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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALUNIDAD 2UNIDAD 2
INGENIERÍA EN DESARROLLO DEINGENIERÍA EN DESARROLLO DESOFTWARESOFTWAREEVIDENCIA DE APRENDIZAJE
ALUMNO: JOSE DANIEL WONG BE
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PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD2PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD2
Los conceptos de límite y continuidad son labase para iniciar el estudio de la derivada; dehecho, la derivada es un límite.
En esta unidad, iniciaremos con la definicióne interpretación intuitiva de límite y nosapoyaremos en la gráfica para mostrar lo quesucede con el límite de una función.La definición de límite nos ayudará acomprender el concepto de continuidad yeste nos permitirá identificar qué situacionesde la vida cotidiana se pueden representarpor medio de una función continua.
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Definición de limiteDefinición de limiteEn matemática, el límite es un concepto que describe latendencia de una sucesión o una función, a medida que losparámetros de esa sucesión o función se acercan adeterminado valor. En cálculo (especialmente en análisisreal y matemático) este concepto se utiliza para definir los
conceptos fundamentales de convergencia, continuidad,derivación, integración, entre otros.El concepto se puede generalizar a otros espaciostopológicos, como pueden ser las redes topológicas; de lamisma manera, es definido y utilizado en otras ramas de lamatemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de formaabreviada mediante lim como en lim(an) = a o serepresenta mediante la flecha () como en an a.http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico
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CÁLCULO DE LÍMITES POR CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOSMEDIO DE LOS MÉTODOS
GRÁFICO Y NUMÉRICOGRÁFICO Y NUMÉRICO
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INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITESDibujar la Gráfica de la función f dada por:
Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tablade valores.
Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del comportamiento de
la gráfica se usará valores de xx que se aproximena 11 por la izquierda y por la derecha.
1,1
1)(
3
{
! x
x
x x f
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x se aproxima a 1 por laizquierda
x se aproxima a 1 por laderecha
x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25
f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81
f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3
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3)(1
!p
x f lím x
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Si f(x) se acerca arbitrariamente a unnúmero L, cuando x se aproxima a c por laizquierda y por la derecha entonces:
c x
L x f p
!)(lim
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Ejemplo: Estimación numérica de unlímite. Evaluar la función
en varios puntos cercanos a x = 0 y usarel resultado para estimar el límite.
11)( ! x x x f
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x se aproxima a 0 por laizquierda
x se aproxima a 0 por laderecha
x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01
f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00499
f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2
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El límite de f(x) cuando x seaproxima a 2 es 0
f no esdefinida
en x = 011)( ! x x x f
2)(lim0
!p
x f x
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LÍMITES QUE NO EXISTENEjemplo: Comportamiento diferente por la derecha ypor la izquierda. Demostrar que el límite no existe:
x
x!
p0x
lim
Solución
0,1 "! x x
x0,1 ! x
x x
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Independientemente de cuanto seaproxime x a 0, existirán valores tantopositivos como negativos que darán
f(x) = 1 y f(x)=-1
)0,( H )0,(H
Los valoresnegativos de x
dan comoresultado |x|/x =
-1.
Los valorespositivos de x dan
como resultado|x|/x = 1.
Límite noLímite no
existeexiste
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20x
1lim
x!
p
LÍMITES QUE NO EXISTENEjemplo: Comportamiento no acotado. Analizar la existencia del límite:
Solución: Si jugamos con valores nospodemos dar cuenta que si x se aproxima a 0,f(x) crece notablemente:
1001)(1010
2"!
x x f x
10000001
)(
1000
10
2"!
x
x f x ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE
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f(x) no se aproxima a ningúnnúmero real L cuando se aproximaa 0, por tanto se concluye que el
límite no existe.
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x sen
1lim
0x!
p
LÍMITES QUE NO EXISTENEjemplo: Comportamiento oscilante. Analizar la existencia del límite:
x 2/ 2/3 2/5 2/7 2/9 2/11
Sen (1/x) 1 -1 1 -1 1 -1
Por tanto el límite no existe
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Conclusiones:
1. f(x) se aproxima a números diferente porla derecha de c que por la izquierda.
2. f(x) aumenta o disminuye sin límite amedida que x se aproxima a c.
3. f(x) oscila entre dos valores fijos a
medida que x se aproxima a c.
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DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITESea f una función definida en un intervaloabierto que contiene a c y L un número
real:
Significa que para todo >0 existe uno
>0 tal que si:
c x
L x f p
!)(lim
IH L x f entoncesc x )(,0ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE
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CÁLCULO ANALÍTICOCÁLCULO ANALÍTICODEDE
LÍMITESLÍMITES
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PROPIEDADES DE UN LÍMITETeoremaTeorema 11..11:: Límites Básicos: sin b y cson números reales y n un entero
positivo.bb
c x!
p
lim c xc x
!p
lim
nn
c xc x !
p
lim
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Ejemplo: EvaluaciónEvaluación dede LímitesLímites BásicosBásicos::
33lim2
!p x
4lim4
!p x
x
42lim 22
2!!
p x
x
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TeoremaTeorema11
..22::P
ropiedades de los Límites:sin b y c son números reales y n un enteropositivo, f y g funciones con los límitessiguientes:
1. Múltiplo Escalar:
2. Suma o Diferencia
3. Producto:
L x f c x !p )(lim K x g c x !p )(lim
? A b L x f bc x
!p
)(lim
? A K L x g x f c x
s!sp
)()(lim
? A L K x g x f c x
!
p
)()(lim ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE
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4. Cociente:
5. Potencias:
0,)(
)(lim {!¼
½
»¬-
«p
K que siempre K
L
x g
x f
c x
? A nn
c x
L x f !
p
)(lim
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Ejemplo: LímiteLímite dede unun PolinomioPolinomio
3lim4lim)34(2
2
2
2
2 ppp
! x x x
x xlím
19
316
3)2(4
3lim)lim(4
2
2
2
2
!
!
!
!pp x x
x
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TeoremaTeorema 11..33::Límites de las funcionespolinómicas y racionales: si p es unafunción polinómica y c un número real:
Si r es una función racional dada por r(x) =
p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)0tenemos
)()(lim c p x pc x!
p
)(
)()()(lim
cq
c pcr xr
c x!!
p ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE
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Ejemplo: LímiteLímite dede unauna FunciónFunción racionalracional
Como el denominador no es 0 cuando x=1
1
22
1
p x
x xlím x
2
2
411
2112
1
!
!
p x
lím
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T
eorema 1.4:T
eorema 1.4:Límite de una Funciónradical
Si n es un entero positivo:
Para toda c si n es impar
c > si n es par
nnc x
c x !plim
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T
eorema 1.5T
eorema 1.5 Límite de una FunciónCompuestaSi f y g son funciones tales que:
y
Entonces:
L x g c x
!p
)(lim )()(lim L f x f L x
!p
)())(lim())((lim L f x g f x g f c xc x !! pp
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Teorema 1.6.Teorema 1.6. Límites de funciones
trigonométricasSea c un número real:
c sen x senc x
!p
)(lim c xc x
cos)cos(lim !p
c xc x
tan)tan(lim !p
c xc x
cot)cot(lim !p
c xc x
sec)sec(lim !p
c xc x
csc)csc(lim !p
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Ejemplos
00tan)tan(lim0
!!p
x x
4!44!!4p4p4p
)cos(coslimlim)cos(lim x x x x x x x
00)(limlim 22
0
2
0!!!
pp x sen x sen
x x
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CONTINUIDAD DECONTINUIDAD DE
LÍMITES LATERALES OLÍMITES LATERALES OUNILATERALESUNILATERALES
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Definición de ContinuidadContinuidad en un Punto: una funciónf es continua en c si se satisfacen:
)()(lim
)(lim
)(
c f x f
existe x f
definidaestac f
c x
c x
!p
p
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Continuidad en un Intervalo Abierto: sies continua en cada punto del Intervalo.
Una función continua en la recta de losnúmeros reales enteros (-,) escontinua en todas partes.
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Ejemplos: Analizar la continuidad de cadafunción.
x x f
1)( !
Aplicando el Teorema de lasfunciones polinómicas se concluye
que f es continua en todos losnúmeros reales excepto x = 0, porque 1/0 = indefinido
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Ejemplos: Analizar la continuidad de cadafunción.
x x f
1
)(!
Aplicando el Teorema de lasfunciones polinómicas seconcluye que f es continua entodos los números reales
excepto x = 0, por que 1/0 =indefinido
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Ejemplos: Analizar la continuidad de cadafunción.
x sen y !
Aplicando el Teorema defuncionestrigonométricas se
concluye que f escontinua en todosu dominio (-,)
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Ejemplo límite Lateral
04lim 2
2
!
p
x x
E ncontrar E ncontrarel el límitelímitedede cuandocuandoxxseseaproximaaproxima aa--22porporlaladerechaderecha
24)( x x f !
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Teorema 1.10Teorema 1.10 Existencia de un límite
L x f y L x f c xc x
!! pp
)(lim)(lim
Si f esuna funciónycyLsonnúmeros reales,el límitedef(x)cuandoxseaproximaacesLsiysólosí:
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Definición de Continuidad en unIntervalo cerrado
)()(lim)()(lim b f x f ya f x f b xa x
!! pp
Una función f es continua en un intervalo cerrado[a,b]siescontinuaenel Intervaloabierto(a,b)n
La función f es continuapor la derechaenay continuapor la izquierdaenb
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Ejemplo Continuidad en un Intervalocerrado
AnalizarAnalizarlalacontinuidadcontinuidaddede
Seconcluyequefescontinuaen[-1,1]
21)( x x f !
)1(01lim 2
1!!
p
f x x
)1(01lim 2
1 f x
x!!
p
Continua por laderecha
Continua por laizquierda
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Teorema 1.11Teorema 1.11 Propiedades de la
ContinuidadSibesunnúmerorealyfygsoncontinuasenx=c,entonceslassiguientestambiénsoncontinuasenc:
Múltiploescalar:bf
SumaoDiferencia:f±g
Producto:fg
Cociente: f,sig(c)0g
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LÍMITES INFINITOSLÍMITES INFINITOS
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Definición de Límites InfinitosSea f una función definida en todo número real de unintervalo abiertoquecontieneac(salvoposiblemente,enelpropioc).Laexpresión
c x
x f p
g!)(lim
c x x f p
g!)(lim
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Determinación de límites infinitos aDeterminación de límites infinitos apartir de una Gráficapartir de una Gráfica
g!
p 1
1lim1 x x
g!
p
1
1lim
1 x x
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Determinación de límites infinitos a partirDeterminación de límites infinitos a partirde una Gráficade una Gráfica
g!p
21 )1(
1lim
x x
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Determinación de límites infinitos aDeterminación de límites infinitos a
partir de una Gráficapartir de una Gráfica
g!
p2
1 )1(
1lim
x x
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Teorema 1.15 Propiedades de los
Límites InfinitosSeancyLnúmerosreales,yfygfuncionestalesque:
SumaoDiferencia:
Producto:
g!p
)(lim x f c x
L x g c x
!p
)(lim
? A g!sp
)()(lim x g x f c x
? A
? A
? A 0,)()(lim
,)()(lim
)()(lim
g!
"g!
g!
p
p
p
L x g x f
o L x g x f
x g x f
c x
c x
c x
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Cociente:
0)(
)(lim !p x f
x g
c x
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Ejemplo: Cálculo de Límites
CalcularCalcular loslossiguientessiguienteslímiteslímites
g!¹
º
¸©
ª
¨@
g!
!
¹ º
¸©ª
¨
p
p
p
p
20
20
0
20
11lim
1
lim
11lim
11lim
x
x
x
x
x
x
x
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BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
y CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSONHOSTLER EDWARDS.
CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUSPROPIEDADES
ALUMNO: JOSE DANIEL WONGBE