$2z

$y2= %

2(x + 2z % ez)% 2y(2#z#y % ez #z

#y )(x + 2z % ez)2

- $2z

$x2

.....!a

= %18 (3.61)

Tambe podrıem haver fet

0 =$

$y($F

$x+$F

$z

$z

$x) =

$2F

$y$x+$2F

$z$x

$z

$y+2$2F

$y$z+$2F

$z2

$z

$y

3$z

$x+$F

$z

$2z

$y$x

- $2z

$y$x= %

#2F#y#x + #2F

#z#x#z#y +

4#2F#y#z + #2F

#z2#z#y

5#z#x

#F#z

- $2z

$y$x

.....!a

= 4 (3.62)

Per tant podem escriure el desenvolupament de Taylor al voltant de (2, 2) i fins a segon ordrecom

z(x, y) = 0 + (0,%4) · (x% 2, y % 2) +12(x% 2, y % 2)

20 44 %18

32x% 2y % 2

3

= %4(y % 2) +12(x% 2, y % 2)

24(y % 2)

4(x% 2)% 18(y % 2)

3

= %4(y % 2) + 4(x% 2)(y % 2)% 9(y % 2)2 (3.63)

3.2.2 Equacio del pla tangent per funcions definides implıcitament

Si tenim una funcio escalar z = f(x, y) diferenciable en el punt (x0, y0), l’equacio del pla tangenten aquest punt ve donada per

z(x, y) = f(x0, y0)+ !4f...(x0,y0)

·(x%x0, y%y0) = z0+$f

$x

....(x0,y0)

(x%x0)+$f

$y

....(x0,y0)

(y%y0) (3.64)

Veiem ara com donar aquesta equacio en el cas de que la funcio ens vingui donada deforma implıcita F (x, y, z) = 0. Un exemple molt habitual el podem trobar quant busquem elpla tangent a una superfıcie ”equipotencial”definida implıcitament per F (x, y, z) = C (Ex: lescurves ”equipotencials”per una carrega electrica venen donades per 1)

x2+y2+z2= C). En el cas


de que no puguem aıllar z = h(!x) (on !x = (x, y)) podem calcular les seves derivades parcialsutilitzant D!t

!h = %(D!xF )%1D!t!F :

D!xz = ( #z#x

#z#y ) = %(DzF )%1D!xF = %

8$F

$z

9%1

( #F#x

#F#y )-

:;

<

#z#x = %

!F!x!F!z

#z#x = %

!F!x!F!z

(3.65)

resultat que evidentment podem trobar definint g(x, y) = F (x, y, z(x, y)) = 0 i aplicant la reglade la cadena

0 =$g

$x=$F

$x$ 1 +

$F

$y$ 0 +

$F

$z

$z

$x- $z$x

= %#F#x#F#z

0 =$g

$y=$F

$x$ 0 +

$F

$y$ 1 +

$F

$z

$z

$y- $z$x

= %#F#x#F#z

(3.66)

Sigui un punt !x0 = (x0, y0, z0) tal que F (!x0) = C, aleshores Substituint els resultats a l’equaciodel pla tangent tenim

z(x, y) = z0 %1

#F#z

...!x0

2$F

$x

....!x0

(x% x0) +$F

$y

....!x0

(y % y0)3

- !4F...!x0

·!!x = 0 (3.67)

o sigui que el gradient d’una superfıcie de nivell es perpendicular al pla tangent. Aixo ja hopodrıem esperar doncs el gradient de F (x, y, z) ens dona la direccio de maxim creixement de Fja que !F 6 !4F ·!!x. Per altra banda les direccions on !F = 0 seran aquelles perpendicularsa !4F , o sigui en direccio a la superfıcie corba de nivell en aquell punt.

Igualment per funcions F (x, y) la recta tangent a la corba de nivell F (x, y) = C que passapel punt !x0 = (x0, y0) ( F (x0, y0) = C) sera

0 = !4F ·!!x =$F

$x

....!x0

(x% x0) +$F

$y

....!x0

(y % y0) (3.68)

resultat que tambe podem obtenir definint h(x) = F (x, y(x)) = C. Aleshores

0 = h!(x) =$F

$x+$F

$yy! - y! = %

#F#x#F#y

(3.69)

i per tant l’equacio de la recta tangent es al punt (x0, y0) ( F (x0, y0) = C) sera

y = y0 + y!(x0)(x% x0) = %#F#x

...x0

#F#y

...x0

(x% x0) (3.70)

EXEMPLE. Sigui F (x, y, z) = 2x2 + 4yz % 5z2 i volem trobar el pla tangent a la corba denivell F (x, y, z) = %10 en el punt !p = (3,%1, 2), (F (3,%1, 2) = %10). Calculem el gradient

!4F = ($F

$x,$F

$y,$F

$z) = (4x, 4z, 4y % 10z) - !4F

...!p

= (12, 8,%24) (3.71)

i l’equacio del pla tangent es

12(x% 3) + 8(y + 1)% 24(z % 2) = 0 (3.72)


3.3 Maxims i mınims.

Volem determinar els punts on una funcio escalar de varies variables presenta maxims o mınimsabsoluts o relatius.

3.3.1 Maxims i mınims absoluts

Una funcio escalar

!f : D . Rn ! R

!x ! z = f(!x) (3.73)

te un maxim absolut en !a # D, on D es el domini de la funcio si f(!x) ( f(!a), &!c # D.De forma analoga direm que te un mınim absolut en !a # D, on D es el domini de la funcio

si f(!x) + f(!a), &!x # D

3.3.2 Maxims i mınims relatius

Una funcio escalar

!f : D . Rn ! R

!x ! z = f(!x) (3.74)

te un maxim relatiu en !a # D, si existeix una B(!a; & > 0) tal que f(!x) ( f(!a), &!x # B(!a; &).De forma analoga direm que te un mınim relatiu en !a # D, si existeix una B(!a; & > 0) tal

que f(!x) + f(!a), &!x # B(!a; &).Els punts maxims o mınums relatius s’anomenen extrems.

3.3.3 Condicio necessaria per ser extrem en una funcio diferenciable

Podem veure facilment que si la funcio f es diferenciable ( C2 )en !a i te un extrem en aquestpunt, aleshores !4f(!a) = !0.

Efectivament, com f es diferenciable podem escriure

f(!a + hei) = f(!a) + !4f...!a· (hei) + |h|E(!a;hei) = f(!a) +

$f

$xi

....!a

h + o(h) (3.75)

i per tant si #f#xi

...!a*= 0, f(!a+hei)%f(!a) canviara de signe al canviar el de signe h (h suficientment

petit). Aleshores si !a es un extrem (no hi ha canvi de signe de f(!a+ hei)% f(!a) al canviar el designe h) implica que #f

#xi

...!a

= 0Com aixo ho hem fet per una direccio arbitraria deduım que en un punt extrem s’ha de

complir que !4f...!a

= !0. Pero si !4f...!a

= !0 aixo no implica que !a sigui un extrem, pot ser un puntde sella.

DEFINICIO. Sigui f una funcio diferenciable en !a. Si !4f...!a

= !0 direm que !a es un puntestacionari.

3.3 Maxims i mınims. 49

DEFINICIO. Un punt estacionari !a s’anomena punt de sella (punt d’ensilladura) si &B(!a)conte punts tals que f(!x) < f(!a) i altres punts tals que f(!x) > f(!a) (en el cas de funcionsf : R! R s’anomena tambe punt d’inflexio)

EXEMPLE. Sigui z = f(x, y) = %x2 % y2. El punt (0, 0) es un punt estacionari:

!4f = (%2x,%2y) - !4f...(0,0)

= (0, 0) (3.76)

a mes a mes veiem que f(x, y) ( f(0, 0) = 0,&!x, per tant en el punt (0, 0) tenim un maxim (enaquest cas un maxim absolut).

El pla tangent ve donat per

z = z0 +$f

$x

....(0,0)

(x% 0) +$f

$y

....(0,0)

(y % 0) = 0 + 0x + 0y = 0 (3.77)

es a dir pel pla horitzontal z = 0EXEMPLE. Sigui z = f(x, y) = x2 + y2. El punt (0, 0) es un punt estacionari:

!4f = (2x, 2y) - !4f...(0,0)

= (0, 0) (3.78)

a mes a mes veiem que f(x, y) + f(0, 0) = 0,&!x, per tant en el punt (0, 0) tenim un mınim (enaquest cas un mınim absolut).

El pla tangent ve donat per

z = z0 +$f

$x

....(0,0)

(x% 0) +$f

$y

....(0,0)

(y % 0) = 0 + 0x + 0y = 0 (3.79)

es a dir pel pla horitzontal z = 0EXEMPLE. Sigui z = f(x, y) = xy. El punt (0, 0) es un punt estacionari:

!4f = (y, x) - !4f...(0,0)

= (0, 0) (3.80)

pero al voltant d’aquest punt trobem punts amb f(x, y) > f(0, 0) (si signe(x)=signe(y)) i puntson f(x, y) < f(0, 0) (si signe(x)*=signe(y)). Estem davant un punt de sella.

Necessitem doncs un criteri general que permeti decidir quant un punt estacionari es unmaxim, mınim o punt de sella. Recordarem primer el cas general de funcions f : R ! R idespres ho farem per funcions escalars f : R2 ! R que tinguin Hessianes no nul·les

Condicio suficient d’extrem per a funcions de R! R

Suposem la funcio f : R ! R, Cn diferenciable en el punt a amb f !(a) = 0 i tambe ambderivades nul·les fins ordre n-1. Aleshores el desenvolupament de Taylor al voltant d’a ens dona:

f(x) = f(a) +1n!

dnf

dxn

....a(x% a)n + O((x% a)n) (3.81)

i tindrem dos casos:

1. si n parell la funcio te un extrem en el punt a doncs f(x)% f(a) no canvia de signe quantcanvia el signe de (x% a) (maxim si dnf

dxn

...a

< 0 i mınim si dnfdxn

...a

> 0 )

2. si n imparell la funcio te un punt de inflexio doncs f(x)%f(a) canvia de signe quant canviael signe de (x% a).


Condicio suficient d’extrem per a funcions de Rn ! R amb Hessiana*= 0

Suposem la funcio f : Rn ! R, diferenciable en el punt !a amb !4f(!a) = !0 i que admet undesenvolupament de Taylor fins a segon ordre amb Hessiana no nul·la:

f(!x) = f(!a) +12!

(!x% !a)T H(!a)(!x% !a) + o(, !x% !a ,2) (3.82)

Si definim !h = !x % !a i Q(!h) = !hT H(!a)!h, el signe de f(!x) % f(!a) vindra determinat pel signealgebraic de la forma quadratica Q.

Com la matriu H es simetrica existeix una transformacio lineal (canvi de base), !v = M!h

(amb M%1 = MT doncs es ortogonal) tal que diagonalitza la forma quadratica:

Q(!h) = !hT H(!a)!h = !hT M%1MH(!a)M%1M!h = (M!h)T (MH(!a)M%1)(M!h) = !vT H(!a)!v

=1!

i=1

vi"ivi =1!

i=1

v2i "i (3.83)

on H(!a) es diagonal i "i son els autovalors de la matriu Hessiana H(!a).Tindrem tres casos:

1. quant tots els autovalors del Hessia son diferents de zero i tots tenen el mateix signe.Aleshores si son tots positius la forma quadratica es diu definida positiva i estarem davantd’un mınim.Per contra, si son tots negatius la forma quadratica es diu definida negativa iestarem davant d’un maxim.

2. quant tots els autovalors del Hessia son diferents de zero pero no tots tenen el mateixsigne. Aleshores estem davant d’un punt de sella

3. Si algun dels autovalors es zero (per exemple el Hessia es nul) haurem d’anar a ordressuperiors, pero aixo no ho tractarem.

Criteri general per funcions de R2 ! R amb Hessiana*= 0

Considerem funcions escalars de dues variables f : R2 ! R. En aquest cas la matriu Hessiana:

H =2 #f2

#x2#f2

#x#y#f2

#y#x#f2

#y2

3

=2

A B

B C

3

(3.84)

Per trobar els valors propis fem

0 =

.....A% " B

B C % "

..... = (A% ")(C % ")%B2 = "2 % (A + C)"+ (AC %B2) (3.85)

on AC %B2 = ! es el determinant del Hessia. Les dues solucions de " donen els valors propisbuscats:

"1,2 =12

8(A + C) ±

,(A + C)2 % 4!

9(3.86)

3.3 Maxims i mınims. 51

i per tant

"1 + "2 = A + C

"1"2 =14

4(A + C)2 %

4(A + c)2 % 4!

55= ! (3.87)

Obviament hem obtingut "1"2 = ! (determinat del Hessia).Aleshores si ! > 0 els dos valors propis tenen el mateix signe i que coincideix amb el signe

d’A. Efectivament! = AC %B2 > 0- AC > B2 - AC + 0 (3.88)

i per tant A i C tenen el mateix signe i com "1 + "2 = A + C aquest signe a de ser el de "1 i "2.Resumint, no cal diagonalitzar H, nomes observant els valors del seu determinat i de A = #f2

#x2

ja podem dir si estem davant d’un extrem o un punt de sella:

1. Si ! > 0 el punt es un extrem. Si A > 0(A < 0) es un mınim (maxim).

2. Si ! < 0 el punt es de sella

3. Si ! = 0 el criteri no pot decidir i hem d’anar a ordres superiors.

Criteri general per funcions de Rn ! R amb Hessiana*= 0

En aquest cas la matriu Hessina es una matriu de n$ n on el seus elements son

(H(!a))i,j =$f2

$xi$xj

.....!a

(3.89)

Construım els determinants !r a partir de les matrius dels menors de r $ r a partir delprimer element (eliminant les restants n% r files i columnes).

Aleshores el criteri es

1. El punt !a es un mınim si !r > 0 per r = 1, 2, ..., n

2. El punt !a es un maxim si (%1)r!r > 0 per r = 1, 2, ..., n

3. El punt !a es de sella si !r *= 0 per r = 1, 2, ..., n i no segueix cap dels dos criteris anteriors

4. Si hi ha algun !r = 0 el criteri no es aplicable (Si ! = 0 hem d’anar a ordres superiors.Si ! *= 0 haurem d’obtenir els valors propis de la Hessiana per decidir).

que en el cas de funcions de dues variables recuperem el que ja havıem vist:

1. El punt !a es un mınim si A > 0 i ! > 0

2. El punt !a es un maxim si A < 0 i ! > 0

3. El punt !a es de sella si A > 0 i ! < 0

4. Si A = 0 o ! = 0 el criteri no es aplicable (Si ! = 0 hem d’anar a ordres superiors. Si! *= 0 haurem d’obtenir els valors propis de la Hessiana per decidir).


EXEMPLE. Sigui z = f(x, y) = %x2 % y2. El punt (0, 0) es un punt estacionari:

!4f = (%2x,%2y) - !4f...(0,0)

= (0, 0) (3.90)

amb Hessiana

H(!x) =2%2 00 %2

3

(3.91)

ja diagonal i com tots els seus autovalors son negatius es un maxim.EXEMPLE. Sigui z = f(x, y) = x2 + y2. El punt (0, 0) es un punt estacionari:

!4f = (2x, 2y) - !4f...(0,0)

= (0, 0) (3.92)

amb Hessiana

H(!x) =2

2 00 2

3

(3.93)

ja diagonal i com tots els seus autovalors son positius es un mınim.EXEMPLE. Sigui z = f(x, y) = xy. El punt (0, 0) es un punt estacionari:

!4f = (y, x) - !4f...(0,0)

= (0, 0) (3.94)

amb Hessiana

H(!x) =2

0 11 0

3

(3.95)

que te determinat ! = %1 i com A = 0 el criteri general no es aplicable. Pero com ! < 0 elsseus dos autovalors son de signe contrari i per tan es un punt de sella.

Els seus autovalors son(%")2 % 1 = 0- " = ±1 (3.96)

3.4 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange.

Moltes vegades ens trobem davant del problema de determinar els extrems d’una funcio escalar devaries variables pero quant aquestes estan sotmeses a certes restriccions (condicions o lligadures).Per exemple, en R3 determinar la mınima distancia al origen (d =

"x2 + y2 + z2) d’una certa

superfıcie S donada. Si aquesta superfıcie ve donada de forma explıcita z = z(x, y) el problemaqueda reduıt a trobar el mınim d’una funcio de dues variables:

d(x, y) =,

x2 + y2 + z(x, y)2 (3.97)

Pero normalment ens donen la superfıcie en forma implıcita g(x, y, z) = 0 i ja sabem que enmolts casos no podem trobar la forma explıcita.

El problema encara es complica mes si ens demanen la distancia mınima al origen d’unacorba C donada com la interseccio de dues superfıcies donades implıcitament g1(x, y, z) = 0 ig2(x, y, z) = 0. Si poguessim aıllar z(x) i y(x) el problema quedaria reduıt a trobar el mınimd’una funcio d’una variable:

d(x) =,

x2 + y(x)2 + z(x)2 (3.98)

3.4 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange. 53

pero generalment aixo no es pot fer.Un metode molt elegant per resoldre aquest tipus de problemes es utilitzar l’anomenat

metode dels ”multiplicadors de Lagrange”.Exposem la idea pel cas d’una funcio escalar de dues variables i despres pel cas general.

3.4.1 Extrems condicionats per funcions escalars de dues variables

Suposem una funcio escalar de dues variables

f : D . R2 ! R

(x, y) ! z = f(x, y) (3.99)

de la qual volem trobar els extrems quant estudiem el seu comportament sobre la lınia g(x, y) = 0.En la figura 3.4 ens pot veure la superfıcie z = f(x, y), la corba en el pla (x, y) definida per

la corba de nivell de la funcio g amb g(x, y) = 0 i la seva corba imatge ( sobre la la superfıciez = f(x, y)) de la qual volem trobar els extrems. Tambe es dibuixen algunes de les corbes denivell de la funcio f(x, y).

Figura 3.4: superfıcie z = f(x, y) on es dibuixa la corba imatge de g(x, y) = 0

Sigui !a un punt de la corba de nivell g(x, y) = 0 i t!a el vector unitari tangent en aquestpunt a la mateixa corba de nivell g(x, y) = 0. Si ara a partir d’aquest punt !a fem un petitdesplacament seguint aquesta corba de nivell, !!x = %t!a la variacio de f sera

f(!a + %t)% f(!a) = % !4f...!a· t + o(%) (3.100)

Si !a es un extrem quant ens movem sobre la corba g(x, y) = 0, la variacio de la funcio hade ser nul·la a primer ordre en % i per tant !4f

...!a

ha de ser perpendicular a t!a. Com !4g sempre

es perpendicular a les seves corbes de nivell (g(x, y) = C), en els punts extrems buscats !4f...!a

i!4g...!a

han de tenir la mateixa direccio.En resum, si volem trobar els extrems de f(x, y) quant estudiem el seu comportament sobre

la lınia g(x, y) = 0, haurem de trobar els punts (x, y) i el valor de " tals que:


1. !4f...!x

= " !4g...!x

2. g(x, y) = 0

Sorprenentment aixo mateix es pot expressar dient que hem de buscar els punts estacionarisde la funcio de tres variables F (x, y,") = f(x, y) + "g(x, y), doncs els punts estacionaris sonaquells on

$F

$x=$F

$y= 0 - !4f

...!x

= " !4g...!x

$F

$"= 0 - g(x, y) = 0 (3.101)

Una forma alternativa de trobar el mateix resultat es la seguent. Si #g#y *= 0 existeix la

funcio implıcita y(x). Aleshores volem trobar els extrems de z = h(x) = f(x, y(x)) i els puntsestacionaris sabem que es determinen fent

0 =dh

dx=$f

$x+$f

$y

dy

dx(3.102)

i per altra part de la condicio G(x) = g(x, y(x)) = 0 obtenim

0 =dG

dx=$g

$x+$g

$y

dy

dx(3.103)

Combinat ambdues equacions amb una constant " arbitraria tenim:

0 =8$f

$x+$f

$y

dy

dx

9+ "8$g

$x+$g

$y

dy

dx

9-8$f

$x+ "$g

$x

9+8$f

$y+ "$g

$y

9dy

dx= 0 (3.104)

Com " es arbitraria la podem fixar de forma que8$f

$y+ "$g

$y

9= 0-

8$f

$x+ "$g

$x

9= 0 (3.105)

i per tant

$

$x(f + "g) = 0

$

$y(f + "g) = 0

(3.106)

que juntament amb la restriccio g(x, y) = 0 que es pot escriure com

$

$"(f + "g) = g = 0 (3.107)

dona els resultat buscat: els punts estacionaris buscats coincideixen amb els estacionaris de lafuncio de tres variables F (x, y,") = f(x, y) + "g(x, y).

Noteu que es tracta d’una condicio necessaria.EXEMPLE. Calculem la distancia a l’origen de la recta recta ax+ by = c (es a dir la mınima

distancia de la recta al punt (0, 0)).


La distancia de qualsevol punt del pla al origen es d(x, y) ="

x2 + y2 i ara volem minimitzaraquesta funcio, o millor d2, amb la condicio entre x i y donada per g(x, y) = ax + by % c = 0.Per aixo construım la funcio de tres variables

F (x, y,") = d2(x, y) + "g(x, y) = x2 + y2 + "(ax + by % c) (3.108)

i busquem els seus punts estacionaris:

0 =$F

$x= 2x + "a- " = %2x/a

0 =$F

$y= 2y + "b- " = %2y/b

0 =$F

$"= ax + by + c (3.109)

sistema que dona com a punt estacionari

xe =ac

a2 + b2

ye =bc

a2 + b2(3.110)

i un valor de " = %2a2+b2 . La distancia en aquest punt estacionari val

d2(xe, ye) = x2e + y2

e =c2

a2 + b2(3.111)

Per saber ara si es un mınim hem d’estudiar les derivades successives de h(x) = d2(x, y(x)). Enaquest cas es facil

dh

dx=$d2

$x+$d2

$y

dy

dx= 2x + 2y

dy

dx= 2x + 2y

%a

b

d2h

dx2= 2 + 2

dy

dx

dy

dx+ 2y

d2y

dx2= 2 + 2

a2

b2+ 0 (3.112)

on hem utilitzat que ax + by + c = 0 i per tant a + b dydx = 0 - dy

dx = %ab . Aleshores el punt

(xe, ye) es un mınim doncs d2hdx2

...(xe,ye)

= 2 + 2a2

b2 > 0En aquest cas tambe podem utilitzar arguments geometrics: en aquest cas la distancia

maxima correspon als punts en l’infinit (de fet no hi ha maxim) i el punt estacionari nomespot correspondre a un mınim. Per exemple si y = %x + 1 la distancia mınima es evidentmentd =

'2

2 = 1'2

i que correspon al valor predit d2(xe, ye) = 112+12 = 1

2

3.4.2 Teorema de Lagrange per trobar els extrems condicionats de funcions

escalars

Suposem les seguents condicions:

• f una funcio escalar tal que f # C1 definida en un conjunt obert D . Rn

f : D . Rn ! R

!x ! f(!x) (3.113)


• g1(!x), ...., gm(!x) m funcions scalars tals que !g(!x) = (g1(!x), ...., gm(!x)) # C1 en D (suposemm < n), i definim X0 . D en conjunt de punts on !g s’anul·la

X0 = {!x|!x # D,!g(!x) = !0} (3.114)

(son els punts on es verifiquen les condicions).

• x0 # X0 un extrem de f(!x) quan restringim el seu estudi en X0 (es a dir que existeix unan-bola B(!x0) tal que f(!x) + !f(!x0) o f(!x) ( !f(!x0) &!x # X0 0B(!x0)) i on

$(g1, ..., gm)$(x1, ..., xm)

....!x0

*= 0 (3.115)

aleshores existeixen m numeros reals {"1, ...,"m} que satisfan l’igualtat:

0 = !4f...!x0

+m!

i=1

"i!4gi

...!x0

= !4(f +m!

i=1

"igi)!x0 (3.116)

Veiem doncs que una forma de trobar els extrems de f(!x) quan restringim el seu estudi enX0, es buscar el punts que satisfan la darrera equacio (en realitat son n equacions) i tambe lesm condicions !g(!x0) = !0. Amb aixo tindrem n + m condicions per determinar les n componentsde !x0 i els "k, k = 1..,m.

Aixo es equivalent a buscar els punts estacionaris de F (!x,!") = f(!x) + !" · !g(!x)DEMOSTRACIO. Sigui !x0 un punt on g(!x0) = 0 i #(g1,...,gm)

#(x1,...,xm)

...!x0*= 0. Com #(g1,...,gm)

#(x1,...,xm)

...!x0*= 0

existeixen les m funcions implıcites xk(xm+1, ..., xn), k = 1, ...,m. Aleshores si volem trobar elspunts estacionaris de

z = h(xm+1, ..., xn) = f(x1(xm+1, ..., xn), ..., xm(xm+1, ..., xn), xm+1, ..., xn) (3.117)

hem de fer

0 =dh

dxk=

m!

i=1

$f

$xi

$xi

$xk+$f

$xk,&k = m + 1, ..., n (3.118)

i per altra part per cada condicio

Gj(xm+1, ..., xn) = gj(x1(xm+1, ..., xn), ..., xm(xm+1, ..., xn), xm+1, ..., xn) = 0 (3.119)

obtenim

0 =dGj

dxk=

m!

i=1

$gj

$xi

$xi

$xk+$gj

$xk,&j = 1, ...,m &k = m + 1, ..., n (3.120)

Combinat ambdues equacions per un k donat amb constants "j arbitraries tenim:

0 =2

m!

i=1

$f

$xi

$xi

$xk+$f

$xk

3

+m!

j=1

"j

2m!

i=1

$gj

$xi

$xi

$xk+$gj

$xk

3

-

&

( $f$xk

+m!

j=1

"j$gj

$xk

)

++m!

i=1

&

( $f$xi

+m!

j=1

"j$gj

$xi

)

+ $xi

$xk= 0 (3.121)

Com "j son arbitraries les podem fixar de forma que&

( $f$xi

+m!

j=1

"j$gj

$xi

)

+ = 0 &i = 1,m (3.122)


que sempre te solucio doncs #(g1,...,gm)#(x1,...,xm)

...!x0*= 0, i per tant

&

( $f$xk

+m!

j=1

"j$gj

$xk

)

+ = 0 &k = m + 1, n (3.123)

Resumint$

$xi(f + !" · !g) = 0,&i = 1, n (3.124)

que juntament amb les restriccions !g(!x) = !0 que es podem escriure com

$

$"j(f + !" · !g) = 0 (3.125)

dona el resultat buscat: els punts estacionaris buscats coincideixen amb els estacionaris de lafuncio de variables !x i ": F (!x,!") = f(!x) + !" · !g(!x).

Noteu que es tracta d’una condicio necessaria.EXEMPLE. Comprovem que el punt !xe = (1, 1, 1) es un punt estacionari de la funcio

f(x, y, z) = x2 + y2 % 3xy % z quant la considerem restringida a l’esfera x2 + y2 + z2 = 3 ideterminem que es un mınim.

Determinen si !xe = (1, 1, 1) es estacionari de F (x, y, z,") = f(x, y, z) + "g(x, y, z) = x2 +y2 % 3xy % z + "(x2 + y2 + z2 % 3):

$F

$x= 2x% 3y + 2"x, si

$F

$x

....!xe

= 0- " = 1/2

$F

$y= 2y % 3x + 2"y - $F

$y

....!xe

= 0)

$F

$z= %1 + 2"z - $F

$z

....!xe

= 0)

$F

$"= x2 + y2 + z2 % 3- $F

$"

....!xe

= 0)

(3.126)

i per tant el punt (1, 1, 1) es un punt estacionari. Si ara volem saber la seva natura hauremd’estudiar la Hessiana de la funcio h(x, y) = x2 + y2 % 3xy% z(x, y). Sabem que z(x, y) existeixal voltant del punt !xe = (1, 1, 1) doncs #g

#z

...!xe

= 2z = 2 *= 0. Per calcular les derivades de segonordre d’h :

$h

$x= 2x% 3y % $z

$x$h

$y= 2y % 3x% $z

$y

$2h

$x2= 2% $

2z

$x2

$2h

$y$x= %3% $2z

$y$x

$2h

$y2= 2% $

2z

$y2(3.127)


veiem que necessitem coneixer les derivades de z en el punt !xe. Aixo ho podem fer derivant larestriccio g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 % 3 = 0:

0 =$g

$x= 2x + 2z

$z

$x- $z

$x

....!xe

= %1

0 =$g

$y= 2y + 2z

$z

$y- $z

$y

....!xe

= %1

0 =$2g

$x2= 2 + 2z

$z

$x

$z

$x+ 2z

$2z

$x2- $2z

$x2

.....!xe

= %2

0 =$2g

$y2= 2 + 2z

$z

$y

$z

$y+ 2z

$2z

$y2- $2z

$y2

.....!xe

= %2

0 =$2g

$x$y= 2z

$z

$x

$z

$y+ 2z

$2z

$x$y- $2z

$x$y

.....!xe

= %1

(3.128)

Substituint ara a les derivades de h(x, y)

$2h

$x2

.....!xe

= 4

$2h

$y$x

.....!xe

= 4

$2h

$y2

.....!xe

= %2 (3.129)

la matriu Hessiana de h(x, y) en (1, 1) dona

H =2

4 %2%2 4

3

(3.130)

Veiem que el seu determinat es positiu ! = 12 > 0 i com A = D11h = 4 > 0 estem davant d’unmınim.

De vegades no cal calcular el Hessia. Podem utilitzar el seguent teorema que per exemple en elcas anterior ens permetra assegurar que (1, 1, 1) es un mınim nomes observant que F (0, 0,

)3) =

%)

3 > F (1, 1, 1) = %2.

Teorema de Weierstrass

Sigui f : C . Rn ! R on C es un conjunt compacte (tancat i fitat). Si f es continua enC aleshores f te, en C, valors maxim i mınim absoluts, es a dir, existeixen !x0 i !x!

0 tals quef(!x0) ( f(!x) ( f(!x!

0)&!x # C.EXEMPLE. Trobar els punts on la densitat '(x, y, z) = 2 + xy + z2 assoleix el seus valors

maxim i mınim en l’esfera x2 + y2 + z2 = 4 (nota: aquesta densitat es superficial (g/m2) iper tant els coeficients 2,1,1 dels termes 2, xy i z2, de la densitat, han de tenir les dimensionsadequades, per exemple [2] = g/m2 i els altres g/m4).

Trobem els punts estacionaris de

F (x, y, z,") = '(x, y, z) + "g(x, y, z) = 2 + xy + z2 + "(x2 + y2 + z2 % 4) (3.131)


fent

0 =$F

$x= y + 2"x

0 =$F

$y= x + 2"y

0 =$F

$z= 2z(1 + ")

0 =$F

$"= x2 + y2 + z2 % 4 (3.132)

que te sis solucions:

!x±1 = ±()

2,)

2, 0), !x±2 = ±()

2,%)

2, 0), !x±3 = ±(0, 0, 2) (3.133)

amb densitats'(!x±1) = 4, '(!x±2) = 0, '(!x±3) = 6 (3.134)

Com la superfıcie esferica es un compacte, pel teorema anterior sabem que hem de trobarels seus maxim i mınim absoluts. Per tant ara ja no cal anar a la Hessiana, aquests punts son!x±3 i !x±2 , respectivament.

Una altre forma d’utilitzar el teorema anterior es quant hem de trobar els maxim i mınimabsoluts d’una funcio escalar en un conjunt compacte del tipus D = U 1 $U . Rn, on U es unobert de Rn i $U la seva frontera (un exemple en R3 es D = {!x :

"x2 + y2 + z2 ( 1} es a dir

$U son els punts de la superfıcie esferica de radi unitat i U els seus punts interiors. Aleshoresper trobar els maxim i mınim absoluts en D farem

• localitzar els punts estacionaris de f en U

• utilitzar el metode dels multiplicadors de Lagrange per localitzar els punts estacionaris en$U

• Comparar el valor de f en els punts trobats i seleccionar el mes gran i el mes petit

EXEMPLE. Determinar els maxim i mınim absoluts de f(x, y) = 14x2y2 + 1

16y4 % y en elconjunt compacte D = {(x, y) # R2|x2

4 + y2

16 ( 1}Localitzem primer els punts estacionaris de f(x, y) en el interior de D:

0 =$f

$x=

12xy2

0 =$f

$y=

12x2y +

14y3 % 1 (3.135)

que te com a solucio (0, 41/3). Es facil veure que es un punt interior de D (x2

4 + y2

16 = 0+ 42/3

16 < 1)i si calculem la Hessiana en aquest punt veurem que es un mınim relatiu.

Localitzem ara els punts estacionaris de f(x, y) en la frontera de D buscant els punt estaci-onaris de

F (x, y,") = f(x, y) + "g(x, y) =14x2y2 +

116

y4 % y + "(x2

4+

y2

16% 1) (3.136)


fent

0 =$F

$x=

12xy2 +

"

2x

0 =$F

$y=

12x2y +

14y3 % 1 +

"

8y

0 =$F

$"=

x2

4+

y2

16% 1 (3.137)

que te quatre solucions (0,±4), (±'

634 , 1

2)Calculem ara el valor de f en el punts trobats

f((0, 41/3)) = %1.19

f(0, 4) = 12

f(0,%4) = 20

f()

634

,12) = %1

4

f(%)

634

,12) = %1

4(3.138)

i com D es compacte podem dir que el mınim absolut esta en el punt (0, 41/3) i el maxim absoluten el punt (0,%4). A mes a mes podem afegir que (±

'634 , 1

2 ) son mınims a la frontera.

Capıtol 4

INTEGRACIO DE FUNCIONS DE

DIVERSES VARIABLES

4.1 Recordatori: integracio en R

En moltes aplicacions fısiques estem interessats en, donada un funcio f(x), determinar la queanomenen la seva primitiva F (x) tal que

dF (x)dx

= f(x) (4.1)

Buscar aquesta F (x) consisteix en resoldre el problema ”d’integracio”:

F (x) ==

f(x)dx (4.2)

que defineix F (x) exceptuant una constant additiva C i que te una clara interpretacio geometricaa traves de la ıntegral definida”:

= b

af(x)dx = F (b)% F (a) (4.3)

que sabem dona l’area sota la corba f(x) entre els punts a i b.Una f(x) contınua en [a, b] te les seguents propietats:

•> ba f(x)dx =

> ca f(x)dx +

> bc f(x)dx, &c # [a, b]

• teorema del valor mig:> ba f(x)dx = f(-)(b% a) amb a ( - ( b

• linealitat:> ba

-i "ifi(x)dx =

-i "i> ba fi(x)dx

• si f(x) ( g(x) &x # [a, b] aleshores> ba f(x)dx (

> ba g(x)dx

• desigualtat triangular:...> ba f(x)dx

... (> ba |f(x)| dx

• desigualtat de Cauchy-Schwarz:4> b

a f(x)g(x)dx52(> ba f2(x)dx

> ba g2(x)dx

• Regla de Barrow: La funcio F (x) => xa f(t)dt es precisament una primitiva de f(x), es a

dir que F !(x) = f(x).

62 Chapter 4. INTEGRACIO DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES

Anem a demostrar la darrera propietat utilitzant el teorema del valor mig:

F (x +!x)% F (x) == x+!x

af(t)dt%

= x

af(t)dt =

= x+!x

xf(t)dt = f(-)!x (4.4)

on - # [x, x +!x]. Aleshores

F (x +!x)% F (x)!x

= f(-), - # [x, x +!x]- F !(x) = lim!x#0F (x +!x)% F (x)

!x= f(x)

(4.5)

4.2 Integrals dependents d’un parametre.

Son integrals de funcions que a mes a mes de dependre de la variable, tambe depenen d’unparametre (o mes). Per exemple:

I(() == 1

0

x((x% 1)lnx

dx, ( + 0 (4.6)

Derivacio sota el signe integral: formula de Leibniz.

Suposem que f(x,() i #f#((x,() son contınues respecte de x i de (, amb c ( ( ( d i a ( x ( b.

Sigui

I(() == b

af(x,()dx = F (b,() % F (a,() (4.7)

aleshoresdI

d(=

d

d(

= b

af(x,()dx =

= b

a

$f

$((x,()dx (4.8)

Efectivament

I((+!()% I(() == b

af(x,(+!()dx%

= b

af(x,()dx =

= b

a(f(x,(+!()% f(x,()) dx

== b

a

8$f

$((x,()!( + o(!()

9dx (4.9)

per tant

I((+!()% I(()!(

== b

a

$f

$((x,()dx+o(1) - I !(() = lim!(#0

I((+!()% I(()!(

== b

a

$f

$((x,()dx

(4.10)Tambe podem fer el cas en que els lımits d’integracio tambe depenen d’(

I(() = *(b((), a((),() == b(()

a(()f(x,()dx (4.11)

aleshores aplicant la regla de la cadena tindrem:

dI

d(=$*

$b

db

d(+$*

$a

da

d(+$*

$(

=db

d(

$

$b

= b(()

a(()f(x,()dx +

da

d(

$

$a

= b(()

a(()f(x,()dx +

$

$(

= b(()

a(()f(x,()dx

=db

d(f(b((),() % da

d(f(a((),() +

= b(()

a(()

$f

$((x,()dx (4.12)

4.2 Integrals dependents d’un parametre. 63

que es coneix com formula de LEIBNITZ.EXEMPLE. Si intentem calcular

>(0 e%x sin x

x dx per parts no ens en sortirem. Pero si quepodem intentar fer

>(0 e%x sinax

x dx, doncs si derivem respecte a a eliminarem la molesta x deldenominador i ja podrem fer la integral que ens queda:

I(a) == (

0e%x sin ax

xdx- dI

da== (

0e%x cos(ax)dx (4.13)

La idea es fer aquesta integral per parts (u = cos(ax), dv = e%xdx) i un cop feta integrar elresultat respecte a a per obtenir I(a).= (

0e%x cos(ax)dx = (%e%x) cos(ax)

..(0 %

= (

0(%e%x)(%a sin(ax))dx = 1% a

= (

0e%x sin(ax)dx

(4.14)i fent aquesta darrera integral tambe per parts (u = sin(ax), dv = e%xdx) tenim

= (

0e%x cos(ax)dx = 1% a

8(%e%x) sin(ax)

..(0 %

= (

0(%e%x)(a cos(ax))dx

9

= 1% a2= (

0e%x cos(ax)dx-

= (

0e%x cos(ax)dx =

11 + a2

(4.15)

Per tant, la integral buscada es

I(a) ==

dI

dada =

= 11 + a2

da = tan%1(a) + C (4.16)

El valor de la constant C el podem determinar si coneixem I(a) per algun valor de a, comper exemple a = 0:

I(a = 0) == (

0e%x sin 0x

xdx = 0- tan%1(0) + C = 0- C = 0 (4.17)

Aixı, = (

0e%x sin ax

xdx = tan%1(a),

= (

0e%x sinx

xdx = tan%1(1) =

+

4(4.18)

NOTA. Si suposem que f(x,() i #f#( (x,() son contınues respecte de x i de (, amb c ( ( ( d

i a ( x ( b, aleshores podem bescanviar l’ordre de les integrals i= d

cI(()d( =

= d

c

2= b

af(x,()dx

3

d( == b

a

2= d

cf(x,()d(

3

dx (4.19)

fet que ens permet calcular certes integrals definides com per exemple>(0

e!cx%e!dx

x dx, que noes pot calcular directament i per aixo apliquem el teorema anterior a la funcio f(x,() = e%(x:

= d

c

8= (

0e%(xdx

9d( =

= d

c

8% 1(

e%(x....(

0

9d( =

= d

c

1(

d( = lnd

c(4.20)

per altra part el mateix resultat el podem obtenir canviant l’ordre d’integracio= (

0

2= d

ce%(xd(

3

dx == (

0

2

%1x

e%(x....d

c

3

dx == (

0

e%cx % e%dx

xdx (4.21)

per tant = (

0

e%cx % e%dx

xdx = ln

d

c(4.22)


4.3 Integrals Multiples

En aquesta seccio tractarem l’extensio de la integral per a funcions de diverses variables. Co-mencarem per considerar integrals dobles al tractar funcions de dues variables, primer sobreregions de integracio rectangulars i despres per regions mes generals. Veurem que moltes inte-grals dobles poden ser calculades per integracio unidimensional reiterada.

Despres veurem aplicacions d’aquestes integrals dobles i finalment estendrem el concepte afuncions de numero arbitrari de variables.

4.3.1 Integral doble sobre un rectangle

Donarem una definicio rigurosa de la integral doble com a lımit d’una successio de sumes.Considerem un rectangle tancat A . R2, com el producte cartessia de dos intervals tancats

A = [a, b]$ [c, d]. Definim una ”particio regular”d’ordre n d’A a partir de dos famılies ordenadesde punts {xi} i {yi} amb i = 0, 1, ..., n que satisfan:

a = x0 < x1 < .... < xn = b, c = y0 < y1, ... < yn = d,

xj+1 % xj =b% a

n3 !x, yj+1 % yj =

d% c

n3 !y (4.23)

que defineixen una col·leccio de n$n rectangles Ajk = [xj , xj+1]$ [yk, yk+1] que recobreixen totA: 1jkAjk = A (veure figura 4.1)

Figura 4.1: ”particio regular”d’ordre n d’un rectangle

Suposem uns funcio f : A . D . R2 ! R fitada en el tancat A (vol dir que existeix unM > 0 tal que %M ( f(x) (M, &x # A. NOTA: una funcio contınua en un tancat es fitada).

Sigui !cjk qualsevol punt del rectangle tancat Ajk. S’anomena suma de Riemann

Sn =n%1!

j,k=0

f(!cjk)(xj+1 % xj)(yk+1 % yk) =n%1!

j,k=0

f(!cjk)!x!y =n%1!

j,k=0

f(!cjk)!A (4.24)

on !A = !x!y es precisament la mesura de l’area de qualsevol rectangle Ajk.

4.3 Integrals Multiples 65

Integral de Riemann en un rectangle

Si la successio {Sn} construıda quant anem augmentant n, convergeix cap a un lımit S quantn ! " independent de qualsevol eleccio dels punts !cjk en els rectangles Ajk, aleshores diremque f es integrable Riemann en el rectangle A i escriurem:

S == =

Af(x, y)dxdy (4.25)

en altres paraules

limn#(Sn = limn#(

n%1!

j,k=0

f(!cjk)!x!y = S == =

Af(x, y)dxdy (4.26)

Significat geometric

Si f(x, y) + 0 en tot A, l’existencia del lımit te un significat geometric inmediat. Si esco-llim !cmin

kj (!cmaxkj ) com el punt de Ajk on f(x, y) pren el seu valor mınim (maxim), aleshores

f(!cminkj )!x!y(f(!cmax

kj )!x!y) representa el volum de la capsa rectangular inscrita (circumscri-ta) per z = f(x, y) i amb base Ajk com es mostra a la figura 4.2

Figura 4.2: Capsa de integracio

Aleshores Ln =-n%1

j,k=0 f(!cminjk )!x!y representara en volum del solid inscrit entre la suferfıcie

z = f(x, y) i el rectangle A. De la mateixa manera Un =-n%1

j,k=0 f(!cmaxjk )!x!y representara en

volum del solid circumscrit. Es evident que es verifica Ln ( Sn ( Un.Si el lımit de Sn existeix, com es independent de la forma que escollim !ckj, aleshores s’ha de

complirlimn#(Ln = limn#(Un = limn#(Sn = S (4.27)

i direm que f es integrable Riemann

Integrabilitat Riemann per funcions no contınues

Pot existir la integral Rieman per funcions que no siguin contınues, sempre i quant:


• la funcio sigui fitada

• Els punts de discontinuıtat de la funcio formen un conjunt de mesura nul·la en R2

DEFINICIO. Sigui O . R2 un conjunt fitat. Direm que es de mesura nul·la si &%,' unconjunt finit de rectangles An tals que 1nAn 8 O i

-n area(An) ( %

Per exemple formen conjunt de mesura nul·la:

• un conjunt de punts finit o numerable (doncs &% puc trobar un conjunt de rectanglesinfinitesimals que recobreixin els punts i que la suma de les seves arees sigui menor que el% donat).

• Qualsevol funcio/grafica de D . R! R contınua i fitada

• la reunio d’un nombre finit de conjunts de mesura nul·la

• qualsevol subconjunt d’un conjunt de mesura nul·la

Teorema.

Si f(x, y) es fitada en A = [a, b]$ [c, d] i el conjunt de discontinuıtats de f en A te mesura nul·laaleshores existeix la integral doble de la funcio

> >A f(x, y)dxdy

Propietats de les funcions integrables

De la definicio de la integral com a lımit de sumes i dels teoremes sobre lımits que veurem enel proper capıtol, podem deduir algunes propietats fonamentals de la integral doble que sonessencialment les de la integral d’una funcio d’una variable.

Siguin f i g funcions integrables sobre el rectangle A, aleshores f+g i cf tambe son integrablesen A i es verifica:

• Linealitat:= =

A(f(x, y) + g(x, y)) dxdy =

= =

Af(x, y)dxdy +

= =

Ag(x, y)dxdy (4.28)

• Homogeneıtat: = =

Acf(x, y)dxdy = c

= =

Af(x, y)dxdy (4.29)

• Monotonıa:

si f(x, y) + g(x, y)-= =

Af(x, y)dxdy +

= =

Ag(x, y)dxdy (4.30)

• Additivitat: Siguin Ai, i = 1, ..., n rectangles que no tenen punts interiors en comu (inte-riors disjunts dos a dos). Si f es integrable sobre cada Ai, aleshores f es integrable enQ = 1iAi i = =

Qf(x, y)dxdy =

n!

i

= =

Ai

f(x, y)dxdy (4.31)


• ....

= =

Af(x, y)dxdy

.... (= =

A|f(x, y)|dxdy (4.32)

Aquestes propietats es demostren facilment tenint en compte la definicio de la integral com ellımit d’una successio de sumes i els teoremes de lımits. Per exemple la darrera propietat, sabemque %|f | ( f ( |f | i per tant

= =

A(%|f(x, y)|)dxdy (

= =

Af(x, y)dxdy (

= =

A|f(x, y)|dxdy

- %= =

A|f(x, y)|dxdy (

= =

Af(x, y)dxdy (

= =

A|f(x, y)|dxdy

-....= =

Af(x, y)dxdy

.... (= =

A|f(x, y)|dxdy (4.33)

Integrals iterades

Fins ara hem parlat de l’existencia de la integral doble sense calcular-la. Ara veurem que unaintegral doble sobre un rectangle es pot reduır frequentment a fer integrals simples iterades.

TEOREMA de FUBINI: Sigui f(x, y) contınua en A = [a, b]$ [c, d] aleshores

= =

Af(x, y)dxdy =

= b

a

2= d

cf(x, y)dy

3

dx == d

c

2= b

af(x, y)dx

3

dy (4.34)

Demostrarem primer> >

A f(x, y)dxdy => ba

4> dc f(x, y)dy

5dx.

Sigui c = y0 < y1, ... < yn = d una particio de [c, d] en n parts iguals. Podem descomposarla integral F (x) =

> dc f(x, y)dy en suma de integrals

F (x) == d

cf(x, y)dy =

n%1!

k=0

= yk+1

yk

f(x, y)dy =n%1!

k=0

f(x, yk(x))(yk+1 % yk) (4.35)

on hem fet us del teorema del valor mig i yk < yk(x) < yk+1. Aquesta expressio es valida perqualsevol n i per tant per n!".

Sigui a = x0 < x1, ... < xn = b una particio de [a, b] en n parts iguals. Podem descomposarla integral

> ba F (x)dx tambe en suma de integrals

= b

aF (x)dx =

n%1!

k=0

= xk+1

xk

F (x)dx =n%1!

k=0

F (pk)(xk+1 % xk) (4.36)

on hem fet us del teorema del valor mig i xk < pk < xk+1.Aquesta expressio es valida perqualsevol n i per tant per n!".

Per tant= b

a

2= d

cf(x, y)dy

3

dx == b

aF (x)dx =

n%1!

j=0

F (pj)(xj+1%xj) =n%1!

j=0

2n%1!

k=0

f(pj, yk(pj))(yk+1 % yk)3

(xj+1%xj)

(4.37)denotant !cjk = (pj , yk(pj)) i agafant el cas n!" podem escriure

= b

a

2= d

cf(x, y)dy

3

dx = limn#(

n%1!

j,k=0

f(!cjk)!x!y == =

Af(x, y)dxdy (4.38)


Figura 4.3: Integrals-reiterades

De forma analoga arribarem a demostrar que> >

A f(x, y)dxdy => dc

4> ba f(x, y)dx

5dy. La

figura 4.3 mostre el concepte de fer integrals-reiterades i la seva igualtat.Aquest teorema es pot ampliar a funcions fitades amb discontinuıtats, sempre i quant aques-

tes formin un conjunt de mesura nul·la a R2.EXEMPLE. Calculem

> >A(x2 + y)dxdy on A = [0, 1] $ [0, 1]

= =

A(x2+y)dxdy =

= 1

0dy= 1

0dx(x2+y) =

= 1

0dy (

x3

3+ yx)

.....

1

0

== 1

0dy(

13+y) =

y

3+

y2

2

.....

1

0

=13+

12

=56

(4.39)Igualment haguessim pogut fer

= =

A(x2+y)dxdy =

= 1

0dx= 1

0dy(x2+y) =

= 1

0dx (x2y +

y2

2)

.....

1

0

== 1

0dy(x2+

12) =

x3

3+

x

2

.....

1

0

=13+

12

=56

(4.40)

4.3.2 Integrals dobles en regions generals

Regions elementals

• Regio y-simple

Suposem que tenim dos funcions reals contınues

*1(x) : [a, b]! R

*2(x) : [a, b]! R (4.41)

tals que satisfan *1(x) ( *2(x) &x # [a, b]. Sigui D el conjunt de punts (x, y) tals quex # [a, b] i *1(x) ( y ( *2(x). En aquest cas la regio D se l’anomena y % simple queindica que indica es pot descriure d’una forma senzilla expressant y en funcio de x. Lescorbes i segments rectilinis que delimiten la regio son la frontera de D($D). Exemples dey-regions es mostren a la figura 4.4 on les Ci, i = 1, .., 4 son la frontera de D.


Figura 4.4: Exemples de regions y-simple

• Regio x-simple

Direm que un regio es x-simple si existeixen dos funcions reals contınues

.1(y) : [c, d]! R

.2(y) : [c, d]! R (4.42)

tals que satisfan .1(y) ( .2(y) &y # [c, d]. Sigui D el conjunt de punts (x, y) tals quey # [c, d] i .1(y) ( x ( .2(y). En aquest cas la regio D se l’anomena x%simple que indicaque indica es pot descriure d’una forma senzilla expressant x en funcio de y.Les corbes isegments rectilinis que delimiten la regio son la frontera de D($D). Exemples de x-regiones mostren a la figura 4.5.

Figura 4.5: Exemples de regions x-simple

• Regio simple

Finalment una regio simple es aquella que es a la vegada x-simple i y-simple. Un exemplees el cercle unitat com es veu en la figura 4.6.


Figura 4.6: Exemples de regio simple

Tambe ens referirem a tots aquests tipus de regions com a ”regions elementals”. Notemque els punts frontera ($D) formen un conjunt de mesura nul·la. Exemples de ”regions elemen-talsı d’altres que no ho son es veuen en la figura 4.7.

Figura 4.7: Exemples de regions elementals i d’altres que no ho son

Integral sobre una regio elemental

Sigui D una regio elemental i A un rectangle que conte a D (D . A). Donada una funciocontınua f : D . R! R, definim

= =

Df(x, y)dxdy =

= =

Af$(x, y)dxdy, on f$(x, y) =

1f(x, y) si (x, y) # D

0 si (x, y) # (A%D)(4.43)

Ara be, f$(x, y) es fitada i contınua excepte en les punts de la frontera de D($D) que formenun conjunt demesura nul·la. Per tant la integral

> >A f$(x, y)dxdy existeix i es pot calcular en


termes d’integrals reiterades:

= =

Df(x, y)dxdy =

= =

Af$(x, y)dxdy =

= b

a

2= d

cf(x, y)dy

3

dx == d

c

2= b

af(x, y)dx

3

dy

(4.44)Suposem ara el cas en que D sigui una regio y-simple, aleshores mantenint x fixe, la funcio

f$(x, y) val

f$(x, y) =1

0 si y < *1(x) o y > *2(x)f(x, y) resta

(4.45)

i per tant podem posar

= =

Df(x, y)dxdy =

= =

Af$(x, y)dxdy =

= b

a

2= d

cf$(x, y)dy

3

dx

== b

a

2= $2(x)

$1(x)f(x, y)dy

3

dx == b

adx= $2(x)

$1(x)f(x, y)dy (4.46)

El metode per tractar regions x-simples es totalment analeg i per tant:

= =

Df(x, y)dxdy =

= =

Af$(x, y)dxdy =

= d

c

2= b

af$(x, y)dx

3

dy

== d

c

2= )2(y)

)1(y)f(x, y)dx

3

dy == d

cdy= )2(y)

)1(y)f(x, y)dx (4.47)

Si D es una regio simple, com es alhora x-simple i y-simple, es pot expressar com el conjuntde punts que verifiquen:

a ( x ( b *1(x) ( y ( *2(x)

o be

c ( y ( d .1(y) ( x ( .2(y) (4.48)

i per tant= =

Df(x, y)dxdy =

= =

Af$(x, y)dxdy =

= b

adx= $2(x)

$1(x)f(x, y)dy =

= d

cdy= )2(y)

)1(y)f(x, y)dx

(4.49)NOTA. Nomes en el cas de que la regio elemental sigui simple poden canviar l’ordre d’integracio.

EXEMPLE. Una primera aplicacio directa es la del calcul de l’area d’una regio D tans solsposant f(x, y) = 1. Per exemple calculem l’area d’un quart de circle que es una regio simpledefinida per

0 ( x ( r 0 ( y ("

r2 % x2

o be

0 ( y ( r 0 ( x (,

r2 % y2 (4.50)

aleshores

area == r

0dx= '

r2%x2

0dy =

= r

0

"r2 % x2dx = ... =

+

4r2 (4.51)


Per fer aquesta integral podem fer x = r cos t, dx = %r sin tdt

= r

0

"r2 % x2dx = %

= 0

%/2r2 sin2 tdt = r2

= %/2

0

1% cos 2t2

=r2

2(t% 1

2sin 2t)

....%/2

0=

r2

2+

2(4.52)

Per tant l’area d’un circle es +r2.Geometricament esta clar que> r0

)r2 % x2dx es el diferencial

d’area del rectangle de base dx i alcada)

r2 % x2 i el que estem fent es sumant tots aquestsrectangles.

EXEMPLE.Una altre aplicacio practica es el calcul de volums. Per exemple calculem elvolum d’un octau d’esfera utilitzant con a regio simple definida per

0 ( x ( r 0 ( y ("

r2 % x2

o be

0 ( y ( r 0 ( x (,

r2 % y2 (4.53)

i z = f(x, y) ="

r2 % x2 % y2. Aleshores

V == r

0dx= '

r2%x2

0

,r2 % x2 % y2dy =

= r

0dx+

4(r2%x2) =

+

4(r2x% x3

3)

.....

r

0

=+

4(r3%r3

3) =+

42r3

3(4.54)

i per tant el volum d’una esfera es 43+r

3. Geometricament esta clar que dx%4 (r2 % x2) es el

diferencial de volum d’una figura feta per un quart de circle de radi)

r2 % x2 i gruix dx, i elque estem fent es sumant tots aquests volums.

Teorema del valor mig

Si f : D . R ! R es contınua i D es una regio simple (o elemental), aleshores, per algun punt(x0, y0) # D es verifica:

= =

Df(x, y)dxdy = f(x0, y0)$Area(D) (4.55)

No farem una demostracio rigorosa. Com f(x, y) es contınua sobre un domini tancat, hi prenel seu valor mınim(m) i maxim(M). Per tant com m ( f(x, y) (M&!x # D, tenim= =

Dmdxdy (

= =

Df(x, y)dxdy (

= =

DMdxdy

- m$Area(D) (= =

Df(x, y)dxdy (M $Area(D)

- m ( 1Area(D)

= =

Df(x, y)dxdy (M (4.56)

Com f(x, y) es contınua pendra tots els valors compresos entre m i M en D. Per tant ha d’existircom a mınim un punt (x0, y0) tal que

f(x0, y0) =1

Area(D)

= =

Df(x, y)dxdy (4.57)

4.4 Integrals triples. 73

4.4 Integrals triples.

Tots els conceptes introduıts en les seccions anteriors es poden ampliar facilment a integralsescalars sobre regions-dimensionals. Si f : D . Rn ! R es denota la integral n-dimensional enS com = =

...=

Sf(x1, ..., xn)dx1...dxn =

=

Sf(!x)d!x (4.58)

Comencarem pels cas 3-dimensional que te moltes aplicacions practiques.

4.4.1 Integral triple en un rectangle

Donarem una definicio rigorosa de la integral triple com a lımit d’una successio de sumes.Considerem un capsa tancada A . R3, com el producte cartessia de tres intervals tancats

A = [a, b] $ [c, d] $ [p, q]. Definim una ”particio regular”d’ordre n d’A a partir de tres famıliesordenades de punts {xi}, {yi} i {zi} amb i = 0, 1, ..., n que satisfan:

a = x0 < x1 < .... < xn = b, c = y0 < y1, ... < yn = d, p = z0 < z1, ... < zn = q,

xj+1 % xj =b% a

n3 !x, yj+1 % yj =

d% c

n3 !y, zj+1 % zj =

q % p

n3 !z (4.59)

que defineixen una col·leccio de n$n$n paral·lelepıpedes Aijk = [xi, xi+1]$ [yj, yj+1]$ [zk, zk+1]que recobreixen tot A: 1ijkAijk = A.

Suposem uns funcio f : A . D . R3 ! R fitada en el tancat A (vol dir que existeix unM > 0 tal que %M ( f(x) (M, &x # A. NOTA: una funcio contınua en un tancat es fitada).

Sigui !cijk qualsevol punt de la capsa tancada Aijk. S’anomena suma de Riemann

Sn =n%1!

i,j,k=0

f(!cijk)!x!y!z =n%1!

i,j,k=0

f(!cijk)!V (4.60)

on !V = !x!y!z es precisament la mesura del volum de qualsevol capsa Aijk.Si la successio {Sn} construıda quant anem augmentant n, convergeix cap a un lımit S quant

n!" independent de qualsevol eleccio dels punts !cijk en les capses Aijk, aleshores direm quef es integrable Riemman en el rectangle A i escriurem:

S == = =

Af(x, y, z)dxdydz (4.61)

en altres paraules

limn#(Sn = limn#(

n%1!

i,j,k=0

f(!cijk)!x!y!Z = S == =

Af(x, y, z)dxdydz (4.62)

Condicions de integrabilitat

Si la funcio es contınua en A o be es fitada i nomes presenta discontinuıtat en un conjunt depunts de mesura nul·la, aleshores f es integrable en A

Un conjunt S es de mesura nul·la a R3 si &% > 0' un conjunt finit d’intervals 3-dimensionals(capses) {Bi}tals que

1. S . 1mi=1Bi

2.-m

i=1 V olum(Bi) < %


Integrals iterades

Si la funcio es contınua o be es fitada i nomes presenta discontinuıtat en un conjunt de punts demesura nul·la en A = [a, b]$ [c, d] $ [p, q] aleshores

=

Af(x, y, z)dxdydz =

= b

a

= d

c

= q

pf(x, y, z)dxdydz

== b

adx= d

cdy= q

pf(x, y, z)dz =

= b

adx= q

pdz= d

cf(x, y, z)dy

== d

cdy= b

adx= q

pf(x, y, z)dz =

= d

cdy= q

pdz= b

af(x, y, z)dx

== q

pdz= b

adx= d

cf(x, y, z)dy =

= q

pdz= d

cdy= b

af(x, y, z)dx (4.63)

Integrals triples sobre regions elementals

Una regio elemental en R3 es aquella en que una de les variables, per exemple z, esta entre dosfuncions de les altres dues variables (exmple u1(x, y), u2(x, y)) on els dominis d’aquestes funcionsformen una regio elemental en R2 (es a dir y-simple o x-simple ambdues). Exemples de ”regionselementals”es veuen en la figura 4.8.

Figura 4.8: Exemples de regions elementals en R3

La integral triple d’una funcio sobre una regio elemental de R3 es pot expressar com unesintegrals iterades per a les que els lımits de integracio son funcions. Les demostracions es podenfer de forma similar a la demostracio que hem fet per integrals dobles i evidentment segons siguila forma de la regio elemental en dependra l’ordre de integracio.

Per exemple si la regio pot definir-se com (cas 1 de la figura 4.8) :

a ( x ( b

*1(x) ( y ( *2(x)u1(x, y) ( z ( u2(x, y)

-= = =

Wf(x, y, z)dxdydz =

= b

adx= $2(x)

$1(x)dy= u2(x,y)

u1(x,y)f(x, y, z)dz

(4.64)

4.5 Canvi de variables. 75

Per exemple si la regio pot definir-se com (cas 1 de la figura 4.8):

c ( y ( d

.1(y) ( x ( .2(y)u1(x, y) ( z ( u2(x, y)

-= = =

Wf(x, y, z)dxdydz =

= d

cdy= )2(y)

)1(y)dx= u2(x,y)

u1(x,y)f(x, y, z)dz

(4.65)Per exemple si la regio pot definir-se com (cas 2 de la figura 4.8):

c ( y ( d

.1(y) ( z ( .2(y)u1(y, z) ( x ( u2(y, z)

-= = =

Wf(x, y, z)dxdydz =

= d

cdy= )2(y)

)1(y)dz= u2(y,z)

u1(y,z)f(x, y, z)dx

(4.66)EXEMPLE. Calculem el volum de l’esfera de radi R considerant la integral triple de f(x, y, z) =

1 en la regio elemental de la esfera que la podem expressar com

%R ( x ( R

%)

R2 % x2 ( y ()

R2 % x2

%"

R2 % x2 % y2 ( z ("

R2 % x2 % y2

(4.67)

Per tant

V == = =

W1dxdydz =

= R

%Rdx= '

R2%x2

%'

R2%x2dy= )R2%x2%y2

%)

R2%x2%y2f(x, y, z)dz

= 2= R

%Rdx= '

R2%x2

%'

R2%x2

,R2 % x2 % y2dy = 2

= R

%Rdx(R2 % x2)

+

2= + (R2x% x3

3)

.....

R

%R

= 2+(R3 % R3

3) =

43+R3 (4.68)

4.5 Canvi de variables.

En integracio de funcions reals, si fem el canvi de variables x = g(t), tenim= b

af(x)dx =

= tb

taf(g(t))g!(t)dt (4.69)

amb a = g(ta) i b = g(tb)Aquest canvi es valid si f es contınua en [a, b], g es C1 en [ta, tb]. A mes a mes si g!(t) no

s’anulcdotla en [a, b] aleshores es verifica que o be g!(t) > 0 o be g!(t) < 0 en tot l’interval [ta, tb]i per tant la funcio x = g(t) es un a un”. En ambdos casos podem escriure la integral d’unaforma unificada de la seguent manera.

Si g!(t) > 0 la funcio es creixent i ta < tb doncs a < b. Aleshores= b

af(x)dx =

= tb

taf(g(t))g!(t)dt =

= tb

taf(g(t))|g!(t)|dt (4.70)

Si g!(t) < 0 la funcio es decreixent i tb < ta doncs a < b. Aleshores= b

af(x)dx =

= tb

taf(g(t))g!(t)dt = %

= tb

taf(g(t))|g!(t)|dt =

= ta

tbf(g(t))|g!(t)|dt (4.71)


i les dues expressions s’unifiquen posant= b

af(x)dx =

=

D+f(g(t))|g!(t)|dt (4.72)

on D+nomes vol indicar l’ordre natural de integracio (de menor a major). Aquesta expressio espot generalitzar a integrals dobles, triples i qualsevol n-dimensional.

Cas Doble

Sabem que per funcions reals> ba f(x)dx *=

> tbta

f(g(t))dt doncs la transformacio x = g(t) distorsi-ona clarament la relacio que hi ha entre dx i dt. Aixo tambe passa en integrals dobles. Suposemun canvi general en R2

!* : S . R2 ! R2

(u, v) ! !r = (x(u, v), y(u, v)) (4.73)

(un exemple poden ser el canvi a polars, x(r, #) = r cos #, y(r, #) = r sin #). Aleshores=

Df(x, y)dxdy *=

=

D"f(x(u, v), y(u, v))duddv (4.74)

doncs la mesura de l’area dA en el pla x-y no ve donada per dA = dudv.Per exemple, si calculem la integral doble de la funcio unitat en D sent el circle de radi unitat

tindrem =

Df(x, y)dxdy =

=

D1dxdy = +12 = + (4.75)

Si ara fem el canvi a polars, la nova regio de integracio, D$, en les noves variable polars, sera elrectangle determinat per 0 ( r ( 1 i 0 ( # ( 2+. Si ara calculem

=

D"f(x(r, #), y(r#))drd# =

=

D"1drd# = 1$ 2+ = 2+ (4.76)

que no dona el valor + esperat doncs ens falta l’equivalent a |g!(t)| que apareixia per a funcionsreals.

Com es veu en la figura 4.9 un dA$ = dudv va a parar a un altre dA en el pla x-y i que esprecisament aquest el que haurem d’utilitzar quant fem la integral

>D f(x, y)dxdy.

Com , !a$!b , dona l’area del paral·lalepipet que els dos vectors determinen, el dA que estembuscant (figura 4.9) sera l’area de la superfıcie parametritzada delimitada pels vectors

d!ru =$!r

$udu

d!rv =$!r

$vdv (4.77)

sera dA =, #!r#u $

#!r#v , dvdu

Resultat que tambe podem obtenir a partir del diferencial de la funcio:

d!r(d!u) = (D!*)(d!u) =2

#x#u

#x#v

#y#u

#y#v

32du

dv

3

(4.78)


Figura 4.9: Distorsio de l’area

i per tant podem definir

d!ru = d!r(du, 0) =$!r

$udu

d!rv = d!r(0, dv) =$!r

$vdv (4.79)

que son els mateixos obtinguts anteriorment.Com

$!r

$u$ $!r$v

=

.......

i j k#x#u

#y#u 0

#x#v

#y#v 0

.......=$(x, y)$(u, v)

k (4.80)

tenim que

dA =, $!r$u$ $!r$v, dudv =

?8$(x, y)$(u, v)

92

dudv =....$(x, y)$(u, v)

.... dudv (4.81)

Per tant =

Df(x, y)dxdy =

=

D"f(x(u, v), y(u, v))

....$(x, y)$(u, v)

.... dudv (4.82)

Evidentment cal que la funcio !* de canvi de coordenades sigui de classe C1 per poder procediral desenvolupament de Taylor. Tambe ha de ser J *= 0. Aquesta formula tambe s’aplica si latransformacio de coordenades no es un a un”en alguns punts, o si el jacobia s’anul·la, sempre iquant aquest punts conflictius”formin un conjunt de mesura nul·la.


EXEMPLE. Coordenades Polars.

!f : S . R2 ! R2

(r, #) ! (x = r cos #, y = r sin #) (4.83)

on S = {(r, #); r > 0, 0 ( # < 2+}La jacobiana de la transformacio ja hem vist #(x,y)

#(r,&) = r i per tant el dA = rdrd# com es potveure en figura 4.10

Figura 4.10: Distorsio de l’area per polars

EXEMPLE. Calcular>(%( e%(x2 . Per aixo calcularem primer

I == =

Da

e%((x2+y2)dxdy (4.84)

onDa es el disc centrat a l’origen i de radi a. Ho podem intentar fer en cartesianes

I == a

%adxe%(x2

= 'a2%x2

%'

a2%x2dye%(y2

(4.85)

pero si ara canviem a polars es molt mes simple

I == 2%

0

= a

0e%(r2

rdrd# == 2%

0d#= a

0e%(r2

rdr = 2+%12(

e%(r2...a

0= %+

((e%(a2 % 1) (4.86)

que podem fer el lımit quant a!" i tindrem

+

(== =

R2e%((x2+y2)dxdy =

= (

%(

= (

%(e%((x2+y2)dxdy =

= (

%(e%(x2

dx= (

%(e%(y2dy (4.87)

i per tant= (

%(e%(x2

=@+

((4.88)


Cas triple

Suposem un canvi general en R3

!* : S . R3 ! R3

(u, v,w) ! !r = (x(u, v,w), y(u, v,w), z(u, v, w)) (4.89)

(un exemple poden ser el canvi a esferiques). Aleshores=

Df(x, y, z)dxdydz *=

=

D"f(x(u, v,w), y(u, v,w), z(x, y, z))duddvdw (4.90)

doncs la mesura del volum dV en l’espai x-y-z no ve donada per dV = dudvdw.Com | !a · (!b$!c) | dona el volum de la capsa que els tres vectors determinen, el dV que estem

buscant (veure figura 4.11) sera el volum de la capsa delimitada pels vectors

d!ru =$!r

$udu

d!rv =$!r

$vdv

d!rw =$!r

$wdw (4.91)

sera dV =| #!r#u ·4#!r#v $

#!r#w

5| dvdudw

Figura 4.11: Distorsio de l’area


d!r(d!u) = (D!*)(d!u) =

&

'(

#x#u

#x#v

#x#w

#y#u

#y#v

#y#w

#z#u

#z#v

#z#w

)

*+

&

'(du

dv

dw

)

*+ (4.92)


d!ru = d!r(du, 0, 0) =$!r

$udu

d!rv = d!r(0, dv, 0) =$!r

$vdv

d!rw = d!r(0, 0, dw) =$!r

$wdw (4.93)


que son els mateixos obtinguts anteriorment.Com

|$!r$u

·8$!r

$v$ $!r$w

9| = abs(

.......

#x#u

#y#u

#z#u

#x#v

#y#v

#z#v

#x#w

#y#z

#z#w

.......) =....$(x, y, z)$(u, v,w)

.... (4.94)

tenim que

dV =| $!r$u

·8$!r

$v$ $!r$w

9| dudvdw =

....$(x, y, z)$(u, v,w)

.... dudvdw (4.95)

Per tant=

Df(x, y, z)dxdy =

=

D"f(x(u, v,w), y(u, v,w), z(u, v,w))

....$(x, y, z)$(u, v,w)

.... dudvdw (4.96)

Evidenment cal quela funcio !* de canvi de coordenades sigui de classe C1 per poder procediral desenvolupament de Taylor. Tambe ha de ser J *= 0. Aquesta formula tambe s’aplica si latransformacio de coordenades no es un a un”en alguns punts, o si el jacobia s’anul·la, sempre iquant aquest punts conflictius”formin un conjunt de mesura nul·la.

EXEMPLE. Coordenades Esferiques

!f : S . R3 ! R3

(r, #,,) ! (x = r sin # cos,, y = r sin # sin,, z = r cos #) (4.97)

on S = {(r, #,,); r > 0, 0 ( # < +, 0 ( , < 2+}La jacobiana de la transformacio ja hem vist #(x,y,z)

#(r,&,') = r2 sin # i per tant el dV = r2dr sin #d#d,com es pot veure en figura 4.12

Figura 4.12: Distorsio del volum per esferiques

EXEMPLE. Calcular el volum de l’el·lipsoide x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ( 1.

V == = =

x2

a2 + y2

b2+ z2

c2)1

1dxdydz == a

%adx= b

,1%x2

a2

%b

,1%x2

a2

dy= c

,1%x2

a2 %y2

b2

%c

,1%x2

a2 %y2

b2

dz (4.98)


Podem fer un primer canvi de variables

x! =x

a, y! =

y

b, z! =

z

c,- $(x, y, z)

(x!, y!, z!)=

.......

a 0 00 b 00 0 c

.......= abc (4.99)

aleshores V = abc> > >

x2+y2+z2)1 dxdydz que es el volum d’una esfera de radi 1 i que la podemcalcular en esferiques:

V = abd= 2%

0d,= %

0d# sin #

= 1

0r2dr = abd2+2

13

=43+abc (4.100)

Capıtol 5

SUCCESSIONS i SERIES

5.1 Successions numeriques

Anomenarem successio numerica a una col·leccio infinita numerable de punts de C: {an;n =1, 2, ...,"}.

EXEMPLE. Si an = 1/n la col·leccio de punts es {1, 12 , 1

3 , ....}

5.1.1 Convergencia

Direm que una successio numerica es convergent si existeix un punt p # C que verifiqui:

&% > 0 'N (natural) tal que |an % p| < %, &n + N (5.1)

En aquest cas escriuremlimn#(an = p (5.2)

i direm que es el lımit de la successio {an}. Una successio no convergent li direm divergent.EXEMPLE. La successio que te com a terme general an = 1/n, te lımit 0 doncs

&% > 0 'N (natural) >1%

tal que |an % 0| = | 1n| < %, &n + N (5.3)

EXEMPLE. La successio que te com a terme general an = n, no te lımit.

5.1.2 Successions de Cauchy

Una successio numerica {an} direm que es una successio de Cauchy si satisfa la condicio deCauchy:

&% > 0 'N (natural) tal que |an % am| < %, &n,m + N (5.4)

Teorema: tota successio convergent es de Cauchy

Sigui limn#(an = p, aleshores

&% > 0 'N (natural) tal que |an % p| < %/2, |am % p| < %/2 &n,m + N (5.5)

84 Chapter 5. SUCCESSIONS i SERIES

i per tant

|an % am| = |(an % p)% (am % p)| ( |(an % p)| + |(am % p)| < %, &n,m + N (5.6)

que es el que volem demostrar

Teorema: tota successio de Cauchy es convergent

Si hi ha un numero infinit de an iguals esta clar que {an} convergeix cap aquest valor. Per tantconsiderem nomes el cas on hi ha un numero infinit de punts an diferents. Com es de Cauchy&% > 0'M tal que |an % aM | < %, &n + M i per tant ha d’existir un punt d’acumulacio en elcercle de radi % al voltant de aM (nomes pot ser un doncs si en hi haguessin dos no podria serde Cauchy). Sigui p aquest punt d’acumulacio. Aleshores per una banda &% > 0 'N tal que|an% am| < %/2, &n,m + N i per altra com p es l’unic punt d’acumulacio sempre podem trobarun punt am amb m > N tal que |am % p| < %/2. Per tant

|an % p| (| an % am| + |am % p| < %/2 + %/2 = % (5.7)

com voliem demostrar.Es pot provar amb facilitat que:

• Tota successio convergent esta fitada i per tant tota successio no fitada es divergent

• Si una successio convergeix cap a p, qualsevol sub-successio de la primera tambe convergeixcap a p.

5.1.3 Successions reals divergents cap a ±"

• Una successio de numeros reals direm que divergeix cap a infinit i escriurem limn#(an =+" si

& M > 0'N tal que an > M,&n > N (5.8)

• Igualment un successio de numeros reals direm que limn#(an = %" si

& M < 0'N tal que an < M,&n > N (5.9)

5.1.4 Lımits superior i inferior

Limit superior

Direm que U es lımit superior de la successio {an} de nombres reals si

• &% > 0'N tal que an < U + %, &n > N

• i &% > 0,&M > 0, ' com a mınim un n > M tal que an > U % %

La primera condicio ens diu que a partir d’un cert terme (aN ) TOTS han d’estar a l’esquerra deU + %, mentre que la segona condicio indica hi han d’haver infinits termes a la dreta de U % %.En altres paraules. per a que U sigui lımit superior hi ha d’haver infinits punts a la dreta deU % % i finits a la dreta de U + %

Aquest lımit el designarem per

U = limn#(sup an (5.10)

5.1 Successions numeriques 85

Limit inferior

Direm que V es lımit inferior de la successio {an} de nombres reals si

• &% > 0'N tal que an > V % %, &n > N

• i &% > 0,&M > 0, ' com a mınim un n > M tal que an < V + %

La primera condicio ens diu que a partir d’un cert terme (aN ) TOTS han d’estar a dreta deV % %, mentre que la segona condicio indica hi han d’haver infinits termes a l’esquerra de V + %.En altres paraules. per a que V sigui in lımit inferior hi ha d’haver infinits punts a l’esquerra deV + % i finits a l’esquerra de V % %

Aquest lımit el designarem per

V = limn#(inf an (5.11)

Evidentment en una successio de nombres reals convergent es compleix que:

limn#(an = limn#(sup an = limn#(inf an (5.12)

Una successio de nombres reals tal que limn#(sup an *= limn#(inf an direm que esoscil·lant.

EXEMPLE. Considerem la successio de terme general an = (%1)n(1 + 1n), intuıtivament

veiem que es oscil·lant amb lımit superior 1 i inferior -1.Efectivament +1 es lımit superior doncs

• &% > 0'N > 1* tal que (%1)n(1 + 1

n) < 1 + %, &n > N

• i &% > 0,&M > 0, ' com a mınim un n > max(M, 1* ) tal que a2n > 1% %

es a dir hi ha infinits termes a la dreta de 1% % pero finits a la dreta de 1 + %Igualment es pot veure que -1 es lımit inferior.

5.1.5 Successions monotones

• Una successio de nombres reals direm que es creixent i ho escriurem com an 9 si an (an+1 &n

• Una successio de nombres reals direm que es decreixent i ho escriurem com an : sian + an+1 &n

Una successio s’anomena monotona si es creixent o decreixent.TEOREMA. Una successio monotona es convergent si i nomes si esta fitada. Per aixo nomes

cal tenir en compte que

• si an 9 aleshores limn#(an = sup{an;n = 1, 2, 3...}

• si an : aleshores limn#(an = inf{an;n = 1, 2, 3...}


5.2 Series numeriques.

El cas particular de successions on el terme general es una suma parcial sn =-n

i=1 ai, lesanomenarem series.

EXEMPLE. Si el terme general es sn =-n

i=11i , la successio {1, 1+ 1

2 , 1+ 12+ 1

3 , ....} l’anomenenserie.

Una serie es convergent si existeix el lımit

limn#(Sn = S que podem escriure com(!

n=1

an = S (5.13)

i direm que es divergent si no existeix.EXEMPLES.Sigui an = lnn+1

n , aleshores la serie Sn =-n

i=1 ai = ln(n + 1) es divergent al no existir elseu lımit.

limn#(Sn =(!

n=1

lnn + 1

n= +" (5.14)

Sigui an = 1n(n+1) , aleshores la serie Sn =

-ni=1 ai = 1 % 1

n+1 es convergent al existir el seulımit.

limn#(Sn =(!

n=1

1n(n + 1)

= 1 (5.15)

(per a comprovar les sumes parcials ho podem fer per induccio: S1 = 12 = 1 % 1

2 , suposemSn%1 = 1% 1

n aleshores Sn = Sn%1 + 1n(n+1) = 1% 1

n + 1n(n+1) = 1% (n+1)%1

n(n+1) = 1% 1n+1)

Si 0 < x < 0 aleshores la serie geometrica (an = xn) on Sn =-n

i=1 ai =-n

i=1 xi = 1%xn+1

1%x esconvergent al existir el seu lımit.

limn#(Sn =(!

n=1

xn =1

1% x(5.16)

(per a comprovar les sumes parcials fem (1%x)-n

k=0 xk =-n

k=0 xk%-n

k=0 xk+1 = x0%xn+1 =1% xn+1 )

5.2.1 Condicio de Cauchy per a la convergencia de series

Sabem que una successio numerica {an} es convergent si i nomes si satisfa la condicio de Cauchy:

&% > 0 'N (natural) tal que |an % am| < %, &n,m + N (5.17)

que traduıt al llenguatge de series es pot expressar de la seguent forma:Una serie {Sn} es convergent si i nomes si satisfa la condicio de Cauchy:

&% > 0 'N (natural) tal que |an+1 + ... + an+p| < %, &n + N, p = 1, 2, ... (5.18)

doncs |Sn % Sm| = |an+1 + ... + am| i hem posat p = m% n

EXEMPLE. La serie harmonica-(

n=11n (on an = 1

n) no es convergent doncs si agafemn = 2m > N i p = 2m aleshores:

an+1 + ... + an+p =1

2m + 1+

12m + 2

+ ... +1

2m + 2m+ 2m

2m + 2m=

12

(5.19)

5.2 Series numeriques. 87

i per tant no compleix la condicio de Cauchy.Notem que pel cas p = 1 implica que |an+1| < % i per tan una condicio necessaria de

convergencia per les series sera que limn#(an = 0 (pero no suficient doncs s’ha de complir perqualsevol p = 1, 2, 3, ...)

EXEMPLES.Si |x| > 1, el

-nn=1 xn divergeix doncs limn#(xn *= 0

-(n=1 sin(n) divergeix doncs limn#( sin(n) *= 0

Per altra banda ja hem vist que-(

n=1 lnn+1n divergeix encara que limn#(lnn+1

n = 0 doncsaquesta es nomes una condicio necessaria pero no suficient.

Definicio

Una serie-(

n=1 an es diu ”absolutament convergent”si-(

n=1 |an| es convergent. Es diu condicionalmentconvergent”si

-(n=1 an es convergent pero

-(n=1 |an| es divergent.

NOTA. La convergencia de-(

n=1 |an| implica la convergencia de-(

n=1 an doncs si tenim encompte el criteri de Cauchy:

|an+1 + ... + an+p| ( |an+1| + ... + |an+p| (5.20)

El contrari es fals doncs com veurem-(

n=1(%1)n+1 1n convergeix pero

-(n=1

1n divergeix.

Teorema

. Si an + 0 &n aleshores-(

n=1 an convergeix si i nomes si {Sn} esta fitat.En efecte, sigui Sn =

-ni=1 ai, aleshores Sn 9 i si esta fitada ha de tenir lımit.

EXEMPLE. La serie harmonica-(

n=11n (on an = 1

n) no es convergent doncs an + 0&n lessumes parcials no estan fitades:

S2k = 1 +12

+ (13

+14) + (

15

+ ... +18) + ... + (

12k%1 + 1

+ ... +12k

)

+ 1 +12

+ 214

+ 418

+ ... + 2k%1 12k

= 1 +k

2(5.21)

Convergencia de series derivades introduint parentesis

Siguin-(

n=1 an i-(

n=1 bn dues series relacionades de la seguent forma

b1 = a1 + ... + ap(1)

b2 = ap(1)+1 + ... + ap(2)

....

bn+1 = ap(n)+1 + ... + ap(n+1)

.... (5.22)

on p(n) es un conjunt de nombres sencers positius tals que p(n) < p(m) si n < m. En altresparaules hem construıt la segona serie introduint parentesis en la primera.


Aleshores si-(

n=1 an es convergent ,-(

n=1 bn tambe ho es i

(!

n=1

an =(!

n=1

bn (5.23)

Es a dir, l’operacio de introduir parentesis mante la convergencia. Per contra, l’operacio desuprimir parentesis pot destruir el caracter convergent de la serie. Per exemple

(!

n=1

bn = (%1 + 1) + (%1 + 1) + (%1 + 1) + ..... = 0 (5.24)

al suprimir parentesis ens queda la serie-(

n=1 an =-(

n=1(%1)n que es divergent.NOTA. En el cas en que el nombre de termes agrupats sigui finit, es a dir que existeix un

M tal que p(n + 1) % p(n) ( M&n, i que limn#(an = 0, aleshores-(

n=1 an convergeix si inomes si

-(n=1 bn convergeix. La implicacio cap a la dreta ve del teorema anterior mentre que

la implicacio cap a l’esquerra es consequencia del haver agrupat un nombre finit de termes.

Series telescopiques

Siguin {an} i {bn} dos successions tals que an = bn+1% bn,&n. Aleshores-(

n=1 an convergeix siexisteix limn#(bn.

La demostracio es trivial doncs

n!

k=1

ak =n!

k=1

(bk+1 % bk) = bn+1 % b1 -(!

n=1

an = limn#(bn % b1 (5.25)

5.2.2 Serie alternada.

Si an > 0&n, la serie-(

n=1(%1)n+1an s’anomena serie alternada.

Teorema de Leibniz

Si {an} es una successio decreixent i que convergeix cap a 0 (per tant tots els an son positius),la serie alternada

-(n=1(%1)n+1an = S es convergent i

0 < (%1)n(S % Sn) < an+1, n = 1, 2, ... (5.26)

Per demostrar-ho, ens construım la nova serie-(

n=1 bn introduint parentesis cada dos ele-ments:

b1 = a1 % a2

b2 = a3 % a4

....

bn = a2n%1 % a2n

.... (5.27)


Com limn#(an = 0 i el nombre d’elements en cada parentesis es acotat (=2), si demostrem laconvergencia de

-(n=1 bn aleshores

-(n=1 an tambe sera convergent.

Evidentment bn + 0&n doncs an :. Aleshores bn 9 i com les sumes parcials estan fitades:

n!

k=1

bk = (a1%a2)+(a3%a4)+...+(a2n%1%a2n) = a1%(a2%a3)%(a4%a5)%...%(a2n%2%a2n%1)%a2n < a1

(5.28)aleshores

-(n=1 bn es convergent com volıem demostrar.

Les desigualtats anunciades es poden obtenir de :

(%1)n(S % Sn) =(!

k=1

(%1)n(%1)n+k+1an+k =(!

k=1

(%1)k+1an+k =(!

k=1

(an+2k%1 % an+2k) > 0

(%1)n(S % Sn) = an+1 %(!

k=1

(an+2k % an+2k+1) < an+1 (5.29)

Aquest resultat es molt important doncs per donar una estimacio de S =-(

n=1 an podemutilitzar la suma parcial Sn =

-ni=1 ai i l’error comes es menor que el primer terme despreciat

(an+1) i que S > Sn(S < Sn) segons sigui n parell o imparell.

5.2.3 Criteris de convergencia.

No sempre es facil saber si una serie donada es o no convergent. Per aixo es donen a continuacioalguns criteris que ens facilitaran respondre a aquesta pregunta

Criteri de comparacio

Si an > 0 i bn > 0,&n i existeixen dos constants positives C i N tals que an < Cbn&n + N

aleshores

• si-(

n=1 bn es convergent tambe ho es-(

n=1 an. (doncs les sumes parcials Sn =-n

i=1 an

estan acotades per-(

n=1 bn )

• si-(

n=1 an es divergent tambe ho es-(

n=1 bn. (doncs les sumes parcials Sn =-n

i=1 bn noestan acotades )

EXEMPLES.

•-(

n=11

(n+1)2 convergeix doncs 1(n+1)(n+1) (

1(n)(n+1) i ja hem vist que

-(n=1

1n(n+1) conver-

geix. Aixo implica que-(

n=11n2 convergeix.

•-(

n=11'n

divergeix doncs 1n (

1'n

i ja hem vist que-(

n=11n divergeix.

•-(

n=11n! convergeix doncs 1

n! (1n2&n + 4 i acabem de veure que

-(n=1

1n2 convergeix.

Criteri de comparacio per pas al lımit

Si an > 0 i bn > 0,&n i limn#(anbn

= L aleshores


• si L > 0,-(

n=1 an es convergent si i nomes si-(

n=1 bn es convergent. (com L > 0 semprepodem trobar un N > 0 tal que L % L

2 < anbn

< L + L2 &n + N i per tan an < 3

2Lbn ibn < 2

Lan i ja podem aplicar el criteri de comparacio)

• si L = 0,-(

n=1 an es convergent si-(

n=1 bn es convergent. (com L = 0 sempre podemtrobar un N > 0 tal que an

bn< 1

2&n + N i per tan an < 12bn i ja podem aplicar el criteri de

comparacio)

• si L = ",-(

n=1 an es divergent si-(

n=1 bn es divergent. (com L = ", donat M > 0sempre podem trobar un N > 0 tal que an

bn> M&n + N i per tan an > Mbn i ja podem

aplicar el criteri de comparacio)

EXEMPLES.

•-(

n=1(1%n sin 1n) convergeix doncs limn#(

1%n sin 1n

1n2

= limn#((n2%n3 sin 1n) = limn#((0( 1

n )) =

0 i sabem que-(

n=11n2 convergeix

•-(

n=11n ln(1+ 1

n) convergeix doncs limn#(1n ln(1+ 1

n )1

n2= limn#(nln(1+ 1

n) = limn#((0( 1n )) =

0 i sabem que-(

n=11n2 convergeix.

Criteri de la integral

Sigui f(x) una funcio decreixent definida en [1,+") tal que limx#+(f(x) = 0. Per n = 1, 2, 3, ...definim:

sn 3n!

k=1

f(k), tn 3= n

1dxf(x), dn = sn % tn (5.30)

aleshores tenim

1. 0 < f(n + 1) ( dn+1 ( dn ( f(1) &n + 1

2. existeix sempre el limn#+(dn = d

3. S =-(

k=1 f(k) convergeix si i nomes si {tn} convergeix

4. 0 ( dk % limn#+(dn ( f(k) &k + 1

Esta clar que tn+1 ( sn dons sn representa la integral per ”sobre”de la funcio decreixent f(x)entre 1 i n + 1. A mes a mes

f(n + 1) = sn+1 % sn ( sn+1 % tn+1 = dn+1 - 0 < f(n + 1) ( dn+1

dn % dn+1 = sn % tn % (sn+1 % tn+1) = tn+1 % tn % (sn+1 % sn)

== n+1

nf(x)dx% f(n + 1) +

= n+1

nf(n + 1)dx% f(n + 1) = 0 (5.31)

i per tant dn+1 ( dn ( d1 = f(1) que demostra 1. Com dn > 0 i acabem de veure que dn : ique esta fitada per f(1), aleshores deduın 2 i com dn = sn % tn deduım tambe 3.

Per demostrar 4, com dn : observem que

0 ( dn % dn+1 == n+1

ndxf(x)% f(n + 1) (

= n+1

ndxf(n)% f(n + 1) = f(n)% f(n + 1) (5.32)


i per tant

0 ((!

n=k

(dn % dn+1) ((!

n=k

(f(n)% f(n + 1)) (5.33)

Si ara utilitzem el resultat obtingut per series telescopiques (si an = bn+1 % bn --(

n=1 an =limn#(bn % b1), aleshores

0 ( %(limn#(dn % dk) ( f(k) (5.34)

que es el que voliem demostrar.Aixo es pot utilitzar per aproximar certes sumes finites mitjancant integrals. Definim

D = limn#(dn = limn#((n!

k=1

f(k)%= n

1dxf(x)) (5.35)

(on 0 < D < f(1)) que utilitzant 4 podem escriure com

0 (n!

k=1

f(k)%= n

1dxf(x)%D ( f(n) (5.36)

que podem reescriure com

n!

k=1

f(k) == n

1dxf(x) + D + O(f(n)) (5.37)

on hem utilitzat la notacio que an = O(bn) (es llegeix an es O gran de bn) i vol dir que existeixun M > 0 tal que an < bn&n (en el nostre cas M = 1).

EXEMPLE.Agafem f(x) = 1

x . Com tn => n1

1xdx = ln n implica que

-(n=1

1n es divergent. No obstant

aquest lımit existeix

limn#(

2n!

k=1

1k% ln n

3

= / (5.38)

i s’anomena constant d’Euler i val / = 0.5772156649....I podem escriure

n!

k=1

1k

= ln n + / + O(1n

) (5.39)

Agafem f(x) = 1xs . amb s > 1.Com

tn == n

1x%s =

11% s

(x1%s)...n

1=

11% s

(1

ns%1% 1) (5.40)

que es convergent, implica que-(

n=k1ns es convergent. A mes a mes aquest lımit existeix

limn#(

2n!

k=1

1ks% n1%s % 1

1% s

3

= /(s) (5.41)

i podem escriuren!

k=1

1ks

=n1%s % 1

1% s+ /(s) + O(

1ns

) (5.42)


Criteri del quocient

Donada una serie-(

n=1 an de numeros reals no nuls, i sigui l = limn#(...an+1

an

... aleshores

• si 0 ( l < 1 la serie convergeix (doncs existeix N tal que an+1an

< h < 1&n > N i per tantan+k < hkan i pel criteri de comparacio es convergent)

• si l > 1 la serie divergeix (doncs existeix N tal que an+1an

> 1&n > N i per tant an+1 > an

i per tant limn#(an *= 0

• si l = 1 el criteri no es aplicable

EXEMPLES

Si an = cn

n , (c > 0), aleshores limn#(cn+1

n+1cn

n

= c limn#(n

n+1 = c i per tant-(

n=1 an esconvergent si c < 1 i divergent si c > 1

Si an = 1n! , aleshores limn#(

1(n+1)!

1n!

= limn#(1

n+1 = 0 i per tant-(

n=1 an es convergent.

Si an = cn

n! , (c > 1), aleshores limn#(cn+1

(n+1)!cn

n!

= c limn#(c

n+1 = 0 i per tant-(

n=1 an esconvergent.

Si an = nn

n! , aleshores limn#((n+1)n+1

(n+1)!nn

n!

= limn#((n+1n )n = e > 1 i per tant

-(n=1 an es

divergent.Quant l = 1 el criteri no es aplicable. Per exemple tan per

-(n=1

1n com per

-(n=1

1n2 , l val

1 pero la primera es divergent mentre que la segona es convergent.

Criteri de l’arrel

Donada una serie-(

n=1 an de numeros reals positius, i sigui l = limn#((an)1/n aleshores

• si 0 ( l < 1 la serie convergeix (doncs existeix N tal que (an)1/n < h < 1&n > N i pertant an < hn i pel criteri de comparacio es convergent)

• si l > 1 la serie divergeix (doncs existeix N tal que (an)1/n > h > 1&n > N i per tantan > hn i per tant limn#(an *= 0


EXEMPLES.Si an = 1

(ln n)n per n + 2, aleshores limn#(4

1(ln n)n

51/n= limn#(

1(ln n) = 0 i per tant

-(n=2 an es convergent.

Si an =4

nn+1

5n2

, aleshores limn#(

84n

n+1

5n291/n

= limn#(4

nn+1

5n= limn#(

1(n+1

n )n =1e < 1 i per tant


Quant l = 1 el criteri no es aplicable. Per exemple tan per-(

n=11n com per

-(n=1

1n2 , l val

1 pero la primera es divergent mentre que la segona es convergent.


Criteri de Raabe

Donada una serie-(

n=1 an de numeros reals positius, i sigui l = limn#(n41% an

an+1

5aleshores

• si l > 1 la serie convergeix

• si l < 1 la serie divergeix


EXEMPLES.Si an = 1

n(n+1) , en aquest cas el criteri del quocient no es aplicable, pero si aquest criteri.

Calculem limn#(n8

1%1

n(n+1)1

(n+1)(n+2)

9= limn#(n(1% n

n+2) = limn#(nn+2%nn+2 = 2 > 1 i per tant


Apendix A

Canvi de coordenades: bases i

operadors

Base associada a un canvi de coordenades

Quant fem un canvi de coordenades

!f : S . Rn ! Rn

!c ! !x(!c) (A.1)

el fet de que la funcio sigui invertible al ser un canvi de coordenades ens permet definir unanova base en cada punt de l’espai en funcio de la base canonica inicial. La idea es que en cadapunt de l’espai !x # Rn ,en lloc d’agafar la base canonica {i, j, ...} on les vectors apunten en lesdireccions dels eixos, agafarem aquella on les direccions venen donades per !!x quant variemuna sola de les variables ci mantenint la resta constant. En altres paraules

!ei = limh#0!x(c1, c2, ..., ci + h, ..., cn)% !x(!c)

h=$!x

$ci= ($x1

$ci, ...,$xn

$ci) (A.2)

evidentment aquesta base no te perque ser ortonormal, pero almenys sempre la podrem norma-litzar

ei =!ei

, !ei ,=

$!x/$ci

, $!x/$ci ,(A.3)

EXEMPLE. En el canvi de coordenades polar en el pla

!f : S . R2 ! R2

(r, #) ! !x = (r cos #, r sin #) (A.4)

els nous vectors base seran

!er =$!x

$r= (cos #, sin #)

!e& =$!x

$#= (%r sin #, r cos #) (A.5)

que en aquest cas son ortogonals i que els podem normalitzar:

er = (cos #, sin #)

96 Apendix A. Canvi de coordenades: bases i operadors

e& = (% sin #, cos #) (A.6)

EXEMPLE. En el canvi de coordenades esferiques de R3 tenim

!f : S . R3 ! R3

(r, #,,) ! !x = (r sin # cos,, r sin # sin,, r cos #) (A.7)

i els nous vectors base que poden definir en cada punt seran

!er =$!x

$r= (sin # cos,, sin # sin,, cos #)

!e& =$!x

$#= (r cos # cos,, r cos # sin,,%r sin #)

!e' =$!x

$,= (%r sin # sin,, r sin # cos,, 0) (A.8)

que en aquest cas son ortogonals i que els podem normalitzar:

er =$!x

$r/ , $!x$r,= (sin # cos,, sin # sin,, cos #)

e& =$!x

$#/ , $!x$#,= (cos # cos,, cos # sin,,% sin #)

e' =$!x

$,/ , $!x$,,= (% sin,, cos,, 0) (A.9)

Base recıproca

Hem vist que quant fem un canvi de coordenades

!f : S . Rn ! Rn

!c ! !x(!c) (A.10)

podem definir una nova base en cada punt !x com

!ei =$!x

$ci(A.11)

L’exitencia del canvi invers

!f%1 : Rn ! S . Rn

!x ! !c(!x) (A.12)

ens permet definir una altre base. Per exemple si agafem la funcio ci = ci(!x) i pensem enles corbes de nivell que defineix en l’espai de les !x, aleshores sabem que !4ci sera ortogonal aaquestes superfıcies. Per tant podem definir una nova base en cada punt !x com

!ei = !4ci = ($ci

$x1, ...,

$ci

$xn) (A.13)

(noteu que per distingir-la de la primera base !ei hem posat els index a dalt en lloc d’abaix).Aquesta nova base es diu recıproca de la primera doncs es compleix

!ei · !ej = &ij (A.14)

97

Efectivament, com les variables ci son independents tenim $ci/$cj = &ij , aleshores

!ej · !ej = !4ci ·$!x

$cj=

n!

i=1

$ci

$xk

$xk

$cj=$ci

$cj= &ij (A.15)

EXEMPLE. En el canvi de coordenades polars en el pla, la transformacio inversa es

!f%1 : S . R2 ! R2

(x, y) ! (r, #) = (,

x2 + y2, tan%1 y

x) (A.16)

i per tant els vectors de la base recıproca seran

!er = !4r = (x

"x2 + y2

,y

"x2 + y2

) = (cos #, sin #)

!e& = !4# = ... = (% sin #/r, cos #/r) (A.17)

i es facil comprovar!er · !er = !e& · !e& = 1, !er · !e& = !e& · !er = 0 (A.18)

NOTA. Hi ha una relacio senzilla entre les components d’un vector en una base i les compo-nents del mateix vector en la base recıproca.

Denotem les components de la seguent manera:

!v = vi!ei = vi!ei (A.19)

on fem servir la notacio de que index repetits estan sumats. Denotem tambe la ”metrica”g com:

!ei · !ej 3 gij

!ei · !ej 3 gij (A.20)

Amb aquesta notacio tenim que el producte escalar entre dos vectors es pot escriure

!v · !u = (vi!ei) · (uj!ej) = viujgij

!v · !u = (vi!ei) · (uj!e

j) = viujgij (A.21)

i la relacio entre les components del mateix vector en les dues bases es

vk = gkivi

vk = gkivi (A.22)

doncs !v · !ek = (vi!ei) · !ek = vigik = (vi!ei) · !ek = vk. Igualment !v · !ek = (vi!ei) · !ek = vigik =(vi!ei) · !ek = vk (on hem utilitzat que ”g”son simetriques). Fixem-nos, aixo ens permet escriure

!v = (!v · !ei)!ei = (!v · !ei)!ei (A.23)

Les relacions tambes es poden expressar en forma matricial si definim (G)ij 3 gij aleshores(!v)$ = (G)(!v), on (!v)$ detona el vector columna amb les components de !v en la base !ei. Igualmentpodem definir (G)ij 3 gij aleshores (!v) = (G)(!v)$.


Si tenim una transformacio lineal que en la base {!ei} s’expressa

wi = Aijv

j (A.24)

ens podem preguntar com expressar aquesta relacio en la base recıproca:

wk = gkiwi = gkiA

ijv

j = gkiAijg

jlvl - wk = A lk vl, on A l

k = gkiAijg

jl (A.25)

relacio que tambe la podem expressar en forma matricial com

(A) = (G)(A)(G) (A.26)

Si agafem com a transformacio la identitat aleshores I = (G)(G)- (G) = (G)%1

NOTA ADDICIONAL. Suposem que tenim una base {!ei} i ara ens preguntem quins canvisde base deixen la metrica invariant. La nova base la designarem per {!e!i} (i cada una de les duesanteriors tenen les seves bases recıproques {!ei}, {!e#i}).

El canvi de base l’expressarem!e!j = Ai

j!ei (A.27)

Recordem com aquest canvi s’expressa en components:

v!j!e!j = v!jA

ij!ei - vi = Ai

jv!j - (!v) = (A)(!v!) (A.28)

es a dir que si la matriu (A) es la que relaciona les components en la base prima amb la original,la trasposta d’aquesta matriu relaciona la base original amb la prima.

Si demanen invariancia de la metrica:

g(+ = !e!( · !e!+ = (Aµ(!eµ) · (A,

+!e,) = Aµ(gµ,A

,+ (A.29)

i per tant les transformacions que deixen la metrica invariant seran aquelles on AT GA = G.Per exemple, en R2 i R3 agafant la base canonica la metrica es la matriu identitat. Aleshores

les transformacions que la deixen invariant seran aquelles que AT A = II - AT = A%1, es a direntre elles tindrem les rotacions.

Expressions d’operadors usuals en altres coordenades

Comencarem per trobar l’expressio del gradient i de la laplaciana en coordenades polars en elpla.

El gradient es l’operador!4 = (

$

$x,$

$y) = i

$

$x+ j$

$y(A.30)

i ara el volem expressar en funcio dels operadors ##r ,

##& i de la base {er, e&}.

La relacio entre les bases ja l’hem obtingut. La relacio entre els operadors la podem obtenira partir de la regla de la cadena:

$

$x=$r

$x

$

$r+$#

$x

$

$#$

$y=$r

$y

$

$r+$#

$y

$

$#(A.31)

99

Les derivades parcials que necessitem es podem obtenir de la matriu jacobiana de la transfor-macio inversa en 3.20. Aleshores

!4 = (cos #$

$r% sin #

r

$

$#, sin #

$

$r+

cos #r

$

$#)

= (cos #, sin #)$

$r+ (% sin #, cos #)

1r

$

$#= er

$

$r+ e&

1r

$

$#(A.32)

Anem ara a calcular la laplaciana

;f = !4 · !4f = ($

$x,$

$y) · ( $$x

,$

$y)f =

2$2

$x2+$2

$y2

3

f (A.33)

en coordenades polars:

;f = !4 · !4f = (cos #$

$r% sin #

r

$

$#, sin #

$

$r+

cos #r

$

$#) · (cos # $

$r% sin #

r

$

$#, sin #

$

$r+

cos #r

$

$#)f

= (cos #$

$r% sin #

r

$

$#)(cos #

$

$r% sin #

r

$

$#)f + (sin #

$

$r+

cos #r

$

$#)(sin #

$

$r+

cos #r

$

$#)f

=8

(cos #$

$r)(cos #

$

$r% sin #

r

$

$#) + ....

9f

=2

cos2 #$2

$r2) + cos #

sin #r2

$

$#% cos #

sin #r

$2

$r$#+ ....

3

f

=2$2

$r2+

1r

$

$r+

1r2

$2

$#2

3

f (A.34)

Passem ara a trobar l’expressio del gradient en coordenades esferiques en R3.El gradient es l’operador

!4 = ($

$x,$

$y,$

$z)

= ($r

$x

$

$r+$#

$x

$

$#+$,

$x

$

$,,$r

$y

$

$r+$#

$y

$

$#+$,

$y

$

$,,$r

$z

$

$r+$#

$z

$

$#+$,

$z

$

$,)(A.35)

Les derivades parcials que necessitem es podem obtenir de la matriu jacobiana de la transfor-macio inversa en ??. Aleshores

!4 = (sin # cos,$

$r+

1r

cos # sin,$

$#+% sin,

r sin #$

$,, sin # sin,

$

$r+

cos # sin,r

$

$#+

cos,r sin #

$

$,

, cos #$

$r+%sin #

r

$

$#+ 0)

= (sin # cos,, sin # sin,, cos #)$

$r+ (cos # cos,, cos # sin,,% sin #)

1r

$

$#

+ (% sin,, cos,, 0)1

r sin #$

$,= er

$

$r+ e&

1r

$

$#+ e'

1r sin #

$

$,(A.36)

Apendix B

Corbes i superfıcies a R3

Corbes a R3

Una corba parametritzada es una funcio

!r : S . R ! R3

t ! !r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (B.1)

El vectord!r

dt= lim!t#0

!r(t +!t)% !r(t)!t

=8

dx

dt,dy

dt,dz

dt

9(B.2)

es evidentment tangent a la corba !r(t).

Longitud d’una corba en R3

Si volem calcular la longitud d’una corba parametritzada, el dl d’un segment petit d!r, vindradonat per

dl =, d!r ,=

?8dx

dt

92

+8

dy

dt

92

+8

dz

dt

92

dt (B.3)


d!r(dt) = (D!r)(dt) =

&

'(

dxdtdydtdzdt

)

*+ dt (B.4)

i dl =, d!r(dt) ,.Per tant la longitud de la corba entre els punts !x(ta) i !x(tb) es

L == tb

ta

?8dx

dt

92

+8

dy

dt

92

+8

dz

dt

92

dt (B.5)

Si tinguessim la corba en forma no parametrica !r(x) = (x, y(x), z(x)) podem identificar x comel parametre t de l’equacio anterior i

L == xb

xa

?

1 +8

dy

dt

92

+8

dz

dt

92

dx (B.6)

102 Apendix B. Corbes i superfıcies a R3

EXEMPLE. Calculem la longitud d’una circunferencia de radi R.

!f : S . R ! R2

t ! !r(t) = (R cos t, R sin t) (B.7)

Aleshores

L == 2%

0dt

?8dx

dt

92

+8

dy

dt

92

== 2%

0dt,

(%R sin t)2 + (R cos t)2 = R= 2%

0dt = 2+R (B.8)

Superficies a R3

Una superfıcie parametritzada es una funcio

!r : S . R2 ! R3

!u = (u, v) ! !r(!u) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (B.9)

El vectors

$!r

$u= lim!u#0

!r(!u + (!u, 0)) % !r(!u)!u

=8$x

$u,$y

$u,$z

$u

9

$!r

$v= lim!v#0

!r(!u + (0,!v)) % !r(!u)!v

=8$x

$v,$y

$v,$z

$v

9(B.10)

son evidentment tangents a la superfıcis !r(u, v).

Area d’una superfıcie parametrizada

Com , !a$!b , dona l’area del paral·lalepipet que els dos vectors determinen, el dA d’una petitaarea de la superfıcie parametritzada delimitada pels vectors

d!ru =$!r

$udu

d!rv =$!r

$vdv (B.11)

sera dA =, #!r#u $

#!r#v , dvdu


d!r(d!u) = (D !f)(d!u) =

&

'(

#x#u

#x#v

#y#u

#y#v

#z#u

#z#v

)

*+

2du

dv

3

(B.12)


d!ru = d!r(dv, 0) =$!r

$udu

d!rv = d!r(0, du) =$!r

$vdv (B.13)

que son els mateixos obtinguts anteriorment.

103

Com

$!r

$u$ $!r$v

=

.......

i j k#x#u

#y#u

#z#u

#x#v

#y#v

#z#v

.......=$(y, z)$(u, v)

i% $(x, z)$(u, v)

j +$(x, y)$(u, v)

k (B.14)

tenim que

dA =, $!r$u$ $!r$v, dudv =

?8$(y, z)$(u, v)

92

+8$(x, z)$(u, v)

92

+8$(x, y)$(u, v)

92

dudv (B.15)

i

A == =

D

?8$(y, z)$(u, v)

92

+8$(x, z)$(u, v)

92

+8$(x, y)$(u, v)

92

dudv (B.16)

EXEMPLE. Area d’un conus parametrizat per

!r : S . R2 ! R3

!(r, #) ! !r(r, #) = (r cos #, r sin #, r), 0 ( r ( 1, 0 ( # ( 2+ (B.17)

Aleshores per determinar el dA podem fer$!r

$r= (cos #, sin #, 1)

$!r

$#= (%r sin #, r cos #, 0)

dA = drd# , $!r$r$ $!r$#,= drd# , (%r cos #,%r sin #, r) ,=

)2r2 (B.18)

o be$(y, z)$(r, #)

=

.....sin # r cos #

1 0

..... = %r cos #

$(x, z)$(r, #)

=

.....cos # %r sin #

1 0

..... = r sin #

$(x, y)$(r, #)

=

.....cos # %r sin #sin # r cos #

..... = r

dA = drd#

?8$(y, z)$(u, v)

92

+8$(x, z)$(u, v)

92

+8$(x, y)$(u, v)

92

=)

2r (B.19)

Per tantA =

=

DdA =

= 2%

0d#= 1

0dr)

2r = +)

2 (B.20)

NOTA. En el cas de que la superfıcie no estigui parametritzada, si no que es doni en formaordinaria

!r : S . R2 ! R3

(x, y) ! !r(x, y) = (x, y, z(x, y)) (B.21)

els vectors que utilitzarem seran$!r

$x=8

1, 0,$z

$x

9

$!r

$y=8

0, 1,$z

$y

9

$!r

$x$ $!r$y

= (%$z$x

,%$z$y

, 1) (B.22)

104 Apendix B. Corbes i superfıcies a R3

i per tant

dA = dxdy , $!r$x$ $!r$y,=

?8$z

$x

92

+8$z

$y

92

+ 1 (B.23)

EXAMPLE. Area d’una mitja esfera z = +"

R2 % x2 % y2 (treballem amb z > 0)

$z

$x=

%x"

R2 % x2 % y2

$z

$y=

%y"

R2 % x2 % y2

8$z

$x

92

+8$z

$y

92

+ 1 =R2

R2 % x2 % y2(B.24)

Per tant

A == =

Ddxdy

?R2

R2 % x2 % y2= R

= 2%

0d#= R

0rdr

1)R2 % r2

= 2+R2 (B.25)

NOTA. Una generalitzacio natural d’aquest conceptes (longitud d’un arc o area d’una su-perfıcie) es considerar la integral d’una funcio escalar al llarg d’una trajectoria o sobre unasuperfıcie:

=

Cf(x(t), y(t), z(t))dl =

= tb

taf(x(t), y(t), z(t))

?8dx

dt

92

+8

dy

dt

92

+8

dz

dt

92

dt= =

Sf(x(u, v), y(u, v), z(u, v))dA =

= =

Df(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

?8$(y, z)$(u, v)

92

+8$(x, z)$(u, v)

92

+8$(x, y)$(u, v)

92

dudv (B.26)

Bibliografia

Fonts d’informacio basiques:

• J.E. Marsden, A.J. Tromba: “Calculo vectorial”(Pearson, Addison-Wesley).

• T.M. Apostol, “Calculus” Vol. 2 (Ed. Reverte, 1980).

• N. Piskunov, “Calculo diferencial e integral” (Ed. Limusa).

• R. Courant, F. John, “Introduccion al calculo y al analisis matematico”, vol. 2 (Ed.Limusa).

Bibliografia complementaria:

• J. Burgos Roman: “Calculo infinitesimal de varias variables” (McGraw-Hill).

• T.M. Apostol, “Analisis matematico” (Ed. Reverte).

• K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence: “Mathematical Methods for Physics and Engine-ering” (3rd edition), (Cambridge Univ. Press, 2006)

• Edouard Goursat: “A course in mathematical analysis”, vol. 1 (Dover).

Llibres de problemes:

• B. Demidovich: “Problemas y ejercicios de analisis matematico” (Paraninfo).

• J. Clotet Juan: “Calcul diferencial d’una i diverses variables: problemes resolts” (EdicionsUPC, 2000).

• J.A. Lubary Martınez: “Calcul I-II: problemes” (Publicacions UPC, 1996)

• K. F. Riley: “Problems for Physics Students: With Hints and Answers”,(Cambridge Univ.Press, 1997)

cdv-v1.1

Documents

Transcript of cdv-v1.1