CATEDRA_11

Modelamiento y Simulacin

Victor Alvarez Celedon 1

PROBLEMAS: TEORIA DE PROBLEMAS: TEORIA DE COLASCOLAS

Ejercicios ha realizar en clases. Todos estn sujetos ha ser utilizados en

segunda prueba de ctedra.



PROBLEMA 1.Una estacin de servicio tiene una bomba de bencina. Los autos llegan al servicentro con una distribucin de Poisson de 20 autos/hr. Sin embargo, un automvil, al ver que la bomba est utilizada (uno o ms autos atendindose), estos consumidores potenciales pueden irse. Observar queno todo el flujo aparente ingresan al sistema. En efecto, si hay n autos en la estacin de servicio la probabilidad de que un consumidor potencial se vaya es de n/4 para n=1,2..,4. Asuma que no hay ms posibilidades (suponiendo por ejemplo que la fuente es de tamao 4). El punto requerido de servicio tiene una distribucin exponencial de 3 minutos.

a) Desarrolle las ecuaciones diferenciales para todo n. No olvidar puntos crticos.

b) Resuelva estas ecuaciones para el estado estable y encuentre la distribucin de probabilidad del nmero de autos en la estacin.

c) Encuentre la distribucin de probabilidad del nmero de autos que no estn en el sistema.

d) Encuentre el tiempo esperado de un auto en la estacin de servicios.e) Cul es la probabilidad de que un auto que llega y entra al sistema, tenga

que esperar?



PROBLEMA 2.Se tiene un sistema de espera MM1. La tasa de llegada de unidades al sistema es , pero el tiempo de servicio est dado por n = n / (n + 1) cuando existen n unidades en el sistema.a) Determine las Pbb. Estacionarias, Pn.b) Determine la Pbb. de que una unidad que llegue al sistema tenga que esperar servicio.



PROBLEMA 3.Una oficina de boletos de una aerolnea tiene 3 agentes que contestan las

llamadas para hacer reservaciones. Adems, una llamada se puede poner en espera hasta que uno de los agentes se desocupa para tomarla. Si las cuatro lneas (las de los 3 agentes y la de espera), estn desocupadas, el cliente potencial obtiene tono de ocupado y se supone que la llamada pasa a otra oficina de boletos y que la venta se pierde. Las llamadas y los intentos de llamadas ocurren aleatoriamente (es decir, de acuerdo a un proceso de Poisson), a una tasa media de 15 por hora. La duracin de una conversacin telefnica tiene distribucin exponencial con media de ocho minutos.

a) Encuentre las probabilidades de estado estacionario.b) Encuentre las probabilidades de estado estable de que:

i) Un cliente pueda hablar de inmediato con un agenteii) El cliente quede en espera.iii) El cliente obtenga el tono de ocupado.

c) N esperado de agentes ocupados.d) N esperado de agentes ociosose) N esperado de clientes en el sistemaf) Probabilidad que el cliente sea atendido



PROBLEMA 4.La compaa de transporte tortuguin posee 16 camiones para sus operaciones. Esta compaa cuenta adems con un taller con 3 mecnicos son un tiempo de atencin de 30 das por camin cada uno.Si un observador a la entrada del sistema determina que en promedio ingresan 30 camiones en un ao, que cada da que est parado el camin a la empresa le cuesta $ 50000.Hasta cunto estara dispuesta la empresa a pagar por tener un mecnico adicional si el costo mensual de cada mecnico es de $ 50000.



PROBLEMA 5.Sea un sistema de colas que tiene una entrada regida segn Poisson con una tasa media de llegadas de 8 clientes por hora.La distribucin del tiempo de servicio es exponencial con una media de 0,1 hora.Por cada servidor que se dispone se incurre en un costo por hora, estando en operacin de 15 $/hora y tambin por estar ocioso de 1 $/hora.Se sabe que se incurre en costo por espera cuando los clientes estn en la cola (esperando un servidor disponible) de tal forma que es de 100 $/hora para el primero y de 150 $/hora para cada cliente adicional.Determine el nmero de servidores S que deben asignarse al sistema para minimizar el costo total esperado por hora.(Considere S = 1,2,3,4 como mximo).



PROBLEMA 6.En una peluquera atienden dos peluqueros. Existen tres sillas adicionales en lasala de espera. Los peluqueros no asisten al otro en el caso que se encuentre un solo cliente en la peluquera. Un cliente llega a la peluquera con una distribucin de Poisson cada 15 minutos. Pero si existen n clientes en la peluquera, la probabilidad de que un cliente potencial no ingrese es de n/5. Cada peluquero demora en promedio 20 minutos en hacerle un corte al cliente. Determinar:a) Distribucin de probabilidad de estado estable.b) Nmero esperado de peluqueros ocupados.c) Probabilidad que se encuentren 2 clientes en la sala de espera.



PROBLEMA 7.En una lnea de espera dada, el sistema no puede atender a mas de 4 clientes. La tasa de llegadas es n= (10 n), n=0,1,2,3 y n= (5 + n/2), n=1,2,3,4. esta situacin es equivalente a reducir la tasa de llegadas e incrementar la tasa de servicio conforme crece el numero de clientes en el sistema. Suponga que los procesos de llegada y salida siguen unadistribucin de poisson. Dibuje el diagrama completo de tasas de transicin; luego determine lo siguiente:

a) Las probabilidades de estado estable.b) Numero esperado en el sistema.c) La tasa efectiva de llegadas.d) El tiempo estimado de espera en la fila.



PROBLEMA 8.La demanda de un articulo ocurre segn una distribucin de Poisson con media de 3 al da. El nivel de inventario mximo es de 25 artculos, que ocurre cada lunes, inmediatamente despus de que se recibe un nuevo pedido. Por lo tanto, el tamao del pedido depende del numero de unidades que sobren al cabo de la semana de trabajo el da sbado (la empresa cierra el domingo). Determine lo siguiente:

a) El tamao semanal promedio de los pedidos.b) La probabilidad de incurrir en escasez en la demanda despus de 4 das de

trabajo.c) La probabilidad de que el tamao del pedido semanal exceder de 5

unidades.



PROBLEMA 9.Es necesario determinar cunto espacio de almacn para material en proceso conviene asignar a un centro de trabajo en una nueva fabrica. Los trabajos llegan a este centro de acuerdo con un proceso Poisson con una tasa media de 3 por hora, y el tiempo requerido para realizar el proceso necesario tiene una distribucin exponencial con media de 0,25 horas. Cuando los trabajos que esperan requieren ms espacio de almacn del asignado, el exceso se almacena temporalmente en un lugar menos conveniente. Si cada trabajo requiere un pie cuadrado de suelo mientras esta almacenado en el centro de trabajo, Cunto espacio se debe proporcionar para acomodar todos los trabajos; a) el 50% del tiempo b) el 90% del tiempo, c) el 99% del tiempo?

Derive una expresin analtica para resolver estas tres preguntas.



PROBLEMA 10.Una base de mantenimiento de equipo areo cuenta con instalaciones para hacer la reparacin general de un solo motor de avin a la vez. Para volver a poner los aviones en operacin lo mas pronto posible, la poltica ha sido alternar la reparacin de los cuatro motores de cada avin. En otras palabras, solo se repara una maquina cada vez que un avin llega al taller. Con esta poltica los aviones llegan de acuerdo a un proceso de poisson con una tasa media de 1 al dia. El tiempo que se requiere para reparar un motor (una vez que el servicio ha comenzado) tiene distribucin exponencial con media de da.Se ha hecho la propuesta de cambiar esta poltica a la de reparar los cuatro motores de cada avin consecutivamente cada vez que uno llegue al taller. Aunque esto cuadruplicara el tiempo esperado de servicio, cada avin tendra que ir al taller la cuarta parte de las veces.

Utilice la teora de colas para comparar las dos alternativas de una manera significativa.

PROBLEMAS: TEORIA DE COLAS

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