第12回　並進座標系・回転座標系物理学概説Ab or 力と運動 (力学)

以下の準備をお願いします

担当講師：桑畑和明

Zoom :

ホームページ :

マイクのミュート、ビデオの停止、 チャットを見れるようにしておいて下さい

http://www.ohno.ynu.ac.jp/kuwahata/index.html に授業のスライド、演習問題、提出フォーム、補助資料 を置いておきます

授業開始は12時50分から、少々お待ちください。

←ホームページには左のQRコードからもアクセス可能

（連絡先：g9501515@yokohama-cu.ac.jp）

講義を録画します

（備忘録）

アンケートのお願い

【アンケートURL】 https://wqs.jp/QuestionnaireList/0sj7h9h3agb4amlwjeqxz

【提出期限】 8月17日

【補足事項】 オンラインで講義の実施に伴い、例年の設問に「Q21・Q22」を追加しております。それぞれ、オンラインでの講義の良かった点・不安な点を複数回答する設問となっておりますが、「その他」を選んだ場合には、以下のような形で学生が記載する方式となっております。 ・Q21の「その他」を選んだ場合→Q18（自由記述欄）に記載 ・Q22の「その他」を選んだ場合→Q19（自由記述欄）に記載

質問への回答問）

答）　

第10回のレポートを記名のみで提出した場合は再提出が必要？

再提出の必要はありません

2種類の思考方法◎ 帰納法 ◎ 演繹法

地学 生物

・基本原則から具体例を導く・多くの具体例から基本原則を導く

例）昨日も今日も太陽は東から昇った、 よって太陽は東から昇るものだ

太陽は東から昇るものだ、 よって明日も太陽は東から昇る

基本原則

具体例

博物学

例）

帰納法 演繹法

・科学の各学問を帰納法と演繹法の強弱で分類すると

帰納法 演繹法化学 物理 数学

運動の法則

・第1法則（慣性の法則）

・第2法則（ニュートンの運動方程式）

・第3法則（作用・反作用の法則）

物体は力が作用しない限り静止または等速直線運動をする

物体の加速度は力に比例し、質量に反比例する

物体が他の物体に力を力を及ぼすとき、 その物体は同じ大きさの反対向きの力を他方の物体から受ける

全ての力学現象はこの3つから導出できる

md2 rdt2

= F

（原本の英語訳と日本語訳を補足に載せる）

運動の第1法則第1法則（慣性の法則）物体は力が作用しない限り静止または等速直線運動をする

の右辺を0にするmd2 rdt2

= F

・第1法則は第2法則から導出できるのでは？・そもそも第1法則なぜ第1なのか？

・運動法則は座標系の取り方に依存する

・全ての座標系で運動方程式が成り立つとは限らない

・第1法則は運動方程式が成り立つ座標系が少なくとも1つ存在する

疑問？？

答え！！

運動方程式が成り立つ座標系を慣性系というでは他の座標系は？

並進座標系（速度一定）

をS系から見たS’系の原点とするrO′�

x r = x ex + y ey + z ez

z

yOx′�

z′�

y′�O′�

系S

系S′�

rO′�

rr′�

r′ � = x′� ex′� + y′� ey′� + z′� ez′�

r = r′� + rO′ �

(1) S’系はS系に対して一定速度Vで運動

rO′�(t) = V t + rO′ �(0)

r(t) = r′�(t) + V t + rO′�(0)よって

v (t) = v ′�(t) + V

a (t) = a ′�(t)

これを に代入m a (t) = F

md2 r′�dt2

= F ′�

運動方程式の形は変わらない!

(1) S’系はS系に対して一定速度Vで運動

(2) S’系はS系に対して加速度運動

(3) S’系はS系に対して定速回転運動

S系を慣性系とする

慣性系

他の座標系S’に対して3つのケースを考える

S’系はS系から一定速度Vで運動

また、 なのでF = F ′�

問） 一定の速度Vで進んでいるS’系において、ボールを初速度v0で垂直に投げ上げた。またこのとき静止している座標系をS系とする。S系、S’系から見たボールの位置の時間変化を答えよ。ただし、どちらの系でも原点を初期位置にとる

S系

V

v0

S’系

v0

S’系

V

x

y◎ S系から見た運動 ◎ S’系から見た運動

並進座標系（速度一定）

並進座標系（加速度運動）(2) S’系はS系に対して加速度運動

x r = x ex + y ey + z ez

z

yOx′�

z′�

y′�O′�

系S

系S′�

rO′�

rr′�

r′ � = x′� ex′� + y′� ey′� + z′� ez′�d2 rO′�

dt2= a O′ � ≠ 0

この時の運動方程式は

md2

dt2( r′� + rO′ �) = m

d2 r′�dt2

+ m a O′ � = F ′�

S’系では運動方程式は成り立たない

→ 非慣性系という

運動方程式と同じ形に書き換える

md2 r′�dt2

= F ′�− m a O′ �

md2 rdt2

= F

慣性力という

(1) S’系はS系に対して一定速度Vで運動

(2) S’系はS系に対して加速度運動

(3) S’系はS系に対して定速回転運動

S系を慣性系とする

慣性系

他の座標系S’に対して3つのケースを考える

慣性力を力とみなせば上の式は[質量]×[加速度]=[力]

となり、運動方程式と同じ形になる

mg

N

θ

x

y

加速度：α

問） 加速度 で進んでいる傾き の斜面上に質量 の物体を載せる。この物体を静かに離した後に斜面上を距離 進むのにかかる時間を求めよ。

α θm

l

( )α < g tan θ

並進座標系（加速度運動）

回転座標系

：角速度ベクトルω

ω

| ω |Δt回転面： と垂直ω

回転もベクトルで表したい！

秒の角度：Δt | ω |Δt

A (t)

A (t+Δt)

Δ AA⊥ = A sin θ

θ

ω 周りを回転しているベクトルの時間変化？ω

大きさ：Δ A = A sin θ ⋅ | ω |Δt| ω |Δt

向き：　 かつ Δ A ⊥ A ΔA ⊥ ω

Δ A = ω × A Δt

d Adt

= limΔt→0

Δ AΔt

= ω × A

S

c = a × b

a

b

回転座標系

S系とS’系の原点は一致しているとする( )rO′� = 0

簡略化のため以下のように を使って表すΣ

r = r′�

r = x ex + y ey + z ez =3

∑i=1

ri e i

r′� = x′� ex′� + y′� ey′� + z′� ez′ � =3

∑i=1

r′�i e ′�i

∑ ri e i = ∑ r′�i e ′�i

S’系は回転しているので、ddt

e ′�i(t) = ω × e ′ �i(t)

（ とした）r1 = x, r2 = y, r3 = z

x

z

yO = O′�

x′�

z′�

y′�

系S 系S′ �

ω

| ω |Δt

S系から見た運動速度　： v = ·x ex + ·y ey + ·z ez

加速度： a = ··x ex + ··y ey + ··z ez

S’系から見た運動速度　： v ′� = ·x′� ex′� + ·y′� ey′� + ·z′ � ez′�

加速度： a ′� = ··x′� ex′� + ··y′� ey′� + ··z′� ez′�

◎ 補足：各系から見た運動

(3) S’系はS系に対して定速回転運動

回転座標系

x

z

yO = O′�

x′�

z′�

y′�

系S 系S′ �

ω

| ω |Δt

目標） を求める··r′�

ddt

e ′�i(t) = ω × e ′ �i(t)

d rdt

=ddt (∑ r′�i e ′�i) = ∑

dr′�i

dte ′�i + ∑ r′�i

d e ′�idt

= ∑·r′�i e ′�i + ω × ∑ r′�i e ′�i

v = v ′� + ω × r′�

d2 rdt2

=ddt (∑

·r′�i e ′�i + ω × ∑ r′�i e ′�i)= ∑

··r′�i e ′�i + ω × ∑·r′�i e ′�i + ω × (∑

·r′�i e ′�i + ω × ∑ r′�i e ′�i)∑ ri e i = ∑ r′�i e ′�i = ∑

··r′�i e ′�i + 2 ω × ∑·r′ �i e ′�i + ω × ( ω × ∑ r′�i e ′�i)

a = a ′� + 2 ω × v ′� + ω × ( ω × r′�)これを に代入m a = F

の両辺をtで微分するr = r′�

md2 r′�dt2

= F − 2m ω × v ′�− m ω × ( ω × r′ �)慣性力

◎ S’系の基底ベクトル

回転座標系における慣性力m

d2 r′�dt2

= F − 2m ω × v ′�− m ω × ( ω × r′ �)遠心力コリオリ力

遠心力は回転軸と垂直かつ離れる向きに働く

F ′�cent = − m ω × ( ω × r′�)

r′�A ∥

ω

公式 よりa × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b )F ′�cent = − m ω ( ω ⋅ r′�) + m r′�( ω ⋅ ω)

F ′�cent = mω2 r′�− mω2 ( r′� ⋅ eω) eω

を用いると よりω = ω eω ω ⋅ r′� = ω( r′� ⋅ eω)

A ⊥

= mω2 { r′�− ( r′� ⋅ eω) eω} A ∥

A ⊥= mω2 A ⊥

まずは遠心力から調べる

回転座標系における慣性力m

d2 r′�dt2

= F − 2m ω × v ′�− m ω × ( ω × r′ �)遠心力コリオリ力

ω

F ′�corr = − 2m ω × v ′� = 2m v ′� × ω

S

c = a × b

a

b

v ′�F ′�corr

v ′�v

速い

遅い

ω

角速度ベクトル方向から見ると、 コリオリ力は常に右方向に働く

◎ コリオリ力の大雑把な説明

回転面は原点から離れるほど速く運動している

回転系から見た速度( )はまっすぐでも、 慣性系から見た速度( )は曲がってみれる

v ′�

v

慣性力のまとめ◎ 慣性系：運動方程式が成り立つ座標系

→ この世に慣性系は少なくとも1つは存在する

◎ 運動の第1法則（慣性の法則）物体は力が作用しない限り静止または等速直線運動をする

◎ 慣性系Sから見たS’系の運動(1) S’系はS系に対して一定速度Vで運動

(2) S’系はS系に対して加速度運動

(3) S’系はS系に対して等速回転運動

md2 r′�dt2

= F S’系も慣性系

md2 r′�dt2

= F − m a

md2 r′�dt2

= F − 2m ω × v ′�− m ω × ( ω × r′ �)遠心力コリオリ力

慣性力も力とみなす

(発展) フーコーの振り子

https://ja.wikipedia.org/wiki/フーコーの振り子

レオン・フーコー（1819 - 1868）が地球が自転していることを証明するするために考案した実験

巨大な振り子を振動させた場合、地球の自転によるコリオリ力により、徐々に振動面がずれていく

左の図は北極点において振り子を振らせた時の挙動を示す

フーコーの振り子ω

ϕ

x

y

z

x′�

y′�

z′�

緯度φにおける地球表面に固定された座標系をS’表面から南にx’、東にy’、垂直にz’軸をとる

S’系から見た角速度ベクトルはω = (−ω cos ϕ, 0, ω sin ϕ)

S’系の原点から紐の長さ の振り子を吊るすl

x′�

z′�ϕ

ω

mg

T

x′�

y′�

z′�

θ

r⊥

張力 . 垂直方向の運動は無視 と仮定T = Cost ·z′� = 0

md2 r′�dt2

= − T e r′� + m g − 2m(ω × v ′�)r′�

ω × v ′� = (−ωv′�y sin ϕ, ωv′�x sin ϕ, − v′�y cos ϕ)

e r′� =r′�

r′�=

1l

(x′�, y′�, z′�) g = (0, 0, −g)

x’y’平面の運動だけを考慮する

v ′� = (vx, vy, 0)

フーコーの振り子ω

ϕ

x

y

z

x′�

y′�

z′�

x′�

z′�ϕ

ω

mg

T

x′�

y′�

z′�

θ

r⊥

r′�

m ··x′� = −Tl

x′� + 2mω ·y′�sin ϕ

m··y′� = −Tl

y′�− 2mω ·x′�sin ϕ

x’y’平面の運動だけを考慮する••• (1)

••• (2)

としてTを消去する (2) × x′�− (1) × y′�x′�··y′�− ··x′�y′� = − 2ω sin ϕ(x′� ·x′� + y′� ·y′ �)

両辺をtで積分するx′�·y′�− ·x′�y′� = − ω sin ϕ(x′�2 + y′�2) + C

（Cは積分定数）

とおくとx = r⊥ cos θ, y = r⊥ sin θ·x = ·r⊥ cos θ − r⊥

·θ sin θ·y = ·r⊥ sin θ + r⊥

·θ cos θ

式(3)に代入、初期条件 とする·θ(0) = 0

••• (3)

dθdt

= − ω sin ϕ

これは振動面が角速度 で回転していることを示す−ω sin ϕ

今回の授業で触れなかった話題◎ 剛体

◎ 解析力学

来週の授業について◎ 期末レポートの発表

◎ 力学の現状についての雑談

物体を質点ではなく大きさもったものとして扱う

授業で扱った古典力学とは別系統の力学座標系に依存しない運動方程式を導出

未提出の授業レポートがある場合は来週までに出すように

30分ほど現代科学において力学がどのように使われているか

（補足）運動の法則・ 1687年 出版 「⾃然哲学 数学

的諸原理」（通称「� 」） 記 3 法則。原書 当時共通⾔語 語 書 、 英語、⽇本語 翻訳

補⾜ 以降 載 。 原書 微積分 使下図 ⽰ 全 幾何学的 問題 解 、⾮常 難解。現在 微積分 ⽤ ⼒学

功績 。

左図：プリンピキアの一部抜粋。このように全て幾何学的に問題が解かれており、数式はほとんど出てこず、現代物理に慣れ親しんだ私たちからすれば非常に読みづらい。ちなみに、桑畑は英語訳のプリンピキアを手にしたことがあるが、数ページめくっただけで静かに本を閉じた苦い経験がある。街中の書店でセールに出されていても決して人に勧めない本の1つである。

第1法則（慣性の法則）Every body perseveres in its state of being at rest or of moving uniformly straight forward, except insofar as it is compelled to change its state by forces impressed

すべての物体は、加えられた力によってその状態が変化させられない限り静止あるいは等速直線運動を続ける。

第2法則（運動方程式）A change in motion is proportional to the motive force impresses and takes place along the straight line in which that force is impressed.

運動の変化は、加えられた駆動力に比例し、その力の方向を向く。

（補足）運動の法則

第3法則（作用・反作用の法則）The any action there is always an opposite and equal reaction; in other words, of two bodies upon each other are always equal and always opposite in direction.

すべての作用に対して、それと大きさが等しく反対向きの反作用が存在する。すなわち、2つの物体の間で互いに働きあう相互作用は常に大きさが等しく、反対方向を向く。

（補足）運動の法則