Catedra Metodos Numericos Unsch 03

CATEDRA 033

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y CivilFacultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

METODOS NUMERICOS

Ingeniería CivilIngeniería Civil

ING.CRISTIANCASTROP.

Capitulo IICapitulo II

T ía d ETeoría de Errores


DEFINICIONESDEF N ONES

COMPUTACION NUMERICACOMPUTACION NUMERICA

Significa “Calcular con Números”Significa Calcular con Números

APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORESAPROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

Aproximación numéricaAproximación numérica

Modelo matemáticoModelo matemático

óRepresentación de la realidad

LOLO Simbólico

ODEL

ODEL •Simbólico

•Icónico

MO

MO •Analítico/Matemático

•Simulación

EErrores

Errores humanosErrores humanos

• Lectura

• Transmisión

• Transcripción

• Programación

Errores inherentesErrores inherentes

Errores de redondeo

• Truncado 1.666• Simétrico 1.667

Errores por truncamientop

Serie de Taylor

Propagación de erroresPropagación de errores• Gráficas de proceso

Aritmética de la computadoraAritmética de la computadora

Números enteros

Números reales

APROXIMACIÓN NUMÉRICA YAPROXIMACIÓN NUMÉRICA YERRORES

Aproximaciones y errores dep yredondeo

Dos errores más comunes en computación numérica:

Errores de redondeo:

se deben a que la computadora sólo puede presentarse deben a que la computadora sólo puede presentarcantidades con un número finito de dígitos

Errores de truncamiento:representan la diferencia entre una formulaciónmatemática exacta de un problema y la aproximacióndada por un método numérico

Aproximaciones y errores deAproximaciones y errores deredondeo

Cifras significativas

• El concepto de cifra significativa se ha desarrolladopara designar formalmente la confiabilidad de un valorpara designar formalmente la confiabilidad de un valornumérico

• Las cifras significativas de un número son aquellasg qque pueden ser usadas en forma confiable

Aproximaciones y errores deAproximaciones y errores deredondeo

Implicaciones de las cifras significativas en los métodos numéricos

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados

• Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son loslt dresultados

• Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas

2. Ciertas cantidades representan números específicos, π, e, √7, pero nose pueden expresar exactamente con un número finito de dígitosEjemplo, π = 3.141592653589793238462643… hasta el infinito

• En las computadoras tales números jamás se podrán representar en formaexactaexacta

• A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error deredondeo

E tit d i ióExactitud y precisión

EXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medidodel valor verdadero

PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado odid t tmedido con respecto a otros

INEXACTITUD: o sesgo se define como un alejamiento sistemático de laINEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemático de laverdad

IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento delos valores

E tit d i ióExactitud y precisión

Los métodos numéricos deberser:Aumenta la exactitud

• Lo suficientemente exactos

Aumenta la exactitud

ión

o sin sesgo para quecumplan con los requisitosde un problema particulara

la p

reci

si

de un problema particularde ingeniería

Aum

enta

• Lo suficientemente precisospara el diseño en ingeniería

D fi i i dDefiniciones de error

• Los errores numéricos se generan con el uso deaproximaciones para representar las operaciones y

id d á icantidades matemáticas

• Estos incluyen:

• Errores de redondeo: se producen cuando los números tienenun limite de cifras significativas que se usan para representarnúmeros exactos

• Errores de truncamiento: que resultan de representaraproximadamente un procedimiento matemático exacto

D fi i i dError erdadero

Definiciones de error• Error verdadero

Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se esta probando

ónaproximaci - aderovalor verd=tE

lor que se esta probando

• Error relativo porcentual%100×tEε

• Error aproximado

%100aderovalor verd

×= ttε

%100aproximadovaloraproximadoError

×=aε %100actualónAproximaci

anteriorón Aproximaci - actualón Aproximaci×=aε

• Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos

aproximadovalor actualón Aproximaci

• No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada εs

εε < sa εε <

D fi i i dDefiniciones de error

• Estos errores pueden ser relacionados con el número decifras significativas en la aproximación

• Puede tenerse la seguridad de que el resultado esPuede tenerse la seguridad de que el resultado escorrecto en al menos n cifras significativas, si

( )%105.0 2 ns

−×=ε

• De esta forma se debe especificar el valor del erroresperado

Representación de punto flotante p py errores de redondeo

1. Hay un rango limitado para representar cantidades

• Hay números grandes positivos y negativos que no pueden serrepresentados (overflow)

• No pueden representarse números muy pequeños (underflow)

2 H ól ú fi it d tid d d2. Hay sólo un número finito de cantidades que puede serrepresentado dentro de un rango

• El grado de precisión es limitado• El grado de precisión es limitado

• Para aquellos que no pueden ser representados exactamente, laaproximación real se puede lograr: cortando o redondeandoap o ac ó ea se puede og a co a do o edo dea do

3. El intervalo entre números aumenta tanto como los númeroscrecen en magnitudg

• El error cuantificable más grande ocurrirá para aquellos valores quecaigan justo debajo del limite superior de la primera serie deintervalos igualmente espaciados

Floating point numbers in g pMatlab

• IEEE Standard for double precision numbers

s e fs e f1 2 12 13 64

• Round-off: eps = 2-52 Round off: eps 2• Underflow: realmin = 2-1022

• Overflow: realmax = (2-eps) ·21023


A áli i d EAnálisis de Errores


ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICASClasificaciónClasificación::

• Errores sistemáticos → defectos intrínsecosValor verdadero

E id t l f t it t t i t• Errores accidentales → causas fortuitas, tratamiento estadístico

Valor verdaderoValor verdadero

Las distintas medidas de una magnitud afectadas sólo por erroresaccidentales se distribuyen en torno al “valor verdadero” de unaforma estadísticamente predecibleforma estadísticamente predecible.

Cuando los errores en las medidas son accidentales, la mejoraproximación al valor verdadero es la media aritmética de losaproximación al valor verdadero es la media aritmética de losvalores obtenidos.

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA o NORMAL

Número de veces que

Media aritmética de N medidas

veces que se presenta una medida

∑=+++==

N

iiN x

Nxxx

Nx

121

1)...(

1

Error estándar

Media

∑ −==

N

ii xx

N 1

2)(1σ

Medidas

La mayoría de las medidas se concentran alrededor de la media, las medidas más alejadas y extremas son menos j y

frecuentes

Uso de diferencias al cuadrado en los estimadores estadísticos para evitar cancelaciones

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANADISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

±σ 68.27%0.3

0.4

±2σ 95.45%

±3σ 99 73%0.2

±3σ 99.73%

0.0

0.1

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=2

2

2exp

21

σπσxxy

0.4

⎦⎣ 22 σπσ0.2

0.3

0 0

0.1 xxN

ii∑ −

= =1

2)(σ0.0

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 N

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANADISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

0 6

0.7

0.8

σ = 0.5

0 4

0.5

0.6

0.2

0.3

0.4

σ = 1.0

0.0

0.1

4 0 2 0 0 0 2 0 4 0

68.27%

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x

Si la distribución esSi la distribución es gaussianagaussiana la mejor estimación della mejor estimación delSi la distribución es Si la distribución es gaussianagaussiana, la mejor estimación del , la mejor estimación del valor verdadero es la media aritméticavalor verdadero es la media aritmética

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDAMEDIDA

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala delRESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala delaparatoEjemplos: 1 mm en una regla milimetrada;

SENSIBILIDAD: Es el número de di isiones de la escala

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada; 0.01 A en cierto amperímetro

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escalaque recorre el indicador del aparato cuando lamagnitud a medir varía en una unidadmagnitud a medir varía en una unidad.Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada.

100 A–1 en el amperímetro100 A en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad:

variación mínima de la magnitud que no es apreciada por elaparato (evidentemente es menor que la resolución)

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

FIDELIDAD E l lid d d l t d d lFIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar elmismo resultado siempre que se mide la mismamagnitud física en las mismas condicionesmagnitud física en las mismas condicionesexperimentales y distintas condicionesambientales del aparato (temperatura tensión deambientales del aparato (temperatura, tensión dealimentación, ...).

PRECISIÓN: Es la característica que nos indicaglobalmente el error debido al umbral degsensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

S di i i d lSe expresa ordinariamente como un tanto por ciento delfondo de escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro deprecisión 2% del F.E.precisión 2% del F.E.

PRECISIÓN y EXACTITUD

PRECISIÓN: es la característica que máscompletamente indica el error de la medida

y

completamente indica el error de la medidadebido intrínsicamente al aparato, es decir, que nopuede rebajarse salvo que midamos con unpuede rebajarse salvo que midamos con unaparato más preciso

H f i i lHay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato,pero que pueden corregirse mediante calibrado, es decir,ajustándolos para que den medidas correctas o corrigiendo susescalas tras una confrontación con un patrón o un aparato máspreciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otracualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato queindica que es preciso y está bien calibrado. Sóloindica que es preciso y está bien calibrado. Sóloun aparato exacto permite medidas exactas,pero la exactitud está siempre limitada por lap p pprecisión del aparato.

CIFRAS SIGNIFICATIVASCIFRAS SIGNIFICATIVAS

•• ElEl númeronúmero dede cifrascifras significativassignificativas dedeggunauna medidamedida eses elel númeronúmero dede dígitosdígitosfiablesfiables queque dichadicha medidamedida contienecontiene.

El resultado de uncálculo no puede sermás exacto que la

scxt 3333333333.3

103

105

6

=⋅

== ?más exacto que lacantidad menos exactaque interviene en elmismo.c 103 ⋅

• Los ceros a la izquierda no son significativos7 mV

q gindican la colocación del punto decimal; así,0.000345 tiene TRES cifras significativas.

• Los ceros a la derecha y después del puntodecimal si son significativos; como ejemplo,3 4120 tiene CINCO cifras significativas3.4120 tiene CINCO cifras significativas.

• En números enteros terminados en ceros,éstos pueden ser significativos o no; debep gdistinguirse si sólo sirven para localizar elpunto decimal o son parte de la medida.

GlosarioGlosario• Exactitud (accuracy): error absoluto o relativo( y)

de una determinada cantidad.

• Precisión: es la exactitud con que se realizan lasoperaciones aritméticas básicas (medida por el

il hi )epsilon machine)

Si f tú ú i ió• Si se efectúa una única operación =>precisión=exactitud

βδ *βαδ *=• Si se efectúan muchas operaciones =>

precisión>>>> exactitud del resultado final

bxA =

EstabilidadEstabilidad• Algoritmo: método computacional bien definido para resolver

d d l d bluna dada clase de problemas.

• Condicionamiento: mide con cuánta exactitud es posibleCondicionamiento: mide con cuánta exactitud es posibleresolver un problema empleando una dada precisión enpunto flotante, independientemente del algoritmo que seemplea.p

• Estabilidad: mide cuan bien un algoritmo resuelve unproblema tratando de lograr la máxima exactitud asequibleproblema tratando de lograr la máxima exactitud asequible,la cual está definida por el condicionamiento del problema.

L l it b i d t i i• Los algoritmos que brindan respuestas innecesariamenteinexactos se denominan inestables.

• Un proceso numérico es inestable si errores pequeños quesurgen en una etapa del proceso se magnifican en etapaposteriores, degradando la exactitud del resultado finalp , g

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTASLas medidas directas son las realizadas midiendo una magnitudfísica por medio de un instrumento y un procedimiento de medida.

Las medidas indirectas son las que se obtienen a través de lamedida directa de otra u otras magnitudes relacionadas con ellamediante una fórmula conocida.

Error en una medida directa:

E d did di l D i lEn cada medida directa x se comete el error Dx que impone laresolución del aparato.

Este es el error absoluto de cada medida La medida se expresa

Por ejemplo: midiendo una longitud de 22 mm con una regla milimetrada,

Este es el error absoluto de cada medida. La medida se expresacomo x ± ∆x

j p g gcometemos un error de 1 mm. Esto debe expresarse como (22±1) mm.

Criterio general para expresar el error absoluto:Criterio general para expresar el error absoluto:

Ya que el error representa la incertidumbre en el conocimiento dela medida, en general debe expresarse con UNA sola cifrala medida, en general debe expresarse con UNA sola cifrasignificativa.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

• Error absoluto: • Error relativo:∆x∆Error absoluto:

sensibilidad Error relativo: precisiónx∆ x

x∆

DeterminaciónDeterminación deldel errorerror absolutoabsoluto:comparamos el error debido a la sensibilidadcomparamos el error debido a la sensibilidadcon el error cuadrático medio. Se toma la mayorde ambas cantidades Se expresa con una solade ambas cantidades. Se expresa con una solacifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyocaso se admiten dos cifras significativas.caso se admiten dos cifras significativas.

DeterminaciónDeterminación deldel errorerror relativorelativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Cuando sólo se presentan errores accidentales elpmejor valor representativo del valor verdadero esel valor medio

∑=++=N

ixN

xxN

x 211

...)(1

• Serie de medidas: Error

∑=i

iNN 121

• Error del aparato • Serie de medidas: Error cuadrático medio

Resolución)( 2−∑ xx

NiN

xResolución

=∆

)1(1

−=∆ =

NNx i

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTASMedida resultante de un conjunto de medidas directas

N11x ∆x Valor aceptado: media aritmética ∑=+++==

N

iiN x

Nxxx

Nx

121

1)...(

1

Error absoluto de la serie: la mayor de las dos cantidades

x1 ∆x1

x2 ∆x2

x3 ∆x3y

siguientes:

* El á d d l d ∑N 2)(

1

x3 ∆x3

… …

* El error estándar de los datos ∑ −==i

i xxN 1

2)(1σ

* El valor cuadrático medio de los errores (RMS) ( ) ( ) ( )222

21

1NRMS xxxx ∆+∆+∆=∆

xN ∆xN

( ) ( ) ( )21 ... NRMS xxxN

x ∆+∆+∆=∆

El error absoluto del conjunto será la mayor de las dos cantidades

),( RMSxMAXx ∆=∆ σ

3

s 105 3−⋅=∆ RMSx(Ti-T)2

4,00E-04

∆Ti2

1,00E-04

1 00 04

Ti (s)

1,92

1 94

∆Ti

0,01

0 01Ejemplo:

de las dos cantidades

s 104 3−⋅=σ4,93E-32

4,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,94

1,96

1,95

0,01

0,01

0,01

medida del periodo de un péndulo simple

s 005.0940.1 ±=T4,93E-32

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,94

1,93

0,01

0,01

s 94.1=T

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

• La medida indirecta de una magnitud x se determina a través dela medida de otras con las que mantiene una relación funcional

),...,( 21 Nxxxxx =

Ley de propagación del error de Gauss

22

22

2

11

... ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

=∆ NN

xx

xx

x

xx

x

xx

La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del errorabsoluto de la magnitud medida en forma indirecta a partir de loserrores absolutos ∆x ∆xerrores absolutos ∆x1, ∆x2,…Ejemplo: cálculo de la energía cinética de un cuerpo de masa M = (2.14±0.04) kg que se mueve con una velocidad constante v = (4.5±0.1) m/s.

1J 6675.21

2

1 2 == MvEc

22⎤⎡ ∆

∂⎤⎡ ∆∂

∆Ec

MEc

E [ ]222v⎥⎤

⎢⎡ [ ]5.4 2

22

⎥⎤

⎢⎡

(Sin ajustar decimales)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∆∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∆∂

=∆ vv

MM

Ec [ ]22

vMvMv

∆+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

∆= [ ] J 088.11.05.414.204.02

5.4 2 =⋅⋅+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

=

Expresamos el error con 2 cifras significativas al ser la primera un 1 J 1.1=∆ cE

Ajustamos el resultado al mismo orden decimal que el error: ( ) J 1.17.21 ±=cE


Valor máximo del error en medidas indirectas

Si supusiéramos que de todas las variables que intervienen en la magnitudSi supusiéramos que de todas las variables que intervienen en la magnitudx sólo una de ellas, xi, influye en el error ∆x por haber sido todas las demásmedidas sin error alguno, la ley de propagación del error nos daría:

⎞⎛2

ii

ii

xx

xx

x

xx ∆

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

=∆2

P l t h i i bl did i lPero realmente no hay ninguna variable que sea medida sin error, por loque podemos considerar que el error máximo en la medida indirecta será lasuma de una serie de términos de error individual de la forma expresada enla ecuación anterior:la ecuación anterior:

NN

xx

xx

x

xx

x

xx ∆

∂∂

++∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ...22

11 N21

Salvo que se indique expresamente lo contrario, debe preferirse expresar losresultados de las medidas acompañados de su error máximo, dado por la

ió i di t t i l d l di d d l fó l decuación inmediata anterior en lugar del error medio dado por la fórmula deGauss.

( ) J 5.17.21 ±=cE

El anterior ejemplo de la energía cinética, si se usa el error máximo, da como resultado

(compruébese)


Caso particular que se presenta con frecuencia:

•• La función consta exclusivamente de productos y/o cocientesLa función consta exclusivamente de productos y/o cocientes

nN

ba xxxx ⋅⋅⋅= 21 Nxxxx ⋅⋅⋅= ...21

Derivadas xa

x⋅=

∂ xb

x=

∂ xn

x⋅=

∂parciales 11 x

ax

⋅=∂ 22 x

bx

⋅=∂ NN x

nx

⋅=∂

Error máximo (expresado como error relativo es decir comoError máximo (expresado como error relativo, es decir, comocociente entre el error y la magnitud)

xxxx ∆∆∆∆

N

N

x

xn

x

xb

x

xa

x

x ∆++

∆+

∆=

∆...

2

2

1

1

Ejemplo: error cometido en el cálculo de una fuerza centrípeta

vMF

2 RvMF ∆+

∆+

∆∆2

R

vMF = RvMF

++= 2

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASCálculo del error en la media empleando la ley de propagación de GaussCálculo del error en la media empleando la ley de propagación de Gauss

Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas dei d d f d d N1una magnitud, cada una afectada de un error

individual ∆x1, ∆x2,...∆xN), como medidas directas apartir de las cuales se obtendrá la media como

∑==

N

iix

Nx

1

1

medida indirecta, siendo la relación funcional entreellas

N

x

x

x i∆=

∂∂

Obsérvese que

Valor medio del error:

Nxi∂q

22

2

2

1 ...⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

+⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

+⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂

=∆ Nxx

xx

xx

x

22

2

2

1 ∆1

∆1

∆1

∆⎞

⎜⎛++⎞

⎜⎛+⎞

⎜⎛= xxxx ( ) ( ) ( )222 ∆∆∆

1xxx ++

( ) ( ) ( ) xx...xx RMSN ∆∆∆∆1 222

21 =

+++=

22

11 ⎠

⎜⎝ ∂⎠

⎜⎝ ∂⎠

⎜⎝ ∂

NNxxx

21 ∆∆∆∆⎠

⎜⎝

++⎠

⎜⎝

+⎠

⎜⎝

= NxN

...xN

xN

x ( ) ( ) ( )21 ∆∆∆ Nx...xxN

++=NNN

==

Valor máximo del error:

Nxx

xx

xx

x ∆∂

++∆∂

+∆∂

=∆ 21 ( )Nxxx ∆++∆+∆=1

21NN

xx

xx

xx

x ∆∂

++∆∂

+∆∂

=∆ ...22

11

( )NxxxN

∆++∆+∆= ...21

EJEMPLO 1: Medida de una longitudEJEMPLO 1: Medida de una longitud

Sensibilidad:Sensibilidad:

1.0 → mm1016227773 2−⋅=∆L

L (mm)635.7 635.9

á

10→ mm101622777.3=∆L

635.8 635.5

635.5 635.4Error cuadrático medio:

1076101494 2−∆L

635.6 635.7

635.6 635.7mm107610149.4 2⋅=∆L

Valor aceptado:

mm)05.064.635( ±=∆± LL

Media aritmética:

6400635L

Valor aceptado:

)05.06.635(mm6400.635=L

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

• Magnitud x que se determina a través de la medida de otras con las que mantiene una relación funcional

)( ),...,( 21 Nxxxxx =óLey de propagación del error de Gauss

222⎞⎛ ∂⎞⎛ ∂⎞⎛ ∂

22

11

... ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂=∆ N

Nx

xxx

xxx

xxx

⎠⎝⎠⎝⎠⎝• La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del

error absoluto de la magnitud medida en forma indirectag

El error máximo cometido se puede determinar sumando l l b l t d l i di id llos valores absolutos de los errores individuales

Ejemplo 2. Valor promedio del error

• Determinación de la focal de una l l é d d llente por el método de Bessel.

dLf '22 −

=L

f4

=

L

Posición 1

Posición 2

L

ImagenObjeto

d

Ejemplo 2 (cont.)

dLf '22 −

=

2222 ⎞⎛ ⎤⎡

Lf

4

22

2

222

2441''

' ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆∂∂=∆ d

LdL

Ldd

dfL

Lff

⎠⎝⎠⎝ ⎦⎣⎠⎝⎠⎝

L (cm) d (cm) f’ (cm) ∆f’ (cm)100 79.0 9.40 0.1190.0 68.9 9.31 0.1180 0 58 7 9 23 0 1180.0 58.7 9.23 0.1170.0 47.7 9.37 0.1060.0 36.8 9.36 0.0955.0 31.1 9.35 0.0850.0 25.1 9.35 0.0845 0 18 2 9 41 0 0745.0 18.2 9.41 0.07

VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)

• Si supusiéramos que cada variable xi es la ú i i fl lúnica que influye en el error

∂⎞⎛ ∂2

ii

ii

xxxx

xxx ∆

∂∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∂∂=∆

ii ⎠⎝

El error máximo en la medida indirecta será lasuma de los términos de error individual

NN

Máximo xxxx

xxx

xxx ∆

∂∂++∆

∂∂+∆

∂∂=∆ ...2

21

1 Nxxx ∂∂∂ 21

CASO PARTICULAR 1: productosp

• La función consta exclusivamente de productos / i ty/o cocientes

nN

ba xxxx ⋅⋅⋅= ...21 N21

Derivadas parcialesDerivadas parciales

xax ⋅=∂∂ xbx ⋅=∂ xnx ⋅=∂

11 xx∂22 xx∂ NN xx∂

E á i ( d l i )Error máximo (expresado como error relativo)

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ∆++∆+∆=∆

...2

2

1

1

N21

CASO PARTICULAR 1: productos

• Fórmula de los logaritmos neperianosg p

NxLnnxLnbxLnaxLn ⋅++⋅+⋅= 21 NxLnnxLnbxLnaxLn +++= ...21

ddddN

Nx

dxnx

dxbx

dxax

dx ⋅++⋅+⋅= ...2

2

1

1

N21

xxxx ∆∆∆∆

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ∆++∆+∆=∆

...2

2

1

1

CASO PARTICULAR 2: error en la mediaCASO PARTICULAR 2: error en la media

•• CálculoCálculo deldel errorerror enen lala mediamedia empleandoempleando lala leyley•• CálculoCálculo deldel errorerror enen lala mediamedia empleandoempleando lala leyleydede propagaciónpropagación dede GaussGauss..

Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de1 2 N (una magnitud, cada una afectada con error individual∆x1, ∆x2,...∆xN), como medidas directas a partir de lascuales se obtendrá la media como medida indirecta,siendo la relación funcional entre ellas

∑=N

ixx 1∑=i

ixN

x1


• Propagación de Gauss: valor medio del error• Propagación de Gauss: valor medio del error

⎞⎛⎞⎛⎞⎛222 111 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=∆ 21

1...

11Nx

Nx

Nx

Nx

( ) ( ) ( ) =∆+∆+∆= 222

21 ...

1Nxxx

N( ) ( ) ( )21 NN

( ) ( ) ( ) xxxx ∆∆++∆+∆ 2221 ( ) ( ) ( )N

xN

xxxN

RMSN ∆=∆++∆+∆= 21 ...1

∆∆xxRMSRMS →→ RootRoot Mean Mean SquareSquare


• Propagación de Gauss: valor máximo del error

∂∂∂ =∆∂∂++∆

∂∂+∆

∂∂=∆ N

Nx

xxx

xxx

xxx ...2

21

1máx ∂∂∂ Nxxx 21

1 ( )NxxxN

∆++∆+∆= ...1

21NErr r á i i l l pr di d l rr rErr r á i i l l pr di d l rr rError máximo: igual al promedio de los erroresError máximo: igual al promedio de los errores


A áli i d EAnálisis de Errores


TEORÍA DE ERRORES

Error AbsolutoError Absoluto

TEORÍA DE ERRORES

Error AbsolutoError Absoluto

xx=~ε xxa −=ε

Error RelativoError Relativo

0~

≠−

= xxxε 0≠x

xrε

CorrecciónCorrecciónxx ε±= ~

axx ε±=

Ejemplojemplo123.0=x

12.0~ =x

0030

003.012.0~ +=±= xx aε

0244.01230003.0

−=−

==xa

r

εε

2105.0005.0003.0

123.0−=<

x

105.0005.0003.0 <

Decimales CorrectosDecimales Correctosxx ~ enerror el si correctos decimales t tiene~

t−105.0 excede no

DefinicionesDefiniciones•• NúmeroNúmero dede cifrascifras decimalesdecimales:

cantidad de cifras luego del punto o coma decimal

•• NúmeroNúmero dede dígitosdígitos:tid d d if l d h d l i úcantidad de cifras a la derecha del primer número

distinto de cero• Ejemplo0.00147 (3 dígitos – 5 decimales)

• Notación de punto flotanteNotación de punto flotante

q

210147.0 −

11.010 <≤∈= mZqma q

EjemploEjemplo

• ERROR absoluto Nro de decimales correctos

• ERROR relativo Nro de cifras significativas correctas g

00000600012340 ±[ ]00124000012280

000006.0001234.0

∈±=

x

x

[ ]45 105.0106.0

001240.0,001228.0−− <=

∈

a

x

ε 4D

23 105.01086.4001234.0

000006.0 −− <==rε 2S2S

RedondeoRedondeo• Si la cifra en primer lugar a descartar es menor

que 5, dejar la última cifra como está.

• Si la cifra en primer lugar a descartar es mayorque 5,sumarle 1 a la última cifra.

• Si la cifra en primer lugar a descartar es igual a5, es indistinto

)00020(414141421 =→ ε)00080(415141421

)0002.0(414.14142.1 =→ ε)0008.0(415.14142.1 =→ ε

Cómo se almacenan los números reales en lasCómo se almacenan los números reales en las computadoras?

Números binariosNúmeros binarios[ ]0

11

11 2...22 n

nn

n bbbbX −− +++++±=

[ ]22

11

entera parte

2...22 kkbbb −

−−

−−

− +++iafraccionar parte

EjemploEjemplo

[ ] [ ]1 [ ] [ ]binariaexpansión

2112 21201202141

525.5 =+++++== −−

( )

p

01101( )binariacion representa

201.101+=

Problemas numéricos?ob e as u é cos?Overflow / Underflow:

• Comunicación: sistema decimal• Almacenamiento: sistema binario• Set de números: set infinito• Rangos limitados: Los dispositivos digitales usan

una cadena de bits (palabra)para almacenar un número

Se g arda n bit para el signo de la mantisa otroSe guarda un bit para el signo de la mantisa, y otropara el signo del exponente

Aritmética de punto flotanteAritmética de punto flotante

11

00 ≤≤≠== fxxxxffx eβPalabra de longitud finitaE fl / d fl

10.0 1321 ≤≤≠== fxxxxffxβ

β

Exponente: overflow/underflowFracción: errores de redondeo

El conjunto de números reales es infinito. Entonces,No es posible representar TODOS los números con unap psola palabra.

• Overflow: • mensaje de error (infinito)• Si la corrida continúa se propaga el errorSi la corrida continúa, se propaga el error

• Underflow:El ti d• El numero tiende a cero

• La corrida continúa

Limitaciones típicasLimitaciones típicas

Precisión Tamaño Número de Rango delPrecisión Tamaño de

l b

Número de cifras signifi-

ti

Rango del exponente

palabra cativas

Simple 32 bits 7 10-38- 1038p

D bl 64 bit 15 10 307 10307Doble 64 bits 15 10-307- 10307

Quad 128 bits

Epsilon machineEpsilon machine• Es característico de la aritmética de cada máquina• Es característico de la aritmética de cada máquina

en cuestión• Depende del tamaño de palabra, la base, tipo deDepende del tamaño de palabra, la base, tipo de

redondeo• Valores típicos:Valores típicos:

Precisión Computadora CalculadoraPrecisión Computadora Calculadora

Simple 10-8 10-10Simple 10 8 10 10

Doble 10-16 10-12Doble 10 16 10 12

EjemploEjemplo22 += bac

30 110

+=

b

bac

22

30 110 == ba

2

2

2

2

,max=+= basba

sc 2

22 ss

302

30230 10

1110 =

⎠⎞

⎜⎝⎛+=c

300

100

⎠⎜⎝

c

Comparación entre errores de predondeo y de truncado

Si ú iti d d l• Si se suman números positivos con redondeo, loserrores de redondeo serán positivos o negativosal azar y tenderán a cancelarseal azar y tenderán a cancelarse

• Si se suman números positivos con truncado, losd t d i l ierrores de truncado siempre van en la misma

dirección y se refuerzan entre sí.• Se prefiere ARITMETICA CON REDONDEO

Redondeo Truncado

8.013742.013758.1374

++=−=

4.038564.038564.3856

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+=+=

+

2.152302.052312.5231 +=+=

Análisis de error en punto flotantep

6.10(3.52 0.116) /1.01y = +6.10(3.52 0.116) /1.01

Cálculo exacto

y = +

Cálculo exactoCálculo exacto

y 6.10(3.636)/1.01 22.1796/1.01 21.96= = =y 6.10(3.636)/1.01 22.1796/1.01 21.96= = =

1

y ( )

0.352 10

+ 10.364 1010.0116 10

------------------ 10.61 10

X

1 10.3636 10 0.364 10→2 2

------------------

0.22204 10 0.222 10→

21 20.222 10

2 198 10 0 220 10 ( )fl y→1

2.198 10 0.220 10 ( )0.101 10

fl y= → =

Propagación de errores: SumasE l l l b l á d d lEn la suma, las cotas para el error absoluto están dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.

x x x x xε ε ε= ± ⇒ ≤ ≤ +1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x

x x x x x

ε ε εε ε ε

= ± ⇒ − ≤ ≤ += ± ⇒ − ≤ ≤ +

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x x

x x x x x x

ε ε ε εε ε ε ε

− + − ≤ + ≤ + + ++ − + ≤ + ≤ + + +

1 2 1 2 1 2 ( ) ( )x x x x ε ε+ = + ± +

Propagación de errores: RestasPropagación de errores: RestasEn la resta, las cotas para el error absoluto están dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.p p

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x

x x x x x

ε ε εε ε ε

= ± ⇒ − ≤ ≤ += ± ⇒ − ≤ ≤ +2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

x x xε ε− − ≤ − ≤ − ++ ≤ ≤ + +1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x x

x x x x

ε ε ε εε ε

− − + ≤ − ≤ − + +− = − ± +

Propagación de errores: Productos y Cocientesp g yEn la multiplicación y la división, las cotas para loserrores relativos están dadas por la suma de las cotaserrores relativos están dadas por la suma de las cotaspara los errores relativos en los operandos.

~ Cocientes

)1)(1()1()1(~~~

)1(~~

rrxxrxrxxxp

rxxrxxx

xxr

++=++==

+=+=⇒−

=Cocientes

111 )1(~~ rxxc

+==

212121

1

2121221121

1)1)(1(1

)1)(1()1()1(

rrrrrrr

rrxxrxrxxxp

p

rp p

+++=++=+

++=++==+

1

222 )1(~ rxxc

rc c

++

1r:si ledespreciab

2121

212121 ))((

rrrrrp

p

++=

<< 2

21

2

1

)1(

111

)1(

)1(

r

rr

r

rrc +

−−+=−

++

=

2121

1r1r

2

1

rrrrrp +≤+=

<<<<

221

22

1 si 1

)1()1(

rrr

r

rr

c ⇒<<−

=

++

21

221

rrr

r

c

c

−=+

2121

21

rrrrrc

c

+≤−=

La propiedad asociativa NO se cumple para la adición en punto flotante

7S :Precisión

))(())((

104711325.0101234567.0 40

++≠++−===

cbaflflcbflafl

bcba

1045670000123.0

101234567.0))((04

0==++⇒=+ acbflaflcb

1000004711325.0 4

−−−−−−−−−−−−−−−−−+

1045674711448.0 4

)( +bafl

1000004711325.0-

1045674711448.0 4

4

1000000000123.0 4

−−−−−−−−−−−−−−−−

3S) :(exactitud 100000123.0))(( 4=++ cbaflfl

Resolución de ecuaciones cuadráticas2

aacbb

x−±−

=2

2,1

:ntediscriminaelenError2

4

xx

bacb

=+

≈−2

2

01110

4

:ntediscrimina elen Error

acb

xx

=−=−−=−

=+−

5

22

100012100

120964121001.1.4)110(4

01110

−−−−−−−−−−−−−

510040000.0 -

10001210.0

5

numeradorelennCancelació

10961209.0

xx ==⇒±

= 211,2 01102

110110x

numerador elen n Cancelació

bx −=+ 21x

S) 4 de más (conservar 0.09092 : verdaderaraíz

ac

xx

a

=21

Ejemplo de inestabilidad numéricaEjemplo de inestabilidad numérica

Generar la sucesión:

11

Generar la sucesión:

311 10 == xxxi

11 3

4

3

13−+ −= kkk xxx 11 33+ kkk

Resultado exacto:

k⎞⎛ 1

Resultado exacto:

kx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

1

⎠⎝ 3

~ −= nnn xxε

111

413

~−−− −= nnn

nnn

xxε

11~

3

4~3

13~−+ −= nnn xxx

( ) ( )111 3

4

3

13~−−+ +−+= nnnnn xxx εε

111

413413~

33

−+⎞⎜⎛ −= xxx εε 111

413

3333 −−+ +⎠

⎜⎝

nnnnn xxx εε

11 3

4

3

13−+ −= nnn xxx

111 3

4

3

13~−++ −=− nnnn xx εε

33

Fórmula general para propagación del error

xfxxxfxxxfxf ...)~()~(2

1)~()~()~()( 2 +′′−+′−+=

xxxfxfxf ~)~()~()(2

−′≈−hiónamplificacevaluaciónla enerror

Fórmula general para propagación del errorFórmula general para propagación del errorxfxxxfxxxfxf ...)~()~(

2

1)~()~()~()( 2 +′′−+′−+=

xxxfxfxf ~)~()~()( −′≈−

T xxxxxxx −=∆= )0(~]~~~[~

i

n

iiin

xy

y

xxxxxxx

∆∂

≈∆

=∆=

∑ )~(

21 ][

n

ixi i

y

xx

y

∂

∆∂

∆

∑

∑=

)~(1

i

xi i

xx

yy ∆

∂∂

≤∆ ∑= )~(1

Condicionamiento de un problema• Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los p p q

datos provocan grandes cambios en los resultados

( ) ( ) ( )f x f x f x x x′ ∆ ( )f x x′( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x f x x x

f x f x x

− ∆≈

( )

( )

f x xK

f x=

Errores en la evaluación de funcionesErrores en la evaluación de funciones= xarcsenxf )(

−=

′=

xarcsenx

x

xf

xfxK

1)(

)(2

→x

xarcsenxxf

1

1)(

→xarcsen2

π

↑↑↑K

CondicionamientoCondicionamiento

di lí

de vecindadlaen funciones dos y Sean

f

rgf

:sPerturbemo

. de simple raíz es fr

raíz? nueva la está dónde

gfF ε+≡

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSMÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

YY

XX

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Ajuste lineal

Y

∑=∑+==

N

ii

N

ii yxbaN

11

),( ii yx

b

mxby +=

ii

∑=N

mxbyS 2)( NNN 2

ii mxby −−

∑ −−==i

ii mxbyS1

)(∑=∑+∑===

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1X

∂S ∂S

CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar SSistema de ecuaciones a resolver

0=∂∂m

S0=

∂∂

b

S


∑ ∑−∑= 2

xyNyxm ∑ ∑∑−∑=

2xyxyxb

( ) ∑−∑ 22 xNxm

( ) ∑−∑ 22 xNxb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

x∑∆=σ y∑∆

=σ 222 m σσσ +=

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

NxσNyσ xy m σσσ +

2

∆Nσ 22∑=∆

xb

σ

( )22 ∑−∑=∆

xxNm ( )22 ∑−∑

=∆xxN

b

Coeficiente de correlación

( ) ( ) ⎞⎜⎛∑ ∑−⎞

⎜⎛∑ ∑−

∑ ∑∑ −

=2222 11

yyxx

Nyx

xyr 1≈r 1<r

( ) ( )⎠

⎜⎝∑ ∑−

⎠⎜⎝∑ ∑− y

Nyx

Nx


Ejemplo: ajuste lineal de datos x, y

* Pendientex ∆x y ∆y

134 10 5 2

178 10 6 2

xy x^2 y^2

670,0 17956,0 25,0

1068,0 31684,0 36,0

* Ordenada en el origen

* Barras de error

mxby +=

317 10 12 2

440 10 16 2

523 10 19 2

3804,0 100489,0 144,0

7040,0 193600,0 256,0

9937,0 273529,0 361,0N

xx

∑∆=σN

yy

∑∆=σ 222xy m σσσ +=

40

45

50

589 10 21 2

694 10 25 2

759 10 28 2

12369,0 346921,0 441,0

17350,0 481636,0 625,0

21252,0 576081,0 784,0

Hay que incluir las unidades

correspondientes en cada

25

30

35

40

Y

934 10 34 2

1115 10 41 2

5683 100 207 20

31756,0 872356,0 1156,0

45715,0 1243225,0 1681,0

150961 4137477 5509

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−

∑ ∑∑ −

=2222 11

yN

yxN

x

N

yxxy

r

correspondientes en cada caso!

10

15

20

25Y

( ) ∑−∑∑ ∑−∑=

22 xNx

xyNyxm ( ) ∑−∑

∑ ∑∑−∑=22

2

xNx

xyxyxb

2

=∆N

mσ

( )22

22∑=∆x

bσ

0

5

0 200 400 600 800 1000 1200

( )22 ∑−∑=∆

xxNm ( )22 ∑−∑ xxN

m = 0,037

∆m = 0,002

b = -0,2

∆b = 1,4X

r = 0,99961

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSEjemplo 2: ajuste de datos x, 1/y (linealización)

mxby

+=1

2)/1(

)/1(y

yy

y

yy

∆=∆

∂∂

=∆

* Pendiente ( ) ∑∑∑ ∑−∑=

22 N

xyNyxm y

x ∆x y ∆y

25 2 790 10

30 2 660 10

* Pendiente ( ) ∑−∑ 22 xNx

( )22

2

∑−∑=∆

xxN

Nm

σ x(1/y) x^2 (1/y)^2

0,0316 625 1,60E-06

0 0455 900 2 30E 06

1/y

1,27E-03

1 52E 03

∆(1/y)

1,60E-05

2 30E 05∑∆ 30 2 660 10

35 2 580 10

40 2 505 10

45 2 450 10* Ordenada en el origen

0,0455 900 2,30E-06

0,0603 1225 2,97E-06

0,0792 1600 3,92E-06

0 1000 2025 4 94E-06

1,52E-03

1,72E-03

1,98E-03

2 22E-03

2,30E-05

2,97E-05

3,92E-05

4 94E-05

N

xx∑∆=σ

N

yy∑∆=σ 222

xy mσσσ +=

4,0E-03

45 2 450 10

50 2 390 5

55 2 360 5

60 2 335 5

( ) ∑−∑∑ ∑∑−∑=

22

2

xNx

xyxyxb ( )22

22

∑−∑∑=∆

xxN

xb

σ0,1000 2025 4,94E 06

0,1282 2500 6,57E-06

0,1528 3025 7,72E-06

0,1791 3600 8,91E-06

2,22E 03

2,56E-03

2,78E-03

2,99E-03

4,94E 05

3,29E-05

3,86E-05

4,46E-05

2 5E 03

3,0E-03

3,5E-03 65 2 305 5

70 2 280 5* Barras de error

, ,

0,2131 4225 1,07E-05

0,2500 4900 1,28E-05

,

3,28E-03

3,57E-03

,

5,37E-05

6,38E-05

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

1/y

475 20 2,39E-02 3,91E-04 1,2399 24625 6,24E-05

m = 0,000051 b = -0,00004

0 0E+00

5,0E-04

1,0E-03

r = 0,99915

∆m = 0,000002 ∆b = 0,00012

Hay que incluir las unidades correspondientes en cada

caso!0,0E+00

0 20 40 60 80

x( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−

∑ ∑∑ −

=2222 11

yN

yxN

x

Nyx

xyr

ProblemaSe quiere medir la resistencia eléctrica de un conductor metálico, para lo cual se llevan a cabo medidas deSe quiere medir la resistencia eléctrica de un conductor metálico, para lo cual se llevan a cabo medidas dediferencia de potencial entre sus extremos (voltaje V, unidad SI voltio) en función de la corriente quecircula por él (intensidad I, unidad SI amperio). Se espera que el conductor metálico obedezca la ley deOhm: V = IR, donde R es la resistencia eléctrica, que debe expresarse en ohmios Ω (1 Ω = 1 V/1 A). En latabla se presentan las medidas, con los voltajes medidos en mV y las intensidades en mA. Se acompañanp j y plos errores correspondientes en las mismas unidades. Determine la resistencia eléctrica del conductor.

Para resolver el problema haremos un ajuste de mínimos cuadrados representado la intensidad decorriente en abscisas y el voltaje en ordenadas. Según la ley de Ohm, la pendiente de la recta obtenida hade ser igual a la resistencia eléctrica del conductorde ser igual a la resistencia eléctrica del conductor.

I (mA) ∆I V (mV) ∆V

x ∆x y ∆y

134 10 5 2

xy x^2 y^2

670 17956 2525 ( ) ∑−∑

∑ ∑−∑=22 xNx

xyNyxm ( ) ∑−∑

∑ ∑∑−∑=22

2

xNx

xyxyxb

134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2

670 17956 25

1068 31684 36

3804 100489 144

7040 193600 256

20

( ) ∑−∑ xNx

( )22

2

∑−∑=∆

xxN

Nm

σ

( ) ∑∑ xNx

( )22

22

∑−∑∑=∆

xxN

xb

σ

440 10 16 2

523 10 19 2

589 10 21 2

7040 193600 256

9937 273529 361

12369 346921 441

2181 60 79 12 34888 964179 1263

15

V (

mV

)N

xx

∑∆=σ

N

yy

∑∆=σ

2181 60 79 12 34888 964179 1263

m = 0,036 Ω b = 0,1 mV 5

10V222xy m σσσ +=

( ) ( )⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−

∑ ∑∑ −

=2222 11

yN

yxN

x

N

yxxy

r

∆m = 0,005 Ω ∆b = 2,0 mV

0

0 100 200 300 400 500 600 700r = 0,99865

( ) ( )⎠⎝⎠⎝

yN

yN

I (mA)

Se ha usado un sistema que puede considerarse un péndulo simple con objeto de medir la aceleración de laProblema

gravedad. El procedimiento empleado consiste en medir el periodo de oscilación T para varias longitudesdiferentes L, y usar la relación entre el periodo, la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad:

224

Tg

Lπ

=g

LT π2=

Utilice el método de mínimos cuadrados, transformando convenientemente la ecuación anterior, para obtenerla aceleración de la gravedad de acuerdo con los datos presentados en la tabla. Las longitudes están medidascon ±1 cm y los periodos con ±0.02 s.

4πg

La transformación necesaria para resolver el problema es linealizar la ecuación del periodo del péndulo:La transformación necesaria para resolver el problema es linealizar la ecuación del periodo del péndulo:Realizando un ajuste de L frente a T2 obtendremos una recta cuya pendiente es g/4π2, de la cual obtendremos un valor para g.Los errores cometidos en L son conocidos directamente; para determinar los errores en T2 aplicamos la propagación de errores:propagación de errores:

( ) TTTT

TT ∆=∆

∂∂

=∆ 22

2T (s) ∆T L (m) ∆L

1,97 0,02 0,85 0,01

2,14 0,02 1,20 0,01 2,0

2,5( ) ∑−∑

∑ ∑−∑=22 xNx

xyNyxm

( )22

2

∑∑=∆

N

Nm

σ

( ) ∑−∑∑ ∑∑−∑=

22

2

xNx

xyxyxb

( )22

22∑=∆x

bσ

, , , ,

2,39 0,02 1,46 0,01

2,70 0,02 1,78 0,01

2,91 0,02 2,05 0,011 0

1,5

,

m)

( )2 ∑−∑ xxN

N

xx

∑∆=σ

N

yy

∑∆=σ

( )22 ∑−∑ xxN

m = 0,246 m/s2

∆m = 0,007 m/s2

g = 9,7 m/s2

∆g = 0,3 m/s2

T2(s) ∆(T2) L (m) ∆L

x ∆x y ∆y

3,88 0,08 0,85 0,01

xy x^2 y^2

3,30 15,1 0,72

0,5

1,0

L(m 222

xy m σσσ +=

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−

∑ ∑∑ −=

2222 11y

Nyx

Nx

Nyx

xyr

4,58 0,09 1,20 0,01

5,71 0,10 1,46 0,01

7,29 0,11 1,78 0,01

5,47 21,0 1,43

8,34 32,6 2,13

12,94 53,1 3,15-0,5

0,0

0 2 4 6 8 10

T^2 ( s^2)b =

-0,008 m

r = 0 988778,47 0,12 2,05 0,01 17,36 71,7 4,20

29,93 0,48 7,33 0,05 47,4 193,5 11,6

∆b = 0,042 mr 0,98877

En un experimento sobre gases se toman los datos de presión P y volumen V registrados en la tabla T1.10 yProblema que corresponden a una muestra n = (0.100±0.001) moles de gas. Los errores en P y V están en las mismasunidades que las magnitudes respectivas. Suponiendo que la muestra cumple la ley de los gases ideales,realice un ajuste de mínimos cuadrados para determinar la temperatura absoluta T del gas.

nRTPV =Ley de los gases ideales: Constante universal de los gases R = 8 314 J/K molnRTPV = Constante universal de los gases R 8,314 J/K.mol

P (Pa) ∆P V (m3) ∆V

2,5E+05 5,0E+03 1,0E-03 5,0E-05V

nRTP =A partir de la ecuación de los gases ideales vemos que

Por tanto, si representamos P en ordenadas frente a 1/V en abscisas,1,7E+05 5,0E+03 1,5E-03 5,0E-05

1,3E+05 5,0E+03 1,8E-03 5,0E-05

9,5E+04 1,0E+03 2,4E-03 5,0E-05

Por tanto, si representamos P en ordenadas frente a 1/V en abscisas, la pendiente de la recta resultante será proporcional a la temperatura absoluta m = nRT

Error en 1/V 2)/1(

)/1(V

VV

V

VV

∆=∆

∂∂

=∆nR

mT = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

∆=∆

21

m

n

n

m

RT

2,5E+05

3,0E+058,0E+04 1,0E+03 3,1E-03 5,0E-05

7,4E+04 1,0E+03 3,4E-03 5,0E-05

1/V(m-3) ∆(1/V) P (Pa) ∆P

T = 306 K

∆T = 11 K

1,5E+05

2,0E+05

P(P

a)

x ∆x y ∆y

1,0E+03 5,0E+01 2,5E+05 5,0E+03

6,7E+02 2,2E+01 1,7E+05 5,0E+03

xy x^2 y^2

2,5E+08 1,0E+06 6,3E+10

1,1E+08 4,4E+05 2,9E+10

0,0E+00

5,0E+04

1,0E+05P

5,6E+02 1,5E+01 1,3E+05 5,0E+03

4,2E+02 8,7E+00 9,5E+04 1,0E+03

3,2E+02 5,2E+00 8,0E+04 1,0E+03

7,2E+07 3,1E+05 1,7E+10

4,0E+07 1,7E+05 9,0E+09

2,6E+07 1,0E+05 6,4E+09

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑ ∑−

∑ ∑∑ −=

2222 11y

Nyx

Nx

Nyx

xyr

-5,0E+04

0,0E 00

0 200 400 600 800 1000 1200

1/V (1/m3)

2,9E+02 4,3E+00 7,4E+04 1,0E+03 2,2E+07 8,7E+04 5,5E+09

3,3E+03 1,1E+02 8,0E+05 1,8E+04 5,2E+08 2,1E+06 1,3E+11r = 0,99711

∑ ∑−∑=xyNyx

m∑ ∑∑−∑=

2xyxyxb x∑∆ y∑∆

m = 254 J

∆m = 9 J

b = -4,8E+03 Pa

∆b = 5,4E+03 Pa

( ) ∑−∑=

22 xNxm

( )22

2

∑−∑=∆

xxN

Nm

σ

( ) ∑−∑=

22 xNxb

( )22

22

∑−∑∑=∆

xxN

xb

σ

Nx

x∑∆

=σN

yy

∑=σ

222xy m σσσ +=

Muchas GraciasMuchas Gracias

Catedra Metodos Numericos Unsch 03

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